resoluçao torçao lista 3
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Adriano Alberto
1 ENG285
Adriano Alberto
Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-
areas-circ.htm
TORÇÃO
� = G . � (material linear-elástico)
� = �� . ��á�
� = �� . ��á�
�máx = �.��
�máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa.
T = torque interno resultante que atua na seção transversal.
J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm4 ou pol4]
c = raio externo do eixo
Adriano Alberto
2 � =
�.��
� = Tensão de cisalhamento
= distância intermediária
J = � ��. ��� = � ��. (���. ��)���� = 2� � ��. ������
ci = raio interno
ce = raio externo
J = �� . c4
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal circular maciça, logo:
�máx = ��
�.��
J = �� . (��� - ���)
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal tubular (eixo vazado)
dT = . dF
dF = � . dA
dA = 2� . . d
�� =
��á� => � = f( ) =
� . �!á"
=> dT = . {[� . �!á"] . (2� . . d )} =
��á� . 2� . 3 . d
T = ��.��á�
�� � ��. ������
Adriano Alberto
3
Transmissão de potência
P = �.#$#% ; & =
#$#% ; P = T . &
[P] = [W] = [N.m/s]
[&] = [rad/s] ; [f] = [Hz]
1 Hz = '���()
* = ��+,#
*
1 rad ≅ 1 raio
& = 2� . f => P = 2� . f . T
�adm = �.��
RESOLUÇÃO DA LISTA 3ª UNIDADE
PROBLEMAS ENVOLVENDO ANÁLISE DE TENSÕES
1 a 3) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão normal e a tensão de cisalhamento que se exercem em um plano paralelo à linha a–a. Adotar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio da parte sombreada do cubo elementar indicada.
Adriano Alberto
4 1)
Adriano Alberto
5 2)
Adriano Alberto
6 3)
Adriano Alberto
7
4 a 6) Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento. 4)
.! = /01230
4 = 6,5 MPa
R = 5(41 + 6,5)4 + (36)4 = 59,60075503 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 66,10075503 MPa
.!í> = .! - R = - 53,10075503 MPa
arctg(2?) = @A
012A,3 => $ = 18,57914839° (anti-horário)
?’ = 90º - 18,57914839° = 71,42085161° (horário)
2B = 90° - 2? => C = 26,42085161° (horário)
B’ = 90° - 14,03624347° =
5)
.! = 1@D,E24D,A
4 = 82,75 MPa
R = 5(82,75 I 27,6)4 +.!á" = .! + R = 151,7100065 MPa
.!í> = .! - R = 13,78999347
arctg(2?) = 01,0
J4,D3/4D,A => $
?’ = 90º - 18,44741165º = 71,55258835° (horário)
2B = 90° - 2? => C = 26,55258835° (horário)
63,57914839° (anti-horário)
82,75 MPa
(41,4)4 = 68,96000653 MPa = ��á�
151,7100065 MPa
13,78999347 MPa
= 18,44741165° (anti-horário)
71,55258835° (horário)
= 26,55258835° (horário)
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8
Adriano Alberto
9
B’ = 90° - 26,55258835° = 63,44741165° (anti-horário)
6)
.! = /14K20K
4 = - 40 MPa
R = 5(40 + 40)4 + (150)4 = 170 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 130 MPa
.!í> = .! - R = - 210 MPa
arctg(2?) = 13K
0K20K => $ = 30,96375653° (horário)
?’ = 90º - 30,96375653° = 59,03624347° (anti-horário)
2B = 90° - 2? => C = 14,03624347° (anti-horário)
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10
B’ = 90° - 14,03624347° = 75,96375653° (horário)
7 a 9) Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de tensões, resultante da superposição dos dois estados planos indicados.
*** 7)
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11 8)
Para o primeiro estado de tensão:
.! = MN2K
4 = OP�
R = OP�
Para o estado de tensão resultante:
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12 .! = QRNS 2RN.TUV(SW)S 2RNS /RN.TUV(SW)S
4 = 4MN4 = OP
R = XY@MN4 + MN.Z[\(4])4 I.K^4 + YMN.\_`(4])4 ^4 =
= XYMN4 + MN.Z[\(4])4 ^4 + (MN)04 .abcd(2?)e4 =
X(MN)0
4 + 4MN.MN.Z[\(4])0 + (MN)0
4 .afgb(2?)e4 + (MN)04 .abcd(2?)e4 =
X4(MN)0
4 + 4(MN)S.Z[\(4])0 = X(MN)
44 .a1 + cos(2?)e = .K. X12Z[\(4])
4
a�)*($)e� = '2klm(�$)
�
Logo:
R = OP. cos$
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13
.1 = .!+ R = .K+ .K. cos? = OP. (1 + cos$)
.4 = .!- R = .K- .K. cos? = OP. (1 - cos$)
2 . ?n = arctgo RN.Vpq(SW)SRNS 2RN.TUV(SW)Sr = arctgs \_`(4])
12Z[\(4])t = arctgs4\_`]. uv]4.( uv])S t = arctg(tg?) =>
=> $w = $�
9)
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14
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
.! = JK24K
4 = 50 MPa
R = 5(30)4 + (40)4 = 50 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 100 MPa
.!í> = .! - R = 0 MPa
arctg(2?) = 0K@K => $ = 26,56505118° (anti-horário)
?n = 26,56505118° + 45° = 71,56505118° (anti-horário)
?′n = 90º - 71,56505118° = 18,43494882° (horário)
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15 10) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando:
a) σy = 14 MPa; b) σy = 98 MPa.
a)
Para o estado plano:
.! = 102EA,3
4 = 55,25 MPa
R = 5(55,2)4 + (55,25 I 14)4 = 68,91010448 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 124,1601045 MPa
.!í> = .! - R = - 13,66010448 MPa
Para os círculos internos:
y1 = K/1@,AAK1K00J
4 = - 6,83005224 MPa
y4 = 140,1AK1K032K
4 = 62,08005225 MPa
b)
Para o estado plano:
.! = EJ2EA,3
4 = 97,25 MPa
R = 5(55,2)4 + (98 I 97.!á" = .! + R = 152,4550949
.!í> = .! - R = 42,04490513
Para os círculos internos:
y1 = K204,K00EK31@
4 = 21,02245256
y4 = 134,033KE0E2K
4 = 76,22754745
MPa
97,25)4 = 55,20509487 MPa = ��á�
152,4550949 MPa
42,04490513 MPa
21,02245256 MPa
76,22754745 MPa = R = ��á�
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16
Adriano Alberto
17
11) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: a) σy = +48 MPa; b) σy = – 48 MPa; c) σy = 0.
