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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE-UFRN
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DAMIÃO DE OLIVEIRA ALVES
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO RECURSO DIDÁTICO NO
ENSINO E NA APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA
Caicó - RN
2015
DAMIÃO DE OLIVEIRA ALVES
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO RECURSO DIDÁTICO NO
ENSINO E NA APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA
Monografia apresentado à Coordenação do curso
de Matemática do Ceres, da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte, como exigência parcial
para obtenção do título de graduação em
Licenciatura em Matemática.
Orientadora: Profª. M.a. Maria Maroni Lopes
Caicó – RN
2015
Catalogação da Publicação na Fonte Universidade
Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Alves, Damião de Oliveira.
Resolução de problemas como recurso didático no ensino e na
aprendizagem da álgebra / Damião de Oliveira Alves. - Caicó:
UFRN, 2015.
50f: il.
Orientador : Maria Maroni Lopes.
Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Federal
do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó -
Campus Caicó.
1. Álgebra. 2. Resolução de Problemas. 3. Pensamento
algébrico. I. Lopes, Maria Maroni. II. Título.
Dedico esse trabalho a Deus, que com sua força
divina me proporcionou concluir esse curso.
Aos meus pais Maria Medeiros de Oliveira e
Manoel Alves Filho que sempre me deram forças e
estiveram comigo nos momentos mais difíceis desta
caminhada. E com perseverança e simplicidade
sempre fizeram o possível para comigo, me
proporcionando concretizar esse grande sonho.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por sempre ter me guiado e me dado perseverança para realizar mais um
sonho.
Aos meus pais Maria Medeiros de Oliveira e Manoel Alves Filho, por todas as palavras de
perseverança e pelo imenso amor e incentivo dos mesmos durante esta longa caminhada.
Aos meus irmãos Edson de Oliveira Alves, Maria Duo de Oliveira Alves Fernandes e
Edmilson de Oliveira Alves que sempre me incentivaram e me ajudaram para a conclusão
deste curso.
Ao meu tio Cícero Lopes de Oliveira (in memorian) e sua família, que me acolheu em sua
casa com todo amor e carinho.
Ao meu padrinho Joaquim Batista Neto (in memorian) que sempre me motivou na conclusão
de um curso superior.
Á toda minha família, que de algum modo contribuiu para a realização deste sonho.
Á minha querida orientadora Maria Maroni Lopes, pela enorme paciência, dedicação,
compreensão para comigo durante este trabalho.
À minha namorada, Micaelle Lorrane Reis de Sousa, que soube entender minha ausência em
alguns momentos e sempre me motivou e me ajudou na conclusão desse curso.
Á todos os meus colegas de curso, por partilharem comigo vários momentos de alegrias bem
como os conhecimentos com vocês adquiridos, e sem o companheirismo de vocês não teria
chegado até o fim.
A todos os meus amigos, que de sempre me apoiaram, agradeço por terem acreditado em
mim, há vocês o meu muito obrigado.
“O real prazer de estudar matemática está na
satisfação que surge quando o aluno, por si só
resolve um problema.”
Luiz Roberto Dante
RESUMO
Constantemente resolvemos problemas matemáticos no decorrer do nosso dia-a-dia e com
mais frequência em sala de aula, sendo esse um método relevante no desenvolvimento da
aprendizagem do aluno, o qual possibilita os mesmos a conjecturarem que só os algoritmos
matemáticos não são suficientes na resolução de um problema. Faz – se necessário adotar
determinadas estratégias, ou seja, requer um plano de ação para se chegar à solução. Assim,
essa pesquisa objetiva analisar o desenvolvimento de uma turma de 8° ano do ensino
fundamental da rede pública estadual no interior do estado do Rio Grande do Norte, no ensino
e na aprendizagem da álgebra, por meio da resolução de problemas. Para a realização desse
trabalho foi usada uma pesquisa qualitativa no qual foi aplicada uma atividade com o
propósito de analisar algumas das dificuldades dos alunos no que se refere ao pensamento
algébrico, bem como o interesse da turma em resolver problemas algébricos. Em seguida foi
aplicado um questionário com o intuito de saber sobre o conhecimento dos alunos em relação
ao conteúdo, e também seu interesse pelo ensino da matemática. O resultado da turma foi
bastante positivo, indicando que a resolução de situações problemas é um método que pode
facilitar na aprendizagem de conteúdos matemáticos.
Palavras-chave: Álgebra, resolução de problemas, pensamento algébrico.
ABSTRACT
Constantly solve mathematical problems in the course of our day-to-day and more often in
class, making a relevant method in the development of student learning, which enables them
to conjecture that only mathematical algorithms are not sufficient in solving a problem. Does -
is necessary to adopt certain strategies, ie, requires a plan of action to reach the solution.
Thus, this research aims to analyze the development of a class of 8th grade of elementary
school of public schools in the interior of Rio Grande do Norte state, in teaching and learning
algebra through problem solving. To carry out this work was used a qualitative research in
which it was applied an activity with the purpose of considering some of the difficulties of
students with regard to algebraic thinking, as well as the interest of the class in solving
algebraic problems. Then a questionnaire was applied in order to know the students'
knowledge about the content, and also his interest in mathematics teaching. The result of the
class was very satisfactory, indicating that the problem-solving situations is a method that can
facilitate the learning of mathematical content.
Keywords: Algebra, problem solving, algebraic thinking.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Resolução da questão 1 ............................................................................................ 35
Figura 2 - Resolução da primeira etapa da questão 2 ............................................................... 37
Figura 3 - Resolução da questão 2 ............................................................................................ 38
Figura 4 - Resolução da questão 3 ............................................................................................ 39
Figura 5 - Parte da Resolução da questão 4 .............................................................................. 40
Figura 6 - Resolução da questão 4 ............................................................................................ 41
Figura 7 - Resposta da questão 1 .............................................................................................. 43
Figura 8 - Resposta da questão 3 .............................................................................................. 44
Figura 9 - Resposta da questão 4 .............................................................................................. 45
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Primeiros símbolos algébricos ................................................................................ 18
Tabela 2 - Resolução de problemas algébricos por Al-khowarizmi ......................................... 20
Tabela 3 - Erros e acertos das questões da atividade ................................................................ 41
SUMARIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 13
2 HISTÓRIA DA ÁLGEBRA ................................................................................................ 15
2.1 A HISTÓRIA DOS SÍMBOLOS ....................................................................................... 17
3 ARGUMENTOS TEÓRICOS. ........................................................................................... 22
3.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA .............. 22
3.2 DISTINÇÕES ENTRE EXERCÍCIO E PROBLEMA ...................................................... 24
3.3 A IMPORTÂNCIA DA UTILIZAÇÃO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
SEGUNDO ALGUNS AUTORES ............................................................................ 25
3.4 SUGESTÕES DE COMO RESOLVER UM PROBLEMA .............................................. 27
4 PERCURSO DA PESQUISA ............................................................................................. 32
4.1 CONSTRUÇÃO DOS DADOS ......................................................................................... 33
5 ANÁLISES DOS DADOS ................................................................................................... 34
5.1 ANALISE DA ATIVIDADE ............................................................................................. 34
5.2 DESCRIÇÃO DE ALGUMAS DAS ATIVIDADES ........................................................ 35
5.3 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO ENTREGUE AOS ALUNOS ..................................... 42
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 47
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 48
ANEXOS ................................................................................................................................. 51
13
1 INTRODUÇÃO
Durante o meu ensino fundamental II tive bastante dificuldade em entender o
significado da álgebra no ensino da matemática, principalmente em aprender a utilizar a
álgebra em sala de aula já que o professor não fazia nenhuma ligação com algo mais concreto
para deixar mais claro o sentido da álgebra e sua finalidade no currículo escolar, e comumente
notei que essas barreiras eram presentes em toda a turma.
Foi em contato com a escola, enquanto bolsista do PIBID (Projeto Institucional de
Bolsa de Iniciação a Docência) e durante as disciplinas de Estágio1 III e IV. Nesse período
lecionei em diferentes turmas nos dois níveis da educação básica, como 7°, 8° e 9° anos do
ensino fundamental, 1° e 2° ano do Ensino Médio, durante minhas intervenções no
fundamental presenciei algumas dificuldades dos alunos, consideradas idênticas as que tinha
quando aluno, sempre que era necessário se trabalhar com letras e símbolos algébricos.
O estudo da Álgebra teve inicio a mais de quatro milênios pelos povos babilônicos e
egípcios, foi durante esse período que se iniciava a necessidade da substituição dos números
pelas letras, começando assim a tratar a matemática além do que se podia ver. O
desenvolvimento da Álgebra teve bastante impulso no Brasil com o surgimento da
matemática moderna2, a partir desse movimento a Álgebra ganhou seu espaço no currículo da
educação básica, assim com a Aritmética, a Geometria, e a Trigonometria a álgebra também
tinha suas competências e utilidades, em decorrência existiam bastantes dificuldades de se
introduzir no contexto da sala de aula.
É perceptível encontrar em uma turma de ensino fundamental – principalmente –
dificuldades quanto ao pensamento algébrico, uma delas é o problema que eles produzem
quanto à passagem da aritmética para a álgebra, pois ao se depararem com a álgebra eles têm
contato com uma situação totalmente nova e algumas vezes muito diferente dos
procedimentos utilizados no estudo da aritmética.
Booth (1995) relata que durante os primeiros contatos dos alunos com a álgebra, eles a
considera uma fonte de confusão e atitudes negativas talvez por não serem maduros o
1 O Estágio Supervisionado é uma disciplina obrigatória oferecida no 7°e 8° período do Curso de Licenciatura
em Matemática na UFRN, onde o aluno assume a turma do Ensino Fundamental e do Ensino Médio
respectivamente. 2 No Brasil, o Movimento da Matemática Moderna começa a tomar forma no início da década de 1960, sob
influência das ideias modernizadoras que circulavam por países da Europa e também nos Estados Unidos. Em
1959, durante o III Congresso Nacional de Ensino de Matemática, realizado no Rio de Janeiro, apareceram as
primeiras discussões sobre a modernização.
