migração em pós-empilhamento em profundidade · teoria básica – eq. da onda equação...

Migração em Pós-empilhamento em Profundidade

l Migração baseado na equação acústica da ondal Modelo do refletor explosivo l Equação Unidirecional l Métodos de migraçãol Kirchhoffl Stoltl Phase-shiftl Split-stepl Pspi – Phase shift + Interpolationl Diferenças-finitas

l Exemplos

Teoria Básica – Eq. da Onda

Equação Acústica de densidade constanteEquação Acústica de densidade constante

),()(

1),( 22

2 txPxc

txP tr

rr

∂

=∇

Variável de campo: pressão

Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional

Variável de campo: pressão

Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional

Introdução: Migração Sísmica

Distância (km

)

Distância (km)

Introdução: Migração Sísmica

Mergulho Aparente

Mergulho verdadeiro

Curva de Difração

Seção de Afastamento Nulo

DifraçõesDifrações

Seção Migrada

Seção após migração com as difrações colapsadas

Modelo Refletor Explosivo

Modelo matemático para gerar seção de afastameno nulo – fontes ao longo dos refletores ( explosão t=0)

Migração através da integral de Kirchhoff

dsesPR

ic

rPR

ciω

ωωθ

πω

−

∫= ),()(cos21),( rr

dscRttsPd

RctrP t )(),(*)1(cos

21)0,( +∫== δ

θπ

rr

Caso 3D com velocidade constante

Versão no domínio do tempo:

e é o fator de obliqüidade. c/cosθ

|| orrR rr−=sendo

Migração Kirchhoff

Equação acústica da onda no domínio da freqüência-número de onda (Equação de Helmholtz ):

Equação de continuação para baixo:

Δzkzie Pω)Δz,z,kP( 0x

−=+

xkω−

22

2

)(v xz kzk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é dada por:

∫ ∫−=+ kdxkiΔzkiPdωΔz)zP(x, x

xz0 ee

Migração Phase-shift

0ω)z,,kP(kz2

ω)z,,kP(2x

2z

x

dd =+

Equação de continuação para baixo:

zkzi Pω)z,,kP( e0x

−=

(*)v

22

2

xzkk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é dada por:

∫ ∫−== kdxkizki 0)z,,(kPdωz)P(x, x

xzx0 eeω

Migração Stolt

( ) 2/122zx kkv +=ω

Relacionando a freqüência, a partir de (*), em função dos números de onda e da velocidade, como:

Continuação- Mig StoltDiferenciando-se a expressão anterior temos:

( ) zzx

z dkkk

vkd 2/122 +=ω

Agora a equação de migração é dada por:

( )∫∫−

+= kdkdxkizkiv)),k,(k(P z)P(x, zx

xzzx02/122

eeωzx

z

kkvk

Mig Stolt - Fluxograma

1. Seção com afastamento nulo: P(x,z=0,t)2. Transformada de Fourier (2D): P(kx,z=0,w)3. Mapeamento de w em kz

4. Fator de escalonamento 5. Formação da Imagem; P(kx,kz,t=0)6. Transformada inversa de Fourier (2D)7. Seção migrada: P(x,z)

Mig Stolt – Velocidade VrmsTempo estirado é dado por (Stolt, 1978)

∫=t

rmsf

s dvv

t0

2 )(2σσσ

( ) 2/12222 111 xfff

z kvWWvvW

k −+

−= ω

ω

Relação de dispersão:

Na teoria . Na prática 20 ≤≤ W 15,0 ≤≤ W

Vf – velocidade de referência

Método de migração PSPI – Migração Phase-shift mais Interpolação

Equação de extrapolação:

22

2

)(v xz kzk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é obtida a partir da interpolação dos campos de ondas extrapolados usando-se diferentes velocidades de referência.

zzikxx ezkzzk

Δ),,P(),,P( −=∆+ ωω

zzxiezxzzx

Δ),(v* ),,P(),,(Pω

ωω−

=∆+

]Δ))(v

([* ),,(P),,P(

zzj

ki

xx

z

ezzkzzkω

ωω−−

∆+=∆+

Desdobra-se em:

Migração PSPI

Método de migração Split-step – Migração Phase-shift mais Correção Lateral

Operador de extrapolação:22))(( xz kzuwk −=

zzikxx ezkzzk

Δ* ),,P(),,(P −=∆+ ωω

Aplica-se a correção lateral (split-step)

),()(),( zxuzuzxu ∆+=

Sendo a vagarosidade decomposta em:

zzxuiezzxzzx Δ),(* ),,(P),,P( ∆−∆+=∆+ ωωω

Migração Split-step

Método de diferenças finitasl Equação Unidirecional:

