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Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 1. Introdução
1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço
(controlar o nível de fendilhação, limitar a deformação e controlar a
vibração).
Em condições de serviço,
− as acções tomam valores reais previstos (não são majoradas);
− o comportamento dos materiais é simulado através da utilização das
propriedades médias (não minoradas).
1.2. ACÇÕES Para verificação aos estados limites de utilização são utilizadas combinações de
acções com diferentes probabilidades de ocorrência:
Combinação rara: pequena probabilidade de ocorrência (estado limite de muito
curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura)
Gm + Qk + ∑i ψ1i Qik
Combinação frequente: probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do
tempo de vida da estrutura (estado limite de curta duração)
Gm + ψ1 Qk + ∑i ψ2i Qik
Combinação quase-permanente: probabilidade de ocorrência superior a 50% do
tempo de vida da estrutura (estado limite de longa duração)
Gm + ∑i ψ2i Qik
Gm – valor médio das acções permanentes
Qk – valor característico da acção variável base
Qik – valor característico das restantes acções variáveis
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 104
Betão Armado e Pré-Esforçado I
1.3. MATERIAIS
1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização (i) Aço
fyd
σs
fyd
εs
Es
0.2%
fyk
curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos
curva realcurva característicacurva de cálculo
E.L. Utilização
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,
Es = 200 GPa
εs
σs
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 105
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(ii) Betão
εc
σc
0.85 fcd
3.5‰2‰
fck
Ec
0.4 fck
εc
curva realcurva característica
curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,
Ec
εc
σc
fctm
Nota: As propriedades mecânicas do betão variam ao longo do tempo devido aos
efeitos diferidos (fluência e retracção).
1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão
A deformação do betão ao longo do tempo depende de dois efeitos:
− Fluência (depende da actuação das cargas)
− Retracção (independente do estado de tensão)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 106
Betão Armado e Pré-Esforçado I
1.3.2.1. Fluência
Definição: Aumento da deformação no tempo sob a acção de um estado de tensão
(originada pela variação de volume da pasta de cimento que envolve os inertes).
(i) Exemplo:
(a) Instante de aplicação da carga (t0)
p
εc(to)
εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)
(b) Tempo t∞
p
εc(to)εcc(t∞,to)
εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)
onde,
εcc(t∞,t0) representa a deformação por fluência
ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de εc no
intervalo de tempo [t∞, t0] e o εc (t0))
Para idades de carregamento usuais, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Em geral, poderá utilizar-se o
valor ϕ ≅ 2.5.
(ii) Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da
fluência
t∞ = 10 000 dias (≅ 27 anos)
εc (t∞, t0) = εc (t0) + εcc (t∞, t0) = εc (t0) + ϕ (t∞, t0) εc (t0) = σc (t0)Ec (t0) + ϕ (t∞, t0)
σc (t0)Ec (t0) ⇔
⇔ εc (t∞, t0) = σc (t0)Ec (t0) (1 + ϕ) = εc (t0) (1 + ϕ)
⇒ εc (t∞, t0) = σcE*c
, com E*c = E c
1 + ϕ
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 107
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Para determinar a deformação de uma estrutura, há que calcular em primeiro lugar, a
deformação elástica e depois a deformação a longo prazo por efeito da fluência.
A fluência do betão depende de:
− idade do carregamento (t0)
− período do carregamento [t, t0]
− humidade relativa do ambiente (> humidade ⇒ < fluência)
− temperatura relativa do ambiente (> temperatura ⇒ > fluência)
− composição do betão
− consistência do betão
− forma da secção
(iii) Efeito da fluência na deformação de uma viga
p
δ
δ = f
1
R
pelo P.T.V., δ = ⌡⌠
L M .
1 R dx
Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca um aumento
da deformação da zona comprimida e, consequentemente, um aumento da curvatura.
d
(+)
(-)
εc(to)
εs
εc(to)
(+)
εs
(-)
εcc(t,to)
1R (t, t0) =
|εc (t0)| + |εcc (t, t0)| + εsd
Deste modo, a flecha da viga aumenta, devido à deformação originada pela fluência.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 108
Betão Armado e Pré-Esforçado I
1.3.2.2. Retracção
Definição: variação da dimensão de uma peça de betão (diminuição da dimensão) no
tempo, independentemente do estado de tensão da peça (na ausência de variações
de temperatura e de tensões aplicadas).
(i) Exemplo
εcs(t∞,to)
to t∞
εcs (t∞, t0) ≅ - 200×10-6 a - 400×10-6 = - 2.0×10-4 a - 4.0×10-4
100 m
ε = ∆LL ⇒ ∆L = ε × L
∆L=-4.0×10-4×100m=-0.04m
(uma ponte de 100m diminui 4cm apenas devido ao efeito da retracção).
A retracção pode ser tratada como um problema de variação da temperatura com um
valor de ∆Tequivalente
α = 10-5/°C – coeficiente de dilatação térmica do betão
εcs = -2 × 10-4 a -4×10-4 ⇒ ∆Tequivalente = -20°C a -40°C
(ε∆T = α × ∆T = 10-5/°C × (-20° a -40°) = -2×10-4 a -4×10-4)
Se a retracção livre for impedida por restrições ao nível da secção ou da estrutura,
produzir-se-ão tensões que podem levar à ocorrência de fendilhação.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 109
Betão Armado e Pré-Esforçado I
A retracção do betão depende de:
– Humidade e temperartura relativa do ambiente
– Consistência do betão na altura da betonagem
– Forma da secção (espessura fictícia do elemento)
(ii) Efeito da retracção na deformação de uma viga
εs
εc
d (-)
Curvatura: 1R =
εs - εcd
A retracção do betão provoca uma curvatura na peça por efeito da restrição à
deformação provocada pela armadura ⇒ deformação.
δ
δ = f
1
R
pelo P.T.V., δ = ⌡⌠
L M .
1 R dx
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 110
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Estado Limite de Fendilhação
2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO
Considere-se a seguinte barra sujeita à tracção.
N
σc
N As
Ac
com σc = N Ac
σs = εs Es ; σc = εc Ec
como εs = εc ⇒ σs σc
= Es Ec
⇔ σs = Es Ec
σc ⇔ σs = α σc , com α = Es Ec
Se σc = fctm → fendilhação ⇒ Todo o esforço passa a ser absorvido pela armaduraA tensão no aço aumenta bruscamente
Após o aparecimento da primeira fenda, ou seja, em secção fendilhada,
NN
σc = fct ⇒ fct Ac = As ∆σs ⇔ ∆σs = Ac As fct
⇒ ∆σs = 1 ρ fct , com ρ =
AsAc
(% de armadura)
(∆σs – aumenta de tensão no aço no instante da fendilhação)
ρ
σs
fyk
ρmin
∆σs
α fct
σs = α fct + ∆σs
ρmin - % de armadura mínima para que a armadura não atinja a cedência (não
plastifique) no instante da formação da 1ª fenda.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 111
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Por efeito da aderência aço/betão, na região adjacente à fenda ocorre uma
transferência de tensões do aço para o betão.
N N
σc
τm
s
σc = N Ac = fct ⇔ N = fct Ac
Quando as tensões na secção atingem uma distribuição uniforme, poderá ocorrer
outra fenda.
A distância entre fendas (s) obtém-se através de:
Nsolicitante,serv = Nresistente ⇔ fct Ac = τm × Acontacto ⇔ fct Ac = τm × u × s ⇒ smin = fct
τm ×
Acu
Como ρ = AsAc
⇔ Ac = As
ρ = πφ2
4ρ e u = πφ ⇒ Ac u =
πφ2 4ρ ×
1 πφ =
φ 4ρ
∴smin = fct τm × φ
4ρ
Caso se trate de um problema de flexão (e não de tracção pura), a distribuição de
tensões na zona traccionada é triangular.
s
τm
fct
M
Dado que Nsolicitante = fct × Ac × 12 , smin = fct
τm × 1 2 × φ
4ρ
A transmissão de tensões do aço para o betão através da aderência ocorre apenas
numa zona restrita em torno da armadura.