14
suficiente para se trabalhar com símbolos e letras, fazendo assim com que os mesmos criem
um receio quanto ao estudo da Álgebra.
Cada vez mais é importante que o professor procure trabalhar com seus alunos
diferentes métodos de ensino que desperte seu interesse e introduza-o no conteúdo, pois é bem
mais interessante para os mesmos estudar o que pode ser útil na sua vida prática. Assim, o
professor tem uma grande oportunidade de proporcionar no seu aluno o gosto pelo trabalho
mental, como afirma Polya (1978):
Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações
rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes,
desperdiçando, dessa maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade
dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes,
e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, poderá incutir-lhes o gosto
pelo raciocínio independente a proporcionar-lhes certos meios para alcançar este
objetivo. ( p. V)
Assim, essa pesquisa pretende apontar as contribuições da resolução de problemas no
ensino e na aprendizagem da álgebra, bem como, entender algumas das dificuldades presentes
na resolução de situações algébricas. Para obter essas respostas será aplicada uma atividade
relacionada à Álgebra com a finalidade de mostrar os resultados de se trabalhar com esse
método. Além de um questionário para identificar o grau de conhecimento do aluno com o
conteúdo algébrico.
O trabalho ficou dividido em capítulos, no qual se inicia com a introdução. O segundo
capitulo trata-se de uma breve retrospectiva histórica da álgebra. O capitulo três baseia-se no
referencial teórico, no qual apresenta – se as ideias de alguns autores sobre o uso de resolução
de problemas em sala de aula, destacando suas principais características e as contribuições de
se trabalhar com essa metodologia.
No capitulo quatro destaca-se todo percurso da pesquisa, e os instrumentos que foram
utilizados para o desenvolvimento da mesma, além da atividade e questionário utilizado para
este trabalho.
O quinto é mostrado o desenvolvimento da pesquisa, e todas as atividades envolvidas,
bem como a atividade resolvida pelos alunos e também algumas das dificuldades presentes na
aprendizagem dos mesmos e as analises das atividades. O ultimo capitulo da pesquisa, é
apresentada as considerações finais com algumas ideias de como pode ser possível mudar a
situação da aprendizagem da matemática utilizando o método de resolução de problemas, com
o fim de desenvolver o pensamento algébrico.
15
2 HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
Pode – se observar por meio de fontes históricas que o avanço da Matemática ao
passar dos séculos foi bastante significativo, grande parte das ciências exatas se derivaram de
conceitos matemáticos. Dessa forma nota-se que á matemática se tornou essencial na vida do
homem, pois a necessidade de aprender a contar e registrar fatos mostrou-se fruto da interação
do homem com o meio em que vive.
Acredita-se que o inicio da Álgebra teve forte ligação com o surgimento da escrita, já
que a escrita também é uma maneira simbólica de apresentar ideias e ocorrências. O seu
surgimento foi dado no Egito antigo e logo mais na Babilônia há cerca de quatro milênios.
No Egito antigo como afirma Guelli (2000) especificamente em Alexandria cidade
situada próximo ao Nilo, funcionava um grande centro cultural e ao mesmo tempo comercial,
donde circulava diferentes povos, tais como: judeus e cristãos, romanos, gregos, egípcios e
escravos. O museu da cidade era o principal lugar de encontro de grandes pensadores e
filósofos de todo o Império Romano do Oriente.
Durante esse período alguns dos principais matemáticos se dedicaram a estudar
principalmente a Geometria, assim o primeiro a desencadear o estudo dos símbolos com o
intuito de expressar seus pensamentos foi o matemático grego Diofante, natural de
Alexandria, tudo que se sabe dele, é apenas a seguinte mensagem escrita no seu tumulo:
“Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem
mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu sua
formosa infância. E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido
quando de pelos se cobriu o seu rosto. E a sétima parte de sua existência transcorreu
em um matrimônio sem filhos. Passou-se um qüinqüênio mais deixou-o muito feliz
o nascimento de seu primeiro filho que, entregou à terra eu corpo, sua formosa vida,
que durou somente a metade da de seu pai. E com profundo pesar desceu à
sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho. (Guelli,
1989, p. 6).
Ele criou vários métodos de resolução de equações mais por ser um período bastante
devastado por guerras, maior parte de suas ideias foram destruídas, impossibilitando o avanço
do conhecimento naquela época.
No Papiro de Ahmes3 boa parte dele encontra-se problemas do cotidiano dos povos
egípcios, por exemplo, a alimentação do gado, e que se estende até problemas sobre
“determinar um número tal que...”, neste caso não se referiam a coisas matérias, mais sim aos
3 Papiro de Ahmes - papiro egípcio encontrado em 1858, escrito em hierântico por volta de 1600 anos a.C.,
contendo 85 problemas de Aritmética e Geometria.
16
próprios números. De acordo com Boyer (1996) alguns desses problemas egípcios exigia
soluções de equações do tipo lineares, da forma x + ax = b ou x + bx = c, onde a, b e c são
determinados e x é desconhecido. O número desconhecido x é chamado de “aha”. A
civilização egípcia não utilizava a álgebra como uma ferramenta pra resolver seus problemas,
mas desenvolveram seu próprio método, que era conhecido como a regra da falsa posição ou
regra do falso. Nesse método é determinado um valor especifico para aha, possivelmente
falso, e são efetuadas operações sobre esse número falso à esquerda do sinal de igualdade.
Destaca-se aqui o exemplo citado por Pitombeira (2012):
Uma quantidade, com 1
7 dela adicionado, torna-se 19.
Este é um problema típico em que os egípcios utilizavam a regra do falso para
resolvê-lo.
Resolução na linguagem atual:
𝑥 + 1
7𝑥 = 19 ⇔
8
7𝑥 = 19 ⇔ 𝑥 =
(19 × 7)
8=
133
8
Resolução pelo método egípcio:
Se o número buscado fosse equivalente a 7, obteríamos que ele mais 1
7 dela seria igual
a 8. Como a solução que o problema sugere deve ser 19, multiplicaremos ambos os lados da
igualdade 7 + 1
7 × 7 = 8 por
19
8, obtendo
(7 × 19
8 ) +
1
7× (7 ×
19
8) = 8 ×
19
8= 19
Logo,
7 × 19
8 =
133
8
e 133
8 é a quantidade procurada.
Foi dessa maneira que se desenvolveu o processo de resolução de problemas dos
egípcios, o mais interessante é que esse método não ficou apenas restrito no Egito, pelo
contrário matemáticos de boa parte do mundo adotaram a regra do falso.
Encontra-se nos Elementos de Euclides4 uma abordagem sobre a Álgebra nos livros II
e V, em contrapartida sua Álgebra era bem diferente da que vemos hoje, onde caracterizamos
os números desconhecidos como sendo letras, e as nossas operações por símbolos =, +, -, ÷,
4 Elementos de Euclides – Foi um dos trabalhos mais influentes na história da humanidade, onde seu primeiro
exemplar apareceu em 1942. A seguir à Bíblia, foi um dos livros mais reproduzidos e estudados do mundo. Está
obra compreende-se em Treze volumes, que foram ao longo dos tempos muito estudados.
17
entre outros. Em sua Álgebra Euclides atribui aos valores incógnitos segmentos de reta,
quadrado, triângulo, retângulo, em resumo utilizava figuras geométricas.
Mas os matemáticos nunca chegaram a ter confiança no método euclidiano, talvez por
se tratar de uma forma que não se abstraísse de cálculos, outro motivo bem relevante e
notavelmente matemático era que a sua Álgebra geométrica era impossível de solucionar
alguns problemas. Segundo Guelli (1989) vários matemáticos tentaram resolver diversos
problemas durante mais de 2000 anos, pelo método de Euclides, e não encontraram resultados
satisfatórios, como por exemplo, a quadratura do círculo.
Quadrar um círculo é basicamente utilizar régua e compasso a fim de construir um
quadrado que contenha exatamente a mesma área do círculo.
Nesse vasto período vários matemáticos encontraram soluções aproximadas, para a
questão da quadratura do círculo, mais nunca uma solução exata. Só em 1882, um brilhante
matemático alemão chamado Lindermann descobriu a impossibilidade de se encontrar apenas
com régua e compasso a solução desse enigma através da álgebra geométrica: em seus
estudos ele mostrou que é impossível construir um segmento de medida √𝜋 com o auxilio de
régua e compasso.
Como afirma Guelli (1989) apenas o que se poderia realizar através de trabalhos
algébricos eram apenas encontrar valores cada vez mais aproximados do segmento √𝜋, nessa
perspectiva por mais aproximações que possamos encontrar, nunca será possível quadrar um
círculo.
Por mais que fossem bastante interessantes tanto a Álgebra geométrica de Euclides,
como a regra do falso dos egípcios, nenhuma se mostrava satisfatória e genérica, o que
tornando assim a Álgebra ainda muito frágil.
Surge então em Alexandria uma ideia que muda o rumo da álgebra, começava ali a
aparição dos primeiros símbolos algébricos, só que este em forma de abreviações de palavras.
2.1 A HISTÓRIA DOS SÍMBOLOS
A grande influencia do museu de Alexandria cessou quando por volta do século V,
alguns historiadores acreditam houve uma revolta contra o império de Julio César e atearam
fogo no museu, e nada sobrou do acervo de 50000 manuscritos e o prédio onde funcionava.
Segundo Guelli (1989) as principais obras como Aritmética produzida pelo
matemático Diofante foi de alguma forma arquivada, esta se constituía num conjunto de seis
18
livros. Obras como essa de Diofante foram introduzidas na Europa, por tradutores. E foi por
meio deles que Diofante ficou bastante conhecido por ser o primeiro a introduzir abreviações
no contexto de problemas numéricos.
Como ressalta Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) o feitio de expressar sentenças
matemáticas por meio de símbolos surgiu primeiramente com Diofante de Alexandria, o qual
começou a empregar de forma sistematizada o uso de abreviações, que promovia expressar
suas equações de maneira mais fácil.
