reis, 2013 - dissertação - oa
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PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Júlio Paulo Cabral dos Reis
A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A
UTILIZAÇÃO DE TAXAS RELACIONADAS
Belo Horizonte
2013
2
Júlio Paulo Cabral dos Reis
A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A
UTILIZAÇÃO DE TAXAS RELACIONADAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2013
3
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Reis, Júlio Paulo Cabral dos R375c A criação de um objeto de aprendizagem para a resolução de problemas de
fenômenos físicos com a utilização de taxas relacionadas / Júlio Paulo Cabral dos Reis. Belo Horizonte, 2013.
184f.: il.
Orientador: João Bosco Laudares Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Cálculo – Estudo e ensino. 2. Aprendizagem. 3. Cálculo – Problemas, exercícios, etc. 4. Cálculo das variações. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino
de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 517
4
Júlio Paulo Cabral dos Reis
A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A UTILIZAÇÃO DE TAXAS
RELACIONADAS
Dissertação apresentada à banca examinadora
do Programa de Pós- Graduação da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais –
Campus Coração Eucarístico - Belo Horizonte,
como parte dos requisitos para obtenção do
Título de Mestre em Ensino de Matemática.
COMISSÃO EXAMINADORA
Prof. Dr. João Bosco Laudares - Orientador
PUC Minas
Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini
PUC SÃO PAULO
Profa. Dra. Adriana Gomes Dickman
PUC Minas
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
PUC Minas
Belo Horizonte
2013
5
Aos professores Calio (in memoriam), Sílvia,
Roberto Elias e Susete Basílio que me
permitiram conhecer e/ou apaixonar por esta
área do conhecimento: Matemática
6
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, pois, sem sua presença constante em minha vida, não seria capaz
de ter chegado até aqui.
Ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas,
pela qualidade do curso.
Ao Professor Doutor João Bosco Laudares, que me orientou com sabedoria e paciência
durante este tempo de convivência.
A todos os professores do mestrado e em especial aos Professores Doutores: Dimas
Filipe de Miranda, Maria Clara Frota e Eliane Gazire que me conduziram por este caminho do
conhecimento.
A Professora Doutora Adriana Gomes Dickman que contribui com relevantes revisões
para esta pesquisa.
Aos meus pais, Guanair Antônio e Inazir Cabral, que me educaram segundo suas
crenças e costumes ensinando-me preciosos valores.
À minha irmã, Dulcinéia Agnês, por me animar com conselhos preciosos.
A pequena Meg comigo nos momentos em que precisei.
Aos meus afilhados: Leandro Vasconcelos, Lucas Henrique Cabral e Kelly Oliveira que
compreenderam o distanciamento necessário em momentos importantes.
Aos meus amigos: Ricardo Augusto, Almir de Lima, Gislaine Santana, Cristian
Finamore, Éder Júlio Rocha, Fernanda Rocha, Paulo Geovanne (Tassa), Vanessa Cássia,
Priscila Pádua, Anna Paula Alves, Fernando Silva, Juliano de Souza, David Lorezutti, Luiz
Silvério e Marcus Tullius que me auxiliaram de forma importante em várias situações,
aconselharam durante este processo e compreenderam minha ausência em vários momentos.
Aos meus familiares: avós, tios e primos que puderam compreender a minha falta em
vários momentos. Em especial a minha tia Maria de Jesus Cabral que muito me auxiliou.
Aos colegas de Mestrado, em especial, José Luiz Giarola por ajudar-me em quesitos
necessários para esta pesquisa e a Iêda Vaz com dicas preciosas.
Aos amigos, padres e seminaristas do Santuário São Paulo da Cruz e da C. São Pedro.
Aos professores, funcionários, diretores e principalmente aos alunos da E. E. Prof.
Cláudio Brandão que me motivaram durante essa jornada, seja um conselho e/ou um sorriso em
momentos que precisei.
A todos os Professores, Mestres e Doutores que contribuíram em minha formação
acadêmica.
E a outros que, de algum modo, auxiliaram-me nesta caminhada árdua e de muito
conhecimento.
7
"A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer
coisas novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram.
Homens que sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta da
educação é formar mentes que estejam em condições de criticar, verificar e
não aceitar tudo que a elas se propõe." (Jean Piaget).
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RESUMO
Esta dissertação apresenta resultados de uma pesquisa de Mestrado Profissional em
Ensino de Ciências e Matemática, onde criou-se um Objeto de Aprendizagem (OA), a
partir de Resolução de Problemas de Fenômenos Físicos, cuja resolução implica o uso
de Taxas Relacionadas. Objetivou-se também facilitar o ensino e a aprendizagem desse
conteúdo, o qual apresenta dificuldades de assimilação conceitual. O OA foi estruturado
com um conjunto de atividades que se constituíram de problemas de termodinâmica,
variação de uma resistência num circuito elétrico, onda circular, movimento de um
balão, entre outros. O objetivo da pesquisa pelo OA foi o de facilitador da compreensão
conceitual da taxa de variação relacionada pela dinâmica inerente aos fenômenos
estudados. O OA foi aplicado a alunos que haviam cursado, ou estavam cursando, a
disciplina de Cálculo com o conteúdo de taxas relacionadas nos cursos de Licenciatura
em Matemática e Engenharia, ambos da PUCMinas. Optou-se por uma pesquisa
qualitativa cuja estrutura foi composta de: concepção das atividades e análise dos dados
obtidos pelas observações no momento da aplicação do OA e pelas anotações
realizadas pelos alunos durante esse momento. O embasamento teórico foi constituído
da Resolução de Problemas e da utilização das TICs na criação de um OA. A análise da
aplicação do OA permitiu verificar que os objetivos específicos foram atingindos, isto é,
a compreensão do conceito de taxas relacionadas.
Palavras-chave: Objeto de Aprendizagem. Ensino de Cálculo. Resolução de
Problemas. Taxas de Variação Relacionadas.
9
ABSTRACT
This dissertation presents the results of a Master’s Degree research on teaching of
science and mathematics that aimed to construct a Learning Object (LO) out of
problems solving of Physics Phenomenon of Related Rates in order to facilitate the
teaching and the learning of this subject, which presents difficulties regarding
assimilation of concepts. The LO was organized by means of a set of activities based on
Problems of thermodynamics, variation of resistance in electric circuit, circular wave,
the movement of a balloon, among others. The goal of the LO research was to facilitate
the conceptual understanding of the Variation Rates related by the inherent dynamic to
the phenomena studied. The LO was applied on students who studied and were studying
Calculus on Math and Engineering major at Pontíficia Universidade Católica de Minas
Gerais. It was chosen a qualitative research whose structure was composed of:
conception of activities and analysis of data gathered through observation during the
moment of application and the students’ notes taken during the application of the LO.
The theoretical framework was constituted by Problems solving and the use of TICs
(Technology of information and communication) in creating the LO. The Theoretical
Background was based on Problem solving and the using of TICs when creating a LO
(learning Object). The analyses of LO application lead to the verification that specific
goals where achieved, that is to say, the understanding of the concepts of Related Rates.
Keyword: Learning Object, Calculus Teaching, Problem Solving, Related Variation
Rates.
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Ciclo de desenvolvimento de uma aplicação ............................................ 34
Figura 2: Secção transversal do tanque ..................................................................... 50
Figura 3: Homem andando sob holofote ................................................................... 66
Figura 4: Variação da área de um retângulo ........................................................... 66
Figura 5: Teste da derivada primeira ........................................................................ 68
Figura 6: Solução de um problema ........................................................................... 68
Figura 7: Exercício de revisão .................................................................................... 69
Figura 8: Exercícios ..................................................................................................... 69
Figura 9: Atividades propostas................................................................................... 70
Figura 10: Taxa de variação e limite ........................................................................ 74
Figura 11: Reta secante e reta tangente ..................................................................... 84
Figura 12: Movimento físico ..................................................................................... 102
Figura 13: Diagrama para velocidade média .......................................................... 102
Figura 14: Corpo em movimento de queda livre .................................................... 104
Figura 15: Fenômenos: físico e geométrico sob forma visual ................................ 106
Figura 16: Velocidade instantânea ........................................................................... 108
Figura 17: Relação entre: derivada taxa de variação instantânea inlcinação
da reta tangente a uma curva .................................................................................. 112
Figura 18: Balão sendo inflado ................................................................................ 113
Figura 19: Situação-problema – subida de um foguete .......................................... 115
Figura 20: Foguete em MRU .................................................................................... 115
Figura 21: Foguete em MRUV ................................................................................. 117
Figura 22: Simulação concluída do lançamento de um foguete em MRUV ......... 118
Figura 23: Diagrama dinâmico da atividade 1 ....................................................... 121
Figura 24: Diagrama dinâmico da atividade 2 ....................................................... 123
Figura 25: Questão de Múltipla Escolha da atividade 2 ........................................ 124
Figura 26: Diagrama dinâmico da atividade 3 ....................................................... 126
Figura 27: Videoaula – primeiro e segundo passos da estratégia de resolução ... 129
Figura 28: Videoaula – terceiro passo da estratégia de resolução ........................ 130
Figura 29: Videoaula – quinto passo da estratégia de resolução .......................... 130
Figura 30: Diagrama dinâmico da atividade 4 ....................................................... 131
Figura 31: Menu – Estratégia de Resolução para a atividade cinco ..................... 133
11
Figura 32: Diagrama dinâmico da atividade 5 ....................................................... 134
Figura 33: Tela da sexta atividade com o primeiro botão de ajuda ...................... 134
Figura 34: Tela da sexta atividade com o botão ajuda sendo requerido .............. 135
Figura 35: Diagrama dinâmico da atividade 6 ....................................................... 135
Figura 36: Aplicação do OA aos participantes da pesquisa .................................. 139
Figura 37: 1º Relato da participante Jayne ........................................................... 141
Figura 38: Relato da participante Flores ................................................................ 142
Figura 39: Tela do OA referente a segunda atividade ........................................... 143
Figura 40: 1º Relatos da participante Jojo ............................................................. 145
Figura 41: 2º Relato da participante Jayne ............................................................. 146
Figura 42: Relato do participante Nenem ............................................................... 146
Figura 43: Relato do participante Borges ............................................................... 147
Figura 44: 3º Relato da participante Jayne ............................................................ 148
Figura 45: 2º Relato da participante Jojo ............................................................... 148
Figura 46: Resolução da atividade 7 por “Jayne” .................................................. 150
Figura 47: Resolução da participante F3 ................................................................ 151
Figura 48: Esboço do diagrama da atividade 7 realizado por um participante .. 152
Figura 49: Relato do participante Aluno XXIII ..................................................... 152
Figura 50: Relato do participante Hugo .................................................................. 153
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Problema de taxas relacionadas .............................................................. 49
Quadro 2: Análise das representações utilizadas no livro de Stewart .................... 71
Quadro 3: Análise de problemas e conceitos no livro de Stewart ........................... 71
Quadro 4: Análise sobre limites no livro de Stewart ................................................ 72
Quadro 5: Análise sobre taxas de variação no livro de Stewart ............................. 73
Quadro 6: Análise da função derivada no livro de Stewart .................................... 74
Quadro 7: Função derivada ....................................................................................... 75
Quadro 8: Análise da regra da cadeia no livro de Stewart ...................................... 75
Quadro 9: Análise de taxas relacionadas no livro de Stewart ................................. 76
Quadro 10: Últimas análises no livro de Stewart ..................................................... 76
Quadro 11: Análise das representações utilizadas no livro de Thomas ................. 78
Quadro 12: Análise de problemas e conceitos no livro de Thomas ......................... 78
Quadro 13: Análise sobre limite no livro de Thomas .............................................. 78
Quadro 14: Análise sobre taxas de variação no livro de Thomas............................ 79
Quadro 15: Análise da função derivada no livro de Thomas .................................. 79
Quadro 16: Análise da regra da cadeia no livro de Thomas ................................... 80
Quadro 17: Análise de taxas relacionadas no livro de Thomas .............................. 81
Quadro 18: Últimas análises no livro de Thomas ..................................................... 82
Quadro 19: Análise das representações utilizadas no livro de Anton; Bivens e Davis .............................................................................................................................. 83 Quadro 20: Análise de problemas e conceitos no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 84 Quadro 21: Análise sobre limite no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 85 Quadro 22: Análise sobre taxas de variação no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 86 Quadro 23: Análise da função derivada no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 86 Quadro 24: Análise da regra da cadeia no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 86 Quadro 25: Análise de taxas relacionadas no livro de Anton; Bivens e Davis.............................................................................................................................. 87 Quadro 26: Últimas análises no livro de no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 88 Quadro 27: Cálculo da inclinação da reta tangente ................................................. 99
Quadro 28: Limite especial ...................................................................................... 100
Quadro 29: Inclinação e taxas de variação ............................................................. 100
13
Quadro 30: Conceito de velocidade média .............................................................. 102
Quadro 31: Fórmula para a velocidade média ....................................................... 105
Quadro 32: Fenômeno físico e fenômeno geométrico ............................................. 106
Quadro 33: Notações para derivada ........................................................................ 111
Quadro 34: Problema do balão esférico .................................................................. 113
Quadro 35: Aplicação da regra da cadeia ............................................................... 114
Quadro 36: Dados do tópico 2 – parte I ................................................................... 116
Quadro 37: Dados do tópico 2 – parte II ................................................................. 116
Quadro 38: Problema trazido pela primeira atividade .......................................... 120
Quadro 39: Problema trazido pela segunda atividade ........................................... 123
Quadro 40: Problema trazido pela terceira atividade ........................................... 126
Quadro 41: Notações matemáticas para a atividade 3............................................ 127
Quadro 42: Problema trazido pela quarta atividade ............................................. 131
Quadro 43: Problema trazido pela quinta atividade .............................................. 133
Quadro 44: Problema trazido pela sexta atividade ............................................... 135
Quadro 45: Problema trazido pela sétima atividade .............................................. 136
14
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Cálculo do limite de uma função ............................................................... 65
Tabela 2: Regras de derivação ................................................................................... 66
Tabela 3: Cálculos das inclinações para o tópico proposto ........................................... 100
Tabela 4: Cálculos dos coeficientes angulares em diferentes momentos .............. 109
15
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Função f ..................................................................................................... 42
Gráfico 2: Funções exponenciais ................................................................................ 65
Gráfico 3: Comparação – Físico Geométrico ........................................................ 72
Gráfico 4: Tempo x Distância ..................................................................................... 80
Gráfico 5: Função y = f(x) = -x² + 20x ........................................................................ 98
Gráfico 6: Reta secante se aproximando da teta tangente ....................................... 99
Gráfico 7: Movimento de queda livre para a situação abordada .......................... 104
Gráfico 8: Reta secante para a situação abordada ................................................. 107
Gráfico 9: Velocidade instantânea em t = 7 s .......................................................... 109
16
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 18 1.1 Objetivos da Pesquisa ............................................................................................ 20 1.1.1 Objetivo Geral ...................................................................................................... 20 1.1.2 Objetivos Específicos .......................................................................................... .20
2 RECURSO TECNOLÓGICO EDUCACIONAL: OBJETO DE APRENDIZAGEM COM RESPALDO EPISTEMOLÓGICO NA RESOLUÇ ÃO DE PROBLEMAS ....................................................................................................... 22 2.1 Educação e Informática ........................................................................................ 22 2.2 Objeto de Aprendizagem, um recurso educacional ............................................ 25 2.3 Resolução de Problemas: uma estratégia pedagógica ........................................ 35
3 TAXAS E O ENSINO DE CÁLCULO ................................................................... 41 3.1 Taxas de Variação e Taxas Relacionadas ............................................................ 41 3.2 Ensino de Cálculo: propostas e dificuldades ....................................................... 45
4 DIRETRIZES PARA O ENSINO SUPERIOR: MATEMÁTICA E ENGENHARIA E ANÁLISE DE LIVROS-TEXTO DE CÁLCULO NA TEMÁTICA EM ESTUDO ........................................................................................ 59 4.1 As diretrizes para o Ensino Superior: Matemática e Engenharia .................... 59 4.1.1 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Matemática ................................ 59 4.1.2 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Engenharia ................................ 61 4.1.3 Comentário sobre as Diretrizes ........................................................................... 62 4.2 Análise de livros de Cálculos quanto à temática investigada ............................ 63 4.2.1 Critério de análise dos livros de Cálculo ............................................................ 63 4.2.2 Comentário da análise dos livros-texto ............................................................... 88
5 DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA DA CRIAÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM ...................................................................................................... 91 5.1 Pesquisa Qualitativa .............................................................................................. 91 5.2 Elaboração do OA ................................................................................................. 92 5.3 Descrição das Seções do OA ................................................................................. 95 5.3.1 A Seção Taxa de Variação – Revisão de conceitos ............................................ 96 5.3.2 A Seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas ............................................. 111 5.3.3 A Seção de Atividades ........................................................................................ 119
6 RESULTADOS DA APLICAÇÃO ....................................................................... 138 6.1 Coleta de dados .................................................................................................... 138 6.2 Os sujeitos da pesquisa ........................................................................................ 138 6.3 Aplicação do OA .................................................................................................. 139 6.4 Principais resultados ........................................................................................... 140 6.4.1 A interação dos sujeitos com o OA .................................................................... 141 6.4.2 Análise dos processos cognitivos oferecidos pelo OA ...................................... 144
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7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 154
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 157
APÊNDICES .............................................................................................................. 162
18
1 INTRODUÇÃO
O modo de ensinar sempre foi uma preocupação dos educadores ao longo do
tempo, o que fez com que surgissem alguns estudos a respeito de como fazê-lo, isto é,
investigações que desenvolvem novos métodos de ensino consoante as necessidades de
cada contexto sócio-cultural em que se inserem as práticas educativas. Nesse sentido,
Moran (2010), Behers (2010) e Masseto (2010), especialistas que também trabalham
com o desenvolvimento de métodos de ensino, prestam especial atenção à utilização da
Tecnologia de Comunicação e Informação (TIC), em especial o computador, como
instrumento de auxílio no processo de ensino e de aprendizagem. A utilização do
computador como recurso educacional traz consigo uma série de instrumentos e
mecanismos didáticos, tais como os softwares, internet (que oferece desde sites de
pesquisa/busca a programas específicos) e vídeoaulas. Desse modo, e considerando
sobretudo a relevância da Tecnologia de Comunicação e Informação no processo de
ensino, Wiley (2009), Nunes (2004) e Prata (2007) defendem a utilização de um recurso
educacional denominado Objeto de Aprendizagem, como meio facilitador na integração
da tecnologia com a educação.
Voltado para o ensino e a aprendizagem de Cálculo, bem como para a utilização
das TIC’s, Barbosa (2009), Stewart (2006) e Thomas (2002) refletem as atuais práticas
de ensino da referida disciplina, propondo, para tal trabalho, a tríade: ensino de cálculo/
aprendizagem/ computador. Se, por um lado, o computador está disponível para o
ensino e a aprendizagem, é interessante analisar as estratégias pedagógicas presentes em
tal relação, a fim de utilizar com eficiência essa ferramenta e melhor perscrutar sua
utilidade para fins de aprendizagem.
Assim, Dante (1995), Pozo (1998), Polya (1977) e Gazire (2009), ao tratarem do
âmbito do ensino e da aprendizagem de Matemática, defendem a resolução de
problemas, não como a única, mas sim como uma eficaz estratégia pedagógica com fins
educacionais.
Respaldado na resolução de problemas para ensinar Cálculo e na utilização do
computador na atualidade, esta dissertação tenciona construir um Objeto de
Aprendizagem (OA) embasado na resolução de problemas de fenômenos físicos sobre
taxas relacionadas e, em um segundo plano, analisar as contribuições deste Objeto no
ensino e na aprendizagem do referido conteúdo.
19
A investigação aqui descrita surgiu a partir de duas experiências:
Primeiramente, no decorrer da licenciatura, período no qual tive a oportunidade de me
deparar com o desafio de compreender o conteúdo de Taxas Relacionadas, a experiência
de aluno me trouxe uma maior sensibilidade com relação às dificuldades enfrentadas
neste conteúdo.
A segunda experiência passa pela prática docente: ao ensinar Cálculo, e no que
se refere ao conteúdo de Taxas Relacionadas, foi possível perceber que havia barreiras
didáticas a serem enfrentadas no momento de explicar a matéria. Porém, nessa fase, eu
já compreendia os conceitos que são pré-requisitos para o conteúdo de Taxas
Relacionadas. Assim, foi possível notar que o ensino desse tópico necessitaria de algum
processo metodológico mais eficaz.
Segundo Souza Júnior (2000), tanto ensino quanto a aprendizagem de Cálculo se
tornam, a cada dia mais, um desafio, tanto para o professor quanto para o aluno, uma
vez que as taxas de repetência nesse conteúdo são elevadas. Ainda segundo o autor, as
aulas expositivas, na maioria das vezes, ao fazerem referência aos conteúdos que trazem
dinamismo (como, por exemplo, algum dos tópicos sobre taxas de variação) podem ser
um dos fatores que impõem a barreira ao aprendizado.
Portanto, a utilização das TIC’s é aqui abordada como um modo de auxiliar o
ensino e a aprendizagem de Matemática segundo os autores apresentados. Ao utilizar
tecnologia para esse fim, é necessário ter em mente (ou até mesmo desenvolver) um
recurso educacional que de suporte ao ensino e aprendizagem do conteúdo de Taxas
Relacionadas que, como descrito acima, coloca barreiras tanto para os discentes quanto
para os docentes. Nesse sentido, os OA's ganham espaço e podem ser utilizados para tal
propósito. Trabalhar com problemas voltados para o conteúdo de taxas relacionadas,
sobretudo aqueles que não passam de cópias descontextualizadas de outros, isto é,
problemas repetidos de um determinado modelo, pode não ser um método didático
eficiente. Tendo em vista a problemática aqui evocada, surgem questões como: é
possível utilizar a TIC para ensinar e aprender o conteúdo de taxas relacionadas? Em
que ponto isso seria favorável? A estratégia pedagógica de resolução de problemas,
auxiliada pela TIC, seria benéfica nessa situação? Os OA’s seriam um modo facilitador
nessa interação? A partir dessas indagações, culmina-se na questão-chave desta
pesquisa.
20
“Como construir um Objeto de Aprendizagem com resolução de problemas
para contribuir na aprendizagem de taxas relacionadas em aplicações de
fenômenos físicos?”
1.1 Objetivos da Pesquisa
A fim de responder a esta questão, foram traçados os seguintes objetivos:
1.1.1 Objetivo Geral Criar um Objeto de Aprendizagem para facilitar o ensino e a aprendizagem de
Taxas Relacionadas com a Resolução de Problemas de Fenômenos Físicos.
1.1.2 Objetivos Específicos
a) Verificar a abordagem metodológica do conteúdo de Taxas Relacionadas em
livros e textos didáticos que abordem o tema: Cálculo;
b) Elaborar atividades sobre Taxas Relacionadas que atendam à metodologia de
Resolução de Problemas;
c) Construir um Objeto de Aprendizagem para trabalhar as atividades
desenvolvidas;
d) Aplicar as atividades e, após a análise dos resultados, estabelecer as
possíveis reestruturações, visando uma nova metodologia para o estudo de
Taxas de Variação Relacionadas com a resolução de problemas físicos e o
uso de OA.
A presente dissertação está subdividida em sete capítulos, os quais serão
sumariamente descritos a seguir, sendo o primeiro a introdução e o sétimo as
considerações finais, além das referências e apêndices.
Na introdução, apresenta-se a importância do tema, os objetivos da pesquisa, a
pergunta de pesquisa, a justificativa pela escolha do tema e a apresentação dos próximos
capítulos, sendo a introdução considerada como o primeiro capítulo.
No capítulo 2, buscou-se analisar tanto a relevância das TIC’s, em especial o
computador, quanto as contribuições que essa ferramenta pode trazer para a prática
pedagógica atual, seus recursos e suas contribuições para aprendizagem de
conhecimentos específicos. Verificam-se também o que são e como elaborar os OA’s
utilizando a mídia computador e explorando, suas potencialidades no ensino e na
21
aprendizagem tendo como estratégia pedagógica – a Resolução de Problemas – afim de
ensinar e aprender o conteúdo de Taxas Relacionadas.
O capítulo 3, por sua vez, explora o conceito de Taxas Relacionadas e, por
conseguinte, todos os outros conceitos que gravitam em torno deste conteúdo. Procurou-
se, neste momento, rever o que os autores de livros didáticos e pesquisadores
acadêmicos pensam sobre o ensino de Cálculo.
No capítulo 4, foi realizada uma análise das diretrizes curriculares dos cursos de
Licenciatura Plena em Matemática, Bacharelado em Matemática e Engenharias. O
trabalho começou pela busca do público-alvo da pesquisa, cujo grupo era formado por
alunos dos referidos cursos e, em seguida, partiu-se para a verificação de fatores
importantes a serem considerados na construção do OA. A Pesquisa prosseguiu com a
realização de uma análise do conteúdo de Taxas Relacionadas presente em livros-texto
de Cálculo,visando analisar como se dá a construção deste conceito, isto é, a sequencia
utilizada para as devidas compreensões, fator que muito contribuiu na construção do
OA.
O capítulo 5 apresenta a metodologia da pesquisa e os passos seguidos para a
criação do OA, além dos tópicos e das atividades que o acompanham, bem como os
objetivos de cada tópico e/ou atividade desenvolvida com respaldo nas leituras
realizadas.
O capítulo 6, por fim, traz, para além dos relatos da aplicação do OA a
estudantes dos cursos de Licenciatura Plena em Matemática e Engenharias da PUC
Minas, as contribuições observadas durante esse trabalho de aplicação.
Nas considerações finais desta pesquisa, procurou-se refletir sobre a construção
de um OA e as contribuições que esse recurso trouxe para os processos de ensino e
aprendizagem na resolução de problemas de fenômenos físicos sobre Taxas
Relacionadas.
E nos Apêndices são trazidas as atividades que constituem o Produto desta
Dissertação.
22
2 RECURSO TECNOLÓGICO EDUCACIONAL: OBJETO DE
APRENDIZAGEM COM RESPALDO EPISTEMOLÓGICO NA RESOLUÇ ÃO
DE PROBLEMAS
2.1 Educação e Informática
A cultura de um povo, isto é, as suas normas morais e as suas crenças, bem
como outros fatores que constituem um determinado sujeito ou grupo cultural, são
elementos situados em um contexto específico, dentro de um espaço e tempo, e,
inevitavelmente, percebe-se, ao longo da história, a tentativa de ignorar o devir presente
nessas características. A educação, como não poderia deixar de ser, funciona dentro
deste mesmo paradigma, principalmente no que se refere ao ensino e a aprendizagem.
Considerando as mudanças pelas quais a humanidade passa ao longo da história, surgem
preocupações com a forma de promover o ensino e a aprendizagem, o que, em boa
medida, promove a inovação das práticas pedagógicas comumente utilizadas.
Tendo em vista as inovações, o avanço tecnológico pode contribuir com as
práticas educacionais e o computador é utilizado em instituições como instrumento no
auxílio no processo ensino e aprendizagem. Em Moran (2010, p. 44) tem-se que, “o
computador se converte em um meio de comunicação, a última grande mídia, ainda em
estágio inicial, mas extremamente poderosa para o ensino aprendizagem”. Assim a
Tecnologia da Comunicação e Informação (TIC) vem colaborar para desenvolver o
processo de ensino e de aprendizagem, sugestionando a quem a utilize, buscar meios e
formas para que esse processo possa acontecer.
Milani (2001) afirma que a informática alterou sensivelmente a forma de vida
daqueles que, de algum modo, participam desse avanço tecnológico e, que nesse ponto,
o computador é um dos símbolos e “principal instrumento do avanço tecnólogico.”
(p.177), de modo que é impossível a escola ignorá-lo, devido à sua presença intensiva
na sociedade. Diante dessa irrefutável realidade, o desafio agora é explorar a
potencialidade apresentada por esse possível recurso educacional e, a partir daí,
promover a cognição.
Behrens (2010), ao refletir sobre o papel do docente universitário, alega que tal
profissional deve se “formar para a cidadania, como sujeito histórico e transformador da
sociedade, e contribuir para a produção do conhecimento compatível com o
desenvolvimento tecnológico contemporâneo.” (p.72). Assim, tal tecnologia tem sido
23
cada vez mais incluída na prática pedagógica dos professores, a fim de interagir e agir
na sociedade com critérios definidos, com respaldo na ética e de forma transformadora,
para que, assim, possa contribuir para o ensino e o aprendizado. Vê-se a necessidade
dessa integração na medida em que Behrens (2010, p.75) alega ser importante “propor
novas formas de aprender e de saber se apropriar criticamente de novas tecnologias,
buscando recursos e meios para facilitar a aprendizagem”.
Barbosa (2009, p.56) ressalta que a utilização das TIC’s ganhou força na década
de 90 (século XX), momento em que o computador trouxe “plataformas amigáveis e
com aplicações nas diversas áreas do conhecimento e em outros setores da sociedade de
modo geral”. Em sua pesquisa, a autora analisa a utilização da TIC para o ensino e a
aprendizagem de Cálculo e ressalta que “a visualização, realçada pelas TIC’s, constitui
um elemento fundamental para a produção do conhecimento matemático, não apenas
associada às representações numéricas e algébricas, mas também às gráficas.”
(BARBOSA, 2009, p.62). Para a pesquisadora, a visualização pode oferecer a
comunicação entre formas de representar a matemática, podendo, assim, permitir
assimilações, produções e reflexões por parte do aluno. Esta visualização é favorecida
com a utilização das TIC’s.
Borba e Penteado (2001), por sua vez, lembram que a utilização da mídia
computador foi um fator de resistência para muitos profissionais da educação. Porém,
os autores vêem a utilização da Informática como um modo de transformar a prática
educativa, e sugerem que essa tecnologia pode estar presente em atividades essenciais
de aprendizado, tais como: ler, escrever, compreender textos, interpretar gráficos,
contar, desenvolver certas noções de conteúdos, dentre outros. O computador pode ser
parte da produção do conhecimento, de modo a promover a harmonia entre estratégias
pedagógicas e mídias. É preciso ressaltar que a utilização de uma mídia não exclui
outra, ou seja, o fato de utilizar o computador não tornará obsoleta a utilização do lápis,
do papel, mas a tecnologia vem complementar as mídias já existentes.
Machado (2008), ao comentar o papel das ferramentas computacionais, afirma
que elas contribuem para a resolução de problemas ao permitir a simulação, ao colocar
o aluno frente a situações reais, ao permitir as experimentações e estudar as possíveis
conjecturas.
De maneira geral, as tecnologias permitem uma simulação que facilita, em pouco tempo, os estudos de diferentes situações e de experimentação a custo baixo, possibilitam a construção de novas relações entre os homens e os
24
ambientes informatizados e apresentam-se como ferramentas de auxílio ao processo de ensino aprendizagem. (MACHADO, 2008, p.21).
Para Laudares e Lachini (2001) a adoção de computadores na educação é
importante. Porém, a não utilização desse recurso “se deve a uma carência de formação
e à dificuldade que tem de inserir o uso da máquina no cotidiano do processo didático-
pedagógico.” (p.78). Assim, é inevitável discutir formas de utilizar essa máquina como
algo inerente ao processo de ensino e de aprendizagem numa sociedade cada vez mais
informatizada.
Stewart (2006) é adepto da utilização da tecnologia para o ensino de Matemática
no que se refere ao Cálculo e sugere a utilização de calculadoras gráficas e dos
computadores como ferramentas auxiliadoras no processo de descobertas e na
compreensão de conceitos. Tal afirmativa está em conformidade com Borba e Penteado
(2001), que defendem que a utilização da tecnologia não tomará o lugar do lápis e do
papel, mas que, juntas, tais mídias se complementarão na busca de uma aprendizagem
mais significativa1. Com a utilização das TIC’s, é possível esboçar gráficos de funções
mais complexas ou resolver problemas mais elaborados com dificuldade da resolução
analítica, recorrendo-se a solução numérica, tornando, assim, essencial a utilização
dessa tecnologia para análises mais complexas.
Ao longo do seu livro, Thomas (2002) utiliza a TIC em atividades, nas
explicações de certos tópicos ou problemas resolvidos e em histórias. O autor reforça a
importância da utilização das TIC’s e disponibiliza, para professores e alunos, em um
site próprio, complementos em power point e sugestão de programas que possam vir a
auxiliar o ensino e a aprendizagem de Cálculo.
Ainda no sentido do que aqui vem sendo discutido, vale ressaltar que
Computador algum jamais pode ser programado com respostas para todas as questões que os alunos possam fazer. E nas áreas de conhecimento menos estabelecidas, a discussão e a interação aluno-aluno e aluno-professor são essenciais para a aprendizagem. (AUSUBEL et a.l, 1980, p.323).
Assim, as TIC’s vêm como suporte para o ensino e a aprendizagem, ampliando
as possibilidades para a educação. Por permitirem tal ampliação, torna-se interessante
1 MACHADO (2012), citando John Dewey (1959), afirma que “a significação acontece quando o aluno é capaz de relacionar os conceitos a situações já experimentadas por ele, observando causas e consequências e realizar aplicações.” (p.1).
25
investigar e analisar as suas funcionalidades de modo a potencializar as interseções
aluno-aluno e aluno-professor.
2.2 Objeto de Aprendizagem, um recurso educacional
Procurar formas de facilitar a compreensão de conceitos para produzir
conhecimento é uma preocupação sentida não apenas no âmbito da Educação
Matemática, mas também em todas as ciências que se inscrevem numa prática
educacional, isto é, todos os saberes que são tomados como matéria de ensino. Meios
facilitadores para auxiliar o ensino e a aprendizagem são pesquisados e apontados por
autores, e há exemplos de jogos, investigações, mídias, dentre outros, que se
apresentam, na atualidade, como objetos de ensino e pesquisa. Um desses meios é a
utilização do computador, recurso que possibilita um vasto campo de possibilidades
pedagógicas em sala de aula.
Dentre as formas de utilização do computador, procura-se aqui analisar e criar o
recurso educacional denominado Objeto de Aprendizagem (OA), voltado para o
conteúdo de Taxas Relacionadas, verificando as contribuições que tal recurso poderá
oferecer no ensino e na aprendizagem no conteúdo do Cálculo.
Reis (2010) alega que os OA’s fazem parte de uma gama denominada Recursos
Educacionais Abertos (REA), os quais, atualmente, podem ser acessados e/ou utilizados
com os benefícios provenientes do computador e com o avanço da internet. Ao explicar
o sentido específico expresso no adjetivo abertos, Reis (2010, p. 19) salienta que se
trata de recursos educacionais “distribuídos e utilizados, com fins não comerciais, por
qualquer comunidade que pudesse acessá-los”. Assim, estes recursos alcançariam
diferentes usuários interessados em sua utilização. Wiley (2009) vai além, descrevendo
quatro características presentes em um REA:
a) Reutilização (Reuse): configura aqui apenas na utilização de um REA;
b) Revisão (Revise): o usuário pode modificar um REA de acordo com as
próprias necessidades;
c) Remix (Remix): fazer combinações do REA com outros, a fim de melhorar as
necessidades do usuário;
d) Redistribuição (Redistribute): compartilhar o REA, na íntegra, revisado ou
ainda remixado a outros, e tudo isto sem fins lucrativos.
26
Tais características são definidas pelo autor como “the 4Rs” (WILEY, 2009,
p.9). O autor ainda fomenta a versatilidade de utilizar um REA, afirmando que que
esses elementos podem ser combinados e reestruturados, não sendo estritamente
necessário fazer uma conclusão, mas, sim, permitir que sempre sejam aprimorados e
melhorados pelos usuários, a fim de promover o ensino e o aprendizado. Assim, tais
características se aplicam também aos OA’s, visto que estes são REA.
O termo OA, segundo Jacobsen (2002), (apud Reis, 2010) surge primeiramente
com Wayne Hodgins (1992) que, por sua vez, procurava estratégias educacionais e, ao
observar seu filho brincando com o jogo Lego, assimilou que as peças do brinquedo
poderiam ser combinadas e recombinadas de modo a construir inúmeros objetos
diferentes, que, contudo, sempre eram elaborados com as mesmas peças, as quais foram
chamadas por ele de “peças interoperáveis de aprendizagem” (JACOBSEN, 2002, p.1).
Ao transportar sua analogia para a educação, Hodgins considerou as peças montáveis
como blocos de conteúdo educacional, observação da qual surgiu o termo Objeto de
Aprendizagem ou Learning Object (LO). Reis (2010) chama atenção para o fato de que,
a partir de então, a definição formal do que seja um OA é um tanto divergente entre os
investigadores. Porém, quando essa concepção é analisada, percebe-se um destaque nas
palavras: reutilizável, ensino e conhecimento. Em conformidade com Laudares e
Lachini
[...] olhar o ensino-aprendizagem como um processo de aquisição, reelaboração ou construção é, para os autores, a maneira de abrir o trabalho escolar para o tratamento da informação, para a compreensão de conceitos, para o pensar de modo sistematizado e com mobilidade. (LAUDARES; LACHINI, 2001, p.69).
Nessa perspectiva, segundo os autores, professor e aluno se “tornam construtores
e re-construtores do conhecimento” (LAUDARES; LACHINI, 2001, p.69), o que é
análogo, as peças montáveis, sobretudo a partir de um trabalho em grupo que busque
compreender os conceitos envolvidos.
Para Tavares (2007, p. 124), um OA é um “recurso (ou ferramenta cognitiva)
autoconsistente do processo ensino e aprendizagem, isto é, não depende de outros
objetos para fazer sentido.” Tal definição amplia o conceito do OA, pois, a partir dela, o
livro didático, o computador, revistas, bem como a própria atividade humana, dentre
outros, são instrumentos que podem ser considerados como um OA. Macêdo et al.
(2007, p.20), citando Wiley (2000), restringe essa definição ao afirmar que um OA é
27
“qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o suporte ao ensino”. Ao usar a
expressão “qualquer recurso digital”, essa concepção continua ampla motivo pelo qual
se delimita, com Nunes (2004, p.1), ao restringir “a gama de objetos passa a não ser
todo e qualquer recurso digital e sim aqueles com enfoque educacional.” Portanto, um
OA é um recurso digital reutilizável voltado para o ensino, de modo que os propósitos
educacionais devem estar bem definidos com relação aos elementos de análise, síntese e
reflexões. Quanto a ser reutilizável, a proposta é criar um OA mais completo a partir de
um outro mais simples, transformando-o, assim, em um objeto mais complexo que
poderá ser utilizado para fins educacionais em contextos diversos e com várias
possibilidades de utilização. Os termos flexibilidade, facilidade de utilização,
customização e interoperabilidade também são recorrentes entre autores que estudam
um OA. Nesse sentido, Macêdo et al. apresenta as seguintes reflexões epistemológicas:
[...] flexibilidade: os Objetos de Aprendizagem são construídos de formas simples e, por isso, já nascem flexíveis, de forma que podem ser reutilizáveis sem nenhum custo com manutenção. Em segundo, temos a facilidade para atualização: como os OA são utilizados em diversos momentos, a atualização dos mesmos em tempo real é relativamente simples, bastando apenas que todos os dados relativos a esse objeto estejam em um mesmo banco de informações. Em terceiro lugar, temos a customização: como os objetos são independentes, a idéia de utilização dos mesmos em um curso ou em vários cursos ao mesmo tempo torna-se real, e cada instituição educacional pode utilizar-se dos objetos e arranjá-los de maneira que mais convier. Em quarto lugar, temos a interoperabilidade: os OA’s podem ser utilizados em qualquer plataforma de ensino em todo o mundo. (MACÊDO, 2007, p.20).
Tais elementos se assemelham às características aqui apresentadas no que se
refere aos REA’s e à analogia com as peças do Lego. Um OA traz em si conteúdos
específicos, cujos conteúdos são trabalhados na forma do idealizador. Os OA’s, por
serem flexíveis, de fácil utilização e customizados, podem ser complementados ao
longo do percurso, reestruturados, modificados e combinados a outros, produzindo um
novo a partir do original, além do que podem atender a diferentes usuários. Assim,
Fernandes et al. citando Audino e Nascimento dizem:
Objetos de Aprendizagem são recursos digitais dinâmicos, interativos e reutilizáveis em diferentes ambientes de aprendizagem elaborados a partir de uma base tecnológica. Desenvolvidos com fins educacionais, eles cobrem diversas modalidades de ensino: presencial, híbrida ou à distância; diversos campos de atuação: educação formal, corporativa ou informal; e, devem reunir várias características, como durabilidade, facilidade para atualização, flexibilidade, interoperabilidade, modularidade, portabilidade, entre outras.” (AUDINO; NASCIMENTO apud FERNANDES et al., 2012, p.2 )
28
Os OA's têm desempenhado um papel notável como recurso educacional,
sobretudo pelas contribuições dadas ao ensino e a aprendizagem, pois têm potencial
para auxiliar diferenciadas modalidades de ensino.
Prata et al. (2007) alegam que, com a utilização de OA, pode haver
desenvolvimento na questão do raciocínio e da criatividade, facilitando ao estudante a
promoção de novas habilidades. Assim, espera-se ter um aluno mais autônomo e capaz
de utilizar a reflexão para chegar a conhecimentos de sua própria autoria. Os autores
prosseguem afirmando que os processos de raciocínio, criatividade, produção de novas
habilidades e pensamento reflexivo são muito significativos para a Educação
Matemática.
Souza et al. (2007) procuraram analisar o desenvolvimento de habilidades
através de um OA voltado para o ensino de semelhança de triângulos e o teorema de
Talles. Pode-se perceber a facilidade que os alunos tiveram para compreender os
conceitos matemáticos, de realizar conjecturas, assim como testar e elaborar estratégias,
e quando relacionadas à resolução de problemas, houve aprendizagem dos tópicos
abordados.
Nunes (2004) menciona que a Educação à Distância (EAD) já é uma das
pioneiras na utilização desse recurso educacional tanto para promover o aprendizado,
quanto para a forma de avaliação, pois um OA, por se tratar de um recurso digital,
permite ao professor analisar os caminhos que o aluno utilizou para resolver situações-
problema. Isso possibilita seguir os passos realizados pelos alunos, verificar onde
ocorreram possíveis erros, como está o grau de assimilação deste aluno ou como ele
construiu e desenvolveu a sua resolução, para que, assim, seja possível contonar os
equívocos ocorridos no percurso da aprendizagem e assimilação de conteúdo.
Macêdo et al. (2007) demonstra as contribuição que os OA’s oferecem às
conexões entre os diversos tipos de linguagens. Para os autores, é possível, através
desse recurso, fazer conexões entre as ações físicas como, por exemplo, velocidade e
queda livre, e as várias formas de linguagens existentes (verbal, algébrica, geométrica,
dentre outras), de modo a contribuir para que os alunos transitem de uma linguagem
para outra, partindo de ações mais concretas ou intuitivas para ações mais abstratas.
A possibilidade de o aluno trabalhar no seu próprio ritmo é levantada por
Lucchesi et al (2007), que alegam que os OA’s permitem ao aluno ir descobrindo e
aprendendo conforme suas próprias limitações. Em conformidade com esta idéia, Bardy
et al (2007) aplicam um OA voltado para conceitos matemáticos sobre números,
29
investigação feita com alunos portadores de deficiências mentais. Nesse trabalho, foi
possível perceber que os OA’s não possuem barreiras rígidas no que se refere a espaço e
tempo, cuja conclusão permite inferir que “a aprendizagem pode ocorrer de acordo com
o ritmo de cada um, bem como a ordem das atividades pode ser determinada pelo
próprio usuário.” (BARDY et al, 2007, p. 105). Além de respeitar o ritmo de
aprendizado de cada aluno, reforça-se aqui que o OA não se esgota em si mesmo,
podendo ser reutilizado pelo usuário quantas vezes quiser, isto é, não há tempo pré-
estabelecido, além da possibilidade que o aluno tem de voltar quantas vezes necessário a
algum conceito ou atividade que não ficara esclarecida anteriormente.
Segundo Tavares et al. (2007), após a aplicação de algumas atividades que
trabalhavam conceitos da Física, propostas em forma de OA, as notas dos alunos
aumentaram, o que possibilitou perceber que o OA pode proporcionar aprendizado
significativo. A dinamicidade presente no OA (como visualização, descrição e
animação, principalmente no que se refere a fenômenos da natureza de uma teoria
científica) é beneficiada pela utilização desse recurso, ajudando a promover a
aprendizagem. Neste ponto, “os OAs são facilitadores da aprendizagem significativa”.
(p. 128), isto é, possibilitam uma aprendizagem eficaz e não apenas um processo
mecânico. Assim, os mesmos autores dizem que os OA’s apresentam-se “como um
organizador prévio e, desse modo, funcionam como andaime cognitivo; eles servem de
esteio e facilitam a construção do conhecimento dos alunos.” (TAVARES et al., 2007,
p.132).
A importância da utilização de OA na educação é tão recorrente que, no Brasil,
foi criado um Repositório de Objetos de Aprendizagem, o RIVED (Rede Internacional
Virtual de Educação), do qual fazem parte a Argentina, Brasil, Peru e Venezuela (cf.
Reis, 2010). Esses Repositórios são “bancos de dados que armazenam dados sobre os
objetos, os metadados, e os objetos em si.” (NUNES, 2004, p.3). Os professores do
ensino médio ou ensino superior podem localizar o OA que lhes interessa, pois todos
eles são classificados por área do conhecimento, conteúdo, programa específico,
estratégia pedagógica, dentre outros critérios.
O RIVED tem como propósito produzir conteúdos digitais na forma de OA nas
diferentes áreas do conhecimento. Visa, primeiramente, auxiliar o ensino e a
aprendizagem e, em segundo plano, promover a utilização das TIC’s nas escolas, de
modo que os professores tenham acesso gratuito a tais recursos. Além de querer
provocar licenciados a deixar a posição de meros consumidores da tecnologia passando
30
para uma postura ativa, isto é, fabricar OA’s, para isto o RIVED propõe minicursos de
como construir estes OA e promove concursos para escolha dos melhores OA’s criados.
Segundo Reis (2010) e Nunes (2004), além do RIVED, existe atualmente o
CESTA (Coletânea de Entidades de Suporte ao uso de Tecnologia e Aprendizagem),
projeto vinculado à Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). O MEC que
disponibiliza no Portal do Professor, onde há OA’s, o 1484.12.1 Standard for Learning
Object Metadata e o Laboratório Virtual (LabVir), projeto desenvolvido pela USP, no
qual se encontram atualmente OA’s para várias áreas de conhecimento, sobretudo para
Física e Química. Trata-se de plataformas criadas com os mesmos propósitos e a partir
das mesmas preocupações: catalogar os OA´s existentes, de modo a oferecer
possibilidades para profissionais atuantes na área de educação.
Em se tratando de processos de construção de conhecimento Fagundes alega que
[...] para construir conhecimento, é preciso reestruturar as significações anteriores, produzindo boas diferenciações e integrando ao sistema as novas significações. Esta integração é resultado da atividade de diferentes sistemas lógicos do sujeito, que interagem entre si e com os objetos a assimilar ou com os problemas a resolver. Finalmente, o conhecimento novo é produto de atividade intencional, interatividade cognitiva, interação entre os parceiros pensantes, trocas afetivas, investimento de interesses e valores (FAGUNDES, 1999, p.24).
É neste ponto que a utilização dos OA's torna-se importante, pois eles permitem
ao aluno recombinar, construir, desenvolver novos conhecimentos, individualmente ou
em grupo, de forma interativa e no seu próprio ritmo. Desse modo, o professor tem em
mãos mais um recurso educacional que pode contribuir para a assimilação de seu
conteúdo.
Tarouco e Dutra (2007) apresentam desafios encontrados na utilização e na
construção de um OA: o tempo disponível para aplicá-lo e o número de atividades que o
ele deve possuir. A mudança de postura do professor é um desses problemas. Porém,
tais desafios também são percebidos em outros recursos educacionais e, pelos benefícios
aqui apresentados, a sugestão de utilizar um OA como meio facilitador do ensino e da
aprendizagem é de grande valia para que seja possível repensar e reconfigurar a eficácia
pedagógica das práticas de ensino. Após verificar as vantagens, potencialidades e
algumas das dificuldades que um OA pode oferecer ao ensino e à aprendizagem, é
necessário analisar como construir e/ou criar um OA.
Ao se trabalhar com recursos educacionais abertos, no que se refere ao OA, a
primeira preocupação está voltada para estratégia pedagógica escolhida. Nascimento
31
(2007) afirma que o um dos maiores problemas dos OA’s está na estratégia pedagógica
adotada, pois, às vezes, um OA é criado sem o respaldo pedagógico, elabora-se um
REA sob a forma de OA, com preocupações como as de: design, animações,
interatividade e a dimensão lúdica. Preocupa-se com a utilização do máximo de
potencial oferecido pelas mídias tecnológicas atuais, sem, contudo, a preocupação com
as questões epistemológicas. Assim, a autora defende que um OA tem que ter respaldo
em uma estratégia pedagógica, afirmando ainda que a produção de um OA parte da
premissa de uma equipe multidisciplinar na qual se tenha professores da área de
conhecimento e com domínio do conteúdo, professores ou alunos com experiência
tecnológica, isto é, programadores ou profissionais da área tecnológica, além de
profissionais da área pedagógica ou algum especialista que compreenda processos de
aprendizagem e métodos cognitivos. Assim, o trabalho fluirá melhor e com maior
dinamicidade, contribuindo principalmente para que não se perca de vista o foco
educacional. Destarte, essa cooperação pode contribuir para evitar alguns erros na
elaboração do OA. Além disso, sugere-se ainda que
[...] um Objeto de Aprendizagem deve oferecer ao aluno todas as condições e acessos aos recursos importantes para que ele conclua a atividade proposta. Esses recursos consistem em: instruções claras e completas, textos suplementares, glossários, calculadoras, instrumentos de medidas, fórmulas, gráficos, diferentes formatos de visualização, etc. (NASCIMENTO, 2007, p.139).
Em conformidade, Borba e Penteado (2001) alegam que o professor deve ter o
cuidado para não transformar uma aula expositiva em uma aula expositiva onde se
utiliza da tecnologia. Para evitar tal situação, é preciso escolher estratégias pedagógicas
que “enfatizem a experimentação, visualização, simulação, comunicação eletrônica e
problemas abertos.” (p.86). É nesse ponto que a preocupação com a estratégia
pedagógica é inerente à construção de OA, pois, caso não se tenha esse cuidado,
incorre-se no risco de criar um círculo vicioso no qual “modernamente, o quadro-de-giz
tem sido substituído por coloridas e animadas exposições em power-point. Dá no
mesmo.” (MASIN; MOREIRA, 2008, p.58) Os autores chamam a atenção para o fato
de que, na minuciosidade dessa alteração, a tecnologia informática e as outras
tecnologias (como o quadro, giz, lápis e papel) se complementam através dos seus
respectivos usos nas práticas de ensino. Desse modo, a interação estudante–OA pode
contribuir para o trabalho paralelo entre estas tecnologias.
32
A segunda preocupação está voltada para as atividades propostas. Silva et al.
(2007) sugerem que, as atividades elaboradas para o OA precisam despertar nos alunos
a capacidade de reflexão, para serem significativas e desafiadoras, a fim de que os
alunos se sintam motivados para uma dinâmica utilização desse sistema.
Júnior e Lopes (2007) levantam outra questão sobre a escolha das perguntas, isto
é, das atividades que comporão o OA, pois esta é uma atividade que permitirá o
“diálogo entre os alunos e professor em torno da aprendizagem de determinado
conteúdo escolar específico.” (p.9). Tais perguntas podem ser idealizadas de duas
formas, a saber: perguntas abertas e perguntas fechadas. As primeiras são aquelas que
permitirão ao aluno extrapolar o conteúdo abordado ou até mesmo se aprofundar na
matéria em questão; as segundas são aquelas que irão guiar e limitar mais a resposta do
aprendiz, como as questões de múltipla escolha. Ressalta-se aqui que ambas as
estratégias contribuem para o ensino e a aprendizagem. Porém, a diferença entre a
primeira e a segunda está no fato de que perguntas abertas exigirão maiores
intervenções do professor. No entanto, ambos os autores pensam que as perguntas
fechadas estão mais próximas da prática educativa de muitos professores, e ainda
esclarecem que optar por perguntas fechadas não anula a possibilidade de utilização das
perguntas abertas, sendo possível, portanto, desenvolver um OA que promova os dois
tipos de atividades.
Peres (2009), em sua pesquisa, cria um OA voltado para o conteúdo de máximos
e mínimos, cuja matéria está presente na disciplina de Cálculo. É perceptível que, para a
construção de um OA, as reformulações são constantes, e é possível tanto ampliar
quanto modificar tal Objeto durante o seu processo de criação, a fim de que os fins
propostos sejam alcançados. Ao aplicar o OA aos alunos de Cálculo, observou-se que
tal recurso auxilia na resolução das atividades de Matemática e ainda permite que o
próprio aluno controle o ritmo da sua aprendizagem.
Para construir um OA baseado no recurso digital, deve-se entender o que é um
material hipermídia. Segundo a definição de Bizelli; Fiscarelli e Barrozo (2010), esse
material é
[...] a junção de hipertexto com multimídia, onde multimídia são os diversos meios utilizados na representação de uma informação (texto, vídeo, áudio, animação) e hipertexto é um sistema onde a informação aparece na forma de texto, organizada não sequencialmente, mas por meios de ligações entre palavras chave. Através desses recursos computacionais, é possível apresentar o conteúdo necessário para a aprendizagem de uma maneira
33
dinâmica por meio de textos explicativos, imagens, áudio, vídeos e animações. (BIZELLI; FISCARELLI; BARROZO , 2010, p.3).
Sobre como desenvolver materiais hipermédia, comunga-se aqui da metodologia
de Amante e Morgado (2001), que trazem as fases de desenvolvimento desses materiais,
os quais se aplicam ao desenvolvimento de OA, visto que estes são materiais
hipermídia. As fases são caracterizadas como: “1. Concepção do Projeto; 2.
Planificação; 3. Implementação; 4. Avaliação.” (p.4).
Na fase de concepção do projeto adota-se uma perspectiva teórica, a partir da
qual serão analisados todos os fatores que influenciarão na criação do OA: a escolha e
delimitação do tema, a estratégia pedagógica utilizada, a construção realizada
individualmente ou em equipe, o público-alvo, o programa computacional utilizado ou a
linguagem computacional a qual será utilizada. Nessa primeira fase tem-se um esboço,
com palavras de como será esse OA.
Destarte, é na fase de planificação que as ideias suscitadas na primeira fase
começam a a se estruturar. É nesta fase que será feito o esboço da Interface; é aqui que
se analisa como é trabalhado o tema e como aplicar a prática pedagógica. No Design, há
a preocupação com a interação computador/usuário, como serão as telas, a fim de que
elas sejam agradáveis à visualização; e, por fim, é ainda nesta fase que se propõem
também as formas de navegação oferecidas ao usuário, que podem ser lineares,
hierárquicas, não lineares ou compostas. A concretização da planificação, no papel, é
definida, por Amante e Morgado (2001) como storyboard. Esta é a peça-chave que
auxilia o programador, pois, a partir de tal ferramenta, ele tem o caminho a seguir. Vale
lembrar que, durante o processo de programação, o storyboard pode sofrer alterações de
modo a atender às propostas apresentadas na primeira fase ou outras não pensadas
durante as duas primeiras fases.
A implementação é a fase que permite analisar se o OA está atendendo à
proposta inicial; é o momento em que se podem testar partes do storyboard já
programado e é quando o programador faz um protótipo do OA; esta fase também
permite reformulações tanto no protótipo quanto no storyboard.
Por fim, é na avaliação que serão analisados os propósitos definidos, sobretudo
no que diz respeito ao seu cumprimento; é o momento de testar, adequar, visar e
analisar se tudo ocorreu conforme o planejado. Com base nessa avaliação, é possível
corrigir aspectos que não foram identificados nas fases anteriores. Amante e Morgado
(2001) sustentam a ideia de que a avaliação não coloca um fim no ciclo, mas que o
34
processo é dinâmico e permite ao idealizador voltar ou avançar nessas fases quantas
vezes precisar, a fim de melhorá-las e, assim, atender ao objetivo proposto. O esquema é
apresentado pelas autoras na figura 1.
Figura 1: Ciclo de desenvolvimento de uma aplicação
Fonte: Adaptado de Amante e Morgado, 2001, p.16
Através do esquema acima, é possível analisar a dinamicidade entre as fases,
bem como a dimensão complementar presente entre elas ao longo do processo.
Silva et al. (2007), ao estudarem os princípios cognitivos na construção e
desenvolvimento de OA, descrevem praticamente as etapas aqui apresentadas por
Amante e Morgado (2001) e, a título de sugestão, propõem a criação de um guia do
professor, para que os educadores saibam como utilizar o OA tanto em sua dimensão
pedagógica quanto tecnológica, sugerindo ainda que a criatividade contribuirá na
construção de excelentes OA´s.
Reis (2010), a partir da metodologia de Amante e Morgado (2001), buscou as
características do processo de construção de um OA para conteúdos de Cálculo. Em sua
pesquisa, foi analisada a criação de um OA por cinco alunas do curso de licenciatura em
Matemática. Apresentaram-se as dificuldades presentes no processo de construção do
OA desde o seu início ao seu término. O autor relata dificuldades como: a delimitação
do tema, o desenvolvimento do Desing Pedagógico das atividades, o domínio do tema
escolhido, a participação do professor orientador em alguns momentos de
esclarecimentos e as várias reestruturações feitas na tentativa de atender melhor a
proposta pedagógica escolhida. Tais dificuldades levantaram reflexões, discussões,
registros e depurações das ideias relacionadas aos problemas encontrados durante todo o
processo, assim como reformulações constantes. Porém, foi possível, mediante todas as
dificuldades, elaborar um OA que atendesse as propostas iniciais.
Em suma, o computador é uma mídia que pode auxiliar o ensino aprendizagem,
tendo como uma das formas de utilização dessa ferramenta os REA. Dentre os REA’s
existentes, torna-se interessante os ditos OA’s, definidos para esta dissertação como
35
recursos digitais com enfoque educacional que apresentam características como
flexibilidade, facilidade para atualização, customização e interoperabilidade, cuja
compreensão epistemológica foi feita à luz das reflexões de Nunes (2004), Wiley
(2000), Macêdo (2007) e Nascimento (2007). Características e compreensão utilizadas
para criar o OA desta pesquisa. Ainda para criar o OA, buscou-se, dentro do campo da
educação matemática, analisar a resolução de problemas, a fim de ser utilizada, nesta
pesquisa, como estratégia pedagógica na construção de um OA.
2.3 Resolução de Problemas: uma estratégia pedagógica
Como suscitado anteriormente, é necessário ter em vista uma estratégia
pedagógica na construção de um OA. Desse modo, faz-se aqui necessário analisar se a
resolução de problemas pode ser adotada como estratégia pedagógica na construção de
um OA. Historicamente, a resolução de problemas é percebida em documentos a partir
do matemático grego Pappus, em cujo discurso é notável a preocupação com tal
procedimento. Gazire (2009, p.4) salienta que “pode-se esperar que os problemas
matemáticos sejam o centro do ensino da Matemática”. Desse modo, a resolução de
problemas “pode embasar os caminhos a serem seguidos no desenvolvimento do
pensamento matemático nos alunos.” (p.7), auxiliando-os nessa área do conhecimento.
Laudares e Lachini (2001, p. 72) expõem que o saber pode “ser adquirido através de
uma situação problemática.” Essa situação permite soluções de problemas através de
etapas, a fim de que se chegue a uma conclusão, momento no qual o aluno poderá fazer
reflexões a respeito do desenvolvimento processual e da compatibilidade do problema
proposto e da resposta obtida.
Para compreender a importância que a resolução de problemas tem para o ensino
e a aprendizado em Matemática, deve-se compreender, antes de mais, o que vem a ser
um “problema”. De acordo com o pensamento de Dante (2003), os problemas são
situações criadas para que, através do pensamento e da lógica, o sujeito busque formas
de resolução. Assim, situações nas quais o indivíduo já tenha estratégias conhecidas ou
as realize de forma imediata, a resolução das mesmas não se apresentará como
problema. Nessa perspectiva, Pozo alega
[...] é possível que uma mesma situação represente um problema para uma pessoa enquanto que para outra esse problema não existe, quer porque ela não se interesse pela situação, quer porque possua mecanismos para resolvê-
36
la com um investimento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-la a um simples exercício. (POZO, 1998, p. 16)
Em conformidade com esse conceito de problema, Diniz e Smole (2001)
afirmam que a Resolução de Problemas trata de situações nas quais a resolução não
ocorre imediatamente, isto é, de situações onde há combinações de conhecimentos
prévios e decisões na escolha da melhor forma de buscar a solução.
Dante (1995, p.10) também define um problema matemático como “qualquer
situação que exija a maneira matemática de pensar além de conhecimentos matemáticos
para solucioná-la”. Assim, carece fazer a distinção entre exercício e problema,
principalmente no que se refere às ciências matemáticas. Nesse contexto, e dando
grande contribuição para a discussão que aqui se desenvolve, Pozo (1998, p.10) lembra
que “no exercício, disponhamos e utilizamos mecanismos que nos levam a uma solução
de forma imediata, diferenciando-o assim do problema”. No campo matemático, o
problema é um desafio que coloca os alunos frente a situações inusitadas, desconhecidas
e que, a priori, não revelam uma estratégia de resolução imediata por parte do aprendiz.
Dessa maneira, cabe ao aluno pensar a ferramenta que melhor se enquadraria na sua
resolução, bem como perceber se elas existem ou não. Complementando esta visão,
Dante (1995) afirma que o exercício é o ato ou efeito de exercitar, e serve para praticar e
repetir certos processos ou algoritmos. Assim, a diferenciação está em que os exercícios
permitem o treino de métodos já elaborados de resoluções em Matemática, enquanto os
problemas carecem de reflexões e análises para serem resolvidos.
No que se refere aos problemas de fenômenos físicos, Anton; Bivens e Davis
(2007) sustentam a ideia de que, aqui, estão em causa problemas em que as grandezas
presentes variam com relação a outras, de modo que a “[...] velocidade de um foguete, a
inflação de uma moeda, o número de bactérias de uma cultura, a intensidade de um
tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico [...]” (p.165) são exemplos de
variáveis presentes em problemas de fenômenos físicos.
Pozo (1998) relata que, para que o ensino e a aprendizagem em qualquer área do
conhecimento sejam efetivados com êxito, é necessário que o aluno não tenha apenas os
conhecimentos já elaborados, isto é, aqueles que fazem parte da cultura e ciência de
uma sociedade, mas, principalmente, que adquira habilidades que o permitam aprender
de maneira autônoma. O autor afirma que uma das formas de dar autonomia aos alunos
é através da resolução de problemas, pois o ensino baseado nesse método leva o
aprendiz a ter uma postura ativa diante de situações novas e diferenciadas, fazendo com
37
que ele se esforce para encontrar sua própria resposta e construir seu próprio
conhecimento.
De acordo com Branca (1997), a expressão “resolução de problemas” é
diversificada e traz diferenciados significados. Porém, em Matemática, a expressão é
mais limitada, mas ainda assim traz vários significados e interpretações.
As atividades classificadas como resolução de problemas em matemática incluem resolver problemas simples, desses que figuram em livros didáticos comuns, resolver problemas não rotineiros ou quebra-cabeça, aplicar a matemática a problemas do mundo “real” e conceber e testar conjecturas matemáticas que possam conduzir a novos campos de estudo. (BRANCA, 1997, p. 4).
Dentre estas várias possibilidades de interpretar a resolução de problemas, a
autora apresenta três concepções, sendo elas: a resolução de problemas como uma meta,
como um processo e como uma habilidade básica.
A primeira concepção defende o ensino de conceitos matemáticos para
desenvolver habilidades de resolução de problemas, podendo, assim, ser vista com uma
meta de estudo.
A segunda concepção dá ênfase à resolução de problemas como um “processo
dinâmico e contínuo” (BRANCA, 1997, p.5). Nessa concepção, as estratégias
utilizadas pelos aprendizes para resolver os problemas se tornam mais importantes do
que apenas chegar simplesmente à resposta do problema.
Já a terceira concepção traz um ponto de tensão ao propor a resolução de
problemas como habilidade básica em Matemática, pois tal conceito traz disparidades
no que se refere à definição de habilidades básicas em Matemática.
Diniz e Smole (2001), com base nas concepções apresentadas por Branca (1997)
e em estudos realizados pelas mesmas, desenvolveram uma concepção própria de
resolução de problemas, de acordo com a qual esse conceito é visto como uma
perspectiva metodológica. Ao utilizarem, neste contexto, o termo perspectiva enquanto
uma certa forma de analisar, as investigadoras quiseram ampliar o conceito de resolução
de problemas, de modo a não se restringirem em uma metodologia elementar. Assim, a
Resolução de Problemas contribui para um modo de organizar o ensino, amplia-se para
uma outra postura de ensino e aprendizagem. Em conformidade com Pozo
[...] ensinar os alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam responder, ao invés
38
de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor. (POZO, 1998, p. 09)
Diante desta reflexão, são apresentadas três características da perspectiva
metodológica de Diniz e Smole (2001) para a resolução de problemas.
A primeira característica demonstra que um problema é qualquer situação que
permita problematização. Nesta característica, a ideia de situação pode aludir a qualquer
forma de atividade e até mesmo a problemas que opurtunizem investigação, fazendo
com que o aprendiz determine o seu ritmo de aprendizagem.
A segunda característica desta perspectiva tenciona propor situações-problema.
Porém, o aluno já estará munido de métodos para resolvê-las, o que vai permitir, assim,
o treino de procedimentos e estratégias.
A terceira característica propõe o intrínseco trabalho entre
conteúdo/metodologia. Durante as situações-problema, deve haver oportunidade para
que o aprendiz construa conhecimentos sobre o conteúdo, de modo a não favorecer
apenas o treino de manipulações ou a resolução de forma mecânica.
Nesta perspectiva apresentada por Diniz e Smole (2001), a resposta da situação-
problema correta se torna tão importante quanto aos processos utilizados para encontrá-
la. Assim, analisar os processos utilizados e/ou as estratégias permitirá ao aprendiz
ampliar o seu conhecimento no que se refere à prática de resolução de problemas. A
partir desta análise, o aprendiz pode investigar a solução, o processo utilizado e a
própria situação apresentada, desenvolvendo em si mesmo a postura de inconformidade
frente às questões impostas e proporcionando, assim, o desenvolvimento do senso
crítico e da criatividade discente.
Analisar a Resolução de Problemas como uma perspectiva metodológica a serviço do ensino e da aprendizagem de matemática amplia a visão puramente metodológica e derruba a questão da grande dificuldade que os alunos e professores enfrentam quando se propõe a Resolução de Problemas nas aulas de matemática (DINIZ; SMOLE, 2001, p.87).
Nessa perspectiva metodológica, a resolução de problemas é sugerida como
ferramenta de auxílio no aprendizado contínuo de Matemática, e não como simples fato
inerente à esta ciência. Se, por um lado, a resolução de problemas contribui para o
aprendizado do conteúdo matemático, é necessário analisar como se dá o processo de
resolução de um problema. Essa discussão atravessou os séculos, perpassando textos de
Pappus, René Descartes, dentre outros, que tiveram preocupações em como se
39
desenvolve tal processo. Em Polya (1977), é possível analisar um esquema com as
quatro etapas principais que auxiliam nessa resolução:
a) Compreender o problema;
b) Elaborar um plano;
c) Executar o plano;
d) Fazer o retrospecto ou verificação.
Essas etapas não são obrigatórias, mas são, entretanto, passos que vêm auxiliar
na resolução de um problema. Dentro de cada etapa, o autor sugere perguntas que visam
auxiliar o encaminhamento de cada passo no processo da resolução.
Na compreensão do problema, o aluno é levado a refletir o enunciado e buscar
os dados presentes no enunciado do problema. Para organizar tais dados e fazer as
devidas conexões entre os mesmos, a fim de se chegar a uma solução sugere elaborar
um plano. Com um plano bem definido, é hora de executá-lo, colocá-lo em prática,
verificando e validando cada passo. A última etapa, que corresponde ao retrospecto, é o
momento no qual se examinará o resultado encontrado, etapa na qual o aluno deve
refletir todo o processo, analisando se a resposta encontrada é de fato coerente com
relação aos dados e se é possível outros caminhos para se chegar à mesma conclusão.
Stewart (2006) comenta sobre a dificuldade que os alunos apresentam na
resolução de problemas e alega que, para resolver problemas, não há um único
procedimento ou procedimentos bem definidos. Sugere a sua própria estratégia de
resolução de problemas, que, na verdade, é uma adequação dos passos sugeridos por
Polya (1977) no que diz respeito aos problemas de Cálculo. O autor renomeia os passos
em quatro etapas: entendendo o problema, planejamento, cumprindo o plano e revendo.
Entendendo o problema: fase que remete a atenção do aluno para, perguntas
como apresentado por Polya (1977) na compreensão do problema. Além disso, essa fase
compreende também a elaboração de diagramas, quando possível, e a introdução de
notações matemáticas necessárias e apropriadas.
No planejamento, sugere-se o reconhecimento de padrões familiares, como
equações matemáticas por exemplo, o uso de analogias já conhecidas pelo aluno, a
divisão do problema em casos menores, respaldando o trabalho no retrospecto e, assim,
estabelecendo submetas, utilizando raciocínio direto ou até mesmo a indução
matemática.
O foco da resolução de problemas de Stewart (2006) encontra-se na etapa em
que se cumpre o plano. É o momento de aplicar as ponderações realizadas na segunda
40
etapa. Quanto à etapa de rever, trata-se do momento de refletir sobre todos os passos
dados e também sobre a resposta encontrada.
Deste modo, a resolução de problemas é defendida como uma estratégia
pedagógica, pois, segundo as visões apresentadas, através da resolução de um problema
pode-se chegar à compreensão de conceitos e à construção do conhecimento. Assim,
para o OA construído, foi utilizado como estratégia pedagógica a resolução de
problemas.
41
3 TAXAS E O ENSINO DE CÁLCULO
3.1 Taxas de Variação e Taxas Relacionadas
Para que se compreenda o conteúdo de Cálculo abordado nesta dissertação
(Taxas Relacionadas), analisa-se primeiramente o objeto de estudo do Cálculo. Pode-se
dizer que o Cálculo estuda a “variação e movimento” (ZUIN, 2001, pg.13). Assim, a
Matemática, através do Cálculo, ganha uma nova dimensão. A sua representação,
muitas vezes estática, ganha dinâmica e, a partir dos movimentos, novos conceitos são
incorporados.
Um desses conceitos é o de Taxas de Variação cujo vetor é extremamente
necessário para o estudo de Taxas Relacionadas. Baseado em Stewart (2006), tem-se:
suponha que uma quantidade y depende de uma quantidade x. Desse modo, pode-se
escrever uma função f, onde a imagem pode ser dada por y = f(x). Caso o valor de x
varie de 1x para 2x , então haverá uma variação de x chamada de 12 xxx −=∆
(incremento de x), e uma variação correspondente de y determinada por
)()( 12 xfxfy −=∆ (incremento de y), de modo que o quociente x
y
∆
∆ é denominado
“taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [ 1x , 2x ] [...]” (STEWART,
2006, p.154). Quando essa função é representada graficamente, o quociente apresentado
pode ser interpretado como a inclinação de uma reta secante a curva y = f(x) que passa
pelos pontos (1x ; 1(xf )) e ( 2x ; )( 2xf ). Assim, algebricamente, a taxa de variação média
é o quociente x
y
∆
∆ e, geometricamente, é a inclinação de uma reta secante.
