nascimento ademarfdo profmat 2011 mestrado (1)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PAR UFOPA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO MATEMTICA EM REDE NACIONAL
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMTICA EM REDE NACIONAL
Ademar Francisco do Nascimento
ESTUDANDO CURVAS CNICAS USANDO MATERIAIS CONCRETOS E
GEOGEBRA
Santarm (PA)
2014
-
Ademar Francisco do Nascimento
ESTUDANDO CURVAS CNICAS USANDO MATERIAIS CONCRETOS E
GEOGEBRA
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao
Matemtica em Rede Nacional Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional (PROFMAT), da
Universidade Federal do Oeste do Par (UFOPA), Instituto
de Cincias da Educao, como requisito parcial para a
obteno do ttulo de Mestre em Matemtica.
Orientador: Prof. Dr. Aldenize Ruela Xavier
Santarm (PA)
2014
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Dados Internacionais de Catalogao-na-Publicao (CIP) Sistema Integrado Bibliotecas SIBI/UFOPA
N245e Nascimento, Ademar Francisco do
Estudando curvas cnicas usando materiais concretos e geogebra /
Ademar Francisco do Nascimento. Santarm, 2014.
65 f.; il.
Orientadora Aldernize Ruela Xavier.
Dissertao (Mestrado) Universidade Federal do Oeste do Par, Instituto de
Cincias da Educao, Programa de Ps-Graduao Matemtica em Rede
Nacional, Mestrado Profissional em Matemtica. Santarm, 2014.
1. Geometria analtica. 2. Curvas cnicas. I. Xavier, Aldenize Ruela, orient. II.
Ttulo.
CDD: 23 ed. 516.352
Bibliotecrio - Documentalista: Mayco Ferreira Chaves CRB/2 1357
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AGRADECIMENTOS
Deus, pela vida . Que Deus abenoe a todos que contriburam direta ou indiretamente
para a concretizao deste trabalho.
minha esposa Bethnia e aos meus filhos que certamente ficaro felizes com o fim
desse trabalho.
A minha orientadora, Prof. Dr. Aldenize Ruela Xavier, por tudo, pela pacincia,
compreenso e direcionamentos.
Aos professores do PROFMAT-UFOPA em especial aos professores Dr. Hugo Alex
Carneiro Diniz, Dr. Sebastin Mancuso, Dr. Mario Tanaka Filho.
Aos colegas da turma, pelo companheirismo, pela colaborao e pela amizade.
banca examinadora, pelas contribuies realizao deste sonho.
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RESUMO
As curvas cnicas desempenham um papel importante em vrios domnios da Fsica,
como Astronomia, tica e Acstica, da Engenharia e Arquitetura. Apesar de toda a sua
importncia histrica e de seu relevante papel no desenvolvimento tecnolgico moderno, o
estudo das cnicas na nossa escola bsica acabou reduzindo-se a simples manipulao e/ou
memorizao de frmulas. Esta abordagem leva a um certo desprezo em relao ao tema
pelos alunos. Pensando nessa problemtica propomos o estudo das curvas cnicas com
material concreto e GeoGebra. Pretendemos proporcionar aos alunos uma aprendizagem
significativa em relao as cnicas, despertando nos discentes a percepo desta rea do
conhecimento ao longo do tempo tornando as aulas de matemtica mais interessantes e
agradveis. Busca-se tambm a melhor compreenso do contedo por parte dos alunos, a fim
de melhorar a relao de ensino e aprendizagem. Esse projeto foi desenvolvido com trinta
alunos do 3 ano do ensino mdio, com o objetivo de despertar nos alunos a curiosidade e o
interesse para aprender contedos matemticos, em especial da geometria analtica sees
cnicas. Os participantes do projeto foram divididos em trs equipes de dez alunos cada, onde
cada equipe desenvolveu uma atividade diferente. Nessas atividades eles construram as
seces cnicas com uso de materiais concreto e uso do Software Geogebra.
Palavras-chave: Geometria Analtica, Seces cnicas, Geogebra.
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ABSTRACT
The conic curves play an important role in various fields of physics, such as Astronomy,
Optics and Acoustics, Engineering and Architecture. Despite its historic importance and its
role in modern technological development, the study of conic in our elementary school just
reducing it to simple handling and / or memorizing formulas. This approach leads to a certain
contempt towards the subject by students. Considering this problem we propose the study of
conic curves co GeoGebra concrete and material. We intend to provide students with a
meaningful learning in relation conical, raising the students ' perception of that knowledge
over time area making lessons more interesting and enjoyable mathematics. The aim is also to
better understanding of the content by the students in order to improve both teaching and
learning. This project was developed with thirty students of the 3rd year of high school, in
order to awaken the students' curiosity and interest to learn mathematical content, in particular
the analytic geometry of conic sections. Project participants were divided into three teams of
ten students each, where each team developed a different activity. In these activities they built
conical sections using concrete materials and use of the Software Geogebra.
Key words: Analytic Geometry, Conic Sections, Geogebra.
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Sumrio
1 INTRODUO................................................................................................. 07
2 CNICAS.......................................................................................................... 09
2.1 Um pouco de histria......................................................................................... 09
2.2 Elipse................................................................................................................... 11
2.2.1 Forma cannica da elipse.................................................................................... 11
2.2.2 Elementos da elipse............................................................................................. 13
2.2.3 Elipse com centro no ponto O = (x0,y0) ............................................................ 14 2.3 Hiprbole............................................................................................................. 15
2.3.1 Forma cannica da hiprbole.............................................................................. 16
2.3.2 Algumas propriedades da hiprbole dada pela equao na forma
cannica.................................................................................................... 17
2.3.3 Elementos da hiprbole...................................................................................... 18
2.3.4 Hiprbole com centro no ponto O=(x0,y0)........................................................ 19 2.4 Parbola ............................................................................................................. 20
2.4.1 Forma cannica da parbola.............................................................................. 21
2.4.2 Equao na forma cannica com vrtice V= (x0 ,y0).......................................... 23
2.5 Propriedade refletora das cnicas...................................................................... 24
2.5.1 Propriedade refletora da elipse............................................................................ 24
2.5.2 Propriedade refletora da parbola....................................................................... 26
2.5.3 Propriedade refletora da hiprbole..................................................................... 29
3 CNICAS EM COORDENADAS POLARES.............................................. 32
3.1 Definio geral das cnicas................................................................................ 32
3.2 Equao geral das cnicas.................................................................................. 34
4 RELATO DE EXECUO............................................................................. 37
4.1 Aula terica........................................................................................................ 37
4.2 Aula prtica ...................................................................................................... 39
4.2.1 Aula prtica 1 Confeco de um cone e suas seces..................................... 39 4.2.2 Aula prtica 2 Desenhando seces cnicas................................................... 40 4.2.3 Aula prtica 3 Aprendendo seces cnicas com geogebra............................ 44
5 AVALIAO DOS RESULTADOS ............................................................. 48
5.1 Anlise da prova 1 ............................................................................................. 48
5.2 Anlise da prova 2 ............................................................................................. 50
6 CONSIDERAES FINAIS........................................................................... 55
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................ 57
ANEXOS ........................................................................................................... 58
Anexo 1 Moldes das partes de um cone.............................................................. 58
Anexo 2 Prova diagnostica................................................................................. 61
Anexo 3 Prova 2 ................................................................................................. 62
Anexo 4 Fotos dos alunos participantes do projeto............................................ 63
Anexo 5 Atividade no GeoGebra........................................................................ 64
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7
1 INTRODUO
A Geometria parte importante dos currculos de Matemtica da Educao Bsica, pois
pode desenvolver no estudante capacidades como compreenso, esprito de investigao,
representao e resoluo de problemas, habilidades citadas nos Parmetros Curriculares
Nacionais (PCNs, 2006).
A Geometria Analtica ocupa lugar de destaque como ramo da matemtica, pois
relaciona lgebra com Geometria. Problemas geomtricos podem ser resolvidos por mtodos
algbricos, muitas vezes simples, ou propriedades algbricas podem ser facilmente verificadas
geometricamente.
Os Parmetros Curriculares Nacionais - PCN de Matemtica (Brasil, 1997)
recomendam o uso de recursos didticos, dentre os quais destacamos os materiais concretos.
Os materiais concretos servem como elementos desencadeadores de conjecturas e processos
que levem s justificativas mais formais da aprendizagem dos conceitos matemticos.
Os PCNS (2006) determinam, para a Educao Matemtica e os recursos tecnolgicos,
uma relao de reciprocidade. A matemtica deve servir para entender e se apropriar das
tecnologias digitais assim como estas devem ser ferramentas para entender a matemtica.
As sees cnicas so curvas obtidas pela interseo de um cone circular reto de duas
folhas com um plano.
No incio os matemticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupaes
com aplicaes prticas. Mas ao longo do tempo inmeras descobertas importantes em
matemtica pura e na cincia em geral estavam ligadas s sees cnicas. Dois exemplos
clssicos so, a descoberta de Galileu Galilei que em 1604 descobriu que um projtil que era
lanado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetria em forma de parbola se
considerando atuante apenas a fora da gravidade e a publicao de Kpler em 1609 de sua
descoberta de que a rbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lanando a hiptese que
todos os planetas se moveriam em rbitas elpticas, o que foi comprovado dcadas mais tarde
por Isaac Newton.
Essas curvas cnicas desempenham um papel importante em vrios domnios da Fsica,
como Astronomia, tica e Acstica, da Engenharia e Arquitetura. O que torna essas curvas
to importantes para a matemtica pura e aplicada est ligado as suas propriedades focais de
suas tangentes e suas aplicaes prticas.