022

2

=

−−

∂∂

ψω

xkc

iz

Solução analítica:

dzkc

i

zdzz

x

e2

2

2−

+ =ω

ψψ

Cont. – Mig FD

ψω

ωψ2

22

1 xkcc

iz

−+=

∂∂

ψωψ Zc

iz

+=∂∂ 1

∑= +

+=

=+N

n n

nN

N

ZbZaZR

ZRZ

1 11)(

)(1

Para derivar o método de migração FD começamos novamentepela equação unidirecional no domínio da freqüência número de onda:

ou

+=

++=

12cos

12122 22

Nnband

Nnsin

Na nn

ππ

Coeficientes de Padé:

Usando aproximação de Padé para o operador raiz quadradae associando o operador derivada parcial , então, conseguimos a seguinte aproximação para a equaçãounidirecional da onda:

Cont. – Mig FD

xx kcomi∂−

ψ

ω

ωωψ

∂∂

+

∂∂

+=∂∂ ∑

=

N

nn

n

xcb

xca

ci

z 12

2

2

2

2

2

2

2

11

ψωψc

iz

=∂

∂ ψ

ω

ωωψ

2

2

2

2

2

2

2

2

1x

cb

xca

ci

zn

n

∂∂+

∂∂

=∂∂

Usando a técnica de separação:

Migração FFD

IIIIIIx

czxc

++=∂∂

+ 2

22

1),( ω

ω2

22

1x

cc

I∂∂

+=

ωω

−

=p

pzxc

II )1(),(

ω

Ristow and Rühl (1994) introduziram o método de migraçãoFourier diferenças finitas como uma extensão do método de migração Split-step Fourier

+−

= 2

2

1)1(XaXpa

cIII

n

n

σω

),( zxccp = p3=σ 2

222

xcX

∂∂

=

ω

Operadores espectrais (FK)

}{ 2)(1 21 DN

zipNzipN

PSPISS FCeFeWnn

⋅⋅⋅⋅⋅= ∆−∆− ζ

}{ 1)),(/(1)(1 2 DzzxciDN

zipNDN

PSPI FeFCeFW ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆∆− ωζ

DzipDzipSS FeFeW 21 21 ⋅⋅⋅= ∆−∆

DzipDPHASE FeFW 21 2 ⋅⋅= ∆−

22221 /]/1),(/1[ xkcwpeczxcp −=−= ω

onde:

Migração em Pós-empilhamento em Profundidade

l Migração baseado na equação acústica da ondal Modelo do refletor explosivo l Equação Unidirecional l Métodos de migraçãol Kirchhoffl Stoltl Phase-shiftl Split-stepl Pspi – Phase shift + Interpolationl Diferenças-finitas

l Exemplos

Teoria Básica – Eq. da Onda

Equação Acústica de densidade constanteEquação Acústica de densidade constante

),()(

1),( 22

2 txPxc

txP tr

rr

∂

=∇

Variável de campo: pressão

Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional

Variável de campo: pressão

Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional

Introdução: Migração Sísmica

Distância (km

)

Distância (km)

Introdução: Migração Sísmica

Mergulho Aparente

Mergulho verdadeiro

Curva de Difração

Seção de Afastamento Nulo

DifraçõesDifrações

Seção Migrada

Seção após migração com as difrações colapsadas

Modelo Refletor Explosivo

Modelo matemático para gerar seção de afastameno nulo – fontes ao longo dos refletores ( explosão t=0)

Migração através da integral de Kirchhoff

dsesPR

ic

rPR

ciω

ωωθ

πω

−

∫= ),()(cos21),( rr

dscRttsPd

RctrP t )(),(*)1(cos

21)0,( +∫== δ

θπ

rr

Caso 3D com velocidade constante

Versão no domínio do tempo:

e é o fator de obliqüidade. c/cosθ

|| orrR rr−=sendo

Migração Kirchhoff

Equação acústica da onda no domínio da freqüência-número de onda (Equação de Helmholtz ):

Equação de continuação para baixo:

Δzkzie Pω)Δz,z,kP( 0x

−=+

xkω−

22

2

)(v xz kzk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é dada por:

∫ ∫−=+ kdxkiΔzkiPdωΔz)zP(x, x

xz0 ee

Migração Phase-shift

0ω)z,,kP(kz2

ω)z,,kP(2x

2z

x

dd =+

Equação de continuação para baixo:

zkzi Pω)z,,kP( e0x

−=

(*)v

22

2

xzkk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é dada por:

∫ ∫−== kdxkizki 0)z,,(kPdωz)P(x, x

xzx0 eeω

Migração Stolt

( ) 2/122zx kkv +=ω

Relacionando a freqüência, a partir de (*), em função dos números de onda e da velocidade, como:

