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MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES
01 QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES
16/06/2020
2
REGRA DE SARRUSPROPRIEDADES DE DETERMINANTES
REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES
3
QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES
4
Vamos calcular o determinante da matriz abaixo.
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
)
Exemplo
5
TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
6
Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
TEOREMA DE LAPLACE
7
CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. Dij
OndeAij: cofator de um elemento aiji: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.
TEOREMA DE LAPLACE
8
ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
)
9
ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) det (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
Precisamos encontrar os cofatores. Esses cofatores são Aij = (-1) i + j. Dij
Onde Dij é o determinantes da nova matriz eliminado a respectiva linha e coluna identificada no cofator.
10
Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
TEOREMA DE LAPLACE
11
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o
= Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L
12
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o
det .
13
Exemplo𝐿11=|−1 2 1
−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o
det .
𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| 𝐿11=|−1 2 1
−4 5 10 −2 −1|
−1 2−4 50 −2
det (𝐿11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)
−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]
14
Exemplodet (𝐿11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]
15
Exemplo
16
LOST
17
18
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1|
Vamos calcular o det .
=
=
19
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L
20
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L
𝐿21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o
det .
21
EI!SE PERDE NÃO.
ATENÇÃO!
22
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L
Vamos calcular o det.
23
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L
𝐿21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o
det.
24
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
25
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o
det.
26
Exemplo𝐿31=| 3 1 7
−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o
det .
𝐿31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|
3 1−1 20 −2
−[7.2 .0+3.1. (−2)+1.(−1) .(−1)]
27
Exemplodet (𝐿31)=3.2 .(−1)+1.1 .0+7. (−1) . (−2)−[7.2 .0+3.1 .(−2)+1.(−1) .(−1)]
28
29
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
30
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
)Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|
Vamos calcular o det.𝐿𝐿𝐿(𝐿31)=13
= =
=
31
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2) .3+0.𝐿21+3.13+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L
0
32
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2) .3+0.𝐿21+3.13+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L
𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o
det .
0
33
Exemplo𝐿41=| 3 1 7
−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o
det .
𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1|
3 1−1 2−4 5
det (𝐿41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5
−[7.2 .(−4 )+3.1.5+1.(−1) .1]
34
Exemplodet (𝐿41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5−[7.2 .(−4)+3.1 .5+1.(−1) .1]
35
ACABOU!!!
36
37
ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2) .3+0.𝐿21+3.13+1.𝐿41
𝐿=(−2 3 10 −1 231
−40
5−2
711−1
) Vamos calcular o cofator
= Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L
𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 2 1|
Vamos calcular o det .
0
det (𝐿41)=9 =
=
38
det (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3.13+1.(−9)
39
det (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3.13+1.(−9)
40
QUESTÃO 01Qual o valor do determinante?
41
SOLUÇÃO
42
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
43
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
44
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
45
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
0
46
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
0
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
47
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
0
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 )
48
SOLUÇÃO𝐿31=(1 1 −1
1 0 02 0 1 )
𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 )1 1
1 02 0
det (𝐿31)=1.0 .1+1.0 .2+(−1) .1.0−[(−1) .0 .2+1.0 .0+1.1 .1]
49
SOLUÇÃOdet (𝐿31)=1.0 .1+1.0 .2+(−1) .1.0 −[(−1) .0 .2+1.0 .0+1.1 .1]
50
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
0
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L
𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 ) =
= = =
51
SOLUÇÃO
det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34
52
53
EI!SE PERDE NÃO.
ATENÇÃO!
54
QUESTÃO 02O cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
55
O cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
SOLUÇÃO
Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e segunda coluna da matriz
56
O cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
SOLUÇÃO
Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e segunda coluna da matriz
57
O cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
SOLUÇÃO
Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e segunda coluna da matriz
𝐿22=(1 31 0)
58
SOLUÇÃO𝐿22=(1 3
1 0) det (𝐿22)=1.0−(1.3)
59
SOLUÇÃO𝐿22=(1 3
1 0)
60
O cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
SOLUÇÃO
Vamos calcular o cofator
= Elimine a segunda linha e segunda coluna da matriz
det (𝐿22)=−3 = =
61
QUESTÃO 03Determine cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
62
SOLUÇÃO
63
QUESTÃO 04Determine cofator do elemento da matriz
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
64
SOLUÇÃO
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e segunda coluna da matriz
det (𝐿22)=−3
Determine cofator do elemento da matriz
65
SOLUÇÃO
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e segunda coluna da matriz
det (𝐿32)=(1 33 2)
Determine cofator do elemento da matriz
66
SOLUÇÃOdet (𝐿32)=(1 3
3 2)
67
SOLUÇÃO
𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)
Vamos calcular o cofator
= Elimine a terceira linha e segunda coluna da matriz
det (𝐿32)=(1 33 2)
Determine cofator do elemento da matriz
= = =
68
QUESTÃO 05Calcule o determinante da matriz B
69
70
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