hc,ef
d
Ac,ef Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef
definida através de:
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h – x)/3; h/2]
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 112
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρp,ef) relativa à área de betão
efectiva, calculada de acordo com a expressão
ρp,ef = AsAc.ef
Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de
smin = 0.25 k1 k2 φ
ρp,ef
onde,
k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que
toma os seguintes valores
0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)1.6 para varões lisos
k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e
que toma os seguintes valores
0.5 para flexão1.0 para tracção simples
No caso de tracção excêntrica, ou para zonas localizadas, devem utilizar-se
valores médios de k2, que podem ser calculados pela expressão:
M
Ac,ef
ε2
ε1
k2 = ε1 + ε2
2 ε1
k2 = 1.0 ⇐ ε1 = ε2 (tracção pura)0.5 ⇐ ε2 = 0
Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros
diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φeq), dado por
φeq = n1 φ12 + n2 φ2
2
n1 φ1 + n2 φ2
O Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas que pode ser calculada
através da seguinte expressão:
sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef (= 1.7 srmin + 3.4 c)
onde c representa o recobrimento das armaduras.
Conclusões:
menor φ ⇒ menor distância entre fendas
maior quantidade de armadura ⇒ menor distância entre fendas
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 113
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.2. ABERTURA DE FENDAS
NN
L0
L
srm
σs
σc
εs;εc
εsm
εcm εsr εsrm
onde,
εsm = ∆LL0
= L - L0L0
(deformação média da armadura)
εsr – extensão relativa entre o aço e o betão
εsrm – extensão média relativa entre o aço e o betão
sss
N N
sss Ac
As
w w
w - abertura de fendas
s - distância entre fendas
εs = ∆L L = w
s
⇒ w = s εs
εs = σs Es
e σs = N As
Problemas que surgem no cálculo real da abertura de fendas:
− Determinação da distância entre fendas;
− Aderência aço/betão que obriga o betão a deformar-se, sendo a deformação relativa
entre os dois materiais que interessa para o cálculo da abertura de fendas (w = s εsr).
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 114
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.2.1. Determinação da extensão média relativa entre o aço e o betão
A extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada pela seguinte
expressão:
εsrm = εsm – εcm
(i) Determinação da extensão média do aço
Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço
em função do esforço axial, a extensão média do aço é inferior à extensão do aço em
estado fendilhado (εsII), devido à contribuição do betão entre fendas.
N
εsm
I
II
εsm
N
Ncr
εsIIεsI
Contribuição do betão entre fendas
Deste modo,
εsm = Fs - Fc Es As = σs As - kt fct,ef Ac,ef
Es As = σs
Es - kt
fct,ef Es ρp,ef
onde
σs representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;
kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a
duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4
para acções de longa duração);
fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção (= fctm);
ρp,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva
As
Ac.ef
(ii) Determinação da extensão média do betão
εcm = σc Ec
= Fc Ec Ac = kt fct,ef Ac
Ec Ac = kt
fct,ef Ec
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 115
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada
através de
εsm – εcm = σs Es
- kt fct,ef
Es ρp,ef - kt
fct,ef Ec = σs
Es - kt
fct,ef Es ρp,ef
1 + Es ρp,ef
Ec
⇒ εsm – εcm = σs Es
- kt fct,ef
Es ρp,ef (1 + αe ρp,ef) com αe = Es Ec
2.2.2. Determinação do valor característico da largura de fendas
O valor característico da abertura de fendas obtém-se através da expressão que a
seguir se apresenta
wk = sr,max × εsrm = sr,max (εsm - εcm)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 116
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 11
Considere a estrutura representada na figura seguinte.
6.00 3.00
sc = 12 kN/mcp = 20 kN/m
γg = γq = 1.5
ψ1 = 0.6 ; ψ2 = 0.4
Materiais: C25/30
A400NR
Recobrimento:2.5cm
Secção do tirante: 0.25 × 0.25 m2
a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.
