simulação computacional e economia pós-keynesiana€¦ · tempo discreto – modelo de samuelson...
Post on 02-Sep-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Simulação Computacional e Economia Pós-Keynesiana
Júlio Fernando Costa Santos
Doutorando em Economia - IEUFU
1
O Problema da Dinâmica Econômica
• Tempo Contínuo - Problemas que envolvem EDOs - EX.: O Modelo IS-LM Dinâmico, O modelo de
Ramsey. • Tempo Discreto - Problemas que envolvem equações à diferenças - Ex.: O modelo Multiplicador-Acelerador, Modelos
SFC
2
O Problema da Dinâmica Econômica
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Ambos permitem soluções numéricas e analíticas.
Numérico – Vantagem de poder avançar na complexidade do modelo.
Analítico – Elegância e melhor estudo das propriedades.
3
Softwares para Resolução de Modelos
4
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Versão Dinâmica com EDO 5
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Equilíbrio
6
𝑦 = 𝛼. (𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − . 𝑟 𝑡 ) (1) 𝑟 = 𝛽. (−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 ) (2)
𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − . 𝑟 𝑡 = 0 (3.a)
𝑦 𝑡 =.𝑟 𝑡 −𝐴
𝑎1 (3.b)
−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 = 0 (4.a)
𝑟 𝑡 =−𝑚0+𝑘.𝑦 𝑡
𝑢 (4.b)
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Equilíbrio
7
Substituindo a (4.b) em (3.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑦∗.
𝑦 𝑡 =−.𝑚0+.𝑘.𝑦 𝑡 −𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
𝑦 𝑡 . 1 −.𝑘
𝑢.𝑎1=
−.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
𝑦 𝑡 .𝑢.𝑎1−.𝑘
𝑢.𝑎1=
−.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
𝑦 𝑡 =−.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1.
𝑢.𝑎1
𝑢.𝑎1−.𝑘
𝒚∗ =𝑨.𝒖+𝒉.𝒎𝟎
𝒉.𝒌−𝒖.𝒂𝟏 (5)
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Equilíbrio
8
De igual maneira, substituindo a (3.b) em (4.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑟∗.
𝑟 𝑡 =𝑘..𝑟 𝑡 −𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
𝑟 𝑡 . 1 −𝑘.
𝑎1.𝑢=
−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
𝑟 𝑡 .𝑎1.𝑢−𝑘.
𝑎1.𝑢=
−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
𝑟 𝑡 =−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢.
𝑎1.𝑢
𝑎1.𝑢−𝑘.
𝑟∗ =𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴
𝑘.−𝑎1.𝑢 (6)
Dessa forma, o sistema tem equilíbrio único e não depende dos parâmetros 𝛼 e 𝛽.
𝑦∗, 𝑟∗ =𝐴.𝑢+.𝑚0
.𝑘−𝑢.𝑎1,𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴
𝑘.−𝑎1.𝑢 (7)
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Equilíbrio
Dessa forma, o produto e a taxa de juros de equilíbrio não dependem de α e β. Se então tr(Jac) < 0. Como o produto negativo não é aceitável, em equilíbrio y*>0, o que implica a condição kh – a1u > 0. Então, o determinante da matriz jacobiana é maior que zero e temos um equilíbrio estável. 9
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
Calibragem para a Simulação:
10
O Problema da Dinâmica Econômica
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada:
11
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
12
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0
Modelo Final: 𝑌𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−1 − 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 𝑌𝑡 = 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 − 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
13
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Equação à diferenças de 2ª Ordem: Solução Analítica:
𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0
A solução desse tipo de equação se subdivide em duas partes, onde a solução geral é a soma da solução particular (que é a que fornece um valor de equilíbrio intertemporal) mais a função complementar (desvios em relação ao equilíbrio).
𝑌𝑔 = 𝑌𝑝 + 𝑌𝑐
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
14
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Solução Particular (Equilíbrio Intertemporal): Sabendo no equilíbrio, 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−2 = 𝑘 (uma constante qualquer).
𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0
𝑘 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑘 + 𝛼𝛾𝑘 = 𝐺0 𝑘 1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾 = 𝐺0
𝑘 =𝐺0
1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾=
𝐺01 − 𝛾
= 𝑌𝑝
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
15
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): A segunda parte diz respeito à função complementar. Para isso, devemos transformar nossa equação de diferenças de segunda ordem em uma equação homogênea (o termo constante = 0).
𝑌𝑡−𝛾 1 + 𝛼𝑎1
𝑌𝑡−1 + 𝛼𝛾 𝑎2
𝑌𝑡−2 = 0
𝑌𝑡 +𝑎1𝑌𝑡−1 +𝑎2𝑌𝑡−2 = 0
𝑌𝑡+2 +𝑎1𝑌𝑡+1 +𝑎2𝑌𝑡 = 0
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
16
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): Por conveniência, pegaremos a equação de diferenças anterior e jogaremos dois períodos à frente (o que não altera em nada a nossa equação). Temos que a solução para equações de diferenças homogêneas utiliza a seguinte igualdade 𝑌𝑡 = 𝐴𝑏𝑡. Dessa forma, iremos substituir na equação anterior e assim obter:
𝐴𝑏𝑡+2 + 𝑎1𝐴𝑏𝑡+1 + 𝑎2𝐴𝑏
𝑡 = 0 𝐴𝑏𝑡 𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0
Após cancelar o fator comum 𝐴𝑏𝑡 ≠ 0, ficamos com a seguinte equação característica:
𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
17
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Solução da Equação Característica: 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0
Caso 1 (Raízes Reais Distintas)
𝛾 >4𝛼
1 + 𝛼 2
𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1𝑡 + 𝐴2𝑏2
𝑡 Caso 2 (Raízes Repetidas)
𝛾 =4𝛼
1 + 𝛼 2
𝑌𝑐 = 𝐴3𝑏𝑡 + 𝐴4𝑡𝑏
𝑡
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
18
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
Solução da Equação Característica: 𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0
Caso 3 (Raízes Complexas)
𝛾 <4𝛼
1 + 𝛼 2
𝑏1, 𝑏2 = ± 𝑣𝑖
Onde = −𝑎1
2 e 𝑣 =
4𝑎2−𝑎12
2
𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1𝑡 + 𝐴2𝑏2
𝑡 = 𝐴1( + 𝑣𝑖)𝑡+𝐴2( − 𝑣𝑖)𝑡 O teorema de Moivre para transformar essa função em termos trigonométricos (esse mais facilmente interpretável).
± 𝑣𝑖 = 𝑅𝑡(𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑡 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑡)
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
• Solução Numérica
19
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0
20
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson
𝛾 = 1/𝛼 Divisor de Estabilidade 𝛾 > 1/𝛼 Trajetória Explosiva 𝛾 < 1/𝛼 Trajetória Amortecida
𝛾 =4.𝛼
1+𝛼 2 Raízes Repetidas
𝛾 >4.𝛼
1+𝛼 2 Raízes Distintas
𝛾 <4.𝛼
1+𝛼 2 Raízes Complexas
Instável Explosiva
Flutuação Convergente
Estável sem ciclo
*** Flutuação Uniforme
*** Flutuação Explosiva
O Problema da Dinâmica Econômica
Soluções Numéricas:
• Tempo Contínuo
- Runge Kutta 4ª Ordem (Resolução Numérica de EDO)
- Método de Euller (Resolução Numérica de EDO)
• Tempo Discreto
- Linear (Gauss-Seidel/Jacobi – Resolução Numérica de Sistemas Lineares)
- Não Linear (Newton-Raphson – Resolução Numérica de Sistemas Não Lineares)
21
Modelos SFC
• A abordagem SFC se preocupa em analisar a matriz contábil do modelo (Balanço Patrimonial, Transações e Variações de fluxo) de modo a dar um tratamento rigoroso de “tracking” nas variáveis Monetárias e Reais.