Tabela 1 - Primeiros símbolos algébricos
Símbolos atuais Símbolos de Diofante
x + 3 = 18 x1 u3 é igual a u18
x – 2 = 12 x1 M u2 é igual a u12
x + 3 = 12 – x x1 u3 é igual a u12 M x1
x – 9 = 7 – x x1 M u9 é igual a u7 M x1
Fonte: Guelli (1989), p. 24
Podemos então entender a relação dos símbolos de Diofante com símbolos atuais, da
seguinte forma:
A incógnita é imaginada como um símbolo especial, bastante idêntico a x.
O sinal de adição não é utilizado.
A subtração é representada pelo símbolo M, ou seja, a abreviatura de menos.
A igualdade é apenas o algoritmo: é igual a.
O número na frente da incógnita x representa o seu coeficiente, neste caso o
número 1.
Os símbolos desenvolvidos por Diofante foi um marco para a passagem da Álgebra
retórica5 para a Álgebra sincopada
6, onde havia o uso de abreviações de palavras e outras
eram apenas escritas.
5 Álgebra Retórica - A Álgebra retórica se caracterizava por não usar da simbologia para expressar as operações
matemáticas e quantidades, preservava o raciocínio para o processo de obtenção de soluções de problemas, e
suas soluções eram expressas de forma verbal. 6 Álgebra Sincopada - Essa teve uma forte influência de Diofanto, em meados do século III, onde se iniciava
pela primeira vez a introdução de alguns símbolos para representar quantidades e ao mesmo tempo surgiam as
primeiras abreviações de palavras.
19
Assim não demoraria muito tempo para que se começasse a introduzir novos símbolos
e substituir todas as palavras e abreviações por símbolos. Tudo se encaminhava para que a
Álgebra avançasse e suas equações fossem expressas totalmente em símbolos, ou seja, a
Álgebra simbólica7 que utilizamos hoje.
No entanto para que ela se tornasse totalmente simbólica foi necessário bastante
tempo. Mais há que se deu essa parada da matemática antiga?
Guelli (1989) afirma que
“Essa interrupção teve como causa o imenso abalo por que passou o mundo no fim
da Idade Antiga. Depois de conquistar um território imenso, que abrangia toda
Europa e boa parte da Ásia e da África, Roma entrou em decadência. Enfraquecido
por seus próprios problemas econômicos, sociais e políticos e atacado por todos os
lados pelos povos bárbaros que se expandiam, o Império Romano ruiu. Em 476, a
própria Roma caiu em poder dos ostrogodos”. (p. 25)
Durante as conquistas por meio das guerras os romanos destruíram vários centros de
pesquisa e estudo, e as devastações causadas pelas guerras também se estenderam dentro de
todo declínio do império romano. Por esse motivo a matemática parou seu desenvolvimento e
a simbologia de Diofante não saiu do passo inicial.
Como afirma Baumgart (1992), historicamente o estudo da Álgebra volta a ser
retomado por volta do ano 650, só que dessa vez na Arábia pelo o matemático al-
Khowarizmi, ao escrever o seu primeiro livro cujo nome de Hisab al-jabr wa’al-
muqabalah, ou conhecido como Livro sobre as operações Al-jabr e qabalah, a expressão
al-jabr é restauração ou o mesmo que passar os termos para o outro lado da igualdade da
equação; e palavras qabalah que expressa redução e relaciona ao cancelamento de termo
iguais em lados diferentes da equação.
Al-khowarizmi resolvia problemas de forma análoga aos que resolvemos hoje, mas
seu método era totalmente retórico, seus problemas vinha expresso totalmente por palavras,
ate os números. Segundo Guelli (1989) ele usava só três elementos: raízes, quadrados e
números, vejam a relação dos seus elementos com nossa Álgebra atual:
Raízes associam à incógnita x
Quadrado se relaciona com o termo x²
Números com os números
Exemplo: Raízes iguais a números – 6x + 4x + 2x = 36
7 Álgebra simbólica – Pode ser considerada a etapa final da Álgebra, onde as equações passaram a ser expressas
totalmente em símbolos.
20
Vejamos a seguir, como era resolvido esse problema por Al-khowarizmi:
Tabela 2 - Resolução de problemas algébricos por Al-khowarizmi
Livro Al-jabr Livro atual
“É preciso, em primeiro lugar, que vocês
somem seis raízes com quatro raízes e com
duas raízes.
𝑥 ∙ (6 + 4 + 2) = 36
Como doze raízes valem o mesmo que trinta
e seis unidades,
12𝑥 = 36
então o valor de uma raiz é três unidades.” 𝑥 = 3
Fonte: Guelli (1989), p. 26.
Al-khowarizmi foi um matemático, que contribui bastante para a retomada dos estudos
da Álgebra, apesar das suas ideias quanto à resolução de problemas o mesmo não introduziu
novos símbolos para expressar suas equações sem usar nenhuma expressão escrita.
Durante o período de guerra entre França e Espanha, havia o predomínio de
mensagens através de códigos com o intuito do inimigo não descobrir os planos um dos
outros. A partir dai toda via que um mensageiro espanhol era preso os franceses conseguiam
decifrar suas mensagens impossibilitando que os planos espanhóis fossem adiante. Isso graças
ao inteligente e advogado francês François Viéte, devido a sua engenhosidade em decifrar
códigos.
Como afirma Guelli (1989) não foi como sua astucia em decifrar códigos que
François Viéte se destacou. Fascinado pela Álgebra, foi ele que conseguiu dar um salto bem
significativo na introdução dos símbolos no ensino da Matemática. Com o passar de seus
estudos Viéte foi substituído às palavras por símbolos nas equações. Um passo significativo
foi passar a representar uma incógnita por uma vogal, e aos poucos ele foi transformando a
Álgebra com seus símbolos até chegar à que utilizamos hoje.
Então não foi de forma repentina que a Álgebra passou a ser totalmente simbólica, isso
se deu aos poucos foi um processo bastante lento e por influência principal do matemático
François Viéte. De acordo com Guelli (1989), “além de Viéte, outros matemáticos da mesma
época contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra”, tais como o inglês Robert Record e que
como relata Baumgart (1992, p. 13):
O sinal de “=” (igual) introduzido por Robert Recorde no seu The Wheststone of
witte (1557). Ele usava o símbolo por entender que não havia coisas tão iguais
21
quanto duas retas paralelas. O simbolo √ , possivelmente uma alteração de r de radix
(raiz) introduzido por Christoff Rudoff em seu livro álgebra Die coss (1525).
Este símbolo igual “=” foi bastante utilizado por Tomas Harriiot (1560-1621) nas
resoluções de suas equações, e alcançou por meio dos seus estudos eliminarem as poucas
palavras existentes na Álgebra de Viéte. Foi por meio de matemáticos como Viéte que foi
dado o toque final ao simbolismo algébrico, chegando a Álgebra que estudamos hoje, assim a
Álgebra é uma peça fundamental para resolução de vários problemas que enfrentamos
diariamente.
22
3 ARGUMENTOS TEÓRICOS
Este capitulo é direcionado aos argumentos teóricos que embasam nosso estudo.
Assim, discutimos a resolução de problemas enquanto metodologia de ensino, o qual
destacaremos os trabalhos de: Polya (1978), Dante (2000), Onuchic e Allevato (2004). E nos
documentos oficiais como os PCN(1998).
3.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA
A matemática cada vez mais vem se desenvolvendo desde primórdios da existência
humana, assim como é bastante útil nas nossas tarefas diárias desde o simples fato de acordar
pelo despertar de um relógio, ou até o uso das mais sofisticadas tecnologias que facilitam
nosso dia-a-dia. Nesse contexto é essencial resolver por meio de conceitos matemáticos,
diversos problemas que nos cercam durante nosso cotidiano. Desse modo o principio
fundamental de se ensinar matemática, é de se tratar de forma útil para encontrar solução de
problemas.
A busca por resoluções fazem parte da matemática desde a antiguidade como foi
citado no capitulo anterior, os problemas apareceram a mais de 3,5 milênios no Papiro de
Rhind conforme Boyer (1996). Só a partir do século XX que houve o interesse de muitos
matemáticos de introduzir a resolução de problemas no currículo escolar, por reconhecer
importância da aprendizagem por meio da resolução de problemas.
A resolução de problemas é uma ferramenta relevante na aplicação da matemática.
Durante o século XIX muitos educadores indagavam que a resolução de problemas se
desenvolvia partindo de aplicações de princípios obtidos e tinha o objetivo de exercitar o que
foi aprendido, com o intuito de fortalecer conceitos matemáticos que era apresentado pelo
professor, nesse sentido o professor tinha apenas o papel de ensinar o conteúdo e cabia o
aluno apenas a função de praticar o conceito aprendido.
Nos dias atuais a resolução de problemas mostra-se na aprendizagem da matemática
como o foco de ensino e não exclusivamente como enfoque metodológico. Como é referido
nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
Resolução de problemas é um caminho para o ensino de Matemática que vem sendo
discutido ao longo dos últimos anos. A história da Matemática mostra que ela foi
construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos,
motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos),
23
por problemas vinculados a outros (Física, Astronomia), bem como por problemas
relacionados à investigação internas à própria Matemática. (BRASIL, 1998, p. 32)
Então podemos perceber que a importância de se ensinar Matemática por meio de
resolução de problemas não foi um processo que se deu de maneira instantânea, houve assim
um longo processo histórico e cientifico para reconhecer a sua relevância nas aulas de
Matemática.
Para Lupinacci e Botin (2004), a Resolução de Problemas não é apenas uma maneira
de se notar como são aplicados alguns conceitos matemáticos, mas é uma forma dinâmica que
possibilita o desenvolvimento do raciocínio do aluno e o motiva a estudar Matemática. Por
esta razão não basta apenas utilizar-se desse método, mas conhecê-lo e ter criatividade para
fazer com que os alunos participem ativamente das resoluções.