b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação
frequente de acções.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 117
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 11
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços
3.006.00
p=1 kN/m
RA RB
ΣMA = 0 ⇔ RB×6 – 1 × 9 × 4.5 = 0
⇔ RB = 6.75kN
(reacção no tirante)
psd = 1.5 × (20 + 12) = 48 kN/m
Nsd.tirante = 6.75 × 48 = 324 kN/m (tracção pura)
As = Nsd fyd = 324
348×103 × 104 = 9.31 cm2 ⇒ Adoptam-se 8φ12
ALÍNEA B)
1. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef
(i) Determinação de ρp,ef
ρp,ef = As Ac.ef = 9.05 × 10-4
0.0583 = 0.0155
0.0925
0.065
h – d = rec + φest + φL2 = 0.025 + 0.006 + 0.012
2 = 0.037m
2.5 (h – d) = 2.5 × 0.037 = 0.0925 m
Ac.ef = 0.25 × 0.25 – 0.065 × 0.065 = 0.0583 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef = 3.4 × 0.025 + 0.425 × 0.8 × 1.0 × 0.012
0.0155 = 0.348 m
(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 118
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
εsm – εcm = σs Es
- kt fct,ef
Es ρp,ef (1 + αe ρp,ef) =
= 202.9×103 200×106 - 0.4 2.6×103
200×106 × 0.0155 (1+ 6.56 × 0.0155) = 6.45 × 10-4
Nfr = Ncp + ψ1 Nsc = 6.75 (20 + 0.6 × 12) = 183.6kN
σs = Nfr As = 183.6
9.05×10-4 = 202.9 MPa
kt = 0.4 – acções de longa duração
αe = Es Ec = 200
30.5 = 6.56
3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.348 × 6.45 × 10-4 = 0.224×10-3 m = 0.2 mm
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 119
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.2.3. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada (flexão)
Se Mactuante > Mcr (= ω × fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário
considerar a secção fendilhada.
Em estado fendilhado (estado II), a LN não passa no CG da secção (a posição da LN
poderá ser obtida através do equilíbrio de momentos estáticos entre a zona
comprimida e a zona traccionada, ou através de tabelas).
2.2.3.1. Cálculo de tensões através de tabelas
As2
As1
d2
d
N
σs2
x
Ms
b
σs1
c
Valores constantes: β = As2/As1; d2/d
1) Parâmetros a calcular:
α = Es Ec
; ρ = AsL b d ; es = Ms
N
Ms – Momento actuante na secção em
relação à armadura As1
2) Em função dos parâmetros αρ e es/d ⇒ Cs
Cc
3) Resultados
σs1 = α Cs Ms
b d2 ; σs2 = α σcx (x – 0.1d) ;
σc = - Cc Ms
b d2 ;
x = Cc(Cc + Cs) d
Notas:
– Flexão simples → N = 0 ⇒ es d = ∞
– Flexão composta → N ≠ 0 ⇒ es d = Ms/N
d
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 120
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 12
Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 3):
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
Materiais: C25/30, A400
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2
Coeficientes de majoração:
γG = γQ = 1.5
Coeficientes de combinação:
ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2
Secção da viga: 0.30×0.85 m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de
acções.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 121
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 12
1. Cálculo dos esforços
pfrequente = cp + ψ1 sc = 28.25 + 0.4 × 12 = 33.1kN/m
(+)
DMF(-)
10.00S2
3.00S1
pfr
M frS1
MS1fr =
pL2 2 =
33.1 × 32 2 =149kNm
2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)
σ = M ω ⇒ Mcr = ω × fctm = bh2
6 × fctm = 0.30 × 0.852
6 × 2.6×103 = 93.9 kNm < MS1fr
fctm (C25/30) = 2.6MPa
Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada
3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)
0.30
5φ16
2φ25
d M
As1 = A (5φ16) = 10.05cm2
As2 = A (2φ25) = 9.82cm2
ρ = As1bd = 10.05 × 10-4
0.3 × 0.8 = 0.0042
β = As2As1
= 9.8210.05 = 0.98 ≅ 1
d2/d ≅ 0.05 ; α = 15
Nota: para ter em conta o efeito de fluência toma-se α ≅ 15 a 20 (α = Es / Ec)
αρ = 15 × 0.0042 = 0.063 →(pag.120)
Cs = 17.35Cc = 6.03
Posição da LN: x = CcCc + Cs
d = 6.036.03 + 17.35 × 0.8 = 0.21m
Tensão na armadura: M = Mfr ⇒ σS = α Cs Mfr b d2 = 15 × 17.35 × 149
0.3 × 0.82 = 202 MPa
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 122
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef
(i) Determinação de ρp,ef
ρp,ef = As Ac.ef = 10.05 × 10-4
0.0375 = 0.027
Ac,ef
hc,ef
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h – x)/3; h/2]
h – d ≈ 0.05 m ⇒ 2.5 (h – d) = 2.5 × 0.05 = 0.125 m
