random walks e parentes próximos. do mais simples para o mais complicado... random walk 1 dimensão...

Random walks e parentes próximos

Do mais simples para o mais complicado ...

Random walk 1 dimensão

Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks

Difusão

Passo constantePasso aleatório

Random Walk – Passeio aleatório

Movimento browniano

difusão

Random Walk 1d

Passos de tamanho 1X0=0

Programa

x=0Para i=1 até Npassos

r=random se (r<0.5) x=x+1 se (r>=0.5) x=x-1 <x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x

Random Walk 1d

0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

x

passo

3 realizações diferentes

10 realizações diferentes

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<x2 >

t0 20 40 60 80 100

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

<x>

t

100 realizações diferentes

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<x2 >

t

<x2>=Dt

0 20 40 60 80 100-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

<x>

t

Comparando com uma partícula livre

Random walk <x2>=Dt

Livre x=x0+vt <x2>~t2

Mais devagar

10.000 realizações diferentes

0 20 40 60 80 100-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

<x>

t

<x>~0Flutuações!

10.000 realizações diferentes

D=1

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<x2 >

t

Não é surpreendente

n

iin sx

1Xn é a posição depois de n passos

Si =+-1

Si é o deslocamento para o i-ésimo passo:

Não é surpreendente

Como os passos são independentes entre si

n

i

n

jjin ssx

1 1

2

SiSj=+-1 com igual probabilidadepara i=/=j

Para um número grande de rw

Lembrando queSi

2=1

como n=t

nsxn

iin

1

22

<x2>=Dt

com D=1

Histogramas

10.000 realizaçõesbin=2t=10 passos

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

prob

abil

idad

e

x

Histogramas

10.000 realizaçõesbin=2t=100 passos

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

prob

abil

idad

e

x

Difusão

Na próxima aula ...

Tamanhos de passo aleatórios

Passos de tamanho (0,1]

X0=0

Programa

x=0.d0Para i=1 até Npassos

r=randomrb=random

se (rb<0.5) x=x+(1-r) se (rb>=0.5) x=x-(1-r) <x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x

500 realizações diferentes

D=1

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<x2 >

t

D<1

Também não é surpreendente

n

iin sx

1Xn é a posição depois de n passos

-1=<Si =<1

Si é o deslocamento para o i-ésimo passo:

Calculando xn2

n

i

n

jjin ssx

1 1

2Como os passos são independentes entre si

SiSj=+-(0,1) com igual probabilidadepara i=/=j

0

n

jijiss

Para um número grande de rw

Calculando xn2

n

iin sx

1

22Lembrando queSi

2 está distribuído uniformemente no intervalo(0,1]

1

0

21

0

22

3

1)( dyydyyPysi

constante

Substituindo si2

3

1D

como n = t

<x2>=Dt

33

1

1

2 nx

n

in

De acordo com o gráfico!

Random Walk 2d

Passos de tamanho 1

RandomWalk

Programa

x=0, Y=0Para i=1 até Npassos

r=randomrb=random

se (rb<0.5)

se (rb>=0.5) <r(i)>=<r(i)>+sqrt(x*x+y

*y)<r2(i)>=<r2(i)>+x*x+y*y

se (r<0.5) x=x-1 se (r>=0.5) x=x+1

se (r<0.5) y=y-1 se (r>=0.5) y=y+1

500 realizações diferentes

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<r2 >

t

<x2>=Dt

10.000 realizações diferentes

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

<r2 >

t

D=1

Self-avoiding Walk - SAW

Passos de tamanho 1

Self-avoiding Walk - SAW

Random walk: cada passo é completamente independente de todos os anteriores

Na natureza nem sempre é assim:

polímeros

SAW

Blocos de construção

Porém: não é permitido superpor

Iguais a RW

Self-avoiding Walk - SAW

Self-avoiding Walk - SAW

Interrompe o crescimento

SAW

RW

SAW

Cresce mais rápido

SAW

<r2> ~ t

RW <r2>~t, 1

1.4

livre <r2>~t2, =2

SAW em mais dimensões

<r2> ~ t

2D 1.4

3D =1.25

4D =1.15

D cresce 1 RW

Referência

Computational Physics

Nicholas J. Giordano