Relações métricas no triângulo retângulo

Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo

Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.

hipotenusa

cateto

cateto catetocateto

hipotenusa

Outros segmentos do triângulo retângulo

a: é a hipotenusa.b e c: são os catetosh: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.

a

mn

hbc

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.

A

B H C

h

Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:

h

(I) + = 90º

A

B H C

(II) + + 90º = 180º + = 90º

Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = . Portanto, = .

(I) + = 90º

(III) + + 90º = 180º + = 90º

Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = . Portanto, = .

(I) + = 90º

Conclusão

Como = e = , os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes pelo caso (AA).

h

A

B H C

A

B CB H H C

A A

1ª relação métrica

nmh

h

m

n

h

2

h

b

m

A

H C

hc

n

A

HB

2ª relação métrica

amb

b

m

a

b

2

h

b

m

A

H C

bc

A

B Ca

3ª relação métrica

c

h n

hc

n

A

HB

a

b c

bc

A

B Ca

anc

a

c

c

n

2

4ª relação métrica

c

h n

hc

n

A

HB

a

b c

bc

A

B Ca

cbhaa

b

c

h

Teorema de Pitágoras(5ª relação métrica)

a

mn

hbc

2ª relação: b² = m . a3ª relação: c² = n . aObserve que a = m + n

anc

amb2

2

222

22

22

22

acb

aacb

nmacb

anamcb

Teorema de Pitágoras

A

B Ca

bc

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Resumo

a

mn

hbc

Relações métricas:

1ª) h² = m . n

2ª) b² = m . a

3ª) c² = n . a

4ª) a . h = b . c

Teorema de Pitágoras

5ª) a² = b² + c²