(h – x)/3 = (0.85 – 0.21) / 3 = 0.21 m
h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m
⇒ Ac.ef = 0.30 × 0.125 = 0.0375 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ
ρp,ef = 3.4 × 0.03 + 0.425 × 0.8 × 0.9 × 0.016
0.027 = 0.283 m
k1 = 0.8 (varões nervurados)
0.125
0.21
ε1
ε2
k2 = ε1 + ε2
2 ε1 = ε1 + 0.8 ε1
2 ε1 = 0.9
ε10.85 - 0.21 = ε2
0.85 - 0.21 - 0.125 ⇔
⇔ ε2 = 0.515 ε10.64 = 0.8 ε1
5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
εsm – εcm = σs Es
- kt fct,ef
Es ρp,ef (1 + αe ρp,ef) =
= 202.0×103 200×106 - 0.4 2.6×103
200×106 × 0.027 (1+ 6.56 × 0.027) = 7.8 × 10-4
kt = 0.4 – acções de longa duração
αe = Es Ec = 200
30.5 = 6.56
6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.283 × 7.8 × 10-4 = 0.22×10-3 m = 0.22 mm
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 123
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.3. ARMADURA MÍNIMA
2.3.1. Tracção
Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte,
fct
N N
Para que após a formação da 1ª fenda ocorram outras fendas, e dado que nesse
instante todo o esforço normal vai para a armadura, é necessário que a força
transmitida por esta para o betão conduza a uma tensão fct.
Ncr = Ac × fct ⇒ Ac × fct ≤ As fyk ⇒ As.min = Ac fctfyk
(Critério da não plastificação da armadura)
Se As × fyk < Ac × fct, não é possível ocorrerem outra fendas, dado que a armadura
plastifica e a força transmitida do aço para o betão não é suficiente para atingir fct.
2.3.2. Flexão
MMh/2
h
b
(-)
(+)
σc
fct
Área de betão traccionada: Act = b h 2
Força de tracção no betão: FT = 12 fct Act
⇒ As.min = 1 2 Act
fct fyk
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 124
Betão Armado e Pré-Esforçado I
De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura
mínima toma a seguinte forma:
As.min = kc k Act fct.ef
σs
onde,
As,min repesenta a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;
Act representa a área de betão traccionada;
σs representa a tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a
formação da fenda, podendo ser adoptado o valor de fyk.
fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que
se espera que ocorram as primeiras fendas;
k é um coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não
uniformes (diminuição da resistência efectiva à tracção devido a estados
autoequilibrados de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do
elemento, de acordo com o gráfico seguinte:
1.0
h [m]
k
0.65
0.3 0.8
kc é um coeficiente que tem em conta quer a natureza da distribuição de tensões
na secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da
força.
Para tracção simples: kc = 1.0
Para flexão simples ou composta:
• Para secções rectangulares ou almas de secções em caixão ou em “T”
kc = 0.4
1- σc
k1 (h / h*) fct,ef ≤ 1.0
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 125
Betão Armado e Pré-Esforçado I
• Para banzos de secções em caixão ou em “T”
kc = 0.9 Fcr Act fct,ef ≥ 0.5
onde,
σc representa a tensão média actuante no betão, na zona da secção em
consideração (σc = NEd / b h);
NEd representa o valor do esforço normal actuante para a combinação
de acções utilizada (compressão com sinal positivo);
k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na
distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;
k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;
h* = min (h; 1.0 m);
Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no
instante que antecede a fendilhação, devida ao momento de
fendilhação (Mcr calculado utilizando o valor de fct,ef).
Casos particulares
(i) Armadura mínima de flexão simples
As.min = kc k Act fct.ef
σs= 1 × 0.4 × Ac
2 × 3400 = 0.15% Ac
(valor indicado no REBAP para A400)
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.4
1- σc
k1 (h / h*) fct,ef = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)
fct,ef ≈ 3 MPa
σs = fyk = 400MPa (A400)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 126
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(ii) Armadura de alma (para vigas com h > 1m)
(-)
b
h/2(+)
σ
M
Na zona da face inferior, a armadura controla a fendilhação. Na alma, se não existir
armadura, a fendilhação tende a concentrar-se e a originar fendas de grande abertura.
Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima.