• A princípio ela não é uma abordagem estritamente pós-keynesiana. Ela pode ser utilizada para qualquer modelo Ortodoxo ou Heterodoxo. A rigor, o que a abordagem faz é evitar buracos negros na modelagem econômica.
22
Modelos SFC
• “Da mesma forma que os estoques no início do período afetam o fluxo da renda, também é verdade que os fluxos poupados e ganhos de capital necessariamente afetam os estoques ao fim do período, que também de fato, afetaram os fluxos no próximo período” (Zezza e dos Santos, 2007).
• Na maioria dos casos pode ser considerado um sistema de n equações simultâneas que possuem n variáveis a serem resolvidas, sendo portanto um sistema determinado.
23
Modelos SFC
Número de Equações < Número de Variáveis
Sistema Indeterminado
Número de Equações = Número de Variáveis
Sistema determinado
Número de Equações > Número de Variáveis
Aproximação por MQO
24
Modelos SFC
Ex.: Determinar os valores de 𝑥1 𝑒 𝑥2 em:
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
Formas de resolver:
(1) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na segunda
(2) Transformar o sistema em matrizes e vetores
25
Modelos SFC
(1) – Por substituição:
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
(a) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na segunda:
𝑥1 =4−2.𝑥2
5
(b) Substituindo 𝑥1 na segunda equação:
2.4−2.𝑥2
5− 𝑥2 = 1
𝑥2 =1
3
(c) Substituindo 𝑥2 em 𝑥1 isolado em (a)
𝑥1 =2
3
26
Modelos SFC
(2) – Forma Matricial:
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
(a) Deixar na forma matricial 5 22 −1
.𝑥1𝑥2
=41
(b) Resolve-se o sistema: 𝐴. 𝑋 = 𝐵 sendo 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 𝐴−1. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 (c) O problema se torna: 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵
27
Sistemas em Forma de Matriz
• Problema envolvendo sistema linear.
28
1 4 3−12
−22
03
.
𝑥1𝑥2𝑥3
=16−1218
Encontrar solução para 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3.
Forma Matricial
𝑥 = 𝐴−1. 𝑏
Solução:
Sistemas em Forma de Matriz
• Problema envolvendo sistema linear.
29
2 131
21
.𝑥1𝑥2
=123
3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2)
Forma Matricial
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3
Que solução então podemos tomar? A solução passa a ser encontrar o vetor de x mais próximo possível para que se torne verdadeiro Ax=B. Nos resta como opção encontrar o vetor x cujo erro do sistema seja o menor possível ao quadrado. Dessa forma, usaremos o MQO.
Sistemas em Forma de Matriz
• Problema envolvendo sistema linear.
30
2 131
21
.𝑥1𝑥2
=123
3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2)
Forma Matricial
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3
Solução: MQO
Sistemas em Forma de Matriz
• Problema envolvendo sistema linear.
31
2 131
21
.𝑥1𝑥2
=123
Forma Matricial
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 13. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 3
Seja: 𝐴𝑥 = 𝐵 𝐴𝑇 . 𝐴𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐵 𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐴
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐵
𝒙 = 𝑨𝑻. 𝑨−𝟏. 𝑨𝑻. 𝑩
Solução Analítica x Numérica
Solução Analítica: - Prós: Elegância, estudo das propriedades, - Contras: Exige algum grau de simplicidade do
modelo.
Solução Numérica: - Prós: Pode-se utilizar modelos pesados
(complexos) - Contras: Pouco conhecimento as propriedades
gerais do modelo. 32
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Motivação: Modelo IS-LM que não exista buracos negros:
- Há restrições ao investimento?
- Como o governo se financia?
- O circuito monetário (tracking)
- E o lucro das empresas?
- A renda disponível das famílias é consistente?
33
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Exemplo de problema original:
Principais livros textos da graduação:
𝑌𝐷 = 𝑌 − 𝑇 O que está implícito?
Lucros distribuídos instantaneamente para as famílias
34
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Balanço Patrimonial:
35
Households Firms Government Central Bank ∑
Fixed Capital
Money
Bills / Corporate Notes
Balance (net worth)
∑ 0 0 0 0 0
+ 𝑓 + 𝑓+ −
+𝐵 +𝐵𝑐 −𝐵𝑔−𝑉 −𝑉𝑓 +𝑉𝑔 − 𝑓
−𝐵𝑓
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Matriz de Transações:
36
Current Capital Current Capital
Consumption 0
Government Expenditures 0
Investment 0
Wages 0
Taxes 0
Interest Payments 0
Central Bank Profits 0
Firms Profits 0
Change in Money 0
Change in Bills / Corp. Notes 0
∑ 0 0 0 0 0 0 0
Firms
Government ∑Households
Central Bank
−𝐶 +𝐶−𝐺+𝐺
−𝐼+𝐼
−𝑊+𝑊
−𝑇 +𝑇+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑔𝑡−1
+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1− + 𝑓+
− +
− 𝐵 + 𝐵𝑔 − 𝐵 𝑐+ 𝐵𝑓
−𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑓𝑡−1
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Equações Comportamentais
Empresas:
𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1 (1)
𝑢 =𝑌.𝜎
𝐾 (2)
𝑓 = 1 − 𝑑 . (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (3)
Δ𝐵𝑓 = 𝐵𝑓 − 𝐵𝑓−1 = 𝐼 − 𝑓 (4)
= 𝑑. (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (5)
= −1 + 𝐼 (20)
37
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Equações Comportamentais Famílias: 𝑊 = 𝑤. 𝑌 (9) 𝑌𝐷 = 1 − 𝜃 . (𝑊 + 𝑟−1. 𝐵−1 + ) (8) 𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1, 0 < 𝛼2 < 𝛼1 < 1 (7) = 𝜆10. 𝑉
𝑒 + 𝜆11. 𝑟. 𝑉𝑒 + 𝜆12. 𝑌𝐷
𝑒 (16) 𝐵 = 𝜆20. 𝑉
𝑒 + 𝜆21. 𝑟. 𝑉𝑒 + 𝜆22. 𝑌𝐷
𝑒 (17) 𝑉𝑒 = 𝑉−1 (18) 𝑌𝐷𝑒 = 𝑌𝐷−1 (19) Restrições de Portfólio 𝜆10 + 𝜆20 = 1 (ADUP.1) 𝜆11 + 𝜆21 = 0 (ADUP.2) 𝜆12 + 𝜆22 = 0 (ADUP.3) 𝜆14 + 𝜆24 = 0 (ADUP.4)
38
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Equações Comportamentais
Governo e BACEN
𝐺 = 𝛾. −1 (10)
𝑇 = 𝜃. 𝑊 + 𝑟−1. 𝐵−1 + , 𝜃 < 1 (11)
𝐵𝑠= 𝐵𝑠 − 𝐵𝑠−1 = 𝐺 + 𝑟−1. 𝐵𝑠−1 − 𝑇 + 𝑟−1. 𝐵 𝑐−1 (12) 𝑠= 𝑠 − 𝑠−1 = 𝐵 𝑐 (13)
𝐵 𝑐 = 𝐵𝑠 + 𝐵𝑓 − 𝐵 (14)
𝑟 = 𝑟 (15)
39
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Equações Comportamentais
Resumo:
Variáveis Endógenas:
𝐼, , 𝑢, 𝑌, 𝐵𝑓, 𝐵, 𝐵𝑐 , , 𝑓, , Δ𝐵𝑓, Δ𝐵, Δ𝐵𝑠, Δ 𝑠, 𝑉, 𝑌𝐷,𝑊, 𝐺, 𝑇, 𝑉𝑒, 𝑌𝐷𝑒 (21 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠)
Variáveis Exógenas:
𝑟 = 𝑟
Parâmetros:
𝛼1, 𝛼2, 𝑑, 𝜆10, 𝜆11, 𝜆12, 𝜆20, 𝜆21, 𝜆22, 𝛾, 𝛾0, 𝛾1, 𝛾2, 𝜔, 𝜎, 𝜃 (16 𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
Estoques Iniciais:
Todos zerados, exceto o 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100.