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Apesar de toda a sua importncia histrica e de seu relevante papel no desenvolvimento
tecnolgico moderno, o estudo das cnicas na nossa escola bsica acabou reduzindo-se a
simples manipulao e/ou memorizao de frmulas. Esta abordagem leva a um certo
desprezo em relao ao tema pelos alunos. Pensando nessa problemtica nota-se a
necessidade de mudar esta realidade, e atravs da aplicao das atividades desenvolvidas
neste trabalho, Estudando curvas cnicas usando materiais concretos e GeoGebra,
pretendemos proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa em relao as cnicas,
despertando nos discentes a percepo desta rea do conhecimento. Nossas atividades foram
aplicadas a alunos da 3 srie do Ensino Mdio e se deu com a realizao de aulas formais
mescladas com aulas prticas onde os alunos construram as sees cnicas com uso de
materiais concreto e uso do Software GeoGebra.
Nos relatos, sero descritas as atividades realizadas durante o perodo de desenvolvimento
das atividades, bem como as dificuldades encontradas e sua superao com descrio dos
resultados alcanados.
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9
2 CNICAS
Neste captulo faremos um estudo das curvas cnicas ( elipse, hiprbole e parbola),
iniciamos com uma breve histria do surgimento das curvas cnicas. Em seguida, tratamos
cada uma das cnicas separadamente, partimos das definies geomtricas de cada cnica,
identificamos seus elementos, suas equaes na forma cannica e por fim suas propriedades
refletoras.
2.1 Um pouco de histria
As Cnicas foram estudadas por Menaechmus (380-320 A.C), Euclides e Arquimedes.
Segundo Boyer atribui-se a Menaechmus o primeiro a considerar as cnicas na resoluo de
problemas, tais como o problema da duplicao do cubo que o conduziu ao estudo da
interseco de uma hiprbole com uma parbola. O clebre problema da duplicao do cubo
teve origem na Grcia Antiga e tambm conhecido por "problema de Delos'. Diz a lenda
que uma delegao da cidade de Atenas deslocou-se ao orculo em Delos para perguntar
como poderia ser combatida a peste que dizimava a cidade. Ainda segundo a lenda, o orculo
respondeu que o altar de Apolo, que tinha forma cbica, deveria ser duplicado. Foi ele o
primeiro a mostrar que as elipses, as parbolas e as hiprboles so obtidas como sees de um
cone quando cortado por planos no paralelos sua base (BOYER, 1974).
Foi, portanto, uma realizao importante de Menaechmus o ter descoberto que
curvas com a propriedade desejada estavam disposio. Na verdade, havia uma
famlia de curvas adequadas, que podiam ser obtidas de uma mesma fonte, cortando
um cone circular reto por um plano perpendicular a um elemento do cone. Isto ,
parece ter descoberto as curvas que mais tarde foram chamadas, elipse, parbola e
hiprbole. (BOYER,1974).
Apolnio de Perga (262-190 A.C.) foi outro matemtico a estudar as curvas cnicas.
Pouco se sabe de sua vida, mas seu trabalho teve uma grande influncia sobre o estudo da
matemtica. Ele desenvolveu um estudo mais completo e detalhado sobre as sees cnicas.
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10
Sua grande obra Sees Cnicas supera completamente os trabalhos anteriores sobre o
assunto (EVES, 1997).
Antes de Apolnio os gregos tiravam as cnicas de trs tipos de cones de
revoluo, conforme o ngulo do vrtice da seo meridiana fosse menor que, igual
a, ou maior que um ngulo reto. Seccionando-se cada um desses tipos de cones com
um plano perpendicular a uma geratriz resultam respectivamente uma elipse, uma
parbola e uma hiprbole. S se considerava um ramo da hiprbole. Apolnio
porm, no livro I de seu tratado, obtinha todas as sees cnicas da maneira hoje
familiar, ou seja, a partir de uma cone circular duplo, reto ou oblquo (EVES,
1997).
Apolnio quem considerou as curvas como sees do cone duplo, com o qual a hiprbole
adquiriu outro ramo, tal qual conhecemos hoje em dia. Na obra Sees Cnicas de
Apolnio,onde ele apresentava a definio de sees cnicas como curvas formadas pela
interseco de um plano com a superfcie de um cone, introduzida ainda os termos parbola,
hiprbole e elipse pela primeira vez.
Figura 2.1 : Sees cnicas
fonte: http://www.galileu.esalq.usp.br/mostra_topico.php?cod=73
Hoje indispensvel a aplicao das cnicas em nosso mundo. Podemos verificar na
Astronomia, Engenharia, Arquitetura e outros.
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2.2 Elipse
Definio 2.1 Uma elipse de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos P do plano cuja soma
das distncias a F1 e F2 igual a uma constante 2a > 0, maior do que a distncia entre os focos
2c 0. Ou seja, sendo 0 c < a e d(F1,F2) = 2c, = { P | d(P, F1) + d(P, F2) = 2a }. O
segmento F1F2 chamado de segmento focal e seu ponto mdio de centro da elipse. O valor
2c chamado distncia focal.
2.2.1 Forma cannica da elipse
A partir da definio da elipse, vamos obter sua equao em relao a um sistema de
eixos ortogonais OXY para alguns casos especiais.
A equao na forma cannica da elipse ser deduzida sobre um sistema ortogonal de
coordenadas onde os focos pertenam ao eixo OX para simplificar os clculos. Assim, sejam
F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) como mostra a figura 2.2 :
Figura 2.2. Ponto da elipse no sistema OXY.
Se P=(x,y) um ponto pertencente elipse, se e somente se, d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, ou seja,
( ) ( ) , (2.1)
ou ainda,
( ) ( ) . (2.2)
Elevando ambos os membros da equao (2.2) ao quadrado, obtm-se
( ) ( ) ( ) , (2.3)
P
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Expandindo os quadrados e simplificando segue que
( ) , (2.4)
Elevando ao quadrado ambos os membros e expandindo os quadrados novamente, tem-se
( ) . (2.5)
Logo, agrupando os termos em x2 e y
2, obtm-se
( ) ( ) (2.6)
Assim, definindo , a equao (2.6) pode ser reescrita como
(2.7)
Dividindo ambos os membros da igualdade (2.7) por resulta
(2.8)
A rigor, para verificar que (2.5) (2.4) e (2.3) (2.2), precisamos mostrar
que se
ento
e ( ) .
Com efeito, sendo 0 c< a e a2 = b2 + c2 temos :
pela igualdade (2.8)
o que implica que | | e como 0 c< a, tem-se
| | . Logo, o nmero positivo.
De modo anlogo temos :
pela igualdade (2.8)
o que implica que ou seja
Da igualdade (2.8), tem-se que . Como | | , o nmero - 2cx , em seu valor
absoluto, menor que .
Logo tem se que :
( ) .
Ou seja
( ) que implica ( ) .
Assim, fica demonstrado que a equao (2.8) a forma cannica da elipse de centro na
origem e reta focal coincidente com o eixo OX.
De maneira anlogo ao que foi feito anteriormente a equao na forma cannica da
elipse deduzida sobre um sistema ortogonal de coordenadas onde os focos pertenam ao
eixo OY e centrada na origem ser
. Neste caso F1 =(0, -c) e F2= (0,c).
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Figura 2.3 :Ponto da elipse no sistema ortogonal de coordenadas com os focos sobre o eixo y.
2.2.2 Elementos da Elipse
Numa Elipse arbitrria temos os seguintes elementos:
foco : os pontos F1 e F2 ;
distncia focal: distncia entre os focos F1F2 = 2c;
centro O : ponto mdio de segmento focal ;
vrtices A1 e A2 : interseo da elipse com a reta focal ;
vrtices B1 e B2 : interseo da elipse com a mediatriz do segmento ;
eixo maior: segmento de medida 2a;
eixo menor: segmento de medida 2b;
excentricidade : o nmero e =
com
.
-
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Figura 2.4: Elipse.
2.2.3 Elipse com centro no ponto O = (x0,y0)
Podemos obter uma equao, na forma cannica, da elipse com centro O=(x0,y0 ) fora da
origem do sistema OXY e cujo eixo focal paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso
basta transladarmos o sistema OXY para uma nova origem coincidindo com o centro O,
obtendo-se um novo sistema OXY. Assim, as equaes destas elipses se restringiro a um
dos casos a seguir:
( )
( )
ou
( )
( )
. (2.9)
De fato, vamos considerar primeiro o caso em que a reta focal paralela ao eixo OX. Seja
OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova origem
O=(x0,y0). Seja F1=(x0 c,0) e F2=(x0+c,0) os focos da elipse e P=(x,y)=( x + x0 , y + y0 )
um ponto pertencente elipse, onde x= x + x0 e y= y +y0 suas coordenadas no sistema OXY
e x, y so suas coordenadas no sistema OXY. Ento, P pertence a elipse se, somente se,
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a,
ou seja,
(( ) ( )) ((
) ( ))
(( ) ( )) (( ) ( ))
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( )
( )
.
Fazendo como no caso anterior, verifica-se que a forma cannica da equao da elipse com
centro no ponto (x0, y0) e eixo focal paralelo ao eixo OY :
( )
( )
.
Figura 2.5: ( )
( )
Figura 2.6 : ( )
( )
2.3 HIPRBOLE
Definio 2.2: Uma hiprbole H de focos F1 e F2 o conjunto de todos os pontos P do plano
para os quais o mdulo da diferena de suas distncias a F1 e F2 igual a uma constante
2a > 0, menor do que a distncia entre os focos 2c > 0.
H = * | ( ) ( )| + , 0 < a < c , d(F1, F2) = 2c.
O segmento F1F2 chamado de segmento focal e seu ponto mdio de centro da hiprbole. O
valor 2c chamado de distncia focal.
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2.3.1 Forma cannica da hiprbole
Como fizemos para a elipse, vamos obter a equao da hiprbole em relao a um sistema
de eixos ortogonais OXY nos casos em que os focos F1 e F2 pertenam ao eixo OX ou o eixo
OY.
A equao na forma cannica da hiprbole H obtida fixando-se o sistema de
coordenadas cartesianas onde F1 = (-c, 0) e F2 = (c,0) esto sobre o eixo OX.
Figura 2.7: Ponto da hiprbole no sistema ortogonal de coordenadas.
Pela definio 2.2 se o P=(x,y) pertence hiprbole se, e somente se,
| ( ) ( )| . Logo d(P, F1) = 2a + d(P, F2). Assim,
( ) ( ) . (2.10)
Continuando o desenvolvimento de maneira anloga ao caso da elipse, chegamos concluso
que
( ) ( ) . (2.11)
Assim, definindo a equao (2.11) pode ser reescrita como:
(2.12)
De maneira anlogo ao que foi feito anteriormente a equao na forma cannica da hiprbole
H deduzida sobre um sistema ortogonal de coordenadas onde os focos pertenam ao eixo OY
e centrada na origem ser
. Neste caso F1 =(0, -c) e F2= (0,c).
P
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2.3.2 Algumas propriedades da hiprbole dada pela equao na forma
cannica
Algumas propriedades da hiprbole H descrita pela equao (2.12):
O o ponto de simetria da hiprbole, chamado de centro da hiprbole.
Os eixos OX e OY so os eixos de simetria da hiprbole.
No existem pontos da hiprbole sobre o eixo OY. De fato, fazendo x=0 na equao
(2.12), temos
, que no satisfeito por nenhum ponto (0,y) do eixo OY.
Se (x,y) uma soluo qualquer da equao (2.12), ento (-x,y), (x, -y) e (-x,-y)
tambm sero, pois em tal equao todos os expoentes so pares. Logo,a hiprbole
simtrica em relao reta focal OX, mediatriz do segmento focal OY e ao centro O.
O eixo OX contm apenas 2 pontos da hiprbole, chamados de vrtices da
hiprbole.Fazendo y=0 na equao (2.12), temos
, onde x= a. Logo A1= (-a,0)
e A2=(a,0) so os nicos pontos da hiprboles sobre o eixo focal.
Analisando a equao da hiprbole
mostra que a equao pode ser escrita
como (
) (
) , onde os fatores devem ter necessariamente o mesmo sinal
,
No primeiro caso, os pontos da hiprbole satisfazem y <
e y >
, representando
na figura (2.8) como o ramo direito da hiprbole. No segundo caso, os pontos da
hiprbole satisfazem y >
e y <
, representando na figura (2.8) como o ramo
esquerdo da hiprbole.
O retngulo caracterizado pelas desigualdades e , chamado de
retngulo fundamental da hiprbole. As diagonais deste retngulo esto contidas nas retas
dadas por
(2.13)
que recebem o nome de assntotas da hiprbole.
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18
Na figura (2.8) apresenta-se o esboo da hiprbole H e assntotas r1 e r2 a partir da anlise da
equao (2.12). O posicionamento da assntota r2 em relao curva H pode ser esclarecido
da seguinte maneira:
Se P =(x, y) um ponto pertencente hiprbole, isto , , e r2 :
,
ou seja uma assntota de H, ento,
( ) | |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| | .
Logo, ( ) 0, quando x e y .
De modo anlogo, verificamos que ( ) 0, quando x e y , onde
P = (x, y) H e a outra assntota da hiprbole.
Figura 2.8: Caractersticas do esboo da hiprbole.
2.3.3 Elementos da hiprbole
Observe a figura (2.8) temos os seguintes elementos:
foco : os pontos F1 e F2 ;
distncia focal: distncia entre os focos F1F2 = 2c;
centro O : ponto mdio de segmento focal ;
vrtices A1 e A2 : interseo da hiprbole com a reta focal . O segmento A1A2
denominado eixo focal da hiprbole e seu comprimento d(A1,A2) =2a;
-
19
O segmento B1B2, perpendicular ao eixo focal que tem ponto mdio O e comprimento
2b, onde b2 = c
2 - a
2, denominado eixo no focal da hiprbole, e B1 e B2 so os
vrtices imaginrios da hiprbole.
A excentricidade da hiprbole H
. Note que e > 1, pois c > a.
2.3.4 Hiprbole com centro no ponto O = (xo, yo)
Procedendo da mesma forma que fizemos para a elipse, podemos obter uma equao, na
forma cannica, da hiprbole com centro O=(x0,y0 ) fora da origem do sistema OXYe cujo
eixo focal paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso basta transladarmos o sistema
OXYpara uma nova origem coincidindo com o centro O, obtendo-se um novo sistema
OXY. Assim, as equaes desta hiprbole se restringiro a um dos casos a seguir:
( )
( )
ou
( )
( )
. (2.14)
De fato, vamos considerar primeiro o caso em que a reta focal paralela ao eixo OX. Seja
OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova origem
O=(x0,y0). Seja F1=(x0 c,0) e F2=(x0+c,0) os focos da hiprbole e P=( x + x0 , y + y0 ) um
ponto pertencente hiprbole, onde x= x + x0 e y= y +y0 suas coordenadas no sistema OXY
e x, y so suas coordenadas no sistema OXY.Ento, P pertence a hiprbole se, somente
se,
| ( ) ( )|
| (( ) ( )) ((
) ( ))|
| (( ) ( )) (( ) ( ))|
( )
( )
.
Logo, a forma cannica da equao da hiprbole com centro no ponto (xo, yo) e reta focal
paralela ao eixo OX :
( )
( )
-
20
De modo anlogo, verifica-se que a forma cannica da equao da hiprbole com centro no
ponto (xo, yo) e reta focal paralela ao eixo OY :
( )
( )
Figura 2.9 : Grfico de H : ( )
( )
. Figura 2.10 : Grfico de H :
( )
( )
.
2.4 Parbola
Definio 2.3 : Sejam r uma reta e F um ponto do plano no pertencente a r. A parbola P de
foco F e diretriz r o conjunto de todos os pontos do plano cuja distncia a F igual sua
distncia a r. O nmero positivo p tal que d(F, r) = 2p chamado de parmetro da parbola,
onde d a distncia euclidiana.
P=* | ( ) ( )+.
-
21
Figura 2.11: Parbola de vrtice V, foco F e diretriz r.
Em uma parbola temos que :
A reta l chamada de reta focal da parbola P, a reta que contm o foco e
perpendicular diretriz.
O ponto V da parbola P que pertence reta focal o vrtice de P.
Chamamos de excentricidade e da parbola a razo entre as distncias de um ponto
arbitrrio P da curva ao foco e de P diretriz. Neste caso, teremos sempre e = 1.
2.4.1 Formas cannicas da parbola
Vamos obter as formas cannicas da parbola em relao a um sistema de coordenadas
OXY . Comeamos com os casos em que o vrtice da parbola a origem e a reta focal um
dos eixos coordenados. Depois trataremos dos casos em que o vrtice um ponto qualquer e a
reta focal paralela a um dos eixos coordenados.
Primeiramente, vamos determinar a equao da parbola no caso em V=(0,0), F = (p,0) e a
equao da reta diretriz r: x= -p, conforme o figura (2.12).
l
-
22
Figura (2.12): Ponto da parbola no sistema ortogonal de coordenadas.
Para cada ponto P = (x,y), o ponto P r o p da perpendicular passando por P, e
P = (-p,y). Sabe-se que d(P,r) = d(P,P) =| | e que d(P,F) = ( ) .
Pela definio (2.3), P pertence parbola se, e somente se,| | ( ) .
Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo o produto notvel obtm-se a
igualdade
que por sua vez simplificando equivale a
y2 = 4px (2.15)
Est a equao na forma cannica da parbola.
Vamos obter agora a equao da parbola em que V=(0,0) e o foco pertencente ao semi-eixo
negativo das abscissas, ento F = (-p,0) e a diretriz ter equao r : x = p.
Logo, se P=(x,y) pertence parbola se, e somente se,| | ( ) .
Elevando ao quadrado e simplificando obtm-se
y2
= -4xp (2.16)
que outra equao na forma cannica da parbola, onde o vrtice coincide com a origem do
sistema OXY e o foco F =( -p,0).
Observe na equao (2.15), como p > 0 e y2 0 para todo x , temos x =
0. Logo, os
pontos da parbola diferentes da origem esto acima do eixo y. E pela equao (2.16), sendo
-p < 0 e y2 0 para todo x , temos x =
0, o que mostra que os pontos da parbola
diferentes da origem esto abaixo do eixo y.
-
23
Se o vrtice da parbola coincide com a origem do sistema OXY e o foco pertencer ao semi-
eixo positivo ou ao semi-eixo negativo das ordenadas, as equaes obtidas sero,
respectivamente,
x2 =4py e x
2 = -4py (2.17)
tambm so designadas como equaes na forma cannica da parbola. Nas figuras abaixo
temos os esboos correspondentes as equaes (2.16) e (2.17).
Figura 2.13: Esboo da parbola.
2.4.2 A Equao na forma cannica da Parbola com o Vrtice V=(x0,y0) e
eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados
Da mesma forma como fizemos para a elipse e a hiprbole, vamos obter a forma cannica
da parbola P de vrtice no ponto V = (xo,yo) e reta focal paralela ao eixo de simetria paralelo
a um dos eixos coordenados. Vamos considerar o sistema de eixos ortogonais OXY , com
origem O = V = (xo,yo) e eixos OX e OY que tm a mesma direo e mesmo sentido dos
eixos OX e OY , respectivamente. Assim, sabemos que, no sistema de coordenadas OXY,
as equaes destas parbolas se restringiro a um dos casos a seguir:
x2 = 4yp ou y2 = 4xp . (2.18)
Porm, pelas equaes de translao, temos que x = x x0 e y = y y0. Logo,
( ) ( ) ( )
( ) (2.19)
-
24
P:( ) ( ) P:( ) ( ) P:( ) ( )
Figura 2.14: Parbola.