Polya (1978) define a resolução de problemas como sendo a repetição de
procedimentos que o professor faz, desta maneira o autor assemelha-se, por exemplo, quando
aprendemos a nadar:
A resolução de problemas é uma habilitação prática como, digamos, a natação.
Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar
imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manterem suas cabeças
fora d’água e, afinal, aprendemos a nadar pela prática da natação. Ao tentarmos
resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando
resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas resolvendo-os (p. 2)
Nessa visão o autor ressalta a importância da prática, para que se possa desenvolver a
habilidade de resolver problemas e reflete como a resolução de problemas está bem
relacionada com o ato de repetir os procedimentos e técnicas, de pessoas que já dominam esse
feito. A resolução de problemas é fundamental para o ensino-aprendizagem da matemática,
pois possibilita promover no aluno o desenvolvimento de seu pensamento matemático, sendo
essencial a exploração não apenas de exercícios monótonos e desestimuladores, que preservar
o ensino por meio da imitação, mais algo mais relativo com a realidade do aluno. Assim é
fundamental que o aluno não se prenda a problemas rotineiros que são apenas apresentados
em sala de aula pelo professor nos livros didáticos. É importante que o professor relacione
cada problema trabalhado com um anterior e também mostrar sua ligação com a vida
cotidiana dando assim sentido ao problema estudado, com isso é propicio que o professor
procure desenvolver no aluno a capacidade de percepção da utilidade de se resolver
problemas.
24
A utilização de conhecimentos matemáticos através de resolução de situações-
problemas pode ser bastante aproveitada como método de ensino, pois a partir de situações
bem planejadas os alunos podem ser capazes de serem instrumentos da sua própria
aprendizagem tornando-se autônomos, críticos e habilitados há criar suas próprias estratégias
com a finalidade de solucionar o problema. Como afirma o PCN (1998), a utilização de
resolução de problemas pode ser entendida como um ponto norteador das atividades
matemáticas, em compensação quando o aluno resolve um problema ele adquire um acumulo
de procedimentos que são uteis para atingirem os objetivos no processo de aprendizagem
matemática.
3.2 DISTINÇÕES ENTRE EXERCÍCIO E PROBLEMA
É necessário que fique bem claro a diferença existente entre um exercício matemático
de um problema matemático.
Dante (2000) distingue exercício de problema, do seguinte modo:
Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um
determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações
necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas. Problema ou
problema-processo é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido
e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução
de um problema-processo exige uma certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao
conhecimento de algumas estratégias. (p. 43).
Isso quer dizer que o exercício serve apenas para praticar o que foi exposto pelo
professor, e que o aluno não necessita de muita atenção e compreensão para resolve-lô donde
maior parte dos processos mecânicos já é conhecida não necessitando de novas idéias de
resolução nem um novo caminho para chegar à solução. Já um problema matemático é
modelo que necessita de descoberta de dados matemáticos e principalmente que o motiva a
pensar em uma estratégia de solução que não é tão óbvia, onde geralmente os alunos que não
são acostumados a resolver problemas primeiramente se mostram frustrados e buscam reduzir
a situação em exercícios que já lhes são rotineira.
Poder criar um ambiente participativo, dinâmico e que seja propicio a aprendizagem é
bastante comum quando se trabalha com resolução de problemas no ensino da matemática. A
seguir segundo alguns autores vamos perceber a importância da utilização desse método.
25
3.3 A IMPORTÂNCIA DA UTILIZAÇÃO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
SEGUNDO ALGUNS AUTORES
É perceptível o quanto a matemática é necessária para a existência humana, ela se
torna ainda mais significativa quando a utilizamos para suprir as nossas necessidades
particulares. No contexto escolar é importante que o professor introduza a matemática como
uma ferramenta essencial para o desenvolvimento social do aluno. Em particular no ensino e
aprendizagem da álgebra é interessante que o professor trabalhe com os alunos usando
recursos que o auxiliem na aprendizagem do conteúdo, por meio de investigação e exploração
de novos conceitos.
Uma possibilidade que possa ser utilizada a essa situação é a utilização de situações
problemas, onde tenha como foco formar no pensamento do aluno a utilidade de se estudar
Álgebra, possibilite entender que a Álgebra além de suas manipulações com símbolos, pode
ser relacionada com situações reais em seu meio. Como afirma Veloso e Ferreira (2010)
[...] é importante que os problemas a serem abordados se integrem com os outros
conteúdos algébricos e que o curso seja planejado de modo a ajudar os alunos a
desenvolverem as aptidões necessárias para resolvê-los e não apenas para dominar
técnicas algébricas. (p. 64)
Assim é importante que o aluno não apenas aprendam técnicas de manipulações
algébricas, mas saibam resolverem e analisarem problemas e aplicações de problemas reais.
A importância de se trabalhar resolução de problemas em sala de aula é salientada
pelos PNC (1998), que o aluno durante o processo de resolução faz um acumulo de
conhecimentos e desenvolve a capacidade de utilizar os dados que estão ao seu alcance tanto
dentro como fora do âmbito de aula. Segunda Polya (1978) “se o aluno conseguir resolver o
problema que lhe é apresentado terá acrescentado alguma coisa à sua capacidade de resolver
problemas” (p. 3). Nessa visão os alunos adquirem a oportunidade de aumentar seu
conhecimento matemático bem como promover sua autoconfiança, a partir do momento que
entra em contato com situações desafiadoras.
Para Dante (2000) o principal objetivo da resolução de situações-problemas é que esse
método faz com que o aluno consiga pensar produtivamente, por meio de situações
desafiadoras que os motivam a resolvê-las. Para o autor este é um motivo no qual a resolução
de problemas ganhou um espaço de grande reconhecimento em todo o mundo por ser uma
ferramenta fundamental da Matemática no 1° Grau.
26
Onuchic e Allevato (2004) relatam que “a Matemática tem se tornando ferramenta
importante para o desenvolvimento da sociedade e as resoluções de problemas matemáticos
vêem tomando um lugar importante no currículo escolar desde o inicio”. Nesse contexto a
autora deixa bem clara a influencia que a resolução de problemas tem em nosso cotidiano, e a
importância de desenvolver nos alunos a capacidade de resolvê-los a fim de tornar o ensino da
matemática mais promissor.
Dante (2000) destaca a utilização de resolução de problemas como objeto principal
para alcançar os objetivos elencados nas aulas de Matemática, entre eles a importância do
professor desenvolver desde cedo essa prática, o autor afirma que:
Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão tomar
decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim, é necessário formar
cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo
inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia,
medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. E, para isso, é preciso que a
criança tenha, em seu currículo de matemática elementar, a resolução de problemas
como parte substancial, para que desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar
situações-problema. (p. 15)
A resolução de problemas é fundamental para que o aluno consiga desenvolver
competências quanto ao estudo da matemática, e que possibilite ampliar sua capacidade de
investigação, interpretação, indagação e o exercício de criatividade. Assim essas
competências só poderão ser desenvolvidas quando o aluno se deparar com situações curiosas
e desafiadoras, situações que despertem no aluno o interesse pelo estudo da matemática.
Nessa visão onde se torna fundamental fazer com que o aluno se torne uma pessoa
habilitada a encarar situações originais e não estudadas até então, procurando adquirir novas
habilidades e conhecimentos, faz com que o processo de aprender a aprender se mostre como
um grande desafio no processo educacional. O método de resolução de problemas cria no
aluno a habilidade de procurar desenvolver seu próprio caminho para se chegar à solução, ao
oposto de esperar pela resolução trazida pelo livro didático, ou a própria solução explicada
pelo professor.
Com relação à resolução de problemas D’Ambrósio (1989) afirma que muitas vezes os
alunos se sentem desestimulados a resolver problemas, pelo fato de nunca ter visto aquela
situação ou alguma forma ou processo de resolução daquele problema expresso pelo
professor. Essa atitude faz com que os alunos desistam de procurar a solução do problema, e
assim parem de desenvolver sua capacidade de solucionar problemas. Então é importante que
o professor procure sempre trazer questões de várias naturezas, onde são solucionadas por
27
procedimentos até então não vistos, e que sejam diferentes das que estão nos livro didático
que está sendo trabalhado.
O professor deve ficar ciente que nem todo conteúdo matemático existe um aplicação
prática e imediata, por esse motivo alguns professores descartam alguns conteúdos que são
importantes para o desenvolvimento do pensamento do aluno por não conseguirem construir
uma ponte desse conteúdo com sua aplicação.
Os professores precisam buscar por meio de cogitação, maneiras de se utilizar a
resolução de problemas como método que facilite a aprendizagem dinâmica e reflexão,
seguida de um bom planejamento e de boas ocorrências de aprendizagem.
3.4 SUGESTÕES DE COMO RESOLVER UM PROBLEMA
Ao iniciar a resolução de um problema é essencial que se comece pelo enunciado,
poder ver o problema de forma ampla, com maior atenção possível. É preciso entender a
situação, entrar em contado com ele, compreender seu objetivo. Nessa primeira fase é
importante que fique bem claro o enunciado, que o aluno compreenda os dados que o
problema apresenta, o que o problema pede e principalmente quais as ferramentas que posso
utilizar para iniciar a resolução.
Polya (1978) ressalta que para se ter bom êxito na resolução de problemas o aluno
precisa seguir quatro etapas principais:
Compreensão do problema
Para que o aluno compreenda bem o problema se faz necessário que o professor faça algumas
perguntas ao aluno para estimulá-lo a começar entender o problema: O que se pede? Que
dados você tem para iniciar a resolução? Que condições são apresentadas? Existem
possibilidades de satisfazer essas condições? Elas são necessárias para a resolução? Falta
algum dado a questão? Como determinar os dados que faltam? Que procedimentos ou
formulas podem ser utilizadas?
Durante o processo de compreensão do problema, é bastante comum utilizar figuras para
analisar melhor o problema proposto, deixando claros os valores, e uso de linguagem
matemática (notações).
