principio de energia potencial minima 1.2
Post on 18-Feb-2018
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 1/31
TEMARIO1. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA
1.1 Funcional de Energía Potencial1.2 Graca de la !unci"n de Energía Potencial
1.# Princi$io de e%uili&rio de tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno
2. E*EMPLO ELEMENTAL DE ANALI+I+ E+TR,CT,RAL
2.1 -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida
#. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA 0APLICACIN
#.1 Integraci"n directa
#.2 M3todo a$ro(i/ado 4/3todo Ra)leig56Rit78#.2.1 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4918#.2.2 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4928
:. INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO
;. EC,ACIONE+ <ERMITIANA+
PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 2/31
P
Donde se considera lo siguiente:E = es el módulo de elasticidad del materialL = es la longitud inicial de la barraA = es el área inicial de la sección transversalP = Carga axial actuante
La Rigidez del sistema se maneja con la siguiente exresión:
Deslazamiento corresondiente a la condición dee!uilibrio estático:
dest =P L P
" LAE
Comonente aralela a eje x del camovectorial de deslazamientos
Por ser estado uniaxial de es#uerzos
Donde $ = deslazamiento total del extremo libre de
la barra%
u ( x)=∆ x
L
ε x ( ∆ )= d
dx u( x )
" L
" L =EAL
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 3/31
F,NCIONAL DE ENERGIA POTENCIAL=
∂ u
∂ x=∈ x=
σx
E
U (∆ )=1
2
( E ε x (∆ ))²
E ( AL)
W (∆ )= P ∆
∏ (∆)=W (∆ )−U (∆)
d
d ∆ Π (∆ ) → P−
A E ∆
L
d
d ∆ Π (∆ )=0 solve,∆→
L P
A E
∆equilibrio= L P
A E
da=dy dz
dV =dxda=dx dy dz
δ =∂u
dx
dx
dU =(σxda ) δ
2=
σx
2(dy dz)
∂u
dx dx
dU =σx
2
∂ u
dx (dx dy dz)
Por lo tanto
dU =σx2
∂ u∂ x
dV
&inalmente
U =∂ x
2
2 E V
'#uncional de energ(a otencial
'variación con resecto a $
∂ u
∂ x
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 4/31
'valor de $ !ue )ace !ue laenerg(a otencial del sistema seam(nima%
'este es el deslazamiento máximo!ue ocurre en el extremo libre de labarra en tensión%
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 5/31
GRAFICA DE LA F,NCION DE ENERGIA POTENCIALAsignando valores num*ricos a las variables !ue intervienen:
E=+ L=+ A=+ P=+
ε x ( ∆ )=∆
L
ε x ( ∆ )=1
2
( E ε x ( ∆ ) )2
E ( A L)
W (∆ )= P ∆
Π (∆ )=U ( ∆ )−W (∆)
$= ,+- ,.%//'%%0
1bservar !ue la energ(a otencial es m(nima cuando el 2 = +- or lo tanto este
es el valor !ue minimiza la energ(a otencial del sistema- 3 es la resuestabuscada%
∆ equilibrio= L P
A E=1
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 6/31
PRINCIPIO DE E>,ILI?RIO DE TRA?A*O E@TERNO
TRA?A*O INTERNO
1
2
( E ε x ( ∆equilibrio ))2
E( A L )=0.5
1
2 P ∆equilibrio=0.5
4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entretrabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es:
1
2
( E ε x ( ∆sol ))2
E( A L )=
1
2 P ∆ sol resolviendo,∆sol →(01)
La solución trivial se desec)a 52 =.6 3 la resuesta buscada es 2 = +
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 7/31
E*EMPLO ELEMENTAL DE ANALI+I+E+TR,CT,RAL
-iga i/$le/ente a$o)ada con cargauni!or/e/ente ditri&uida
La solución obtenida en los cursos de 7ecánica de 7ateriales ara el caso deuna viga simlemente ao3ada es observada desde una ersectiva di#erente%
1. Funci"n de /o/ento Be(ionante
( x )=! L
2 x−
! x2
2si"#li$i%ando →
! x ( L− x )2
( L2 )si"#li$i%ando → L
2!