2.5 Propriedades refletoras das cnicas
Desde a antiguidade, as cnicas atraem ateno de estudiosos que utilizam suas
propriedades para explicar diversas situaes do cotidiano. Sendo assim, reas do
conhecimento como Fsica, Engenharia, Astronomia, entre outras, utilizam estes estudos para
obter avanos tecnolgicos em suas reas.
Neste momento, apresentamos as propriedades de reflexo das cnicas : elipse, hiprbole
e parbola.
2.5.1 Propriedade refletora da elipse
Definio 2.4: Seja t uma reta e uma elipse, t tangente a se t contm apenas um
ponto P chamado ponto de tangncia.
-
25
Figura 2.15: Reta tangente elipse em P.
Definio 2.5: O ngulo entre uma reta e uma curva que se intersectam no ponto P o ngulo
entre essa reta e a tangente curva traada pelo ponto P.
Teorema 2.1 : Seja uma elipse de focos F1 e F2 e seja P um ponto de . Ento a reta
tangente a em P, forma ngulos iguais com as retas que unem P aos focos.
Demonstrao. Seja P e s a reta determinada por P e F1. Tomemos D s , de modo que = . Seja t a mediatriz do segmento F2D relativa ao vrtice P do tringulo PDF2. Vamos
mostrar que t tangente a elipse no ponto P. Para isto seja Q t , como t mediatriz do
segmento F2D temos: = . Logo, + = + , pela desigualdade
triangular aplicada ao tringulo DQF1. Por construo temos que = 2a, logo + >
2a, sendo assim Q , Q t e Q P. Portanto a reta t tangente a . Como o tringulo
PDF2 issceles de base DF2 temos que t bissetriz do ngulo D F2. Sendo os
ngulos representados na Figura 2.18 temos , pois t bissetriz do ngulo D F2. Como
so opostos pelo vrtice segue que .
-
26
Figura 2.16: Propriedade refletora da elipse.
Essa propriedade usada na construo de refletores odontolgicos, aparelhos de
emisso de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos
museus americanos de cincia.
Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emisso de
raios usados em tratamentos mdicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios
devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor.
As salas de sussurros so construdas de forma oval onde so marcados dois pontos no
cho. Duas pessoas em p, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz
sussurrada, inaudvel no restante da sala.
2.5.2 Propriedade refletora da hiprbole
Assim como a elipse, a propriedade de reflexo verificada tambm em hiprboles.
Definio 2.6: Seja t uma reta e H uma hiprbole, t tangente a H se no paralela a
nenhuma das assntotas e H contm apenas um ponto, P, chamado ponto de tangncia.
-
27
Figura 2.18: Reta tangente hiprbole.
Definio 2.7. Se t tangente a hiprbole H, em P, a reta que contm P e perpendicular a t
chama-se reta normal a H em P.
Teorema 2.2: Uma reta tangente hiprbole em um ponto P faz ngulos iguais com as retas
que unem P aos focos.
Demonstrao: Seja P um ponto pertencente a hiprbole H de focos F1 e F2 ,t a reta bissetriz
ao ngulo F2 F1 e um ponto B,tal que B t.
Figura 2.19: Propriedade refletora da hiprbole.
Consideremos a bissetriz do ngulo F2 F1 vamos mostrar que ela ao mesmo tempo a
tangente hiprbole em P. Sejam F1G BP e BP NP, e seja H o ponto de interseo de t
com F1G. Dessa maneira o tringulo PGF1 issceles, visto que o tringulo PHF1
congruente ao tringulo PHG pelo caso ALA. Em conseqncia, o tringulo BGF1 tambm
-
28
issceles, pois o ponto B pertence bissetriz BP que , neste caso, mediatriz de GF1. Logo,
com referncia figura acima, temos:
BF2< BG+GF2 ( pela desigualdade triangular),ento
BF2 BF1< BG+GF2 - BF1;
mas BG = BF1 e PG = PF1, ento
BF2 BF1< GF2.
Como GF2 = PF2 PG = PF2 PF1 , tem-se que BF2 BF1< PF2 PF1=2a. O que significa
que a bissetriz BP s toca a hiprbole em P, o que mostra que ela tangente em P, como
queramos demonstrar.
Pelas Leis da reflexo da luz tem-se que:
i) O raio incidente Ri, a reta normal n e o raio refletido Rr so coplanares;
ii) O ngulo de incidncia i igual ao ngulo de reflexo r .
Figura 2.20: Leis da reflexo da luz.
Com referncia figura (2.19) e pela demonstrao do teorema acima, vimos que NP e GF1
so retas paralelas e o tringulo PGF1 issceles, segue que os ngulos desse tringulo em G
e F1 so iguais. Mas o ngulo em F1 igual ao ngulo de incidncia A N, por serem
correspondentes, e o ngulo em G igual ao ngulo N F2 por serem alternos internos.
Portanto o ngulo de incidncia A N igual ao ngulo N F2. Acabamos de provar a seguinte
propriedade de reflexo da hiprbole que : qualquer segmento de reta dirigido a um dos focos
da hiprbole encontra o ramo correspondente e refletido em direo ao outro foco.
Essa propriedade muito aplicada nos telescpios de reflexo, os quais so constitudos
de dois espelhos, sendo um maior, que parablico e outro menor, que hiperblico. Esses
dois espelhos dispem-se de modo que os eixos da parbola e da hiprbole coincidam e que o
foco da parbola coincida com um dos focos da hiprbole.
-
29
Outra importante utilizao das hiprboles no sistema de localizao em navegao,
denominado de LORAN (Long Range Navigation - Navegao de Longa Distncia). Este
sistema permite a um navegante de um navio ou o piloto de um avio achar sua posio sem
confiar em marcos visveis. O LORAN utiliza hiprboles confocais, isto , hiprboles com
um dos focos em comum, onde esto os radares que emitem sinais. Cada par de radares d
uma hiprbole que contem a posio do navio ou do avio e, assim, a sua posio exata o
ponto onde as trs hiprboles interceptam-se. Essa posio pode ser determinada pela
plotagem das trs hiprboles em um mapa, obtendo a interseo em comum usando
coordenadas e computando algebricamente a interseo.
2.5.3 Propriedade refletora da parbola
Definio 2.8. Seja t uma reta e P uma parbola, t tangente a P se no paralela ao eixo da
parbola e t contm apenas um ponto, P, chamado ponto de tangncia.
Figura 2.21: Reta tangente parbola.
Teorema 2.4. A reta tangente a um ponto P da parbola faz ngulos iguais com a reta que
passa por P paralela ao eixo da parbola e com a reta que passa por P e o foco.
-
30
Figura 2.22: Bissetriz t do tringulo FPP.
Demontrao. Sejam P um ponto qualquer da parbola de foco F e diretriz r e P o p da
perpendicular a diretriz da parbola passando por P(veja figura 2.22). Mostraremos
primeiramente que a bissetriz t do ngulo F P a tangente parbola em P. Como =
, pois P pertence parbola, o tringulo FPP issceles e t mediatriz do lado
.Considere agora D como um ponto qualquer da reta t, distinto de P. Se D a projeo de
D sobre r, temos:
DF=DP > DD.
Portanto D no pertence parbola e todos os outros pontos de t no pertencem a ela. Logo, t
tangente parbola em P.
Prologando-se o segmento PP, obtm-se a semirreta PX( veja figura 2.24). Desse modo, o
ngulo formado pela semirreta PX e a reta t, congruente ao ngulo formado pelo segmento
PP e a reta t. Isso se deve ao fato de serem ngulos opostos pelo vrtice. E como t bissetriz
do ngulo F P , ento o ngulo formado pelo segmento PF e a reta t congruente ao ngulo
formado pelo segmento PX e a reta t, como queriamos demonstrar.
-
31
Figura 2.23: Propriedade refletora da Parbola, .
Se girarmos uma parbola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfcie chamada
parabolide de revoluo, tambm conhecida como superfcie parablica. Esta superfcie
possui inmeras aplicaes interessantes, todas elas decorrentes da propriedade descrita
anteriormente. Um importante uso recente destas superfcies dado pelas antenas parablicas,
empregadas na rdio-astronomia, bem como no dia-a-dia dos aparelhos de televiso,
refletindo os dbeis sinais provenientes de um satlite sobre sua superfcie, fazendo-os
convergir para um nico ponto, o foco, deste modo reforando-os consideravelmente.
-
32
3 Cnicas em coordenadas polares
Nesta seo apresentaremos a definio geral das cnicas e suas equaes em coordenadas
polares.
3.1 Definio geral das cnicas
Uma definio geral das cnicas pode ser dada por:
Definio 3.1. Dados uma reta r e um ponto F no pertencente reta. A elipse, a hiprbole e a
parbola podem ser definidas como o lugar geomtrico dos pontos cuja razo das distncias
ao ponto F e a reta r uma constante real positiva que depende de cada curva. Esta constante
ser chamada de excentricidade. A reta r ser chamada de diretriz e o ponto F dado ser
chamado de foco.
Vamos agora encontrar uma expresso analtica das cnicas partindo-se da definio 3.1.
Seja o sistema de eixos ortogonais OXY tal que F = (0,0) e r : x = m, com m > 0, conforme
a figura 3.1.
Figura 3.1 : Definio foco-diretriz e plano cartesiano.
Seja P = (x, y) um ponto qualquer sobre qualquer uma das cnicas. Pela definio 3.1 tem-se
que
( )
( ) (3.1)
-
33
onde e a excentricidade da cnica. Tem-se que d(P,F)= e d(P,r)=| |.
Reescrevendo a equao 3.1 obtm-se
| |
Elevando ao quadrado ambos os membros e simplificando temos
( ) (3.2)
que a equao geral de uma cnica dada pela definio 3.1. Para determinar cada uma das
trs cnicas ser analisado os valores da excentricidade e , nos seguintes casos , e = 1 ,
0< e < 1 e e >1 .
Se , a equao 3.2 torna-se
.
Isolando y e simplificando,
(
) ( )
Seja OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova
origem O (
), pela equaes de translao temos x = x +
e y = y, logo substituindo
na equao 3.3 obtm-se
chamando m= 2p, com p>0 temos que
que a equao na forma cannica da parbola.
Aps a translao para o sistema OXY tem-se, coordenadas do foco F=(- p,0) e reta diretriz
r : x = 2p.
Figura 3.2 : Sistema OXY e cnica com excentricidade e = 1.
Se , ento . Dividindo a equao 3.2 por e completando
quadrados, tem-se
-
34
(
)
( )
Dividindo membro a membro por
( ) temos
(
)
( )
(3.4)
Efetuando a translao para o sistema OXY com origem O= (
) dada por
{
definindo e k =
a equao (3.4) pode ser escrita da como
(3.5)
Logo, se e > 1 temos a < 0 e k < 0, segue ento que a equao (3.5) uma hiprbole e se
e 0 e k > 0 e a equao (3.5) uma elipse.
3.2 Equao polar das cnicas
Partindo-se da definio 3.1 que caracteriza as cnicas pela propriedade foco-diretriz
possvel obter a equao geral destas curvas em coordenadas polares. Seja c uma cnica de
excentricidade e > 0. Consideremos um sistema de coordenadas polares em que um foco F da
cnica a origem O e o eixo polar est contido na reta focal de c.
Vamos considerar os casos onde a reta diretriz paralela ou perpendicular ao eixo focal.
Como o foco F est no plo, temos que d(P,F) = , em que ( , ) so as coordenadas polares
de P.
Primeiro vamos analisar o caso em que a reta diretriz perpendicular ao eixo focal.
Se a reta diretriz r est direita do plo, obtemos que d(P, r) = d - (veja figura 3.5),
onde d= d(F,r).
-
35
Figura 3.3: Cnicas em coordenadas polares
Assim a equao da cnica fica sendo
.
Isolando obtemos
(3.7)
Se a reta r est esquerda do plo, obtemos que d(P,r) = d + (veja figura 3.6).
Figura 3.4: reta diretriz esquerda do plo.
Assim a equao da cnica fica sendo
.
Novamente isolando obtemos
(3.8)
Ou seja, a equao polar de c, nesse sistema, O
c :
(3.9)
-
36
De modo anlogo, se o eixo polar , com origem O = F, for escolhido de modo a ser
paralelo diretriz r, podemos mostrar que a equao polar da cnica dada por
c :
(3.10)
A equao (3.10) ter sinal positivo se a reta diretriz correspondente a F paralela ao eixo
polar e est acima do plo, e ter o sinal negativo se estiver abaixo do plo.
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4 Relato de execuo
As atividades que realizamos ocorreu na Escola Estadual de Ensino Mdio Benedito
Corra de Souza localizado na Av. Marechal Rondon Bairro Boa Esperana, municpio de
Itaituba Estado do Par.A instituio, na poca, contava com 1200 alunos distribudo em trs
turnos ( manh, tarde e noite).
A clientela da instituio composta por alunos de classe social mdia baixa, que
residem em sua maioria nos bairros adjacentes instituio que est localizada prximo ao
centro da cidade. No turno noturno, a clientela de filhos de populao assalariada,
trabalhadores assalariados, pais e mes.
A execuo desse trabalho teve a participao de trinta alunos com idade entre
dezessete a trinta anos, sendo estes alunos do 3 ano do ensino mdio do turno da noite.
O fato de trabalhar com esta turma facilitou bastante a realizao das atividades. Sendo
aplicado primeiramente aula terica onde foi feita a explanao das curvas cnicas: elipse,
hiprbole e parbola, com o objetivo de facilitar o entendimento dos alunos em relao a cada
uma das sees cnicas.
Na sequncia a turma foi dividida em trs grupos com dez alunos cada, onde cada grupo
foi designado a trabalhar com um recurso didtico diferente. O 1 grupo confeccionou o cone
e suas sees cnicas usando cartolina, cola, tesoura e m de geladeira. O 2 grupo construiu
as sees cnicas usando materiais concretos como tachinhas, rgua,cola,tesoura, fita adesiva,
papel carto, papel A4 e barbante.Por fim o 3 grupo usou o Geogebra para construir as
sees cnicas a partir das definies e lugar geomtrico.
A seguir estaremos relatando as atividades desenvolvidas com a turma em questo.
4.1 Aula terica
As aulas tericas que foram aplicadas na turma do 3 ano no perodo de 19 de novembro
a 27 de dezembro de 2012 no turno da noite com durao de 40 minutos cada aula. Sendo
ministradas quatro aulas por semana, ou seja, duas na segunda-feira e duas na quarta-feira, da
seguinte forma, primeira semana foi explorado o contedo seo cnica - parbola, na
segunda semana foi trabalhada o assunto seo cnica-elipse e por fim na terceira semana foi
explorada a seo cnica-hiprbole. Utilizando o livro didtico Matemtica Contexto e
Aplicaes volume nico de Luiz Roberto Dante.
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38
As aulas iniciaram sempre nos dois primeiros horrios mais precisamente das 19h e 30
min s 20h e 50 min.
A aula da primeira semana (segunda- feira) teve inicio com a apresentao de um slide
no qual foi explorada a origem das seces cnicas. Que despertou um grande interesse por
parte dos alunos, devido os exemplos que foram expostos e relacionados ao cotidiano
existente na atualidade. Na sequncia foi dada a definio e elementos da seco cnica-
parbola com a utilizao do livro didtico.
A aula da quarta-feira iniciou com deduo da equao da parbola usando a definio
de parbola. Logo aps os alunos resolveram alguns exemplos para fixar o aprendizado,
destacando os principais elementos da parbola sendo: equao da parbola, coordenadas do
vrtice, foco e reta diretriz. Ao final da aula os alunos receberam uma lista de exerccios para
serem resolvidos em casa.
Na segunda semana (segunda- feira) a aula foi iniciada com a correo dos exerccios
da aula anterior, porm nem todos os alunos tentaram resolver as questes devido a falta de
tempo pelo simples fato de trabalhar o dia inteiro. Em seguida foi abordado o contedo da
seco cnica- elipse (definio e elementos)
Na quarta- feira a aula foi iniciada com a deduo da equao da elipse usando a
definio de elipse. Na sequncia os alunos resolveram alguns exemplos de fixao, onde
foram explorados: a equao da elipse dado os focos e os vrtices; dado os focos e a
excentricidade; dado as extremidades do eixo maior e um ponto pertencente elipse.
Finalizando a aula os alunos receberam uma lista de exerccios para serem resolvidos em casa.
Na terceira semana (segunda- feira) a aula foi iniciada com a correo dos exerccios da
aula anterior, dessa vez um nmero maior de alunos tentou resolver as questes. Em seguida
foi abordado o contedo da seco cnica- hiprbole (definio e elementos, equao da
hiprbole). Em seguida os alunos resolveram alguns exemplos com o auxlio do professor. Ao
final da aula os alunos receberam uma lista de exerccios para serem resolvidos em casa.
Na quarta- feira a aula iniciou com a correo dos exerccios da aula anterior. Os alunos
que terminavam a tarefa antecipadamente ajudavam os colegas com mais dificuldades. Dando
continuidade foi abordado o assunto assntotas da hiprbole. Em seguida os alunos resolveram
alguns exemplos com a ajuda do professor. E finalizando a aula os alunos receberam uma lista
de exerccios contendo todos os contedos abordados anteriormente com a finalidade de
preparar os mesmos para uma prova diagnostica ( prova diagnstica anexo 2).A prova era
composta de oito questes. Os alunos tiveram 80 minutos para responder as questes. Os
resultados e anlise da prova diagnstica so tratados no captulo 5.
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4.2 Aula prtica
Neste captulo iremos descrever trs atividades prticas realizadas pelos alunos do 3
ano do ensino mdio com a utilizao de materiais concreto e o software Geogebra. Na
realizao dessas atividades a turma foi dividida em trs grupos com dez alunos cada, onde
cada grupo foi designado a trabalhar com um recurso didtico diferente. O 1 grupo
confeccionou o cone e sees cnicas usando cartolina, cola, tesoura e m de geladeira. O 2
grupo construiu as sees cnicas usando materiais concretos como tachinhas, rgua, cola,
tesoura, fita adesiva, papel carto, papel A4 e barbante.Por fim o 3 grupo usou o Geogebra
para construir as sees cnicas a partir das definies e lugar geomtrico.
4.2.1 Aula prtica 1 - Confeco de um Cone e suas seces
Esta atividade foi retirada do material didtico Parbola As curvas preciosas de
Mirtes Tamy Gomes Machado. Para a execuo desta aula foram necessrios os seguintes
materiais: dez cartolinas sendo cinco azul e cinco preta, im de geladeira, tesoura, cola e o
moldes das partes de um cone. Os moldes das partes de um cone esto no Anexo 1 .
Nesta aula tivemos participao de dez alunos, eles foram divididos em cinco grupos,
sendo dois alunos em cada grupo. Foi distribudo entres os grupos um conjunto de moldes das
partes de um cone, duas cartolinas de cores diferentes, im de geladeira, cola, tesoura e uma
foto de amostra dos cones j montados.
Figura 4.1 : Cone e suas sees.
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40
No incio da aula o professor passou as instrues de como deve ser montado o cone,
atentando que o im deve ficar na parte de dentro do cone de modo que quando colocadas as
partes frente a frente, os pedaos de ms se encontrem, para que haja a atrao magntica.
A maioria dos grupos teve no incio muita dificuldade de montar o cone, apenas um
grupo no conseguiu terminar o trabalho sozinho, tiveram ajuda para completar a atividade.