O quociente x
y
∆
∆ está presente em grandezas variáveis que representam
fenômenos físicos como velocidade, aceleração, torque, corrente elétrica, custo
marginal, dentre outros. Essas grandezas podem ser representadas algebricamente por
funções que, por sua vez, dependem do tempo, podendo-se achar incrementos. Por
exemplo: a aceleração é a variação da velocidade 12 vvv −=∆ (incremento da
velocidade) em relação à variação do tempo 12 ttt −=∆ (incremento do tempo),
podendo ser escrita como o quociente a = t
v
∆
∆, que é a aceleração média. Observa-se
42
que os quocientes x
y
∆
∆ e
t
v
∆
∆ se diferem apenas quanto à escolha das notações utilizadas.
Contudo, esses quocientes detêm o mesmo significado, isto é, a variação de uma
grandeza em relação à outra.
Já a taxa de variação instantânea é dada como o limite de x
y
∆
∆ quando o
incremento x∆ aproxima-se de zero, isto é, quando o quociente desta fração tende a
zero. O gráfico 1 auxilia na compreensão
Gráfico 1: Função f
Fonte: Stewart, 2006, p. 154
No gráfico, tem-se inicialmente a reta secante a curva exposta no gráfico da
figura 2. Esta reta passa pelos pontos P e Q. Assim, a taxa de variação média é a sua
inclinação, que também pode ser calculada pelo quociente x
y
∆
∆. Quando o ponto
2x aproxima-se de 1x , o incremento x∆ aproxima-se de zero. Deste modo, a reta secante
tende a reta tangente à curva passando pelo ponto P, e a inclinação desta reta é definida
como taxa de variação instantânea. De modo formal, o 12
12
0
)()(limlim
12 xx
xfxf
x
y
xxx −
−=
∆
∆
→→∆
é a taxa de variação instantânea. Esse limite, para esta dissertação, receberá o nome de
limite especial, visto que sua ocorrência no estudo de Cálculo é frequente.
Segundo Zuin (2001), a diferença entre taxa de variação média e taxa de
variação instantânea, quando trabalhada como um fenômeno físico, pode ser
compreendida do seguinte modo: imagine um carro partindo de um ponto A para um
ponto B em trajetória curvilínea, estando tais pontos fixados em um eixo de referência
43
(plano cartesiano) em que a abscissa representa o tempo e a ordenada a posição do
móvel em cada instante. A distância entre os pontos A e B pode ser calculada como y∆
e o tempo que esse carro gastou para sair de A e chegar em B pode ser calculado como
x∆ . Para obter a velocidade média, isto é, se o carro tivesse ido com a mesma
velocidade de A até B sem mudar o seu módulo da velocidade, bastaria calcular x
y
∆
∆.
Quando representado graficamente, este quociente representa a inclinação da reta
secante que passa pelos pontos A e B. Fisicamente, esse mesmo quociente representa a
taxa média de variação, denominada, neste caso, como velocidade média.
Porém, sabe-se que, em um determinado tempo (1x , 2x ou em qualquer outro
tempo em que o carro estivesse andando em linha reta possuindo aceleração), a
velocidade do veículo iria variar, podendo não ser a mesma durante todo o trajeto entre
A e B, de onde surge o conceito de taxa de variação instantânea, a velocidade do carro
no momento 1x , 2x ou em qualquer outro momento. Para isso, a partir da velocidade
média, dada pelo quociente x
y
∆
∆, pode-se procurar a velocidade instantânea no exato
momento 1x . Bastaria ir aproximando 2x de 1x , o que faria com que o denominador
desta fração fosse se aproximando de zero. Assim, chega-se à idéia do limite da taxa de
variação média que é a taxa de variação instantânea. Ao representar graficamente a
situação por uma função s (posição), a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto
1x é exatamente a taxa de variação instantânea. Para fins pedagógicos, podem-se utilizar
outras notações para representar as grandezas presentes. Por exemplo: a posição poderia
ser representada por s e o tempo por t, de modo que, ao representar no eixo de
referência, a função seria s com imagens s(t), e não mais f com imagens y = f(x). As
notações mudariam, porém a ideia continuaria presente.
Thomas (2002, p.154) alega que, nos problemas de Cálculo, “quando dizemos
taxa de variação, queremos dizer taxa de variação instantânea”, sendo pertinente, assim,
omitir o adjetivo instantâneo quando se tratar de taxas de variação no conteúdo de Taxas
Relacionadas. Tais conceitos já devem estar formalizados para o aluno no momento em
que ele for trabalhar com as taxas relacionadas.
A importância do estudo de taxas de variação é apresentada por Stewart
[...] taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (que é chamada potência). Quem estuda as reações químicas se interessa pela taxa de
44
variação da concentração de um reagente em relação ao tempo (denominada taxa de reação). Uma siderúrgica se interessa pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas e aço por dia em relação a x (definida como custo marginal). Um biólogo está interessado na taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo. De fato, o cálculo de taxas de variações é importante nas engenharias e em todas as ciências naturais, exatas e até mesmo as sociais. (STEWART, 2006, p.155).
As taxas de variação estão presentes no vasto campo do conhecimento científico
e, a partir dessa abrangência e importância conceitual, torna-se preocupação do
professor a melhor maneira de ensinar tal conteúdo e as mais eficazes formas de
clarificá-lo para seus alunos.
Ao estudar as taxas de variação instantânea, recorre-se ao limite especial
12
12
0
)()(limlim
12 xx
xfxf
x
y
xxx −
−=
∆
∆
→→∆, que recebe o nome de função derivada. Desse modo,
a derivada é uma taxa de variação que, enquanto tal, está presente nas resoluções de
problemas, nomeadamente no que se refere às Taxas de Variação, e, por consequência,
às Taxas Relacionadas. As derivadas podem ser representadas por notações como y’,
f’(x), dx
dy, dentre outras, quando a função estudada f possui imagem y = f(x). Stewart
(2006, p.161) define “A derivada f’(a) é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em
relação a x quando x = a”. Isto é, num determinado instante, e ainda “as derivadas são
interpretadas como as inclinações e as taxas de variação.” (p.183). É importante
ressaltar que os conceitos de taxa de variação, inclinação de uma reta tangente e
derivada são intrínsecos.
Nesta pesquisa, o objetivo de estudo requer o conceito de derivada, bem como as
regras de derivação. Nesse sentido, Stewart (2006) alega que utilizar a todo o momento
a definição de derivada, isto é, o limite especial, para resolver problemas seria tedioso, o
que o leva a sugerir as regras de diferenciação, pois elas facilitarão o trabalho de
calcular as derivadas, evitando perda de tempo no que se refere aos problemas de taxa
de variação e até mesmo aos problemas envolvendo funções. Logo, há a necessidade de
que o aluno já domine as regras de diferenciação, em especial a regra da cadeia, que
dará o suporte ao estudo das taxas relacionadas. Contudo, é necessário que o aluno
compreenda o significado de derivada como uma taxa de variação.
Perfazendo este trabalhado de forma significativa, o aluno poderá compreender a
essencialidade desses conceitos no que diz respeito ao estudo de taxas relacionadas.
Stewart (2006, p.255) diz que “em um problema de taxas relacionadas, a ideia é
45
computar a taxa de variação de uma grandeza em termos de taxa de variação da outra
(que pode ser medida mais facilmente).” Neste contexto, Thomas (2002) define Taxas
Relacionadas como a atividade de “encontrar uma taxa que não pode ser facilmente
medida a partir de uma outra. O que pode ser medido é um problema que se chama
problema de taxa relacionada.” (p.197). Assim, a partir de taxas de variação conhecidas,
pretende-se relacioná-las com a utilização da regra da cadeia, a fim de obter outra taxa
que, por sua vez, possa ser facilmente calculada por essa relação, a qual pode ser
alcançada por equações matemáticas já existentes ou elaboradas para tal propósito.
Apesar dos tão diversificados problemas de Taxas Relacionadas a presente
dissertação buscará abordar os problemas de fenômenos físicos que, segundo Anton;
Bivens e Davis (2007, p.165) são aqueles que “envolvem grandezas que variam, como a
velocidade de um foguete, a inflação de uma moeda, o número de bactérias em uma
cultura, a intensidade do tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico, e
assim por diante.” Assim, pode-se concluir que problemas de fenômenos físicos
envolvem variações de grandezas.
3.2 Ensino de Cálculo: propostas e dificuldades
Segundo Zuin (2001), a essência do Cálculo aconteceu no século XVII, a partir
dos estudos de Isaac Newton e Leibniz. Porém, muitos povos (egípcios, gregos, dentre
outros) e outros matemáticos, antes e depois de Newton e Leibniz, contribuíram para a
elaboração das ideias e formalizações de conceitos que hoje estão presentes neste
conteúdo. Newton reconhece essas contribuições: “Se eu pude ver mais longe é porque
estava apoiado em ombros de gigantes.” (ZUIN, 2001, p.16).
Inicialmente, o Cálculo tem seus estudos voltados para o movimento ou fluxões
– termo utilizado por Newton. Assim, ainda segundo a autora, com Newton e Leibniz,
“o Cálculo passa a constituir um campo autônomo do conhecimento, sendo empregado
para resolver diversos problemas.” (ZUIN, 2001, p.28), tornando-se uma ciência
indispensável tanto ao auxílio do desenvolvimento tecnológico e das disciplinas afins à
Matemática quanto para as áreas de humanas. Lachini (2001, p. 67) alega que “o
Cálculo é um capital cultural, um bem simbólico cuja eficácia reside na possibilidade de
ser um instrumento teórico e metodológico de abordagem de muitos fenômenos físicos,
através da modelagem matemática”, evidenciando a importância deste conteúdo. A esse
respeito, Stewart pondera que
46
[...] hoje, o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites e naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa de como aumenta o preço do café, na previsão do tempo, na medida do fluxo sanguíneo de saída do coração, no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande variedade de outras áreas. (STEWART, 2006, p.9).
A importância do conteúdo transcende a riqueza cultural e, nos tempos atuais,
tendo em vista sobretudo a possibilidade de gerar novas descobertas e auxiliar o avanço
científico e/ou tecnológico a partir dos conhecimentos de Cálculo, surge a preocupação
quanto ao ensino e sua aprendizagem dessa área de conhecimento. Diante de tal
realidade, há várias pesquisas atualmente desenvolvidas e que se voltam para o ensino e
a aprendizagem de Cálculo. Essas pesquisas se devem à importância desse conteúdo e,
sobretudo, devido aos altos índices de reprovação, repetência e abandono dessa
disciplina nos cursos de Matemática e Engenharia. Tais pesquisas visam buscar
contribuições para ensinar os conteúdos de Cálculo de modo significativo, bem como
verificar onde se apresentam as dificuldades que culminam em um “fracasso” dos
alunos nessa disciplina, além de buscar soluções para trabalhar as dificuldades surgidas
durante o processo.
Pesquisas como as de Miranda (2010), Frota e Couy (2007), Rezende (2007),
Lachini (2001) e Barros e Meloni (2006) buscam por essas respostas e propõem
estratégias a serem empregadas no ensino e na aprendizagem dessa disciplina.
Frota e Couy (2007) fizeram uma pesquisa para verificar a visualização,
permitindo a comunicação entre as representações no estudo de Cálculo. Em
Matemática, as representações podem surgir em forma de gráficos, diagramas, gráfico-
numérica, em linguagem natural (verbal-descritiva), na formalização e nas técnicas de
manipulações algébricas. A partir da visualização, tais representações podem permitir
ao aluno assimilar conceitos presentes na Matemática. Thomas (2002, p. 16), a respeito
dos gráficos, considera que tais ferramentas “ajudam por apresentar uma representação
visual de conceitos e relações”. Assim, é defendida a utilização de processos visuais
como forma de ensinar Cálculo, “pois estudantes dispostos a utilizar os processos
visuais apresentam uma maior habilidade na resolução de problemas matemáticos.”
(FROTA; COUY, 2007, p.12). Porém, Frota e Couy (2007) alegam que esses processos
são pouco estimulados em sala de aula, em todos os níveis: fundamental, médio e
superior, motivo pelo qual defendem que a introdução do Cálculo pode ser informal,
intuitiva e conceitual, devendo ser promovida a partir da utilização dos vários tipos de
47
representações, de modo a construir no aluno a capacidade de uma “compreensão
conceitual” (p.14).
Promover o estudo de cálculo através da visualização gráfica, numa perspectiva que permita a comunicação entre as várias formas de representação matemática e a passagem de um tipo de linguagem a outro pode, com efeito, elevar a qualidade da aprendizagem nos cursos de cálculo. (FROTA; COUY, 2007, p.14).
O trabalho pode ser realizado com dinamicidade entre as representações,
momento em que o aluno tem a oportunidade de representar as situações de diversas
formas, a fim de visualizar e compreender a situação, incorporando e desenvolvendo os
conceitos em questão. Lachini citando Stewart, considera que
A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que esta deve ser a meta principal no ensino de Cálculo, em sintonia com a diretriz da Conferência de Tulane, de 1986, que formulou como recomendação fundamental; focalizar na compreensão conceitual. (STEWART apud LACHINI, 2001, p.172).
Assim, esse autor reforça que o estudo de Cálculo deve se focar no significado
dos conceitos envolvidos, sem a preocupação de, a priori, formalizá-los com o rigor
matemático, pois “somente quem apreende o conceito é capaz de descrever e
verbalizar.” (LACHINI, 2001, p.172), para enfim formalizar.
Miranda (2010) verifica a dificuldade dos seus alunos em visualizar os traçados
de gráficos de superfícies tridimensionais. Para auxiliar essa visualização, o professor
utilizou um software matemático. Através de atividades que permitiram a utilização de
“mídias, lápis, papel e software, em conjunto com aspectos de uma abordagem
metodológica de experimentos de ensino, favorecem uma interação de conteúdos novos,
subsunçores e imagens conceiturais dos estudantes” (MIRANDA, 2010, p.126). Ainda
na mesma pesquisa, conclui-se que a utilização das mídias, entendidas aqui como
softwares e outros materiais hipermídia, bem como o lápis e papel, não somente
permitiu visualizar as superfícieis, mas contribuiu na construção do conhecimento dos
alunos. A utilização do computador enquanto mídia contribuiu também para a
“construção, visualização, comparação e comprovação das conjecturas dos aprendizes,
contribuindo de maneira significativa para sua aprendizagem dos conteúdos
pretendidos.” (MIRANDA, 2010, p.127). A TIC promoveu de forma mais agradável a
compreensão de conceitos pelos alunos, uma vez que eles foram capazes de configurar
48
seu próprio conhecimento, além de favorecer a visualização e as representações do
conteúdo abordado.
Outra dificuldade apresentada é a defasagem em conteúdos matemáticos básicos,
apresentada pelos alunos que ingressam nos cursos superiores. Alega-se que tais
dificuldades, já acumuladas durante o ensino básico, como o pouco conhecimento dos
conceitos matemáticos, dificultam certas compreesões no conteúdo de Cálculo. Uma das
medidas adotadas pelas instituições foi criar disciplinas auxiliares para dar
embasamento ao aluno. O “Cálculo (0, I, II, III...) ou ainda Cálculo (A, B, C, D, ...)
[...]” (MIRANDA, 2010, p.20) que, segundo o autor, normalmente o Cálculo 0 e/ou o
Cálculo A fazem revisões de conceitos e técnicas de manipulações algébricas do ensino
básico.
Enquanto instituições tentam amenizar essas dificuldades implementando o pré-
Cálculo ou Fundamentos de Matemática Elementar para suprir as lacunas trazidas pelos
alunos que cursarão o conteúdo de Cálculo, há pesquisadores (como Nasser, Sousa e
Torraca (2012)) que buscam analisar o fracasso no ensino e na aprendizagem de Cálculo
sob outro olhar: voltar ao Ensino Médio e verificar como se dá a transição dos
paradigmas de ensino deste período escolar para o Ensino Superior. Além disso, esses
investigadores propõem também certas mudanças em conteúdos trabalhados no Ensino
Médio, visando um melhor rendimento na aprendizagem de Cálculo no Ensino
Superior.
Em sua pesquisa, os autores evidenciam dois conteúdos pertinentes a essa
transição de práticas de ensino e transmissão de conhecimento: a Geometria e as
Funções. O modo como estes dois conteúdos são trabalhados no Ensino Médio contribui
para o fracasso em Cálculo no percurso do Ensino Superior. Os autores ainda sugerem
um modo para abordar esses conteúdos de modo a facilitar a aprendizagem de Cálculo.
Sobre a Geometria:
[...] observa-se que a maioria dos problemas do Cálculo depende de uma representação visual adequada, como os problemas típicos de “máximos e mínimos”, de “taxas relacionadas” e de “área entre curvas”. Em geral, a dificuldade dos alunos nesses problemas não é na aplicação do conceito de derivada ou de integral, mas na sua representação geométrica e na identificação de relações entre os elementos da figura. (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012, p.5).
Transitar da Geometria para Álgebra é uma das dificuldades levantadas pelos
autores. Dada uma situação problema que envolva geometria, extrair as informações
49
presentes com as devidas notações algébricas, a fim de resolvê-la utilizando as devidas
ferramentas e notações necessárias, é um fator complicador no estudo de Cálculo.
Em problemas de Taxas Relacionadas, por exemplo, além da representação
Geométrica, o aluno deve ser capaz de idealizar o movimento. A presença de tal
movimento é dificultada pela abordagem e pelo tratamento dado aos conteúdos durante
o Ensino Médio. Sobre este aspecto, Nasser, Sousa e Torraca (2012), citando
Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (1994,) alegam que os professores do Ensino Médio
não fazem o elo necessário entre o Ensino de Geometria e o de Ensino de Cálculo:
O verdadeiro desafio está na habilidade de desenvolver uma representação geométrica de situações físicas a partir de uma descrição verbal complicada. Muitas vezes, a chave da solução consiste em resolver um problema geométrico em que o tempo é “congelado”. (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012, p.247).
Neste aspecto, os problemas de Taxas Relacionadas podem ter um suporte
inicial no Ensino Médio ao se trabalhar o conteúdo de Geometria, cujo suporte é
categorizado como “Prontidão para o Cálculo” (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012,
p. 11), isto é, durante o trabalho de um certo conteúdo no Ensino Médio, seria possível
fazer pequenas adaptações que, no futuro, facilitariam o estudo de Cálculo no Ensino
Superior. Os investigadores dão o seguinte exemplo para a Geometria enquanto suporte
para o ensino de Taxas Relacionadas.
Quadro 1: Problema de taxas relacionadas
Um tanque tem a forma de um cone invertido, com altura H e raio do topo
circular igual a R. Inicialmente vazio, o tanque começa a encher de água a uma vazão
constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o nível da água
dt
dh, em função da profundidade h.
Fonte: Nasser, Sousa e Torraca, 2012, p.13.
Tem-se a descrição verbal apresentada e, dessa descrição, pode-se representar
geometricamente a situação:
50
Figura 2: Seção transversal do tanque.
Fonte: Nasser, Sousa e Torraca, 2012 , p. 14.
Em nível superior, O problema pode ser trabalhado segundo o conteúdo de
Taxas Relacionadas, que corresponde a trazer uma equação que relacione os dados
presentes no problema (relações entre os elementos da figura) e a se utilizar da regra da
cadeia para fazer o elo entre as taxas de variação presentes, a fim de achar o dado
procurado.
No Ensino Médio, esse problema pode ser trabalhado de modo a pedir aos
alunos que calculem o volume de água no tanque em cada instante. Desse modo, a ideia
implícita de movimento se fará presente, assim como o trabalho da Geometria com
semelhança de triângulos e a função que relaciona os dados apresentados. Essa é uma
abordagem que configura, segundo Nasser, Sousa e Torraca (2012) a prontidão para o
cálculo.
Para o estudo de funções, Nasser, Sousa e Torraca (2012) sugerem a construção
de gráficos de forma manual ou com auxílio de tecnologia, a translação de gráficos de
funções, a simetria (ímpar e par), fazer elos entre o conteúdo de funções (e outros
conteúdos matemáticos), exemplos, progressões (aritmética e geométrica) e a geometria
e o trabalho com funções de várias sentenças, de modo a focar nos conceitos.
Assim, os resultados da pesquisa sugerem duas orientações a respeito do ensino
de geometria e funções: a primeira é “desenvolver uma proposta alternativa para as
aulas de Matemática no Ensino Médio, que antecipe situações e problemas do Cálculo,
gerando o que chamamos de prontidão para o estudo de Cálculo.” (NASSER;
SOUSA;TORRACA, 2012, p.17). No que se refere à Geometria como auxílio no ensino
de Taxas Relacionadas, deve-se “contemplar representações gráficas de figuras bi e
tridimensionais, típicas de problemas de taxas relacionadas e de máximos e mínimos
[...]” (p.17); a segunda proposta é trabalhar atividades de Matemática Básica com os
alunos calouros dos cursos que requerem Cálculo como disciplina básica, de modo a
51
desenvolver um “pensamento matemático avançado” (NASSER; SOUSA; TORRACA,
2012, p.17). Essas duas propostas tentam, como foi exposto acima, amenizar o fracasso
no estudo de Cálculo.
Barros e Meloni (2006), sobre o ensino de Cálculo, enunciam que a metodologia
utilizada por alguns professores tem ênfase nas aulas expositivas, nas quais o professor
detém o conhecimento e os conceitos, e em cujas aulas as definições são apresentadas
sem questionamentos ou sem a preocupação de dar-lhes o devido significado. Com isso,
os alunos passam a resolver de forma mecânica os problemas, isto é, sem criatividade e
reflexividade frente às propostas apresentadas, surgindo, por parte dos alunos,
questionamentos quanto à importância dessa disciplina no currículo. Vê-se que “os
cursos de Cálculo em geral, ainda hoje, priorizam mais as operações e técnicas de
Cálculo do que a significação para o aluno.” (BARROS e MELONI, 2006, p.1734).
Quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos na disciplina de Cálculo, os
autores estão em conformidade com outros quando dizem que “o despreparo que os
alunos herdam do ensino médio é um dos principais motivos que justifica os altos
índices de reprovação e outros problemas nas aulas de Cálculo.” (p.1734). A construção
da lógica matemática, que deveria se dar ao longo do processo estudantil (Ensino
Infantil, Ensino Fundamental e Médio) é defasada ou desprovida de significados para o
aluno, o que pode contribuir para o fracasso dos estudantes em Cálculo. Na tentativa de
sanar algumas das dificuldades apresentadas pelos alunos, professores se utilizam de
estratégias, tais como “acusar o aluno de relapso, aumentar a lista de exercícios, explicar
mais vezes o mesmo problema.” (BARROS e MELONI, 2006, p.1735). Diante de tal
situação, o que até aqui foi discutido permitiu observar que o aprendizado não surte o
real efeito no corpo discente e, obviamente, as dificuldades se mantêm. Assim, o
[...] ensino de Cálculo está relacionado com a dificuldade dos alunos em desenvolver habilidade para construir a compreensão dos conceitos matemáticos de tal forma que pudessem interpretar o significado dos conceitos, reconhecer quando aplicá-los e perceber a extensão e as limitações desta aplicabilidade, ou seja, o fato do aluno manipular corretamente a lógica simbólica para resolver uma determinada questão não implica necessariamente na compreensão do conceito utilizado. Estes conceitos muitas vezes são abstratos, o que dificulta ainda mais a compreensão dos alunos. (BARROS; MELONI, 2006, p.1734).
Segundo os autores, as manipulações algébricas nem sempre dificultam o ensino
de Cálculo. O aluno pode manipular corretamente os dados sem, entretanto, alcançar a
compreensão do que esteja necessariamente fazendo ou até mesmo não compreendendo
52
os conceitos estudados, o que torna o Cálculo de certa forma mecânico. Assim, o
enfoque do ensino de Cálculo é propô-lo de que o aluno consiga compreender os
conceitos, interpretar os significados, bem como saber onde e como aplicá-los.
Em sua pesquisa, Lachini (2001) aponta alguns indícios, na tentativa de explicar
o fracasso dos alunos em Cálculo. Inicialmente, verificam-se dois objetivos do ensino e
da aprendizagem de Cálculo. Segundo o autor,
Um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações concretas. (LACHINI, 2001, p.147).
Dessa forma, o ensino de Cálculo pode ser pensado de duas maneiras:
significativo (que promova a compreensão dos conceitos envolvidos) e instrumental
(que dote o aluno de uma ferramenta que permite a resolução de problemas). Um fator
preocupante é o grande número de reprovações que, às vezes, pode ser explicado pela
má preparação dos alunos, pela defasagem apresentada também por alguns professores,
pela estrutura da sala de aula, pelo tempo que o aluno dedica ao estudo de Cálculo, pela
forma como o professor utiliza o material didático disponível, pela aprendizagem
somente para fazer provas ou atividades avaliativas e pelo déficit de conteúdos
necessários para o estudo de Cálculo, são aspectos apontados por Lachini (2001).
Compreender os conceitos envolvidos na disciplina de Cálculo é um fator determinante
no estudo desse conteúdo. Uma das formas apresentadas na tentativa de obter esse êxito
é “o uso de tecnologias – livro, máquina de calcular, computador – é uma necessidade e
pode ajudar de forma decisiva no estudo do conteúdo de cálculo.” (LACHINI, 2001,
p.185). Aqui, o termo tecnologias tem o sentido de tudo que externa o ser e auxilia no
aprendizado. Assim,
olhar o ensino-aprendizagem como um processo de aquisição, reelaboração ou construção é a maneira de abrir o trabalho escolar para o tratamento da informação, para a compreensão de conceitos, para o pensar de modo sistematizado e com mobilidade. É também a forma de instituir os sujeitos do processo: mudar a postura – não a posição – tanto do professor quanto do aluno. Ambos se tornam construtores e re-construtores do conhecimento. (LACHINI, 2001, p.179).
Nesse processo, e ainda para Lachini (2001), o professor é “elemento-chave”
(p.187), já que ele tem a percepção do conteúdo e, por isso, pode desenvolver formas
53
mais eficazes de trabalhá-lo, voltando-se mais para a compreensão dos conceitos
envolvidos. Contudo, e para que isso ocorra de maneira produitva, mudanças devem
ocorrer:
Passar do dar e do assistir aula para o fazer aula; passar da presença- assinatura para a presença ativa em sala de aula; passar da avaliação através de provas para a avaliação através do trabalho efetivamente realizado ao longo do ano letivo; passar de um processo de memorização para um processo de incorporação. (LACHINI, 2001, p.188).
Tais mudanças podem ser realizadas aos poucos, e, para tal, vê-se a necessidade
de se criarem novos laços de trabalho entre instituição, professor e aluno, cuja tríade
deve trabalhar de forma a buscar meios de compreender os conceitos presentes na
disciplina de Cálculo, evitando a simples mecanização do conteúdo. É preciso buscar
estratégias pedagógicas que auxiliem e promovam o seu ensino e sua aprendizagem em
detrimento a uma visão mecanicista.
Rezende (2007, p. 313) demonstra que “um dos grandes desafios no ensino
superior de Matemática ainda é, sem dúvida, o tão propalado “fracasso no ensino de
Cálculo”. Em sua pesquisa, o autor explora os obstáculos enfrentados no ensino e na
aprendizagem de Cálculo. “Creio que, se investigarmos a origem histórica de tal
“fracasso”, verificaremos que este tem início desde o momento em que se começa a
ensinar Cálculo.” (REZENDE, 2007, p.313). Tal fracasso veio ao longo da história e
ainda persiste nos dias atuais. Segundo o autor, o problema não é cultural, e nem sequer
se justifica pela situação sócio-econômica de um país, pois a situação desse fracasso não
é diferente para os países desenvolvidos, e há pesquisas que revelam que se trata,
portanto, de um problema mundial, o que fez com que as instituições de ensino superior
criassem estratégias como “excluir o Cálculo de sua grade curricular ou criar disciplinas
subsidiárias para o seu ensino [...]” (p.315). Outra medida internacional criada foi o
movimento de reforma do Cálculo, o “Calculus Reform” (p.315), que foi iniciada na
década de 1980 e na qual discutiu-se o Cálculo trabalhado na sua essência formal e
rigorosa (o que acontecia até aquele momento) bem como o Cálculo trabalhado de
modo intuitivo, histórico e significativo, para, posteriormente, formalizá-lo. Como
sugestões básicas, teve-se a utilização de tecnologia e o ensino do Cálculo segundo a
“Regra dos Três”, que dá a seguinte sugestão:
[...] todos os tópicos e todos os problemas devem ser abordados numérica, geométrica e analiticamente; grande preocupação, ou pretensão, em mostrar
54
a aplicabilidade do Cálculo através de exemplos reais e com dados referenciados; tendência a exigir pouca competência algébrica por parte dos alunos, suprindo essa falta com o treinamento no uso de Sistemas de Computação Algébrica. (REZENDE, 2007, p.316)
As técninas de manipulações algébricas seriam as últimas a fazer parte desse
ensino, e as representações diferenciadas para os conteúdos são, por seu turno,
enaltecidas. A aplicabilidade do Cálculo nas variadas áreas do conhecimento torna-se
uma preocupação, que traz a idéia, que o aluno não aprenda apenas as técninas de
manipulações algébricas referente a disciplina de Cálculo, porém que compreenda os
conceitos, e posteriormente, seja capaz de inferi-los na realidade. A partir das
preocupações que incitaram a criação do “Calculus Reforms”, percebe-se que o
“problema já atinge limites próximo do insuportável.” (REZENDE, 2007, p.315).
Vale ressaltar que outras medidas vêm sendo adotadas ou criadas para auxiliar,
garantir, potencializar ou dar suporte ao ensino de Cálculo, como, por exemplo,
“a construção de laboratórios informatizados e a introdução de softwares matemáticos
no ensino de Cálculo têm sido a tônica das mais recentes propostas didáticas para esta
disciplina.” (p.316), cujas propostas foram desenvolvidas pelo movimento do “Calculus
Reforms”.
Além de buscar meios para minimizar esse fracasso, há pesquisadores que
tentam justificá-lo a partir de diferentes perspectivas:
Uns preferem justificar o problema no âmbito da psicologia cognitiva: acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é, os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas que permitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo. (REZENDE, 2007, p.317).
Ou seja, o problema está relacionado ao processo cognitivo do aluno, e há uma
necessidade de envolver outros profissionais nesse processo de construção de
conhecimento, como, por exemplo, psicopedagogos e psicólogos, na tentativa de
desenvolver o efetivo aprendizado do Cálculo. Outra visão é a de que “as dificuldades
de aprendizagem são decorrentes do processo didático, isto é, a solução reside em se
encontrar uma forma apropriada para se ensinar a disciplina Cálculo.” (REZENDE,
2017, p.317), ou seja, encontrar uma forma apropriada ou uma proposta que, a priori,
carece de compreender a natureza destas dificuldades. Nesse sentido, o autor defende
que “grande parte das dificuldades de aprendizagem no ensino de Cálculo é
essencialmente de natureza epistemológica.” (p.317). O fracasso em Cálculo está para
55
além dos métodos e das técnicas utilizadas, situando-se sobretudo nas “dualidades
essenciais e nos mapas históricos conceituais do Cálculo [...]” (p.317). Rezende (2007)
chama tais dualidades de macroespaços: discreto/contínuo; variabilidade/permanência;
finito/infinito; local/global e sistematização/construção. Acredita-se que as dificuldades
provocadas por esses antagonismos promovem o fracasso. Assim, torna-se importante,
aqui, analisar os macroespaços: variabilidade/permanência e sistematização/construção.
Contudo, será feito um breve relato dos demais.
Macroespaço da dualidade discreto/contínuo – o fracasso aparece, aqui, como
uma cegueira provocada pelo Ensino Básico, período no qual esta dualidade não é
trabalhada de forma correta. Desta fase de ensino, fica a defasagem para o aluno, que
não sabe o verdadeiro significado de um número natural (discreto) ou real (contínuo), o
que vem a contribuir negativamente para a assimilação dos conceitos abordados em
Cálculo.
Macroespaço da dualidade variabilidade/permanência – normalmente, a
Matemática é apresentada e exposta através de uma abordagem estática. Porém, essa
abordagem nem sempre deve ser empregada ao Cálculo. Nesse sentido, Thomas (2002)
afirma que “O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações.” (p. 15), cuja
premissa permite inferir que o Cálculo poderá ser trabalhado com exposições menos
estáticas em termos de definições e formalizações, isto é, através de abordagens
dinâmicas que se façam mais importantes na compreensão dos conceitos envolvidos.
Uma exemplificação:
[...] no conceito de derivada, por exemplo, prevalecem os seus aspectos formal (como sua definição em termos de limite) e geométrico (como o coeficiente angular da reta tangente) sobre a sua interpretação dinâmica em termos de taxa de variação instantânea. Interpretar o conceito de derivada tão somente como “coficiente angular da reta tangente” significa ignorar o problema histórico essencial da “medida” instantânea da variabilidade de uma grandeza. (REZENDE, 2007, p.319).
O Cálculo, que permite o movimento na matemática, possibilita ainda explorar e
compreender historicamente as ideias de Newton e Leibnez, que concebem o Cálculo
através da dinamicidade: trata-se de permitir fazer com que o aluno compreenda os
conceitos e as situações de forma dinâmica, em movimento, levando-o a perceber as
variabilidades, para que, ao final do processo, essa situação possa ser representada de
forma estática: algebrização e definições; é utilizar a regra dos três: numérico,
geométrico e analítico, para construir as devidas significações.
56
Além do conceito de derivada, o autor explana sobre a noção de função, que é
trabalhada de forma estática desde cedo no ensino básico. A variabilidade é ocultada e,
na maioria das vezes, trabalha-se no contexto algébrico, fazendo uma relação de
dependência entre duas grandezas, quando deveria se fazer uma relação de variação e
movimento. Assim, cria-se, para o aluno do ensino básico, uma ideia deturpada do
conceito de função. Destarte, trabalhar com essa interpretação, estática do conteúdo
“[...] além de não ter participado historicamente da solução do problema da
variabilidade dada pelo Cálculo, constitui efetivamente um dos maiores obstáculos
epistemológicos àquela noção de interdependência entre quantidades variáveis [...]”
(REZENDE, 2007, p.320), que é uma das essências para o ensino e para a aprendizagem
de Cálculo.
Essa interpretação da função contribui para fracassos em conteúdos específicos
do Cálculo, os chamados “[...] problemas de taxas relacionadas [...]” e os “[...]
problemas de otimização [...] ”. (REZENDE, 2007, p.320). Os alunos não percebem os
problemas como quantidades variáveis ou em movimento, pois aprenderam que uma
função é algo estático, algo que já lhes aparecia “pronto”, bastando a eles apenas
desenvolver os processos algébricos. Destaca-se, aqui, que os problemas de Taxas
Relacionadas são um dificultador na aprendizagem e
[...] que a razão principal para as dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas de taxas relacionadas e de otimização é, efetivamente, esse desvio epistemológico do conceito de função, realizado desde cedo nos ensinos médio e fundamental de matemática, de modo viesado para o campo algébrico. (REZENDE, 2007, p.321).
As técnicas de manipulações algébricas são privilegiadas, e saber manipulá-las
torna-se o foco do ensino de função. Uma das propostas deste macroespaço é dar ênfase
ao ensino de Cálculo a partir de movimentações, variações e dinamicidade para,
posteriormente, estudar o Cálculo de modo estático, utilizando as técnicas indicadas.
Este tipo de trabalho se faz necessário tanto para a tentativa de compendiar e abordar o
fracasso do aluno quanto pela necessidade de potencializar o aprendizado de tal
conteúdo.
Macroespaço da dualidade finito/infinito – mostra a ingenuidade do conceito de
infinito apresentado pelo aluno, que não reconhece o verdadeiro significado de tal
conceito. Trabalhos realizados a partir do conteúdo de limites mostram que grande parte
57
dos alunos trata o infinito como número e cria simplificações algébricas errôneas por
não terem compreendido o conceito.
