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Av. Brigadeiro Faria Lima, 1993 – cj. 61 – São Paulo/SP– 01452-001 – fone: (11)3938-9400 www.abece.com.br – abece@abece.com.br
TÍTULO: Momento-curvatura em Seções de
Concreto Protendido
AUTOR(ES): Buchaim, Roberto ANO: 2012 PALAVRAS-CHAVE: Concreto Protendido;
Flexão Simples; Armadura Simples; Seção retangular; Momento-curvatura
e-Artigo: 059 – 2012
ENTECA 2011 VIII Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura 8 - 10 Novembro 2011 ISSN 1808-3625
MOMENTO-CURVATURA EM SEÇÕES DE CONCRETO PROTENDIDO
Roberto Buchaim 1
RESUMO
Mostra-se neste trabalho a obtenção da relação momento-curvatura nos Estádios I, II e III, na flexão
simples de seções retangulares com armadura simples, visando aplicações nos Estados Limites de
Serviço e Últimos, e, ainda, em ensaios de laboratório para a determinação da carga última e
correspondentes deformações. O foco da solução está na determinação da precedência de uma
deformação notável, no aço ou no concreto, atingida em alguma fase de solicitação da seção, o que
é facilitado pela adoção de uma lei constitutiva bilinear também para o concreto, que atenda às
mesmas três fases com suficiente precisão. Com isto, não há necessidade de iteração na solução
numérica. Para essa relação determinam-se todos os pontos notáveis e os trechos entre eles. As
figuras apresentadas abrangem os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o
concreto ainda elástico, ruptura do aço e o concreto já plastificado, ruptura do concreto e o aço já
plastificado, e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico. Mostra-se também a
comparação das curvas momento-curvatura obtidas com duas leis do concreto: a parábola-
retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear adotada neste trabalho.
Palavras-chave: Concreto protendido. Flexão simples. Armadura simples. Seção retangular.
Momento-curvatura.
1 Prof. Dr., Universidade Estadual de Londrina-UEL, Cento de Tecnologia e Urbanismo-CTU, Departamento
de Estruturas, robbuch@uel.br
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 2
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho em concreto protendido abrange um trabalho anterior em concreto
armado (BUCHAIM, 2005) e refere-se à obtenção do diagrama momento-curvatura nos Estádios I,
II e III, antes e após a fissuração, antes e após o escoamento de um ou de ambos os materiais. O
problema é particularizado para a flexão simples de seções retangulares com armadura simples. A
obtenção dos pontos do diagrama, à medida que cresce a curvatura, fica facilitada por meio da
adoção de leis constitutivas bilineares para ambos os materiais, e pela determinação prévia de qual
deformação notável, no aço ou no concreto, tem precedência ao longo da seqüência crescente de
curvaturas. Esta seqüência é definida entre os seguintes eventos: a fissuração da borda oposta
àquela em que se posiciona a armadura protendida (evento tomado como início do diagrama), a
fissuração da borda próxima a essa armadura, a plastificação de um dos dois materiais ou de ambos
e a ocorrência de uma deformação limite, no aço ou no concreto. Admite-se haver aderência entre
as barras da armadura e o concreto circundante, e armadura longitudinal mínima, de forma a
impedir com segurança o seu escoamento imediatamente após a fissuração. As hipóteses adotadas
permitem resolver o problema sem iteração na equação da força normal, usada para obter a
profundidade da linha neutra correspondente a uma curvatura escolhida dentro da mencionada
seqüência. Posto o problema em sua forma mais simples, pode-se destacar outros aspectos
importantes e mais gerais – ressaltados ao longo da explanação –, enfatizando-se que o foco deste
trabalho, evidentemente, está nos Estádios II e III.
2. LEIS CONSTITUTIVAS. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE E DE EQUILÍBRIO
A Figura 1 mostra as leis constitutivas adotadas para ambos os materiais.
Figura 1 – Leis constitutivas dos materiais
Para o concreto tem-se, cf. Figura 1(a):
0c : ccsc E se csccyc Efabs )( , e cc f se lim,)( cccy abs
0c : flctccsc fE ,
(1a)
(1b)
em que:
cf : resistência do concreto, a definir conforme a finalidade do diagrama momento-
curvatura. Em ensaios (rápidos), adota-se o valor médio da resistência cmf medida
σc
ec
Ecs
-fc
-ec,lim -ec,y
fct
fpy
Ep
1
1
ep,y ep,lim
ep
σp
(a): Concreto (b): Aço de protensão
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 3
experimentalmente, no projeto substitui-se cf por 8 ckcm ff em MPa, cf. o CEB-FIP
MODEL CODE 1990 (MC90). No dimensionamento da seção, usa-se no lugar de cf o
valor de cálculo cckf /85,0 . Para deformabilidade do concreto em caso de efeitos de
segunda ordem, cf é substituído por 2,1/ckf , cf. o MC90 ou 27,1//1,1 ckcck ff , cf. a
NBR 6118: 2004.
csE : módulo de elasticidade secante do concreto, igual a ccs fE 560085,0 , em MPa;
cy : encurtamento do concreto no início do patamar de escoamento, 0cy ;
lim,c : encurtamento limite do concreto, 0lim, c ;
])100
(5,1[])100
(5,11[ 7,07,0
,
hhff ctflct : resistência do concreto à tração na flexão;
h : altura da seção em mm;
ctf : resistência à tração axial do concreto (quantil estabelecido conforme a análise).
A resistência flctf , em função da altura da seção está dada no MC90 e também no
BULLETIN 55: MODEL CODE 2010. O módulo csE pode ser adaptado às leis bilineares indicadas
para dimensionamento de seções transversais (não apenas retangulares) tanto no EUROCODE 2,
quanto no BULLETIN 55: MODEL CODE 2010 (neste último, para concretos até Classe 120),
fazendo-o igual ao quociente entre a resistência atribuída ao concreto no patamar de escoamento e a
deformação do início desse patamar, conforme sejam os valores adotados nessas duas referências. O
mesmo pode ser feito, para o caso de deformabilidade do concreto para efeitos de segunda ordem,
como mencionado acima.
Para o aço tracionado, tem-se, cf. Figura 1(b):
ppp E se pyp
pyp f se lim,pppy
(2a) (2b)
em que:
pyf : resistência ao escoamento do aço de protensão. Em ensaios, usa-se o valor médio
dessa grandeza, medido experimentalmente. No projeto, troca-se pyf
pelo valor
característico pykf na deformabilidade
e por spykpyd ff / no dimensionamento da seção;
pE : módulo de elasticidade do aço de protensão, medido experimentalmente, ou igual a
GPa200 , cf. a NBR 6118: 2004;
ppypy Ef : alongamento do aço de protensão no início do patamar de escoamento;
lim,p : alongamento limite do aço de protensão, igual ao valor característico último,
35puk ‰ para cordoalhas de 7 fios, cf. a NBR 7483, e igual ao valor do alongamento
plástico residual, após a ruptura, medido no comprimento da barra igual a dez diâmetros,
605010 ou ‰ para fios, cf. a NBR 7482. No dimensionamento, deve-se tomar 10 ‰
somado ao valor de cálculo do alongamento de neutralização (ou pré-alongamento),
geralmente após as perdas progressivas de protensão, ou seja, pnp plim, ‰10 , e
.9,0p Ver a seguir a definição de pn .
