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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

Departamento de Estruturas

MODELAGEM DOS SISTEMAS ESTRUTURAIS

Aula 10: Modelagem de Cascas

Profa. Dra. Maria Betânia de Oliveira

betania@fau.ufrj.br

mboufrj.weebly.com

http://lattes.cnpq.br/4788291761473700

Modelagem dos Sistemas Estruturais

Objetivos

Entendimento dos conteúdos apresentados na aula.

Metodologia Apresentação e discussões sobre o tema da aula.

Aula 10

Modelagem de Cascas

Atividade Discente Participar da aula e estudar os assuntos abordados. Elaborar os modelos propostos.

Maria Betânia de Oliveira 2015.1

• corpo em que uma das dimensões é muito menor do que as outras duas.

Lâmina

• estrutura constituída por uma ou mais lâminas.

• folha curva submetida a esforços no seu folheto médio

Esforços nas Cascas Esféricas

Cascas são estruturas de superfície delgadas, não planas, que recebem carregamentos

distribuídos e reagem através de esforços solicitantes predominantemente de tração e

compressão.

Quando a espessura da casca é pequena, comparando-se com as outras

dimensões, a rigidez a momento fletor (que é proporcional ao momento de

inércia) é muito pequena, e pode ser considerada igual a zero.

A Teoria de Membrana para análise de cascas é simples e permite razoável

aproximação para os casos correntes.

Esta teoria também é utilizada para pré-dimensionamento das Cascas.

Neste casos as cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana, ou

seja, as cargas externas (peso próprio, revestimento, carga acidental

distribuída) serão absorvidas através de esforços solicitantes normais de

compressão e tração.

A pequena rigidez do elemento da estrutura (h pequeno) não implica em

pequena rigidez do conjunto, que pode resistir aos esforços de compressão

sem risco de flambagem: o conjunto de superfície curva como um todo tem

grande rigidez quando comparado com a mesma superfície plana.

Deformações

A teoria de membrana tem como hipótese, além daquela da pequena espessura, que os

carregamentos aplicados sejam de superfície, ou seja, distribuído na superfície da

casca.

Quando existem cargas concentradas (pilares de lanternim, por exemplo), torna-se

necessário a adoção de elemento estrutural de transição pra transformar a carga

concentrada em carga distribuída (anel superior contínuo).

Caso de cúpula ½ esférica

Na borda também vale

a Teoria de

Membrana:

aparecem momentos

secundários.

Direção da tangente à

superfície, no apoio.

As reações de apoio nesta casca possuem a direção da tangente à superfície

no ponto do apoio.

Perturbações de Borda: caso em que a calota não é ½ esférica

Não vale a Teoria de

Membrana na borda.

Torna-se necessário

calcular o momento

Mb e o esforço H.

Momento de borda Mb

(perturbação de

borda)

Quando as reações das cascas, nos apoios, não são na direção da tangente à

superfície no apoio, são geradas perturbações nas bordas das cascas, dando

origem a esforços de flexão maiores na região próxima às bordas.

Curva girando ao redor de um eixo,

chamado eixo de rotação, gera as

superfícies de revolução.

Superfícies Básicas

Rotação de uma Curva Translação de uma Curva

Superfície de Revolução

Curva de equação z = f(x)

Superfície de equação z = f(x,y) Maria Betânia de Oliveira 2015.1

Rotação de uma Curva

Superfície de Revolução

A curva de revolução é denominada meridiano e o plano que a contém plano

meridiano. As seções horizontais são denominadas paralelas.

Qualquer curva pode ser usada como meridiano, gerando diferentes superfícies.

Quando o eixo da superfície de revolução é vertical e a curva intercepta este eixo, a

casca é denominada cúpula.

Qualquer curva pode ser usada como meridiano, gerando diferentes superfícies.

Paralelo

Meridiano

Superfícies de Revolução

Círculo

Superfície esférica

Elipse Parábola

Hipérbole ou reta inclinada em

relação ao eixo de rotação, sem

interceptá-lo

Reta paralela ao eixo de revolução

Reta inclinada em relação ao

eixo de rotação, interceptando-o

Elipsoide de revolução Parabolóide de revolução

Hiperbolóide de revolução Sup. cilíndrica Superfície cônica

Superfícies Básicas

Rotação de uma Curva Translação de uma Curva

Superfície de Translação

A curva translada-se paralelamente a si

mesma, apoiando-se constantemente

numa curva diretriz, gerando as

superfícies de translação.

Curva Geratriz

Curva Diretriz Grande variedade de superfícies podem

ser obtidas por translação face ao

número de combinações possíveis Maria Betânia de Oliveira 2015.1

Superfícies de Translação

Superfícies Cilíndricas

Por translação de uma curva plana 1 sobre reta 2. curva 1: circular curva 1: elíptica curva 1: parábola curva 1: catenária

Superfícies de Translação

Transladando-se uma parábola 1 com curvatura interna sobre outra parábola 2, também com curvatura interna, obtém-se o parabolóide elíptico que tem a propriedade de quando seccionado por planos horizontais a curva intersecção ser uma elípse.