Adriano Alberto
18
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = 0J2K
4 = 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa
.!á" = .! + R = 64 MPa
.4 = .! - R = - 16 MPa
Para o estado tridimensional:
.! = A0/4K
4 = 22 MPa
R = 64 - 22 = 42 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 64 MPa
O�í{ = - 20 MPa
Adriano Alberto
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Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = /0J2K
4 = - 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 16 MPa
.4 = .! - R = - 64 MPa = O�í{
Para os círculos internos:
y1 = /4K/A0
4 = - 42 MPa
y4 = 1A/4K
4 = - 2 MPa
Adriano Alberto
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Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = /@42@4
4 = 0 MPa
R = 32 MPa = ��á� = O�á�
O�í{ = - 32 MPa
Para os círculos internos:
y1 = /4K/@4
4 = - 26 MPa
y4 = @4/4K
4 = 6 MPa
12) Determinar, para o estado de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento.
Adriano Alberto
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Para o estado plano:
.! = DK2K
4 = 35 MPa
R = 5(120)4 + (70 I 35)4 = 125 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 160 MPa
.!í> = .! - R = - 90 MPa
Para os círculos internos:
y1 = /EK210K
4 = 25 MPa
y4 = 1AK210K
4 = 150 MPa
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PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO
13) Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze. Determinar: a) A máxima tensão de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento no ponto D que fica numa circunferência de 15 mm de raio desenhada na seção extrema do cilindro; c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
T = 3 kN.m
a) ce = 30 mm = 0,03 m
J = |4 . (0,03)4 = 1,272 . 10-6 m4
�máx = @KKK.K,K@1,4D4.1K}~ = 70,755 MPa
b) � = @KKK.K,K131,4D4.1K}~ = 35,377 MPa
c) T = 4|.��á�
� � @. d � � => T’ = 4|.DK,D33.1K~
K,K@ � @. d K,K13K
= 4|.DK,D33.1K~
K,K@ . K,K13�
0 = 187,552 N.m
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23
��� . 100 =
1JD,334@KKK . 100 = 6,25 %
14) T = 2,4 kN.m
a) �máx (AB) = ?
TAB = TA = 2 400 N . m
J = |4 . (0,027)4 = 8,348 . 10-7 m4
�máx = 40KK.K,K4DJ,@0J.1K}� = 77,623 MPa
b) �máx (BC) = ?
TBC = TA + TB = (2 400 – 1 200) N . m = 1 200 N . m
J = |4 . (0,022)4 = 3,680 . 10-7 m4
�máx = 14KK.K,K44@,AJK.1K}� = 71,739 MPa
15)
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JCD = |4 . [(0,040)4 - (0,034)4] = 1,922 . 10-6 m4
40 . 106 = ���.K,K0K1,E44.1K}~ => TCD = 1 922 N . m
JAB = |4 . (0,028)4 = 9,655 . 10-7 m4
55 . 106 = ���.K,K4JE,A33.1K}� => TAB = 1 896,518 N . m
Tadm = TAB = 1 896,518 N . m
Ângulo de Torção
∅ = � �(�)#��(�).�
�P
Para torque e área da seção constantes:
∅ = ����
Para mudança de área e/ou torque e/ou G:
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25
∅ = ∑ ����
16) G = 80 . 109 Pa
a) T(3 m) = (- 20 -5) kN.m = - 25 kN.m = - 25 000 N.m
�máx = 43KKK.K,K3KY�S^.(K,K3K)�
= 127,324 MPa
b) T(1m a 2 m) = - 5 – 20 + 100 => T(2m) = 75 000 N.m
T(0 m a 1 m) = - 5 – 20 + 100 - 35 => T(1m) = 40 000 N.m
∅(1 m a 2m) = D3KKK.1
Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = 0,01457107 rad
∅(0 m a 1m) = 0KKKK.1
Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = 7,771237456 . 10-3 rad
∅Total = 0,01457107 rad + 7,771237456 . 10-3 rad = 0,022342307 rad
17) G = 75 . 109 Pa ; P = 450 N ; �adm = 30 . 106 Pa ; BC = 0,610 m ; AB = 0,380 m
Deflexão máxima de A = 0,002 m
S = ∅ . r => 0,002 = ∅ . 0,380 => ∅ = 5,263157895 . 10-3 rad
T = 0,380 . 450 = 171 N.m
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26 30 . 106 =
1D1. �S. � => c3 =
1D10D14@JJE,J => c = 0,015366854 m => d = 30,733708 mm (não
serve)
5,263157895 . 10-3 = 1D1.K,A1K
Y�S^.( )�.D3.1K� => 5,263157895 . 10-3 . c4 = 8,854107794 . 10-10
=> c = 0,020252311 m => d = 40,50462335 mm (ok)
18) G = 80 . 109 Pa ; �máx(AB) = 120 . 106 Pa ; ∅C/A = - 0,018 rad no sentido de T1
T1 = ? ; T2 = ?