Conforme mostra a Figura 2, as deformações distribuem-se linearmente ao longo da altura da seção.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 4
Figura 2 – Seção transversal em flexão composta normal: geometria, deformações e
esforços solicitantes
As equações de compatibilidade – válidas para os três Estádios – ligando as deformações à
curvatura da seção, pondo d 310 , 310 e dx / , resultam iguais a:
xdxxd
p
cy
cyccp
11
110
11
3 p
cy
cyccpd
(3a)
(3b)
em que:
: curvatura da seção, igual ao gradiente das deformações da seção, dzd ;
d 310 : curvatura adimensional;
pnpp : acréscimo de deformação na armadura protendida a partir do estado nulo de
deformação na seção (ou estado de neutralização); p é a deformação total na armadura
protendida. pn é o alongamento de neutralização (ou pré-alongamento), na pré-tração igual
ao alongamento da armadura na pista de protensão. Se for considerada a perda progressiva
de protensão, 0 rcshP , por retração ( sh ) e fluência ( c ) do concreto, e pela relaxação ( r )
do aço, a esse alongamento soma-se algebricamente a queda de alongamento dada por
)],1([ 11 pprcsh AEP com )1( 2
11 iippp IAz ;
cspp EE : coeficiente de equivalência;
ipp AA : taxa geométrica da armadura referida à área da seção homogênea;
1c : deformação (encurtamento) do concreto na borda mais comprimida;
x : profundidade da linha neutra, ou distância da linha neutra à borda correspondente ao
encurtamento 1c ;
cyx : distância entre a linha neutra e a fibra correspondente ao encurtamento cy ;
d : altura útil da seção;
z : ordenada, a partir do eixo ideal da seção homogênea, positiva para baixo;
A força de protensão pnppn AEP , aplicada na seção homogênea, e os esforços solicitantes
do carregamento ),( MN , produzem as deformações no Estádio I:
zIE
zPM
AE
PNz
ics
pn
ics
nii
(4)
d
b
h
Ap pnpp
1c
N
M
cyx cy
Eixo da seção homogênea (ou
ideal)
i-i x
zp
1z
2z z>0
ii
ziic
2c
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 5
No presente caso de flexão simples tem-se 0N , com o que o carregamento consegue
anular apenas a curvatura, mas não o encurtamento axial. A fissuração da seção é atingida nas
bordas superior e inferior quando ocorrer, em cada uma delas, a deformação csflct Ef /, . Com isto,
obtêm-se de (4) os momentos de fissuração e respectivas curvaturas:
1,21, )( iflctpncr WfzkPM , icspncr
I IEzPMcr
)( 1,1,
2,12, )( iflctpncr WfzkPM , icspncr
I IEzPMcr
)( 2,2,
(5) e (6)
(7) e (8)
Nas Equações (4) a (8), iA , iI
e 0,0 22,11, zIWzIW iiii ,
0,0 1221 zAIkzAIk iiii são, respectivamente, a área, o momento de inércia, os módulos
de resistência das bordas e as distâncias nucleares superior e inferior, referidos à seção homogênea.
Nos Estádios II e III, as equações de equilíbrio consideram a possibilidade de plastificação
dos materiais [ )/( 2
cfbdM é o momento adimensional]:
cypypppc xxsefAouAbx
12
(9a)
cypyppp
cy
c xxsefAouAx
xbf )2
( (9b)
cypypcc xxsex
dfAoux
dbx
fbdM )3
()3
(2
1
2 (10a)
cycy
cycy
cycc xxsexxdxxx
dxxbffbdM
)]3
2(
2)
2)([(2 (10b)
3. INÍCIO DA PLASTIFICAÇÃO DOS MATERIAIS. ÚLTIMO PONTO DA CURVA )(M
Através de quatro estados de deformação na seção transversal, obtêm-se quatro forças
normais (positivas se tração), propriedades da seção, a serem comparadas com a força normal
efetivamente atuante na seção, 0N . Os quatro estados decorrem das seguintes deformações na
borda comprimida e na armadura: (a):
),( pycy , (b): ),( lim,lim, pc , (c): ),( lim,pcy , (d):
),( lim, pyc , com pnpp lim,lim, e pnpypy .
Desta comparação, a condição de força normal pode ser traduzida equivalentemente em taxa
mecânica da armadura, definida por:
)( cpyp bdffA (11)
Dos quatro estados de deformação resultam as seguintes condições.
(a) O aço plastifica-se antes do concreto se y , com:
)](2[ pycycyy (12)
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 6
(b) Com ambos os materiais plastificados, o que se dá no intervalo ucup , ver (c) e
(d), o aço atinge seu alongamento limite antes da ocorrência do alongamento limite do
concreto se u , com:
)][]5,0[ lim,lim,lim, pccycu (13)
Se a desigualdade inverter o sentido, o concreto atinge seu encurtamento limite primeiro.