Parabolóide elíptico

Parabolóide hiperbólico

Elipses

Parábola 1

Parábola 2

Parábola 1

Parábola 2

Hipérbole Hipérbole

Deslocando-se uma parábola 1 com curvatura para dentro sobre uma parábola 2 com curvatura para fora, a superfície de casca gerada é um parabolóide hiperbólico.

Superfícies Regradas

CONÓIDE Superfície regrada obtida pelo deslocamento de uma reta (geratriz) apoiada sobre duas diretrizes, uma reta, outra curva.

Igreja Cristo Obrero, Atlántida, Uruguai, 1960

Parede conóide. No nível do

solo desenvolve-se em linha reta e,

no topo, a diretriz é curva.

Atlántida foi a minha Faculdade de Arquitetura - Eladio Dieste (1917-2000)

CILINDRÓIDE É gerado pelo deslocamento de uma reta (Geratriz) apoiada em duas curvas (Directrizes).

Escolas da Sagrada Família, Barcelona As Escolas em 1909

Antoni Gaudí Cascas com superfícies conóides e cilindróides.

As paredes e a cobertura possuem forma ondulada.

Superfícies Regradas

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Superfície regrada obtida pelo deslocamento de uma reta (geratriz) apoiada sobre duas retas (diretrizes).

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Construção da superfície por pontos

Residência Milan Marcos Acayaba

Restaurante Los Manantiales

Cidade do México, 1958 Félix Candela

Casca com vão de 30m e espessura de10cm

L'Oceanogràfic, Valencia, Espanha, 2003

Félix Candela

Cascas Oscar Niemeyer

Igreja São Francisco de Assis da Pampulha, Belo Horizonte, 1943 Oscar Niemeyer

O Pavilhão Lucas Nogueira Garcez, conhecido como Oca, é um pavilhão de exposições localizado no Parque do Ibirapuera, na cidade de São Paulo. Foi projetado por Oscar Niemeyer em 1951.

O edifício da Oca é um espaço expositivo com mais de 10mil m2 dentro do Parque Ibirapuera. No passado chegou a abrigar o Museu da Aeronáutica de São Paulo e o Museu do Folclore. Desde junho de 2010 é administrado pela Secretária Municipal da Cultura e abriga grandes exposições.

Congresso Nacional do Brasil, Brasília, 1960 Oscar Niemeyer

A sede do Partido Comunista Francês, Paris Foi projetada em 1966 por Oscar Niemeyer

Universidade de Constantine, Constantine, Argélia, 1969 Oscar Niemayer

Centro cultural em Le Havre, França, 1982 Oscar Niemayer Maria Betânia de Oliveira 2015.1

Memorial da América Latina, São Paulo, 1989 Oscar Niemeyer

Niteroi Contemporary Art Museu, Niterói, 1991

Museu Oscar Niemeyer, Curitiba, Paraná, 2002 Oscar Niemeyer

Museu Nacional Honestino Guimarães Cúpula de 80m de diâmetro Complexo Cultural da República, Brasília, 2006

Óscar Niemeyer International Cultural Centre Avilés, Espanha, 2011

Propriedades das Cascas

Superfície curva Elementos Rígidos Delgadas Riqueza de forma Submetidas, principalmente, à compressão Rigidez pela forma (econômicas) Vencem grandes vãos Utilizadas principalmente em coberturas Geralmente, são feitas em concreto armado, argamassa

armada, aço, madeira, tijolos, pedras ou polímeros

Exercícios de Modelagem

Explicar o comportamento estrutural através da análise de modelos físicos

dos seguintes casos.

1. Casca de Oscar Niemeier

2. Casca de Marcos Acayaba

3. Casca de Félix Candela

4. Modelo de casca na forma de parabolóide hiperbólico

Bibliografia REBELLO, Y.C.P. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. Zigurate Editora, 2001.

RODRIGUES, P.F.N. Modelagem dos Sistemas Estruturais: notas de aula.

DE/FAU/UFRJ, 2008.

SÁLES, J.J. et al . Sistemas Estruturais: teoria e exemplos. São Carlos:

SET/EESC/USP, 2005. ISBN: 85-85205-54-7.

SALVADORI, M. Por que os edifícios ficam de pé. Ed. Martins Fontes, 2006. ISBN:

97-88533622-97-5.

DEL NERO, J.A. Cascas. Disponível em: www.lem.ep.usp.br/pef604/cascas.doc

FITZ, L. Os casos das igrejas de Eladio Dieste em Atlántida e Durazno.

Disponível em:

http://www.docomomo.org.br/ivdocomomosul/pdfs/24%20Leonardo%20Fitz.pdf

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