T2 + T1 + T3 = 0
120 . 106 = �Q.K,KJ�
S.(K,KJ)� => T3 = - 96 509,72632 N.m
∅C/A = ∅B/A + ∅C/B
∅B/A = /EA3KE,D4A@4.@
Y�S^.(K,KJK)�.JK.1K� = - 0,05625 rad
-0,018 = -0,05625 + ∅C/B => ∅C/B = 0,03825 rad
0,03825 = (�S/EA3KE,D4A@4).4Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K�
=> T2 = 111 530,4662 N.m
T2 + T1 + T3 = 0 => T1 = -111 530,4662 + 96 509,72632 = - 15 020,73988 N.m
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***19) Os binários, aplicados, como mostrado, ao eixo de aço (G = 80 GPa) da figura, produzem uma tensão tangencial máxima de 80 MPa e torcem o extremo livre de 0,014 rad. Determine os momentos torques T1 e T2.
G = 80 . 109 Pa ; �máx = 80 . 106 Pa ; c = 0,050 m
∅T = ∅1 + ∅2 = - 0,014 rad
L1 = 0,6 m ; L2 = 0,3 m
T1 = ? ; T2 = ?
∅ = ����
J = |4 . c4
∅1 = ��.K,A
Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K� ; ∅2 =
�S.K,@Y�S^.(K,K3K)�.JK.1K�
7,639437268 . 10-7 . T1 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = - 0,014 (I)
�máx = �. � = �máx =
��S. Q
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80 . 106 =
(��2�S)�S.(K,K3K)Q => T1 + T2 = 15 707,96327 (II)
T1 = 15 707,96327 - T2
7,639437268 . 10-7 . (15 707,96327 - T2) + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014
=> 0,012 - 7,639437268 . 10-7 . T2 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014
=> T2 = 5 235,987756 N.m
=> T1 = 15 707,96327 - T2 = 10 471,97551 N.m
Obs: como os dois torques são aplicados no mesmo sentido, eles possuem o mesmo e sinal e, o somatório dos dois é igual a |15 707,96327 N.m|
Resp. da lista: 19) T1 = 10470 N.m ; T2 = 5240 N.m
20) ∅ = � �(�)#��(�).�
�P ; J =
�� . (��� - ���)
Determinando o raio menor: 4�� =
������� => rmenor =
�S4� =
�4
T(x) = T ; J(x) =?
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29
4�/�� =
4�/ �" => ce = 2r –
�+�
�/(�S)� =
�/ �" => ci = r –
�+��
J(x) =
�� . [(2r –
�+� )4 - (r –
�+��)
4] (a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4
J(x) = |4 . [(16r4 – 4 . 8r³ .
"�� - 4 . 2r .
"Q.�Q�Q + 6 . 4r² .
"S.�S�S +
"�.���� ) –
(r4 – 4r³ . "�4� - 4r .
"Q.�QJ�Q + 6r² .
"S.�S0�S +
"�.��1A�� )] =
= |4 [(16r4 – 32r4 .
"� - 8r4 .
"Q�Q + 24r4 .
"S�S + r4 .
"��� ) – (r4 – 2r4 .
"� - r
4 . 14 . "
Q�Q + r4 .
@4. "
S�S + r4 .
11A .
"��� )] =
= |.��
4 [(16 – 32 . "� - 8
. "Q�Q + 24 ."S�S +"��� ) – (1 – 2 .
"� -
14 . "Q�Q +
@4. "
S�S +
11A."
��� )]
= |.��4 [16 – 32 .
"� - 8
. "Q�Q + 24 ."S�S +"��� ) – 1 + 2 .
"� +
14 . "Q�Q - @4. "
S�S - 11A."
��� ] =
= |.��
4 [15 – 30 . "� – 7,5 .
"Q�Q + 22,5 ."S�S +
131A."
��� ] =
|.��4 [15 – x .
@K� – x3 .
D,3�Q + x2 .44,3�S +
131A.��.�0]
∅ = 4�
�.�.�4 � �"a15–x.30� –x3.
7,5�3 +x2.22,5�2 + 15
16.�4.�4e�K =>
Pela regra dos trapézios:
I = �� (y0 + y1) ; h = x1 – x0
Adriano Alberto
30 I = � �"
a15–x.30� –x3.7,5�3 +x2.22,5�2 + 15
16.�4.�4e�K
y = 1
a15–x.30� –x3.7,5�3 +x2.22,5�2 + 15
16.�4.�4e ; x0 = 0 ; x1 = L
h = L – 0 = L
y0 = 1
a15–0.30� –03.7,5�3 +02.22,5�2 + 15
16.�4.04e =
''
y1 = 1
a15–L.30� –L3.7,5�3 +L2.22,5�2 + 15
16.�4.�4e =
113/@K/D,3244,32(�¢�~)
= '£'
Logo:
I = �4 (
113 +
1A13) =
'¤��P
=> ∅ = 4�
�.�.�4 . 1D�@K =
'¤��' .�.�.+�
Cálculo da Equação Geral: ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d ¥/¦� =
¥/ �" => ce = a –
�� (, I §)
/�� =
/ �" => ci = c –
�� (� I #)
J(x) =
�� . {[a –
�� (, I §)]4 - [c –
�� (� I #)e4}
(a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4
(a - b)3 = (a – b)² . (a – b) = (a² - 2ab + b²) ( a – b) = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3
Adriano Alberto
31
J(x) = |4 . {¨0 - 4 . ̈ @ .
"� (¨ I ©) - 4 . ̈ .[
"� (¨ I ©)e@ + 6 . ̈ 4 .
. [
"� (¨ I ©)e4 + [
"� (¨ I ©)e0 - {f0 - 4 . f@ .
"� (f I ª) - 4 . f .[
"� (f I ª)e@ + 6 . f4 .
. [
"� (f I ª)e4 + [
"� (f I ª)e0}} =
|4 . {¨0 - 4 . ̈ @ .