Identificada qual deformação limite tem precedência, resulta uma relação entre a profundidade da
linha neutra e a curvatura do último ponto da relação momento-curvatura, )()( ouM , a saber:
ucuupu ou //1 lim,lim, (14a) e (14b)
Feita a escolha de uma destas equações e substituindo u de cada alternativa, obtêm-se:
/)5,0()1/()5,0( ,lim,,lim, yccuycpu ou (15a) e (15b)
(c) O aço atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do concreto se
up , com:
)](2[ lim,pcycyup (16)
Se valer esta desigualdade obtêm-se a profundidade da linha neutra e a correspondente
curvatura últimas das seguintes equações:
lim,lim, /2,)1()1/41(5,0 pcyupupuupupu come (17) e (18)
(d) O concreto atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do aço se
uc , com:
)][(]5,0[ ,lim,lim, ypccycuc (19)
Analogamente, para esta desigualdade resultam:
)]2(/[2,)1/41(5,0 lim,
2
lim,lim, cycpycucucuucucu come (20) e (21)
A posição da fibra em que se tem cy é simplesmente igual a ucycy / .
4. ESTÁDIOS II E III
No Estádio II é válida a lei de Hooke para ambos os materiais. Desprezando a resistência à
tração do concreto, as duas equações de equilíbrio determinam a posição da linha neutra e o
momento correspondente 2,crMM , escolhida a curvatura dentro da seqüência crescente de
curvaturas.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 7
)3(6
]1)(2
1[ 2
2
cyc
pn
pp
ppfbd
Me (22) e (23)
Para a seção fissurada, a taxa geométrica da armadura é igual a )(bdApp .
Note-se que, no Estádio II, a profundidade da linha neutra decresce com a curvatura
crescente, diferentemente do que acontece no concreto armado. Estas equações resolvem facilmente
o problema, quando se arbitra a curvatura. Entretanto, pode ser necessário obter a profundidade da
linha neutra diretamente do momento fletor, para o que se resolve a seguinte equação cúbica:
066)1(3 23 pn
cy
pn
cy
pn
cy
pp
(24)
Em particular, obtém-se desta equação a profundidade II
cr 2, da linha neutra no Estádio II
correspondente ao momento de fissuração )( 2
2,2,2, ccrcrcr fbdMouM , já obtido no Estádio I.
Com estes dois valores resulta a curvatura:
)3()(6
2,
2
2,
2,2,II
cr
II
cr
cy
cr
II
cr
(25)
No Estádio III, um dos dois materiais ou ambos encontram-se plastificados, e é preciso
separar os casos em que o concreto ou o aço entra primeiro no patamar de escoamento, o que se faz
a seguir.
(a) O concreto plastifica-se antes do aço: )](2[ pycycyy
A profundidade da linha neutra no início da plastificação do concreto resulta da equação
02)1(22 ppcycy
pn
ppcy
. Para 1cypn , a raiz desta equação vale:
ppcy 2 (26)
Variando cypn , obtém-se:
]1
)1(
21)[1(
2
cy
pn
pp
cy
pn
ppcy
(27)
valendo o sinal positivo que antecede o radical se 1cypn , o que é usual para o concreto
protendido. Se, por outro lado, 10 cypn , deve-se considerar o sinal negativo. Para 0pn ,
recai-se na conhecida equação do concreto armado, na qual não há influência da curvatura, nem do
momento fletor. Calculada a profundidade da linha neutra, resulta a curvatura:
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 8
cycycy / (28)
Para curvaturas superiores a esse valor, com o aço ainda elástico, obtém-se a equação que
une a linha neutra à curvatura arbitrada:
)](2[)](2[ pypnpycydx (29)
Conhecidas a curvatura e a profundidade da linha neutra, obtém-se /cycy e o
momento de (10b). Continuando a aumentar a curvatura, o aço pode entrar no patamar de
escoamento. Se isto ocorrer, resultam a linha neutra e a correspondente curvatura, com as quais se
obtém o respectivo momento fletor:
py
pypy
pnpycy
pnpycy
pycy
pycypy
py ed
x
1)(2
)(2
2
2 (30) e (31)
Nos pontos subseqüentes da curva )()( ouM , há plastificação de ambos os materiais, e
a relação entre a linha neutra e a curvatura arbitrada resulta da equação:
)2( cydx (32)
O último ponto da curva )()( ouM já foi obtido no item 3.