Aps o trmino da construo do cone com suas seces, cada grupo apresentou seu
trabalho aos demais, explicando a relao que h entre cada seco e a geratriz considerada.
4.2.2 Aula prtica 2 Desenhando seces cnicas
A aula prtica e os materiais de apoio a seguir foram retirados de Contedos Digitais em
Matemtica para o Ensino Mdio Universidade Federal Fluminense site
www.uff.br/cdme/conicas/. Os materiais de apoio foram Prancheta de Apoio ou de Desenho,
um Aparelho para Desenhar Cnicas e uma Tira de Papel para Desenhar Cnicas. Para a
realizao das atividades necessrio um conjunto de recursos didticos que para serem
confeccionados utilizam os seguintes materiais: folha de papel-carto colorido; papelo
grosso de tamanho um pouco maior que uma folha de papel A4; plstico adesivo colorido;
rgua; esquadro; folhas de papel em branco do tamanho A4; furador de papel; estilete;
tesoura; caneta hidrocor; fita adesiva; cola instantnea.
Na execuo destas atividades os alunos foram divididos em duplas, sendo que cada
dupla recebeu uma cpia contendo uma gravura e os procedimentos necessrios para a
construo das mesmas. O tempo estipulado para esta atividade foi de 40 minutos. Veja os
procedimentos abaixo:
Procedimentos para a construo da Prancheta de Apoio ou de Desenho
Encape o papelo com o plstico adesivo.
Recorte 4 pequenos tringulos retngulos no papel-carto e cole-os com o plstico adesivo
pelas bordas nos cantos da placa de papelo, a fim de formar pequenas cantoneiras. Voc ter
uma prancheta na qual encaixar folhas de papel A4.
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41
Ateno! Para que possa encaixar uma folha nas cantoneiras, no cole todo o tringulo de
papel-carto. Voc deve colar apenas as bordas que esto em contato com os cantos da placa
de papelo. Veja o esquema :
Figura 4.2 Prancheta de apoio. fonte: www.uff.br/cdme/conicas/
Aparelho para Desenhar Cnicas
Cole o cateto menor do esquadro (se for escaleno) na parte lateral e graduada da rgua como
mostra a figura abaixo.
Figura 4.3: Aparelho para desenhar cnica.
Fonte www.uff.br/cdme/conicas/
Tira de Papel para Desenhar Cnicas
Recorte duas tiras de papel-carto de tamanho 15 cm x 3 cm e cole-as uma na outra. Com o
furador de papel faa dois furos na tira, um em cada extremidade, como mostra o esquema.
Figura 4.4: Tira de papel para desenhar cnicas
Fonte: www.uff.br/cdme/conicas/
-
42
Ao termino da confeco dos materiais acima as grupos utilizaram estes materiais na
construo das seces cnicas (elipse, hiprbole e parbola) da seguinte forma:
Cada grupo desenhou a elipse utilizando a Prancheta de Apoio, barbante, lpis, percevejos e o
roteiro abaixo:
a)Tome um pedao de barbante com cerca de 15 cm. Coloque uma folha de papel em branco
na Prancheta de Apoio, fixe dois percevejos de forma que a distncia entre eles seja um pouco
menor que o comprimento barbante e prenda-o usando os percevejos. Coloque um lpis no
lao do barbante e desloque-o partindo de um ponto e retornando at ele, de modo a manter o
barbante bem esticado sobre o papel.
b)Observe a curva que foi desenhada, voc j viu a forma desta curva antes? Voc sabe qual o
nome dela?
c)Troque o pedao de barbante por um menor. Repita o procedimento anterior.
d)Qual curva foi formada? Esta forma curva parecida com a anterior? Em que so parecidas
e em que so diferentes essas formas?
Figura 4.5: Desenhando a curva elipse
Fonte www.uff.br/cdme/conicas/
Na construo da parbola os grupos utilizaram a Prancheta de Apoio, Aparelho para
desenhar Cnicas, barbante, fida adesiva, lpis, percevejos. Seguindo as instrues do roteiro
abaixo:
a) Coloque uma folha em branco na Prancheta de Apoio.
b) Com o lpis, marque um ponto e um segmento de reta, chame o ponto de F e o segmento
de d.
c) Coloque o esquadro do Aparelho para Desenhar Cnicas sobre o papel de maneira que este
fique do mesmo lado da reta d em que est o ponto F.
-
43
d) Com fita adesiva e sobre a ponta livre do esquadro prenda um pedao de barbante de
comprimento igual distncia dessa ponta reta d. Com o auxlio de um percevejo,prende o
barbante, no ponto F.
e) Com a ponta do lpis mantenha o barbante bem esticado e encostado no esquadro. Deslize
o Aparelho sobre a Prancheta de Apoio, mantendo sua borda sobre a reta d, e trace uma curva.
f) Voc j viu uma forma geomtrica como o desta curva antes? Voc sabe o nome dela?
Figura 4.6: Desenhando a curva parbola.
Fonte www.uff.br/cdme/conicas/
Na sequncia os grupos construram a hiprbole usando a Prancheta de Apoio, Tira de
papel para desenhar Cnicas, barbante, percevejo, lpis e o roteiro abaixo.
a)Coloque uma folha de papel em branco na Prancheta de Apoio.
b)Trace duas retas perpendiculares, tais que, o ponto de interseo esteja aproximadamente no
centro da folha. Nomeie-as de x e y.
c) Marque dois pontos na reta x de maneira que sejam simtricos em relao y. Chame-os de
F1 e F2.
d) Coloque um percevejo em um dos furos da Tira de Papel para Desenhar Cnicas e prenda-
o no ponto F1.
e) Pegue um pedao de barbante de comprimento menor que 15 cm e amarre-o no outro furo
da Tira de Papel para Desenhar Cnicas.
f) Amarre um percevejo na outra ponta do barbante e prenda-o no ponto F2.
g) Com o lpis, estique o barbante de modo a encost-lo na Tira de Papel e a movimente em
torno de F1, mantendo a ponta do lpis encostada na folha de papel e o barbante esticado. Pare
quando o lpis chegar ao final do barbante.
h) Repita o procedimento a partir do item f, colocando o barbante no ponto F1 e a Tira de
Papel em F2, girando-a agora em torno deste ponto.
-
44
i) O que voc pode observar? Voc j viu alguma curva parecida com esta? Voc sabe o nome
dela?
Figura 4.7: Desenhando a curva hiprbole.
Fonte do site www.uff.br/cdme/conicas/
Para a realizao desta atividade foi estipulado um tempo de 40 minutos. Os alunos
demonstraram entusiasmo e concentrao, principalmente no momento em que eles
construram as curvas utilizando os materiais que eles mesmos confeccionaram. Tornando
desta forma a aprendizagem mais significativa.
4.2.3 Aula prtica 3 Aprendendo seces cnicas com Geogebra
Para a execuo desta atividade utilizamos computadores com o Software Geogebra
instalado e projetor multimdia.
Essa aula estava programada para ser executada no Laboratrio de Informtica da
escola, mas devido a um problema tcnico no laboratrio essa atividade foi aplicada na sala
de aula com dez alunos, sendo estes divididos em duplas. O professor pediu a cada dupla que
na prxima aula trouxessem notebooks com o Software Geogebra instalado.
Na aula seguinte a sala esta equipada com projetor multimdia para que os alunos
acompanhassem as explicaes e manuseio do Software. A maioria das equipes trouxe seus
computadores, porm duas duplas tiveram problemas, uma no conseguiu instalar o programa
e a outra no trouxe computador. Ento o professor disponibilizou um notebook e instalou o
programa. Dando continuidade na atividade o professor, com auxilio do projetor multimdia,
apresentou as principais ferramentas do Geogebra e sua utilizao para a realizao da
atividade programada.
Alguns alunos apresentaram grande dificuldade no manuseio do computador, ento foi
destinado um tempo maior do que o programado para que eles conseguissem acompanhar
-
45
melhor as instrues dadas pelo professor. Pensando nessa deficincia, o professor props as
duplas uma atividade envolvendo a utilizao da Barra de Ferramentas do Geogebra
( anexo 5).Na sequncia as duplas resolveram a atividade proposta, tirando as duvidas que
surgiram.
Na aula seguinte cada dupla recebeu um roteiro contendo as instrues para a
construo das seces cnicas elipse, hiprbole e parbola.
Construindo a elipse:
1. Trace um segmento AB;
2. Marque um ponto C sobre o segmento AB;
3. Trace os segmentos AC e CB;
4. Trace os crculos de raios AC e CB, tal que a distncia seja menor que AB;
5. Marque o ponto, de interseo dos crculos;
6. Habilite o rastro do ponto de interseo;
7. Anime o ponto C.
Figura 4.8 Construo da elipse no Geogebra
Construindo a hiprbole :
1. Marque dois pontos F1 e F2;
2. Trace uma semirreta de origem em F1 e que passe por F2;
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46
3. Marque um ponto A na semirreta F1F2 pertencente ao segmento F1F2;
4. Trace uma circunferncia de centro F1 e raio F1A;
5. Escolha um ponto D qualquer sobre a circunferncia e trace uma reta s passando pelos
pontos F1 e D;
6. Trace o segmento F2D;
7. Trace a mediatriz t do segmento F2D e chame de B a interseo entre eles;
8. Considere P a interseo da mediatriz t com a reta s. Essa interseo se dar no
prolongamento direita ou esquerda do segmento F1D dependendo da escolha de D.
9. Habilite o rastro do ponto P e anime o ponto D.
Figura 4.9: Construo da hiprbole no Geogebra.
Construindo a parbola:
1. Trace uma reta r e marque um ponto F no pertencente a r;
2. Trace uma reta s perpendicular reta r passando por um ponto D qualquer de r;
3. Trace o segmento FD;
4. Traces a mediatriz t do segmento FD;
5. Marque o ponto P da interseo das retas t e s.
6. Habilitar rastro do ponto P e animar o ponto D.
-
47
Figura 4.10 : Construo da parbola no Geogebra.
As duplas realizaram esta atividade com xito, pois ao manusear a ferramenta geogebra
fizeram descobertas interessantes na construo das seces cnicas.Sempre com a orientao
do professor demonstrando no quadro que as construes do lugar geomtrico das seces
cnicas elipse, hiprbole e parbola estavam voltada para suas definies.
-
48
5 Anlises dos resultados
Os resultados obtidos na aplicao do projeto Estudando curvas cnicas com
materiais concreto e Geogebra constituram na anlise de duas provas, sendo que a primeira
foi aplicada aps a aula terica e a segunda ao trmino do projeto (provas 1 e 2 Anexo 2).
5.1 Anlises da prova 1
Os 30 alunos participantes do projeto tiveram 80 minutos para resolver a primeira
prova, prova diagnostica, aplicada aps as aulas terica, que foi composta por 8 questes, de
forma sucinta, apresentamos a seguir.
A primeira questo versava sobre a definio de Seces Cnicas. Que teve um grande
nmero de erros e questes em branco.
A segunda, terceira e quarta questes versavam sobre elipse. Pedia-se para definir a
cnica elipse, identificar seus elementos e definir as equaes reduzidas da mesma de acordo
com a interpretao grfica apresentada na questo. Percebemos com auxilio da tabela e do
grfico que os resultados no foram bons nestas primeiras questes.
A quinta e sexta questo tratava de encontrar elementos das equaes da parbola e
hiprbole. Nestas questes percebemos que houve um baixo nmero de acertos totais.
A stima e oitava questes versavam sobre definio da cnica hiprbole e equao da
cnica parbola respectivamente.
Com auxilio da tabela 1, percebemos que o maior nmeros de erros foram nas questes
2, 5 , 7 e 8.
Na tabela 1 abaixo temos o resultado da prova diagnostica aplicada aos 30 alunos
participantes do projeto.
Tabela 1 : Avaliao das questes da prova diagnostica
Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos
1 08 (26,7%) 05 ( 16,7% ) 10 (33,3%) 07 (23,3%)
2 07 (23,3%) 08 ( 26,7%) 12 (40%) 03 (10,0%)
3 13 (43,4%) 04 ( 13,3 %) 10 (33,3%) 03 (10,0%)
4 11 (36,7%) 07 (23,3%) 08 (26,7%) 04 (13,3%)
5 04 (13,3%) 08 (26,7%) 13 (43,3%) 05 (16,7%)
6 02 (6,7%) 11 (36,7%) 11 (36,7%) 06 (20,0%)
7 07 (23,3%) 05 (16,7%) 12 (40%) 06 (20,0%)
8 09 ( 30%) 04 ( 13,3%) 13 (43,3%) 04 (13,3%)
-
49
Abaixo temos as tabelas 2, 3 e 4 com o desempenho dos alunos discriminados por
atividades realizada nas aulas prticas. Na tabela 2 temos o desempenho dos alunos que
participaram a aula prtica 1, na tabela 3 mostra o resultados da prova diagnostica realizada
pelas alunos que participaram da aula prtica 2 e por fim a tabela 4 temos o desempenho dos
alunos que participaram da aula prtica 3. Desta forma teremos como avaliar qual das trs
atividades teve um melhor aproveitamento por parte dos alunos.
Tabela 2 : Avaliao das questes da prova diagnostica dos 10 alunos que participaram da
aula prtica 1- Confeces de um cone e suas seces.
Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos
1 2 (20%) 2 (20%) 3 (30%) 3 (30%)
2 3 (30%) 3 (30%) 4 (40%) 0 (0%)
3 4 (40%) 2 (20%) 3 (30%) 1 (10%)
4 3 (30%) 3 (30%) 3 (30%) 1 (10%)
5 2 (20%) 1 (10%) 5 (50%) 2 (20%)
6 1 (10%) 3 (30%) 4 (40%) 2 (20%)
7 3 (30%) 0 (0%) 5 (50%) 2 (20%)
8 3 (30%) 1 (10%) 4 (40%) 2 (20%)
Tabela 3 : Avaliao das questes da prova diagnostica dos 10 alunos que participaram da
aula prtica 2- Desenhando seces cnicas
Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos
1 3 (30%) 2 (20%) 3 (30%) 2 (20%)
2 2 (20%) 2 (20%) 4 (40%) 2 (20%)
3 4 (40%) 1 (10%) 4 (40%) 1 (10%)
4 5 (50%) 2 (20%) 2 (20%) 1 (10%)
5 1 (10%) 3 (30%) 4 (40%) 2 (20%)
6 0 (0%) 4 (40%) 4 (40%) 2 (20%)
7 2 (20%) 2 (20%) 3 (30%) 3 (30%)
8 3 (30%) 2 (20%) 4 (40%) 1 (10%)
-
50
Tabela 4 : Avaliao das questes da prova diagnostica dos 10 alunos que participaram da
aula prtica 3- Aprendendo seces cnicas com Geogebra.
Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos
1 3 (30%) 1 (10%) 4 (40%) 2 (20%)
2 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)
3 5 (50%) 1 (10%) 3 (30%) 1 (10%)
4 3 (30%) 2 (20%) 3 (30%) 2 (20%)
5 1 (10%) 4 (40%) 4 (40%) 1 (10%)
6 1 (10%) 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%)
7 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)
8 3 (30%) 1 (10%) 5 (50%) 1 (10%)
5.2 Anlises da prova 2
A segunda prova foi elaborada de acordo com a prova diagnstica, composta de oito
questes que no se diferenciaram muito da prova diagnstica. Os alunos tiveram 80 minutos
para responder as oito questes. A primeira avaliao mostrou que a maioria dos alunos no
compreendeu as definies das seces cnicas estudadas.
A primeira questo da prova 2 diferenciava-se da primeira questo da prova diagnstica,
perguntamos aos alunos se, com a participao no projeto facilitou a compreenso da
definio das seces cnicas? E se sim, como? E obtivemos um resultado bastante
significativo nesta questo, onde 73,3% consideram que a participao no projeto realmente
contribui muito na compreenso das seces cnicas, por apresentar uma forma dinmica e
diferente de aprender. As tabelas 5, 6 , 7 e 8 abaixo mostrados a seguir, evidenciam os bons
resultados que obtivemos em nosso projeto.
-
51
A tabela 5 abaixo temos o resultado da segunda avaliao aplicada aos 30 alunos
participantes do projeto.
Tabela 5 : Avaliao das questes da prova 2
Questes Acertos Totais Acertos parciais Erros Brancos
1 22 (73,3%) 0 (0%) 0 (0%) 8 (26,7%)
2 12 (40%) 11 (36,7%) 7 (23,3%) 0 (0%)
3 17 (56,7%) 7 (23,3%) 5 (16,7%) 1 (3,3%)
4 22 (73,3%) 3 (10%) 5 (16,7%) 0 (0%)
5 12 (40%) 6 (20%) 9 (30%) 3 (10%)
6 19 (63,3%) 4 (13,3%) 6 (20%) 1 (3,3%)
7 12 (40%) 9 (30%) 6 (20%) 3 (10%)
8 24 (80%) 3 (10%) 3 (10%) 0 (0%)
Nas tabelas 6, 7 e 8 temos os resultados da prova 2, discriminados por atividade realiza
pelos alunos, onde a tabela 6 apresenta o resultado da prova 2 dos alunos que participaram da
aula prtica 1, na tabela 7 temos o desempenho dos alunos que participaram da aula prtica 2
e por ltimo o tabela 8 temos o resultado dos alunos que participaram da aula prtica 3.
Tabela 6: Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula
prtica1- Confeces de um cone e suas seces.
Questes Acertos Totais Acertos parciais Erros Brancos
1 3 (30%) 0 (0%) 0 (0%) 7 (70%)
2 3 (30%) 3 (30%) 4 (40%) 0 (0%)
3 4 (40%) 3 (30%) 3 (30%) 0 (0%)
4 5 (50%) 2 (20%) 3 (30%) 0 (0%)
5 3 (30%) 1 (10%) 5 (50%) 1 (10%)
6 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)
7 1 (10%) 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%)
8 6 (60%) 2 (20%) 2 (20%) 0 (0%)
Percebemos pela anlise da tabela 6 que apenas 30% dos alunos, que participara da aula
prtica 1 Confeces de um cone e suas seces, consideraram que o projeto proporcionou
uma melhor compreenso das definies das seces cnicas.
Pelo o que mostra as tabelas 7 e 8 abaixo temos 90 e 100% respectivamente de alunos que
considerou que sua participao no projeto ajudou a compreender melhor as definies das
seces cnicas.
-
52
Tabela 7: Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula
prtica 2- Desenhando seces cnicas.
Questes Acertos Totais Acertos parciais Erros Brancos
1 9 (90%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (10%)
2 5 (50%) 3 (30%) 2 (20%) 0 (0%)
3 7 (70%) 2 (20%) 1 (10%) 0 (0%)
4 9 (90%) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)
5 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%) 1 (10%)
6 8 (80%) 1 (10%) 1 (10%) 0 (0%)
7 6 (60%) 2 (20%) 2 (20%) 0 (0%)
8 9 (90%) 1 (10%) 0 (0%) 0 (0%)
Tabela 8 : Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula
prtica 3- Aprendendo seces cnicas com Geogebra.
Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos
1 10 (100%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%)
2 4 (40%) 5 (50%) 1 (10%) 0 (0%)
3 6 (60%) 2 (20%) 1 (10%) 1 (10%)
4 8 (80%) 1 (10%) 1 (10%) 0 (0%)
5 5 (50%) 2 (20%) 2 (20%) 1 (10%)
6 9 (90 %) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)
7 5 (50%) 3 (30%) 1 (10%) 1 (10%)
8 9 (90%) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)
Os alunos que participaram da aula prtica 1- Confeces de um cone e suas seces,
no tiveram resultado muito diferente da primeira prova, mas os participantes dos demais
grupos tiveram um nmero de acertos bem maior que na primeira prova.
Ao voltarmos nossa ateno para os acertos totais mostrados nas tabelas 7 e 8, logo
acima percebemos que o ndice desse, referente a cada questo, foi bem maior na prova 2 de
que na prova 1.
Para facilitar a leitura dos dados das tabelas acima vamos observar os grficos abaixo,
onde veremos os acertos nas principais questes da prova 2, sendo questes de definio da
curva cnica e equao da curva sendo dados um ponto o vrtice e informaes sobre o eixo
de simetria.
-
53
Grfico 1 : Comparao entre os resultados dos grupos na questo : definio da elipse
Verificamos pela anlise do grfico acima que os participantes dos grupos 2 e 3 tiveram
um nmero maior de acertos nesta questo em comparao da prova 1 com a prova 2 . J o
grupo 1 teve um nmero menor de acertos nesta questo.
Vamos analisar agora a resultado dos grupos na questo que pedia a equao da
parbola.
Grfico 2: Comparao dos resultados dos grupos na questo : equao da parbola.
Verificamos novamente o bom desempenhos dos participantes dos grupos 2 e 3 tendo
demonstrado uma aprendizagem do contedo ministrado. O grupo 1 tem por sua vez um
resultado pior na prova dois, vale ressaltar que as questes das provas 1 e2 so parecidas mas
no so as mesmas questes .
Vamos agora comparar com ajuda de um grfico o resultado entre os grupos na questo
da prova 2 onde pedia a definio da curva cnica parbola.
0
2
4
6
8
10
acertou a questo naprova 1
acertou a questo naprova 2
Questo que pedia a definio de elipse.
grupo 1
grupo 2
grupo 3
01234567
Acertou aquesto na
prova 1
acertou aquesto na
prova 2
Questo que pedia a equao da parbola.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
-
54
Grfico 3 : Comparao entre os resultados dos grupos na prova 2 na questo que pedia
a definio de parbola.
Temos mostrado nos grficos acima que o grupo 1 no teve sucesso nas questo apresentadas
tendo sempre uma quantidade de acertos menores que os do demais grupos.
0
2
4
6
8
acertou aquesto
Questo da prova 2 que pedia a
definio de parbola
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
-
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6 Consideraes Finais
A partir de uma comparao entres as anlises realizadas nas provas 1 e 2 podemos
afirmar que, no so necessrios muitos esforos para percebermos que as atividades a qual
realizamos, proporcionou aos alunos um progresso na aprendizagem com relao ao estudo
das sees Cnicas abordadas.
importante ressaltarmos tambm que, o tempo que estivemos em contato com os alunos
foi extremamente importante, e que nos possibilitou de ir mais longe ao que concerne ao
desenvolvimento, pelos alunos, de habilidades como explorar, refletir, supor, para que , se
apoiando no professor quando necessrio o aluno aprenda a construir seu prprio
conhecimento.
Analisando os resultados do grupo 1, verificamos pelas notas da segunda prova, que esses
alunos tiveram um aumento pouco expressivo, tendo questes com quantidade de acerto at
menor do que da prova 1, quando comparado com questo do mesmo nvel. Os participantes
deste grupo eram em sua maioria formada por alunos mais velhos. Muitos tiveram grande
dificuldades de completar as atividades, pois as peas para montar o cone eram bem
pequenas. Desta forma muitos no se motivaram em completar as atividades que foram
aplicadas em duplas. Isso deve ter desmotivado a maioria em aprender os assuntos tratados
nas atividades. J os participantes dos grupos 2 e 3 eram mais novos, eram mais animados e
interessados em desenvolver as atividades apresentadas. Outro ponto a favor desses dois
grupos que as definies das curvas cnicas estavam mais presentes no decorrer das
atividades, e sempre aps cada etapa, seja nas atividades utilizando a pranche ou o Geogebra,
o professor demonstrava aos alunos que aquelas construes estavam de acordo com as
definies de sees cnicas apresentadas nas aulas tericas.
Com a aplicao das atividades foi possvel melhorar a aprendizagem dos alunos
tornando mais significativo o conhecimento abordado. A confeco e o uso dos materiais
didticos usado nas atividades fizeram com que os alunos compreendessem que possvel
aprender matemtica com a utilizao de materiais concretos e com uso de programa de
computao, neste caso o Geogebra que deixou os alunos fascinados ao aprender a manusear
o software na construo das cnicas, pois eles desconheciam esse programa, porm aps a
apresentao dessa ferramenta, entenderam que existe uma forma diferente de aprender
matemtica. Isso possibilitou uma aprendizagem atraente pela simples fato de ver suas
construes no Geogebra tomando forma.
-
56
Nesse sentido acreditamos que o trabalho contribuiu de forma significativa para a
melhoria do processo ensino-aprendizagem da matemtica, pois percebemos que o projeto
despertou nos alunos a curiosidade e o interesse para aprender contedos matemticos, em
especial da geometria analtica Sees Cnicas.
-
57
Referncias Bibliogrficas
[1] Aplicaes prticas das parbolas. Antenas parablicas.Disponvel em :
[2] As Cnicas e suas Aplicaes. A construo da parbola pelo mtodo da dobradura p.32.
Disponvel em http:/www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_Conicas
Aplicaes.pdf
[3] Boyer, Carl Benjamin, 1906- Histria da matemtica; traduo: Elza F. Gomide. So
Paulo, Edgadr Blcher, 1974.
[4] Contedos digitais em matemtica para o ensino mdio-Universidade Federal Fluminense-
UFF. Disponvel em em http://www.cdme.im-uff.mat.br/ .
[5] Dante,Luiz Roberto. Matemtica Contexto e Aplicaes, Volume nico-Ensino
Mdio,Editora tica 2010.
[6] EVES, Howard. (1997) Introduo histria da matemtica 2 ed. Campinas, SP.
Editora da Unicamp.
[7] GeoGebra. Manual do Usurio. http://www.geogebra.at/
[8] PCNs (Parmetros Curriculares Nacionais). Cincias da natureza Matemtica e suas
Tecnologias. Braslia: Ministrio da Educao Bsica, 2006.(Orientaes Curriculares para
oEnsino Mdio; Volume 2).
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Anexos
Anexo 1 - Moldes das partes de um cone
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60
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61
Anexo 2 - Prova diagnostica
EEEM Benedito Correa de Souza
Professor Ademar Francisco do Nascimento
Aluno(a) : ........................................................................................................................
Questes
1) De acordo com o que estudamos defina seces cnicas.
2) Como podemos definir a elipse?
3) Cite alguns elementos da elipse.
4) De acordo com cada figura escreva ao lado a equao da elipse.
5) Determine o foco e a reta diretriz da parbola de equao y2= 5x.
6)Determine o centro, os focos e os vrtices da hiprbole de equao 5x2-4y
2-20y-8y-4=0.
7)Observe a figura abaixo, defina o que uma hiprbole.
8)Escreva a equao da parbola com diretriz d paralela ao eixo y e foco direita de d.
-
62
Anexo 3 - Prova 2
EEEM Benedito Correa de Souza
Professor Ademar Francisco do Nascimento
Aluno(a) : ........................................................................................................................
Questes
1)A participao no projeto contribuiu na compreenso da definio das seces cnicas?
2)Quais so as equaes da hiprbole quando os focos pertencem ao eixo OX e quando
pertencem ao eixo OY?
3)De acordo com o que foi visto no projeto defina parbola.
4)Cite os elementos da parbola.
5)Numa elipse, as extremidades do eixo maior so os pontos A1=(6,0) 2 A2=(-6,0). Sabendo
que a elipse passa pelo ponto P=(3,2) determine sua equao.
6)De acordo com o que foi visto no projeto defina elipse.
7)Determine a equao da parbola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x, vrtice no
ponto V=(0,4) e que passa pelo ponto P=(2,1).
8) Quais os elementos da hiprbole?
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63
Anexo 4- Alunos participantes do projeto
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64
Anexo 5- Atividade
Objetivo: Apresentar o software GeoGebra aos alunos e trabalhar as principais ferramentas,
dando um pouco de prtica aos mesmos.
Para esta atividade inicial, iremos construir alguns elementos grficos com eles, tais como:
1) Ponto no plano cartesiano;
2) Reta no plano cartesiano;
3) Polgonos convexos;
4) Retas paralelas;
5) Retas perpendiculares;
6) Interseo de objetos;
7) Ponto mdio;
8) Mediatriz de um segmento;
9) ngulo;
10) circunferncia ;
Usando a barra de botes abaixo, construa os seguintes itens:
1) Insira os pontos A = (3 , -1), B = (-2 , -1) e C = (1 , 4) no plano ;
2) Traar as retas AB, AC e BC, usando o terceiro boto da barra acima;
3) Traar a reta r paralela reta AB e que passa pelo ponto C, usando o comando oculto
dentro do quarto boto da barra acima;
4) Inserir os pontos mdios M, N e P dos lados AB, AC e BC do tringulo ABC, usando o
comando oculto dentro do segundo boto da barra acima;
5) Traar a reta s perpendicular reta r e que passa pelo ponto A, usando o comando oculto
dentro do quarto boto da barra acima;
6) Traar o ponto D, interseo da reta s com a reta BC, usando o comando oculto dentro do
segundo boto da barra acima;
-
65
7) Traar a reta mediatriz t, do segmento BC, usando o comando oculto dentro do quarto
boto da barra acima;
8) Medir os ngulos do tringulo ABC, usando o comando oculto dentro do oitavo boto da
barra acima.
9) Construir uma circunferncia dado o centro e um de seus ponto, dado o raio e o centro.
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