"� (¨ I ©) - 4 . ̈ .
"Q�Q [a
3 - 3a2b + 3ab2 – b3e + 6 . ̈ 4 . "S�S [¨4 – 2ab + b²e +
"��� . [a
4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4] - { f0 - 4 . f@ . "� (f I ª) - 4 . f .
"Q�Q .
. [c3 – 3c2d + 3cd2 – d3e + 6 . f4 . "S�S [f4 – 2cd + d²e +
"��� . [c
4 – 4c³d – 4cd³ + 6c²d² + d4] }}
=> J(x) = |4 . {¨0 - x [
0¥�/0¥Q¦� ] - x³ [
0¥�/14¥Q¦214¥S¦S/0¥¦Q�Q ] + x² [
A¥�/14¥Q¦2A¥S¦S�S ] +
+ x4[¥�/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦�
�� ] - {f0 - x [0 �/0 Q�
� ] - x³ [0 �/14 Q�214 S�S/0 �Q
�Q ] +
+ x² [A �/14 Q�2A S�S
�S ] + x4[ �/0 Q�/0 �Q2A S�S2��
�� ]}}
∅ = �� � �"
J(x)�K
Pela regra dos trapézios:
I = �� (y0 + y1) ; h = x1 – x0
I = � �"J(x)
�K
y = 1J(x) ; x0 = 0 ; x1 = L
h = L – 0 = L
y0 = '
��(¬�Ik�)
Adriano Alberto
32
y1 = 1S(®�/0¥�20¥Q¦/0¥�214¥Q¦/14¥S¦S20¥¦Q2A¥�/14¥Q¦2A¥S¦S2¥�/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦�/Z�20 �/0 Q�20 �/14 Q�214 S�S/0 �Q/A �214 Q�/A S�S/ �20 Q�20 �Q/A S�S/��)
=> y1 = '
��(¯�I��)
I = �4 (
1π2(a4Ic4) +
1π2(b4Id4) ) =
�� (
'(¬�Ik�) +
'(¯�I��) )
=> ∅ =
���.| (
1(®�/Z�) +
1(³�/´�) )
ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d
∅ = ��
�.� ('
(kµ�)�/(k¶�)� + '
(kµ')�/(k¶')� ) [Equação Geral]
Fazendo ce2 = a = 2r ; ce1 = b = r ; ci2 = c = r ; ci1 = d =
�4
∅ = ��
�.| (1
(1A·�/·�) + 1
(·�/¸��~) ) =
���.| (
113·� +
1�¢¸��~
) = ��
�.| (1
13·� + 1A
13�� ) =
= ��
�.| ( 1D
13��) = '¤��
' .�.�.+� (confere com o resultado anterior)
Fazendo c= d = 0 e a = b = ce2 = ce1 = ce:
∅ = ��
�.| (1
(®�/K) + 1
(®�/K) ) = ��
�.| . 4®� =
��Y�S^.( �)�.�
=
= ��
Y��^.��.� [cilindro maciço]
Fazendo c= d = ci2 = ci1 = ci e a = b = ce2 = ce1 = ce:
Adriano Alberto
33
∅ = ��
�.| (1
(®�/Z�) + 1
(®�/Z�) ) = ��
�.| . 4
(®�/Z�) = ��
Y�S^.a( �S)�–( �S)�e.�
= ��
Y��^.(���–���).� [cilindro vazado]
Resposta da lista: �¹��
� .�.�.+� Obs: Os cálculos efetuados para a determinação da equação geral estão corretos. Logo, a diferença da resposta da lista se deve ao fato dela estar errada ou não interpretei corretamente o desenho para poder atribuir os valores corretos de a, b, c, d em relação a r.
21) ∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→
T(x) = (L – x ) . q
=> ∅ = 4
|.�. � . � a¼L– x½. qeª��K =
4¿|.�. � . � ¼L– x½ª��
K
=> ∅ = 4¿
|.�. � . (Lx - "S4 ) �
�K => ∅ = 4¿
|.�. � . (�4 - �S4 ) => ∅ =
4¿|.�. � .
�S4 => ∅ =
À.���.�.��
22)
Adriano Alberto
34
∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→
¿� =
¿(")" => q(x) =
¿."�
T(x) = (L - x) a¿2¿(")e
4 = (L - x) a¿2Á.� e
4 = a¿(�/")2Á(Â}�).� e
4 =
ÁÂ(Â}�)ÃÁ�(Â}�)Â4
=
ÁÂS}ÁÂ�ÃÁÂ�}Á�SÂ4 =
ÁÂS}Á�SÂ4 =
À(��/��)��
∅ = 4
|.�. � . � Ä(�2I�2)2� ª��K =
¿�|.�. � . � (�4 I �4)ª��
K
=> ∅ = ¿
�|.�. � . (L².x - "Q@ ) �
�K => ∅ = ¿
�|.�. � . (L².L - �Q@ ) => ∅ =
¿�|.�. � . (
4�Q@ )
=> ∅ = �À��
��.�.��
Obs: Na lista a resposta é ∅ = À��
��.�.�� . Acredito que minha resposta está correta.
___ _____ ______
Adriano Alberto
35
Cálculo para o caso de uma distribuição invertida, com zero na região engastada e q na outra extremidade:
∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→ T(x) =
(�/").¿(")4
¿� =
¿(")�/" => q(x) =
¿(�/")�
=> T(x) = (�/").Á(Â}�)
Â4 => T(x) = ¿(�S/4�"2"S)
4�
∅ = 4
|.�. � . � Ä(�2I2��+�2)2� ª��K => ∅ =
¿�|.�. � . � (�4 I 2�� +�4)ª��
K
=> ∅ = ¿
�|.�. � . (L².x – Lx² + "Q@ ) �
�K => ∅ = ¿
�|.�. � . (L².L – L.L² + �Q@ ) =>
=> ∅ = ¿
�|.�. � . �Q@ => ∅ =
À����.�.�� (resposta igual a da lista)
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO – TENSÕES EM PLANOS INCLINADOS
Adriano Alberto
36
23) Determine o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa.