Macroespaço da dualidade local/global – trabalha o particular e o geral. Um
exemplo é o cálculo de uma variável (local) que pode ser estendido para o cálculo de
várias variáveis (global); a série de MacLaurin (local) para a série de Taylor (geral) e
ainda “[...] diferenciabilidade num ponto” (p.327) e “[...] a função é diferençável se ela
o for em cada ponto do seu domínio.” (p.327), o primeiro sendo o local e o segundo o
geral. Quando se passa do local para o global, o aluno se perde e não consegue obter a
visão necessária, dificultando, assim, a ampliação do aprendizado de Cálculo.
Macroespaço da dualidade sistematização/construção – é discutido o trabalho do
Cálculo de forma conceitual, isto é, explorando, de modo histórico, intuitivo e
apriorístico, os conteúdos, em detrimento de uma formalização extrema através de
axiomas postulados e teoremas vindos da “Álgebra Moderna e da Análise Matemática”
(p.328), cujas premissas teóricas mostram o Cálculo como uma disciplina rigorosa. Em
vez de uma demonstração altamente formal para o aluno, a interpretação conceitual
pode contribuir significativamente mais para a aprendizagem do conteúdo estudado.
Conforme a sugestão de Rezende (2007), inverte-se a polaridade, isto é, em vez de
trabalhar o Cálculo, a priori e a partir das sistematizações, deve-se construir
paulatinamente os conceitos do Cálculo.
A partir dos macroespaços e de um mapeamento realizado, Rezende (2007)
aponta que as dificuldades de aprendizagem, quando analisadas sob a forma de natureza
epistemológica, advêm da “omissão/evitação das ideias básicas e dos problemas
construtores do Cálculo e no ensino de Matemática em sentido amplo.” (p.331). É
proposto que o Cálculo seja trabalhado de forma intuitiva e conceitual em nível básico,
a partir de um diálogo interdisciplinar com a Física, especificamente em Mecânica, pois
muitas das expressões aprendidas em nível médio podem ser respaldadas com a
utilização das ideias do Cálculo. Já para o nível superior, é proposto que o Cálculo seja
trabalhado de forma intuitiva e conceitual, visando promover o seu verdadeiro
significado, tendo em vista as competências que, de acordo com Rezende (2007), serão
acumuladas no decorrer de um adequado ensino Básico e Médio. Utilizar a dualidade
“técnica/significado” (p.335) na tentativa de assimilar conceitos envolvidos na
disciplina. A proposta é começar o ensino através do significado, ou seja, por meio da
exploração das ideias históricas que permitiram o avanço do Cálculo e posteriormente
formalizar estas ideias.
58
Desse modo, as dificuldades apresentadas pelos alunos vão além da simples defasagem
do conteúdo matemático do ensino médio. Tais dificuldades estão relacionadas, como
apresentado por Rezende (2007), à natureza epistemológica à estratégia didática
adotada, à sala de aula e à forma de trabalhar o conhecimento de Cálculo –
conceitual/operacional –, elementos que constituem um campo de tensão entre
professor/conteúdo/aluno. Para esta dissertação, o “fracasso” pode provir dos
macroespaços aqui expostos. Formas para amainar tais insucessos são apontadas, tais
como a mudança para a dualidade técnica/significado. Frota e Couy (2007) apresentam
a proposta de explorar a visualização para subsidiar a comunicação entre as
diferenciadas representações matemáticas e a utilização das TICs.
59
4 DIRETRIZES PARA O ENSINO SUPERIOR: MATEMÁTICA E ENGENHARIA E A ANÁLISE DE LIVROS-TEXTO DE CÁLCULO N A TEMÁTICA EM ESTUDO
4.1 As diretrizes para o Ensino Superior: Matemática e Engenharia A Secretaria de Educação do Ensino Superior é responsável por criar as normas
nacionais a serem utilizadas na elaboração dos currículos dos cursos de graduação.
Conhecer essa regulamentação, especialmente para os cursos de Engenharia e
Matemática, implica em buscar contribuições na criação e utilização de um OA para
esses cursos. As instituições têm a autonomia na elaboração das ementas e dos
conteúdos dos planos de ensino das disciplinas, porém, com base nos critérios das
diretrizes curriculares de regulamentação do MEC.
4.1.1 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Matemática
Referindo-se aos cursos de graduação em Licenciatura e Bacharelado em
Matemática, as Diretrizes Curriculares apresentam vertentes comuns e divergentes nas
questões cognitivas do conhecimento matemático, pois o licenciando, além de conhecer
a Matemática, estuda meios de potencializar esse tipo de conhecimento em seus futuros
alunos.
Segundo as Diretrizes Curriculares para os cursos de Licenciatura e Bacharelado
em Matemática, essas graduações devem oportunizar ao aluno condições de
desenvolvimento de competências lógicas, auxiliando-o na construção de uma visão
crítica e na capacidade de resolver problemas. Diante dessa realidade, segue uma análise
de algumas habilidades e capacidades levantadas pelo documento e que são relevantes
para esta pesquisa:
As Diretrizes Curriculares para os cursos Licenciatura e Bacharelado em
Matemática sugerem que os futuros professores e bacharéis sejam capazes de utilizar
tecnologia, isto é, fazer dela um instrumento de aprendizagem de conteúdos da
graduação, bem como ter oportunidade de utilizá-la com seus futuros alunos. Nota-se
que a utilização da tecnologia, assim como a capacidade de desenvolver postura crítica e
compreensão de conceitos, é um elemento que está respaldado pela resolução de
problemas. O trabalho com o processo de resolução de problemas tem por objetivo
ampliar os conhecimentos matemáticos do aluno. A princípio, é sugerido apenas o
trabalho com problemas do campo do conhecimento matemático, não extrapolando essa
60
abordagem para áreas afins e/ou de forma rigorosa, isto é, trabalhando axiomas,
teoremas, lemas, em suma, a estrutura da Matemática, levando o aluno à construção do
conhecimento matemático.
As Diretrizes Curriculares salientam que, ao longo da História, a Matemática é
utilizada como ferramenta de auxílio, principalmente à Física e às Engenharias. Já nas
últimas décadas, as aplicações da Matemática se expandiram para as outras áreas do
saber, como as “Ciências Econômicas, Biológicas, Humanas e Sociais.” (BRASIL,
2001a, p.1). Desse modo, o curso de Matemática deve dar oportunidade ao aluno de
analisar, compreender e verificar o maior número de conexões entre essa ciência e sua
aplicação, utilizando as tecnologias, isto é, o aluno pode, a partir da aplicabilidade da
Matemática, resolver problemas em variadas áreas do conhecimento, tendo as mídias
tecnológicas como um suporte, que poderá ser, eficaz para esse tipo de trabalho.
Deste modo, a Matemática configura-se como um campo que pode ser
trabalhado de maneira independente, através de seus axiomas, lemas e teoremas ou em
conexão com os outros campos do conhecimento que necessitem de suas ferramentas.
Propõe-se, também para os alunos que cursem Licenciatura Plena em
Matemática, a produção de materiais didáticos, o que consiste num modo de analisar,
selecionar e trabalhar conteúdos da Matemática. As diretrizes ainda propõem oferecer
ao aluno a autonomia, de modo a favorecer uma maior flexibilidade do pensamento
matemático. Aqui, a sugestão é dar ênfase aos conceitos em detrimento das técnicas,
fórmulas e algoritmos. Esta dissertação se limitará à análise das habilidades referidas
acima.
Na estrutura do curso de Matemática, é proposto “construir uma visão global dos
conteúdos de maneira teoricamente significativa para o aluno.” (BRASIL, 2001a, p.4).
Desse modo, a utilização de um OA pode auxiliar nessa construção, uma vez que tal
ferramenta permite que o trabalho teórico e prático sejam desenvolvidos de forma
significativa quando, obviamente, forem elaborados para tal fim.
Sobre as disciplinas, o Cálculo está presente tanto no curso de Bacharelado
quanto no de Licenciatura, sendo, em ambos os cursos, conteúdo de peso e importância.
A Física Geral e a Física Moderna, cujo estudo servirá para analisar as aplicações da
Matemática nesses campos do conhecimento, se configuram como disciplinas
essenciais.
É proposto que, “desde o início do curso, o bacharelando deve adquirir
familiaridade com o uso do computador como instrumento de trabalho, incentivando-se
61
sua utilização para formulação e solução de problemas.” (p5). A preocupação com a
utilização do computador e com a resolução de problemas durante o processo de
formação superior é exposta pelo documento da Secretaria de Educação do Ensino
Superior.
As diretrizes para os cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática finda
o seu conjunto de orientações com a apresentação de apropostas sobre a formação dos
futuros profissionais da área de Matemática, incentivando-os à análise e à pesquisa de
formas de desenvolver competências dentro de um currículo que inclua o uso da
tecnologia.
4.1.2 Breve Análise das Diretrizes para os Cursos de Engenharia
Em linhas gerais e já de início, as Diretrizes para os Cursos de Graduação em
Engenharia expõem que “o desafio que se apresenta o ensino de Engenharia no Brasil e
no cenário mundial é que demanda o uso intensivo da ciência e tecnologia e exige
profissionais altamente qualificados.” (BRASIL, 2001b, p.1). Além disso, tais diretrizes
propõem ainda a parceria entre tecnologia e da ciência com “ênfase na síntese e na
transdisciplinaridade” (p.1), de modo a possibilitar ao aluno o vínculo da teoria com a
prática. Para que essa parceria, esse vínculo e essa ênfase aconteçam, é necessário que
as experiências de aprendizado ultrapassem as aulas convencionais, de modo que o
aprendizado só se consolidará se o “estudante desempenhar um papel ativo de construir
o seu próprio conhecimento e experiência, com orientação e participação do professor.”
(p.2).
De acordo com o documento, é esperado que
[...] o perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderá uma sólida formação técnico científica e profissional geral que o capacite a absorver e desenvolver novas tecnologias, estimulando a sua atuação crítica e criativa na identificação e resolução de problemas, considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas da sociedade. (BRASIL, 2001b p.4)
Ao futuro profissional da engenharia, é proposto não somente a utilização da
tecnologia, mas também o desenvolvimento da mesma, para adquirir posturas críticas
em vários aspectos sociais. Destaca-se, aqui, a utilização da resolução de problemas,
62
que, para o documento, pode ser trabalhada com o intuito de desenvolver o
conhecimento.
a) aplicação do conhecimento matemática, científico, tecnológico e
instrumental à Engenharia;
b) elaboração e condução de experimentos na intenção de analisar os
resultados obtidos;
c) identificação e fomulação de problemas ligados à Engenharia, assim
como a busca pela resolução dos mesmos;
d) comunicação entre as formas escrita, oral e gráfica.
Tais habilidades trazem a preocupação com o conhecimento matemático
aplicado à Engenharia, o qual se transcende para áreas a fins, como a Física e a
Química, uma vez que essas disciplinas estão presentes na formação de um engenheiro.
A presença da tecnologia é bem destacada pelo documento, assim como a comunicação
gráfica presente na Matemática.
Sobre os conteúdos necessários à formação de um profissional da Engenharia,
para esta pesquisa, torna-se necessário relatar sobre as disciplinas de Informática,
Matemática, Física, Eletricidade Aplicada, Circuitos Elétricos, Matemática Discreta e
Mecânica Aplicada, conteúdos que, em menor ou maior proporção, utilizam de
conceitos presentes no Cálculo. Nesse sentido, o Cálculo é proposto como disciplina
essencial para o curso, visto que seus conceitos preparam o aluno para o estudo de
fenômenos. Devido à importância do Cálculo nessa formação, é necessário que o aluno
compreenda e detenha os seus conceitos.
As Diretrizes para os Cursos de Graduação em Engenharia sugerem que, “nos
conteúdos de Física, Química e Informática, é obrigatória a existência de atividades de
laboratório”. (p.6) e, para os demais conteúdos curriculares, são sugeridas atividades em
laboratório, a fim de que o Cálculo seja trabalhado com auxílio da tecnologia.
Baseando-se no que diz o documento, é possível afirmar que essas atividades em
laboratório poderiam ser beneficiadas com a utilização de um OA.
4.1.3 Comentário sobre as Diretrizes
A partir da leitura das Diretrizes para os cursos de graduação em Licenciatura e
Bacharelado em Matemática e Diretrizes para os cursos de Graduação em Engenharia,
pode-se concluir que tais documentos estão em conformidade com os autores aqui
63
estudados, especialmente no que diz respeito à utilização de tecnologia, à resolução de
problemas como uma estratégia e uma forma de potencializar o aprendizado, à
compreensão de conceitos inerentes aos respectivos cursos, à interdisciplinaridade com
outros campos do conhecimento como Física e Química, à aplicação do conhecimento
matemático a outras áreas do conhecimento e à comunicação entre representações
matemáticas e o desenvolvimento de capacidades críticas, criativas, éticas e reflexivas.
Estas propostas trabalhadas ora de forma intrísecas e ora individualmente contribuem
com a formação do profissional.
A disciplina de Cálculo é apresentada como uma das primordiais para as áreas
aqui analisadas. Uma das sugestões é que o estudo do Cálculo seja realizado de modo a
compreender futuras aplicações de seus conteúdos e necessidades de se adquirir tal
conhecimento.
Assim, as sugestões aqui apresentadas contribuem para o objetivo geral desta
pesquisa: criar um OA que perpasse por estas sugestões ou que apresente algumas
destas sugestões, de modo a auxiliar o ensino e aprendizagem nos cursos de Matemática
e Engenharia para o contéudo de taxas relacionadas.
4.2 Análises de livros de Cálculo quanto à temática investigada
Analisar como o conteúdo de Taxas Relacionadas é apresentado nos livros de
Cálculo é de extrema importância para esta dissertação. Busca-se identificar a sequência
utilizada pelo autor para construir e trabalhar com o conceito de Taxas.
Foram selecionados três livros de cálculos cujos autores são: Stewart (2006),
Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007), a partir dos quais pretendeu-se analisar
contribuições para o desenvolvimento do OA. Os livros foram selecionados devido a
utilização dos mesmos, pelo pesquisador, enquanto estudante no curso de graduação e
pela utilização dos mesmos em cursos de graduação na área de ciências exatas.
4.2.1 Critérios de análise dos livros de Cálculo
Os livros foram analisados sob os aspectos (A1, A2, ..., A12) listados a seguir:
A1 - Utilização de representações;
A2 - Apresentação dos problemas da inclinação da reta tangente e da velocidade
para construir conceitos necessários;
64
A3 - Construção dos conceitos necessários, cujo trabalho parte da forma intuitiva
à formal (Limite, Taxa de variação Média e Instantânea, Derivada, Regra da Cadeia e
Taxas Relacionadas).
A4 – Limite:
A4.1 – Conceituação intuitiva de limite;
A4.2 – Exemplificação de limite;
A4.3 – Definição formal de limite;
A4.4 – Apresentação de exercícios sobre limite.
A5 – Taxas de Variação:
A5.1- Conceituação intuitiva de taxas de variação;
A5.2 – Exemplificação das taxas de variação;
A5.3 – Definição formal de taxas de variação;
A5.4- Apresentação de exercícios sobre taxas de variação.
A6- Função Derivada:
A6.1 – Conceituação intuitiva de Derivada;
A6.2 – Exemplificação de Derivadas;
A6.3 – Definição formal de Derivada, utilizando o limite;
A6.4 – Apresentação de exercícios sobre Derivada.
A7 – Regra da Cadeia:
A7.1 - Conceituação de Regra da Cadeia;
A7.2 – Exemplificação de Regra da Cadeia;
A7.3 –Apresentação do Teorema da Regra da Cadeia;
A7.4 –Apresentação de exercícios sobre Regra da Cadeia.
A8 – Taxas Relacionadas:
A8.1- Conceituação intuitiva de Taxas Relacionadas;
A8.2 – Definição de taxas Relacionadas;
A8.3 – Exemplificação de taxas Relacionadas;
A8.4- Exercícios sobre taxas Relacionadas.
A9 – Faz a conexão entre Taxas Relacionadas e a Regra da Cadeia;
A10- Possuir estratégia para a resolução de problemas de Taxas Relacionadas;
A11- Menções sobre o conceito de fenômenos físicos;
A12- Utilização da tecnologia
A12.1 – Nos conceitos necessários para estudar Taxas Relacionadas;
A12.2 – No conteúdo de Taxas Relacionadas;
65
Dentro desses aspectos, buscou-se verificar:
A1 – Se variadas formas de representações (gráficas, tabulares numéricas,
tabulares, diagramas, algébricas e verbais/descritivas) são utilizadas para abordar os
conteúdos necessários (limite, taxas de variação, derivada e regra da cadeia), a fim de
construir o conceito de Taxas Relacionadas. Questionar se o trânsito dentro destas
representações, segundo as leituras realizadas, pode potencializar o aprendizado do
aluno. A visualização, permitida por tais representações, pode contribuir no
estabelecimento de relações importantes.
As imagens abaixo trazem um exemplo do que, nesta dissertação, foi
considerado como representação:
a) gráfica:
Gráfico 2: Funções exponenciais
Fonte: Stewart, 2006, p. 190
b) Tabular numérica:
Tabela 1: Cálculo do limite de uma função
Fonte: Stewart, 2006, p. 92
66
c) Tabular:
Tabela 2: Regras de derivação
Fonte: Stewart, 2006, p. 196
d) Diagrama:
Figura 3: Homem andando sob holofote
Fonte: Stewart, 2006, p.258
e) Algébrica:
Figura 4: Variação da área de um retângulo
Fonte: Stewart, 2006, p. 193
67
A representação verbal/descritiva será apresentada posteriormente.
A2- A abordagem dos problemas históricos que, segundo as leituras,
impulsionaram o desenvolvimento informal e intuitivo do Cálculo.
A3- Se os conceitos são abordados por uma definição rigorosa ou são
construídos paulatinamente até formalizá-los na linguagem matemática.
A4.1, A5.1, A6.1, A7.1 e A8.1- Se houve apresentação dos conceitos.
Conceituar, para esta dissertação, é construir as ideias envolvidas em determinado
conteúdo, caminhando de forma intuitiva, utilizando representações, sem a preocupação
inicial com o rigor matemático, mas levando o aluno a compreender os processos
envolvidos de forma significativa.
A4.2, A5.2, A6.2, A7.2 e A8.2 – Foram apresentados exemplos? Exemplificar
faz parte do processo para ensinar e, assim, se faz necessário averiguar se os exemplos
trazidos são interessantes e reflexivos, tudo isto na intenção de aprimorar e estimular a
aprendizagem;
A4.3, A5.3, A6.3 e A8.3 – Se traz as definições. Definição faz parte do
conhecimento científico matemático. Assim, é preciso analisar a presença de definições
é crucial, pois é a partir daí que se verifica a importância atribuída à formalização;
A7.3 – Se foi apresentada a formalização da regra da cadeia sob forma de
teorema, pois não há definição para a mesma. Desse modo, é necessário verificar o rigor
atribuído a este teorema;
A4.4, A5.4, A6.4, A7.4 e A8.4 – Se os exercícios são dos tipos: conceituais,
contextualizados e/ou puramente algébricos. Procura-se analisar se os três tipos foram
utilizados pelo autor de forma reflexiva e criativa;
A.9 – Se um dos pontos chave do estudo de Taxas Relacionadas tem elo entre as
taxas de variação presentes, elo este realizado pela regra da cadeia. Assim, busca-se
verificar se, ao trabalhar com a regra da cadeia ou com Taxas Relacionadas, esse elo é
realizado, pois problemas de Taxas Relacionadas são problemas de aplicação da regra
da cadeia;
A.10- Se há apresentação de estratégias pedagógicas que auxiliem na resolução
de problemas de taxas relacionadas;
A.11 – Se nos conteúdos de Cálculo há forte presença dos fenômenos físicos,
com comentários sobre tais fenômenos;
A12 – Se o livro-texto traz a sugestão de utilização da tecnologia;
68
A12.1 – Utiliza-se tecnologia durante a explicação dos conceitos de limite, taxas
de variação, derivada e regra da cadeia ou nos exercícios propostos?;
A12.2 – Há utilização de tecnologia no conteúdo específico de Taxas
Relacionadas, tanto na explicação quanto nos exercícios propostos?
Os quadros apresentados foram utilizados para sintetizar a análise realizada.
Alguns tópicos apresentam legendas como R, M e E , sendo R – Regular, M – Médio, E
– Excelente, para a forma como o autor abordou os dados analisados, segundo a análise
realizada. Utilizaram-se também as legendas S e E, sendo S – Sincopado, E – Extensa.
Lins e Gimenez (2005) argumentam que, ao utilizar símbolos algébricos e pouca
verbalização e descrição, tem-se a linguagem sincopada. Stewart (2006) traz o conceito
de linguagem verbal e descritiva (extensa), que corresponde à utilização da língua
materna para expressar a Matemática.
As imagens seguintes são exemplos do que foi considerado, para esta
dissertação, como linguagem verbal/descritiva:
a) sincopada:
Figura 5: Teste da derivada primeira
Fonte: Thomas, 2002, p.251
b) Extensa:
Figura 6: Solução de um problema
Fonte: Stewart, 2006, p.117
69
Já as legendas C, A e CT representam – C – Conceitual, A – Algébrico, CT –
Contextualizado, e dizem respeito aos exercícios propostos. Assim, neste trabalho,
considerou-se um exercício conceitual aquele que retoma conceitos já trabalhados; um
exercício algébrico trata-se apenas de uma resolução para treinar as técnicas de
manipulações algébricas e um exercício contextualizado é aquele que sugere uma
situação e/ou um fenômeno que exige maior reflexão por parte de quem o resolva, seja
no campo da matemática ou em outras áreas do conhecimento.
Abaixo, estão expostos exemplos visuais do que foi considerado como
exercícios:
a) conceituais:
Figura 7: Exercícios de revisão
Fonte: Stewart, 2006, p.176
b) Algébricos:
Figura 8: Exercícios
Fonte: Stewart, 2006, p.177
70
c) Contextualizados:
Figura 9: Atividades propostas
Fonte: Thomas, 2002, p.258
Quando o aspecto analisado se encontrava presente no livro, marcou-se o espaço
destinado no quadro com um “x”. Caso contrário, o espaço destinado ao “x” estará
vazio, indicando que o aspecto analisado não foi encontrado no livro.
No primeiro livro analisado, intitulado “Cálculo” de James Stewart (2006), o
autor defende a utilização da tecnologia, da resolução de problemas e da Regra dos Três
que, de acordo com ele, inclui atualmente mais uma representação, expandindo-se para
a “regra de quatro” (STEWART, 2006, p. 7), isto é, além de apresentar os tópicos na
forma geométrica, numérica e algébrica, há um “acréscimo do ponto de vista verbal ou
descritivo” (p.7). Nesse livro, percebe-se que a proposta de maior relevância é o
trabalho com a compreensão conceitual.
O livro se inicia com uma apresentação do Cálculo, cujo epílogo é baseado em
problemas clássicos: Reta tangente, velocidade média, o problema da área sob uma
curva, o limite de uma sequência e a soma de uma série. Esses problemas são
comentados de forma verbal e descritiva, com a utilização de diagramas, gráficos e
tabelas numéricas, instrumentos que servem como impulsionadores/aguçadores e
motivadores para o estudo do Cálculo.
O Capítulo 1 apresenta uma revisão aprofundada sobre o estudo de funções, já
que, segundo Stewart (2006), “o objeto fundamental do cálculo são as funções.” (p.11).
Essa revisão compreende as funções polinomiais, modulares, exponenciais,
logarítmicas, por partes, inversas, trigonométricas e transcendentais, assim como
funções compostas. Estas últimas são trabalhadas a partir da regra de quatro, sendo,
71
assim, representadas por gráficos, tabelas numéricas e diagramas, além de priorizar a
abordagem verbal/descritiva. Desse modo, há, no livro, um trabalho de revisão e
ampliação do conhecimento adquirido no Ensino Médio.
Quadro 2: Análise das representações utilizadas no livro de Stewart
A1 - Representações utilizadas pelo Autor Verbal/Descritiva
Gráfica Tabela Tabular
Numérica S E Algébrica Diagrama
X X X x x X Fonte: Elaborado pelo autor
Ao longo do livro, são utilizadas as variadas formas de representação durante a
construção dos conceitos necessários ao conteúdo de Taxas Relacionadas. A
representação escolhida para cada momento tem o objetivo conduzir o aluno à
compreensão e ao significado dos conceitos abordados. Assim, uma representação
tabular é auxiliada por uma representação gráfica, numérica, contextual, algébrica ou,
quando necessário, todas elas são utilizadas ao mesmo tempo. A forma de apresentação
verbal e descritiva que é utilizada merece destaque, pois o autor praticamente conversa
com o leitor durante o processo. O relato do conteúdo e seus detalhes são descritos
minuciosamente, recorrendo-se à linguagem algébrica para formalizações ou até mesmo
para processos mais intuitivos, assim como nas demonstrações necessárias. Os
diagramas são utilizados nos conteúdos e nos exemplos de problemas resolvidos,
representações estas que permitem a conexão entre visualização e compreensão dos
contextos relatados durante o processo.
Quadro 3: Análise de problemas e conceitos no livro de Stewart
A2 – Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta
Tangente Velocidade R M E
X X x Fonte: Elaborado pelo autor
Os problemas clássicos (Reta Tangente e Velocidade) são a motivação inicial
para o estudo do Cálculo, tendo em vista, sobretudo, a presença de movimento. Esses
dois problemas são trabalhados juntos, mostrando a relação entre geométrico físico,
isto é, a inclinação de uma reta secante a uma curva dada (geométrico) pode ser
interpretada como a velocidade média de um móvel entre dois instantes (físico) e que a
72
inclinação da reta tangente a uma curva dada (geométrico), pode ser interpretada como a
velocidade instantânea de um móvel num determinado instante (físico), conforme
exposto na figura abaixo:
Gráfico 3: Comparação – Físico Geométrico
Fonte: Stewart, 2006, p. 91
Quanto à construção dos conceitos de limite, taxas de variação, derivada e regra
da cadeia, o conceito, é construído sem preocupação inicial com a formalização e o
rigor matemático. A ideia é compreender o significado do conceito abordado para que,
posteriormente, o aluno seja levado a compreender a definição matemática apresentada.
Quadro 4: Análise sobre limite no livro de Stewart
A3 – Limites A3.1 Conceitual A3.2 Exemplos A3.3 Definição A3.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
O conceito de limite começa a ser abordado a partir do problema da reta tangente
a uma curva. A curva utilizada é y = x² e pretende-se encontrar a inclinação da reta
tangente que passa pelo ponto P(1,1). As técnicas de manipulações algébricas ficam em
segundo plano e as representações tabulares, assim como as tabulares numéricas, tentam
dar auxílio à compreensão. Estas representações são utilizadas para promover as
aproximações laterais do ponto indicado, a fim de que se compreenda a ideia de limite.
Esse artifício – tabela aproximações – é utilizado em outras funções dadas, bem como
73
para explorar o problema da velocidade, que agora é trabalhada em dois momentos:
velocidade média e velocidade instantânea.
Os exemplos priorizam as técnicas de manipulações algébricas, porém, em
menor escala, são voltados para os problemas clássicos e possuem uma abordagem mais
verbal. Assim, o conceito vai sendo construído com o auxílio de aproximações
numéricas tabuladas, gráficos e alguns processos algébricos.
Enquanto a definição de limite é apresentada de forma gradual, mais verbal e
descritiva, até chegar à definição formal, os exercícios apresentados priorizam as
técnicas de manipulações algébricas. Mesmo que alguns sejam contextualizados, o
método para resolução é a utilização de técnicas adquiridas no Ensino Fundamental
(produtos notáveis, equação do segundo grau, fatoração, complemento de quadrados,
além de outras técnicas aprendidas durante a leitura do capítulo), de modo a apenas
manipular algebricamente sem a precisão de compreender um problema e/ou elaborar
um plano para resolver uma situação-problema.
Quadro 5: Análise sobre taxas de variação no livro de Stewart
A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
X x x x x X Fonte: Elaborado pelo autor
O conceito de taxa de variação é trabalhado a partir dos problemas clássicos e da
definição de limite. Toma-se o cuidado de diferenciar o que seja uma taxa de variação
média e uma taxa de variação instantânea. Porém, o trabalho é realizado de forma
sucinta. Os exemplos, por sua vez, estimulam o trabalho com múltiplas representações.
Trabalha-se com tabelas, gráficos e funções na forma algébrica, para dar maior suporte
à fixação do conceito de taxas de variação, cuja importância conceitual é relatada e
exemplificada em outras áreas do conhecimento nas quais esse conteúdo se faz presente.
Os exercícios sugeridos são diversificados, tais como encontrar inclinações da
reta tangente a uma curva dada em um determinado ponto, como encontrar a velocidade
média e instantânea, temperatura, custo de produção, dentre outros. Em sua maioria, os
exercícios são contextualizados e conceituais, exigem uma reflexão do conceito
abordado e trabalham a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação
instantânea. Porém, os exemplos, segundo a visão de análise, não auxiliaram muito na
74
resolução de problemas propostos, uma vez que os exemplos eram mais simples e
diferiam muito dos problemas propostos pelo livro.
Quadro 6: Análise da função derivada no livro de Stewart
A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x x x X Fonte: Elaborado pelo autor
O trabalho com a função derivada é longo. Começa chamando a atenção do
leitor para um limite que vem aparecendo durante os conteúdos abordados até o
momento das leituras realizadas. Esse limite aparece quando se quer encontrar a
inclinação da reta tangente a uma curva num ponto dado (x = a), a velocidade
instantânea de um móvel (t = a) ou até mesmo a taxa de variação instantânea em certa
situação (x = a); a comparação é realizada, como pode ser visto abaixo:
Figura 10: Taxa de variação e limite
Fonte: Stewart, 2006, p.158.
Caso o limite exista, ele será chamado de derivada de uma função em um ponto
“a”. O entrelaçamento dos conceitos abordados é realizado neste momento, aqui tem-se
a “interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente” (STEWART, 2006,
p.159) e a “interpretação da derivada como uma taxa de variação.” (p.160). Assim,
prossegue-se no estudo da função derivada.
75
Quadro 7: Função derivada
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+=
→
Fonte: Stewart, 2006, p.165.
Para esta dissertação, o limite do quadro 7 será denominado “limite especial”,
uma vez que, para a análise dos livros, sua recorrência é fundamental.
Os exemplos apresentados são contextualizados, conceituais e trazem as técnicas
de manipulações algébricas; são comentados através da utilização de gráficos e tabelas,
e alguns focam na compreensão conceitual. Já os exercícios seguem a mesma linha dos
exemplos, com enfoque nos conceitos e contextualizações e com variados tipos de
representações.
Desse modo, é possível analisar que os conceitos de derivada e de taxas de
variação são apresentados simultânea e intrinsecamente, respaldados nos problemas
clássicos e na utilização do limite especial.
O próximo capítulo do livro traz as regras de diferenciação e a união dos
conceitos taxa de variação derivada, que é um trabalho retomado na metade do
capítulo com problemas interessantes aplicados às mais variadas áreas do
conhecimento. Porém, para a resolução, são utilizadas as técnicas de derivação e
abandona-se a aplicação do limite especial.
Quadro 8: Análise da regra da cadeia no livro de Stewart
A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x X Fonte: Elaborado pelo autor
A técnica de derivação da regra da cadeia é exposta como uma ferramenta para
derivar funções compostas. Não é evidenciado ao leitor o fato de que essa técnica serve
também para trabalhar com taxas de variação relacionadas.
Os exemplos priorizam as técnicas de manipulações algébricas e remetem à
aplicação para diferenciar funções compostas já apresentadas, e não há apresentação de
exemplos verbalizados. O teorema da regra da cadeia, por sua vez, é apresentado, mas
não é demonstrado, faz-se uma verificação do mesmo.
76
Inicialmente, os exercícios priorizam as técnicas de manipulações algébricas, de
modo a trabalhar a regra da cadeia somente para derivar funções sem nenhum contexto
ou verbalização. Para os problemas, traz-se a aplicação da regra da cadeia para
relacionar taxas de variação, porém, esta aplicação é realizada de forma implícita.
Quadro 9: Análise de taxas relacionadas no livro de Stewart
A8 - Taxas Relaciondas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
Em um pequeno texto, é apresentada a definição de taxas relacionadas. Expõe-se
que problemas de taxas relacionadas são problemas nos quais se utiliza a regra da cadeia
para relacionar taxas de variação. Os exemplos são apresentados de imediato e
interpretados de forma verbal/descritiva, sendo gradativamente reduzidos para,
posteriormente, dar espaço à representação algébrica. O conceito é construído mediante
a utilização desses problemas com representações em forma de diagramas, algébrica,
verbal/descritiva.
Os exercícios de 1 a 5 são relativos à linguagem matemática e à aplicação da
regra da cadeia para relacionar os dados já apresentados. O exercício 6 é apresentado de
forma contextualizada, visando aplicar os conhecimentos adquiridos nas atividades de 1
ao 5. De 7 a 10, apresenta-se uma estratégia pedagógica na tentativa de ajudar na
resolução dos problemas e, nesse momento, os problemas são apresentados com maior
contextualização. De 11 a 38 há contextualizações nas mais variadas áreas do
conhecimento, em especial da Física. Estes exercícios retornam ao Teorema de
Pitágoras, aos conceitos de volume e área, bem como a fórmulas da física envolvendo
fenômenos (resistência, pressão, potência, dentre outros), lei dos senos, e outras,
trazendo um maior grau de dificuldade.
Quadro 10: Últimas análises no livro de Stewart
A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia – Taxas
Relacionadas
A10- Estratégia
A11- Fenômenos Físicos
A12.1 Outros Conteúdos
A12.2 Taxas Relacionadas
X X x
Fonte: Elaborado pelo autor.
77
A relação entre regra da cadeia e taxas relacionadas é exposta somente quando
se chega ao conteúdo de Taxas Relacionadas, quando é feita a sugestão de se utilizar tal
conceito como ferramenta para resolver os problemas. Então é proposta uma estratégia
para resolução de problemas de Taxas Relacionadas. A proposta é objetiva, sugerea
leitura do problema, a utilização da representação em forma de diagrama e também a
utilização da regra da cadeia para relacionar taxas.
Apesar de não ter sido evidenciado o que são os fenômenos físicos, o autor
enuncia que o Cálculo trabalha com fenômenos físicos.
A tecnologia é utilizada na construção dos conceitos (limite, taxas de variação e
derivada), tanto em exemplos quanto em exercícios para resolução. Porém, a utilização
da tecnologia sugerida pelo autor , durante a análise do livro, não é proposta no
conteúdo de Taxas Relacionadas.
Em suma, o conteúdo de Taxas Relacionadas é apresentado como a relação com
taxas de variação baseada na regra da cadeia, utilizando diagramas e também de forma
verbal/descritiva. O respaldo de resolução está em uma estratégia pedagógica que é
fornecida contextualmente.
O outro livro analisado, também intitulado “Cálculo” e assinado por Georg
Thomas (2002), é uma das obras indicadas para os cursos superiores que trabalham com
a disciplina de Cálculo, especialmente voltada para os cursos de ciências exatas. A
apresentação do livro é realizada de forma a incentivar a sua utilização por parte do
estudante. Há sugestão do uso da tecnologia, a defesa da estratégia pedagógica de
Resolução de Problemas e, ainda, material de apoio on-line, tanto para professores,
quanto para alunos. O material tem como objetivo auxiliar as aulas e/ou complementar
os estudos.
O capítulo inicial do livro é definido como “Preliminares”, e realiza uma revisão
aprofundada de funções, parametrizações e modelagem matemática. Utilizam-se, nesta
revisão, variados tipos de representação (tabelas numéricas e não numéricas, gráficas,
diagramas algébricos e verbal/descritiva), prevalecendo uma linguagem mais sincopada
e direta. Muitas regras são sugeridas. Há um pequeno comentário sobre o conceito de
variação, sem que, porém, tal conceito seja aprofundado.
