progressÕes geomÉtricas. progressão geométrica razão r uma progressão geométrica é uma...

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se

Aplicação:

1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão geométrica?

2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?

Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.

11 ,n

n nn

aa a r r n IN

a

11

nna a r

Termo geral de uma progressão geométrica

A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3

a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4

Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1

A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.

A expressão do termo geral é: Pode-se também facilmente provar que: . Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro).

n kn ka a r

P R O G R E S S Õ E SG E O M É T R I C A S

Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que:

1) u1 = 10 e un+1 = 4un

2) u1 = 36 e u3 = 4

3)

1 2 4 8 16 ...

n

vn

O

16

-2

4

-8

-32

4)

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Se a razão de uma progressão

geométrica é maior que 1 e

u1 > 0, a progressão é:

estritamente crescente e…

não limitada.

E se u1 < 0?

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Comportamento de uma progressão geométrica

n

an

n

bn

O

O

Se a razão de uma progressão geométrica

está compreendida entre 0 e 1 e

u1 > 0, a progressão é:

estritamente decrescente e…

limitada.

E se u1 < 0?

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

n

cn

O

n

dn

O

Se a razão de uma progressão geométrica é igual

a 1, a progressão é:

constante

limitada

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Se a razão de uma progressão geométrica é igual

a -1, a progressão é:

não monótona

limitada

n

fn

O

n

gn

O

Se a razão de uma progressão

geométrica é maior que -1 e menor

que 0, a progressão é:

não monótona e…

limitada.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Se a razão de uma progressão

geométrica é menor que -1, a

progressão é:

não monótona e…

não limitada.

n

hn

O

n

ln

O

0 1

u1 > 0 - Crescente Não limitada

progressão constante

N ã o m o n ó t o n a

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

• Progressão geométrica (un)

• Razão: r• 1º termo: u1

u1 < 0 - Decrescente Não limitada

u1 > 0 - Decrescente

Limitada

-1

Limitada

Não limitada

razão - r- +

Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica

u1 < 0 - Crescente Limitada

Aplicações:

1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a

condição:

a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;

b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;

c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que

1;

d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente

decrescente.

2. Considera a sucessão (vn) de termo geral:

vn = 5 x 21-n

e) Mostra que é uma progressão geométrica.

f) (vn ) é monótona? Justifica.

g) (vn ) é limitada? Justifica.

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A  LENDA  DO   JOGO  DE  XADREZ

Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse.   O  inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.

Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!

Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...

Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?

Soma de n termos consecutivos de uma

progressão geométrica

PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS

2 3 62 63

64

2 3 62

S 1 2 2 2 ... 2 2

1 2 1 2 2 2 ... 2

2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2

Resolução:

Ora,

Donde:

64

64

63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1

2

2

1

S 2

S

1 2 4 8 16 32 64 128

18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!

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Aplicação:

Se uma progressão geométrica tem o termo geral ,

calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .

112

n

nu

1

11

1

n

n

rS u r

r

A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por

Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

com

Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V

a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.

Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.

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(*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.

In Epsilones

Soma de todos os termos de uma progressão geométrica

Paradoxo de Aquiles e da tartaruga

Aquiles corre para apanhar uma tartaruga

mas nunca chegará a alcançá-la porque,

quando atingir o lugar onde estava a

tartaruga, já ela lá não estará porque

entretanto se deslocou; e esta situação

repete-se indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Consideremos o exemplo:

Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.

- Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles e a da tartaruga).

- O 1º termo de cada uma das progressões é: … e …

- A razão de cada uma das progressões é: … e ….

- Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga?

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lim nS S

Teremos que ter em atenção que:

A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o

primeiro termo é u1 e a razão é r, é:

Se , (Sn) é convergente e diz-se que é a soma de todos os termos.

1

1lim

1

nrS u

r

1r 1

1u

Sr

1 11 1 lim

1 1 1 010 1010 1 ... lim 100 100 1001 9 910 10

10 1

10

100009

10 10

0

n n

A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é,

então:

*

* A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte.

n n1 11 1 lim

1 1 1 010 1010 1 ... lim 11

0 10 101 9 910 100 1

10 10 10

009

Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros):

10009

Como é igual conclui-se que Aquiles

alcança a tartaruga depois de ter percorrido

1001009

10011,(1)

9100 1 11 , )0 (10 1

Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos permitiu

esclarecer (23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja

solução exige o cálculo da soma de todos os termos de uma

progressão geométrica.

O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,

infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que

conduz ao paradoxo.

In Epsilones (Ver anexo)

1.A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma

sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a

seguir representados.

A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os

termos da sucessão (an)

a) Mostra que

b)Verifica que (an) é uma progressão geométrica e indique a sua

razão.

c) Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º

elementos da

sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

4

1,

2n na n IN

Aplicações

PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS

2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil

habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.

Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:

a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada,

em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n

b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são

necessários para que a população desta cidade duplique. Num

breve texto explique como procedeu.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

3.As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo

de 1980 eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A

extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.

a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de

1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas?

b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em

2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980.

b1)Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de

petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.

b2)Com esta redução é possível consumir indefinidamente?

Justifica.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Curva de Von Koch (ou curva floco de neve)

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Proposta de trabalho:Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação:“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”

AnexoTraduzido de “Paradoja de la dicotomía”

de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez

Santos, uma página que

recomendo vivamente, em

http://www.epsilones.com/

Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo.

Vamos primeiro ver o que faz com o espaçoSuposição: o espaço é infinitamente divisível

Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito.

Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão.

Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.

De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:

A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte:

Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.

Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ... Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:

12 1

11

2

S

1

2...12 4 8 2 12

nn

LL L L L

L

A B

1/2 1/4 1/8

1/16

1/32

E o tempo?

Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se:

que é uma quantidade tempo finita.

ConclusãoA não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.

1

2...12 4 8 2 12

nn

LL L L L Lvv v v v v

O mundo físico

Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o

que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a

microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode

ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário

um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para

que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a

energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois

alcançado este limite, a concentração de energia produziria um

buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo

possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de

Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância.

Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo

mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode

ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.

Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física

e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o

paradoxo de Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que,

como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um

espaço infinitamente divisível.

Uma variante

Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve

chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2

deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o

processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha

imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso

deveria ter passado por um número infinito de outros pontos.

In Epsilones

Maria José Vaz da Costa

Bibliografia: Novo Espaço

Matemática A -11º ano

Autores: Belmiro Costa

Ermelinda Rodrigues

Infinito 11

Matemática A -11º ano

Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves

Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo

Manuela Simões

Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/

Auguries of InnocenceTo see a world in a grain of sand,And a heaven in a wild flower,Hold infinity in the palm of your hand,And eternity in an hour.[...]William Blake, Auguries of Innocence.