.¥�!= 70 MPa ; �¥�!= 75 MPa
Dint = 25 mm ; Dext = 50 mm
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Adriano Alberto
37 �máx =
��� =
�.��Y��^.(���–���)
�máx = �. �
Y�S^.( ��– ��) => T =
�Åá�.Y�S^.( ��– ��) � =
DK.1K~.Y�S^.Æ(K,K43)�–(K,K143)�ÇK,K43 =>
=> Tmáx = 1 610,679827 N.m
*** 24) Para o eixo mostrado, determine: a) As tensões correntes no ponto A (na superfície da haste) sobre o plano B-B (o qual é normal à superfície da peça no ponto A e faz um ângulo de 40º com o eixo da mesma). Mostre essas tensões sobre um esboço ampliado da área elementar representando o ponto A; b) As máximas tensões normais ocorrentes no ponto A. Mostre essas tensões sobre um esboço representando a área elementar em torno de A.
b) �máx =
��� =
�.�Y��^.��
= �
Y��^.��
�máx = 0|.1KQ
K,3|.(K,K3)Q =>�máx = 64 . 'P£ Pa
a)
Adriano Alberto
38
Adriano Alberto
39
.1 = 64 . cos(10°) = 63,02769619 MPa �1 = 64 . sen(10°) = - 11,11348337 MPa
Obs: Na resposta da lista, os sinais estão invertidos. Acredito que minha resposta está certa. ***25) Um cilindro maciço de aço (G = 80 GPa) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa, determine: a) O diâmetro permissível máximo para a peça; b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa.
a)
60. 10A = �
K,3|.( )Q => T = £P. 'P£ . 0,5 . �.(�)� (I)
0,03 = AK.1K~.K,3.|.( )Q.1K,3.|.( )�.JK.1K� => c = 0,025 m => D = 0,050 m = 50 mm
Tmáx = 30. 10A . �.(0,025)@ = 468,75 . � N.m
b)
Adriano Alberto
40 tg? =
@0 => $C = 36,86989765°
�$C = 73,73979529°
2?P = 90° - 73,73979529° = 16,26020471°
�1 = 60 . sen(16,26020471°) = - 16,8 MPa .1 = 60 . cos(16,26020471°) = 57,6 MPa (compressão) Obs: Na lista consta Tração
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO COMBINADA COM CARGA AXI AL
26)
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27)
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28)
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29)
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30) T – Taço – TAl = 0 ; ∅A = ∅Aço = ∅Al
��È.4,30K
Y�S^.a(K,K@J)�/(K,K4J3)�e.4D,3.1K� =
��ç�.4,30KY�S^.(K,K4J3)�.DA.1K�
TAl . ((0,0285)0.76) = TAço . (a(0,038)0 I (0,0285)0e.27,5) => TAl = 0,7818 . TAço
55 . 106 = ��á�(�ç�).K,K4J3�
S.(K,K4J3)� => Tmáx(aço) = 1 999,9408 N.m
41 . 106 = ��á�(�È).K,K@J�
S.a(K,K@J)�/(K,K4J3)�e => Tmáx(al) = 2 415,7534 N.m
Logo: Taço = 1 999,9408 N.m ;
TAl = 0,7818 . 1 999,9408 = 1 563,5537 N.m
T = Taço + TAl = 3 563,4945 N.m
∅A = ∅Aço = ∅Al = 1EEE,E0KJ.4,30K
Y�S^.(K,K4J3)�.DA.1K� = 0,0645 rad = 3,696°
31) TC = 75 N.m ; G = 80 . 109 Pa
a) �máx(CD) = ?
b) ∅CD = ?
∅CD . 0,040 = ∅A . 0,060 => ∅CD = 1,5 . ∅A (I)
F = ��
K,KAK => T(engrenagem menor) = 0,040 . ��
K,KAK
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Obs: o torque de 75 N.m é distribuído para os dois eixos. Porém, faz-se o somatório dos torques apenas para o eixo CD. Acredito que não se possam somar diretamente torques de dois eixos diferentes. A parcela do torque que é transferida para a engrenagem maior, causa uma reação na engrenagem menor, porém não significa que a reação seja com um torque igual, devido às engrenagens serem de diâmetros diferentes. Como a força exercida é igual para as duas engrenagens, essa reação é igual a F . R(Eng. menor) (não o raio da engrenagem maior). A soma dessa reação com a parcela do torque que foi distribuída para o eixo CD (TCD) é igual ao torque de 75 N.m.
TCD = 75 – 0,040 . F = 75 – 0,040 . ��
K,KAK = 75 – 0,6667 . TA (II)
∅CD = (75–0,6667.ºÊ).0,200Y�S^.(K,KKA)�.JK.1K�
=> ∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (¤ I P, £££¤.��) (III)
∅A = TA.0,200
Y�S^.(K,KKD3)�.JK.1K� => ∅A = 5,03008252 . 10-4 . TA (IV)
∅CD = 1,5 . ∅A => ∅CD = 7,545123228 . 10-4 . TA (V)
Igualando III e V:
1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.ºÍ) = 7,545123228 . 10-4 . TA
TA = 1,627604166 . (75) - 1,085123697 . TA => TA = 58,54343922 N.m
TCD = 75 - 0,6667.ºÍ => TCD = 75 – 39,03091093 = 35,96908907 N.m
�máx(CD) = @3,EAEKJEKD.K,KKA
Y�S^.(K,KKA)� = 106,0121912 MPa
∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.58,54343922)= 0,044171746 rad = 2,5309°
32) G = 80 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; T = 12 000 N.m ; L1 = 1,5 m ; L2 = 2 m
Adriano Alberto
48
�máx = ? ; ∅ = ?
