relacoes metricas no triangulo retangulo
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Relações métricas no triângulo retângulo
Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto catetocateto
hipotenusa
Outros segmentos do triângulo retângulo
a: é a hipotenusa.b e c: são os catetosh: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
hbc
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h
Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:
h
(I) + = 90º
A
B H C
(II) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = . Portanto, = .
(I) + = 90º
(III) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = . Portanto, = .
(I) + = 90º
Conclusão
Como = e = , os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes pelo caso (AA).
h
A
B H C
A
B CB H H C
A A
1ª relação métrica
nmh
h
m
n
h
2
h
b
m
A
H C
hc
n
A
HB
2ª relação métrica
amb
b
m
a
b
2
h
b
m
A
H C
bc
A
B Ca
3ª relação métrica
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
anc
a
c
c
n
2
4ª relação métrica
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
cbhaa
b
c
h
Teorema de Pitágoras(5ª relação métrica)
a
mn
hbc
2ª relação: b² = m . a3ª relação: c² = n . aObserve que a = m + n
anc
amb2
2
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb
Teorema de Pitágoras
A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Resumo
a
mn
hbc
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
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