8
2. F,NCION +OL,CION DE LA EC,ACION DIFERENCIAL ORDINARIA4Ordinar) Di!errential E%uation ODE8
& s ( x )= ! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− W L
3
24 E ' x
& s( L
2 )si"#li$i%ando → 5 L
4!
384 E '
#. -ERIFICACION DE LA -ALIDE DE LA +OL,CION DE LA ODEEcuación di#erencial ordinaria
d2
d x2 & s ( x )=
( x ) E '
Calculo de la #unción 8residuo9 generada:
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 8/31
r ( x )= d2
d x2 & s ( x )−
( x ) E '
si"#li$i%ando→0
'Por lo tanto- la ecuación se cumle en 1D1 el dominio%
PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA
0APLICACINConcetos alicados:
Energ(a interna de de#ormación elástica recuerable 5trabajo interno6
Energ(a externa de de#ormación 5trabajo externo6Estado de e!uilibrio estable cuando la energ(a otencial del sistema esm(nima
Cao de etudio= -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida
Datos:;=+ L=+ E=+ <=+
4e obtiene la #unción matemática !ue satis#ace la ecuación di#erencial dee!uilibrio de las barras rectas en exión de los textos de mecánica de
materiales%&unción solución de la ecuación di#erencial de e!uilibrio estático de la viga enexión:
yd ( x , ( )=( ( ! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− ! L
3
24 E ' x )
yd( L
2,1)=−0.013
'&lec)a al centro del claro
5 ! L
4
384 E ' =0.013
'&lec)a máxima 5#ormula conocida6
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 9/31
NOTA: Cuando C=1 se tiene la función solución que se reporta en las distintas referencias sobre eltema de la Mecánica de Sólidos.
Energía interna de de!or/aci"n 4energía eltica recu$era&le8=
U (( )=∫0
L E'
2 ( d2
d x2
yd( x ,( ))2
dx
Tra&a'o e(terno=
W e (( )=∫0
L
−! yd ( x , ( ) dx
ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+= Π (( )=U (( )−W e(( )
d
d( Π (( )→
(
120−
1
120
'variación con resecto a C
d
d( Π (( )=0 resolver ,( →1
'valor de C !ue )ace !ue la energ(aotencial del sistema sea m(nima%
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 10/31
Princi$io de e%uili&rio de Tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno.
∫0
L E '
2 ( d2
d x2 y d ( x ,1))
2
dx=4.167 x 10−3
Tra&a'o interno
1
2∫0
L
−! yd ( x ,1) dx=4.167 x 10−3
Tra&a'o e(terno
4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entretrabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es:
E '
2 ( d2
d x2 y d( x , ( ))
2
dx=¿ 1
2∫0
L
−! yd ( x ,( ) dxresolviendo,( equilibrio→( 01 )∫0
L
¿
Se deseca !" =#$ % la respuesta buscada es " = 1
MI+MO CA+O DE E+T,DIOPOR EL METODO DE INTEGRACION DIRECTA
La ecuación di#erencial se satis#ace con el siguiente olinomio algebraicode cuarto orden 3 alicando las t*cnicas estándar de integración deecuaciones di#erenciales%
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 11/31
ye( x )= ! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− ! L
3
24 E ' x
METODO+ APRO@IMADO+M3todo de Ra)leig56rit7El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continua-derivable 3 de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #ronteradel medio continuo%Enseguida se calcula la #unción de E>ER?@A P1E>C<AL del sistema% Esta#unción deenderá de los arámetros desconocidos de la #unción intentorouesta 5+6
+oluci"n $or el /3todo de RIT 4918
y )i*zl ( x , ( )=−( sin( x
L + )'#unción intento
4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6-a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%
U (( )=∫0
L1
2 E ' ( d
2
d x2 y )i*z1( x , ( ))
2
dx
W e (( )=∫0
L
(−! ) y )i*zl ( x ,( ) dx
ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+= Π (( )=U (( )−W e(( )
d
d( Π (( )→
+ 5
( −4
2+
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 12/31
'variación con resecto a C
( equilibrio= d
d( Π (( )=0 solve ,( →
4
+ 5
'valor de C !ue )ace !ue la
energ(a otencial del sistema seam(nima%
y )i*zl( L
2, ( equilibrio)
ye
=100.386
'>ota: la senoide subestima la ec)amáxima en un .%B resecto a lasolución exacta
ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CIONE+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 13/31
Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unciónde la magnitud del momento exionante actuante en la seccióntransversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación dela energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momentoexionante%
)i*zl( x )= d2
d x2
y )i*zl ( x , ( ) ) si"#li$i%ando→+ 2( ) sin(+ x )
)i*zl ( x , ( )= E ' (+ 2( sin (+ x ) )
&unción momento a artir de la
#unción solución intento%
e ( x )= E ' ( ! L
2 x−
!
2 x
2) &unción momento a artir de la
#unción exacta%
-ERIFICACIN DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA.
d4
d x4 (−(
0sin( x
L0
+ ))→−
+ 4
( 0 sin( + x
L0 )
L0
4
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 14/31
q ( x ,( )= E ' (−( +
4
L4sin( x
L + )) &unción a artir de la #unción
solución intento%
qe( x )= E '
d4
dx4 y e
( x ) &unción a artir de la #unción
solución exacta%
+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4928
y ) 2( x , ( )=−( L− x )( x
&unción intento
4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6-a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%
U (( )=∫0
L
12
E '
( d
2
dx2 y )2( x , ( ))
2
dx W e (( )=∫0
L
(−! ) y ) 2 ( x , ( ) dx
ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+= Π (( )=U (( )−W e(( )
d
d( Π (( )→4( −
1
6
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 15/31
'variación con resecto a C
( equilibrio= d
d( Π (( )=0 resolviendo,(→
1
24
'valor de C !ue )ace !ue la
energ(a otencial del sistema seam(nima%
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 16/31
y )2( L
2, ( equilibrio)
ye ( L2 ) =80
'>ota: la senoide subestima la ec)amáxima en un F. resecto a lasolución exacta
ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CIONE+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.
Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unciónde la magnitud del momento exionante actuante en la seccióntransversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación dela energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momentoexionante%
( x )= d
2
d x2 y )2
( x ,( ) si"#li$i%ando →2(
( x ,( )= E ' (2( ) &unción momento a artir de la
solución intento
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 17/31
-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA
- 4 ( x )= d4
dx4
y )2 ( x , ( ) si"#li$i%ando→ 0
q ( x ,( )= E ' - 4 ( x ) &unción ! a artir de la #unción
solución intento%
q e( x )= E '
d4
dx4 y e ( x)
&unción ! a artir de la #unciónsolución exacta
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 18/31
INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTOFINITO
Cao de etudio= iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida ) carga concentrada a$licada al centro del claro.
Datos:;=+ L=+ E=+ <=+ P=.%B
Alicando la t*cnica de solución or el m*todo de integración directa
y #=− P x #
12 E ' (3 L2
4− x #
2) y!=
! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− ! L
3
24 E ' x
yd ( x )= y!+ y #
Con la siguiente consideración:
x #= L− x si x> L
2deo*ra "anera→ x #= x
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 19/31
T3cnica de oluci"n $or el /3todo a$ro(i/ado de Rit7
&unción <ntento
y ( x , ( )=−( sin( x L
+ ) rabajo interno
U (( )=∫0
L1
2 E ' ((
+ 2
L2 sin( x
L + ))
2
dx
rabajo Externo
W e (( )=∫0
L−!
2 (−( sin( x
L + ))dx− P y ( L
2, ( )
Consideraciones:
C=.- .%..+'.%.G Es = .%.+ Ei = .
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 20/31
Π (( )=U (( )−W e (( ) . Ener/ia Po*en%ial
Halor de 8C9 !ue )ace !ue el trabajo interno
sea igual al trabajo externoI C = .%.F/B/
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 21/31
&LECJA 8EKACA9 CALCLADA AL CE>R1 DEL CLAR1
5
384
! L4
E ' +
P L4
48 E ' =0.021354 yd( L
2 )=−0.021354
y ( L
2,( )
yd ( L2 ) =138.122
>1A: la senoide sobrestima la ec)a máxima resecto a la soluciónexacta
ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CION
E+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.
( x ,( )= E ' ( d2
dx2 y ( x , ( )) M&unción intento a artir de la #unción
solución intento
d ( x )= E ' ( d2
dx2 yd ( x)) M&unción momento a artir de la #unción
solución exacta
!=! L
2 x−!
x2
2 #=
P
2 x #
Consideraciones:
x #= L− x . si x> L
2de o*ra "anera x #= x
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 22/31
es*a*i%a( x )= !+ #
-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA
q ( x ,( )= E ' (−( +
4
L4 sin( x
L + ))
M #unción a artir de la #unción solución intento
qd ( x )= E '
d4
dx4 y d ( x)
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 23/31
M#unción a artir de la #unción solución exacta
EC,ACIONE+ <ERMITIANA+
Cao de etudio= -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/enteditri&uida.
La ecuación di#erencial de e!uilibrio alicable a este medio continuo- uede serresuelta mediante EC><CA4 D<&ERE>E4%
T3cnica de oluci"n $or el /3todo de integraci"n directa.
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 24/31
En casos anteriores- la ecuación di#erencial se satis#ace con el siguienteolinomio algebraico de cuarto orden:
ye( x )= ! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− ! L
3
24 E ' x
e ( x )=
d2
dx2 ( y e
( x ) ) si"#li$i%ando →! x ( L− x )
2 E ' 0 %urva*ura %orres#ondien*e
Esta #unción se obtiene de t*cnicas comunes de integración de ecuacionesdi#erenciales%
y $ix ( x )=−! x
2
24 E '
( L− x2) 0 linea elas*i%a de vi/a doble"en*e e"#o*rada
$ix ( x )= d
2
dx2 ( y $ix ( x ) ) si"#li$i%ando →−
! ( L2−6 L x+6 x2 )
12 E '
0 %urva*ura %orres#ondien*e
+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4RALEIG<6RIT8
El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continua- derivable 3
de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #rontera del mediocontinuo%Enseguida se calcula la #unción de E>ER?<A P1E>C<AL del sistema% Esta#unción deenderá de los arámetros desconocidos de la #unción intentorouesta%
y )i*zl ( x , ya , 1a , yb ,1 b )=¿
ya(2 x3
L3 −
3 x2
L2 +1)+1a( x−2 x
2
L +
x3
L2 )+ yb(3 x
2
L2 −
2 x3
L3 )+1b(− x
2
L +
x3
L2 )
)i*zl( x )=
d2
dx2 y )i*zl ( x , y a, 1a , y b ,1 b )
)i*zl ( x ) → yb( 6 L2−12 x
L3 )−1a(4 L−6 x
L2 )− ya( 6 L2
−12 x
L3 )−1b( 2 L−6 x
L2 )
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 25/31
4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de las constantes6 3 sebusca el valor de las constantes !ue minimizan la #unción%
U ( x , y a , 1a , y b, 1b )=∫0
L1
2 E ' ( d
2
dx2 y )i*zl ( x , y a , 1a , y b ,1b ))
2
dx
W e ( y a ,1 a , y b , 1b )=∫0
L
(−! ) y )i*zl ( x , y a ,1a , yb , 1b ) dx
Energía $otencial del ite/a e=
Π ( y a ,1a, yb , 1b )=U ( y a ,1 a , y b , 1b )−W e ( y a, 1a , y b ,1b )
d
d1a
Π
( y
a, 1
a, y
b, 1
b )→
L2
!
12
+4 E ' 1a
L +
2 E ' 1b
L +
6 E ' ya
L2
−6 E ' yb
L2
d
d1b
Π ( ya , 1a , y b , 1b ) →2 E ' 1a
L −
L2
!