∅ = ���� ; �máx =
� �
T2 + T1 = 12 000 N.m => T1 = 12 000 – T2
∅2 - ∅1 = 0 => �S.4
K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� - ��.1,3
K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� = 0
=>2 . T2 = 1,5 . T1 => 2 . T2 = 1,5 .( 12 000 – T2) => 2 . T2 = 18 000 – 1,5 . T2
=> T2 = 5 142,857 N.m
T1 = 6 857,143 N.m
∅ = ∅2 = ∅1 = �S.4
K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� => ∅ = 0,0320 rad
�máx(2) = �S. � =
3104,J3D.K,K0KK,3.|.(K,K0K)� = 51 156 944,570 Pa
�máx(1) = ��. � =
AJ3D,10@.K,K0KK,3.|.(K,K0K)� = 68 209 262,750 Pa = �máx
33) G = 80 . 109 Pa ; ci = 0,025 m ; ce = 0,050 m ; T = 13 000 � N.m ; L1 = 2 m ; L2 = 3 m
�máx = ?
∅ = ���� ; �máx =
� �
Adriano Alberto
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T2 + T1 = 13 000 �N.m => T1 = 13 000 � – T2
∅2 - ∅1 = 0 => �S.@
K,3.|.a(K,K3K)�/(K,K43)�e.JK.1K� - ��.4
K,3.|.(K,K3K)�.JK.1K� = 0
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . T1
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . (13 000 � – T2)
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 0,104 - 2,546479089 . 10-6 . T2 => T2 = 15 707,96327 N.m
=> T1 = 13 000 � – 15 707,96327 => T1 = 25 132,74123 N.m
∅ = ∅2 = ∅1 = ��.4
K,3.|.(K,K3K)�.JK.1K� => ∅ = 2,546479089 . 10-6 rad
�máx(2) = �S.K,K3K
� = 13DKD,EA@4D.K,K3K
K,3.|.a(K,K3K)�/(K,K43)�e = 85 333 333,34 Pa
�máx(1) = ��. � =
431@4,D014@.K,K3KK,3.|.(K,K3K)� = 128 000 000 Pa = �máx
34) GBronze = 40 . 109 Pa ; ci = 0,050 m ; ce = 0,075 m ; GAço = 80 . 109 Pa ; c = 0,025 m ;
L = 2 m ;
T = 67 000 � . 0,3 = 20 100 � N.m
∅ = ?
∅ = ���� ; �máx =
� �
Adriano Alberto
50
TBronze + TAço = 20 100 �N.m => TBronze = 20 100 � – TAço
∅AB = ∅Bronze = ∅Aço
=> ������.4
K,3.|.a(K,KD3)�/(K,K3K)�e.0K.1K� = ��ç�.4
K,3.|.(K,K43)�.JK.1K�
=> 1,253651244 . 10-6 . TBronze = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> 1,253651244 . 10-6 . (20 100 � – TAço) = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> 0,079163076 - 1,253651244 . 10-6 . TAço = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> TAço = 1 884,95607 N.m
=> TBronze = 20 100 � – 1 884,95607 = 61 261,05627 N.m
∅AB = ∅Bronze = ∅Aço
=> ∅AB = 1JJ0,E3AKD.4
K,3.|.(K,K43)�.JK.1K� = 0,076800019 rad
35) GAço = 80 . 109 Pa ; GBronze = 40 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; LAço = 1,5 m ;
LBronze = 2,5 m ; �adm(Aço) = 130 . 106 Pa ; �adm(Bronze) = 40 . 106 Pa
∅ = ���� ; �máx =
� �
TAço + TBronze = T => TAço = T – TBronze (I)
∅Bronze - ∅Aço = 0 => �����Ï�.4,3
K,3.|.(K,K0K)�.0K.1K� - ��ç�.1,3
K,3.|.(K,K0K)�.JK.1K� = 0
Adriano Alberto
51
=> 5 . TBronze = 1,5 . TAço => 5 . TBronze = 1,5 .( T – TBronze) => 5 . TBronze = 1,5 . T – 1,5 . TBronze
=> 6,5 . TBronze = 1,5 . T => T = £, ', . TBronze (II)
TAço = T – TBronze => TAço = A,31,3 . TBronze - TBronze => TAço =
'P� . TBronze (III)
�adm(Bronze) = ������.
� => 40 . 106 = ������.K,K0KK,3.|.(K,K0K)� => TBronze = 4 021,238597 N.m
�adm(Aço) = ��ç�.
� => 130 . 106 = ��ç�.K,K0K
K,3.|.(K,K0K)� => TAço = 13 069,02544 N.m (IV)
Verificando (IV) em (III):
TAço = 1K@ . 4 021,238597 = 13 404,12866 N.m > 13 069,02544 N.m
Logo, TAço = 13 069,02544 N.m
Então:
13 069,02544 = 1K@ . TBronze => TBronze = 3 920,707632 N.m
T = 13 069,02544 N.m + 3 920,707632 N.m => T = 16 989,73307 N.m
Adriano Alberto
52
36) A máxima tensão ocorre quando o acoplamento se dá ao mesmo tempo da aplicação de T0. Se a retirada de T0 for no mesmo instante do acoplamento, a tensão em BC será zero. Se o segmento AB girou antes do acoplamento, é necessário saber o ângulo de giro.
GBC = 80 . 109 Pa ; GAB = 40 . 109 Pa ; cAB = 0,050 m ; cBC = 0,025 m ; LAB = 2,0 m ;
LAD = 1,2 m ; LDB = 0,8 m ; LBC = 1,0 m ; T0 = 15 000 N.m
∅ = ���� ; �máx =
� �
TDC = TDB = TBC
T0 = TAD + TDC = 15 000 N.m (I)
∅BC + ∅DB - ∅AD = 0 => ���.1,K
K,3.|.(K,K43)�.JK.1K� + ���.K,J
K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� –
���.1,4K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = 0
=> ���.1,K.J
K,3.|.(K,K43)�.JK.1K�.J + ���.K,J
K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� –
���.1,4K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = 0
=> 8 . TBC + 0,8 . TDB – 1,2 . TDA = 0 => 8 . TBC + 0,8 . TDB = 1,2 . TAD
=> 8 . TDC + 0,8 . TDC = 1,2 . TAD => 8,8 . TDC = 1,2 . TAD (II)
Substituindo II em I:
Adriano Alberto
53
8,8 . TDC = 1,2 . (15 000 – TDC) => 8,8 . TDC + 1,2 . TDC = 18 000
=> TDC = TDB = TBC = 1 800 N.m
TAD = 13 200 N.m
�máx(AD) = ���.
� => �máx(AD) =
1@4KK.K,K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx(AD) = 67 227 047,96 Pa
�máx(DB) = ���.
� => �máx(DB) =
1JKK.K,K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx(DB) = 9 167 324,722 Pa
�máx(BC) = ���.
� => �máx(BC) =
1JKK.K,K43K,3.|.(K,K43)� => �máx(BC) = 73 338 597,78 Pa
37)
a) �máx = ?
TAB = 18 000 . � N.m - 8 000 . � N.m = 10 000 . � N.m
TBC = - 8 000 . � N.m
b) ∅D = ?
∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC
∅AB = ���.4,K
K,3.|.(K,KJK)�.JK.1K�
∅BC = ∅BC(Bronze) = ∅BC(Aço) = ���(����Ï�).1,3
K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� = ���(�ç�).1,3
K,3.|.a(K,KJK)�/(K,K3K)�e.JK.1K�
Adriano Alberto
54
=> ���(�����).1,3.11,1KD4
K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K�.11,1KD4 = ���(�ç�).1,3
K,3.|.a(K,KJK)�/(K,K3K)�e.JK.1K�
=> 16,6608 . �ÐÑ(Ð+){Ò�) = 1,5 . �ÐÑ(�ç)) (I)
TBC = - 8 000 . � N.m = ºÓÔ(Ó�u>ÕÖ) + ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 8 000 . � - �ÐÑ(�ç)) (II)
Substituíndo II em I:
16,6608 . [ - 8 000 . � - ºÓÔ(Íçu)] = 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => - 418 731,5751 – 16,6608 . ºÓÔ(Íçu) =
= 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(�ç)) = - 23 056,89039 N.m
�ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 2 075,850835 N.m
∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC = 1KKKK.|.4,K
K,3.|.(K,KJK)�.JK.1K� - 4KD3,J3KJ@3.1,3
K,3.|.(K,K3K)�.0K.1K� =
= 0,012207031 - 0,007929166116 = 0,004277864884 rad
a)
�máx[BC(Bronze)] = ���(����Ï�).
� = 4KD3,J3KJ@3.K,K3KK,3.|.(K,K3K)� => �máx[BC(Bronze)] = 10 572 221,49 Pa
�máx[BC(Aço)] = ���(�ç�).
� = 4@K3A,JEK@E.K,KJKK,3.|.a(K,KJK)�–(K,K3K)�e => �máx[BC(Aço)] = 33 831 108,76 Pa
�máx(AB) = ���.
� => �máx(AB) =
1KKKK.|.K,KJKK,3.|.(K,KJK)� => �máx(AB) = 39 062 500,00 Pa (resp)
Eixos Sólidos Não Circulares
Tabela
�máx = �
�'.,§� ;
a × b
Obs: para a/b × 5 => c1 = c
Tubos de Parede
�méd = �
�%.��
; ∅ = ��
��.,§�.�
= c2
Tubos de Paredes Finas com Seções Transversais Fechadas
Adriano Alberto
55
com Seções Transversais Fechadas
Adriano Alberto
56 ∅ =
������ .�.% . ∮#*
�A . tA = �B . tB (fluxo de cisalhamento)
q = �méd . t
Para seção circular (t constante):
�méd = �
��%.+��
∅ = ��
0(|��S )S.�٠. 2� . rm = ��
��.+�� .�%
Para seção quadrada (t constante):
�méd = �
�%.,��
∅ = ��
0¥�� .�Ù . 4 . am = ��
,�� .�%
Para seção de triângulo equilátero (t constante):
�méd = �
%.,�� .*�{£P
∅ = ��
¥�� .K.D3.�Ù . 3 . am = ���
,�� .�%
Adriano Alberto
57
38)
a) �máx = 0,J1�¥Q => 35 . 106 =
0,J1�(K,K3)Q => T = 909,563 N.m
∅ = D,1K��¥�.� => ∅ =
D,1K.EKE,3A@.K,@43(K,K3)�.0K.1K� = 8,3953 . 10-3 rad = 0,481°
b) a = 0,070 m ; b = 0,035 m ; a/b = 2
Obs: utilizar tabela acima
�máx = �
�.¥¦S => 35 . 106 =
�K,40A.K,KDK.(K,K@3)S => T = 738,3075 N.m
∅ = ��
S.¥¦Q.� => ∅ = D@J,@KD3.K,@43
K,44E.K,KDK.(K,K@3)Q.0K.1K� = 0,500°
39) a = 0,019 m ; b = 0,0095 m ; a/b = 2 ; �máx = 100 . 106 Pa ; G = 79,3 . 109 Pa ;
∅máx = 15° = 0,2618 rad ; c1 = 0,246 ; c2 = 0,229
�máx = �
�.¥¦S => 100 . 106 =
�K,40A.K,K1E.(K,KKE3)S => T = 42,18285 N.m
∅ = ��
S.¥¦Q.� => 0,2618 = 04,1J4J3.��í�
K,44E.K,K1E.(K,KKE3)Q.DE,@.1K� => Lmín = 1,8360 m
Adriano Alberto
58
40) a = 0,030 m ; b = 0,020 m ; a/b = 1,5 ; G = 80 . 109 Pa ;
L = 0,750 m ; ∅máx = 2° = 0,0349 rad ; c1 = 0,231 ; c2 = 0,1958
�máx = ?