As.min = kc k Act fct,ef
σs= 1.0 × 0.5 × bh
2 × fct,effyk
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.5
A armadura calculada, deverá ser extendida a toda a alma, visto que, numa viga
contínua a zona traccionada da alma está em baixo na zona do vão, e em cima nos
apoios.
(iii) Armadura mínima em banzos traccionados
M M
(+)
σ
(-)
ou
Act Act Act
quase tracção pura
As.min = kc k Act fct,ef
σs= 1.0 × 0.9 × Act × fct,ef
fyk
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.9 Fcr Act fct,ef ≈ 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o
diagrama de tensões ao longo do banzo é constante.)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 127
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(iv) Armadura mínima para deformações impostas
As.min = kc k Act fct.ef
σs
k = 1.0 se h ≤ 0.30 m e k = 0.65 se h ≥ 0.80m
Exemplos:
a) Muro de suporte
h
Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata
(betonada anteriormente) constituir um impedimento ao
livre encurtamento do muro por efeito da retracção e
temperatura.
É necessário adoptar armadura mínima na direcção
horizontal:
As.min = kc k Act fct,ef
σs= 1.0 × k(h) × h ×
fct,effyk
[cm2/m]
k = k(h) (deformação imposta)
kc = 1.0 (tracção pura)
Act = h × 1.0
b) varanda (consola)
h
Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje
interior constituir um impedimento ao livre
encurtamento da consola devido a variações de
temperatura e retracção.
É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio :
As.min = kc k Act fct,ef
σs= 1.0 × k(h) × h ×
fct,effyk
[cm2/m]
k = k(h) (deformação imposta)
kc = 1.0 (tracção pura)
Act = h × 1.0
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 128
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 4
Considere a estrutura da figura seguinte:
1.00
1.00
0.20 0.20
0.15
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
sobrecarga = 40.0 kN/m
Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5
S1S2
10.00 3.50
cp
3.50
sc
c) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e
pormenorize a secção transversal.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 129
Betão Armado e Pré-Esforçado I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 (CONT.)
ALÍNEA C)
1. Armadura mínima de flexão
Act
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a
flexão simples)
As.min = kc k Act fct.ef
σs = 0.4 × 1.0 × 0.20 × 1.0
2 × 3400 × 104 = 3.0 cm2
(Pelo REBAP, ρmin = 0.15% ⇒ As.min = 0.15100 × 0.95 × 0.20 × 104 = 2.85cm2)
2. Armadura de alma
Act
h/2hc,ef
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.5
As.min = kc k Act fct.ef
σs = 0.5 × 1.0 × 0.20 × (0.50 – 0.125) × 3
400 × 104 = 2.8 cm2
2.8 cm2/2 faces = 1.4 cm2/face
3. Armadura no banzo
Act
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de
tensões ao longo do banzo é constante)
As.min = 0.9 × 1.0 × 0.60 × 0.15 × 3400 × 104 = 6.1 cm2
6.1 cm2/2 faces = 3.1 cm2/face
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 130
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.4. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO (NO QUE RESPEITA AO ASPECTO E À DURABILIDADE) Na ausência de requisitos específicos (impermeabilidade, por exemplo), para
elementos de betão armado em edifícios o EC2 estabelece os seguintes limites:
Classe de exposição Valores recomendados
de wmax [mm] X0, XC1 0.4
XC2, XC3, XC4
XD1, XD2
XS1, XS2, XS3
0.3
Nota: No caso das classes de exposição X0 e XC1, a abertura de fendas não tem
influência na durabilidade, sendo apresentado um limite apenas para garantir um
aspecto aceitável do elemento. Caso este não seja aparente, não hé necessidade de
respeitar este limite.
A abertura de fendas deve ser calculada para a combinação de acções
quase-permanentes.
De referir que os valores especificados no REBAP para o controlo da fendilhação são
inferiores aos do EC2.
