movimento harmônico simples -...
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Movimento Harmônico Simples
IntroduçãoOscilar significa mover-se de um lado para outro, movimentar-se
alternadamente em sentidos opostos, mover-se, tornando a passar (ao
menos aproximadamente) pelas mesmas posições.
Periódico significa que se repete com intervalos regulares.
Movimento Harmônico Simples (1D) pode ser definido como
aquele em que a posição obedece a equação:
ˆφω +=r
itAtx ˆ)cos()( φω +=r
PeríodoPara a fase φ = 0:
tTt
TtAtA
πωω
ωω
2)(
)](cos[)cos(
+=+
+=
fT
T
tTt
ππ
ω
πω
πωω
22
2
2)(
==
=
+=+
Velocidade, Aceleração
ˆ)()(
ˆ)cos()(
itAsendt
xdtv
itAtx
r
rr
r
φωω
φω
+−==
+=
)()(
ˆ)cos()(
2
2
txta
itAdt
vdta
rr
rr
ω
φωω
−=
+−==
Força
ixmamF ˆ2ω−==rr
Movimento harmônico simples é o movimento
executado por uma partícula de massa m sujeita a
uma força que é proporcional ao deslocamento da uma força que é proporcional ao deslocamento da partícula, mas com sinal contrário.
mT 2
k= π
2ωmkxkF =⇒−=rr
m
k=ω
mT 2
k= π
1 1= =
π
1 1f
T m2
k
Movimento Harmônico X
Circular Uniforme
Fasores
Energia no MHS
De forma análoga ao sistema massa-mola:
2
)(cos
2
)()(
222tkAxk
tU+
==φω
r
r
2)()()(
2
)(
2
)()(
22
2
222
kAtUtKtE
tsenkAvmtK
=+=
+==
φωr
MHS Angular
tA
Ik
I
k
+=
=−
=
−=
θφωθ
αθθ
ατ
θθτ
ˆ)cos(
ˆ
ˆ
r
r
r
rr
r
I
k
k
IT
t
tA
tsenA
==
−=
+−=
+−=
ωπ
θωα
θφωωα
θφωωϖ
2
)(
ˆ)cos(
ˆ)(
2
2
rr
r
r
Pendulo Simples
Não linear, não é harmônico simples.
Mas, para θ pequeno, sen(θ) ->θ:
mgF mg xθ≈ − = −
θθ ˆmgsenF −=r
mgF mg x
Lθ≈ − = −
= πL
T 2g
= =k g
wg L
Pêndulo Físico
( )mgdsen mgdτ θ θ= − ≈ −
θ = α => α = − θmgd
(mgd) II
2d mgdθ2
2
d mgd
dt I
θθ= −
mgdw
I=2
IT
mgdπ=
Oscilações Amortecidas
2
2
0xkdt
xdb
dt
xdm
amxkvb
=++
=−−
rrr
rrr
2
2
2/
2
4
ˆ)cos()(
0
m
b
m
k
itAetx
xkdt
bdt
m
mbt
−=′
+′=
=++
−
ω
φωr
Oscilações Amortecidas
Nas não amortecidas.
2)()()(
2kA
tUtKtE =+=
Se o amortecimento for pequeno.
2)(
2
/2 mbtekA
tE−
≈
itAetxmbt ˆ)cos()( 2/ φω +′= −r
Oscilações Forçadas e
Ressonância
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