Construção de um plano de resolução
É fundamental estimular o aluno a pensar problemas já vistos, e qual a relação dele com o que
está sendo apresentado, e o que se pode utilizar desse problema similar no problema atual,
28
com a finalidade de construir um plano de resolução que contenham procedimentos que
podem ser utilizados na resolução, o que é necessário para iniciar a resolução.
Execução do plano
Esta fase é o momento de colocar em prática dos as suas estratégias e o plano que foi pensado.
Se a fase anterior foi bem sucedida, está de forma bem satisfatória, e também é considerada a
etapa mais fácil da resolução do problema. É necessário estimular o aluno a fazer os passos
atenciosamente, e revendo-os sempre que possível, para que seu plano ocorra conforme o
planejado e obtenha êxito. O aluno também deve ser induzido a analisar se cada passo está
coerente.
Revisão da solução
É um passo bem importante mesmo que o aluno já tenha conseguido resolver o problema,
pois a partir do retrospecto o professor pode apresentar os diversos caminhos de se chegar à
mesma resposta, além disso, fazer com que o aluno exemplifique porque tomou aquele
caminho, como chegou e pensou nele. Assim a turma vai notar que o mesmo problema pode
ser resolvido por outros caminhos e mesmo sendo diferente do caminho utilizado pelo
professor o resultado é o mesmo, com isso o professor desmistifica a questão que os alunos
têm em mente em pensam que um problema só pode ser resolvido por aquele processo
apresentado pelo professor. A partir daí a aula se torna mais participativa, e o aluno deixa de
se ater apenas a uma forma de resolução.
As fases de resolução de problemas apresentada por Polya pode ser usada a todos os
conteúdos, seja em problemas que envolvam gráficos, de representações geométricas,
medidas de superfícies, equações dos diversos tipos entre outros.
Resolver um problema não é uma tarefa fácil, um problema é uma tarefa que segue
uma série de procedimentos e sequências de operações com a finalidade de obter a solução
esperada.
Em resumo, a resposta não pode ser obtida logo de inicio, mais pode ser estabelecida.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais resolver um problema reside em:
Organize vários planos e processos de resolução (por exemplo, faça algumas
tentativas, utilize recursos e algoritmos já utilizados, estabeleça a hipótese);
Procure comparar seu resultado com o dos seus colegas;
Analise se seus procedimentos são válidos.
29
Resolver problemas não é apenas dar uma resposta utilizando procedimentos corretos,
ou apenas compreender o que está sendo sugerido, mas é conseguir aprender a dar a resposta
correta que tenha sentido lógico.
Dante (2000) relata brevemente algumas sugestões de como o professor deve
introduzir em sua sala a resolução de problemas:
“Apresente um problema desafiador, real e interessante, e que não seja resolvido
diretamente por um ou mais algoritmos. Dê um tempo razoável para que os alunos
leiam e compreendam o problema. Facilite a discussão entre eles ou faça perguntas
para esclarecer os dados e condições do problema e o que nele se pede. Procure
certificar-se de que o problema está totalmente entendido por todos. Lembre-se de
que uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é ler e
compreender o texto.” (p. 52)
Faz-se necessário que o professor promova um espaço de leitura que possibilite a
compreensão do problema, e certifique-se que o mesmo fique bem claro para toda a classe,
para assim começar a resolução do problema. Atitudes que os professores devem tomar
durante a resolução de um problema segundo Dante (2000):
1- Promover discussão entre os alunos de forma simples e objetiva, que lhes forneçam
dados necessários à resolução do problema;
2- Analisar se o problema foi bem interpretado por toda a turma;
3- Tenha em mente que a maior barreira dos alunos durante a resolução é a compreensão
e leitura do problema;
4- Logo depois estabeleça mais um pouco de tempo para que os alunos procurem
resolver por si só o problema, pois eles necessitam mais de tempo pra trabalhar no
problema do que direção para solucioná-los;
5- Criar entre a sua turma um espírito de procura e descoberta, mostrando que mais
importante do que a solução é maneira como chegou a ela, por qual caminho se
sucedeu sua solução, de maneira a aumentar sua capacidade de resolver problemas.
Nessa visão esses não são passos infalíveis, mais apenas uma boa sugestão de como se
deve começar a pensar e analisar o problema, e qual iniciativa para iniciar a resolução do
problema e que podem ser aplicados a problemas de vários tipos.
Dante (2000) afirma que:
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos,
habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas
uma variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente
desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor. (p. 30)
30
Assim é fundamental que o professor seja agente principal nas atividades de resolução
de problemas, e que partam dele as iniciativas e indagações que serão feitas para que desperte
nos seus alunos a capacidade de pensar matematicamente, com o propósito de adquirirem a
habilidade desde cedo enfrentar situações problemas. Nessa concepção surge a necessidade da
boa formação do docente, para que ele encontre novos métodos a fim de atrair a atenção do
aluno para produção do seu conhecimento, visando o uso de resolução de problemas como
metodologias de ensino. Diante disso Rocha (2011) em seu artigo propõe que:
Deve-se utilizar, nesse processo, material pedagógico adequado, através da
exploração de situações problema, para que ele possa compreender a substancial
importância para o aprendizado, seria uma forma bastante interessante para o
desenvolvimento de conceitos algébricos. (p. 2).
Cabe ao professor levar materiais adequados com a finalidade de dar sentido ao
conteúdo que está sendo trabalhado e promover um ambiente de investigação e exploração
das situações propostas, que interligue a Álgebra com suas reais aplicações, fazendo-lhes
perceber que a resolução de problemas deve ser, na verdade, uma prática estimuladora e
criativa de se incentivar os alunos a pensarem estrategicamente e não servir apenas para
adquirirem procedimentos repetitivos necessários a resolução de situações no âmbito escolar,
mas adquirirem maturidade para resolver diversos tipos de problemas que temos contado em
nosso dia-a-dia.
Assim segundo alguns autores como Dante (2000), Polya (1989), Onuchic e Allevato
(2004) há um grande beneficio na utilização de Resolução de Problemas, tais como:
A Resolução de problemas desenvolve no aluno a capacidade de raciocínio
lógico e proporciona utilizar de maneira adequada os dados que lhes são
disponíveis.
Resolução de problemas promove no aluno o pensamento da utilidade de se
estudar matemática, ou seja, resolver problemas de certa forma dar sentido a
matemática;
Resolver problemas cria no aluno um sentido explorador e dinâmico, sendo
capazes de utilizar os procedimentos adquiridos em situações do seu cotidiano.
Professores que utilizam resolução de problemas como método de ensino, se
sentem motivados e gratificados pelo sucesso que seus alunos têm quando
resolvem problemas e chegam por si só a solução. Assim o professor que
explora de maneira correta esse método já mais deixa de se utilizar desse
método.
31
A partir da aplicação por meio da resolução de problemas dos conceitos
ensinados pelo professor, os conteúdos passam a ter mais significados para
seus alunos.
A resolução de problemas permite a interação entre o professor e o aluno.
Durante a resolução de um problema desafiador os alunos se sentem
encorajados a questionar o professor e a fazerem perguntas entre eles.
Assim a resolução de problemas é considerada fundamental no ensino e na
aprendizagem da matemática. E é importante que o professor antes de tudo planeje bem como
será apresentada e dirigida à aula, e procure sempre levar aos seus alunos não todo tipo de
problemas, mais sim situações adequados a necessidade do conteúdo e principalmente da
turma. Problemas que o aluno possa botar em jogo tudo que aprendeu até então, para buscar a
solução do problema que até então não se sabe. Portanto, o ponto inicial das questões
matemáticas não são os conceitos, mas sim o problema. Durante o processo de aprendizagem
os conceitos matemáticos precisam ser inseridos juntamente com a exploração do problema,
ou seja, em situações em que os alunos necessitam desenvolver algum processo de resolução.
Onuchic e Allevato (2004) considera que, lecionar matemática com auxilio de
resolução de problemas pode ser uma das abordagens mais significativas, pois maior parte dos
conceitos e estratégias matemáticas é adquirida por meio da resolução de problemas durante
as aulas de matemática. E que resolver problemas se objetivam em mirar várias linhas do
conhecimento e tem como propósito:
[...] fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar idéias
matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar e escrever
sobre leas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas
matemáticos e de fora da matemática, e desenvolver a capacidade de resolver
problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles
(ONUCHIC E ALLEVATO, 2004, p. 218).
Nessa perspectiva para que essas concepções e habilidades possam ser atingidas é
fundamental que seja excluído o ensino por meio da repetição, que segundo Onuchic e
Allevato (2005, p. 215) “está estratégia didática não tive o sucesso esperado durante muito
tempo”.
32
4 PERCURSO DA PESQUISA
O presente estudo discute aspectos de uma pesquisa de campo, quem tem por objetivo
investigar a importância da utilização da resolução de problemas como estratégia didática no
ensino e na aprendizagem da Álgebra. Optou-se por uma pesquisa qualitativa que de acordo
com Flick (2009, p. 37), “a pesquisa qualitativa dirige-se à análise de casos concretos em suas
peculiaridades locais e temporais, partindo das expressões e atividades em seus contextos
locais”.
A referida pesquisa foi realizada, em uma turma do 8° ano do Ensino
Fundamental, uma escola da rede pública estadual no interior do Rio Grande do Norte. A
turma é composta por 27 alunos, no qual boa parte da turma é fora de faixa – já que alguns
estão repetindo novamente essa série. A clientela da referida escola é bastante diversificada
quanto à idade, classe social, economia e cultura. Em grande maioria os pais dos alunos são
autônomos, profissionais liberais, e funcionários públicos municipais e estaduais. Muitos de
nossos alunos já desenvolveram atividades produtivas, principalmente a clientela do turno
noturno. Trabalham no comercio, nas pequenas indústrias da cidade, e de prestadores de
serviço como; moto taxi, cabeleleiro, manicure, entre outros.
Por ser localizada no centro da cidade, recebe alunos de bairros mais afastados e de
alguns sítios, assim necessitando se deslocarem em ônibus até a escola. Atende da Educação
Básica nas etapas de Ensino Fundamental, anos finais, Ensino Médio Modalidade Normal.