Classes de exposição segundo o EC2 1. Sem risco de corrosão ou ataque
Classe de Exposição Ambiente
X0 Para betão simples: todos os ambientes excepto os com gelo, abrasão ou
ataque químico
Para betão armado: ambiente muito seco
2. Corrosão induzida por carbonatação
Classe de Exposição Ambiente
XC1 Seco ou permanentemente molhado
XC2 Húmido (raramente seco)
XC3 Com humidade moderada
XC4 Com ciclos de molhagem e secagem
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 131
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3. Corrosão induzida por cloretos
Classe de Exposição Ambiente
XD1 Com humidade moderada
XD2 Húmido (raramente seco)
XD3 Com ciclos de molhagem e secagem
4. Corrosão induzida por cloretos da água do mar
Classe de Exposição Ambiente
XS1 Zonas costeiras marítimas
XS2 Zonas imersas
XS3 Zonas de maré (com ciclos de molhagem e secagem)
5. Acção gelo / degelo
Classe de Exposição Ambiente
XF1 Saturação moderada de água, sem agentes descongelantes
XF2 Saturação moderada de água, com agentes descongelantes
XF3 Saturação elevada de água, sem agentes descongelantes
XF4 Saturação elevada de água, com agentes descongelantes ou água do mar
6. Ataques químicos
Classe de Exposição Ambiente
XA1 Ligeiramente agressivo do ponto de vista químico
XA2 Moderadamente agressivo do ponto de vista químico
XA3 Muito agressivo do ponto de vista químico
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 132
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.5. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) É possível, em geral, limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis e evitar uma
fendilhação não controlada caso se utilizem pelo menos as quantidades mínimas de
armadura e:
para fendilhações causadas por deformações impedidas se limitem os diâmetros
dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a
fendilhação (Tabela 7.2);
para fendilhações causadas por cargas aplicadas devem limitar-se ou os
diâmetros dos varões (Tabela 7.2) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3),
ambos função da tensão na armadura no instante após a fendilhação.
Para cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão nas
armaduras considerando σIIs ≈
fyd 1.5, uma vez que para o estado limite último se
adoptou, para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd.
Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se considerando σs = fyk. No
entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2,
deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto dessa tabela, e a
armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min adoptando
esse valor de σs.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 133
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Estado Limite de Deformação
2.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO
2.1.1 Deformação em fase não fendilhada (Estado I)
a
p
M
1/r
EI I
curvatura: 1 r = M
EII
deslocamento: a = ⌡⌠
L 1 r
–M dx a = 1 EII ⌡
⌠L M –M dx (P.T.V.)
–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.
2.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II)
Problemas:
Determinação das relações momentos-curvatura
Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos
Definição das condições de fronteira da estrutura
DMF
p
(+)
Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente,
consoante o nível de momento actuante. 1/r
EI I
EI IIMcr
M
Estado II
Estado IM
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 134
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura
média para cada zona do elemento.
M M
IIEIII
1/r
M
Mcr
EII
MI
(1/r)I (1/r)m (1/r)II
Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura
média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em
estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):
1 rm = (1 − τ) 1
rI + τ 1 rII
a = ⌡
⌠0
L 1rm
–M dx
Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de:
τ = 1 – β1 β2
σsr
σs 2
= 1 – β1 β2
Mcr
M 2 para M > Mcr
onde,
β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões
(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal);
β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0
para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com
permanência ou para vários ciclos de cargas);
σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante
da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;
σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante
da actuação do valor da carga para a qula se pretende calcular a flecha.
Nota: Se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1 rm = 1
rI
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 135
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.1.2.1. Cálculo da curvatura em estado I
A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão
1 rI = ks1 × 1
rc + ks1 kϕ1 ϕ × 1 rc + 1
rcs1 ,
onde,
ks1 – coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras
1 rc – curvatura de base
1
rc = M Ec Ic
kϕ1 – coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência
ϕ – coeficiente de fluência
1 rcs1 – acção da retracção
1
rcs1 = kcs1 εcs d
2.1.2.2. Cálculo da curvatura em estado II
1 rII = ks2 × 1
rc + ks2 kϕ2 ϕ × 1 rc + 1
rcs2 ,
1
rcs2 = kcs2 εcs d
2.1.2.3. Método Bilinear (τ constante)
i) Cálculo dos parâmetros
ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2
ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ
M = MD Mcr ⇒ τ = 1 – β1 β2 Mcr MD = constante
onde MD representa momento na secção determinante.
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 136
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos
τ = τvão
τ = τapoio
τ = 2 τvão + τapoio 3
τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 24
iii) Cálculo de flechas
τ = constante ⇒ a = ⌡⌠
0
L 1 rm
–M dx = ⌡⌠
0
L
(1 - τ) 1
rI + τ 1 rII –M dx = ⇔
⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠
0
L 1rI
–M dx + τ ⌡⌠
0
L 1rII
–M dx ⇔ a = (1 – τ) aI + τ aII
com aI = ⌡⌠
0
L
ks1 (1 + kϕ1 ϕ) × 1
rc + kcs1 εcs d –M dx
aII = ⌡⌠
0
L
ks2 (1 + kϕ2 ϕ) × 1
rc + kcs2 εcs d –M dx
2.1.2.4. Método dos Coeficientes Globais (coeficientes constantes), definidos para a
secção determinante
coeficientes constantes ⇒ aI = ⌡⌠
0
L
ks1 (1 + kϕ1 ϕ) × 1
rc + kcs1 εcs d –M dx ⇔
⇔ aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ⌡⌠
0
L 1 rc
–M dx + kcs1 εcs d ⌡⌠0
L –M dx
Desprezando a parcela da retracção, aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac
Da mesma forma, aII = ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac
Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a
a = (1 – τ) aI + τ aII = (1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac ⇔
⇔ a = [ ](1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac = k ac
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 137
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Aplicação do Método dos Coeficientes Globais
a) Cálculo do deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de
flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.
b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a
fluência.
Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (tabelas pág. 97)
Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (tabelas págs. 98 e 99)
ac – flecha base (tabelas páginas 154 e 155)
k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da
fendilhação ( )função de d/h, αρ, Mcr / MD
kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da
fendilhação e da fluência ( )função de ϕ, d/h, αρ, Mcr / MD
η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de
compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ)
(k0, kt e η para as secções determinantes → cálculo de coeficientes ponderados)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 138
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 13
Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2)
0.55 0.60
5.000.30
p
3φ20
Materiais: C25/30
A400 NR
Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 13
1. Cálculo da flecha elástica
a) Pelo P.T.V.,
DMF[kNm]
(+)
pfr
D 1/R62.5
Mmax = p L2
8 = 20 × 52
8 = 62.5 kNm
1 R =
M EI
1.25
(+)
1
DMF[kNm]
Mmax = P L
4 = 5 4 = 1.25 kNm
a = ⌡⌠
L 1r M dx = ⌡
⌠
L M M
EI dx = 1EI × 53 × 62.5 × 1.25 ×
1 + 2.52
52 = 9.88 × 10-4m
(tabelas pág. 153)
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 139
Betão Armado e Pré-Esforçado I
E = 30.5 × 106 kN/m2
I = 0.3 × 0.63
12 = 0.0054 m4 ⇒ EI = 164700 kNm2
b) Por tabelas (pág. 154)
δ = 5 384 × pL4
EI = 5 384 × 20 × 54
164700 = 9.88 × 10-4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4 m
2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)
(Considera-se ϕ = 2.5)
α = Es
Ec = 200 30.5 = 6.6
ρ = As bd = 9.42 × 10-4
0.3 × 0.55 = 0.0057⇒ αρ = 0.038
Mcr = ω × fctm = bh2
6 × fctm = 0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 103 = 45kNm
Mfr = 62.5kNm > Mcr
⇒ McrMfr
= 0.72
(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75
ρ’ = As' bd = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1
at =
h
d3
η kt ac =
0.60
0.553
× 3.75 × 9.99×10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm
3. Cálculo da flecha instântanea
αρ = 0.038
Mcr Mfr
= 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3
a0 =
h
d3
k0 ac =
0.60
0.553
× 2.3 × 9.99×10-4 = 0.003 m = 3 mm
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 140
Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 141
2.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO
De acordo com o EC 2 (parágrafo 7.4.1)
δmáx = L 250 para a combinação de acções quase-permanentes
Caso a deformação afecte paredes divisórias, δmáx = L 500
2.3. CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO
p
Lac
ac = K pL4 EI
Para uma secção rectangular: I = bh3 12 ⇒ ac
L = K 12 p b E
L
h3
∴ A deformação pode ser controlada de forma indirecta pela esbelteza (L/h)
De acordo com o EC2, a deformação pode ser controlada indirectamente caso sejam
respeitados os limites de esbelteza indicados na Tabela 7.4N.
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