12+4 E ' 1b
L +
6 E ' ya
L2 −
6 E ' yb
L2
d
dya
Π ( ya ,1a, y b , 1b ) → L !
2+6 E ' 1a
L2 +
6 E ' 1b
L2 +
12 E ' y a
L3 −
12 E ' yb
L3
d
dyb
Π ( ya ,1a, yb , 1b ) → L !
2−
6 E ' 1a
L2 −
6 E ' 1b
L2 −
12 E ' ya
L3 +
12 E ' yb
L3
Escribiendo las ecuaciones algebraicas en lenguaje matricial 5igualando a8cero9 cada una de las cuatro ecuaciones6:
Reacomodando t*rminos:
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 26/31
ANLI+I+ COMPARATI-O DE LA DI+TRI?,CIN E+PACIAL DE LAENERGHA DE DEFORMACIN.
Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unción de la
magnitud del momento exionante actuante en la sección transversalanalizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación de la energ(a dede#ormación a trav*s de la variación del momento exionante%
)i*zl ( x , 1a , 1b )= E ' )i*zl ( x ) . $un%ion "o"en*oa #ar*ir de la $un%ionin*en*o
e ( x )= E ' ( ! L
2 x−
!
2 x
2). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ionexa%*a
-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA
d4
dx4 ( y )i*zl ( x , 1a , 1b ))→00 %ero%ar/a*ransversal
q ( x ,1a ,1 b )= E ' (0 ). $un%ion 2 a #ar*ir de la$un%ion solu%ionin*en*o
qe( x )= E '
d4
dx4 y e
( x ) si"#li$i%ando →−!
. $un%ion 2a #ar*ir de la $un%ion solu%ion exa%*a
-ALORE+ N,MERICO+ ,+ADO+ PARA ANALIAR LO+ RE+,LTADO+O?TENIDO+ <A+TA A<ORA=
Dato=
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 27/31
;=+ E=+ <=+ L=+ x i=0, L
200 L
ye( x )=
! L
12 E ' x
3− !
24 E ' x
4− ! L
3
24 E ' x
e ( x )=! x( L− x)
2 E '
Esta ecuación matricial se uede articionar de manera de generarse lassiguientes submatrices:
al !ue:
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 28/31
Reconociendo !ue ara este roblema los deslazamientos transversalesen ambos extremos son nulos- el vector de deslazamientos es:
'solución del sistema
y )i*zl ( x ,1a, 1b )=1b(− x2
L +
x3
L2 )+1a( x−2 x
2
L +
x3
L2 )
y )i*zl ( x )=−2 (2 L1a+ L 1b−31a x−31b x )
L2
+I INCL,IMO+ LA CONDICION DE DEFORMACIONCORRE+PONDIENTE A ,NA -IGA DO?LEMENTE EMPOTRADA CON CARGA ,NIFORMEMENTE DI+TRI?,IDA=
y $ix ( x )=
−! x2
24 E ' ( L− x )2
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 29/31
y $ix ( x )=! ( L2−6 L x+6 x
2 )12 E '
y )eal ( x )= y )i*zl ( x ,1a, 1b )+ y $ix( x)
e ( x )= E ' e ( x ). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ion solu%ion exa%*a
)i*zl ( x )= E ' )i*zl ( x ). $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la $un%ion solu%ion in*en*o
$ix ( x )= E ' $ix ( x )
real ( x )= )i*zl ( x )+ E ' $ix( x )
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 30/31
qe( x )= E '
d2
dx2 e ( x ). $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ion exa%*a
q )i*zl ( x )= E '
d2
dx2 )i*zl
( x ). $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ionexa%*a
7/23/2019 Principio de Energia Potencial Minima 1.2
http://slidepdf.com/reader/full/principio-de-energia-potencial-minima-12 31/31
q $ix( x )= E '
d2
dx2 $ix
( x )
qreal ( x )=q )i*zl
( x )+ E ' d
2
dx
2 ( E ' $ix( x))
top related