Iniciou suas atividades educacionais no ano de 1960.
Um dos objetivos da escola é desenvolver um trabalho integrado e participativo
envolvendo todos os segmentos e a comunidade escolar, visando à aquisição, geração e
aplicação do saber, de valores e de princípios éticos voltados para a formação humana integral
e profissional do educando, e a formação continuada do professor.
O corpo docente é formado por 32 professores que são funcionários efetivos do Estado
do Rio Grande do Norte, distribuídos em dois turnos. Cumprem uma carga horária de 30
horas/aulas semanais, sendo 20 horas em sala de aula e 10 horas para atividades extraclasses.
O corpo administrativo, técnico e de apoio é composto por 35 funcionários efetivos da
Secretaria de Educação, Cultura e Desportos do Estado do Rio Grande do Norte, distribuídos
nos turnos matutino e vespertino.
33
A escola vivencia uma gestão democrática e participativa, procurando agir com ética e
bom senso na defesa dos direitos e no comprimento dos deveres, envolvendo todos os setores
nesse processo, buscando, com isso, a qualidade da educação e dos trabalhos oferecidos.
4.1 CONSTRUÇÃO DOS DADOS
Como posto, nosso estudo foi realizado numa turma de oitavo ano do ensino
fundamental de uma escola publica. Inicialmente tivemos contato com a turma enquanto
bolsista do PIBID atuando na referida escola desde 2014. A escolha pela turma se deu, devido
a professora Supervisora8 do PIBID desenvolver suas atividades nela.
Os nossos encontros acontecem semanalmente, sendo duas aulas de 50 minutos e
horários para planejamento. Atuamos sempre em conjunto com a professora supervisora, onde
ela nos orienta enquanto as atividades estão sendo encaminhadas aos alunos.
A coleta de dados em nosso estudo se deu em dois momentos distintos, o primeiro
instrumento de coleta de dados foi à aplicação de uma atividade com a finalidade de analisar o
conhecimento dos alunos e suas principais dificuldades no ensino da Álgebra, com o auxilio
de situações-problemas que envolvem manipulações algébricas. Essa atividade contribuiu
para conhecer o desempenho e o nível de entendimento dos alunos com o conteúdo algébrico,
bem como o valor de usar situações interessantes para o desenvolvimento da aprendizagem da
matemática e o interesse que o aluno promove em resolver problemas que os desafiem.
O outro instrumento de coleta de dados foi um questionário aberto, que tem por
objetivo coletar o conhecimento dos discentes em relação ao ensino da Álgebra. Este por sua
vez ajudou a compreender o pensamento dos alunos em relação o ensino da matemática, bem
como suas limitações no estudo da álgebra.
Após as coletas de dados foi feita uma análise, de acordo com as respostas dos
discentes nos dois instrumentos citados.
8 Professor supervisor do PIBID - É o professor da escola pública que acompanham onde os bolsistas do
PIBID atuam. O mesmo orienta e viabiliza as atividades dos bolsistas na escola.
34
5 ANÁLISES DOS DADOS
As analises foram realizadas a partir de dois pilares, a primeira analise será feita por
meio das questões que foram aplicadas na atividade, onde foram investigados os critérios de
interpretação, de como o aluno chegou à resolução dos problemas, e suas estratégias de
resolução de problemas, bem como suas dificuldades no conteúdo. Para assim ter noção de
como está o processo de aprendizagem da álgebra na turma em questão.
Logo em seguida a próxima análise é mediada por um questionário aberto, que tem
por objetivo mostrar o conhecimento que os mesmos têm sobre a álgebra, e também seu gosto
pela matemática, permitindo que mostre o seu pensamento de como pode ser aplicado aquele
conteúdo no seu cotidiano e relatar o seu contato com a resolução de problemas.
5.1 ANALISE DA ATIVIDADE
Nesta atividade foi explorada com clareza a resolução de situações problemas como
suporte para as aulas de matemática, no qual se baseava em questões que são típicas do
cotidiano do aluno, para assim proporcionar que os alunos se motivassem a resolvê-los.
A atividade (anexo 1) está estruturada da seguinte forma:
Uma questão de nível fácil;
Duas questões de nível intermediário;
E uma de nível difícil.
Para que dessa forma fosse possível fazer uma análise mais ampla de como é o
desempenho da turma e principalmente o nível de aprendizagem dos mesmos.
Foi entregue a turma a atividade com a ajuda da professora da disciplina aos alunos,
apenas dezenove alunos estavam presente na sala de aula. Orientamos os alunos a resolverem
as questões que estivessem ao seu alcance e, sobretudo a fazerem todos os cálculos
necessários para chegar à solução, e principalmente os induzindo a deixarem os cálculos em
uma folha separada que seria entregue no final juntamente com a atividade, mostrando que
além da solução era fundamental expor como chegou até a solução.
Assim foi bastante trivial notar que ocorreram diversos erros bem comuns entre eles,
mostrando assim uma linearidade no pensamento, porém de modo errado. E por consequência
apresentaram algumas dúvidas durante a atividade, porém foram guiados a resolverem sem
nenhuma ajuda.
35
Utilizar de inicio uma questão interessante e mais fácil despertou nos alunos o
interesse para procurarem resolver as demais. A primeira questão compreendia em analisar o
desenho de uma balança e os dados que eram fornecidos no enunciado, para assim começar a
montar seu problema e sua estratégia de resolução. Nesta questão não era necessário um plano
de resolução mais sofisticado, bastava somente que o aluno interpretasse bem o que o
problema estava propondo. A questão foi à seguinte:
5.2 DESCRIÇÃO DE ALGUMAS DAS ATIVIDADES
Questão 1
A professora de matemática propôs trazer uma balança para sua turma com a
finalidade de trabalhar com seus alunos o peso de alguns objetos. A professora trouxe pesos
convencionais e alguns objetos que tinha a possibilidade de deixar a balança em equilíbrio,
como mostra a figura a seguir:
Sabendo que as caixinhas têm o mesmo peso, qual é o peso de cada caixinhas?
Figura 1 – Resolução apresentada por uma aluna.
36
O objetivo aqui era notar a capacidade do aluno conseguir, transferir um problema de
uma linguagem corrente para a linguagem algébrica, tendo o raciocínio de perceber que se a
balança esta em equilíbrio significa que os objetos dos pratos serão iguais, também ter a
percepção por meio da figura que as caixinhas são todas iguais, e então notarem que todas têm
o mesmo peso.
Os alunos já estão tão acostumados com exercícios repetitivos, que na resolução
apresentada pelo aluno sua maior preocupação é apenas utilizar algoritmos matemáticos que
já são conhecidos de maneira mecânica, mesmo a resposta estando correta é perceptível que o
aluno já tem em mente os procedimentos necessários para o desenvolvimento do problema,
ocasionando assim apenas uma espécie de repetição de procedimentos já utilizados.
Porém nessa questão todos eles tiveram êxito na resolução, conseguiram chegar à
resposta correta, mas com alguns procedimentos incorretos que são fáceis de corrigir com a
ajuda de mais situações deste tipo. Aqui podemos perceber que se o aluno consegue
interpretar bem a questão, e entender o que se pede e saber separar todos os dados que poderá
ser utilizado ele terá uma boa probabilidade de conseguir solucionar o problema. E, por
conseguinte adquirirem maturidade para resolverem problemas que surgiram adiante, não
apenas no âmbito escolar mais em sua vida em sociedade.
Desse modo o professor precisa sempre mostrar ao aluno que a escola é o modelo da
sociedade em miniatura e que suas atitudes poderão influenciar diretamente na sua
convivência em sociedade, bem como na matemática ou em outras disciplinas devem mostrar
a importância de desde cedo aprenderem a resolver problemas.
A questão seguinte por sua vez foi mais bem elaborada, e exige mais um pouco de
atenção e uma interpretação minuciosa para assim estabelecer um plano de resolução e
começar a resolvê-la. Pois a mesma está dividida em duas etapas. Na primeira deve-se aqui
representar a situação por meio de uma equação do primeiro grau, para assim encontrar
quantos anos deve trabalhar essa pessoa para quando somar com sua idade ela tenha direito a
se aposentar como é informado no enunciado da questão. Na segunda etapa o aluno deve
perceber que a cada ano de trabalho a pessoa também aumenta um ano em sua idade, assim
ele deve raciocinar dessa forma para sim descobrir que se deve dividir por dois o valor
encontrado na equação estabelecida na primeira etapa. A questão foi a que segue:
Questão 2
37
Em uma reunião previdenciária, no qual estava em discussão à questão da
aposentadoria, ficou decidido que o trabalhador só poderia se aposentar quando a soma da sua
idade com os anos de trabalho fosse igual a 95. Assim com que idade uma pessoa que
começou a trabalhar com 25 anos, vai ter o direito a aposentadoria?
Foi possível notar um bom desempenho da turma na primeira etapa da questão, maior
parte da turma conseguiu interpretar a questão e montar a situação a ser resolvida, assim
encontrando a variável desconhecida. Mas podemos notar na resolução dessa etapa que eles
deduziram que o valor da variável, já seria a idade com que a pessoa teria o direito de se
aposentar. Como segue na resolução feita por um aluno:
Figura 2 - Resolução da primeira etapa da questão 2
Resolução apresentada pele Aluno B
Foi possível observar neste problema que a preocupação do aluno é apenas encontrar o
valor de “x”, porém não procuram fazer uma revisão da sua resposta, para procurar algum
erro existente na sua solução, ou mais ainda, algum outro dado que esteja implícito do
enunciado, para assim dar a resposta correta. De tal modo é perceptível que eles não se
perguntam se a resolução está totalmente concluída ou se existe algo há mais nesse problema
que não foi utilizado. Como afirma Polya (1978) é sempre essencial que o aluno seja induzido
a fazer uma revisão da sua resposta, com fins de verificar se realmente executou o plano de
resolução do problema corretamente.
