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Óptica 2/2007Propagação da luz por diversos

meios

Fowles Cap. 6, Saleh & Teich Cap. 5 e 6

Sumário

• Equações de Maxwell

• Tipos de meios

• Equação de onda

• Absorpção e dispersão

• Propagação por meios anisotrópicos

• Birefringência

Equações de Maxwell

• No vácuo: !"E = #µ0!H!t

!"H = !0!E!t

! · E = 0! · H = 0

• Equação de onda:

!2E = 1c2

!2E!t2

Propriedades eletromagnéticas da matéria

• Densidade de volume de carga elétrica ρ

• Densidade de dipólos elétricos: Polarização P (do meio)

• Densidade de corrente J

• Densidade de dipólos magnéticos M

Propriedades “macroscópicas” - médias tomadas sobre volume de muitos átomos

Equações de Maxwell num meio

!"E = #!B!t

!"H = !D!t + J

! · D = !

! · B = 0onde

D = !0E + P

B = µ0(H + M)

Deslocamento elétrico

Indução magnética

Considerações:

• Materiais não-magnéticos: M=0

• Materiais eletricamente neutros: ρ=0

• Materiais não-condutores: J=0

Equações de Maxwell

!"E = #µ0!H!t

! · H = 0

!"H = !0!E!t + !P

!t

! · E = " 1!0! · P

Tipos de meios dielétricos

• Linear: P(r,t)∝E(r,t)

• Não-dispersivo: Resposta instantânea P(r,t)=f[E(r,t)] (não depende de ω do campo)

• homogêneo: a relação entre P e E não depende de r

• isotrópico: a relação entre P e E não depende da direção de E

Tipos de meios dielétricos

• Linear: P(r,t)∝E(r,t)

• Não-dispersivo: Resposta instantânea P(r,t)=f[E(r,t)] (não depende de ω do campo)

• homogêneo: a relação entre P e E não depende de r

• isotrópico: a relação entre P e E não depende da direção de E

✔

Tipos de meios dielétricos

• Linear: P(r,t)∝E(r,t)

• Não-dispersivo: Resposta instantânea P(r,t)=f[E(r,t)] (não depende de ω do campo)

• homogêneo: a relação entre P e E não depende de r

• isotrópico: a relação entre P e E não depende da direção de E

✔

✔

Tipos de meios dielétricos

• Linear: P(r,t)∝E(r,t)

• Não-dispersivo: Resposta instantânea P(r,t)=f[E(r,t)] (não depende de ω do campo)

• homogêneo: a relação entre P e E não depende de r

• isotrópico: a relação entre P e E não depende da direção de E

✔

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Tipos de meios dielétricos

• Linear: P(r,t)∝E(r,t)

• Não-dispersivo: Resposta instantânea P(r,t)=f[E(r,t)] (não depende de ω do campo)

• homogêneo: a relação entre P e E não depende de r

• isotrópico: a relação entre P e E não depende da direção de E

✔

✔

➜

➜

Meio linear, não-dispersivo, homogêneo e isotrópico

P = !0"E

D = !0E + P

D = !0(1 + ")E ! !E

é a susceptibilidade elétrica !

Meio linear, não-dispersivo, homogêneo, isotrópico e não-

magnético

!"E = #µ0!H!t

! · E = 0! · H = 0

!"H = !!E!t

Análogo ao vácuo com !0 =! !

Dispersão

• Meio dispersivo: polarização do meio P depende da freqüência ω do campo

índice de refração depende de ω

Dispersão: alargamento de um pulso

meio dispersivo

pulso = luz policromática

Modelo

meio

ee

eeE

P

KK K

K

Campo Estático

• Se o campo é estático (monocromático)

• Polarização (soma dos dipolos) P=-Ner

E = 0

E

r

e

e

-eE=Kr

-e

-ep=-er

Campo Estático II

• Logo,

P = Ne2

K E

E = 0

E

r

e

e

Campo policromático

• Equação de movimento do tipo (oscilador harmônico amortecido):

• Usando r=-P/(Ne), temos

mNe

d2P(t)dt2 ! m!

NedP(t)

dt ! KNeP(t) = !eE(t)

md2r(t)dt2 + m! dr(t)

dt + Kr(t) = !eE(t)

Campo policromático

• Se E(t) = Eei!t P(t) = Pei!t, usamos

• Temos

P é uma função de ω e se reduz ao valor estático quando ω=0

!0 =!

