operadores diferenciais
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7/21/2019 Operadores Diferenciais
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Equações Diferenciais
Aula 11
Prof. Onézimo Cardoso
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Operadores Diferenciais
• Em Cálculo, usamos frequentemente a letramaiúscula para denotar derivação, isto é:
• O símolo é c!amado de Operador Diferencial;
• Ele transforma uma função diferenciável em outrafunção:
•
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• O operador diferencial tamém possui
propriedade de #inearidade:
• Em que e são constantes$
• Di%emos portanto que é um Operador
Diferencial Linear;
•
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Derivadas de Ordem Superior• Derivadas de ordem superior podem ser
e&pressas em termos de de uma maneiranatural:
• 'ara o caso (eral, temos:
•
Em que representa uma função su)cientementediferenciável$
•
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Observação
• E&pressões polinomiais envolvendo , tais
como:
• *ão tamém operadores diferenciais
lineares$
•
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!uaç"es Diferenciais• +ualquer equação diferencial linear pode ser
e&pressa em termos de
• é c!amado de Operador Diferencial Linear de
Se#unda Ordem com Coe$cien%es
Cons%an%es;
•
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&emplo• equação diferencial pode ser escrita como:
• -m Operador Diferencial Linear de '(ésima
ordem
• Com coe)cientes constantes, pode ser fatorado
quando o polin.mio característico tamém se
fatora$
•
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&emplo• pode ser fatorado como ou $
•
'ara uma função duas ve%es diferenciável, tem/seentão:
• 'ara constatar a a)rmação, tome , então:
•
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• De modo análo(o, se colocarmos , então•
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Observação
• O fato descrito anteriormente condu% a
uma importante propriedade (eral:
Fatores de um operador diferencial linearcom coecientes constantes comutam;
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&emplo
• O operador pode ser escrito como:•
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&emplo
• equação diferencial pode ser escrita como•
d l d
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Operador Anulador• *e é um operador diferencial com coe)cientes
constantes e é uma função su)cientementediferenciável, tal que
• Então di%emos que é um anulador da função$
• 'or e&emplo, se é uma função constante, então $
•
inda e assim por diante$
•
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• 0emos portanto que o operador diferencial anula
cada uma das funções:
• Como consequ1ncia do fato anterior 2untamente
com a propriedade de que a derivação pode serfeita termo a termo, temos que, dado um
polin.mio
• Ele é anulado por um operador que anula a maior
pot1ncia de $
•
l
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&emplo
• Encontre um operador diferencial que anula $
• *aemos que , e daí se(ue que
•
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Observação
• s funções que são anuladas por um
operador diferencial linear de -ésima
ordem são simplesmente aquelas que
podem ser otidas a partir da solução
(eral para a equação diferencial
!omo(1nea $
•
l
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&emplo
• O operador diferencial anula cada uma das
funções
•
'ara ver isso, note que a equação au&iliar daequação !omo(1nea é $
• Como é uma rai% de multiplicidade , a solução
(eral é
•
l
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&emplo
• Encontre um operador anulador para e para
• 3ote que:
• E
•
ã
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Observação• +uando e são números reais, a f4rmula quadrática
possui raí%es comple&as , , amas de multiplicidade $
• 'ortanto o operador diferencial anula cada uma das
funções:
•
l
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&emplo• Da discussão anterior, temos:
• E
• -ma ve% que e são duas funções linearmente
independentes na solução (eral , o operador
tamém anula qualquer cominação linear dessas
funções$
•
l
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&emplo• 0emos que ou anula $
• E portanto, tamém anula qualquer cominação
linear dessas funções$
•
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l
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&emplo
• Encontre um operador diferencial que anula ;
• 3ote que
•
0emos portanto que o produto anula a cominaçãolinear dada$
•
l
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&emplo
• Encontre um operador diferencial que anula $
• 3ote que:
•
#o(o, o produto dos dois operadores anula acominação linear dada$
•
Observaç o
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Observaç o• O operador diferencial que anula uma função não é
único$
• 'or e&emplo, saemos que anula
• 5as operadores de ordem superior tamém anulam ,
a e&emplo de e $• Em (eral, procuramos o operador diferencial de
menor ordem possível$
•
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&erc)cios *.+
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