Na segunda etapa que necessitava de um mais um pouco de raciocínio, apenas três
alunos conseguiram encontrar a resolução, ele percebeu que a variável desconhecida devia ser
dividida por dois, como é apresentado a seguir:
38
Figura 3 - Resolução da questão 2
Resolução apresentada pelo Aluno C
Na terceira questão boa parte da turma conseguiu encontrar a solução, pois a mesma
compreendia em montar um sistema de equações com os dados que lhe eram fornecidos,
apenas caberia ao aluno o dever de interpretar bem o problema para assim retirar os dados
corretos, para formar o sistema. O problema é o seguinte:
QUESTÃO 3
No início do ano letivo, o Centro Educacional José Augusto – CEJA distribuiu
materiais escolares. Foram distribuídos 350 kits, no qual cada aluno recebeu dois kits um de
cadernos (C) e um de canetas (K). Sabendo que o kit de cadernos contém dois cadernos e o
kit de canetas contém quatro canetas, onde no total foram entregues 920 unidades dos dois
materiais. Assim quantos foram os kits de cadernos e quantos foram os kits de canetas?
Não houve grande dificuldade da turma em resolver esse problema, pois já tinha
acabado de estudar esse conteúdo e assim dominavam bem os procedimentos que eram
necessários à resolução.
39
Figura 4 - Resolução da questão 3
]
Resolução apresentada pela Aluna D
Alguns alunos erraram apenas por escrever o valor à direita da igualdade de forma
errada, assim ocasionou o erro da questão.
A última questão é a que consideramos de grau difícil, por sua vez é mais bem
elaborada e requer que o aluno, utilize seu raciocínio para imaginar a situação além do que se
podia imaginar. Esta questão consiste em três itens, onde os dois primeiros têm a finalidade
de induzirem a linearidade que existe na questão, para assim conseguir responder o próximo
item, que se sustenta em uma generalização do problema. A dificuldade do aluno seria em
pensar no numero infinito de mesas e utilizar algo que estava sendo comum nos itens
anteriores, e por fim determinar o que se pede no problema. Segue a questão:
QUESTÃO 4
Pedro foi para um aniversário com sua família, que é composta por 14 pessoas, ao
chegar à festa a família será direcionada a uma mesa. Sabendo que as mesas, do aniversário,
têm formato quadrada com lugar para quatro pessoas, e que todas as mesas são iguais.
Levando – se em consideração que duas mesas juntas têm lugar para seis pessoas, três mesas
juntas têm lugar para oito pessoas e assim sucessivamente. Responda:
a) Quantas mesas ocuparão a família de Pedro?
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b) Se chegar mais seis amigos de Pedro para sentar-se com ele e sua família, quantas
mesas serão necessárias para acomodar todos?
c) Se quisermos unir um número indefinido de mesas, o que se pode afirmar sobre o
número de lugares que estarão disponíveis?
O maior percentual de erros se deu no último item dessa questão, as resoluções
mostraram o quanto é difícil para a turma perceber uma regularidade e a partir disso retirar
alguma conclusão para prosseguir na resolução, não conseguindo assim imaginar algo que não
se podia contar. Podemos assim notar o quanto a aritmética está distante da álgebra, pois nos
primeiros itens os alunos resolveram de forma aritmética apenas contando o número de mesas
por processo de contagem e chegando até a representar a situação por desenhos. Já no
próximo item não conseguiam ter uma idéia de como afirmar o número de pessoas possível
para sentar-se em um numero “x” de mesas talvez porque não podiam contar o número de
mesas ali presentes eles não conseguiram ter êxito nessa questão.
Figura 5 - Parte da Resolução da questão 4
Resolução apresentada pela Aluna E
Poucos alunos conseguiram visualizar quais procedimentos seriam viáveis para a
generalização desse item do problema. Então os alunos foram orientados a fazerem uma
análise com mais um pouco de atenção nos itens anteriores, com o objetivo de perceber algum
artifício que poderia ser utilizado na solução do próximo. Assim alguns deles conseguiram
levantar o seguinte pensamento: percebemos que na ponta da mesa só há lugar para uma
pessoa, e como as mesas estão todas juntas, então existe mais dois lugares na segunda mesa,
assim analogamente para a terceira e asa demais, lembrando que a última mesa terá sempre
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um lugar na ponta, como podemos ver a aluna que apresenta a resolução do problema é um
caso particular, pois é perceptível notar a capacidade da mesma em imaginar tal situação,
assim segue a resolução:
Figura 6 - Resolução da questão 4
Resolução apresentada pela Aluna F
Na tabela 1 e no gráfico da figura 6 podemos ver como foi o rendimento da turma na
aplicação da atividade, e daí podemos perceber quais foram às maiores dificuldades na
aprendizagem da álgebra encontradas pela turma durante as resoluções. E também analisar se
há atividade proposta contribuiu para aprendizagem da turma.
Tabela 3 - Erros e acertos das questões da atividade
Atividade Acertos Erros
Questão 1 19 0
Questão 2 3 16
Questão 3 13 6
Questão 4 7 12
Fonte: Tabela elaborada pelo autor
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Figura 7 – Gráfico dos erros e acertos cometidos pelos alunos
Fonte: Arquivo do autor
È possível perceber que o maior percentual de erros foi na questão 2, onde os alunos
teriam que perceber a outra etapa da questão que estava implícita, para assim solucionar o
problema. No gráfico é visível que a turma conseguiu se sair bem na atividade, mostrando
assim que o nível da aprendizagem da álgebra está regular.
Então é bastante significativo se trabalhar com situações interessantes que despertem
no aluno o prazer por aprender, descobrir e pensar fazendo com que a aula se torne mais
dinâmica e ao mesmo tempo criando um espaço de aprendizado, são essas e muitas outras
contribuições que os problemas cotidianos trazem para o ensino da matemática, trabalhar
dessa forma não é mais do que levar seus alunos para dentro do conteúdo.
5.3 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO ENTREGUE AOS ALUNOS
Este questionário foi elaborado com o intuito de analisar o conceito dos alunos sobre
educação matemática e também o conhecimento dos mesmos sobre o conteúdo da Álgebra.
Assim o questionário foi entregue aos vinte anos presentes na sala de aula. Os alunos foram
orientados a responderem o questionário de acordo com sua própria opinião.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Questão 1Questão 2
Questão 3Questão 4
Acertos
Erros
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A primeira questão foi elabora com o objetivo de conhecer a afinidade dos alunos com
a matemática, assim os alunos foram induzidos a responderem qual o seu gosto pela
matemática, justificando sua resposta para assim podermos entender quais os motivos que
fazem maior parte dos alunos temerem a matemática.
Figura 7 - Resposta da questão 1
Resposta apresentada pelo Aluno G
Parte da turma relatou que não gostam de estudar Matemática, pelo motivo da mesma
ser bastante complicada e além de tudo exige muita concentração e raciocínio para resolver as
atividades abordadas durante as aulas, afirmando que muitas vezes não conseguem entender o
conteúdo que está sendo exposto pelo professor. Quando não é possível introduzir a
matemática com a realidade dos alunos eles se sentem desmotivados a estudarem e começam
a temer a matemática, passando a não ter sentido e muito menos utilidade para eles.
A outra parte da turma apontou gosto pela disciplina, segundo eles a matemática é
essencial para resolver suas tarefas diárias tanto na escola como durante o seu dia, e
principalmente para desenvolver seu raciocínio bem como para lhes auxiliar em estudos
posteriores. Assim é fundamental o professor instigue os alunos a perceberem a aplicação dos
conteúdos expostos na sala de aula em seu cotidiano, fazendo com que desperte nos alunos
um interesse por estudar matemática já que a mesma vai facilitar o desenvolvimento da sua
vida em sociedade.
A questão seguinte trata-se de conhecer o contato dos alunos com a álgebra, se já tinha
estudado o conteúdo de Álgebra em alguma serie anterior, e em seguida o que eles pensavam
sobre o conceito de álgebra. A finalidade dessa questão é identificar o conceito desse
conteúdo pelos discentes para assim entender suas maiores dificuldades em se estudar álgebra.
Os alunos mostraram não ter um conceito bem definido sobre esse conteúdo, levando a
pensar que á álgebra baseia-se apenas em utilizar letras para resolver problemas propostos em
sala de aula, ou apenas a parte da matemática que aborda o uso das letras. Assim é motivador
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e ao mesmo tempo favorável, que sempre o professor trabalhe com a introdução do conceito
dos conteúdos com sua turma, para que o aluno tenha entendimento de que se tratam cada
conteúdo exposto nas aulas de matemática, dando significado a cada um deles.
Na terceira questão foi proposto que eles expusessem quais eram suas principais
dificuldades perante o referente conteúdo, indicando os fatores que contribuíam para o
insucesso na aprendizagem da álgebra.
Foi possível perceber que uma das maiores dificuldades levantadas por eles foi
compreender a linguagem algébrica pelo motivo de ser bem mais formalista, talvez por não
conseguirem admitir um valor numérico para uma letra. Tornando assim a interpretação de
situações algébricas um grande obstáculo enfrentado por eles durante a aprendizagem, assim
não sendo capaz de interpretar o aluno não conseguirá ter um bom desempenho na
representação formal do problema.
Figura 8 - Resposta da questão 3
Resposta apresentada pela Aluna H
É fundamental que o professor construa no pensamento do aluno que nem sempre a
letra tem um valor fixo, e nem que seja possível sua determinação em alguns casos.
Nessa próxima questão (questão 4) os alunos foram motivados a escreverem sobre a
utilidade da álgebra em seu cotidiano, em que situações era perceptível o uso da álgebra. A
falta de aplicação do conhecimento algébrico relacionando-o com situações do dia-a-dia se
mostra bastante escasso por parte de alguns professores, por apenas se aterem ao livro
didático e não procurar introduzir, o conteúdo no contexto de vida do aluno, tornando assim
por muitas vezes os as aulas mecânicas, fazendo com que os alunos sejam desestimulados
com essa forma monótona de ensino. Assim o estudo da matemática se torna mais interessante
e motivador para o aluno quando o mesmo conhece sua aplicação e sua utilidade no contexto
em que vive se sente convidado aprender para assim usar a seu favor em situações
presenciadas diariamente.