40
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Solução Numérica do Modelo
• Sendo ele de natureza Linear, o mais indicado é usar o algoritmo de Gauss-Seidel.
“Uma alternativa possível para reduzir a complexidade de resolução é utilizar o Algoritmo de Gauss-Seidel (GS) para resolver o sistema linear via iteração. Dessa forma, vamos a sua construção lógica com um exemplo simples extraído do artigo de Terence O’Shea e Stephen Kinsella”.
41
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Como funciona o Algoritmo?
42
Looping no Tempo
Fase 1: Fornecer os parâmetros e os estoques existentes e pré-alocar as variáveis endógenas
Equações do Modelo sendo Resolvidas por GS
Sai do looping GS quando o erro for menor que o tolerável
Armazena as variáveis em t para ser o chute em t+1
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
GS:
Em forma matricial, a iteração de Gauss-Seidel é dada da seguinte forma:
𝑥(𝑘+1) = 𝐷 + 𝐿 −1. (𝑈. 𝑥 𝑘 + 𝑏)
Onde 𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈. As matrizes 𝐷, 𝐿 e 𝑈 representam a diagonal, triangular estritamente inferior e triangular estritamente superior. 𝑘 é o contador de iterações.
Entrada por entrada toma a seguinte forma:
𝑥𝑖(𝑘+1)
=1
𝑎𝑖𝑖. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗
𝑘+1𝑗<𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗
(𝑘)𝑗>𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
43
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
GJ:
Se a escolha for por Gauss-Jacobi, a entrada tem a seguinte forma:
𝑥𝑖(𝑘+1)
=1
𝑎𝑖𝑖. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
O único porém é que a convergência é mais lenta.
44
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
GS:
45
Condição p/ Convergência:
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) GS:
46
Convergência Gauss-Seidel
Alternativa de Resolução do Modelo:
O Algoritmo de Gauss-Seidel (método para determinação de sistemas lineares via iteração) nos permite resolver problemas com várias equações simultâneas sem ter que realizar um trabalho algébrico pesado para o cálculo do produto de curto prazo.
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
48
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
49
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
50
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
51
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
52
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
Resultados da Simulação
53
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Solução Analítica do Modelo
• Sendo ele um modelo de crescimento, o mais recomendável é normalizá-lo pelo capital para que se possa encontrar uma solução de estado estacionário
• Transformando o modelo em 5 equações fundamentais:
54
Normalizado
Em nível
Em log
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• A Curva u: 𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1
𝐺 = 𝜌. −1 𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1
𝑌 = 𝐶 + 𝐺 + 𝐼 Fazendo as devidas substituições e manipulações algébricas, chegamos em:
𝑢. 𝑣 =𝛼1. 1−𝜃 .(𝑤.𝑌)+𝛼2.𝑉−1+𝜌.𝐾−1+ 𝛾0+𝛾1.𝑢−𝛾2𝑟 .𝐾−1
𝐾−1
𝑢 =1
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 +
𝛼2
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1. 𝑣−1
Sendo, 𝜓1 =1
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1, temos que:
𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏
55
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• A Curva u:
𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏
56
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
O Sistema Completo:
1. 𝑏𝑠 = 𝑏𝑠−1 + 𝛾 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝜃. 𝑢. 𝜎 − (𝜃 + 1). 𝑟−1. 𝑏−1 + 𝜃. 𝑑 − 1 . 𝑟−1. 𝑏𝑓−1
2. 𝑏𝑓 = 1 + 1 − 𝑑 . 𝑟−1 . 𝑏𝑓−1+ 𝑔 − 1 − 𝑑 . 1 − 𝑤 . 𝑢. 𝜎
3. 𝑏 = (𝜆20 + 𝜆21. 𝑟). 𝑣−1 + 𝜆22. 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢−1. 𝜎 + 𝑟−2. 𝑏−2 − 𝑑. 𝑟−2. 𝑏𝑓−2
4. 𝑣 = 1 − 𝛼2 . 𝑣−1 + 1 − 𝛼1 . 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢. 𝑣 + 𝑟−1. 𝑏−1 − 𝑑. 𝑟−1. 𝑏𝑓−1
5. 𝑢 = 𝜓1. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 + 𝜓1. 𝛼2. 𝑣−1
57
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Alpha (10%)
58
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – d (10%)
59
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Gamma (10%)
60
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – r (10%)
61
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Theta (10%)
62
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – w (10%)
63
+
-
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Resumo
64
Ret_EBI
Alpha1 +10% 6,34% 6,34% 6,34% 1,58 1,04 76,71% 19,88%
Alpha1 -10% 5,33% 5,33% 5,33% 2,60 1,38 71,67% 18,95%
d +10% 5,34% 5,34% 5,34% 3,32 -0,66 71,69% 17,78%
d -10% 6,27% 6,27% 6,27% 1,14 2,48 76,34% 20,76%
Ghama_0 +10% 6,04% 6,04% 6,04% 1,89 1,36 74,18% 19,48%
Ghama_0 -10% 5,55% 5,55% 5,55% 2,27 1,03 73,74% 19,24%
r +10% 5,78% 5,78% 5,78% 2,12 1,12 74,38% 19,50%
r -10% 5,81% 5,81% 5,81% 2,02 1,28 73,54% 19,23%
Theta +10% 5,31% 5,31% 5,31% 1,95 1,39 71,54% 18,93%
Theta -10% 6,30% 6,30% 6,30% 2,14 1,05 76,50% 19,84%
w +10% 6,52% 6,52% 6,52% 0,75 3,40 77,59% 18,67%
w - 10% 5,12% 5,12% 5,12% 4,10 -1,67 70,64% 20,21%
ShockCapacity
UtilizationNotes/EBIBills/GDPg_Kg_Vg_Y_d
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico Direcionado)
65
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico Direcionado)
66
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.)
• Representação como DAG (Grafo Acíclico Direcionado)
67
G – Gasto Público I – Investimento K – Capital Físico, W – Salários Ph – Lucros Distribuídos YD – Renda Disponível Pf – Lucros Retidos T – Tributos C – Consumo V – Riqueza Bs – Títulos Públicos ofertados Bh – Títulos Públicos em posse das famílias Bf – Títulos Privados Bcb – Títulos em posse do Bacen dBf – Variação T.P dBs – Variação T.P. dHs – Variação da oferta monetária.
Modelos Não-lineares
Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson Função: 𝑦 = 𝑥2 − 2. 𝑥
O que o método faz é utilizar um chute inicial 𝑥0 e calcular até o ponto onde 𝑓(𝑥0) seja 0. O método extrapola assumindo que a função é linear e utiliza de um laço iterativo para utilizar a cada nova iteração o 𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 obtido anteriormente como o novo chute. Calcula a derivada da função no ponto 𝑥0 vezes o deslocamento em x. O método irá parar de iterar quando o 𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 estiver bem perto do 𝑓(𝑥) = 0.
Modelos Não-lineares
Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson
Modelos Não-lineares
Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson
Modelos Não-lineares
Mas e se o modelo for não linear? Newton-Raphson Formas de minimizar o erro:
Modelos Não-lineares
Formas de minimizar o erro: Exemplo Simples:
Modelos Não-lineares
Formas de minimizar o erro:
Outras Referências
top related