�máx = �
�.¥¦S =
�K,4@1.K,K@K.(K,K4K)S => T = 2,772 . 10-6 . �máx
∅ = ��
S.¥¦Q.� => 0,0349 = �.K,D3K
K,1E3J.K,K@K.(K,K4K)Q.JK.1K� => T = 174,9356 N.m
�máx = 1D0,E@3A
4,DD4.1K}~ = 63,1081 MPa (La respuesta soy yo!!!)
41) T = 300 N.m ; �adm = 60 . 106 Pa
d = ?
a) 60 . 106 = @KK�
S. Q => c = 0,014710 m = 14,710 mm
d = 2 . c = 29,42 mm
b) a = d ; b = d ; a/b = 1 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,208
�máx = �
�.¥¦S => 60 . 106 =
@KKK,4KJ.�Q => d = 28,860 mm
Adriano Alberto
59
c) a = 2d ; b = d ; a/b = 2 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,246
�máx = �
�.¥¦S => 60 . 106 =
@KKK,40A.4�Q => d = 21,660 mm
42) T = 90 N.m ; r1 = 0,027 m ; r2 = 0,030 m ; a = 0,0025 m ; b = 0,0035 m
rm = (30 + 27)/2 = 28,5 mm = 0,0285 m
�méd = �
4Ù.Í� => �a(méd) = EK
4.K,KK43.|.K,K4J3S = 7,054 MPa
�b(méd) = EK
4.K,KK@3.|.K,K4J3S = 5,039 MPa
*** 43) T = 90 N.m ; r1 = 0,038 m ; r2 = 0,040 m ; a = 0,004 m ; b = 0,002 m
Adriano Alberto
60
A total = (�� + Asegmento
Obs: na questão r ≠ l
Asegmento = Asetor - Atriângulo
2� ------ � . r2
? ------- Asetor
=> Asetor = $.+�� (? em radianos)
Atriângulo = ?
Diagonal do quadrado = l√2 = base do triângulo
Dividindo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos para calcular a altura h:
Adriano Alberto
61
r2 = (Ü√44 )2 + h2 => h2 = r2 - ÜS4 => h = X�4 I ÜS4
Atriângulo = XÜS4 . (�4 I ÜS4) = X(�.+�
� I (��
Cálculo de ?:
No mesmo trângulo retângulo, obtemos:
Fazendo ]4 = B
�vÖ>EK =
È√SSvÖ>Ý => senB = Ü√44� => B = arcsen(
Ü√44� )
=> $ = 2 . arcsen( (√��+ )
Então,
Asetor = r2 . arcsen( (√��+ )
Vamos agora calcular a área do segmento:
Asegmento = Asetor - Atriângulo
Adriano Alberto
62 => Asegmento = r2 . arcsen( (√��+ ) - X(�.+�
� I (��
Cálculo da área total:
Atotal = ÜS4 + Asegmento =>
A total = (�� + r2 . arcsen(
(√��+ ) - X(�.+�
� I (��
Obs: O arcsen tem que ser calculado em radianos
Cálculo da área média:
Am = (��� + +�� . arcsen(
(�.√��+� ) - X(�� .+��
� I (���
rm = (40 + 38)/2 = 39 mm = 0,039 m
lm = 55 – 2 – 1 = 52 mm = 0,052 m
Logo,
Am = 1,352 . 10-3 + (1,521 . 10-3) . (1,230959417) – 4,780041841 . 10-4 =>
Am = 2,746285089 . 10-3 m²
Adriano Alberto
63
�méd = �
4Ù.Í� => �a(méd) = EK
4.K,KK0.4,D0A4J3KJE.1K}Q = 4,096 MPa
�b(méd) = EK
4.K,KK4.4,D0A4J3KJE.1K}Q = 8,193 MPa
Testando a validade da equação fazendo l = r:
A total = �S4 + r2 . arcsen(
�√44� ) - X�S.�S
4 I ��0
= �S4 + r2 .
|0 - X��
0 = 4�S2|.�S
0 - �S4 = 2�2+�.�2I2�2
0 = �.+�
� (ok)
44) t = 0,0015 m ; �adm = 2,5 . 106 Pa
�méd = �
4Ù.Í�
am = 0,050 – 0,0015 = 0,0485 m ; bm = 0,020 – 0,0015 = 0,0185 m
Am = am . bm + (am – bm) . bm = bm . (2am – bm)
Am = 0,0185 . 0,0785 = 1,45225 . 10-3 m²
2,5 . 106 = ��á�
4.K,KK13.1,03443.1K}Q => Tmáx = 10,891875 N.m
Adriano Alberto
64 45) t = 0,0032 m ; T = 339 N.m ; �adm = 3,45 . 106 Pa
d = ?
3,45 . 106 = @@E
4.K,KK@4.Í� => Am = 0,01535326 m²
Am = (d – 0,0032) . (3 . 0,051 – 0,0032) + 0,0635 . (0,051 – 0,0032) = 0,01535326
=> (d – 0,0032) . 0,1498 + 0,0635 . 0,0478 = 0,01535326
=> 0,1498 . d - 4,7936 . 10-4 + 3,0353 . 10-3 = 0,01535326 => d = 0,085429372 m =>
d = 85,429 mm
Concentração de Tensão
Torção Inelástica
Tensão Residual
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