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Sistemas de Controle 1Cap5 – Redução de Subsistemas Múltiplos

Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia

Prof. Filipe Fraga

Sistemas de Controle 1

5. Redução de Subsistemas Múltiplos

5.1 Introdução

5.2 Diagramas de Blocos

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.5 Regra de Mason

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

5.8 Transformações de Similaridade

5.1 Introdução

Sistemas mais complexos são representados pela interligação de muitos subsistemas.

Podemos calcular a resposta apenas de uma função de transferência.

Desejamos representar os subsistemas múltiplos por meio de uma única função de transferência.

Representação de subsistemas múltiplos:

- Diagramas de blocos

- Diagramas de fluxo de sinal

5.1 Introdução

Representação de subsistemas múltiplos:

- Diagramas de blocos • Análise e projeto no domínio da frequência• Álgebra de diagramas de blocos

- Diagramas de fluxo de sinal• Análise no espaço de estados• Representam funções de transferência por meio de linhas• Representam sinais por meio de pequenos círculos (nós)• Regra de Mason

5.2 Diagramas de Blocos

Um subsistema é representado por um bloco com uma entrada, uma saída e uma função de transferência.

Ao se interligar subsistemas, devemos acrescentar junções de soma e pontos de coleta de sinal

ponto de coleta de sinal

5.2 Diagramas de Blocos

Associação em Cascata

Associação em Paralelo

5.2 Diagramas de Blocos

Associação com Retroação

O sistema com retroação típico, descrito detalhadamente no Cap. 1

Modelo simplificado

*** G(s)H(s) função de transferência a malha aberta, ou ganho de malha.

5.2 Diagramas de Blocos

Movendo Blocos para Criar Formas Conhecidas

As formas comuns (cascata, paralela e retroação) nem sempre ocorrem de modo evidente.

Deslocamento para a esquerda da junção somadora

Deslocamento para a direita da junção somadora

Junção somadora

Símbolo “equivalente a”

5.2 Diagramas de Blocos

Movendo Blocos para Criar Formas Conhecidas

Deslocamento para a esquerda do ponto de coleta de sinal

Deslocamento para a direita do ponto de coleta de sinal

Ponto de coleta de sinal

5.2 Diagramas de Blocos

5.2 Diagramas de Blocos

Fundir as três junções de soma em uma única

As três funções de retroação estão conectadas em paralelo.

G2(s) e G3(s) estão conectadas em cascata

5.2 Diagramas de Blocos

O sistema com retroação é reduzido e multiplicado por G1(s)

Lembre que:

É equivalente a:

5.2 Diagramas de Blocos

5.2 Diagramas de Blocos

Movendo para a esquerda

5.2 Diagramas de Blocos

Movendo para a direita

5.2 Diagramas de Blocos

5.2 Diagramas de Blocos

5.2 Diagramas de Blocos

5.2 Diagramas de Blocos

Deslocar para esquerda do ponto de coleta de sinal

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

Modelo de um sistema de controle de posição de uma antena em azimute Modelo de amplificadores,

motor, carga e o trem de engrenagens

A função de transferência a malha fechada, T(s), para este sistema será:

Usando a equação:

K modela o ganho do amplificador, isto é, a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada.

𝑇 𝑠 =

𝐾𝑠 𝑠 + 𝑎

1 +𝐾

𝑠 𝑠 + 𝑎

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

À medida que K varia, os pólos se deslocam ao longo das três faixas de operação de um sistema de segunda ordem: superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido.

Para K entre 0 e 𝑎2/4:

- Pólos do sistema são reais.- Resposta superamortecida- Resposta criticamente amortecida K = 𝑎2/4

Para K maior que 𝑎2/4:

- Pólos complexos.- Resposta subamortecida

Pólos do sistema

Pólos do sistema

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

Para K maior que 𝑎2/4:

- Pólos complexos.- Resposta subamortecida

Pólos do sistema

À medida que K aumenta, a parte real permanece constante e a parte imaginária cresce. Portanto, o instante de pico diminui e a ultrapassagem percentual aumenta, enquanto o tempo de assentamento permanece constante

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Representação:- Arcos representam sistemas

Um sistema é representado por uma linha com uma seta mostrando o sentido do fluxo de sinal através do sistema.

- Nós representam sinais

Cada sinal é a soma dos sinais que chegam ao nó respectivo.

Exemplos:

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

a)

b)

c)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

a)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

b)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

c)

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Comece desenhando os nós de sinal

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Interconecte os nós, mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

Diagrama simplificado

Simplifique o diagrama de fluxo através da eliminação de sinais com um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída.

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência. Requer a aplicação de uma fórmula

Samuel Jefferson Mason(1921–1974)

Definições

Ganho de malha: O produto dos ganhos dos ramos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó e termina no mesmo nó sempassar por nenhum outro nó mais de uma vez e segue o sentido dofluxo de sinal.

Existem 4 ganhos de malha para esse diagrama

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Ganho de percurso avante: O produto dos ganhos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó de entrada e termina no nóde saída no sentido do fluxo de sinal.

Ganhos de percurso avante para este exemplo:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Malhas disjuntas: Malhas que não possuem nós em comum; malhas que não se tocam.

Malha 𝐺2 𝑠 𝐻1(𝑠) não toca as malhas 𝐺4 𝑠 𝐻2(𝑠), 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠 𝐻3(𝑠) e 𝐺4 𝑠 𝐺6 𝑠 𝐻3(𝑠).

Ganho de malhas disjuntas: O produto dos ganhos de malha de malhas disjuntas consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro, etc

Três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas para o exemplo:

No exemplo, não há ganhos de malhas disjuntas consideradas três a três, uma vez que não existem três malhas disjuntas entre elas

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Enunciado da Regra de Mason

A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é

onde

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.

Observe a alternância de sinais dos componentes de ∆

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Primeiro, identifique os ganhos de percurso avante:

Existe somente um

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Segundo, identifique os ganhos de malha:

Existem quatro

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas:

Ganhos de malha:

A malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3.

As malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4.

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quarto, as malhas disjuntas três a três são:

Ganhos de malha:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

Ganhos de malha:

Ganhos de malha disjuntas 2 a 2:

Ganhos de malha disjuntas 3 a 3:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante.

Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimopercurso à frente.

∆𝑘 será então:

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Sexto, substituindo expressões na Regra de Mason:

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Gabarito: