random walks e parentes próximos. do mais simples para o mais complicado... random walk 1 dimensão...
TRANSCRIPT
Random walks e parentes próximos
Do mais simples para o mais complicado ...
Random walk 1 dimensão
Random walk 2 dimensões Self-avoiding walks
Difusão
Passo constantePasso aleatório
Random Walk – Passeio aleatório
Movimento browniano
difusão
Random Walk 1d
Passos de tamanho 1X0=0
Programa
x=0Para i=1 até Npassos
r=random se (r<0.5) x=x+1 se (r>=0.5) x=x-1 <x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x
Random Walk 1d
0 20 40 60 80 100-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
passo
3 realizações diferentes
10 realizações diferentes
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<x2 >
t0 20 40 60 80 100
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
<x>
t
100 realizações diferentes
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<x2 >
t
<x2>=Dt
0 20 40 60 80 100-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
<x>
t
Comparando com uma partícula livre
Random walk <x2>=Dt
Livre x=x0+vt <x2>~t2
Mais devagar
10.000 realizações diferentes
0 20 40 60 80 100-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
<x>
t
<x>~0Flutuações!
10.000 realizações diferentes
D=1
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<x2 >
t
Não é surpreendente
n
iin sx
1Xn é a posição depois de n passos
Si =+-1
Si é o deslocamento para o i-ésimo passo:
Não é surpreendente
Como os passos são independentes entre si
n
i
n
jjin ssx
1 1
2
SiSj=+-1 com igual probabilidadepara i=/=j
Para um número grande de rw
Lembrando queSi
2=1
como n=t
nsxn
iin
1
22
<x2>=Dt
com D=1
Histogramas
10.000 realizaçõesbin=2t=10 passos
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
prob
abil
idad
e
x
Histogramas
10.000 realizaçõesbin=2t=100 passos
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
prob
abil
idad
e
x
Difusão
Na próxima aula ...
Tamanhos de passo aleatórios
Passos de tamanho (0,1]
X0=0
Programa
x=0.d0Para i=1 até Npassos
r=randomrb=random
se (rb<0.5) x=x+(1-r) se (rb>=0.5) x=x-(1-r) <x(i)>=<x(i)>+x <x2(i)>=<x2(i)>+x*x
500 realizações diferentes
D=1
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<x2 >
t
D<1
Também não é surpreendente
n
iin sx
1Xn é a posição depois de n passos
-1=<Si =<1
Si é o deslocamento para o i-ésimo passo:
Calculando xn2
n
i
n
jjin ssx
1 1
2Como os passos são independentes entre si
SiSj=+-(0,1) com igual probabilidadepara i=/=j
0
n
jijiss
Para um número grande de rw
Calculando xn2
n
iin sx
1
22Lembrando queSi
2 está distribuído uniformemente no intervalo(0,1]
1
0
21
0
22
3
1)( dyydyyPysi
constante
Substituindo si2
3
1D
como n = t
<x2>=Dt
33
1
1
2 nx
n
in
De acordo com o gráfico!
Random Walk 2d
Passos de tamanho 1
RandomWalk
Programa
x=0, Y=0Para i=1 até Npassos
r=randomrb=random
se (rb<0.5)
se (rb>=0.5) <r(i)>=<r(i)>+sqrt(x*x+y
*y)<r2(i)>=<r2(i)>+x*x+y*y
se (r<0.5) x=x-1 se (r>=0.5) x=x+1
se (r<0.5) y=y-1 se (r>=0.5) y=y+1
500 realizações diferentes
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<r2 >
t
<x2>=Dt
10.000 realizações diferentes
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
<r2 >
t
D=1
Self-avoiding Walk - SAW
Passos de tamanho 1
Self-avoiding Walk - SAW
Random walk: cada passo é completamente independente de todos os anteriores
Na natureza nem sempre é assim:
polímeros
SAW
Blocos de construção
Porém: não é permitido superpor
Iguais a RW
Self-avoiding Walk - SAW
Self-avoiding Walk - SAW
Interrompe o crescimento
SAW
RW
SAW
Cresce mais rápido
SAW
<r2> ~ t
RW <r2>~t, 1
1.4
livre <r2>~t2, =2
SAW em mais dimensões
<r2> ~ t
2D 1.4
3D =1.25
4D =1.15
D cresce 1 RW
Referência
Computational Physics
Nicholas J. Giordano