(b) O aço plastifica-se antes do concreto: )](2[ pycycyy
No início da plastificação do aço, com o concreto ainda elástico, resultam a profundidade da
linha neutra e a respectiva curvatura, com as quais se obtém o momento correspondente, como
segue:
py
pypy
cy
py
py
cypy
py ed
x
1)1
21( (33) e (34)
Para curvaturas subseqüentes e o concreto ainda elástico, as forças internas permanecem
constantes, a profundidade da linha neutra diminui, mas o braço de alavanca aumenta, ainda que
pouco. A relação entre a linha neutra e a curvatura, neste caso, é:
cydx 2 (35)
O início da plastificação do concreto, se ocorrer antes do último ponto, corresponde a:
22 cycycycy edx (36) e (37)
Para curvaturas subseqüentes, o cálculo é o mesmo dado em (a).
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 9
5. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E OBSERVAÇÕES FINAIS
A seqüência de cálculo mostrada possibilita obter os vários segmentos da curva
)()( ouM , desde o Estádio I até a fissuração da borda inferior da seção, prosseguindo no
Estádio II até o início da plastificação do concreto, passando pelo início da plastificação do aço, ou
vice-versa, e terminando no ponto correspondente a uma deformação limite em um dos dois
materiais. Alternativamente, pode haver a plastificação de um material apenas, até o último ponto
da mencionada curva, como se mostrou. A Figura 5 dá um exemplo da teoria exposta, abrangendo
os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o concreto ainda elástico (
%05,0p ), ruptura do aço e o concreto já plastificado ( %20,0p ), ruptura do concreto e o aço
já plastificado ( %40,0p ), e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico ( %1p ).
Figura 5 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida,
MPafMPafmmdhb flctc 63,3,30,360/400/200// , , 5,3,07,26 lim, ccs MPaE ,
15,107,26/30, yc , aço CP-190 RB, ,200GPaEp
65,6,10,1710 lim, pnppy MPaf
Nessa figura pode-se ver que: (a) os segmentos no Estádio I são praticamente paralelos, dada
a pequena influência da taxa geométrica da armadura nas características geométricas da seção; (b) o
aumento da taxa da armadura (ou da força de protensão, para o mesmo pré-alongamento) aumenta
ambos os momentos de fissuração, 2,1, crcr MeM ; (c) o salto na curvatura no instante da fissuração
diminui com o aumento da força de protensão; (d) a extensão do patamar de escoamento aumenta
até a taxa mecânica correspondente à ruptura simultânea dos dois materiais, cf. Equação (13). No
exemplo, tem-se %38,01710
30217,0,217,0
105,3
15,15,05,3,5,13
py
cupuu
f
f . Em
seguida, esta extensão diminui para taxas de armaduras maiores; (e) no Estádio II, a relação
momento-curvatura é não-linear, o que fica visível na figura para as duas taxas de armadura
maiores; (f) para taxas muito baixas, o momento de fissuração supera o momento resistente último,
quer dizer, a seção ao fissurar passa, com um salto vertical, diretamente do Estádio I ao III, situação
que deve ser excluída no projeto, com a adoção de armadura mínima.
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
Ap / (bd) = 1 %
Ap / (bd) = 0,40 %
Ap / (bd) = 0,20 %
Ap / (bd) = 0,05 %
Mo
men
to r
esi
sten
te r
ela
tivo
: µ
=M
/(b
d^
2f c
)
fc)
Curvatura relativa: 1000κd
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 10
Figura 6 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida,
5,3,07,26,63,3,30,360/400/200// lim,, ccsflctc MPaEMPafMPafmmdhb ,
aço CP-190 RB, %2,0,0/32,5/65,6,10,200 lim, ppnpp GPaE
A Figura 6 mostra para a mesma seção, mantida constante a taxa da armadura %2,0p ,
os resultados para três valores do pré-alongamento, indo desde 0pn (concreto armado), até
65,6pn , passando pelo valor 32,5pn , o qual simula uma perda de protensão de %20 .
Além de observações da figura anterior, pode-se notar ainda: (a) o efeito da protensão
especialmente nos Estádios II e III corresponde a um recuo grande na curvatura da seção protendida
em relação à mesma seção em concreto armado, para o mesmo momento fletor; (b) no trecho final,
em que coincidem as curvas, não há influência do pré-alongamento na resistência da seção, nem na
curvatura do último ponto. Por outro lado, se essa mesma seção fosse armada com CA-50, a taxa
s seria 42,3500/1710/ ykpyk ff vezes maior, para manter a mesma taxa mecânica, donde a
relação de rigidezes à flexão no Estádio II 30,042,3/1)/()( ,, CAIICPII EIEI .
Figura 7 – Momento-curvatura para as leis parábola-retângulo e bilinear (demais dados idem Figura 5)
A Figura 7 mostra, para a mesma seção da Figura 5, as curvas )( resultantes de duas leis
constitutivas do concreto: a parábola-retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear
admitida neste trabalho. O mesmo foi feito para a seção em concreto armado, com taxas 42,3
vezes maiores, embora não apresentado aqui. Como se pode notar, apesar da grande diferença de
valores das deformações do início do patamar da duas leis ( 15,1cy na bilinear e 2cy na
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Parábola-retânguloAp/(bd)=1,0%Bilinear Ap/(bd)=1,0%
Parábola-retânguloAp/(bd)=0,4%Bilinear Ap/(bd)=0,4%
Parábola-retânguloAp/(bd)=0,2%Bilinear Ap/(bd)=0,2%
Curvatura relativa: 1000κd
Mo
men
to r
esi
sten
te r
ela
tivo
:
M/
(bd
^2fc
)
Curvatura relativa: 1000κd
Mo
men
to r
esi
sten
te r
ela
tivo
:
µ=M
/(b
d^
2 f
c)
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura 11
parábola-retângulo), as curvas são praticamente coincidentes, tanto em resistência quanto em
deformabilidade. Assim, a lei bilinear adotada para o concreto é tão boa quanto qualquer outra lei
consagrada, com as vantagens adicionais da linearidade.
A seção retangular – muito aplicada nas lajes lisas de edifícios, em radiers, etc. – é por
vezes considerada inadequada para a protensão, uma conclusão baseada apenas em dados do
Estádio I. Entretanto, após a fissuração a seção retangular se aproxima da seção T já no Estádio II, e
mais ainda no Estádio III.
Como se disse antes, as leis constitutivas apresentadas podem ser usadas tanto nos estados
limites de serviço, quanto últimos, em ensaios e na consideração da deformabilidade do concreto,
seja em peças esbeltas, seja na estimativa da capacidade de rotação plástica. No Estado Limite
Último – flexão simples, estão contemplados, através do último ponto da curva )(M , os domínios
2, 3 e 4 da NBR 6118: 2004, conforme seja a deformação limite atingida, 10lim, p ‰, no
domínio 2, e 5,3lim, c ‰ nos domínios 3 (aço plastificado) e 4 (aço elástico). Vale mencionar
novamente que a lei bilinear adotada para o concreto é indicada no Eurocode 2, item 3.1.7.(2) e no
Bulletin 56: Model Code 2010, item 7.2.3.1.5, Figuras 7.2-8 e 7.2-10, para o dimensionamento de
seções transversais (não apenas retangulares) e consideram também as classes de concreto de alta
resistência. Além disso, as equações dadas incluem o concreto armado, bastando anular o pré-
alongamento do aço, e adotar as grandezas referentes ao aço escolhido (CA-50 ou CA-60) no lugar
daquelas usadas para os aços de protensão. Por último, aplicam-se também na pós-tração com
aderência posterior, especialmente nos Estádios II e III, com a definição adequada do pré-
alongamento, uma vez que a peça e a seção correspondente se alteram ao longo de sua construção.
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de
concreto: procedimento. Rio de Janeiro, 2004.
_______ – ABNT NBR 7482: Fios de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.
_______ – ABNT NBR 7483: Cordoalhas de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.
BUCHAIM, R. O diagrama momento-curvatura sem iteração. In: V ENCONTRO TECNOLÓGICO DA
ENGENHARIA CIVIL E ARQUITETURA – ENTECA 2005. Maringá. Anais... Maringá: UEM, 2005. CD-
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