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Os alunos descreveram algumas situações em que faziam uso da álgebra em suas
atividades diárias, indagando que se era possível utilizar a álgebra em ocasiões como
descobrir o total de energia gasta durante o mês sabendo o valor que foi pago. Foi possível
perceber que apesar dos alunos não terem um conceito definitivo desse conteúdo e eles
conseguiam perceber sua utilidade no seu dia-a-dia.
A quinta questão tem por base, saber com que freqüência os alunos resolvem
problemas envolvendo á álgebra, se eles apenas utilizam no âmbito escolar ou se estende sua
utilização em situações do seu convívio. Com essa pergunta foi possível constatar que maior
parte da turma apenas resolve problemas nas aulas de matemática segundo suas respostas,
sendo possível perceber que eles apenas se restringem em aplicar seu conhecimento
matemático em sala de aula.
Figura 9 - Resposta da questão 4
Resposta apresentada pela Aluna I
Assim mostrando que não conseguem perceber a forma como é utilizado os conceitos
matemáticos durante problemas diários, por a maioria responder que não revolve problemas
durante seu dia, por mais presente que a matemática esteja em nossa vida.
Nesta ultima questão foi elaborada com o intuito de o aluno sugerir, alternativas e
metodologias que possibilite maior desenvolvimento da aprendizagem e proporcione maior
entendimento à turma, oferecendo sugestões aos professores de como abordar este conteúdo
para suprir as necessidades dos alunos.
O papel do professor é fundamental no ensino e aprendizagem do aluno, pois é dele
que partem as propostas de atividades que irão levar o aluno para o desenvolvimento no
contexto social, e tramitam a ele relações que produzam significado a seu estudo. Nessa
concepção surge a necessidade da boa formação do docente, para que ele encontre novos
métodos a fim de atrair a atenção do aluno, para produção do seu conhecimento cognitivo,
visando o uso de tecnologias, atividades lúdicas e situações problemas como metodologias de
ensino.
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Assim foi sugerido pela maior parte dos discentes, que o professor insira novas
metodologias, no qual se possa fazer uma junção do concreto com o abstrato e suas
aplicações, levando algo mais interativo que desperte nos alunos o interesse por estudar
matemática, métodos lúdicos que facilitem o ensino e aprendizagem do conteúdo bem como
atividades que envolvam disputa entre os alunos.
Essas opiniões e sugestões feitas pelos alunos nos fazem refletir, que o professor
precisa dirigir seu trabalho com coerência e responsabilidade com fins de analisar cada
dificuldade mostrada pelo aluno e proporcionando que o desenvolvimento do raciocínio seja
edificado acoplado com o aluno, assim o professor tem o papel fundamental na arte de
edificação do conhecimento.
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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Diante dos resultados e da fundamentação teórica desta pesquisa, podemos citar a
importância do uso resolução de situações problemas em sala de aula como metodologia
didática, para desenvolver no aluno pensamento estratégico, senso lógico e instigar sua
criatividade com fins de prepará-los para enfrentar situações novas que estarão presentes
dentro do âmbito escolar e também em sua vida cotidiana.
Nessa perspectiva o professor é fundamental para o processo de ampliação do
conhecimento quando se utiliza a resolução de problemas em sala de aula, pois no momento
que ele se dispõe a procurar por alternativas que possibilitem despertar a curiosidade e
criatividade do aluno, isso torna o ensino e aprendizagem não só da álgebra, mas de qualquer
conteúdo que possa ser adaptável a metodologias diferentes, bem mais proveitosos. Assim é
função do professor tornar-se um ser ativo dentro de sala de aula, sendo capaz de mediar à
aprendizagem do aluno e não apenas se preocupar com a aprovação letiva dos seus alunos,
mas essencialmente com seu aprendizado.
Por fim, essa pesquisa deixa bem claro que é importante que o professor se disponha a
exercer seu papel com dedicação e seriedade para que o mesmo possa adaptar-se as
necessidades e dificuldades da sua clientela, ao invés de esperar que eles se adaptem ao seu
modo de abordar o conteúdo.
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REFERÊNCIAS
BAUMGART, J. K. Álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992, 112p.
(Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, V. 4).
BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD,
Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed., São Paulo: Edgard
Blücher, 1996, 496p.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Introdução. Ensino Fundamental.
Terceiro e quarto ciclos. Brasília: MEC/SEF, 1998.
D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Disponível em
http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_
Beatriz.pdf, acesso em 08/09/15. 1989.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática: 1ª a 5ª series.
12. ed. São Paulo: Ática, 2000.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. & MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar a
Educação Algébrica Elementar. Revista: Pro-posições. Campinas: Cortez, n.1, V.4, 1993,
p.78-91.
FLICK, U. Introdução à pesquisa qualitativa. 3. Ed. Porto Alegre: Armed, 2009.
GIL, Katia Henn. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de
Álgebra. 2008. 118 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, PontifÍcia Universidade
CatÓlica do Rio Grande do Sul Faculdade de FÍsica, Porto Alegre, 2008. Disponível em:
<http://eventos.unipampa.edu.br/eremat/files/2014/12/MC_Lopes_01359155031.pdf>.
Acesso em: 12 jul. 2015.
49
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 11ª ed. São Paulo: Ática, 2000.
BAUMGART, J. K. Álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992, 112p.
(Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, V. 4).
KLÜSENER, Renita. Ler, Escrever e Compreender a Matemática, ao Invés de Tropeçar
nos Símbolos. In: NEVES, Iara et al. Ler e Escrever: Compromisso de todas as áreas. Porto
Alegre: Editora da Universidade, 2001. p. 177 – 191.
LUPINACCI, M. L. V. e BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de
matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, 2004.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma S. Gomes. Novas reflexões sobre o
ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO,
Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (Orgs.). Educação matemática:
pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
ROCHA, Eliana Almeida Reis. DIFICULDADES NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE
ARITMÉTICA E ÁLGEBRA NAS ESCOLAS PÚBLICAS. 2011. 7 f. Artigo - Curso de
Matemática, Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Vitória da Conquista, 2011.
Disponível em: <http://www.uesb.br/eventos/seemat/anais/documentos/DIFICULDADES-
NO-ENSINO-E-APRENDIZAGEM.pdf>. Acesso em: 13 ago. 2015.
ROQUE, Tatiana Marins; CARVALHO, João Bosco Pitombeira de. Tópicos de História da
Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2012. 269 p. (Coleção
PROFMAT).
SCHUBRING, Gert. Análise histórica de livros de Matemática: notas de aula - Tradução:
Magalhães, Maria L. Campinas: Autores Associados, 2003.
50
VELOSO, Débora Silva; FERREIRA, Ana Cristina. UMA REFLEXÃO SOBRE AS
DIFICULDADES DOS ALUNOS QUE SE INICIAM NO ESTUDO DA
ÁLGEBRA. 2010. 65 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Licenciatura em Matemática,
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2010. Disponível em:
<http://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/1292/1/EVENTO_ReflexãoDificuldad
esAlunos.pdf>. Acesso em: 20 ago. 2015.
Anexo I – Atividade
Esta atividade é parte integrante de uma pesquisa que esta sendo desenvolvida no
curso de Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, que tem por
objetivo analisar as contribuições e dificuldades da resolução de problemas no ensino da
álgebra. Desde já agradeço a contribuição de todos.
Professor: Damião de Oliveira Alves
Aluno (a):__________________________________________________
QUESTÃO 1
A professora de matemática propôs trazer uma balança para sua turma com a
finalidade de trabalhar com seus alunos o peso de alguns objetos. A professora trouxe pesos
convencionais e alguns objetos que tinha a possibilidade de deixar a balança em equilíbrio,
como mostra a figura a seguir:
Sabendo que as caixinhas têm o mesmo peso, calcule o peso das caixinhas?
QUESTÃO 2
Em uma reunião previdenciária, no qual estava em discussão à questão da
aposentadoria, ficou decidido que o trabalhador só poderia se aposentar quando a soma da sua
idade com os anos de trabalho fosse igual a 95. Assim com que idade uma pessoa que
começou a trabalhar com 25 anos, vai ter o direito a aposentador
QUESTÃO 3
No início do ano letivo, o Centro Educacional José Augusto – CEJA distribuiu
materiais escolares. Foram distribuídos 350 kits, no qual cada aluno recebeu dois kits um de
cadernos (C) e um de canetas (K). Sabendo que o kit de cadernos contém dois cadernos e o
kit de canetas contém quatro canetas, onde no total foram entregues 920 unidades dos dois
materiais. Assim quantos foram os kits de cadernos e quantos foram os kits de canetas?
QUESTÃO 4
Pedro foi para um aniversário com sua família, que é composta por 14 pessoas, ao chegar à
festa a família será direcionada a uma mesa. Sabendo que as mesas, do aniversário, tem
formato quadrada com lugar para quatro pessoas, e que todas as mesas são iguais. Levando –
se em consideração que duas mesas juntas têm lugar para seis pessoas, três mesas juntas têm
lugar para oito pessoas e assim sucessivamente. Responda:
a) Quantas mesas ocuparão a família de Pedro?
b) b) Se chegar mais seis amigos de Pedro para sentar-se com ele e sua família, quantas
mesas serão necessárias para acomodar todos?
c) Se quisermos unir um número indefinido de mesas, o que se pode afirmar sobre o
número de lugares que estarão disponíveis?
Anexo II – Questionário aplicado ao aluno
Nome: ___________________________________________________
Questionário
1- Você gosta de estudar matemática? Justifique sua resposta?
2- Você estudou álgebra em séries anteriores? O que você pode dizer sobre o estudo da
álgebra?
3- Quais as maiores dificuldades em estudar o conteúdo de álgebra?
4- Como você pode utilizar a álgebra em seu dia-a-dia?
5- Com que freqüência você resolve problemas algébricos?
6- Em sua opinião como o professor deveria abordar a álgebra, visando facilitar mais
ainda a sua aprendizagem?
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