78
Quadro 11: Análise das representações utilizadas no livro de Thomas
A1 - Representações utilizadas pelo Autor Verbal/Descritiva
Gráfica Tabela Numérica S E
Algébrica Diagrama
X X X x x x Fonte: Elaborado pelo autor
Durante a construção dos conceitos, as representações são diversificadas: há
muitas tabelas que recorrem a dados numéricos, diversos gráficos, diagramas e a forma
algébrica é muito utilizada, o que culmina em uma linguagem mais sincopada. Porém
pode-se verficar traços da regra de quatro, já apresentada por Stewart (2006).
Quadro 12: Análises de problemas e conceitos no livro de Thomas
A2 – Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta
Tangente Velocidade R M E
X X x Fonte: Elaborado pelo autor
A sequência adotada por Georg Thomas se difere do primeiro livro analisado.
Neste caso, o problema da velocidade serve como exemplificação do que vem a ser uma
taxa de variação média e uma taxa de variação instantânea, o que é realizado de forma
direta e ligeira, a priori, e retomado posteriormente. Aqui, o problema clássico da reta
tangente é utilizado para exemplificar uma das utilizações do conceito de limite. Sabe-
se que, historicamente, este problema precedeu a definição de limite, e não o contrário.
Assim, apresenta-se o problema não de modo intuitivo, mas sim para justificar a
aplicação do conceito de limite. Posteriormente, os dois problemas são utilizados para
aprofundamento dos conceitos de limite, taxa de variação e derivada.
A capacidade intuitiva é retomada de forma sucinta na construção dos conceitos,
e chega-se a conclusões imediatas e logo são definidas. Trabalha-se no caminho
definição exemplificação e, neste elo, acredita-se construir os significados dos
conceitos.
Quadro 13: Análise sobre limite no livro de Thomas
A4 – Limites A4.1 Conceitual A4.2 Exemplos A4.3 Definição A4.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
X x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
79
O conceito de limite é construído através de uma tabela, com respaldo em um
gráfico e com o auxílio de uma função escrita na forma algébrica. Tabulando valores,
encontra-se o limite dessa função, utilizada como exemplo. É apresentada a definição
precisa de limite. Os exemplos dão prioridade às técnicas de manipulações algébricas e
são trabalhados. Porém, para a análise realizada, não ofereceram muito suporte para
futuros exercícios propostos pelo livro, muitos dos quais são divididos nas mais
variadas áreas do conhecimento.
Quadro 14: Análise sobre taxas de variação no livro de Thomas
A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
O conceito de taxas de variação está dividido ao longo dos capítulos, sendo
abordado no capítulo inicial, no capítulo 1 e no capítulo 2. Durante a construção do
conceito, vê-se a preocupação na diferenciação entre taxa de variação média e taxa de
variação instantânea. Porém, como o conceito é apresentado e retomado em diversos
momentos, o leitor, novamente, precisa ter atenção redobrada para compreendê-lo. Não
há aprofundamento em uma seção específica, mas, sim, complementos do conceito ao
longo do livro, o que pode com que o leitor tenha dificuldades de identificação. Os
exemplos retomam ao trabalho com velocidade e inclinação da reta tangente. Apresenta-
se poucos exercícios para que o leitor trabalhe este tópico. Estes exercícios perpassam
por algumas áreas do conhecimento, o que pode ser classificado como um trabalho
médio.
Quadro 15: Análise da função derivada no livro de Thomas
A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
X X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
A derivada é comentada no capítulo 1 através do limite especial, e não há
aprofundamento do conceito. No capítulo 2, é retomado o trabalho, o qual tem início
80
com a definição formal da função derivada. Daí entende-se que o conceito fora
construído no comentário do capítulo 1 de forma superficial.
Os exemplos do trabalho com a função derivada, a priori, trabalham com as
técnicas de manipulações algébricas sem uma contextualização, e muitos deles propõem
encontrar inclinações da reta tangente a uma curva. A mesma função é utilizada para
demonstrar algumas regras de derivação.
É interessante ressaltar o trabalho realizado para unir os conceitos de derivada e
taxa de variação. A taxa de variação instantânea é definida como o limite da função
derivada, mas não se chama a atenção do leitor para tal fato. Para unir esses conceitos, é
utilizado um problema sobre velocidade e, a partir dele, define-se o que vem a ser
velocidade instantânea. O gráfico seguinte é utilizado para mostrar a união dos
conceitos geométrico-físicos e Derivada-Taxa de variação.
Gráfico 4: Tempo x Distância
Fonte: Thomas, 2007, p.155
Quadro 16: Análise da regra da cadeia no livro de Thomas
A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x X x x x Fonte: Elaborado pelo autor
O conceito da regra da cadeia é apresentado para validar a derivação de funções
compostas, mas há uma preocupação quanto à utilização da regra da cadeia para
81
relacionar derivadas (taxas de variação). Um dos exemplos de aplicação da regra da
cadeia é a sua utilização para promover a relação entre derivadas, o que sugere o
trabalho de Taxas Relacionadas de forma ainda implícita para o leitor. Outros exemplos
privilegiam as técnicas de manipulações algébricas e a aplicação da técnica de derivação
da regra da cadeia, quando o teorema da regra da cadeia é apresentado.
Os exercícios, em sua maioria, são de aplicação imediata da regra da cadeia de
forma algébrica, e aqueles que estão contextualizados são complicados de resolver,
baseando-se apenas nos exemplos propostos.
Quadro 17: Análise de taxas relacionadas no livro de Thomas
A8 - Taxas Relacionadas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
X x x x Fonte: Elaborado pelo autor
Inicia-se o comentário sobre taxas relacionadas, através de exemplificação dos
tipos de problemas onde há a presença deste conteúdo. Para dar maior suporte ao
conceito, o trabalho aqui é realizado através de exemplificações, que são resolvidas e
comentadas passo a passo e sempre trazem um diagrama para facilitar a visualização do
relato verbal. Esses diagramas tentam exprimir a ideia de movimento, os quais estão
presentes em problemas de Taxas Relacionadas, sendo que, para tal, há utilização de
setas indicando sentidos de movimento.
Os exemplos são resolvidos com respaldo em uma estratégia de resolução
sugerida para facilitar o aprendizado do conteúdo. São propostos 38 exercícios, que se
utilizam do conceito de área, volume, voltagem, potência, dilatação, velocidade, custo
marginal, movimento retilíneo, além de semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras
dentre outros.
Nas atividades de 1 a 13, a dificuldade aumenta a cada exercício. Porém, são
utilizados sub-itens baseados na estratégia de resolução apresentada, de modo gradual,
na tentativa de ajudar o leitor a resolver o exercício proposto, sendo que, nos últimos
exercícios (10, 11, 12 e 13), os problemas permitem maior autonomia do leitor e, do
problema 14 até o 38, a estratégia fica implícita. Os exercícios são diversificados,
interessantes, propõem reflexão do leitor para resolvê-los, são contextualizados e, às
vezes, já trazem o diagrama esboçado e o nível de dificuldade aumenta
82
consideravelmente. Contudo, com a explicação destinada a este tópico, não seria difícil
de analisar as dificuldades dos alunos na resolução dos problemas propostos. A
linguagem dos exercícios parece diferir quanto à linguagem dos exemplos. A ideia do
movimento, por seu turno, pode não ser incorporada somente aos diagramas sugeridos.
Quadro 18: Últimas análises no livro de Thomas
A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia - Taxas Relacionadas
A10- Estratégia
A11- Fenômenos Físicos A12.1 Outros
Conteúdos A12.2 Taxas Relacionadas
x X x
Fonte: Elaborado pelo autor
A relação regra da cadeia taxas relacionadas é utilizada tanto no conteúdo da
regra da cadeia, quanto em Taxas Relacionadas, produzindo um trabalho completo, mas
realizado de forma sucinta e sem chamar a atenção do leitor para esta relação tão
importante.
O livro traz uma estratégia para resolver os problemas de Taxas Relacionadas,
utilizando a “falha” existente em alguns aspectos, como ler o problema até compreendê-
lo e interpretar a resposta encontrada. A estratégia não menciona a utilização da regra da
cadeia para relacionar as taxas de variação presentes no problema, nem apresenta
comentários sobre problemas de fenômenos físicos ou até mesmo o que são fenômenos
físicos.
A tecnologia é utilizada na construção dos demais conceitos (limite, taxa de
variação, derivada) e nas atividades que remetem para estes conceitos. Já no conteúdo
de Taxas Relacionadas, não há sugestão da utilização das TIC’s e nem problemas para
esse fim. O livro propõe um website no qual aluno e professor têm acesso a materiais
complementares para aprofundar o estudo de Cálculo. Ao visitar o site, é possível
analisar que o conteúdo de taxas relacionadas não foi privilegiado e o material a respeito
deste conteúdo é escasso.
O autor diz ainda que “um dos objetivos deste livro é mostrar aos alunos o
fascínio do cálculo. Cada definição, teorema, corolário e prova foi revisada para garantir
a clareza e o rigor matemático.” (THOMAS, 2002, p. 11). Realmente, encontra-se o
rigor matemático através das definições precisas e do foco na representação algébrica.
Além disso, o autor elabora, em certos conteúdos, uma lista de regras (que aparecem
com muita frequência ao longo do livro) à qual o aluno pode recorrer. A
83
contextualização (verbal/descritivo) é deixada em segundo plano, o que dificulta a
assimilação dos conceitos necessários à compreensão do conteúdo de taxas
relacionadas, e, com esse enfoque, acaba por prejudicar os conceitos em construção. Os
exercícios são bem elaborados, mas, como a construção conceitual é célere, torna-se
difícil a resolução de tais atividades.
O terceiro livro analisado, “Cálculo” de Howard Anton, Irl Vivens e Stephen
Davis (2007), traz em seu prefácio uma exposição dos recursos utilizados pelo livro e,
para esta dissertação, serão analisadas a apresentação dos recursos computacionais, das
notas marginais que acrescentam ideias adicionais ao conteúdo abordado, da gradação
das dificuldades dos exercícios, do rigor matemático que faz parte do conhecimento
matemático e a utilização da regra dos quatro que aqui toma a dimensão “apresentação
dos conceitos dos pontos de vista verbal, algébrico, visual e numérico.” (ANTON;
BIVENS; DAVIS, 2007, p.9). A questão visual (diagramas, gráficos e tabelas),
altamente defendida nas leituras realizadas, aqui é proposta como um dos elementos-
chave da aprendizagem de Cálculo.
Disponível em site estão complementos de contéudos trabalhados no livro, os
quais são sugeridos, tanto para o professor quanto para o aluno, sob forma de
aprofundamento. O material disponível traz exercícios, problemas, apresentações em
powerpoint, exercícios resolvidos e comentados, revisões e complementações para
aprofundamento dos conteúdos.
O primeiro capítulo do livro, como os demais analisados, faz uma revisão do
conteúdo de funções, com aprofundamento em relação ao Ensino Médio, a partir da
utilização da regra dos quatro e a utilização de tecnologia. Discutem-se ainda modelos
matemáticos e equações paramétricas.
Quadro 19: Análise das representações utilizadas no livro de Anton; Bivens e Davis
A1 - Representações utilizadas pelo Autor Contextual
Gráfica Tabela Numérica S E
Algébrica Diagrama
x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
As representações utilizadas são diversificadas e, quanto à representação
contextual (verbal/descritiva), o livro traz complementos históricos durante a construção
dos conceitos, o que pode aguçar no leitor a vontade de aprofundar o conteúdo. Já nas
84
notas marginais, há complementos de conceitos com aprofundamento e propostas de
investigação. Não se privilegia uma representação em relação à outra e, em certos
momentos, tais representações são utilizadas concomitantemente. A representação
visual (Diagrama, Gráficos, Tabelas, dentre outras) é muito explorada, principalmente
no que se refere à dinamicidade (movimentos) e às variações presentes no estudo de
Cálculo, como pode ser observado na figura seguinte.
Figura 11: Reta secante e reta tangente.
Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, pg.102.
O diagrama acima tenta expressar, para o leitor, a ideia de movimento, na qual
uma reta secante, através do movimento, tende a uma reta tangente. Assim, a
representação visual é utilizada ao longo do livro para auxiliar a compreensão dos
conceitos envolvidos.
Quadro 20: Análises de problemas e conceitos no livro de Anton; Bivens e Davis
A2 - Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta
Tangente Velocidade R M E
X x x Fonte: Elaborado pelo autor
Para os autores, a primazia dos conceitos do Cálculo está na ideia de limite: “a
pedra fundamental sobre a qual se apoia a ideia de taxa de variação é o conceito de
“limite”, uma ideia tão importante que agora todos os demais conceitos do Cálculo se
baseiam nela.” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, p.101). Porém, para se chegar à
construção do conceito de limite, menciona-se o problema da reta tangente, assim como
o da área sob uma curva. O problema da velocidade aparece posteriormente quando se
85
estuda o conceito de derivada, senvindo para exemplificá-lo. Desse modo, o foco do
livro está nos conceitos de limite, e derivada e os problemas clássicos são utilizados
para exemplificar tais conceitos.
A construção dos conceitos necessários à compreensão das Taxas Relacionadas é
realizada de forma intrínseca e, em vários momentos, avança, retoma eaprofunda o que
já fora apresentado. A utilização da regra dos quatro ajuda na compreensão de tais
conceitos, que vão do físico para o algébrico e do algébrico para o gráfico e vice-versa,
exigindo maior atenção do leitor para conseguir compreendê-los.
Quadro 21: Análise sobre limite no livro de Anton; Bivens e Davis
A4 – Limites A4.1 Conceitual A4.2 Exemplos A4.3 Definição A4.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
O conceito de limite é utilizado no estudo da reta tangente e em como calcular a
área sob uma curva. Intuitivamente, é construído com utilização de uma tabela, de um
gráfico e de uma função algébrica A forma contextual traz a palavra “informal”, isto é, a
preocupação inicial não é definir rigorosamente e, sim, construir o conceito de limite,
construção esta que é realizada através do gráfico que representa uma função e da tabela
com aproximações de um ponto escolhido, fazendo assim com que a ideia de limite
comece a ser trabalhada.
Os exemplos trazem gráficos, tabelas, funções representadas de modo algébrico
e os conceitos são analisados do ponto de vista intuitivo. Posteriormente, na secção
denominada “Calculando Limites”, os exemplos tornam-se algébricos, não
abandonando, porém, os gráficos e as tabelas.
A definição matemática rigorosa de limite para o Cálculo é apresentada somente
após muito trabalho para a construção do conceito, e é retomada nos exemplos, a fim de
que o leitor a compreenda.
Quanto aos exercícios, alguns recebem o nome de “Enfocando Conceitos”, nos
quais se trabalha o conceito de limites através do recurso visual.
86
Quadro 22: Análise sobre taxas de variação no livro de Anton; Bivens e Davis
A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
O termo taxa de variação surge apenas no capítulo 2, sendo que, para construí-lo,
são utilizados os problemas clássicos, através dos quais se chega à definição formal do
que seja uma taxa de variação média e uma taxa de variação instantânea, sendo que,
para a construção do conceito, o problema da velocidade é fundamental e dá o suporte
necessário à ampliação do conceito para outras áreas do conhecimento.
Há relatos de onde estão presentes as taxas de variação em campos do
conhecimento científico, sem, porém, exemplos de aplicação. Os exemplos utilizados
são apenas da reta tangente, da velocidade e apenas um de temperatura.
Foi possível perceber que os exercícios perpassam pelos três critérios analisados.
Quadro 23: Análise da função derivada no livro de Anton; Bivens e Davis
A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
A função derivada é apresentada como o limite especial, comentando-se ainda
que este limite representa a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada em
determinado ponto. Não há união significativa entre o geométrico e o físico, e o leitor
pode compreender essa união de forma contextual através da comparação do limite
especial que aparece tanto para exemplificar a inclinação da reta tangente quanto para
exemplificar taxas de variações instantâneas, como, por exemplo, a velocidade.
Os exercícios, como sempre, enfocam os três aspectos e apresentam as técnicas
de derivação.
Quadro 24: Análise da regra da cadeia no livro de Anton; Bivens e Davis
A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x X x x Fonte: Elaborado pelo autor
87
A regra é apresentada para derivar funções compostas e não há comentário de
que a mesma pode ser empregada para relacionar derivadas (Taxas Relacionadas).
O teorema da regra da cadeia é apresentado, mas não é demonstrado. Os
exemplos são mais algébricos e utilizam-se mais da aplicação direta da regra. Os
exercícios são trabalhados de maneira mais centralizada na utilização da regra da
cadeia, mesmo aqueles que se apresentam contextualizados. Quanto aos conceituais,
aqui estão presentes em menor número.
Quadro 25: Análise de taxas relacionadas no livro de Anton; Bivens e Davis
A8 - Taxas Relaciondas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios
R M E R M E R M E C A CT
x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor
A definição é apresentada de forma contextual e muito resumida. A construção
do conceito é realizada através de exemplos: são expostos cinco problemas, sendo os
três últimos mais contextuais e resolvidos sucintamente, fazendo com que seja
necessário que o leitor leia-os mais de uma vez para incorporar o conceito. Os exemplos
recorrem à representação visual, sob forma de diagramas, estes por sua vez, tentam
exprimir movimentos. A resolução é realizada de forma comentada e baseando-se em
uma estratégia de resolução sugerida.
Os números 1,2,3 e 4 das atividades têm o seu nível de dificuldade aumentada
gradualmente. Entretanto, estes exercícios pedem para resolver uma situação apenas a
fim de relacionar as taxas presentes com a utilização da regra da cadeia, fazendo, assim,
com que o enfoque seja manipulativo e pouco conceitual.
Em seguida, apresenta-se uma seção com 47 exercícios, que são assim
distribuídos:
a) 1 a 4 - aplicação direta das taxas relacionadas através da utilização da
regra da cadeia, de modo que este exercícios já vêm estruturados,
bastando ao aluno fazer o elo entre os dados;
b) 5 a 9 - o enfoque está no conceito e na utilização da estratégia de
resolução apresentada;
c) 10 a 47 – apresentam problemas voltados para fenômenos físicos de
modo mais contextualizado e com um nível de dificuldade que aumenta a
88
cada exercício realizado. Há presença de Teorema de Pitágoras, Volume,
Relações Trigonométricas, Trigonometria, Área, Funções, Leis da Física,
dentre outros, relações estas que, para além de importantes, constituem o
conjunto daqueles conhecimentos aprendidos no Ensino Médio e que
agora dão suporte ao desenvolvimento e aprendizado desse conteúdo.
Alguns dos exercícios recorrem a diagramas, já trazidos pelos autores, de modo
a facilitar a visualização do enunciado proposto.
Quadro 26: Últimas análises no livro de Anton; Bivens e Davis
A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia - Taxas Relacionadas
A10- Estratégia
A11- Fenômenos Físicos
A12.1 Outros Conteúdos
A12.2 Taxas Relacionadas
X X x
Fonte: Elaborado pelo autor
Não há relato da relação regra da cadeia taxas relacionadas, cabendo,
portanto, ao leitor, perceber que a regra da cadeia serve para derivar funções compostas.
Nos exemplos resolvidos de Taxas Relacionadas, pedem-se apenas para derivar ambos
os membros da equação. Contudo, estes exemplos, não se remete à regra da cadeia para
fazer esta derivação e, por isso, a utilização dessa regra não é colocada de forma
explícita. Percebe-se que há presença de uma estratégia para resolução de problemas de
Taxas Relacionadas, assim como o relato a respeito do que são fenômenos físicos.
O recurso computacional é utilizado em exercícios e explicações durante a
construção dos conceitos necessários ao conteúdo de Taxas Relacionadas. Porém, no
conteúdo específico, não há proposta de utilização da tecnologia. Ao consultar o site
sugerido pelo livro, o conteúdo também não é trabalhado de forma aprofundada,
trazendo apenas problemas a serem resolvidos.
4.2.2 Comentário da análise dos livros-texto
O que se pode dizer a respeito da análise dos três livros é que esses materiais
partem de um mesmo princípio: a revisão e o aprofundamento sobre o conteúdo de
Funções. Essa revisão se deve às lacunas trazidas pelos alunos do Ensino Médio quando
ingressam no Ensino Superior ou somente é um trabalho a fim de situar o aluno nas
novas linguagens e representações matemáticas do conteúdo já estudado. Assim, o
89
estudo do Cálculo inicia-se de forma estática e, ao longo dos capítulos, vai adquirindo
dinamicidade.
Os problemas clássicos são utilizados com grande frequência pelos três autores,
seja para validar conceitos ou para construir uma situação que levará ao significado de
certas situações. Todos os livros analisados atendem a utilização da regra dos quatro.
Assim, classifica-se como importante transitar entre diferentes representações para
construir significados no estudo de Cálculo.
Cada autor utiliza uma sequência para construir os conceitos (limite, taxas de
variação e derivada), mas todos eles chegam ao mesmo ponto. A ênfase em taxas de
variação é dada com o estudo do conceito de derivadas e, a partir deste estudo, avança-
se com as noções de regra da cadeia e com os conceitos de taxas relacionadas.
O conteúdo de taxas relacionadas, aqui exposto como um dos conteúdos com
alto grau de dificuldade para o ensino de Cálculo, não é privilegiado pelos autores, uma
vez que é trabalhado em uma pequena seção do livro. O artifício utilizado para explicar
o conteúdo é adotado da mesma forma pelos três autores. Inclusive, todos resolvem
cinco problemas e, a partir do segundo ou do terceiro, propõem uma estratégia de
resolução que é aplicada aos demais. Assim, pode-se mudar de autor para tentar
compreender o conceito, mas o trabalho é realizado de forma análoga.
Uma das dificuldades está em representar o movimento presente no problema.
Este movimento é abstrato e através do uso de palavras e diagramas, percebe-se
tentativa de expressa-lo ao leitor. Para a resolução do problema, tem-se, implicitamente,
que o movimento se congela em determinado instante e, nesse momento, quer-se
calcular a taxa de variação requerida de algo que possui movimento. Para dar suporte a
percepção deste movimento, a tecnologia poderia ser utilizada como um auxílio Porém,
na seção em que seria essencial a sua utilização, nenhum dos três autores recorre à
tecnologia, seja através de vídeoaulas, dos sites indicados ou dos diagramas que fazem
menção a movimentos na tentativa de mostrar ao leitor esta situação abstrata.
Foi possível perceber que uma das dificuldades do trabalho com o conteúdo de
Taxas Relacionadas está em compreender conceitos trazidos por um problema. Outra
dificuldade também vista diz respeito ao movimento e às variações que devem ser
percebidas durante a realização das atividades. Assim, é necessário buscar estratégias
que auxiliem o ensino e a aprendizagem do conteúdo de Taxas Relacionadas.
A análise dos livros-texto é importante para a elaboração da sequência das
atividades e dos tópicos presentes no OA. O modo de apresentar os conceitos, o foco na
90
compreensão dos mesmos e as variadas formas de representação matemática foram
adotados e adaptados na elaboração do OA.
91
5 DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA DA CRIAÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM
5.1 Pesquisa Qualitativa
Segundo Bogdan e Biklen (1994), a pesquisa qualitativa surge a partir dos
estudos sociais e antropológicos da década de sessenta do século XX e chega à
educação com o estudo da sociologia voltado para a área educacional. A investigação
qualitativa “enfatiza a descrição, a indução, a teoria fundamentada e o estudo das
percepções pessoais”. (BOGDAN; BIKLEN 1994, p.11). Os mesmos autores
determinam cinco características desse tipo de pesquisa:
a) A fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o
investigador o instrumento principal;
b) É descritiva;
c) Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do
que simplesmente pelos resultados ou produtos;
d) Os pesquisadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de
forma indutiva;
e) O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.
Diante de tais características, percebe-se que se trata de uma abordagem flexível
e não necessariamente de uma abordagem norteada por regras pré-determinadas. Em
conformidade, a pesquisa qualitativa deve possuir:
(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e impossibilidade de estabelecer regulamentações, nem procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (GARNICA, 2004, p.86).
Tais características de pesquisa não funcionam como regras absolutas que
devem ser seguidas, mas, pelo movimento flexível, pode-se chegar a características com
diferentes ênfases. Por possuir tais características em relação ao pesquisador, Lüdke e
André (1986, p.5) afirmam que “não há, portanto, possibilidade de se estabelecer uma
separação nítida e asséptica entre o pesquisador e o que ele estuda e também os
resultados do que ele estuda.” O pesquisador participa, ora mais ativo, ora mais passivo
de todo o processo da pesquisa.
92
Esta pesquisa objetivou criar um Objeto de Aprendizagem por meio da estratégia
pedagógica de Resolução de Problemas para trabalhar o conteúdo de Taxas
Relacionadas presentes na disciplina de Cálculo, abordando especificamente os
problemas referentes a fenômenos físicos. Para tal, a pesquisa qualitativa, que foi a
metodologia aqui adotada, serviu como suporte para construir o OA, além de avaliar a
utilização deste pelos alunos, e também verificar, através de observações presenciais, se
tal Objeto contribuiu para a aprendizagem, principalmente no que diz respeito à sua
utilização.
5.2 Elaboração do OA
Os caminhos aqui relatados foram trilhados para elaboração do OA com base
nas leituras realizadas e, a partir daí, chegou-se à conclusão de que um OA, para ser
construído, deve:
a) Delimitar um tema a ser trabalhado;
b) Ter uma estratégia pedagógica envolvida;
c) Ter uma equipe que compreenda o aspecto pedagógico e/ou a linguagem
computacional;
d) Escolher uma linguagem computacional que atenda à proposta;
e) Passar por fases de desenvolvimento.
Desse modo, o tema foi delimitado: Cálculo Taxas de Variação Taxas de
Variação Relacionadas. Escolheu-se tal tema pela curiosidade do pesquisador, conforme
anteriormente relatado. A escolha de uma estratégia pedagógica, isto é, modos de
abordar e trabalhar o conteúdo, deve ser uma das preocupações de equipes que
desenvolvem OA’s, como defendido por Borba e Penteado (2001) e Nascimento (2007),
a fim de que os OA´s contribuam para o aprendizado e não sejam somente um objeto
computacional. Sendo assim, a estratégia pedagógica adotada foi a Resolução de
Problemas, baseada em Stewart (2006) e Polya (1977), a partir dos seguintes passos:
1º - Ler o problema de forma minuciosa;
2º - Traçar um esboço da situação (diagrama), que será realizado no próprio OA
de forma dinâmica.
3º - Escolher a notação e/ou entender o significado da notação utilizada (analisar
os dados fornecidos pelo problema);
93
4º - Expressar a taxa requerida em termos de derivada; (representar o dado
procurado);
5º - Escrever uma equação que relacione as várias grandezas do problema;
6º - Utilizar a regra da cadeia (para relacionar as grandezas se necessário);
7º - Substituir as informações dadas ou encontradas dentro da equação resultante
e resolver o problema de modo a encontrar a taxa desconhecida;
8º - Analisar a resposta encontrada em coerência com os dados do problema.
Estabelecida a estratégia pedagógica, montou-se uma equipe para criar o OA,
como sugerido por Nascimento (2007) e Amante e Morgado (2001). A equipe foi
composta pelo orientando e orientador, que são profissionais da área do conhecimento.
Por intermédio de um projeto, conseguiu-se um estagiário da área de Engenharia da
Computação para participar da programação; e uma profissional da área específica de
Física (visto que os problemas são de fenômenos físicos), para revisar as atividades, a
linguagem utilizada e os conceitos definidos.
A linguagem ideal a ser utilizada na programação do OA ficou sob a
responsabilidade do programador. Através das ideias iniciais de como seria trabalhado o
tema delimitado e das necessidades pedagógicas implicadas, o programador buscou uma
linguagem que possibilitou tal articulação. A linguagem escolhida por ele foi html com
Javascript, as animações construídas na linguagem flash, com o auxílio do programa
Microsoft Office PowerPoint 2003, aTube Catcher (programa gratuito), o qual pode ser
encontrado na internet e que permite capturar imagens da tela e transformá-las em
vídeo, figuras da internet, além do applets do GeoGebra, programa também gratuito
que permite o esboço de gráficos dinâmicos, dentre outras opções, além de imagens
retiradas da internet para compor o mesmo. O OA funciona em navegadores da internet
como Google Chrome e Firefox Mozilla.
O desenvolvimento do OA foi baseado em Amante e Morgado (2001), que
sugerem fases de como construir um recurso pedagógico, isto é, a concepção, a
planificação, a implementação e a avaliação.
Como já foi dito, é na fase de concepção que se compreende e delimita o tema,
monta-se a equipe, escolhe-se a estratégia pedagógica e a linguagem computacional a
serem utilizadas.
A fase de planificação refere-se à etapa de estruturação das ideias (quando são
registradas, colocadas no papel), ideias essas que foram surgindo a partir das leituras
94
realizadas. A sequência didática2 foi sendo elaborada, mas não surgiu pronta e
determinada, senão com o avanço dos estudos sobre o que era um OA e da percepção
das necessidades envolvidas, a partir do que foram sendo realizados acréscimos,
mudanças, complementos e exclusões. Nessa fase, a proposta era criar 7 (sete)
atividades sobre problemas de Taxas Relacionadas que envolvessem fenômenos físicos
e que deveriam ser resolvidas com a utilização da estratégia pedagógica. Pensou-se,
inicialmente, que o OA teria questões fechadas, conforme apresentado por Júnior e
Lopes (2007). Os comandos que seriam utilizados, os vídeos que seriam inseridos e a
escolha dos problemas presentes no OA foram aspectos pensados de forma gradativa,
ampliando o grau de dificuldade e de compreensão a cada atividade, na tentativa de
tornar o aluno mais autônomo na resolução desses tipos de problemas.
Ao criar as sete atividades, viu-se a necessidade de, além disso, fazer também
uma revisão de conceitos necessários ao estudo de Taxas Relacionadas. Assim, a
estratégia de resolução de problemas foi inserida no OA e tópicos revisionais foram
propostos, como, por exemplo: inclinação da reta tangente, inclinação de reta secante,
velocidade média, velocidade instantânea, taxa de variação média, taxa de variação
instantânea, regra da cadeia. Tudo isso foi feito de modo interativo-explicativo, isto é,
durante a explicação, o aluno recebe instruções/comandos para participar, de modo a
potencializar e revisar tais conceitos. Assim, o OA teria três seções denominadas:
a) Taxa de Variação – Revisão de Conceitos;
b) Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas;
c) Atividades.
A partir dessas ideias iniciais, criou-se o storyboard, como sugerido por Amante
e Morgado (2001), partindo das atividades respaldadas na estratégia de resolução de
problemas apresentada por Stewart (2006) e Polya (1977). Elaboraram-se as atividades,
as quais, conforme a necessidades, foram sofrendo modificações ao longo do processo:
como compreensão de comandos, limitações de programação, atividades programadas
que não atenderam expectativas, dentre outros. Com base em leituras de Stewart (2006),
Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007), o storyboard foi sendo confeccionado
com o auxílio do orientador, do orientando e ainda com a revisão do profissional da área
de Física.
2Pode-se pensar como sequência didática “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto pelos professores como pelos alunos” (ZABALA, 1998, p. 18).
95
A fase de implementação corresponde ao momento em que o programador
começou a passar o storyboard para a linguagem computacional, ou seja, a programar o
OA, cujo trabalho foi realizado pelo orientador, orientando e programador. Durante a
programação, aconteceram algumas mudanças que visavam complementar ou substituir
as ideias apresentadas no storyboard, pois algumas, quando programadas, se tornavam
falhas em alguns aspectos ou necessitavam de maiores mudanças para facilitar a
compreensão do conceito envolvido. Outras sofreram até mesmo modificações devido à
dificuldade de a ideia ser programada, o que sugere que, para fazer um OA, nem todas
as ideias pensadas para as práticas de ensino serão de fácil ou possível programação.
A equipe teve o trabalhado dividido, conforme é apresentado. O orientador e o
orientando, preocupados com a elaboração pedagógica do OA, fizeram leituras teóricas
e metodológicas para esse fim; já o profissional da área de Física preocupava-se em
revisar conceitos físicos e o programador em programar as atividades elaboradas.
Juntos, analisaram os layouts e as formas de apresentação na tentativa de concluir a
proposta desta pesquisa.
A avaliação, que é a última fase sugerida por Amante e Morgado (2001),
acontece a cada passo da elaboração do OA, inclusive no momento da aplicação. É
nessa fase que se observa a necessidade de modificar, ampliar e/ou retirar algumas
partes do OA, para que ele atenda melhor à proposta. Assim, essa fase ocorreu em
diversos momentos e sob os olhares do orientando, orientador e programador, que
participaram ativamente de todo o processo de criação e aplicação do OA.
5.3 Descrição das Seções do OA
O OA foi planejado com o intuito e a expectativa de levar o aluno a
compreender o tópico de Taxas Relacionadas através da Resolução de Problemas de
Fenômenos Físicos. Enquanto se construía as seções presentes no OA, houve
divergências ou outras descobertas não pensadas, o que foi possível perceber em
dificulades como: elaboração da sequência didática, que passou por constantes
reformulações, o número de tópicos idealizados que, durante o processo, sofreu
acréscimo e decréscimo de tópicos conforme as necessidades, as animações, algumas
das quais, ainda que idealizadas, não foram permtidas pela mídia computador ou até
mesmo pelo fato de o programador não conseguir realizá-las, o que culminou em
substituições das mesmas ou até mesmo no cancelamento do tópico. Quatro
96
programadores tentaram realizar o projeto, dentre os quais dois do projeto aqui citado e
outros dois contratados pelo pesquisador. Três destes programadores não conseguiram
realizar a proposta, abandonando o projeto e entregando-o para outro programador
assumir tal função, O quarto programador conseguiu realizar o projeto mediante as
alterações de algumas animações, vídeos, dentre outros elementos. Outra dificuldade foi
a de conciliar as leituras realizadas e as idealizações na criação do OA, o que gerou a
necessidade de, por várias vezes, reestruturar as telas e o conteúdo presente no OA.
A expectativa na elaboração do OA é a de que o aluno ganhasse autonomia,
sendo que, para isso, cada tópico e/ou atividade das seções foram construídos com base
em uma sequência didática que procurou atender à literatura vigente sobre o ensino de
cálculo, na tentativa de construir os conceitos de forma significativa sem a preocupação
do rigor matemático excessivo, além de procurar trabalhar com representações
diferenciadas, evitando memorização ou mecanização do processo.
Também foram utilizados como base de estudo os livros analisados, bem como
as competências enunciadas pelas Diretrizes dos cursos de Engenharia e Matemática,
visto que os sujeitos de pesquisa seriam alunos destes cursos.
Dividiu-se o OA em três seções: Taxa de Variação – Revisão de Conceitos;
Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas (Revisão) e as Atividades. As duas primeiras
seções tratam de revisões de conceitos necessários para a resolução das atividades, e a
última traz as atividades e uma estratégia de resolução de problemas para
compreender/aprender a resolver os problemas sobre Taxas Relacionadas.
5.3.1 A Seção Taxa de Variação – Revisão de conceitos
Esta seção foi idealizada na tentativa de atender aos seguintes objetivos:
a) Revisar conceitos e ferramentas do Cálculo, tais como: notações, incrementos,
limite, derivada, velocidade média, velocidade instantânea, função posição, corrente
elétrica, taxa de variação média, taxa de variação instantânea, inclinação da reta secante
e inclinação da reta tangente;
b) Perceber que a inclinação da reta secante a uma curva dada é uma taxa de
variação média e a inclinação da reta tangente a uma curva dada pode ser considerada
uma taxa de variação instantânea;
c) Analisar a velocidade média como uma taxa de variação média e a velocidade
instantânea como uma taxa de variação instantânea;
97
d) Perceber a particularidade entre velocidade média inclinação da reta
secante e velocidade instantânea inclinação da reta tangente;
e) Trabalhar com notações matemáticas utilizadas para simbolizar taxas;
f) Compreender o conceito de Derivada como taxa de variação instantânea;
g) Utilizar diferentes representações para construir os significados pretendidos.
Para realizar todos os objetivos citados, foram utilizados como base os livros de
Cálculo de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007) e, a partir
das leituras, analisaram-se pontos em comum na construção dos conceitos que serão
apresentados. No OA, criou-se a seguinte sequência:
Tópico 1: Problema da Reta Tangente
Os três últimos autores citados utilizam o problema da reta tangente para
construir ou validar o conceito de taxa de variação. Esse problema consiste em achar a
inclinação de uma reta tangente a uma curva dada, a fim de obter a sua equação e, por
isso, o tópico recebeu o nome de “Problema da Reta Tangente”. Esse tópico foi
desenvolvido também em conformidade com Zuin (2001), que, a respeito do Cálculo,
trabalha com duas questões básicas: “o cálculo do coeficiente angular da reta tangente a
um gráfico num ponto dado, ou seja, o problema das tangentes.” (ZUIN 2001, p.13) e a
outra, que não se fez necessário para esta pesquisa, refere-se ao problema das áreas.
Assim, é apresentado ao aluno o problema no qual ele deve encontrar a inclinação de
uma reta tangente a partir de uma curva dada, passando por um ponto qualquer. Para
auxiliar na compreensão, de como calcular a inclinação desta reta tangente, foi estudado
um caso particular que, posteriormente, foi ampliado.
O problema partiu da ideia de encontrar a inclinação de uma reta secante a uma
curva dada, o que já fora abordado, em nível médio, e também trabalhado na disciplina
de Geometria Analítica em nível superior. Porém, a exploração, deste problema, foi
realizada a partir de visualização gráfica que, segundo Frota e Couy (2007), é um
recurso favorável ao estudo de Matemática, em especial ao Cálculo. Com a
dinamicidade e a interação entre o aluno e o problema, a ideia foi levar o aprendiz a
compreender, na linguagem do Cálculo, como encontrar a inclinação da reta tangente e
o seu significado.
Esse tópico permite ao estudante:
a) Revisar conceitos e notações utilizadas para representar esta situação;
98
b) Compreender a inclinação da reta secante a partir da relação trigonométrica da
tangente, utilizando a linguagem de funções;
c) Entender que a inclinação dada pelo coeficiente angular da reta secante é
chamada, no Cálculo, de taxa de variação média, e a inclinação da reta tangente
é chamada de taxa de variação instantânea;
d) Visualizar o fenômeno do movimento da reta secante aproximando da reta
tangente;
e) Compreender a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada como taxa
de variação instantânea.
Na tela do computador, o aluno tem o gráfico da função y = f(x) = -x² + 20x e
os pontos A (2,36) e B(10,100), que pertencem a essa curva e por onde passa também
uma reta secante. Assim, a construção do conceito não pretende a formalização ou
generalização imediata, mas trabalha inicialmente com um caso particular.
Gráfico 5: Função y = f(x) = -x² + 20x
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir da visualização do gráfico, a ideia de incremento )( yex ∆∆ é revisada
com o aluno e, a partir do triângulo ABC reto em C, faz-se a revisão de como achar a
inclinação da reta secante presente no gráfico. Para isto, utiliza-se a relação
trigonométrica de tangente em um triângulo retângulo (Cateto oposto ao ângulo de
inclinação )(θ dividido pelo cateto adjacente ao ângulo de inclinação (x
ytg
∆
∆=θ )).
Desse modo, essa linguagem é ampliada para o cálculo diferencial, de modo a levar o
aluno a perceber as seguintes igualdades:
99
Quadro 27: Cálculo da inclinação da reta tangente.
AB
AB
AB
AB
xx
xfxf
xx
yy
x
ytg
−
−=
−
−=
∆
∆=
)()(θ
Fonte: Elaborado pelo autor
O aluno é convidado a achar a inclinação da reta secante apresentada pelo
gráfico, a fim de que se verifique se houve a compreensão do conceito abordado. Para
trabalhar a inclinação da reta tangente, alguns questionamentos são feitos ao aluno que,
a partir da observação do gráfico, deve levar fazer reflexões a respeito dos seguintes
pontos:
a) Agora, se o Bx fosse se aproximando do Ax o que iria acontecer?
b) O que acontece com a reta secante?
c) E o coeficiente angularx
y
∆
∆, o que acontece com a inclinação da reta secante
durante o processo?
Na tentativa de ajudar na construção de respostas a tais questionamentos, é
apresentada ao aluno uma animação na qual o Bx começa a se aproximar do Ax , a partir
do que os incrementos em x e em y começam a diminuir e a reta secante se aproxima da
reta tangente à curva dada, passando pelo ponto A. Durante o processo, uma tabela
complementa a visualização.
Gráfico 6: Reta secante se aproximando da teta tangente
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir de Frota e Couy (2007), pensou-se em dois tipos de representações:
gráfica (auxiliada pela dinamicidade do gráfico) e tabular numérica, para auxiliar na
compreensão do processo.
100
Tabela 3: Cálculos das inclinações para o tópico proposto
X Y delta x ( x∆ ) delta y ( y∆ ) delta y / delta x
(x
y
∆
∆)
10 100 8 64 8 5 75 3 39 13 3 51 1 15 15
2,5 43,75 0,5 7,75 15,5 2,1 37,59 0,1 1,59 15,9 2,01 36,1599 0,01 0,1599 15,99
2,001 36,015999 0,001 0,015999 15,999 2,00001 36,00016 0,0000100000 0,00016 15,99999
2 36 0 0 #DIV/0! Fonte: Elaborado pelo autor
Após essa animação, é proposto ao aluno responder um questionário com
perguntas fechadas, cujas respostas devem ser dadas a partir das observações realizadas
sobre o gráfico e a tabela. O questionário tem por objetivo aguçar e expor os pontos
mais importantes desse momento. Assim, o OA se torna importante, uma vez que o
aluno pode repetir o processo quantas vezes forem necessárias para compreender o
procedimento envolvido, até assimilá-lo bem, comungando, assim, com as ideias
apresentadas por Lucchesi et al. (2007) e Bardy et al. (2007), cujos investigadores
alegam que o aluno pode aprender no seu ritmo. A partir das observações realizadas na
animação e na tabela e com o questionário preenchido, é definido para o aluno
Quadro 28: Limite especial
AB
AB
xxAB
AB
xxx xx
xfxf
xx
yy
x
y
ABAB −
−=
−
−=
∆
∆
→→→∆
)()(limlimlim
0
Fonte: Elaborado pelo autor
E, nesse momento, um paralelo é realizado por um quadro exposto no OA.
Quadro 29: Inclinação e taxas de variação
1- A inclinação de uma reta secante pode ser denominada como uma taxa de
variação média;
2- A inclinação da reta tangente pode ser denominada como uma taxa de
variação instantânea.
Fonte: Elaborado pelo autor
101
Tópico 2: Introdução ao Conceito de Velocidade
Neste momento, a proposta consiste em mostrar um fenômeno físico no qual está
presente a taxa de variação ou uma aplicação de taxa de variação. Essa aplicação foi
retirada dos livros de Stewart (2006), Anton; Bivens e Davis (2007) e Thomas (2002),
que trazem o problema da velocidade média e da velocidade instantânea.
Desse modo, dividiu-se esse tópico em duas partes:
a) Explicar o que é velocidade média e suas notações;
b) Explicar o que é o movimento de queda livre utilizando o conceito de
velocidade média e culimnando no conceito de velocidade instantânea.
A parte a recebeu o nome “Introdução ao Conceito de Velocidade Média”, com
o propósito de atender aos seguintes objetivos:
a) Compreender o conceito de velocidade média;
b) Aprender/revisar as notações matemáticas envolvidas para designar
conceitos abordados.
A parte b recebeu o nome “Movimento de Queda Livre” e teve como objetivos:
a) Entender e/ou revisar o fenômeno de queda livre;
b) Compreender e/ou revisar o conceito da função posição;
c) Relacionar um fenômeno físico (queda livre) com as notações matemáticas
(função posição);
d) Perceber que o movimento de queda livre (fenômeno físico) pode ser
representado graficamente a partir da função posição;
e) Analisar o gráfico do movimento de queda livre;
f) Calcular a velocidade média de um corpo em queda livre em um determinado
intervalo.
Na primeira parte, busca-se compreender o que é movimento e o que é
velocidade média. Para explorar tais conceitos, o aluno interage com uma simulação que
traz todo o conteúdo utilizado para explicar o que é movimento. Baseado em Gaspar
(2008), tem-se que, para haver movimento na Física, é preciso definir um referencial,
isto é, um ponto de origem (na simulação, o referencial é a casa). Haverá movimento se,
com o passar do tempo, a posição de um corpo mudar em relação a este ponto, aqui
denominado referencial.
102
Figura 12: Movimento físico
Fonte: Elaborado pelo autor
Para designar as grandezas presentes, as notações comumente utilizadas em
Física vão sendo construídas juntamente com o aluno, que participa interagindo com o
OA, e logo o conceito de Velocidade Média é apresentado.
Quadro 30: Conceito de velocidade média
Velocidade Média ( mv ) de um corpo é a razão entre o espaço percorrido s∆ e o
intervalo de tempo t∆ gasto para percorrê-lo.
Assim: 0
0
tt
ss
t
svm
−
−=
∆
∆= .
Fonte: Adaptado de Gaspar, 2008, p.27
O aluno pode praticar o conceito através da interação com o OA em outro
diagrama, o qual permite a visualização e a dinamicidade do conceito abordado.
Figura 13: Diagrama para velocidade média
Fonte: Elaborado pelo autor
103
Aqui, o aluno deverá calcular a velocidade média de um indivíduo que começou
o seu movimento em um referencial ( ms 20 = ) e que se moveu até uma posição final
de ( ms 50= ), gastando, para isso, um tempo de 10 segundos. Esse problema serviu
para validar a compreensão do conceito de velocidade média. Ao calcular, descobre-se
uma velocidade de 4,8 m/s, resposta que, quando interpretada pelo OA, relata ser
possível analisar que o indivíduo se moveu 4,8 metros a cada 1 segundo ou, ainda, que a
posição do indivíduo variou 4,8 metros a cada variação de 1 segundo no tempo.
A segunda parte do tópico traz a construção do conceito do fenômeno
denominado queda livre. Fenômeno o qual, é utilizado pelos autores, para exemplificar
problemas de taxas de variação relacionadas.
A situação é apresentada para o aluno retratando/revisando o conceito de queda
livre: “o movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar, quando a resistência do ar
é desprezível, é denominado queda livre.” (MÁXIMO; ALVARENGA, 2006, p.57).
É dito ao aluno que a função/posição de um corpo em queda livre pode ser s,
dada por 200 2
1)( gttvsts ++= e descrevem-se os significados de suas notações.
A partir de então, é retratada a seguinte situação problema: um corpo é
abandonado do alto de um edifício (0v =0) com altura de 1800 m. Desprezando a
resistência do ar, tem-se um movimento de queda livre. Sendo o referencial a altura do
prédio, logo 0s =0, e onde a função/posição s = s(t) deste corpo pode ser descrita
matematicamente por .9,48,92
100
2
1)( 222
00 tttgttvsts ⇒++⇒++=
No diagrama interativo que é apresentado ao aluno tem-se o corpo no alto do
edifício com as notações matemáticas presentes e uma tabela numérica que traz a
posição do corpo com o decorrer do tempo. Segundo Tavares (2007), o estudo de
fenômenos da natureza pode ser beneficiado com a visualização, verbalização e
animação, pois eles ajudam a promover a aprendizagem significativa. Ao clicar no
botão “iniciar”, o corpo cai do topo prédio e a sua posição com o decorrer do tempo é
registrada pela tabela.
104
Figura 14: Corpo em movimento de queda livre
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir do fenômeno físico apresentado, um gráfico matemático é traçado pelo
OA, representando a função/posição.
Gráfico 7: Movimento de queda livre para a situação abordada
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir desse gráfico e dessa atividade, é exposto para o aluno que a posição do
corpo no instante de 7 segundos é 240,1 metros, isto é, s(7) = 240,1, e a posição do
corpo em 15 segundos é 1102,5 metros s(15) = 1102,5. Assim, é proposto para o aluno
um questionário para verificar se houve aprendizado quanto à relação fenômeno
função gráfico.
105
Tópico 3: União de Conceitos: Geométrico – Físico
Este é o tópico considerado pelos pesquisadores como elemento-chave dessa
revisão. Nesse tópico, foi realizada a união dos conceitos: taxas de variação média
velocidade média inclinação da reta secante, assim como taxas de variação
instantânea velocidade instantânea inclinação da reta tangente, sendo que o
conceito de velocidade instantânea foi construído no próprio tópico a partir de situações
pensadas para tal fim. Além dos objetivos supracitados, têm-se os seguintes::
a) Compreender o que é velocidade instantânea;
b) Revisar/compreender a união dos conceitos físico-geométricos de taxas de
variação média e instantânea;
c) Revisar/compreender a inclinação da reta secante e da reta tangente com os
conceitos geométrico-físicos;
d) Compreender/revisar taxa de variação média como inclinação da reta secante
e taxa de variação instantânea como inclinação da reta tangente;
e) Observar/compreender/revisar a velocidade média como inclinação da reta
secante à curva posição esboçada em um intervalo de tempo;
f) Observar/compreender/revisar a velocidade instantânea como inclinação da
reta tangente à curva posição esboçada em um determinado ponto;
g) Conceber a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea;
h) Verificar que a velocidade média é uma taxa de variação média e a velocidade
instantânea é uma taxa de variação instantânea.
Para elaborar esse tópico, foi utilizado o livro de Stewart (2006), que, ao longo
de seus capítulos, vai construindo os conceitos, de modo que, ao final, apresenta a união
dos mesmos, mostrando para o aluno os objetivos citados acima.
O Tópico inicia-se com a revisão da velocidade média e apresentando ao aluno,
matematicamente, como essa velocidade pode ser calculada tendo uma função posição.
Quadro 31: Fórmula para a velocidade média
12
12 )()(
tt
tsts
t
svm
−
−=
∆
∆=
Fonte: Elaborado pelo autor
106
O seguinte quadro expressa a transição do fenômeno físico para o geométrico
(gráfico):
Quadro 32: Fenômeno físico e fenômeno geométrico.
Verifique que a queda livre, um fenômeno físico, é representada por uma função cujo
“gráfico” pode ser esboçado. No problema estudado, tem-se que esta função s é dada
por s(t) = 4,9t².
A letra “s” representa:
* No fenômeno físico, a posição em cada instante do corpo;
* No gráfico, a variação da ordenada (y) em relação à variação da abscissa (x). (y= f(x))
Logo, a função s= s(t) é a mesma para o fenômeno e para o gráfico.
Fonte: Elaborado pelo autor
O gráfico e a animação são expostos lado a lado, para que o aluno comece a
fazer tal assimilação e, assim, possa interagir com animação do objeto caindo do prédio,
que agora só remetem a três instantes: o tempo de 7 segundos, 15 segundos eno
momento em que o objeto toca o solo, sendo que o gráfico expõe os três momentos.
Figura 15: Fenômenos: físico e geométrico sob a forma visual
Fonte: Elaborado pelo autor
O esquema tem por objetivo fazer com que o aluno relacione a representação
física e a representação geométrica do fenômeno através da observação, reflexão,
interação e visualização.
Propõe-se também ó cálculo da velocidade média do corpo no intervalo
apresentado tanto pela animação quanto pelo gráfico, isto é, [7, 15]. Caso o aluno não
107
consiga realizar tal procedimento, o OA traz um botão auxiliar chamado de “ajuda”, em
cuja função há a explicação dos cálculos, chegando-se ao resultado a mv = 107,8 m/s.
Ao continuar no tópico, o aluno é conduzido a traçar a reta secante e a curva do
gráfico que representa o fenômeno físico, passando pelos pontos A(7;240,1) e
B(15;1102,5). Ao clicar no botão “traçar reta secante”, os seguintes gráficos são
apresentados ao aluno:
Gráfico 8: Reta secante para a situação abordada
Fonte: Elaborado pelo autor
Está claro que o primeiro gráfico não apresenta muitos dados e que o segundo
traz um maior número de dados para auxiliar no que será requerido do aluno. Então,
pede-se que o aluno calcule a inclinação dessa reta secante. Caso ele não consiga
resolver tal cálculo, recorre-se ao botão “ajuda”. Ao calcular, é possível analisar que
8,107=θtg .
Então, o OA chama a atenção do aluno para a inclinação da reta secante
velocidade média, unindo, assim, os conceitos do fenômeno físico (velocidade média)
com o geométrico (inclinação da reta secante a uma curva posição dada).
Parte-se, então, para o conceito de velocidade instantânea. Para
revisar/compreender tal conceito, usou-se a síntese de Stewart (2006, p. 153), de acordo
com a qual “a velocidade instantânea é o limite das velocidades médias calculadas em
intervalos cada vez menores de tempo”. O processo de assimilação desta síntese pode
108
não se fazer de imediato, motivo pelo qual há todo um trabalho minucioso para
construir o significado desta síntese.
Ainda utilizando a função posição referente ao gráfico, sugere-se achar a
velocidade do corpo exatamente no tempo de 7 segundos. É, então, apresentada a
situação-fenômeno com o diagrama estático, chamando a atenção do aluno para qual é a
velocidade neste instante.
Figura 16: Velocidade instantânea.
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir disso, será exibido um gráfico interativo, isto é, já que a velocidade
instantânea é o cálculo em intervalos de tempo cada vez menor, o t∆ deve ir tendendo a
zero. Para auxiliar a animação gráfica, uma tabela numérica vai sendo completada. O
gráfico inicial é o mesmo utilizado para o problema desde então. A preocupação aqui é
que o aluno seja capaz de verificar quando o t∆ tende a zero, a reta inicialmente secante
aproxima-se da reta tangente e que a inclinação da reta tangente é a velocidade
instantânea do corpo no momento procurado.
109
Gráfico 9: Velocidade instantânea em t = 7 s
Fonte: Elaborado pelo autor
No quadro a seguir, é demonstrado o cálculo do movimento:
Tabela 4: Cálculos dos coeficientes angulares em diferentes momentos
s(t) T delta s ( s∆ ) delta t ( t∆ )
delta s/ delta t
(t
s
∆
∆)
1102,5 15 862,4 8 107,8 313,6 8 73,5 1 73,5
279,31225 7,55 39,21225 0,55 71,295 267,59929 7,39 27,49929 0,39 70,511 248,40256 7,12 8,30256 0,12 69,188 242,85184 7,04 2,75184 0,04 68,796 240,78649 7,01 0,68649 0,01 68,649
240,1686049 7,001 0,0686049 0,001 68,6049 240,10686 7,0001 0,006860049 0,000100000000 68,60049
240,1001098 7,0000016 0,00010976 0,000001600000 68,60001 240,1 7,000000000011 0,000000000755 0,000000000011 68,59911 240,1 7 0 0 #DIV/0!
Fonte: Elaborado pelo autor
Assim, a velocidade instantânea desse corpo pode ser obtida pelo
limite .59,68)()(
lim12
12
0 12
=−
−=
∆
∆→→∆ tt
tstsiml
t
sttt
O aluno é levado a perceber que a inclinação
de uma reta tangente a uma curva dada pode ser obtida através
doAB
AB
xxAB
AB
xxx xx
xfxf
xx
yy
x
yABAB −
−=
−
−=
∆
∆→→→∆
)()(limlimlim
0, e poderá ainda realizar a comparação
entre esses dois limites que se diferem apenas quanto às notações utilizadas. Porém, a
forma de calculá-los é análoga.
110
Assim, mostra-se a relação entre inclinação da reta tangente velocidade
instantânea.
A conclusão é apresentada para evidenciar a proposta aqui descrita. A
velocidade média 12
12 )()(
tt
tsts
t
svm
−
−=
∆
∆= pode ser entendida como a inclinação da
reta secante em um intervalo dado de uma curva. Esse quociente é denominado taxa de
variação média.
A velocidade instantânea é dada como 12
12
0
)()(limlim
12 tt
tsts
t
sttt −
−=
∆
∆→→∆
e pode ser
entendida como a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada num determinado
ponto, sendo esse limite denominado como taxa de variação instantânea.
É um dos pontos chave dessa revisão dotar o aluno da capacidade de estabelecer
as seguintes relações: velocidade média inclinação da reta secante taxa de
variação média e a velocidade instantânea inclinação da reta tangente taxa de
variação instantânea.
Tópico 4: Conclusão da Revisão: Derivada como Taxa de Variação
A seção termina com a união dos conceitos: taxa de variação instantânea
inclinação da reta tangente velocidade instantânea derivada. É nesse ponto que se
pretende:
a) Revisar o conceito de derivada;
b) Analisar que todo limite na forma 12
12
0
)()(limlim
12 tt
tsts
t
sttt −
−=
∆
∆→→∆
ou
AB
AB
xxAB
AB
xxx xx
xfxf
xx
yy
x
y
ABAB −
−=
−
−=
∆
∆
→→→∆
)()(limlimlim
0 recebe o nome de derivada;
c) Verificar que derivada é a taxa de variação instantânea.
O tópico oferece ao aluno duas formas de interação: visual (em forma de
vídeoaula) ou textual (verbal-descritiva). Se o estudante desejar, poderá utilizar as duas
formas, na ordem em que preferir.
Inicialmente, é realizada uma comparação entre os limites que apareceram
durante a revisão, ora na representação geométrica (uma função qualquer y = f(x))
111
AB
AB
xxx xx
xfxf
x
yAB −
−=
∆
∆→→∆
)()(limlim
0 ora na representação de um fenômeno físico (função
posição, nesse caso, s = s(t)) 12
12
0
)()(limlim
12 tt
tsts
t
sttt −
−=
∆
∆→→∆
. Essa comparação é realizada
com o intuito de levar o aluno a perceber que os limites são os mesmos tanto para a
representação geométrica quanto para a representação física, e que se diferem apenas
devido às notações adotadas e aos conceitos envolvidos. Sabe-se, ainda, que tais limites
foram utilizados para calcular a taxa de variação instantânea ou inclinação da reta
tangente a uma curva.
Como a ocorrência desse limite é elevada nos problemas de Cálculo,
principalmente nos que se referem a Taxas de Variação Instantânea, trata-se de um
limite especial, que recebe o nome de Derivada. Notações diferenciadas são
apresentadas ao aluno:
Quadro 33: Notações para derivada.
y’ = f’(x) = AB
AB
xxx xx
xfxf
x
y
dx
dyAB −
−=
∆
∆=
→→∆
)()(limlim
0
Fonte: Elaborado pelo autor
Portanto, derivadas são taxas de variações instantâneas.
Exemplos da presença de fenômenos físicos em certas situações são
apresentados e denotados como derivadas, a exemplo: a velocidade instantânea que é a
derivada da função posição ou ainda a velocidade instantânea que é uma taxa de
variação instantânea da posição em relação ao tempo dt
ds. A intensidade da corrente
elétrica instantânea que é uma derivada ou a taxa de variação instantânea da quantidade
de carga que passa pela seção transversal de um fio condutor em relação ao tempo
dt
dQi = . Deste modo, são taxas de variação instantânea as grandezas que variam em
relação a outras.
O esquema é apresentado com o objetivo de dotar o aluno desta relação
intrínseca:
112
Figura 17: Relação entre: derivada taxa de variação Instantânea inclinação da reta tangente a
uma curva
Fonte: Elaborado pelo autor
Conclui-se, neste ponto da seção, que a revisão sobre taxas de variação foi
realizada. Espera-se que o aluno tenha conseguido compreender/revisar/analisar/
aprender os conceitos envolvidos, suas representações geométricas e físicas, assim
como as notações utilizadas para representá-los.
5.3.2 A Seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas
A seção idealizada visou, a priori, trabalhar a regra da cadeia (de forma
implícita), as taxas relacionadas e, por fim, a análise do que vem a ser um problema de
Taxas Relacionadas. Desse modo, se unem os conceitos de taxas de variação ao de
Taxas Relacionadas. Os objetivos dessa seção foram:
a) Revisar a regra da cadeia como forma de relacionar taxas;
b) Compreender o conceito de Taxas Relacionadas;
c) Aprender ou aplicar taxas relacionadas;
d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas utilizando a regra da cadeia
para fazer o elo entre as taxas de variação (de forma implícita).
Tópico 1: Regra da Cadeia – Revisão
O problema seguinte é apresentado ao aluno:
113
Quadro 34: Problema do balão esférico
Um balão esférico está sendo inflado de modo que o seu raio cresce a
uma taxa de 2 cm/s
dt
dr. A que taxa o volume está crescendo
dt
dV quando o
raio do balão for exatamente 20 cm (r = 20 cm)?
Fonte: Adaptado Stewart, 2006, p. 255
Com a resolução comentada e interativa desse problema, pretendeu-se que o
aluno percebesse a necessidade de utilizar a regra da cadeia para achar o dado proposto
e encontrar a taxa com que o volume está crescendo nesse momento. Em conformidade
com Thomas (2002), nesses tipos de problemas, o termo “instantânea” é omitido, pois,
ao referir-se às taxas de variação, quer-se dizer instantânea.
Para utilizar a regra da cadeia, inicialmente o aluno é levado a perceber a ligação
intrínseca entre o volume e raio do balão e o tempo (Volume Raio Tempo), isto é,
o volume do balão esférico depende do raio do balão
= ³
3
4rV π que, por sua vez,
depende do tempo, visto que o raio está a crescer 2 cm a cada segundo. O problema
agora ganhou dinamicidade ao incluir a grandeza tempo.
Para ajudar na compreensão da questão, é apresentado um diagrama interativo
no qual se tem o balão esférico sendo inflado. Diante disso, há a expectativa de que o
aluno observe a relação de dependência. Para realçar essa dependência, foi idealizada,
ao lado do diagrama, uma tabela que é completada com dados numéricos pelo OA
enquanto a animação é realizada.
Figura 18: Balão sendo inflado
Fonte: Elaborado pelo autor
114
Procura-se a taxa de variação do volume em função do tempo (dt
dV) quando o
raio do balão é 20 cm (r = 20 cm). No Ensino Médio, o aluno trabalha com o modelo
matemático que representa o volume de uma esfera ³3
4rV π= . O próprio OA faz
menção a esse modelo. A partir de então, é evidenciada ao aluno a impossibilidade de
achar a variação do volume em função do tempo, visto que, nesse modelo, tem-se a
dependência do volume em função do raio.
A regra da cadeia e seu conceito são então apresentados de modo a levar o aluno
à sua compreensão. É utilizada a regra da cadeia no modelo matemático, fazendo,
assim, a relação entre taxas de variações.
Quadro 35: Aplicação da regra da cadeia
Fonte: elaborado pelo autor
Os dados fornecidos no problema são inseridos, na equação obtida no quadro 35,
e a taxa de variação para um dado “r” , dt
dVpode ser calculada. Note-se que foi dado o
valor do r = 20 cm.
Desse modo, há, implicitamente, a resolução de um problema de Taxa
Relacionada, mas o objetivo maior é revisar a regra da cadeia e o modo como ela pode
fazer o elo entre as taxas de variações já conhecidas.
Tópico 2: Testando a Regra da Cadeia
Após a revisão do conceito da regra da cadeia, a proposta agora é validá-la com
um exemplo de problema que envolva Taxas Relacionadas. Os objetivos são:
a) Aprofundar a regra da cadeia como meio de relacionar taxas de variação;
b) Trabalhar com a regra da cadeia para aprofundar o conhecimento;
c) Permitir o trabalho com diferentes notações matemáticas presentes;
d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas implicitamente.
No diagrama abaixo, está representado o lançamento de um foguete. No ponto O
tem-se um observador situado a uma distância x do foguete. O Foguete está a uma
.².4.dt
drr
dt
dV
dt
dr
dr
dV
dt
dVπ=⇒=
115
altura inicial de 00 =h m e, por consequência, o ângulo do observador-foguete é de
º.0=θ
Figura 19: Situação-problema – subida de um foguete
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao clicar no botão “iniciar”, o foguete é lançado em Movimento Retilíneo
Uniforme (MRU), isto é, em velocidade constante. Desse modo, tanto a velocidade
média quanto a velocidade instantânea em cada intervalo de tempo, ou exatamente no
tempo indicado, são iguais. O OA explica para o aluno o que é MRU. Quando o foguete
é lançado, o tempo começa a passar, a altura e o ângulo de visão do observador variam
conforme o decorrer do tempo, até o foguete atingir a altura de 1200 metros num tempo
de t = 10 s e, nesse momento, a simulação congela.
Figura 20: Foguete em MRU
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir das observações e informações presentes na simulação, uma atividade é
apresentada ao aluno, que deve preencher os campos existentes nos quadros seguintes.
O objetivo é verificar se houve assimilações dos conceitos envolvidos, dos conteúdos
abordados e das notações matemáticas trabalhadas até aquele momento.
116
Quadro 36: Dados do tópico 2 – parte I.
Parte 1:
0s = 0 = 0h (Posição inicial do foguete)
s = 1200 = h (Posição final do foguete no tempo indicado)
=∆=∆ sh 1200 m
0θ = 0 º =0t 0 s (Tempo inicial)
=θ 30 º (Ângulo final) t = 6 s (Tempo final)
=∆θ 30 º =∆t 6 s
Fonte: Elaborado pelo autor
A cada resposta dada, o OA interage com o aluno através de feedback, que
confirma a resposta ou dá a sugestão de revisar tópicos anteriores.
Quadro 37: Dados do tópico 2 – parte II.
Parte: 2
Como o movimento é em MRU, já sabemos que Velocidade Média = Velocidade
Instantânea = Derivada. Logo, determine:
==∆
∆
dt
dh
t
h200 m/s feedback: Esta taxa de variação é a velocidade do foguete,
isto é, a cada um segundo, o foguete sobe a uma altura de 200 m ou Reveja os
conceitos.
==∆
∆
dt
d
t
θθ5 º/s feedback: Esta taxa de variação é a velocidade com que o
ângulo teta aumenta, isto é, a cada segundo, o ângulo varia 5º ou Reveja os conceitos.
==∆
∆
θθ d
dhh40 m/º feedback: Esta taxa de variação é a velocidade com que a
altura varia em relação ao ângulo, isto é, a cada grau aumentado, a altura varia 40 m.
Fonte: Elaborado pelo autor
117
Após preencher os quadros, que trazem o feedback a cada resposta inserida, há,
intuitivamente, a validação da regra da cadeia. Então, pede-se que o aluno, a partir dos
dados preenchidos, verifique a relação: dt
d
d
dh
dt
dh θ
θ.= .
Ao substituir os valores, o aluno pode perceber que a igualdade é verídica.
Assim, a regra da cadeia é um método seguro para relacionar taxas de variação.
Tópico 3: Taxas Relacionadas e Regra da Cadeia
Esse tópico apresenta outro problema de Taxas Relacionadas, que será resolvido
através da aplicação da regra da cadeia. Aqui, será explicitado para o aluno o que é um
problema de Taxas Relacionadas, e, ao final, levará o estudante a concluir que, durante
esta seção, ele resolveu três problemas de fenômenos físicos sobre Taxas Relacionadas.
O problema desse tópico é similar ao apresentado anteriormente. Porém, o
foguete será lançado em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), isto é,
possui aceleração constante e, desse modo, a velocidade média poderá ser diferente da
velocidade instantânea ou, ainda, a taxa de variação média poderá diferir-se da taxa de
variação instantânea. O problema proposto torna-se importante para mudar, de agora em
diante, o foco de estudos para as taxas de variações instantâneas.
Os objetivos deste tópico são:
a) Compreender a utilização da regra da cadeia para relacionar as taxas de
variação;
b) Conhecer/revisar um problema físico de Taxas Relacionadas;
c) Conceituar um problema de Taxas Relacionadas;
d) Trabalhar com taxas de variação instantânea.
Nessa atividade, são apresentadas as informações no enunciado sobre o
lançamento de outro foguete. Porém, agora, o observador está a 3 m do foguete que, por
sua vez, subirá em MRUV.
Figura 21: Foguete em MRUV
Fonte: Elaborado pelo autor
118
Pede-se que o aluno inicie a simulação clicando no botão iniciar, fazendo com
que o foguete seja lançado. A partir daí, a altura começa a variar, bem como o ângulo de
observação. A questão é achar a variação com que o ângulo de observação varia em
relação à altura (dh
dθ) após t = 10 segundos. Na figura seguinte, está a situação
representada após a simulação.
Figura 22: Simulação concluída do lançamento de um foguete em MRUV
Fonte: elaborado pelo autor
A partir dessa figura, é possível analisar que a relação trigonométrica que
relaciona o ângulo )(θ e a altura (h) do foguete é θθ tghh
tg 33
=⇒= .
A simulação é concluída exatamente no t= 10 s e, neste momento, a velocidade
do foguete é 5 m/s, isto é, =dt
dh5 m/s, e o ângulo de observação é )(θ = 78º. Assim,
pretende-se achar a velocidade do ângulo de observação no exato momento ou com que
velocidade o ângulo de observação )(θ estará variando naquele momento (dt
dθ).
A partir da equação matemática θθ tghh
tg 33
=⇒= , não é possível achar o
dado requerido (dt
dθ). Ao aplicar a regra da cadeia para relacionar as taxas de variação,
119
tem-se: ..dt
d
d
dh
dt
dh θ
θ= Como θtgh 3= , sua derivada em relação a θ é
θd
dh= θ²sec3 . Aplicando a regra da cadeia, tem-se
dt
d
dt
dh θθ .²sec3= . Ao substituir os
dados apresentados, =dt
dh5 m/s e θ = 78º tem-se:
072,04,69
51335,23.35º.78²sec35 =⇒=⇒=⇒=
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d θθθθº/s
Toda essa construção é realizada a partir do OA, e o aluno pode controlar o
ritmo com que esta exposição será feita, podendo avançar ou retroceder sempre que
necessário. Assim, pretende-se que o aluno conclua que, nesse exato momento, a
velocidade do ângulo de observação é de 0,072 º (grau) a cada um segundo.
O OA, então, traz para o aluno, segundo estudos realizados
[...] encontrar uma taxa que não pode ser facilmente medida a partir de uma outra que pode ser medida é um problema que se chama problema de taxa relacionada. (THOMAS, 2002, pg. 197)
[...] em um problema de taxas relacionadas, a idéia é computar a taxa de variação de uma grandeza em termos de taxa de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo. (STEWART, 2006, p.255.)
Enfatiza-se, assim, o que é um problema de taxas relacionadas. Com isto, e na
tentativa de dotar o aluno com os conceitos da regra da cadeia e do que vem a ser um
problema de Taxas Relacionadas, a seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas é
finalizada.
5.3.3 A seção de Atividades
Nesta seção, são apresentadas as atividades criadas e que se constituem como
um facilitador para o estudante, tais como, por exemplo, o conceito de taxa de variação
relacionada e a resolução de problemas físicos e também uma estratégia afim de
resolvê-las. As atividades foram criadas a partir de problemas retirados do livro de
Cálculo Diferencial e Integral de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e
Davis (2007).
Nas três primeiras atividades a estratégia de resolução de problemas de Taxas
Relacionadas é apresentada implicitamente, assim o o aluno interage e é auxiliado pelo
120
OA, de modo, a resolver o problema proposto, porém sem perceber que está utilizando
uma estratégia.
Após a terceira atividade, é apresentada a estratégia de resolução de problemas
e sugere-se ao aluno aplicar tal estratégia nas próximas quatro atividades. Assim, o nível
de ajuda do OA, a cada atividade que o aluno avança, vai diminuindo, de modo que, na
última atividade, espera-se que o aluno consiga compreender a estratégia, utilizando-a
para resolver problemas de Taxas Relacionadas. Assim, espera-se que o aluno se torne
sujeito autônomo e agente do seu próprio aprendizado.
Atividade 1: Termodinâmica
A primeira atividade objetiva introduzir a estratégia de resolução de problemas
de forma implícita e, para tal, foi escolhido um problema que é resolvido com a
interação entre o aluno e o OA, cabendo àquele compreender os dados presentes e a
forma de relacioná-los.