K/m

Esperamos observar um fenômeno de ressonância

P = Ne2/m!2

0!!2!i!"E

Equação de onda

!"!"E = !0!2E!t2 + !2P

!t2

Usando as equações de Maxwell:

!0! · E = "! · P =# ! · E = 0

!2E = 1c2

!1 + Ne2

m!01

"20!"2!i"#

"$2E$t2

Solução: E = E0ei(!z!"t)

!2 = !2

c2

!1 + Ne2

m"01

!20!!2!i!#

"com

Note que κ é complexo: ! = k + i"

! = n + i"Índice de refração η também é complexo:

! = "#/c =! "2 = 1 + Ne2

m!01

"20!"2!i"#

O Campo

E = E0e!!zei(kz!"t)

{decrescente

2α = coeficiente de absorção

β = índice de extinção

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

dispersão normal

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

dispersão normal

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

dispersão normal

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

dispersão normal dispersão anómala

β

n

ω

ω

Depêndência do índice η em ω

absorção

dispersão normal dispersão anómala

DispersãoDispersão normal:

Dispersão anómala:

meio

meio

violeta

vermelho

vermelho

violeta

• Átomos com diferentes freqüências de ressonância

!2 = 1 + Ne2

m!0

!j

pj

"20!"2!i"#

pj =fração de cada ω

n

β

Equações de Sellmeier

Longe da ressonância, η≈n=real

n2(!) = 1 +!j

Bj!2

!2!Cj

Propagação por meios anisotrópicos

P depende da direção de E

Modelo: meios anisotrópicos

-e

K1

K2K3

Susceptibilidade Elétrica

P = !0"E

! =

!

"!11 !12 !13

!21 !22 !23

!31 !32 !33

#

$

um tensor

Para materiais não-absorvedores, existem eixos principais, tais que

! =

!

"!11 0 00 !22 00 0 !33

#

$

velocidades de fase dependem da direção de oscilação do campo elétrico (polarização):

vj = !kj

= cnj

nj =!

1 + !jj

Definimos índices principais de refração:

j=1,2,3

k! k!E + !2

c2 E = "!2

c2 !E

Soluções são ondas planas monocromáticas

E = E0ei(k·r!!t)

dado que

A equação de onda fica

!"!"E + 1c2

!2E!t2 = # 1

c2 !!2E!t2

Sistema de 3 equações

Solução não-trivial se

figura 6.8 fowles

Superfíce dos vetores de onda

Projeções no plano

kk

Projeção em qualquer plano: um elípse e um círculo

Dois possíveis valores de k

kk

eixo óptico eixo óptico

Cristais uniaxiaisCristais uniaxiais = dois índices iguais

nx = ny = no nz = ne

vamos supôr que

Assim temos

{ {Eq. de uma esfera Eq. de um elipsóide

k2x + k2

y + k2z = !2n2

oc2 ! |k|2

Capıtulo 2. Estados de Bell 16

Figura 2.3: Os ındices de refracao do cristal podem ser representados geometri-camente. O ındice de refracao ordinario no e constante em relacao a direcao depropagacao da luz, entao representa-se como a superfıcie de uma esfera. O ındicede refracao extraordinario ne depende da direcao de propagacao, e e representadopela superfıcie de um elipsoide.

Eq. de esfera:

Eq. de elipsóide:

eixo óptico

k2x + k2

y + n2e

n2ok2

z = n2e!2

c2

ne(!)

ne(0!) ! no

ne(90!) ! ne

ne

índice “ordinário”

índice “extraordinário”no

“ordinário” = polarização da luz é perpendicular ao eixo óptico

“extraordinário” = polarização da luz fica no plano do eixo óptico

eixo óptico

θ

eixo óptico (plano xz)

Propagação por um cristal

z

e

o

cristal uniaxial

negativopositivo

Cristais uniaxiais

no > nene > no

ex: BBO, Iodato de Lítio

Alguns Cristais

Birefringência

!1

!2

!

cristal

Num cristal anisotrópico, uma onda EM se divide em dois componentes

Birefringência

A birefringência de um cristal é definida como

!n = ne ! no

Birefringência ou “dupla refração”

Vetor de Poynting e velocidade de raio

H

S=ExH

k

ED frente de onda

v

u

Sfrentes de onda

“Walk-off”

“walk-off” longitudinal

“walk-off” transversal

cristal

Aplicações

• Óptica Não-linear (casamento de fases)

• Dispositivos de polarização: placas de onda, divisores de feixes polarizados, etc.

Fim

Obrigado!