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Tabela E1 (NBR 8800, ABNT 2008)

FESP – Faculdade de Engenharia São Paulo

Avaliação: A2

Data: 15/set/ 2014

CE2 – Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo

Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Duração: 85 minutos

Nome: ____________________________________________________ Matrícula a b c ORIENTAÇÕES PARA PROVA

Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10;

a = b = c =

________________________________________________________________________________________

1a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Dimensione as condições de contorno mais econômicas que atendem aos critérios de resistência e estabilidade da haste de aço A-36 de 1,0 metro de comprimento. Sabe-se que não há custo por extremidade livre e que uma extremidade apoiada custa metade de uma extremidade engastada. Não devem ser dimensionados travamentos. Dados: Módulo de elasticidade: 𝐸 = 200 000 𝑀𝑃𝑎 (NBR 8800, 2008. Item 4.5.2.9.a) Resistência ao escoamento do aço: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 (NBR 8800, 2008. Tabela A.2)

CONDIÇÕES DE CONTORNO E FORMULÁRIO

𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑑2

4

𝐼 = 𝜋 ∗ 𝑑4

64

𝑟 = √𝐼

𝐴

𝜆 = 𝐾 ∗𝐿

𝑟

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜆2

2

SOLUÇÃO As condições de contorno são determinadas pelo coeficiente de flambagem, portanto o valor de K será o parâmetro para o dimensionamento mais econômico. Raio de giração:

𝑟 = √𝐼

𝐴= √

𝜋 ∗ 𝑑4

64𝜋 ∗ 𝑑2

4

=𝑑

4

Tensão crítica de flambagem:

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜆2 𝑒 𝜆 = 𝐾 ∗

𝐿

𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜎𝑐𝑟 =

𝜋2 ∗ 𝐸

(𝐾 ∗𝐿𝑟)2

Isolando o valor de K:

𝐾2 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜎𝑐𝑟 ∗ (𝐿𝑟)2

𝐾 = √𝜋2 ∗ 𝐸

𝜎𝑐𝑟 ∗ (4 ∗ 𝐿𝑑

)2

A tensão de trabalho deve ser o valor de tensão limite antes que ocorra a flambagem, portanto:

𝐾 =√

𝜋2 ∗ 𝐸

𝑃

(𝜋 ∗ 𝑑2

4)∗ (

4 ∗ 𝐿𝑑

)2

𝐾𝑚á𝑥 =𝜋 ∗ 𝑑2

8 ∗ 𝐿∗ √

𝐸 ∗ 𝜋

𝑃

O valor do coeficiente de flambagem encontrado é o valor máximo para dimensionar as condições de contorno devido à translação horizontal e rotação. A flambagem é influenciada apenas pelas restrições devido à translação horizontal (ortogonal ao eixo longitudinal da haste) e a rotação, portanto não devem ser impostas restrições devido à translação vertical. A partir do 𝐾𝑚á𝑥, as condições de contorno a serem adotadas são:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 1,0 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 1,0 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠)

𝑃𝑎𝑟𝑎 1,0 > 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 0,7 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 0,7 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜)

𝑃𝑎𝑟𝑎 0,7 > 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 0,5 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 0,5 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠)

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑚á𝑥 < 0,5 𝐻𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

Deve ser verificada se a tensão de escoamento é superior a tensão crítica de flambagem. A menor área possível, de acordo com o número de matrícula, ocorre quando temos c = 1 com área igual a 2,011 ∗ 10−4 𝑚². A maior carga de trabalho ocorre quando temos b = 0, pois assim b = 10 e carga de trabalho será igual a 30 𝑘𝑁. Neste caso, a tensão de trabalho, a qual foi utilizada para tensão crítica de flambagem, será igual a 149,21 𝑀𝑃𝑎. Portanto, a tensão crítica de flambagem será sempre inferior a tensão de escoamento.

3

2a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Desenhe a Linha de Influência de Momentos na Seção S da viga abaixo. Não é necessário demonstrar os cálculos intermediários, apenas preencha a Tabela e desenhe a 𝐿𝐼𝑀𝑆.

Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante.

Posição da Carga Móvel P = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O A

B

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

VÃ

O B

C

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

(Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga).

FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula)

𝑀𝐴 =𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

1 − (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) 𝑀𝐵 =

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − )

Termos de Carga

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎)

4

SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐶, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 O apoio A não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐴, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0 Os demais coeficientes devem ser calculados a partir da fórmula de Coeficiente de Propagação presente no formulário. Como exemplo adotaremos a matrícula 19758 a = b = c = Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga:

𝐿𝐴𝐵 = 4 ∗ 𝐛 = 4 ∗ 5 = 20,0 𝑚

𝐿𝐵𝐶 = 4 ∗ 𝐜 = 4 ∗ 8 = 32,0 𝑚 Os coeficientes de propagação são:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

=20

2 ∗ (20 + 32) − 0 ∗ 32= 0,192

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

=32

2 ∗ (32 + 20) − 0 ∗ 20= 0,308

Portanto temos:

0 7 0 5 0 8

5

Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (𝐿𝐼𝑀𝑠).

Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5,0 m (𝐿𝐴𝐵

4= 5,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐴𝐵: 0, 5, 10, 15 𝑒 20.

Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8,0 m (𝐿𝐵𝐶

4= 8,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐵𝐶: 20, 28, 36, 44 𝑒 52.

Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

[m] V

ÃO

1

0

5

10

15

20

VÃ

O 2

20

28

36

44

52 Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão

[m] [m] [m] [m]

VÃ

O 1

0 0 20 20

5 5 15 20

10 10 10 20

15 15 5 20

20 20 0 20

VÃ

O 2

20 0 32 32

28 8 24 32

36 16 16 32

44 24 8 32

52 32 0 32

6

Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição 0 (sobre o apoio A) e na posição 20 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 6,563 − 4,688) = −0,900 𝑘𝑁𝑚

Posição 10:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 7,500) = −1,440 𝑘𝑁𝑚

Posição 15:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 4,688 − 6,563) = −1,260 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

7

Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 20 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 10,500) = −3,234 𝑘𝑁𝑚

Posição 36:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 12,000 − 12,000) = −3,696 𝑘𝑁𝑚

Posição 44:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 10,500 − 7,500) = −2,310 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0

52 32 0 32 0 0 0 0 0

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Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta.

Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre:

𝑀(𝑥) = 𝑀𝐵 + (𝑀𝐶 − 𝑀𝐵

𝐿𝐵𝐶

) ∗ 𝑥

Sendo x a seção de interesse, temos x = 8,0 m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos 𝑀𝐵𝐵𝐶 e 𝑀𝑠𝑆𝐶, temos:

𝑀𝑆 =3

4∗ 𝑀𝐵

Desta forma, podemos preencher os valores na do 𝑀𝑠 Tabela quando o vão AB está carregado. Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC:

Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos:

+(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0

Portanto:

𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 =+𝑀𝐵 + 𝑃 ∗ 𝑏

𝐿𝐵𝐶

=𝑀𝐵 + 𝑏

32

Então o Momento em S é:

𝑀𝑆 = 𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵

9

Para posição 28 (b = 24 e 𝑀𝐵 = | − 3,234| )*

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,234 + 24

32) ∗ 8,0 − 3,234 = 3,575 𝑘𝑁𝑚

*Obs.: Os valores de 𝑀𝐵 e 𝑃 devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0)

Para posição 36 (b = 16 e 𝑀𝐵 = | − 3,696| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,696 + 16

32) ∗ 8,0 − 3,696 = 1,228 𝑘𝑁𝑚

Para posição 44 (b = 8 e 𝑀𝐵 = | − 2,310| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

2,310 + 8

32) ∗ 8,0 − 2,310 = 0,268 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0 -0,675

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0 -1,080

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0 -0,945

20 20 0 20 0 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0 3,575

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0 1,228

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0 0,268

52 32 0 32 0 0 0 0 0 0

Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S:

10

3a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores da viga de inércia constante abaixo. Unidades SI.

TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA

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SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada:

Equilíbrio à rotação em B:

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

𝐿𝐵𝐶

3+ (

𝑀𝐶

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

2 ∗ 𝐿𝐵𝐶

3= 0

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2

Portanto o valor do momento em C será sempre metade do valor do momento em B. Para o equilíbrio em A, como exemplo, adotaremos a matrícula 19758 a = b = c = Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga:

𝐿𝐴𝐵 = 5 + 𝐛 = 5 + 5 = 10,0 𝑚

𝐿𝐵𝐶 = 2 + 𝐛 = 2 + 5 = 7,0 𝑚

𝑃 = 5 ∗ 𝐜 = 5 ∗ 8 = 40,0 𝑘𝑁

0 7 0 5 0 8

12

Carregamento da viga conjugada:

Equilíbrio em A

+(64

𝐸𝐼∗2,0

2) ∗ (2,0 ∗

2

3) + (

64

𝐸𝐼∗8,0

2) ∗ (2,0 +

8,0

3) + (

𝑀𝐵

2 ∗ 𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10 + 7,0 ∗

2

3)

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗10,0

2) ∗ (10,0 ∗

2

3) − (

𝑀𝐵

𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10,0 +

7,0

3) = 0

+85,33 + 1194,67 + 25,67 ∗ 𝑀𝐵 − 33,33 ∗ 𝑀𝐵 − 43,17 ∗ 𝑀𝐵 = 0

1280,00 − 50,83 ∗ 𝑀𝐵 = 0

𝑀𝐵 = 25,18 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2=

25,18

2= 12,59 𝑘𝑁𝑚

Momento no ponto de aplicação da carga:

𝑀 = 64 −25,18

5= 58,96 𝑘𝑁𝑚