Os objetivos esperados com essa atividade são:
a) Compreender um problema de Taxas Relacionadas;
b) Trabalhar com notações matemáticas que expressam a situação;
c) Observar um fenômeno físico presente no conteúdo de química;
d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas;
e) Utilizar a estratégia de resolução de problemas implicitamente.
Para a resolução do problema, é utilizada a estratégia, que não aparece
explicitamente para o aluno. O problema é apresentado e, a seguir, é sugerida sua
leitura, que deverá ser feita quantas vezes se fizer necessário.
Quadro 38: Problema trazido pela primeira atividade
A Lei de Boyle estabelece que, quando uma amostra de gás está comprimida a
uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV =
C, onde C é uma constante. Suponha que, em certo instante, o volume é de 600
cm³, a pressão é de 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que
taxa está decrescendo o volume nesse instante?
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
121
A estratégia de resolução de problemas sugere que o aluno esboce, quando
necessário, um diagrama como um dos passos. No OA, o diagrama é traçado de forma
interativa e o aluno pode simular as condições presentes no problema, fazendo, para
isso, relações entre o enunciado (textual) e o diagrama (simulação). O seguinte
diagrama é apresentado ao aluno.
Figura 23: Diagrama dinâmico da atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao clicar no botão iniciar, o pistão do cilindro começa a descer, pressionando o
gás do recipiente. Para auxiliar a visualização, é apresentada uma tabela com dados
numéricos, cujo é validar a equação PV = C. A simulação acontece concomitantemente
ao preenchimento da tabela, de modo que, ao chegar à situação proposta pelo problema,
a mesma traz a informação, isto é, volume (V= 600 cm³), pressão (P = 150 kPa) e a
equação PV = 90.000. Com essa simulação, pretende-se fazer com que o aluno visualize
o fenômeno físico e, por conseguinte, compreenda-o matematicamente.
O próximo passo é fazer com que o aluno volte ao enunciado, leia-o mais uma
vez e identifique os dados fornecidos. Essa identificação é realizada com o
preenchimento de campos indicados no próprio OA. Para o problema em questão, os
dados são: o volume (V = 600 cm³), a pressão (P=150 kPa), velocidade instantânea (no
exato momento) da pressão ( =dt
dP20 kPa/min) e a relação PV = C. Todos esses dados
recebem um feedback, isto é, um retorno do OA, a fim de que se perceba se o aluno está
correto ou se deve avaliar mais uma vez a sua resposta.
Nesse momento, cabe ao aluno compreender o dado procurado, e, para auxiliá-lo
nessa tarefa, é apresentada uma questão de múltipla escolha, cujo objetivo é demonstrar
para o aluno que a taxa de variação do volume está diminuindo dt
dV. Para tal, é sugerido
ao aluno, mais uma vez, um retorno ao enunciado e lê-lo caso necessário, para marcar a
122
opção correta. De acordo com Polya (1977), ler o problema quantas vezes se fizer
necessário consiste numa estratégia que atende à proposta de resolução de problemas,
pois tal (re)leitura contribui para que o aluno não se perca nesse processo. Ao marcar a
opção, o aluno tem o feedback; caso a resposta esteja errada, o OA não continua a
resolução e pede que a escolha feita seja revista.
A sugestão é encontrar uma equação que relacione os dados presentes ou alguns
dos dados presentes no problema. O OA auxilia o aluno na equação, que é PV = C.
Porém, o OA mostra ao aluno a impossibilidade da equação em atender ao dado
procurado e se é possível, através dela, chegar ao que se procura, relembrando o mesmo
a respeito da regra da cadeia.
Aplica-se a regra da cadeia para relacionar o dado procurado (Taxas
Relacionadas a partir da regra da cadeia); o OA faz o processo e o aluno verifica e
acompanha a aplicação da regra da cadeia à equação PV = C 0=+⇒dt
dVP
dt
dPV . Caso
não haja a compreensão, o OA traz uma ajuda, em que se observa a explicação da
aplicação da regra da cadeia no modelo matemático fornecido.
Substituir os dados fornecidos achando a taxa de variação pretendida é o
próximo passo do aluno. Com o auxílio do OA, substituem-se os dados e calcula-se a
taxa de variação pretendida, de modo que o papel do discente é compreender através da
observação. Assim .min/³80015020.600 cmdt
dV
dt
dV−=⇒=+
Como afirma Polya (1977), o retrospecto, isto é, analisar se a resposta é
compatível ou coerente com a proposta do problema, faz parte do processo de resolução
de problemas. O aluno, juntamente com o OA, chega à conclusão de que, no exato
momento em que o volume V = 600 cm³, pressão P = 150 kPa e a velocidade com que a
pressão cresce é de 20 kPa/min, o volume está diminuindo (sinal negativo) a uma taxa
de 80 cm³/min ou a velocidade com que o volume está decrescendo é de 80 cm³/min,
conclusão esta presente no OA. É então sugerido ao aluno que retorne à simulação e
avalie sua resposta, verificando que na medida em que o êmbolo vai descendo, isto é, a
pressão vai aumentando, o volume do gás interno vai diminuindo.
Atividade 2: Variação da Resistência em um Circuito Elétrico
123
Esta atividade traz um circuito elétrico, sendo que o conceito e os cálculos a
respeito deste circuito estão presentes em problemas abordados no Ensino Médio e, no
que se refere às Taxas Relacionadas, evocam-se conceitos próprios do Ensino Superior.
Aqui, a estratégia foi, de maneira implícita, novamente empregada, de forma que
o aluno seja conduzido a resolver o problema utilizando tal estratégia, com a ajuda do
OA. Com este problema, pretende-se:
a) Trabalhar com a estratégia de resolução de problemas de forma implícita, isto
é, o aluno ainda não teve acesso aos passos facilitadores para a resolução deste tipo de
problema;
b) Analisar/observar quais os dados podem ser retirados da equação matemática
já fornecida;
c) Resolver problema de Taxas Relacionadas;
d) Trabalhar com notações matemáticas de forma significativa.
Como sempre, a proposta inicial é ler o problema quantas vezes forem
necessárias.
Quadro 39: Problema trazido pela segunda atividade
Variando a voltagem: A voltagem V (volts), a corrente I (em ampères) e a resistência R
(ohms) de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação V = RI. Suponha
que V esteja aumentando a uma taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa
de 1/3 A/s. Sendo o tempo dado em s, encontre a taxa com a qual R está variando
quando V = 12 V e I = 2A.
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203
Para ilustrar a situação do problema acima enunciado, um diagrama interativo é
apresentado, conforme pode ser obervado na figura 25.
Figura 24: Diagrama dinâmico da atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor
124
O OA convida o aluno a interagir com o diagrama e, ao clicar no botão iniciar,
pode-se ver a corrente elétrica (I) (no diagrama indicado pelo ponto amarelo) circulando
- saindo da fonte (V), passando pela resistência (R) e voltando à fonte do circuito.
Retirar os dados presentes no problema é o próximo passo. No próprio OA, há
campos destinados para o preenchimento de tais dados. Os dados presentes no
enunciado deste problema são: =dt
dV1 volt/s (a taxa de variação da voltagem em
relação ao tempo no exato momento), dt
dI= -1/3 A/s (a taxa de variação da corrente
elétrica em relação ao tempo), V = 12 Volts (a voltagem no momento), I = 2A (a
corrente elétrica no instante) e a equação matemática fornecida V = RI. Esta equação
relaciona alguns dos dados presentes no problema e, nele, o número de
dados/informações é maior do que no problema anterior, aumentando gradativamente a
resolução.
O aluno é, então, induzido a verificar o que o problema procura, ou seja, o dado
procurado. Para auxiliá-lo nessa procura, uma questão de múltipla escolha é apresentada
e, nas opções, aparecem notações matemáticas para averiguar se o aluno aprendeu o
significado das mesmas.
Figura 25: Questão de múltipla escolha da atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor
Neste caso, o dado procurado é a taxa de variação da resistência em relação ao
tempo dt
dR. Volta-se à equação fornecida pelo enunciado V = RI. Comenta-se a
impossibilidade desta equação fornecer o dado procurado. Indaga-se, através de um
comentário, o aluno a respeito de como relacionar os dados já existentes com o dado
procurado. Sugere-se, então, a utilização da regra da cadeia na equação fornecida. A fim
de obter o dado procurado na equação V = RI, aplica-se a regra da cadeia, obtendendo a
125
equação dt
dRI
dt
dIR
dt
dV+= . Desse modo, a taxa de variação procurada, pela da regra da
cadeia, é incorporada à situação, surgindo assim a nova equação. É preciso ressaltar que
todos esses passos serão realizados de forma interativa entre aluno/OA.
Substituir os dados na nova equação é o próximo passo. Aqui, porém, o
problema difere-se do primeiro. Ao substituir os dados, o aluno fica na impossibilidade
de resolver a equação, visto que ainda restam duas incógnitas R e dt
dR
(dt
dRR 2
3
11 +
−= ). Uma questão sobre como desvendar essa incógnita é levantada e a
sugestão é voltar à primeira equação V = RI e, com os dados, achar o valor de R. Esse
valor encontrado é substituído na segunda equação a fim de obter dt
dR. O OA apresenta
todos esses passos, inclusive os cálculos. Assim, dt
dR pode ser calculado:
dt
dR2
3
161 +
−= s
dt
dR/
2
3Ω= .
Por fim, a análise da resposta é realizada no exato momento em que a voltagem
está a uma velocidade de 1 volt/s (que é a sua taxa de variação); sendo a variação da
corrente igual a 1/3 A/s, a voltagem dissipada de 12 V e com uma corrente de 2 A. A
velocidade com que a resistência aumenta é de 1,5 s/Ω .
Atividade 3: Variação Linear da Base de um Triângulo.
A atividade parte de um contexto geométrico que possui movimento. A escolha
do problema para a terceira atividade foi realizada com a justificativa de que muitos
problemas de Taxas Relacionadas exigem equações matemáticas vindas da geometria.
Tais equações são ensinadas aos alunos ao longo do ensino fundamental e médio
(teorema de Pitágoras, áreas de figuras planas, relações trigonométricas, dentre outras),
e outras em nível superior. Desse modo, problemas deste gênero fazem com que os
alunos busquem em suas memórias tais equações, que, por sua vez, são fator
determinante para o êxito na resolução de problemas de Taxas Relacionadas.
A terceira atividade difere das outras apresentadas até aqui, pelo fato de que a
equação matemática agora esta implícita no problema, fazendo com que o grau de
dificuldade do problema seja significativamente ampliado.
126
Os objetivos da atividade:
a) Ampliar o conhecimento de resolução de problemas de fenômenos físicos de
Taxas Relacionadas;
b) Utilizar a estratégia de resolução de problemas de forma implícita;
c) Compreender um problema de Taxas Relacionadas;
d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas;
e) Buscar por equações conhecidas, a fim de adaptá-las à resolução do problema.
A estratégia adotada é a mesma das atividades anteriores, começando por ler o
enunciado do problema.
Quadro 40: Problema trazido pela terceira atividade
A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo
cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a
altura é 10 cm e a área 100 cm²?
Fonte: Stewart, 2006, p.260
O segundo passo da atividade é a simulação, também chamada de diagrama por
Stewart (2006). Com a permissão de dinamicidade oferecida pela TIC, ao clicar no
botão iniciar, o aluno pode visualizar o enunciado de forma interativa.
Figura 26: Diagrama dinâmico da atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor
O triângulo se movimenta e sua base diminui à medida que a sua altura aumenta.
Quando h (altura) atinge a medida de 10 cm, a simulação cessa e, nesse momento, a
área (A) do triângulo é 100 cm². Esse processo pode ser repetido inúmeras vezes até a
compreensão do enunciado.
Para analisar a compreensão do enunciado, é apresentado ao aluno um quadro de
sugestões com os dados fornecidos pelo enunciado do problema. Neste quadro, devem-
se marcar apenas as opções apresentadas pelo enunciado.
127
Quadro 41: Notações matemáticas para a atividade 3
(* ) dt
dh ( )
dt
db (* )
dt
dA (* ) h ( ) b
(* ) A
Fonte: Elaborado pelo autor
Após a confirmação do preenchimento do quadro, um retorno é dado ao aluno e,
caso ele tenha se esquecido de algum dado ou marcado dados em excesso será solicitado
que ele retorne ao enunciado e verifique os dados presentes no enunciado com mais
atenção. Nesse quadro, são apresentadas apenas notações matemáticas referentes ao
problema, sem justificá-las na linguagem natural, pois deseja-se averiguar se o aluno já
está familiarizado com tais notações.
Ao marcar os dados de forma correta, o OA dá prosseguimento à sequência de
resolução do problema. O aluno agora é convidado a preencher os campos com os dados
fornecidos pelo enunciado do problema, que são dt
dh= 1 cm/s (a variação da altura em
relação ao tempo ou à velocidade com que a altura cresce ou ainda à taxa com que a
altura cresce), dt
dA= 2 cm²/s (a variação da área em relação ao tempo ou velocidade com
que a área cresce ou à taxa com que a área está crescendo), h = 10 cm (altura do
triângulo no momento) e A = 100 cm² (área deste triângulo no instante indicado).
Ao preencher os dados e ter o retorno, é hora de analisar o que o problema
procura. Uma questão de múltipla escolha traz a resposta correta, que é dt
db (a taxa de
variação da base em relação ao tempo ou à velocidade com que a base cresce ou
decresce em relação ao tempo).
O próximo passo é encontrar uma equação matemática que possa ser utilizada e,
para tal, pergunta-se ao aluno se ele conhece uma equação matemática que possa
relacionar alguns dos dados apresentados. Caso não recorde, o OA apresenta a equação
da área de um triângulo em relação à sua base e altura. A área de um triângulo qualquer
é dada pelo semiproduto da sua base pela sua altura 2
.hbA = . Assim, pretende-se dotar
demonstrar ao aluno que, quando a equação matemática não é fornecida, deve-se buscar
por ela em seus conhecimentos prévios.
128
A equação sugerida não traz o dado procurado, motivo pelo qual um elo deve ser
realizado. E este elo pode ser feito com a Regra da Cadeia. Dada a equação 2
.hbA= ,
aplica-se a regra da cadeia e obtém-se a equação .2
1
2
1
dt
dbh
dt
dhb
dt
dA+=
A substituição dos dados é o próximo passo e, quando essa substituição é feita,
chega-se ao mesmo ponto do problema anterior: há duas incógnitas
(dt
dbb .10.
2
11..
2
12 += ) – a base (b) e a taxa de variação da base em relação ao tempo
dt
db. O aluno já passou por tal situação e, caso não se lembre, a sugestão é que volte à
primeira equação para encontrar o valor da base (b) para a situação em estudo. O OA
apresenta cmbbhb
A 202
10.100
2
.=⇒=⇒= . Substituindo o valor encontrado na
segunda equação 6,1.10.2
11.20.
2
12 −=⇒+=
dt
db
dt
db cm/s, é possível descobrir o dado
procurado.
Ao localizar a taxa de variação procurada, é realizada a conclusão e sugere-se a
análise da resposta. No exato momento em que é feita essa sugestão pelo enunciado da
atividade, a base do triângulo está variando (diminuindo) a 1,6 cm a cada 1 s ou a
velocidade com que a base diminui (sinal negativo) é de 1,6 cm/s. Sugere-se ao aluno
que volte à simulação e verifique se a resposta está coerente com os dados propostos
pelo problema. O diagrama interativo já foi traçado para atender a esta resposta, uma
vez que a sua base está diminuindo.
Estratégia de Resolução de Problemas
Esse tópico é apresentado após a terceira atividade sob as formas visual (vídeo) e
verbal/descritiva (textual), caso o computador que o aluno estiver utilizando não permita
a utilização de recursos em áudio. Pretende, com isso, que o aluno compreenda a
estratégia utilizada durante as três primeiras atividades. Os objetivos da apresentação
desta estratégia são:
a) Instrumentalizar o aluno para que ele possa resolver problemas de Taxas
Relacionadas;
129
b) Auxiliar o aluno na resolução de problemas de fenômenos físicos de Taxas
Relacionadas.
Assim, apresenta-se a estratégia de resolução de problemas.
1º - Ler o problema de forma minuciosa;
2º - Traçar um esboço da situação (será realizado no próprio OA de forma
dinâmica);
3º - Procurar os dados fornecidos pelo problema e escolher a notação e/ou
entender o significado da notação utilizada;
4º - Expressar a taxa requerida em termos das derivadas;
5º - Escrever uma equação que relacione as várias grandezas do problema;
6º - Utilizar a regra da cadeia para relacionar as taxas presentes e procuradas (se
necessário);
7º - Substituir a informação dada dentro da equação resultante e resolver o
problema de modo a achar a taxa desconhecida;
8º - Analisar a resposta encontrada.
Para apresentar a estratégia em forma de vídeo, foi elaborada uma videoaula,
com um problema resolvido e nas figuras 27, 28 e 29 podem ser vistas algumas imagens
da videoaula.
Figura 27: Videoaula – primeiro e segundo passos da estratégia de resolução
Fonte: Elaborado pelo autor
130
Figura 28: Videoaula – terceiro passo da estratégia de resolução
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 29: Videoaula – quinto passo estratégia de resolução
Fonte: Elaborado pelo autor
O aluno pode assistir à videoaula quantas vezes julgar necessário e, ao final da
exibição, será dada a sugestão de resolver as próximas atividades (de 4 a 7) utilizando a
estratégia de resolução de problemas já apresentada.
Inicialmente, nas próximas atividades (4 a 7), o auxílio do OA se dá de forma
gradativa, mas o nível de ajuda vai diminuindo a cada atividade. Espera-se que, a partir
da sétima atividade e em outras atividades futuras, o aluno venha a adquirir autonomia
na resolução de problemas físicos de Taxas Relacionadas através da estratégia adotada.
131
Atividade 4: Variação da Área de um Triângulo
A proposta refere-se a um problema que envolve conceitos geométricos com
triângulo (área). Porém, a equação adotada se difere da atividade três. Essa atividade
tem como objetivos:
a) Aplicar a estratégia de resolução de problemas;
b) Verificar os passos sugeridos para a resolução de problemas de fenômenos
físicos de Taxas Relacionadas;
c) Compreender a estratégia de resolução;
d) Aprender a utilizá-la em problemas de Taxas Relacionadas;
Na tela, a estratégia vai sendo apresentada paulatinamente através de alguns
passos:
1º passo - Ler atentamente o problema quantas vezes necessário:
Quadro 42: Problema trazido pela quarta atividade
Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a
uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo
quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 30º.
Fonte: Stewart, 2006, p.260
2º passo - Um diagrama é traçado para visualizar e explorar a situação
mencionada pelo enunciado do problema. O OA traz o diagrama, para que o aluno
interage com ele.
Figura 30: Diagrama dinâmico da atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor
3º passo - O aluno é levado a analisar as informações trazidas pelo enunciado do
problema, observando na tela os dados que, já nas notações matemáticas, são
apresentados ao aprendiz: são =dt
dθ0,06 rad/s, =θ 30º, lado b = 4 m e o lado c = 5 m.
132
Como este é o primeiro problema em que se aplica a estratégia de resolução de forma
explícita, o OA auxilia em detalhes mais complicados.
4º passo - É o momento de localizar o dado ou a taxa de variação procurada,
utilizando uma notação adequada. No problema, a taxa procurada é a variação da área
em relação ao tempo, que pode ser representada por:
dt
dA.
5º passo - O aluno deve pensar/buscar uma equação que relacione os dados
presentes (em sua totalidade ou alguns deles) no problema. Isso exige que ele pense
minuciosamente em equações matemáticas aprendidas ao longo da vida estudantil. Caso
o aluno não se recorde, o OA traz a equação θsencbA ...2
1= , isto é, a área de um
triângulo é igual à metade do produto dos lados pelo seno do ângulo compreendido
entre os mesmos. É uma equação favorável, porém não fornece a taxa procurada
dt
dA.
6º passo - Aplicar a regra da cadeia para fazer o elo entre os dados, obtendo uma
nova equação, que é dt
dcb
dt
dA θθcos...
2
1= . Nesta, a taxa de variação procurada se faz
presente. Nota-se que b e c são constantes e que a variável é o ângulo θ .
7º passo - Substituir os dados, o que é realizado com o auxílio do OA que
mostra, passo a passo, como realizar a substituição:
3,006,0.30cos.5.4.2
1cos...
2
1=⇒=⇒=
dt
dA
dt
dA
dt
dcb
dt
dA θθ m²/s.
8º passo - A resposta então é interpretada. A cada segundo que se passa, a área
tem uma variação de 0,3 m². O aluno é convidado a retornar ao diagrama interativo e
observar a situação, isto é, verificar que realmente a área está crescendo com o passar
do tempo.
Atividade 5: Escada em Movimento
A atividade foi desenvolvida de modo a permitir maior autonomia do aluno e,
para verificar o seu aprendizado, é pedido que este problema, a partir do segundo passo
da estratégia de resolução de problemas, seja realizado com as mídias lápis e papel.
Assim, traçam-se os objetivos pretendidos:
a) Permitir maior autonomia na resolução de um problema de fenômeno físico
de taxas relacionadas;
133
b) Analisar a aprendizagem adquirida ao longo da utilização do OA;
c) Trabalhar com a estratégia de resolução de problemas;
d) Permitir ao aluno a construção de seus próprios significados da estratégia.
A estratégia de resolução ainda é apresentada pelo OA como ferramenta auxiliar,
ou seja, é exposta na tela, porém, as ajudas estão ocultas. Caso o aluno não consiga
realizar algum dos passos, a sugestão é que ele interaja com a estratégia.
Cada passo da estratégia traz o botão de ajuda, que pode ser acessado para
compreender os procedimentos ou simplesmente conferir a resposta. Ao utilizar os
botões de ajuda, o aluno deve relatar numa folha que foi necessário tal recorrência.
Figura 31: Menu – estratégia de resolução para o problema da atividade cinco
Fonte: Elaborado pelo autor
O primeiro passo é ler e compreender o problema; o segundo, traçar um
diagrama realizado juntamente (de forma interativa) com o OA. O problema proposto é
o seguinte:
Quadro 43: Problema trazido pela quinta atividade
Uma escada com 13 m de altura está em pé e apoiada em uma parede, quando
sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a
base está a 12 m da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 m/s. A que taxa o topo
da escada escorrega para baixo nesse momento?
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203
O diagrama interativo é apresentado pelo OA. Ao clicar no botão “iniciar”, o
aluno acompanha o movimento relatado pelo enunciado, isto é, a escada escorregando
pela parede. E, ao final do movimento, as notações surgem na tela do computador.
134
Figura 32: Diagrama dinâmico da atividade 5
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir deste ponto, o aluno é convidado a trilhar a resolução do problema
sozinho., anotando os passos na sua folha resposta. Caso ele precise de ajuda, o OA traz
a estratégia de resolução sob a forma de ajuda em tela, como já relatado. Assim, espera-
se que o aluno seja capaz de dar prosseguimento a esta resolução a partir das
competências trabalhadas até então.
Atividade 6: Onda Circular
Nesta atividade, o nível de ajuda do OA é mais limitado. A estratégia de
resolução é retirada da tela. É apresentado apenas um botão de “ajuda”.
Figura 33: Tela da sexta atividade com o primeiro botão de ajuda
Fonte: Elaborado pelo autor
Caso o aluno recorra a este botão, a estratégia de resolução é apresentada.
135
Figura 34: Tela da sexta atividade com o botão ajuda sendo requerido
Fonte: Elaborado pelo autor
Ainda mantendo dúvidas, o aluno pode recorrer a outro botão de ajuda,
denominado “ajuda 2”, em que aparecerá a resolução dos passos da estratégia. Estas
ajudas são relatadas na mídia folha, caso o aluno tenha necessidade de acessá-las. Tais
relatos servem para avaliar o nível de autonomia do aluno para resolver a situação
proposta. O problema apresentado é o seguinte:
Quadro 44: Problema trazido pela sexta atividade
Uma pedra jogada em um lago produz onda circular, cujo raio cresce a uma taxa
constante de 1 m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda
crescente ao final de 10 segundos?
Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, p.222
O diagrama é interativo pelo OA, e, a partir deste momento, o aluno deve
prosseguir a resolução do problema, expondo no papel os passos seguidos para tal
resolução.
Figura 35: Diagrama dinâmico da atividade 6
Fonte: Elaborado pelo autor
Assim, os objetivos da atividade são:
136
a) Verificar a contribuição do OA na resolução de problemas físicos de taxas
relacionadas;
b) Analisar a eficiência da estratégia apresentada;
c) Analisar se o aluno foi capaz de resolver o problema com o menor número de
ajudas;
d) Permitir uma maior autonomia do aluno ao resolver um problema de Taxas
Relacionadas;
e) Verificar em que medida houve a contribuição do OA na resolução de
problemas.
Atividade 7: Balão Subindo
Essa atividade, que é a última idealizada, dá ao aluno uma maior autonomia,
devendo ele estar munido das mídias lápis, papel e OA. Um problema é apresentado em
tela, mas não se traz ajuda alguma (nem a estratégia, nem os passos ou a resolução dos
seus passos). O aluno é convidado a resolver em sua folha de ofício a seguinte situação-
problema.
Quadro 45: Problema trazido pela sétima atividade
Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um
telêmetro3 (DICIONÁRIO ..., 2013) colocado a 500 pés de distância do ponto de
decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é de 45º, o
ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe
nesse momento?
Fonte: Thomas, 2002, p.199
Essa atividade foi proposta tendo como objetivos os seguintes pontos:
a) Verificar se houve aprendizado e assimilação da estratégia de resolução de
problemas;
b) Analisar se houve aprendizado quanto à resolução de problemas de
fenômenos físicos de Taxas Relacionadas;
c) Verificar em que medida se deu a autonomia do aluno na resolução;
d) Analisar em que medida o OA contribui para o aprendizado deste conteúdo.
3 Instrumento para medir distâncias rapidamente entre um ponto e o observador.
137
Desse modo, finaliza-se a sequência didática idealizada como o OA, cujo intuito
foi auxiliar o ensino e aprendizagem na resolução de problemas de fenômenos físicos de
Taxas Relacionadas. O próximo capítulo traz o relato da aplicação das atividades do
OA.
138
6 RESULTADOS DA APLICAÇÃO
6.1 Coleta de dados
Os dados desta pesquisa foram coletados por meio de observações presenciais do
pesquisador, interação dos participantes com as seções do OA, utilização de outras
mídias além do computador, como lápis e papel, e através de conversas com os
participantes, isto de acordo com o que orientam Lüdke e André (1986), para os quais o
pesquisador é parte inerente do processo da pesquisa.
6.2 Os sujeitos da pesquisa
A pesquisa teve como sujeitos os alunos dos cursos de Engenharia e
Licenciatura Plena em Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, os quais estavam cursando ou já tinham cursado a disciplina de Cálculo. Foram
escolhidos 11 participantes, dos quais 6 (seis) são do curso de Engenharia e 5 (cinco) do
curso de Licenciatura Plena em Matemática. O convite foi realizado pelo pesquisador e
pelo orientador em duas turmas de Engenharia e a única turma de Matemática da
PUCMG no campus Coração Eucarístico, turmas nas quais o orientador lecionava. Nas
turmas, foi avisado que os alunos participantes contribuíriam para uma pesquisa de
Mestrado Profissional, e o tema da pesquisa também foi relatado e esclarecido. Deste
modo, dos alunos que se interessaram e compareceram aos encontros, foram
selecionados os 11 sujeitos, cuja seleção foi feita de acordo com os seguintes critérios:
disponibilidade para participar dos encontros, grau de interesse em participar da
pesquisa e se já tinham estudado o conteúdo de Taxas Relacionadas.
Para esta pesquisa, o interesse de que os participantes já tivessem estudado o
conteúdo de Taxas Relacionadas era no sentido de auxiliar o trabalho de construção de
um OA mais eficiente, uma vez que esses estudantes já teriam uma visão do conteúdo,
poderiam contribuir com sugestões. Assim, a escolha dos 11 participantes deu-se de
modo a permitir contribuições para a pesquisa no que diz respeito a duas situações:
processos cognitivos oferecidos pelo OA e possíveis alterações a serem realizadas no
OA.
6.3 Aplicação do OA
139
A aplicação foi realizada em três encontros, sendo que, inicialmente, cada
participante escolheu um nome/pseudônimo (F3, I, Borges, Jojo, Flores, Oliveira, Hugo,
Jayne, Aluno XXIII, Nenem e B que deveria ser utilizado durante as anotações e
encontros.
Cada um dos encontros teve duração de 1 hora e 30 minutos, e foram realizados
no laboratório de Informática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
(PUC Minas), no prédio do Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática. Nesse
espaço, foi possível estabelecer a interação de todos os alunos com o OA e,
concomitantemente, com as mídias lápis e papel, anotando as novidades ou reflexões
que perceberam com a utilização do OA.
Nesses encontros, o papel do pesquisador era direcionar, observar e fazer
registros dos participantes durante a aplicação do OA. O pesquisador dizia a seção do
OA que seria trabalhada no encontro e como os alunos deveriam proceder com as
anotações, pois tal material seria utilizado para coleta de dados referentes à pesquisa.
Em cada encontro, o participante recebia uma folha e um lápis para anotar suas
reflexões, análises, conclusões e realizar algumas das atividades propostas. Em
momento algum o pesquisador interferiu no trabalho OA/Participante a fim de obter os
dados com maior precisão.
Pediu-se permissão aos participantes para fotografar um dos encontros.
Figura 36: Aplicação do OA aos Participantes da Pesquisa.
Fonte: Foto do autor
No primeiro encontro, trabalhou-se com a seção do OA denominada taxa de
variação – revisão de conceitos. Nesse momento, os conceitos como taxas de variação
140
média e instantânea, inclinação da reta tangente e da reta secante a uma determinada
curva, velocidades média e instantânea e derivada, foram revisitados pelos participantes.
No segundo encontro, trabalhou-se com a seção Regra da Cadeia – Taxas
Relacionadas (Revisão), momento no qual foram abordados os conceitos de regra da
cadeia, sua utilização para relacionar taxas de variação (taxas relacionadas) e suas
notações matemáticas. Ainda no segundo encontro, e, posteriormente, no terceiro, os
participantes começaram a desenvolver a seção de atividades, seção esta que foi
concluída por alguns participantes nesse mesmo encontro, fazendo, assim, desnecessária
a presença destes no encontro seguinte.
A investigação terá uma continuidade no GRUPIMEM4, do qual o pesquisador
faz parte. Nesta dissertação, a preocupação com a aplicação do OA estava voltada para
possíveis reestruturações (interação dos sujeitos com o OA) e análise dos aspectos de
ressignificação e significação dos conceitos pelos sujeitos de pesquisa (processo de
cognição), motivos pelos quais deu-se a preferência por sujeitos que conheciam o
conteúdo de Taxas Relacionadas. A partir dos relatos que serão apresentados, foi
possível analisar que o OA trouxe ressignificações e significações do conteúdo, uma vez
que contribuiu para um novo olhar dos sujeitos de pesquisa sobre o conteúdo, além de
ter permitido alterações no OA para contribuir na aprendizagem do conteúdo.
6.4 Principais Resultados
Para apurar os resultados da interação dos participantes com o OA, dois aspectos
foram analisados:
a) A interação dos participantes com o OA;
b) O processo de cognição oferecido pelo OA.
No primeiro, procurou-se analisar como os participantes reagiram à linguagem
utilizada na programação do OA, como se portaram frente às instruções indicadas em
tela e aos textos explicativos; a interação com as animações, a visualização dos vídeos,
gráficos, diagramas, os comandos, sobretudo no que diz respeito à clareza e
objetividade dessas ferramentas na comunicação das propostas apresentadas. Tais
critérios de análise, segundo Nascimento (2007), devem ser uma preocupação quanto à
criação de um OA e sua utilização.
4 GRUPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática. Instituição: PUCMinas.
141
No segundo ponto, procurou-se verificar as contribuições cognitivas oferecidas
pelo OA, como: a sequência didática trazida pelo OA – analisou-se essa sequência
ajudou a potencializar a visão dos participantes sobre o conteúdo e se a estratégia de
resolução de problemas de fenômenos físicos, baseada em Polya (1977) e em Stewart
(2006), contribui para uma maior autonomia dos participantes quanto à proposta
apresentada.
6.4.1 A interação dos sujeitos com o OA
Foi possível observar que os participantes não apresentaram dificuldades com os
comandos comuns de nenhum dos programas oferecidos pela mídia computador (isto é,
a utilização do mouse e do teclado para iniciar o OA, o modo de entrar nas seções, a
forma de preencher campos apresentados, como avançar e retroceder nas atividades e a
utilização dos botões presentes no OA). No OA, o programador idealizou os recursos
para funcionar do mesmo modo que em outros programas mais usuais. Assim, os
participantes manusearam o OA com tranquilidade. O que é confirmado por Milani
(2001), Behrens (2010) e Moran (2010), ao defenderem que a tecnologia, em especial o
computador, é uma mídia da geração atual, o que faz com que haja um ganho no tempo
de explicação sobre os comandos básicos e da resistência dos alunos por parte da
utilização dessa tecnologia.
Quanto aos comandos presentes no OA, os participantes levantaram sugestões,
como a que foi apresentada por Jayne:
Figura 37: 1º Relato da participante Jayne
Fonte: Dados da pesquisa
Durante as atividades, a participante sentiu a necessidade de um retorno por
parte do OA, já que era necessário pressionar a tecla “enter” para obter feedbacks e/ou
prosseguir na resolução da mesma.
Outra sugestão foi apresentada pela participante Flores. Ao terminar a segunda
atividade, a participante se deparou com um comando, o qual achou dúbio. A sua
142
interpretação fez com que retornasse ao início da atividade e viesse novamente
preenchendo todos os dados já apurados por ela. Diante disso, ela sugeriu que:
Figura 38: Relato da participante Flores
Fonte: Dados da Pesquisa
Literalmente, ela registrou que: “8º C2 – nesta frase, entendi que deveria voltar
ao 2º exercício e não ir em análise da resposta. Então, para voltar ao 8º tive que
preencher e marcar tudo novamente. Acredito que a frase em C2 pode ser escrita de uma
forma que leve o aluno a clicar em análise da resposta”.
Estas sugestões não depreciam o OA, mas, pelo contrário, trazem contribuições
para a questão da comunicação entre usuário/computador. Tais sugestões estão em
conformidade com Amante e Morgado (2001), que, ao descreverem as fases de criação
de um OA, afirmam que a fase da avaliação pode ser considerada como a aplicação, não
sendo determinística, isto é, o OA pode sofrer alterações de modo a facilitar o
envolvimento do participante com o mesmo.
Após a aplicação do OA, programador e pesquisador revisaram tais sugestões,
inserindo-as no OA como fator contribuidor oriundo de usuários (participantes da
pesquisa) que interagiram com a versão anterior. Assim, o processo de criação é
dinâmico e nunca estará finalizado, conforme bem diz Mâcedo (2007), para o qual um
OA deve ser flexível e de fácil utilização. Acolhendo tais sugestões, as mudanças foram
realizadas.
Durante a utilização do OA, outras mudanças ocorreram a partir das observações
realizadas pelo pesquisador e pelo programador. Um dos exemplos foi a questão do
botão “próximo” presente nas atividades. Esse botão, em tela, teve a visualização
comprometida, uma vez que o participante necessitava utilizar a barra de rolagem para
vê-lo. Tal situação fez com que alguns participantes, até perceberem a presença do
referido botão, tentassem resolver o sozinhos e sem a interação do OA o que se
apresentava em tela. Perante tal situação um comando foi inserido na tela inicial do OA,
143
a fim de que o aluno percebesse sua presença e pudesse acessá-lo sem prejudicar o
andamento das atividades.
Outra mudança realizada foi a respeito de uma dificuldade comum aos
participantes e apresentada na seção Atividades. Na segunda atividade, o terceiro passo
consistia em preencher os campos indicados com os dados presentes no enunciado do
problema. O enunciado do problema diz que “[...] A corrente elétrica reduz a uma taxa
de 1/3 A/s [...]”. Ao preencher os dados, o comando presente no OA é explícito (Se a
resposta for em forma de fração, digite o valor com 4 casas decimais, usando o ponto
para dividir parte inteira de parte fracionária). Os participantes compreenderam o
enunciado, mas a palavra reduz passou despercebida pelos olhos deles. O referido termo
(reduz) corresponde, na Matemática, ao sinal de negativo, de modo que , no exercício,
tem-se -1/3. Porém, todos os participantes insistiram em preencher o campo com sinal
positivo, o que fez com que o feedback apresentado pelo OA pedia para retornar e ler
com atenção o enunciado.
Figura 39: Tela do OA referente a segunda atividade.
Fonte: Elaborado pelo autor
A situação relatada pode ser visualizada na figura acima. O feedback neste
momento não auxiliou muito os participantes, que liam e reliam o enunciado, sem,
contudo, conseguirem avançar e/ou identificar o erro. Somente depois de muito insistir,
passaram para as próximas atividades, e outros, após muitas tentativas, conseguiram
compreender onde estava o erro. Desse modo, o pesquisador pensou em acrescentar no
feedback os seguintes dizeres: “Quando uma taxa de variação se reduz
matematicamente, expressa-se por um número negativo o seu valor”, sendo que essa
frase fora acrescentada após a aplicação. Apesar de o erro apresentado ser conceitual, é
possível, com um feedback, tentar desviar do mesmo, de modo que a mudança fora
144
realizada para auxiliar o processo cognitivo, de acordo com Silva (2007), as atividades
devem motivar os alunos, e não ao contrário, oferecerem resistência, de modo a fazê-los
abandonar o processo. Por tal motivo mudou-se o feedback para auxiliar o aluno.
Assim, o processo de criação do OA se mostrou dinâmico, e, a cada interação,
novas sugestões poderão ocorrer para facilitar a comunicação entre OA e aluno. O OA
pode ser reutilizado e revisado para atender a necessidade de aprendizagem, o que é
proposto por Wiley (2009).
6.4.2 Análise dos processos cognitivos oferecidos pelo OA
No primeiro encontro, os participantes realizaram os tópicos da seção Taxa de
variação – revisão de conceitos. Uma folha e um lápis foram dados a cada participante
para que anotassem o que julgaram importante, os seus cálculos, as suas conclusões,
dentre outras anotações. Vale ressaltar aqui que os participantes sentiram a necessidade
de ter folha e lápis para produzirem seus conhecimentos a partir da utilização do OA, o
que está de acordo com o que mostram Borba e Penteado (2001) quando alegam que de
modo algum uma mídia (computador/OA) torna obsoletas outras mídias (lápis e papel)
durante o processo de aprendizagem.
Em conformidade com Lucchesi et al. (2007) e Bardy et al. (2007), foi possível
observar que, com a utilização desse recurso pedagógico, cada participante evoluiu
conforme as suas limitações e no seu tempo. Alguns dos participantes esmiuçaram a
seção em pouco tempo, fazendo suas anotações e reflexões de forma ligeira; outros
fizeram segundo diz Tavares (2007) et al.: de forma mais reflexiva, avançando e
retrocedendo para fixar e avaliar o conceito. Exploraram os comandos de forma
pertinente para compreender propostas e conceitos. É o que se pode verificar sobre os
relatos da participante Jojo. Ela percorreu pela seção, observando os textos, as
animações, os gráficos, as tabelas e diagramas com uma atenção e concentração
perceptíveis. Ela visualizava a animação várias vezes, fazia anotações, repetia
procedimentos e expunha as conclusões encontradas, tudo isso a partir de análises,
reflexões, avanços e retrocessos durante a utilização do OA. Para esta pesquisa, uma das
conclusões pertinentes é exposta a seguir:
145
FFigura 40: 1º Relatos da participante Jojo
F
O
Fonte: Dados da pesquisa
Durante o processo de utilização do OA, a participante pôde construir as duas
premissas ao avançar pela seção, tudo com calma, destreza e reflexão. Das duas
premissas, conclui-se que é possível pensar em duas análises. A primeira: traços de uma
aprendizagem significativa, na qual a participante realizou conexões entre conceitos
abordados e chegou à sua conclusão a partir de análises e reflexões oferecidas e
permitidas pela utilização do recurso; e a segunda: a aluna anotou apenas os conceitos
trazidos pelo OA, repetindo-os e não compreendendo-os. Em conformidade com
Lachini (2001), caso tenha sido feita a primeira análise, é possível perceber que houve o
aprendizado do conceito, pois a participante, a partir de estudos realizados no OA, foi
capaz de verbalizar e descrever os fenômenos expostos.
Prata et al. (2007) descrevem que, através da utilização de um OA, é possível
que haja o desenvolvimento do raciocínio e da criatividade. Foi possível verificar que a
participante Jayne fez elos entre os seus conhecimentos prévios e a forma que o
conteúdo foi exposto pelo OA, desenvolvendo, assim, o seu raciocínio sobre o assunto
em estudo.
146
Figura 41: 2º Relato da participante Jayne
Fonte: Dados da pesquisa
A participante expõe que já era de seu conhecimento a relação (taxa de variação
média inclinação de uma reta secante a uma curva dada velocidade média).
Contudo, ela deixa ver também que, com a utilização do OA, foi possível visualizar tal
relação e ampliar os conhecimentos sobre o assunto. Assim sendo, para produzir
conhecimento, segundo Fagundes (1999), é preciso fazer reestruturações das
“significações anteriores, produzindo boas diferenciações e integrando ao sistema as
novas significações” (p.24), o que é exposto na fala de Jayne: “Nunca tivesse pensando
neste conteúdo desta maneira”. O que se percebe no caso de Jayne é que uma nova
assimilação foi incorporada.
Frota e Couy (2007) defendem a representação e a visualização no estudo do
Cálculo, assim como Stewart (2006) e Anton, Bivens e Davis (2007), que trabalham
com a proposta de os conceitos presentes no Cálculo sejam construídos mediante
representações matemáticas, sejam elas gráficas, tabulares, algébricas, diagramais,
verbais ou descritivas. Essas representações, a partir da visualização, contribuem para o
aprendizado de conceitos e definições. O participante Nenem expõe tal contribuição ao
dizer:
Figura 42: Relato do Participante Nenem
Fonte: Dados da pesquisa
147
A visualização do fenômeno, a dinamicidade oferecida pelo OA e as formas de
representação do conteúdo, isto é, o auxílio a partir de tabelas numéricas, gráficos e
notações matemáticas esclarecidas, são elementos enaltecidos pelo participante, pois
tais representações facilitaram a ampliação de seu conhecimento sobre o assunto. Em
complemento ao processo da visualização dos gráficos, Thomas (2002, p.16) diz que
“Os gráficos ajudam por apresentar uma representação visual de conceitos e relações.”
O participante Borges corrobora a inferência de Thomas ao dizer que:
Figura 43: Relato do participante Borges
Fonte: Dados da pesquisa
Vale ressaltar que, por hora, estes conceitos intrínsecos não haviam ficado
esclarecidos para o participante, na disciplina de Cálculo. Porém, é possível verificar
que a ideia conceitual foi assimilada através da visualização dos gráficos e das
animações presentes no OA.
A participante Flores também expõe as suas conclusões realizadas a partir do
estudo da seção, referindo que, através da visualização e das explicações trazidas pelo
OA, foi possível assimilar de forma clara os conceitos pretendidos, além de que os
gráficos dinâmicos auxiliaram no aprendizado.
O primeiro dia de aplicação do OA já demonstrou contribuições significativas da
utilização deste recurso. Já no segundo dia, os participantes passaram pela seção Regra
da Cadeia – Taxas Relacionadas (revisão), e após explorarem esta seção, começaram a
desenvolver a seção Atividades. Alguns dos participantes conseguiram terminar neste
segundo encontro todo o trabalho oferecido pelo OA, o que, em certa medida, está em
conformidade com Tarouco e Dutra (2007), que dizem que, ao construir um OA, deve-
se ter a preocupação quanto ao número de atividades e o tempo disponível para
desenvolvê-las, de modo que não se torne massante ou não tome um tempo demasiado
longo para utilizá-lo.
148
Outros participantes ainda utilizaram o terceiro encontro para finalizar a
proposta do OA, o que leva a analisar que, para trabalhar o conteúdo do OA, sugere-se
de duas a três aulas de 1h30 min, sem a presença significativa do professor, deixando
aluno e OA interagirem.
Figura 44: 3 º Relato da participante Jayne.
Fonte: Dados da pesquisa
A intervenção de terceiros nessa circunstância pode ficar a cargo do professor.
Lachini (2001) alega que, ao utilizar tal recurso, a postura do professor passa da atitude
ativa para a atitude passiva, e a do aluno passa de atitude passiva para ativa. Deve-se
deixar o aluno ser mais autônomo em seu aprendizado, deixá-lo construir suas redes de
significações e intervir em momentos de extrema necessidade.
No segundo dia, iniciou-se a seção Regra da cadeia – Taxas Relacionadas
(Revisão). Contribuições como as já citadas anteriormente foram relatadas. A seção
levou o aluno a compreender a ligação entre a regra da cadeia e o que são Taxas
Relacionadas. Tal compreensão é exposta pela participante Jojo:
Figura 45: 2º Relato da participante Jojo
Fonte: Dados da pesquisa
Com a utilização do OA, a participante observa e conclui que, pela cadeia, é
possível fazer o elo entre taxas de variações. Barros e Meloni (2006) alegam que uma
das dificuldades do ensino de cálculo é a habilidade de construir a compreensão dos
conceitos. A participante Jojo, através de seu relato, mostra que foi possível
149
compreender a utilização da regra da cadeia para relacionar taxas de variações,
superando possivelmente a dificuldade de observar tal análise.
A seção Atividades foi o momento de maior expectativa do pesquisador, pois era
preciso observar se os participantes iriam compreender a aplicação de taxas de variação
relacionadas resolvendo problemas de fenômenos físicos a partir da utilização do OA e,
por conseguinte, se a estratégia apresentada iria auxiliá-los.
As quatro primeiras atividades da seção, juntamente com a estratégia de
resolução, ofereciam conhecimentos prévios para a resolução das três últimas
atividades, como já abordado no capítulo anterior. Isso provocou duas situações. A
primeira foi o fato de alguns dos participantes serem ótimos “preenchedores de dados” e
“tabuladores” na utilização do OA. Eles estavam preocupados em avançar pelas
atividades, fazendo-as de forma mecânica e tecnicista. Passaram pelas quatro primeiras
atividades e pela estratégia sem refletir sobre a dinâmica proposta. Porém, ao se
depararem com o desafio das três últimas atividades, em que o nível de auxílio do OA é
menor, as dificuldades surgiram. Assim, tiveram de retroceder e observar com mais
atenção os passos trazidos pelo OA. Esse retrocesso tomou tempo, o que sugere ao
professor que, antes de iniciar a utilização do recurso, frize as palavras reflexividade,
observação e calma, na tentativa do OA auxiliar na aprendizagem do conteúdo.
A segunda situação refere-se aos participantes que exploraram minuciosamente
todas as atividades, esmiuçando cada proposta, fazendo suas anotações, reflexões e
contribuições. Tais participantes, quando chegaram às últimas atividades, apresentaram
menos dificuldades de compreender e elaborar suas respostas.
A participante Jayne demonstra ser uma aluna enquadrada no grupo da segunda
situação, pois, durante as atividades, fez suas anotações, ponderações e conclusões, e, ao
resolver as três últimas atividades, conseguiu realizar as resoluções, de forma
significativa, demonstrando aprendizagem. Foi possível verificar em suas anotações a
estratégia sugerida pelo OA para a realização a última atividade. É importante ressaltar
que a sétima atividade não traz nenhum auxílio do OA para resolver o problema
proposto. Porém, com as relações estabelecidas durante a realização das atividades
anteriores e seus conhecimentos prévios sobre o assunto, a participante conseguiu
resolver a atividade:
150
Figura 46: Resolução da atividade 7 por “Jayne”
Fonte: Dados da pesquisa
A participante não expõe os passos da estratégia de forma organizada, mas é
possível verificar a presença do diagrama e setas para indicar movimentos (o 2º passo
sugerido pela estratégia: desenhar o diagrama da situação). Ela consegue, ainda, mostrar
os dados trazidos pelo problema e o dado procurado (3º e 4º passos da estratégia), além
de expor a equação que relaciona os dados, a regra da cadeia, a substituição dos dados
(5º, 6º e 7º passos da estratégia). Somente a análise da resposta não foi evidenciada pela
participante. Assim, a estratégia de resolução apresentada auxiliou a participante na
conclusão da atividade.
A participante F3 fez o mesmo processo e, a partir da quinta atividade, foi
possível verificar traços da estratégia pedagógica sugerida pelo OA. Inclusive a
participante os expõe segundo os passos (1º, 2º, ..., 8º).
151
Figura 47: Resolução da participante F3
Fonte: Dados da pesquisa
No quinto passo, é possível verificar que a participante utiliza do tópico “ajuda”
oferecido pelo OA, o que, segundo ela, foi utilizado somente para conferir se estava
realizando corretamente a atividade. No sexto passo, há dificuldades quanto ao emprego
da regra da cadeia, mas, com êxito, a participante conclui a resolução da atividade,
inclusive tecendo uma breve interpretação sobre a resposta encontrada.
Com estas atividades e relatos, é possível demonstrar o benefício da estratégia
apresentada, a qual foi baseada em Stewart (2006) e Polya (1977) e a contribuição que o
OA pode dar como instrumento de auxílio para potencializar o conteúdo de Taxas
152
Relacionadas. Nas atividades 6 e 7, a participante não expõe claramente os passos da
estratégia, mas os realiza na sequência aprendida durante as atividades anteriores.
Inclusive, é possível analisar que o modo como ela desenhou o diagrama da sétima
atividade foi uma contribuição do OA.
Figura 48: Esboço do diagrama da atividade 7 realizado por uma participante.
Fonte: Dados da pesquisa
A contribuição do diagrama interativo é elucidada pelo Aluno XXIII que, ao
finalizar a terceira atividade, diz:
Figura 49: Relato do participante Aluno XXIII
Fonte: Dados da pesquisa
Literalmente, é dito que: “O sinal negativo da resposta me mostra que a minha
base está diminuindo; achei interessante a exposição do diagrama, talvez eu ficaria me
perguntando o porque se não tivesse visto a base diminuindo.”
O participante expõe que foi possível compreender a resposta da atividade a
partir da visualização do fenômeno oferecida pelo diagrama presente no OA. Assim, é
possível verificar que o OA contribui na resolução de problemas de fenômenos físicos
sobre Taxas Relacionadas a partir do trabalho visual.
O participante Hugo relata que, mesmo tendo utilizado o OA, compreendido os
passos da estratégia, conseguido aplicá-la às atividades 5, 6 e 7, uma questão ainda lhe
era pertinente: o 5º passo sugere lembrar equações, principalmente aquelas originadas
de figuras geométricas (Teorema de Pitágoras, Volume, Área, Semelhança de
Triângulos dentre outras) que utilizaria para relacionar os dados. O participante relata
153
que, nesse momento, a resolução do problema fica mais complicada, uma vez que ele
não se lembra de muitas equações aprendidas nos níveis fundamental e médio, o que
está em conformidade com Nasser, Sousa e Torraca (2012), cujos investigadores alegam
que uma das dificuldades de compreender os problemas de Taxas Relacionadas é
revisitar o ensino médio/fundamental e buscar equações geométricas que auxiliem na
resolução destes problemas.
Figura 50: Relato do participante Hugo
Fonte: Dados da pesquisa
O relato acima do participante Hugo expõe sua dúvida sobre a resolução de
problemas de Taxas Relacionadas. Ele recorre ao auxílio do OA para verificar uma
equação que poderia ser utilizada na atividade, visto que ele alega não se lembrar de
nenhuma. Após uma conversa, Hugo relata que tem dificuldades de lembrar equações
matemáticas como as de áreas, volumes, trigonométricas dentre outras. Tal observação
levanta outra questão: De que modo implementar no OA equações necessárias aos
problemas de Taxas Relacionadas?
Por fim, é possível verificar que o OA trouxe contribuições como a visualização
gráfica e dinâmica, auxiliando na compreensão dos conceitos e nas representações
matemáticas e permitindo assimilações e conexões entre conteúdos pertinentes para
compreender o que vem a ser um problema de fenômeno físico de Taxas Relacionadas.
O OA ainda contribui quanto às explicações sob a forma textual e/ou visual que
auxiliaram as significações conceituais e as resoluções de problemas pretendidos. A
estratégia de resolução de problemas de fenômenos físicos sobre Taxas Relacionadas
permitiu uma maior autonomia do participante em resolver esses tipos de problemas.
154
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com a revisão de literatura, procurou-se analisar a questão norteadora desta
dissertação a qual consistiu em duas etapas: a primeira, construir um Objeto de
Aprendizagem; e a segunda, verificar as contribuições oferecidas pelo Objeto de
Aprendizagem criado.
Sobre a primeira etapa, o OA foi criado com sete atividades que se referem a
problemas de fenômenos físicos de taxas relacionadas respaldados na metodologia de
resolução de problemas. Para criar as atividades segundo a metodologia adotada, o
conteúdo de Taxas Relacionadas presentes em livros/textos didádicos de Cálculo foi
consultado, observando-se a maneira como Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton;
Bivens e Davis (2007) expõem o conteúdo de Cálculo no que se refere a taxas
relacionadas, a sequência didática utilizada para abordar tal conteúdo, os conceitos
necessários (limite, derivada, regra da cadeia e taxas) para a compreensão do conceito
de taxas relacionadas, os exemplos apresentados e os problemas propostos. Assim,
atenderam-se parcialmente os objetivos específicos buscados por esta pesquisa:
a) Verificar a abordagem metodológica do conteúdo de Taxas Relacionadas em
livros/textos didáticos de Cálculo;
b) Elaborar atividades sobre taxas relacionadas que atendam à metodologia de
Resolução de Problemas;
c) Construir um Objeto de Aprendizagem para trabalhar as atividades
desenvolvidas.
Durante a construção do OA, tomou-se cuidado em aliar visualização,
movimentação e interação entre mídia e usuário, processos permitidos pela utilização da
TIC, bem como as diferenciadas representações matemáticas, sugeridas por Frota e
Couy (2007) e Stewart (2006), sendo este último o autor que apresenta a “regra dos
quatros”, anteriormente mencionada, e que foi utilizada para facilitar o ensino e
aprendizagem do conteúdo de Cálculo.
A segunda etapa, que é verificar as contribuições do OA construído, se deu
durante a aplicação desse objeto, momento no qual foi possível observar que o OA
facilitou a assimilação do conteúdo e a resolução de problemas sobre taxas relacionadas,
o que pode ser constatado das observações feitas durante a realização das atividades e
dos relatos dos sujeitos participantes. Aconteceram contribuições, do OA para com os
participantes da pesquisa. Contribuições como: a visualização oferecida pelo Objeto,
155
que permitiu uma melhor assimilação dos conceitos apresentados. A dinamicidade
presente nos diagramas, em alguns dos gráficos e os vídeos que complementaram a
resolução dos problemas foi outro fator contribuinte com o aprendizado. Cada
participante desenvolveu as atividades no tempo em que achou pertinente. A questão de
poder avançar e o retroceder pelas telas do OA, contribui para potencializar o
aprendizado de forma gradual. A interação aluno-OA, que, além de favorecer a
aprendizagem e permitir novas descobertas, como, exposto por uma participante, que ao
revisitar um conceito já estudado, pôde compreende-lo melhor, fazendo a
ressignificação do conceito através devido aos recursos oferecidos pelo OA, foi
considerado como uma forma agradável de se estudar. Estas contribuições
complementam os objetos específicos desta pesquisa, quais sejam aplicar as atividades
e, após a análise dos resultados, estabelecer as possíveis reestruturações, visando uma
nova metodologia para o estudo de Taxas Relacionadas com a resolução de problemas
físicos, elaborando, assim, o produto desta dissertação.
Após a aplicação das atividades e as devidas reformulações, o OA pode ser
considerado uma nova metodologia a ser utilizada por professores e alunos na tentativa
de permitir e/ou potencializar o aprendizado sobre o conteúdo de taxas relacionadas.
Assim, o objetivo geral desta pesquisa foi alcançado: criar um Objeto de Aprendizagem
para facilitar o ensino e a aprendizagem de Taxas Relacionadas com a Resolução de
Problemas de Fenômenos Físicos.
Algumas questões ainda são inerentes quando se trata de criar e/ou utilizar
Objetos de Aprendizagens como metodologia de ensino:
a) Quais são e como superar as dificuldades para desenvolver OA’s que
utilizem as potencialidades das TIC’s, permintindo o ensino e a
aprendizagem?
b) Como um professor poderá utilizar um OA em suas aulas e qual deve ser a
postura adotada por este professor durante a utilização desse objeto?
Apesar de não serem as únicas, estas questões complementam ou ficam em
aberto para futuros pesquisadores que tenham interesse no assunto.
Espera-se, com esta pesquisa, oportunizar aos docentes, licenciandos e
interessados por esta temática conhecer mais uma metodologia de ensino e
aprendizagem estruturada sob a forma de um OA.
A realização desta pesquisa contribuiu para o desenvolvimento da capacidade
em, enquanto professor, buscar por recursos que fomentem a reflexão sobre a prática
156
pedagógica, de modo a trabalhar o ensino e a aprendizagem de Cálculo de forma
dinâmica, diversificada e mais significativa.
157
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162
APÊNDICES
PRODUTO DA DISSERTAÇÃO
163
INTRODUÇÃO
Neste apêndice, são apresentadas as sete atividades e uma estratégia para
resolução das mesmas, as quais constituem um facilitador para o estudante no trabalho
com o conceito de taxa de variação relacionada e na resolução de problemas físicos. As
atividades foram elaboradas a partir de problemas presentes nos livros de Cálculo
Diferencial e Integral de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis
(2007).
Nas três primeiras atividades, trabalha-se de forma implítica com a estratégia de
resolução de problemas de Taxas Relacionadas. O aluno interage com o OA, que
oferece auxílio na resolução destas atividadeso, e, assim, resolve os problemas
propostos pelas atividades, de modo a não perceber que está a utilizar a estratégia
elaborada.
Após a terceira atividade, a estratégia de resolução de problemas é apresentada,
sendo sugerido que o aluno aplique-a nas próximas quatro atividades, nas quais, devido
à revelação da estratégia, o nível de auxílio do OA é reduzido na tentativa de
autonomizar, o aluno quanto à resolução de problemas de Taxas Relacionadas.
Desse modo, apresenta-se parte do produto desta dissertação sob a forma de
orientações gerais de utilização do OA quanto à seção de Atividades.
164
Instruções gerais para acessar as atividades no OA.
Na tela de “Menu” escolher o botão “Atividades”.
Figura 1: Tela menu do OA
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao escolher o botão de atividades, o OA encaminhará o aluno para o “Menu
Atividades”, que contém: 7 atividades e uma vídeo-aula sobre o conceito e a utilização
da estratégia de resolução de problemas. Desse modo, o aluno deve percorrer cada botão
na ordem em que aparacem.
Figura 2: Menu atividades.
Fonte: Elaborado pelo autor
165
Instruções gerais para a resolução da primeira atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA, os
quais estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguem a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Dessa forma, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 1: Termodinâmica
1º Passo - Ler o enunciado para a compreensão do problema.
Quadro 1: Problema da atividade 1.
A Lei de Boyle estabelece que, quando uma amostra de gás está comprimida a
uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV =
C, onde C é uma constante. Suponha que, em certo instante, o volume é de 600
cm³, a pressão é de 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que
taxa está decrescendo o volume nesse instante?
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º Passo - Representar a situação, sempre que possível, através de um diagrama, para
melhor visualizá-la.
Figura 3: Diagrama da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados presentes, escolhendo notações matemáticas
favoráveis. Neste problema, tem-se:
166
O volume (V = 600 cm³), a pressão (P=150 kPa), velocidade instantânea (no exato
momento) da pressão ( =dt
dP20 kPa/min) e a relação PV = C.
Figura 4: Dados da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Verificar qual é o dado procurado, escolhendo, para isso, uma notação
favorável. O dado procurado neste problema é a taxa de variação do volume que está
diminuindo dt
dV. No OA, este passo vem com uma pergunta de múltipla escolha.
Figura 5: Dado procurado da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Buscar por uma equação que auxilie na resolução da proposta apresentada.
Esta equação é cedida pelo problema: PV = C.
167
Figura 6: Equação da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
6º Passo - Aplicar a regra da cadeia na equação para relacionar as taxas pretendidas.
Figura 7: Regra da cadeia relativa à atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
7º Passo - Substituir os dados apresentados pelo problema na equação gerada pela regra
da cadeia.
Figura 8: Substituição de dados relativo à atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.
Figura 9: Interpretação da resposta da atividade 1.
Fonte: Elaborado pelo autor
168
Instruções gerais para a resolução da segunda atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e
que são respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia
de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse
modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 2: Variação da Resistência em um Circuito
1º Passo - Ler atentamente ao enunciado.
Quadro 2: Problema da atividade 2.
Variando a voltagem: A voltagem V (volts), a corrente I (em ampères) e a resistência R
(ohms) de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação V = RI. Suponha
que V esteja aumentando a uma taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa
de 1/3 A/s. Sendo o tempo dado em s, encontre a taxa com a qual R está variando
quando V = 12 V e I = 2A.
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203.
2º Passo - Interagir com o diagram presente no OA, observando a dinamicidade:
Figura 10: Diagrama da atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados fornecidos, escolhendo notações matemáticas
adequadas para os mesmos. Para este problema, tem-se:
=dt
dV1 volt/s (a taxa de variação da voltagem em relação ao tempo no exato momento),
dt
dI= -1/3 A/s (a taxa de variação da corrente elétrica em relação ao tempo), V = 12
169
Volts (a voltagem no momento), I = 2A (a corrente elétrica no instante) e a equação
matemática fornecida V = RI.
Figura 11: Dados da atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Escrever na notação matemática adequada o dado procurado pela atividade. O
OA traz uma questão de múltipla escolha, na qual o aluno deve optar por: dt
dR (a taxa de
variação da resistência em relação ao tempo).
Figura 12: Dado procurado na atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Verificar uma equação que relaciona os dados. Esta equação é fornecida pelo
enunciado do problema: V = IR.
170
6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relacionar as taxas.
Figura 13: Aplicação da regra da cadeia na atividade 2.
Fonte: Elaborado pelo autor
7º Passo - Substituir os dados na equação encontrada ao aplicar a regra da cadeia,
obtendo, assim, o dado procurado, isto é, a taxa de variação pretendida.
Figura 14: Substituição de dados utilizando as equações.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.
Figura 15: Interpretação da resposta realizada pela OA.
Fonte: Elaborado pelo autor
171
Instruções gerais para a resolução da terceira atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.
Atividade 3: Variação linear da altura de um triângulo.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 3: Problema da Atividade 3.
A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo
cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a
altura é 10 cm e a área 100 cm²?
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º Passo - Esboçar um diagrama para a situação.
Figura 16: Diagrama interativo da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Retirar do enunciado os dados apresentados. Este passo é divido em duas
etapas: a primeira, reconhecer notações matemáticas adequadas para representar os
dados presentes no enunciado; e a segunda, preencher, nos campos destinados, os
valores dos mesmos. Neste problema, os dados são: dt
dh= 1 cm/s (a variação da altura
em relação ao tempo ou a velocidade com que a altura cresce ou ainda à taxa com que a
altura cresce), dt
dA= 2 cm²/s (a variação da área em relação ao tempo ou a velocidade
172
com que a área cresce ou a taxa com que a área está crescendo), h = 10 cm (altura do
triângulo no momento) e A = 100 cm² (área deste triângulo no instante indicado).
Figura 17: Reconhecimento dos dados e preenchimento dos mesmos no OA
Fonte: Elaborado pelo autor
4º Passo - Localizar o dado procurado pelo problema proposto na atividade. Neste caso,
dt
db (a taxa de variação da base em relação ao tempo ou a velocidade com que a base
cresce ou decresce em relação ao tempo). Tal ação é realizada no próprio OA em forma
de múltipla escolha.
Figura 18: Resposta correta ao quarto passo da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º Passo - Buscar uma equação que tenha alguns dos dados presentes. A equação que
poderá ser utilizada é a de A, área de um triângulo qualquer, que é dada pelo
semiproduto da sua base pela sua altura 2
.hbA= .
173
6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relcionar as taxas.
2
.hbA= Regra da Cadeia
dt
dbh
dt
dhb
dt
dA
2
1
2
1+=
7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, o que é
realizado de forma explicativa pelo próprio OA.
Figura 19: Passo sete da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta obtida. A base do triângulo está diminuindo (sinal
negativo) 1,6 cm a cada segundo.
Instruções gerais para compreender a estratégia de resolução de problemas.
Esse momento consta de uma videoaula sobre a estratégia para resolução de
problemas de fenômenos físicos a respeito de Taxas Relacionadas. Deve-se assistir a um
problema sendo resolvido pela aplicação da estratégia. Posteriormente, em tela, a
estratégia é apresentada e pode-se recorrer à ela sempre que necessário.
174
Figura 20: Estratégia de Resolução – forma textual.
Fonte: Elaborado pelo autor
A figura mostra uma das telas da videoaula.
Figura 21: Estratégia de Resolução forma videoaula.
Fonte: Elaborado pelo autor
Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OAe
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, e seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação, porém, agora de
forma explícita. Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da
atividade com a utilização da estratégia de resolução.
175
Atividade 4: Variação da Área de um Triângulo
1º passo - Ler atentamente o problema quantas vezes necessário:
Quadro 4: Problema da atividade 4.
Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a
uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo
quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 30º.
Fonte: Stewart, 2006, p.260.
2º passo – O diagrama é traçado pelo OA e cabe ao aluno observar e interagir
com o mesmo.
Figura 22: Triângulo 2
Fonte: Elaborado pelo autor
3º passo – Analisar os dados procurados pelo problema.
Figura 23: Dados da atividade 3.
Fonte: Elaborado pelo autor
4º passo - É o momento de localizar o dado ou a taxa de variação procurada,
utilizando uma notação adequada. No problema, a taxa procurada é a variação da área
em relação ao tempo, que pode ser representada por:
dt
dA.
176
Figura 24: Dado procurado pela atividade 4.
Fonte: Elaborado pelo autor
5º passo - O aluno deve pensar/buscar uma equação que relacione os dados
presentes (em sua totalidade ou em partes) no problema. Isso faz com que ele pense
minuciosamente em equações matemáticas aprendidas ao longo da vida estudantil. Caso
o aluno não se recorde, o OA traz a equação θsencbA ...2
1= , isto é, a área de um
triângulo é igual à metade do produto dos lados pelo seno do ângulo compreendido
entre os mesmos. É uma equação favorável, mas que não fornece a taxa procurada
dt
dA.
Figura 25: Equação utilizada na atividade quatro.
Fonte: Elaborado pelo autor
6º passo - Aplicar a regra da cadeia para fazer o elo entre os dados, obtendo uma
nova equação, que é dt
dcb
dt
dA θθcos...
2
1= . Nesta equação, a taxa de variação procurada
se faz presente. Nota-se que b e c são constantes e que a variável é o ângulo θ .
7º passo - Substituir os dados, o que é realizado com o auxílio do OA que
mostra, passo a passo, como realizar a substituição:
3,006,0.30cos.5.4.2
1cos..
2
1=⇒=⇒=
dt
dA
dt
dA
dt
dbc
dt
dA θθ m²/s.
177
Figura 26: Passos 6 e 7.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º passo - A resposta é, então, interpretada. A cada segundo que se passa, a área
tem uma variação de 0,3 m². O aluno é convidado a retornar ao diagrama interativo e
observar a situação, isto é, verificar que realmente a área está crescendo com o passar
do tempo.
Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OAe
que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia
de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse
modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Contudo, nesta
atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a
resolução da atividade.
178
Atividade 5: Escada em movimento.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 5: Problema da atividade 5.
Uma escada com 13 m de altura está em pé e apoiada em uma parede, quando
sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a
base está a 12 m da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 m/s. A que taxa o topo
da escada escorrega para baixo nesse momento?
Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203
2º Passo - Traçar o diagrama, que está presente no OA de forma dinâmica.
Figura 27: Diagrama da atividade 5.
Fonte: Elaborado pelo autor
Os demais passos da estratégia ficam presentes na tela sob a forma de um Menu.
Para obter ajuda, deve-se clicar no botão referente ao passo do qual se tem dúvida.
179
Figura 28: Menu estratégia de resolução.
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao clicar no botão desejado, o OA traz explicações de como proceder para obter
êxito no passo. Por exemplo, ao clicar no botão relativo ao 5º passo (achar uma equação
que tenha dados presentes no problema), tem-se a seguinte ajuda:
Figura 29: Ajuda relativo ao 5º passo.
Fonte: Elaborado pelo autor
A interação com este Menu serve para esclarecer dúvidas ou confirmar os passos
realizados nas mídias lápis e papel.
180
Instruções gerais para a resolução da sexta atividade.
A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OA
e que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a
estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.
Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Porém, nesta
atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a
resolução do problema.
Atividade 6: Onda circular.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 6: Problema da atividade 6.
Uma pedra jogada em um lago produz onda circular, cujo raio cresce a uma taxa
constante de 1 m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda
crescente ao final de 10 segundos?
Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, p.222.
2º Passo - Esboçar o diagrama para facilitar a visualização.
Figura 30: Diagrama atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Os demais passos são ocultados pelo OA, que sugere ao aluno desenvolver a
resolução por si mesmo. Caso o aluno necessite relembrar de algum dos passos da
estratégia, ele deverá recorrer ao botão “ajuda” presente na tela. Este botão explicitará
os passos da estratégia para auxiliá-lo na resolução.
181
Figura 31: Botão de ajuda atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 32: Acesso ao botão de ajuda atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
O botão de “Ajuda 2” detalha os passos da estratégia. Caso o aluno ainda
necessite tirar dúvidas sobre os passos ou confirmar suas anotações, basta recorrer a
essa função.
182
Figura 33: Recorrendo-se ao botão de “ajuda 2” na atividade 6.
Fonte: Elaborado pelo autor
Instruções gerais para a resolução da sétima atividade.
Esta atividade tem como objetivo verificar o aprendizado do aluno. Desse modo,
não há auxílio do OA. Deve-se resolver o problema com as mídias lápis e papel e
através do conhecimento adquirido ao longo das demais atividades e da vídeo-aula
apresentada.
Atividade 7: Balão subindo.
1º Passo - Ler atentamente o problema.
Quadro 7: Problema da atividade 7.
Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um
telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento
em que o ângulo de elevação do telêmetro é de 45º, o ângulo aumenta a uma taxa
de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
Fonte: Thomas, 2002, p.199
2º Passo – Será responsabilidade do aluno esboçar um diagrama para visualizar a
situação. Sugere-se um diagrama como o esboçado por um aluno que utilizou o OA em
questão.
183
Figura 34: Esboço do diagrama realizado por um usuário.
Fonte: Elaborado pelo autor
3º Passo - Verificar os dados presentes no enunciado do problema. Neste caso:
x = 500 pés.
dt
dθ= 0,14 rad/min.
θ = 45º
4º Passo - Verificar o dado procurado. Nesta situação, utilizando uma notação
adequada, tem-se dt
dy.
5º Passo - Achar uma equação que relacione os dados presentes. A equação é
500
ytg =θ .
6º Passo - Utilizar a regra da cadeia para relacionar as taxas.
500
ytg =θ Regra da Cadeia
dt
d
dt
dy
dt
dy
dt
d θθ
θθ .²sec.500.
500
1.²sec =⇒= .
7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, cuja ação é
realizada por um aluno que utilizou o OA.
184
Figura 35: Substituindo os dados na atividade 7.
Fonte: Elaborado pelo autor
8º Passo - Interpretar a resposta: dt
dy= 140 pés/s. A velocidade com o balão está, neste
momento, de 140 pés a cada segundo.
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