Continuação- Mig StoltDiferenciando-se a expressão anterior temos:

( ) zzx

z dkkk

vkd 2/122 +=ω

Agora a equação de migração é dada por:

( )∫∫−

+= kdkdxkizkiv)),k,(k(P z)P(x, zx

xzzx02/122

eeωzx

z

kkvk

Mig Stolt - Fluxograma

1. Seção com afastamento nulo: P(x,z=0,t)2. Transformada de Fourier (2D): P(kx,z=0,w)3. Mapeamento de w em kz

4. Fator de escalonamento 5. Formação da Imagem; P(kx,kz,t=0)6. Transformada inversa de Fourier (2D)7. Seção migrada: P(x,z)

Mig Stolt – Velocidade VrmsTempo estirado é dado por (Stolt, 1978)

∫=t

rmsf

s dvv

t0

2 )(2σσσ

( ) 2/12222 111 xfff

z kvWWvvW

k −+

−= ω

ω

Relação de dispersão:

Na teoria . Na prática 20 ≤≤ W 15,0 ≤≤ W

Vf – velocidade de referência

Método de migração PSPI – Migração Phase-shift mais Interpolação

Equação de extrapolação:

22

2

)(v xz kzk −=

ω

A seção migrada em cada nível z é obtida a partir da interpolação dos campos de ondas extrapolados usando-se diferentes velocidades de referência.

zzikxx ezkzzk

Δ),,P(),,P( −=∆+ ωω

zzxiezxzzx

Δ),(v* ),,P(),,(Pω

ωω−

=∆+

]Δ))(v

([* ),,(P),,P(

zzj

ki

xx

z

ezzkzzkω

ωω−−

∆+=∆+

Desdobra-se em:

Migração PSPI

Método de migração Split-step – Migração Phase-shift mais Correção Lateral

Operador de extrapolação:22))(( xz kzuwk −=

zzikxx ezkzzk

Δ* ),,P(),,(P −=∆+ ωω

Aplica-se a correção lateral (split-step)

),()(),( zxuzuzxu ∆+=

Sendo a vagarosidade decomposta em:

zzxuiezzxzzx Δ),(* ),,(P),,P( ∆−∆+=∆+ ωωω

Migração Split-step

Método de diferenças finitasl Equação Unidirecional:

022

2

=

−−

∂∂

ψω

xkc

iz

Solução analítica:

dzkc

i

zdzz

x

e2

2

2−

+ =ω

ψψ

Cont. – Mig FD

ψω

ωψ2

22

1 xkcc

iz

−+=

∂∂

ψωψ Zc

iz

+=∂∂ 1

∑= +

+=

=+N

n n

nN

N

ZbZaZR

ZRZ

1 11)(

)(1

Para derivar o método de migração FD começamos novamentepela equação unidirecional no domínio da freqüência número de onda:

ou

+=

++=

12cos

12122 22

Nnband

Nnsin

Na nn

ππ

Coeficientes de Padé:

Usando aproximação de Padé para o operador raiz quadradae associando o operador derivada parcial , então, conseguimos a seguinte aproximação para a equaçãounidirecional da onda:

Cont. – Mig FD

xx kcomi∂−

ψ

ω

ωωψ

∂∂

+

∂∂

+=∂∂ ∑

=

N

nn

n

xcb

xca

ci

z 12

2

2

2

2

2

2

2

11

ψωψc

iz

=∂

∂ ψ

ω

ωωψ

2

2

2

2

2

2

2

2

1x

cb

xca

ci

zn

n

∂∂+

∂∂

=∂∂

Usando a técnica de separação:

Migração FFD

IIIIIIx

czxc

++=∂∂

+ 2

22

1),( ω

ω2

22

1x

cc

I∂∂

+=

ωω

−

=p

pzxc

II )1(),(

ω

Ristow and Rühl (1994) introduziram o método de migraçãoFourier diferenças finitas como uma extensão do método de migração Split-step Fourier

+−

= 2

2

1)1(XaXpa

cIII

n

n

σω

),( zxccp = p3=σ 2

222

xcX

∂∂

=

ω

Operadores espectrais (FK)

}{ 2)(1 21 DN

zipNzipN

PSPISS FCeFeWnn

⋅⋅⋅⋅⋅= ∆−∆− ζ

}{ 1)),(/(1)(1 2 DzzxciDN

zipNDN

PSPI FeFCeFW ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆∆− ωζ

DzipDzipSS FeFeW 21 21 ⋅⋅⋅= ∆−∆

DzipDPHASE FeFW 21 2 ⋅⋅= ∆−

22221 /]/1),(/1[ xkcwpeczxcp −=−= ω

onde: