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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHO

CENTRO DE CINCIAS TECNOLGICAS

CURSO DE ENGENHARIA MECNICA

ANLISE ESTRUTURAL DO VECULO TERRESTRE MINI BAJA UTILIZANDO O

MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

So Lus

2006

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HAIRTON DE JESUS SOUSA

ANLISE ESTRUTURAL DO VECULO TERRESTRE MINI BAJA UTILIZANDO O

MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Trabalho de concluso de cursoapresentado Universidade Estadual doMaranho UEMA, como requisito parcialpara obteno do grau de Bacharel emEngenharia Mecnica.

Orientador: Prof. M.Sc. Paulo CsarMarques Doval.

Co-orientador: Prof. Dr. Henrique Mariano

Costa do Amaral.

So Lus2006

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SOUSA, Hairton de Jesus.

Mtodo dos elementos finitos aplicados anliseestrutural do veculo terrestre mini baja. / Hairton de JesusSousa. So Lus, 2006.

67 f.: il.

Monografia (Graduao em Engenharia Mecnica).Universidade Estadual do Maranho, 2006.

1. Elementos finitos 2. Anlise estrutural 3. AutoCad eCOSMOS/M I. Ttulo.

CDU: 629.3:004.896

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HAIRTON DE JESUS SOUSA

ANLISE ESTRUTURAL DO VECULO TERRESTRE MINI BAJA UTILIZANDO OMTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Trabalho de concluso de cursoapresentado Universidade Estadual doMaranho UEMA, como requisito parcialpara obteno do grau de Bacharel emEngenharia Mecnica.

Aprovado em / / .

BANCA EXAMINADORA

________________________________________

Prof. MSc. Paulo Csar Marques Doval

(Orientador)

________________________________________Prof. Dr. Henrique Mariano Costa do Amaral

________________________________________

Prof. MSc. Clodoaldo Csar Malheiro Ferreira

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AGRADECIMENTOS

Acima de tudo a Deus pelo dom da vida.Aos meus pais, Maria do Socorro chaves Sousa e Andr de Jesus Sousa,

em especial a minha me, a quem dedico de corao toda a minha gratido pela

oportunidade de estudar, pelo apoio dado e pela confiana dada.

Aos meus irmos Ideraldo, Oldair, Alex, Herclito e Batista pelo apoio,

incentivo e pacincia, sempre na busca por dias melhores.

A minha esposa Rosa Maria Soares Lisboa Sousa, minha sogra e meu

sogro pela pacincia.

Ao orientador Prof. MSc. Paulo Csar Marques Doval, ao co-orientador

Prof. Dr. Henrique Mariano Costa do Amaral e ao Prof. MSc. Clodoaldo Csar

Malheiro Ferreira, inestimvel contribuio de conhecimento.

Aos guerreiros, Aldir e Washington pela batalha vencida. Eles sabem a

que me refiro.

Ao advogado Drio, meu muito obrigado.

A Professora Zulene e ao Engenheiro Mecnico Lindemberg Trindade

pelo apoio e orientao na normalizao deste trabalho;

Aos amigos da Universidade Estadual do Maranho, professores,funcionrios, pela ajuda, pela amizade, incentivo, companheirismo, compreenso,

orientao e pela luta no decorrer da minha estada nesta instituio;

A todos aqueles que contriburam, direta ou indiretamente, para

realizao deste trabalho.

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No conhecer muito, mas o que

til, que torna um homem sbio.

Thomas Fuller, M.D.

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RESUMO

Este trabalho consiste em, atravs do uso de softwares (AUTOCAD 2000 e

COSMOS/M V. 2.8), verificar o comportamento estrutural de um veculo terrestre

(mini baja), utilizando modelos computacionais. Tendo como objetivo, determinar a

resposta por superposio modal atravs da determinao dos modos e freqncias

da estrutura, para utilizao em pista de terra de acordo com o material utilizado e

tambm analisar o sistema de acordo com entradas peridicas, utilizando para isso o

Mtodo dos Elementos Finitos como ferramenta estratgica.

Palavras-chave: Autocad, COSMOS/M, Anlise Estrutural e Elementos Finitos.

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ABSTRACT

This work consist of studing the structural behavior of use softwares (AUTOCAD

2000 and COSMOS/M V. 2.8) for two land vehicles (mini baja) through the means of

two models for computers. It is aimed at determining the response by modal

overplacing through the indication of modes and frequencies of the structure for use

in land tracks according for the material used and also analyze the system according

to periodic entrances using the Finite Element Method as a strategical tool.

Keywords: Autocad, COSMOS/M, Structural Analyzes and Finite Element.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Carga esttica.............................................................................. 20Figura 2 Diagrama de corpo livre para um elemento finito......................... 24

Figura 3 Massa distribuda continuamente................................................ 25

Figura 4 Massa concentrada somente nos ns.......................................... 26

Figura 5 Representao fsica do modelo massa-mola............................. 29

Figura 6 Sistema de um grau de liberdade................................................ 31

Figura 7 Aplicao da segunda lei de Newton em sistema com dois

graus de liberdade 34

Figura 8 Montagem da matriz de rigidez.................................................... 40

Figura 9 Montagem da Matriz de amortecimento....................................... 42

Figura 10 Definio dos ns, elementos e condio de contorno................ 48

Figura 11 Primeiro modo de vibrao, ao 1020.......................................... 50

Figura 12 Segundo modo de vibrao, ao 1020........................................ 51

Figura 13 Terceiro modo de vibrao, ao 1020.......................................... 51

Figura 14 Quarto modo de vibrao, ao 1020............................................ 52

Figura 15 Quinto modo de vibrao, ao 1020............................................ 52

Figura 16 Primeiro modo de vibrao, Alumnio 6061................................. 54

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Propriedades mecnicas do Ao 1020......................................... 45Tabela 2 Propriedades do elemento........................................................... 45

Tabela 3 Propriedades mecnicas da liga de alumnio 6061..................... 46

Tabela 4 Propriedades do elemento........................................................... 46

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Definio das coordenadas 3D.................................................... 47Quadro 2 Definio dos elementos.............................................................. 47

Quadro 3 Freqncias naturais, ao 1020................................................... 49

Quadro 4 Deslocamento dos ns, ao 1020................................................ 50

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LISTA DE SIGLAS

BEA Anlise de Elementos de Contorno CAD Desenho Auxiliado por Computador

DCL Diagrama de Corpo Livre

FEA Anlise por Elementos Fnitos

FEM Mecanismo de Elementos Finitos

SAE Society Automotive Engineer

SAE-Brasil Sociedade dos Engenheiros Automotivos do Brasil

AISI Instituto Americano do Ferro e Ao

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LISTA DE SMBOLOS

a AceleraoF Fora ou Carga

m Massa

L Comprimento

u Deslocamento

K Rigidez

Deformao

E Mdulo de elasticidade

Tenso

t Tempo

y Deformao resultante

u 1 derivada do espao em relao ao tempo

u 2 derivada do espao em relao ao tempo

C.G Centro de Gravidade

F(t) Fora em funo do tempo

[M] Matriz massa da estrutura

[K] Matriz rigidez da estrutura[C] Matriz de amortecimento da estrutura

{U} Matriz dos deslocamentos nodais

{U} Matriz das velocidades nodais

{U} Matriz das aceleraes nodais

c Amortecimento

Deformao axial

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I Momento de Inrcia

x Rotao no plano x

y Rotao no plano Y

z Rotao no plano z

Ux Deslocamento no eixo x

Uy Deslocamento no eixo y

Uz Deslocamento no eixo z

Freqncia naturalv Coeficiente de Poisson

T Perodo

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SUMRIO

1 INTRODUO......................................................................................... 162 FUNDAMENTAO TERICA............................................................... 18

2.1 Cargas estticas ..................................................................................... 18

2.2 Cargas dinmicas ................................................................................... 20

2.2.1 Classificao das cargas dinmicas........................................................ 21

2.3 Graus de liberdade de um sistema mecnico ..................................... 22

2.4 Roteiro de anlise pelo mtodo dos elementos finitos ...................... 22

2.4.1 Sistemas contnuos.................................................................................. 24

2.4.2 Sistemas discretos................................................................................... 25

2.5 Modelo matemtico do problema dinmico........................................ 27

2.5.1 Derivao de equaes............................................................................ 27

2.5.2 Soluo de equaes............................................................................... 28

2.6 Modelo f sico do problema dinmico................................................... 28

2.6.1 Rigidez e massa no modelo dinmico...................................................... 29

2.7 Formulao das equaes do movimento ........................................... 30

2.7.1 Formulao da equao do movimento para um grau de liberdade ....... 30

2.7.2 Formulao da equao do movimento para dois graus de liberdade.... 332.7.3 Formulao da equao do movimento para n graus de liberdade......... 36

2.7.4 Equilbrio dinmico de sistemas com n graus de liberdade..................... 38

2.7.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de

rigidez dos elementos.............................................................................. 40

2.7.6 Montagem da matriz de amortecimento do conjunto a partir das

matrizes de amortecimento de cada componente................................... 42

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2.8 Superposio modal .............................................................................. 43

2.9 Fenmeno da ressonncia .................................................................... 44

2.10 Estudo de caso ....................................................................................... 443 METODOLOGIA...................................................................................... 54

4 RESULTADOS, DISCUSSES E SUGESTES.................................... 57

5 CONCLUSO.......................................................................................... 58

REFERNCIAS........................................................................................ 59

GLOSSRIO............................................................................................ 60

ANEXOS................................................................................................... 62

APNDICE............................................................................................... 63

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1 INTRODUO

Os Mini Baja foram inspirados nas competies do deserto americano daBaja, Califrnia nos Estados Unidos, onde j disputada h mais de trinta anos, l

surgiram os buggies e os gaiolas. Como os prottipos dos estudantes so bem

menores, surgiu o nome Mini. Em 1991, foi criada aSociety Automotive Engineer

(SAE), que a Instituio organizadora do evento pelo mundo. No Brasil a primeira

competio ocorreu em 1994, com apenas dois participantes. Atualmente j passam

de cinqenta participantes, a competio j encontr-se na 12 edio e tornou-se

um referencial de criatividade e qualidade de aprendizado entre os estudantes de

engenharia de todo o pas de acordo com a revista Engenharia Automotiva e

Aeroespacial, n 4, janeiro/fevereiro (2001, p.66-68). No Maranho a Universidade

Estadual no ano de 2001, participou pela primeira vez da competio, indo at o

Estado de So Paulo no Autdromo de Interlagos.

Dentre algumas caractersticas tcnicas do veculo Mini Baja temos:

- Motor de 10 Hp, 4 tempos refrigerado a ar e movido a gasolina (motor de

cortador de grama).Fabricante: Briggs & Stratton ;

- Comprimento aproximado: 2600 mm, bitola dianteira 1350 mm, bitola

traseira 1400 mm, entre eixos 1450 mm, tanque de combustvel 3.5 l eautonomia 1.5 h;

- Altura do veculo, 1500 mm;

- Altura solo, 250 mm;

- Suspenso independente tipo duplo V e traseiro eixo rgido;

- Freios: disco ventilado de fabricao prpria, acionamento hidrulico;

- Direo mecnica tipo pinho/cremalheira;

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- Estrutura tipo gaiola (tubular).

Considerando-se a importncia da integridade estrutural do Mini Baja em

caso de capotamento, este trabalho nasceu da necessidade de dimensionar deforma segura a estrutura do veculo de pequeno porte para uma pessoa para

competio em piso de terra. No Brasil, a competio organizada pela Sociedade

dos Engenheiros Automotivos SAE-Brasil (acesso em: www.saebrasil.org.br). Diante

do problema a ser desenvolvido, procurou-se dimensionar a estrutura tipo gaiola, a

partir do conhecimento das normas tcnicas preestabelecidas. A importncia maior

deste trabalho despertar e motivar os acadmicos de Engenharia Mecnica para

que participem de projetos como este do Mini Baja.

Objetivos especficos em relao ao projeto podem ser citados tais

como; oferecer aos acadmicos um projetor desafiador que envolva as tarefas de

planejamento e manufatura para se produzir um veiculo terrestre, colocar em

prticas os conhecimentos adquiridos durante o curso, divulgao do projeto Mini

Baja junto comunidade em geral, diminuio ou fim da evaso de acadmicos do

curso de Engenharia Mecnica da Universidade Estadual do Maranho e que se

obtenha o sucesso almejado.

O mtodo dos elementos finitos e de modelagem implementados aos

softwares , so importantes procedimentos para anlise estrutural que inicialmenteseriam difceis ou impossveis mo livre. Por estes motivos devem ser vistas como

ferramentas estratgicas para se construir um produto com qualidade.

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2 FUNDAMENTAO TERICA

Um dos problemas enfrentados por engenheiros quando lidam comestruturas justamente combinar partes e analis-las. Atualmente as principais

universidades brasileiras j trabalham com modelagem e anlise estrutural Por isso

importante a observao do desenvolvimento de novas tcnicas. O uso do Mtodo

dos Elementos Finitos, implementado em softwares tem ajudado designers e

engenheiros a obterem um melhor entendimento dos problemas complexos e de

difceis solues por meio dos mtodos convencionais. A concepo bsica do FEM

dividir a estrutura a ser analisada em diversas partes ou elementos. Cada

elemento tem uma forma estrutural especifica que interconectada com elementos

adjacentes ao qual so chamados de pontos nodais (ns). Vrias equaes podem

ser formuladas para cada elemento ao qual podem relatar uma quantidade fsica. O

comportamento da estrutura realizado a partir da soma do comportamento dos

diversos elementos, assim pode-se analisar e prever o comportamento.estrutural do

Mini Baja.

Com a implementao de vrios carregamentos e condies de contorno,

as equaes podem ser montadas e resolvidas, tornando possvel encontrar

parmetros desconhecidos. Em muitos casos, pode ser estudado como tenso e adeformao distribuda na estrutura.

2.1 Cargas estticas

Uma estrutura considerada esttica, quando carregada lentamente

at atingir a sua carga mxima e para esta determina-se a configurao deformada e

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as foras internas nos elementos. Assim, as cargas so aplicadas to lentamente e

geram movimentos to lentos na estrutura, que em qualquer instante a resposta

pode ser calculada. As deformaes resultantes na estrutura, associadas s forasaplicadas se desenvolvem tambm lentamente e atingem seus valores mximos

quando o carregamento externo tambm for mximo. como se a estrutura, at

chegar carga mxima, percorresse um caminho que pudesse ser registrado como

uma sucesso de fotografias de problemas estticos.

Os modelos estticos de elementos finitos encarregam-se de determinar

a resposta estrutural ao longo de todos os elementos partindo da hiptese de que a

condio deformada era unicamente determinada a partir da contabilizao da

rigidez (k) da estrutura. A ao das cargas externas so internamente absorvidas

pelas foras elsticas que se manifestam decorrente da condio deformada da

estrutura. Com relao leitura da Lei de Hooke (Mecnica dos matrias, p.18) diz

que, alguns materiais obedecem a uma relao linear entre tenso/ deformao.

Assim sendo a energia fornecida estrutura por intermdio do carregamento externo

absorvida unicamente como energia de deformao. Na prtica o modelo esttico

de elementos finitos est muito longe de representar a realidade dos problemas de

engenharia. Logo podemos concluir que, as cargas estticas no variam com o

tempo e a estrutura carregada to lentamente que cada estgio do carregamento tratado como um problema esttico.

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I

Figura 1. Carga esttica.

2.2 Cargas dinmicas

As cargas dinmicas tiram a estrutura da sua condio de equilbrio, o

caso das estruturas que esto sujeitas a carregamentos que variam com o tempo,

chamados de carregamentos dinmicos, estes carregamentos movem os

componentes da estrutura e apresentam variaes considerveis de velocidadesujeitos portanto a aceleraes.

Uma grande quantidade de aplicaes em engenharia envolve

componentes sujeitos a essas cargas dinmicas pois, sob a ao dessas cargas, as

estruturas comportam-se de modo bastante diferente do comportamento

apresentado sob a ao de cargas estticas. A natureza das foras que se

manifestam ao analisarmos o comportamento de cada trecho da estrutura sob ao

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de cargas dinmicas merece um cuidadoso estudo. Assim cargas dinmicas

ocasionam aceleraes nos elementos de uma estrutura ou na estrutura inteira.

Essas aceleraes esto associadas s variaes de velocidade que ocorrem namesma. Como os elementos da estrutura possuem massa, sob efeito das

aceleraes presentes surgiro foras de inrcia e foras elsticas que iro provocar

vibraes de acordo com o Principio Fundamental da Dinmica:

F = m . a (1)

A maioria dos componentes mecnicos est sujeita a cargas que variam

com o tempo e, portanto possuem caractersticas dinmicas. Nos veculos terrestres

como o Mini Baja, a estrutura est sujeitas a toda sorte de aes ocasionadas por

aceleraes repentinas, frenagens violentas, pisos irregulares que geram impactos,

redues acentuadas de marchas etc. Esses eventos acarretam no veculo e em

seus componentes, aceleraes de diversas intensidades e em diferentes direes.

Como conseqncia a estrutura e os componentes mecnicos devero ser

dimensionados considerando que as foras que esto atuando possuem

caractersticas totalmente diferentes da estrutura esttica.

fundamental identificar com a fora aplicada atua ao longo do tempo,

bem como identificar algumas caractersticas dinmicas do componente a ser

dimensionado.

2.2.1 Classificao das cargas dinmicas

O projeto de estruturas deve considerar os carregamentos medidos

experimentalmente. Muitas vezes, na impossibilidade de prever todos os possveis

carregamentos, surgem os carregamentos de projeto, de modo que se possam

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prever as situaes mais severas da utilizao da mesma. Podemos citar as

seguintes cargas dinmicas:

a) Cargas peridicas repetem-se identicamente em intervalos detempos iguais, ocasionando vibraes na estrutura. A cada perodo (T) que o

fenmeno se repete chamado de ciclo.

b) Cargas senodais so cargas peridicas mais simples, a variao

com o tempo chamada de harmnica ou seja, executa um movimento harmnico.

c) Cargas no peridicas ou de impacto podem atuar durante um

intervalo muito pequeno de tempo e refere-se a uma coliso real de dois corpos. So

consideradas perigosas para as estruturas.

2.3 Graus de liberdade de um sistema mecnico

Com relao leitura, Avelino (Elementos Finitos a base da Tecnologia

CAE, 2005, p.26), o nmero de graus de liberdade de um sistema mecnico o

nmero de componentes de deslocamento que so requeridos para localizar

completamente todas as massas constituintes do sistema em um determinado

tempo. Nas estruturas reais a massa sempre continuamente distribuda e o

sistema composto por infinitas massas elementares. Portanto, qualquer estruturareal deve ser considerada um sistema de infinitos graus de liberdade. Para cada

grau de liberdade podemos ter at, trs de translao (Ux, Uy e Uz) e trs de

rotao (x, y e z), dependendo do elemento utilizado. Dentre alguns tipos de

elementos temos; vigas, tubos, slidos e cascas.

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2.4 Roteiro de anlise pelo mtodo dos elementos fini tos

a) Criao do modelo da estrutura obedecendo um eixo de referncia;b) Determinao da rigidez de cada elemento.

Sistema de equao para um elemento:

(F)e = [k]e.{u}e (2)

Determinao da rigidez da estrutura

{K} = [K] . {u} (3)

Sistema de equao para a estrutura

[K] = . [K]e (4)

A partir dos deslocamentos nodais so calculados:

a) Deslocamento dentro dos ns (u)

b) Deformaes dentro dos elementos ()

c) Tenses dentro dos elementos ( )

A rigidez (K) de um elemento verificada por intermdio da relao

(Fora x Deslocamento), tais foras justificam o equilbrio de cada elemento na

estrutura.

A partir do conhecimento das cargas atuantes na estrutura e da sua

condio de apoio sero determinados os deslocamentos por intermdio da

Equao Matricial:

O diagrama de corpo livre (DCL), necessrio para definir as cargas que

agem nos elementos. Temos que incluir todos os momentos, torques e foras pois,

muitos erros nas anlises de foras ocorrem por que o diagrama desenhadoincorretamente.

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Figura 2. Diagrama de corpo livre para um elemento finito.

2.4.1 Sistemas contnuos

Em uma estrutura real a massa distribuda continuamente e est

sujeita a foras de inrcia. Ao focalizarmos nossa ateno para apenas um elemento

de interesse, est massa isolada do resto do sistema por intermdio do diagrama

de corpo livre. Cada pequena massa est sujeita a foras de inrcia. Como aestrutura tem infinitas massas elementares, as foras de inrcia presentes em cada

uma delas devem ser contabilizadas, pois solicitaro a estrutura. Um exemplo tpico

uma barra forada a vibrar, as pequenas massas distribudas ao longo da barra

esto sujeitas a aceleraes e foras de inrcia. Cada massa localizada por

intermdio de uma coordenada x, que em cada instante ela se desloca e que varia

com o tempo.

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Assim sendo, a massa de um tubo distribudo continuamente ao longo do

seu comprimento, sofrem deslocamentos e aceleraes que devem ser definidos

para cada ponto e que para serem definidos, so necessrios equaes diferenciaisparciais com variveis independentes da coordenada x e do tempo t.

A partir do entendimento do equilbrio dinmico de um elemento

diferencial do tubo, pode-se entender o comportamento dinmico do tubo inteiro, em

seus infinitos pontos.

Figura 3. Massa distribuda continuamente.

2.4.2 Sistemas discretos

O estudo do comportamento dinmico de uma estrutura ou um

componente mecnico pode ser efetuado considerando-o como um sistema discreto.As consideraes a respeito da simulao da estrutura como uma montagem de

elementos finitos, e no diferencial continuam vlidas e sero consideradas.

De acordo com a Reduo de Guyan (Elementos Finitos a base da

Tecnologia CAE, 2005, p.282), que diz que a massa aplicada considerada

somente em alguns ns do modelo, ao qual a representao da massa feita de

forma discretizada. A conseqncia que somente nos ns escolhidos em que h

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os maiores esforos, as foras de inrcia sero contabilizadas e ao se colocar

massa em alguns graus de liberdade limitados, as equaes dinmicas sero

reduzidas, pois s sero contabilizadas foras de inrcia onde h massa.Poderamos dizer de forma simplificada que o modelo discretizado da estrutura um

imenso mar de molas que contabiliza ponto a ponto nodal a rigidez da estrutura.

Figura 4. Massa concentrada somente nos ns.

No modelo discretizado h infinitos pontos a ser analisado, para se obter

um resulta mais satisfatrio deve ser calculados somente os deslocamentos,

velocidades e aceleraes de alguns pontos, que so os ns, julgando que um

determinado nmero de ns escolhidos suficiente para representar a configurao

deformada da estrutura inteira em cada instante do seu movimento de forma

aproximada.

A partir do conhecimento dos deslocamentos nodais, podemos calcularos deslocamentos dentro dos elementos. No podemos esquecer que a rigidez e a

inrcia so conceitos que sero utilizados no mbito da estrutura e a partir do

entendimento do que ocorre em um grau de liberdade do modelo sob ao dinmica,

podemos entender o ocorre com a toda estrutura do Mini Baja. Este o primeiro

passo para o tratamento matemtico do problema dinmico.

O modelo discretizado da estrutura para propsito de estudo da anlise

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dinmica um imenso mar de molas, massas e amortecedores que contabilizam

ponto a ponto a rigidez da estrutura, a massa associada e o amortecimento

presente, sob a ao das foras externas que solicitam a estrutura.

2.5 Modelo matemtico do problema dinmico

A inteno do modelo matemtico representar todas as importantes

partes do sistema de modo que se possa obter atravs da derivao matemtica ou

analtica, determinar as equaes que governam o comportamento do sistema. A

soluo das equaes nos d resultados de deslocamento, velocidade e acelerao

de vrias massas do sistema, estes resultados podem ser interpretados e

analisados.

2.5.1 Derivao de equaes

Quando somente o modelo matemtico de derivao disponvel,

podemos utilizar os princpios da dinmica e derivam-se as equaes que descreve

a vibrao do sistema. As equaes de movimento podem ser derivadas

convenientemente desenhando o diagrama de corpo livre de todas as massasenvolvidas. O diagrama de corpo livre da massa pode ser obtido, isolando todas as

massas e indicando todas as foras externas aplicadas, as foras de reao e as

foras de inrcia. As equaes de movimento de um sistema de vibrao so

geralmente em forma de equaes diferenciais ordinrias para um sistema discreto e

parcialmente diferencial para um sistema continuo. A equao pode ser ainda linear

e no linear dependendo do comportamento do sistema. Os seguintes princpios

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podem ser utilizados para derivao; Segunda lei de Newton para movimento, o

Princpio de D Alembert e o Princpio de Conservao de Energia.

2.5.2 Soluo de equaes

As equaes de movimento podem ser resolvidas encontrando-se a

resposta do sistema de vibrao, dependendo da natureza do problema, podemos

usar mtodos tradicionais de soluo de equaes diferenciais, tais como o Mtodo

de matrizes e o Mtodo numrico. O Mtodo numrico envolve o uso de

computadores para resolver as equaes.

2.6 Modelo fsico do problema dinmico

A partir do entendimento do Mtodo dos Elementos Finitos em anlise

esttica, sabido que para elaborao do modelo de clculo est ligado

capacidade de entender a natureza fsica do fenmeno que pretendemos

representar. Este o primeiro passo para o entendimento do fenmeno fsico

dinmico que ocorre em cada ponto e, como conseqncia, a elaborao do modelo

fsico adequado para represent-lo. Do ponto de vista fsico, o estudo do sistemamassa-mola permite-nos entender o que ocorre com o corpo preso extremidade de

um tubo ao ser afastado da posio de equilbrio, o corpo tender a vibrar.

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Figura 5. Representao fsica do modelo massa-mola

2.6.1 Rigidez e massa no modelo dinmico

A rigidez desempenha papel importante na discretizao de problemas

estruturais, o elemento mola de um veculo ou em um componente mecnico

representa a rigidez. O seu estudo permiti-nos tirar algumas concluses em relao

ao significado fsico em qualquer modelo de anlise. As estruturas possuem diversos

componentes de rigidez (k), que so representados no caso mais geral como molas

translacionais e rotacionais. Para pequenas deflexes a relao fora-deslocamento linear.

F k

y= (5)

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30

2.7 Formulao da equao do movimento

A anlise estrutural tem por objetivo determinar a relao entre as cargasvariveis que atuam nos ns da estrutura e os deslocamentos da estrutura inteira,

que tambm variam com o tempo. Logo a rigidez est sempre presente atravs, da

matriz de rigidez do elemento [k]e, e no mbito da estrutura por intermdio da matriz

de rigidez da estrutura [k]. Os conceitos de rigidez, inrcia e amortecimento esto

presentes.

Para este estudo, iremos considerar o Mtodo dos Elementos Finitos para

sistemas discretos envolvendo um nmero limitado de graus de liberdade para

equacionar o problema dinmico da estrutura e, assim determinar o comportamento.

A formulao das equaes do movimento de um sistema dinmico constitui a tarefa

mais importante do processo de anlise. Segundo a aplicao da 2 Lei de Newton

e considerando o diagrama de corpo livre, teremos a equao de movimento:

m . u + c . u + k . u = F(t) (6)

2.7.1 Formulao da equao do movimento para um grau de liberdade

De acordo com R. C. Hibbeler (Mecnica Dinmica 8 edio, p.446),

sistemas com um grau de liberdade, requerem apenas uma coordenada para definir

a sua posio. fundamental ter em mente, que o conhecimento detalhado de como

o sistema de um grau de liberdade se comporta em termos de vibrao livre e

forada, a chave para o entendimento para o sistema de n graus de liberdade.

Vamos considerar uma estrutura constituda por apenas um elemento

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finito de mola de constante k, a estrutura est fixada em um n, com massa m

concentrada em outro n, na outra extremidade. O amortecimento presente

representado simbolicamente pelo amortecedor c. A fora externa provocadeslocamento u na estrutura. Entretanto, neste caso a fora externa varia com o

tempo F(t) e o deslocamento u tambm varia com o tempo t.

As equaes do movimento de qualquer sistema dinmico podem ser

obtidas a partir da aplicao da 2 lei de Newton ou Princpio Fundamental da

Dinmica. Temos basicamente um sistema massa-mola em que ser feita a anlise

do comportamento dinmico do corpo por intermdio do diagrama de corpo livre.

Figura 6. Sistema de um grau de liberdade.

Considerando as foras agentes na direo horizontal e aplicando a 2Lei de Newton, teremos as seguintes foras que agem sobre o corpo na direo

horizontal:

- F(t) = fora externa varivel com o tempo, aplicada ao corpo

- F elstica = fora que a mola aplica no corpo

- F amortecida = fora que o amortecedor aplica no corpo

A intensidade da fora elstica proporcional deformao da mola. A

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intensidade da fora do amortecedor proporcional velocidade.. A velocidade de

uma partcula dada pela primeira derivada da coordenada que define sua posio,

ou mais propriamente, a primeira derivada em relao ao tempo, e a acelerao dada pela segunda derivada ou seja, a acelerao dada pela derivada da

velocidade em relao ao tempo. Logo:

du

v = u = _____ (7)

dt

dv d2v

a = _____ = _____ = u (8)

dt dt2

A equao (6) contabiliza a ao de todas as foras que atuam em um

corpo de massa m, e constitui o ponto de partida para o estudo do comportamentodinmico de um grau de liberdade da estrutura. O entendimento claro do que ocorre

em um grau de liberdade permite entender o que ocorre na estrutura inteira.

Outro aspecto importante que o sistema massa-mola serve apenas para

como pano de fundo para discutir as leis fundamentais do problema dinmico, que

tem um sentido muito mais geral do que um simples sistema massa/mola/

amortecedor, estamos estudando no caso mais geral, o que ocorre com o

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movimento de um n na estrutura. A mola representa a rigidez da estrutura em um

determinado ponto e em dada direo, o amortecedor representa o mecanismo que

permite contabilizar a perda de energia no movimento vibratrio, e a massarepresenta a propriedade de inrcia, em funo da presena de massa.

2.7.2 Formulao da equao do movimento para dois graus de liberdade

Sistemas que requerem duas coordenadas independentes para descrever

seu movimento so chamados de dois graus de liberdade. Podemos ter como

exemplo o motor do veculo Mini Baja, assumindo que o sistema vibra em um plano

vertical, podemos idealizar a massa m como uma barra, o momento de inrcia J

suportado e duas molas de rigidez K1 e k2. O deslocamento do sistema em qualquer

tempo pode ser especificado por uma coordenada linear x(t), indicando o

deslocamento vertical do centro de gravidade (C.G) e uma coordenada angular,

denotando a rotao de uma massa m sobre o centro de gravidade, ns podemos

usar x1 (t) e x2 (t) como coordenadas independentes para especificao do

movimento do sistema e a massa tratada como um corpo rgido tendo dois tipos de

movimento. fundamental entender o que ocorre em um grau de liberdade, para

posteriormente entender o comportamento dinmico do conjunto.Vejamos como montar o conjunto de equaes diferenciais que traduzem

as vibraes foradas para dois graus de liberdade de um modelo discretizado em

elementos finitos. O tratamento matemtico e de aplicao ser visto a partir de um

exemplo simples, tomando-se como base 2 Lei de Newton aplicada a cada grau

de liberdade com massa do modelo discretizado, onde as massas esto

concentradas nos ns da estrutura. O amortecimento presente nesse sistema

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representado pelo amortecedor entre os ns. Exemplifiquemos para dois graus de

liberdade.

Figura 7. Aplicao da segunda lei de Newton sem sistema com dois

graus de liberdade.

Sob a ao das foras externas variveis com o tempo atuante nos ns A

e B, o conjunto inteiro se deforma, essa configurao deformada varia de instante a

instante.

A partir da aplicao da segunda lei de Newton nos dois graus de

liberdade da estrutura na qual esto localizadas as massas, podemos gerar as

equaes diferenciais que traduzem o equilbrio dinmico da estrutura. A estrutura

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est se movimentando sob a ao das foras variveis com o tempo, cada massa

localizada nos ns A e B, se movimentam tambm. Tomando cada massa como

uma entidade isolada, podemos aplicar o diagrama de corpo livre, a soma das forasexterna com as foras aplicadas pelos elementos e pelos amortecedores em cada

massa fornece a resultante, que o produto da massa pela acelerao,

matematicamente pode ser representado e podemos observar que:

- Durante um instante t, a massa mA n A puxa para a direita a mola,

esta reage e aplica uma fora em sentido contrrio para a esquerda, fazendo surgir o

efeito da mola a no n A.

- A massa mA se movimenta para a direita, o amortecedor trabalha em

sentido contrrio velocidade e aplica uma fora em sentido contrrio para a

esquerda, fazendo surgir o efeito do amortecedor a no n A.

- Como a massa m A aproxima-se da massa m B, a mola b encontra-se

comprimida nesse instante, assim ela aplica uma fora para a esquerda na massa

A, fazendo surgir o efeito da mola b no n A.

Efetuando o somatrio das foras atuantes na massa m A, e aplicando a

segunda lei de Newton, temos:

FA (t) ka x UA kb (UA UB) ca x UA cb (UA UB) = mA x UA, (10)

massa m B n B

No mesmo instante t, podemos montar para a massa m B a segunda lei

de Newton, utilizando raciocnio semelhante. Vale lembrar que para a mola kb e para

o amortecedor cb as foras aplicadas na massa B tero intensidade e sentidos

contrrios quelas aplicadas na massa A, pelo princpio da ao e reao, as

foras aplicadas pela mola c e amortecedor c na massa B surgem

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imediatamente, usando o mesmo raciocnio. Assim, fazendo o somatrio das foras

atuantes na massa m B e aplicando a segunda lei de Newton, temos:

FB (t) kc x UB + kb (UA UB) cc x UB + cb (UA UB) = mA x UB (11)Efetuando os produtos das equaes e agrupando convenientemente os

termos envolvendo aceleraes, velocidades, deslocamentos e foras nodais,

podemos apresentar o sistema de duas equaes diferenciais da seguinte forma:

mA x UA + (ca +cb) x UA cb x UB+(ka+kb) x Ua - kb x UB=FA(t) (12)

mB x Ub - cb +UA+ (cb + cc).UB - kb.Ua+(kb+kc).Ub=FB(t) (13)

Equaes relacionando as foras nodais variveis com o tempo nos ns

A e B da estrutura e as correspondentes aceleraes nodais, velocidades nodais

e deslocamentos nodais.

O exemplo abordado permite-nos ter uma idia fsica do procedimento de

gerao da equao matricial que traduz o equilbrio dinmico de um sistema com

dois graus de liberdade que se movimentam e que tm massa concentrada neles.

Podemos notar que sistemas com dois graus de liberdade, as matrizes de massa,

rigidez e amortecimento tem dimenso 2 x 2.

2.7.3 Formulao da equao do movimento para n graus de liberdade

A partir do entendimento de como um grau e dois graus de liberdade

funcionam em uma determinada estrutura, podemos partir para o estudo de como n

graus de liberdade funcionam em uma determinada estrutura, ou seja estudar o

comportamento dinmico de n graus de liberdade. Nas anlises dinmicas, os

movimentos associados aos diversos graus de liberdade da estrutura so traduzidos

por milhares de equaes diferenciais simultneas, os movimento dos diversos

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pontos nodais esto acoplados entre si, a resoluo das equaes merece uma

estratgia numrica. Os carregamentos dinmicos geram tenses variveis com o

tempoNas estruturas reais teremos, ento, muitos componentes de

deslocamentos, velocidades, aceleraes e foras nodais. Ento a soluo desta

equao na forma matricial que ser foco deste trabalho. Temos abaixo a equao

do movimento para n graus de liberdade:

[M] . {U} + [C] . {U} . [K] . {U} = {F(T)} (15)

Podemos obter as equaes que traduzem o equilbrio dinmico para

toda a estrutura da seguinte forma:

- Segunda lei de Newton aplicada a todos os graus de liberdade que

contem massa do modelo;

- Estabelecer um sistema de referncias de modo a introduzir uma

conveno de sinais para as cargas aplicadas na estrutura como um todo e para os

deslocamentos nodais.

- Organizar a identificao de cada um dos ns do modelo por meio de

numerao dos mesmos.

- Em funo das cargas aplicadas em um instante t, as mesmas soconcordantes com o sentido positivo adotado para as foras nodais aplicada nos ns

da estrutura.

Para os problemas encontrados no dia-a-dia das aplicaes de

Elementos Finitos, as concentraes fsicas so semelhantes, porm o nmero de

componentes de deslocamentos, velocidades e aceleraes nodais so muito

maiores, permitindo-nos estabelecer que sistemas com n graus de liberdade, as

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matrizes de massa, rigidez e amortecimento tem dimenso n x n.

As inmeras equaes diferenciais geradas a partir da condio de

equilbrio de cada grau de liberdade com massa so resolvidas com auxilio decomputadores e softwares de anlise (FEA) e (BEA) que se encarregam de dar

conta dessas tarefas por meio de rotinas apropriadas, e a maneira mais eficiente de

armazenar essas informaes process-las por meio de matrizes, o uso da

notao matricial deve ser entendido como uma questo administrativa, pois

somente na forma matricial as solues das equaes diferenciais podem ser

resolvidas de forma racional.

2.7.4 Equilbrio dinmico de sistemas com n graus de liberdade

Para uma estrutura que se movimenta sob a ao das foras variveis

com o tempo. Cada massa, localizada nos ns , se movimentam tambm. Tomando

cada massa como uma entidade isolada, podemos aplicar nela o diagrama de corpo

livre (DCL). A soma das foras externas com as foras aplicadas pelos elementos e

pelos amortecedores em cada massa fornece a resultante, que o produto da

massa pela acelerao.

Obtemos assim a equao que exprime a relao geral entre todas asforas, deslocamentos, velocidades e aceleraes nodais para a estrutura inteira.

Para os problemas encontrados no dia-a-dia das aplicaes de Elementos Finitos,

as consideraes fsicas so semelhantes, porm o nmero de componentes de

deslocamentos, velocidades e aceleraes so muito maior, permitindo-nos

estabelecer a seguinte generalizao:

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I II III IV V VI VII

0 " 0 ( ) ' 0 ( ) 0 ( ) 0. . .0 " 0 ( ) ' 0 ( ) 0 ( ) 0mA U A ca cb cb U A ka kb kb UA FA t

mB U B cb cb cc U B kb kb kc UB FB t + + + + = + + (16)

I Matriz que contabiliza as massas de toda estrutura;

II Matriz coluna que contm as aceleraes nodais, dos graus de

liberdade que se movimentam;

III Matriz que contabiliza os amortecimentos presentes em toda a

estrutura;

IV Matriz coluna que contm as velocidades nodais, dos graus de

liberdade que se movimentam;

V Matriz de rigidez da estrutura correspondente aos graus de liberdade

que se movimentam;

VI Matriz coluna que contm os deslocamentos nodais, dos graus degraus de liberdade que se movimentam;

VII Matriz coluna que contm as foras nodais, nos graus de liberdade

que se movimentam.

Sistema com n graus As matrizes de massa, rigidez,

de liberdade e amortecimento tem dimenso

n x n

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2.7.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez dos

elementos

A matriz de rigidez nada mais do que uma matriz que indica relaes

entre propriedades do elemento, no caso de tubos, as relaes entre foras

aplicadas nas extremidades e os deslocamentos.

Figura 8. Montagem da matriz de rigidez.

k -k

[k]e = (17)

-k k

0 A

ka -ka 0

[k]a = (18)

-ka ka A

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A B

kb -kb A[k]b = (19)

-kb kb B

B C

Kc -kc B

[K]c = (20)

-kc kc C

0 A B C

ka -ka 0 0 0

-ka ka+kb -kb 0 A[k] = (21)

0 -kb kb+kc -kc B

0 0 -kc kc C

A e B, ns que se movimentam

O e C, ns restritos

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2.7.6 Montagem da matriz de amortecimento do conjunto a partir das matrizes de

amortecimento de cada componente

O procedimento de montagem da Matriz de amortecimento do conjunto

semelhante de rigidez.

Figura 9. Montagem da Matriz de amortecimento

c -c

[C]e = (22)

-c c

0 A

ca -ca 0

[C]a = (23)

-ca ca A

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A B

cb -cb A[C]b = (23)

-cb cb B

B C

cc -cc B

[C]c = (24)

-cc cc C

0 A B C

ca -ca 0 0 0

[C] = ca ca+cb -cb 0 A (25)

0 -cb cb+cc -cc B

0 0 -cc cc C

2.8 Superposio modal

A anlise modal reflete o comportamento dinmico bsico da estrutura e

constitui uma indicao de como a mesma responder ao carregamento dinmico

agente sobre ela ou seja, pode-se determinar a configurao deformada da estrutura

em um instante t. A anlise modal (autovalores e autovetores), consiste em calcular

os modos e freqncias naturais de vibrao da estrutura.

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Convm mencionar que, ao calcularmos os modos e freqncias de uma

estrutura, utilizando um software de anlise por elementos finitos, esse considera

nulo o amortecimento. Por outro lado, mesmo sendo pequeno o amortecimentopresente, ele tem forte influncia na resposta da estrutura sob ao do

carregamento dinmico.

2.9 Fenmeno da ressonncia

Quando se projeta qualquer estrutura, desejvel determinar as

freqncias naturais do conjunto e de seus subconjuntos, para prever e evitar

problemas de ressonncia durante a operao. A estrutura do Mini Baja pode ter um

nmero infinito de freqncias naturais com as quais ir vibrar prontamente. O

nmero de freqncias naturais que so necessrias ou desejveis de se calcular ir

variar de acordo com a situao. A abordagem mais complexa feita por meio da

anlise com elementos finitos (FEA) para dividir a estrutura em um grande nmero

de elementos discretos. A condio denominada ressonncia pode ocorrer se a

freqncia forada ou de operao aplicada ao sistema for a mesma que qualquer

uma das freqncias naturais da estrutura. Assim sendo algumas freqncias de

excitao em confronto com algumas freqncias naturais tornam-se problemticas.Logo devemos evitar excessivas amplitudes de vibrao

2.10 Estudo de caso

O presente estudo consiste na modelagem utilizando os softwares

Autocad e aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos que est implementado no

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COSMOS/M, na estrutura de um veculo terrestre Mini Baja, a partir da aplicao de

massa em determinados pontos. Foram utilizados dados tcnicos do ltimo projeto

de forma a prever aproximadamente o comportamento da estrutura, a partir deentradas peridicas buscando-se um comparativo das freqncias de acordo com o

material utilizado e uma possvel otimizao. Fez-se anlise utilizando o material

Ao carbono 1020 e uma Liga de alumnio 6061. Lembrando que, isto no , de

maneira alguma, um tratamento completo do complexo assunto que a anlise das

solicitaes.

Definio das propriedades dos materiais e dos elementos

utilizados para construo da gaiola

A funo da gaiola de proteo evitar que o piloto usando cinto de

segurana seja esmagado caso o veculo capote. O projeto da gaiola julgado

considerando-se este fato.

A gaiola de proteo deve ser construda em tubos com no mnimo de

0,18% de carbono. Os tubos devem ter um dimetro mnimo de 25,4 mm (1) e uma

espessura de parede mnima de 2,1 mm (0,083) . A variao dos materiais e da

geometria dos tubos ser permitida desde que apresentem um EI equivalente

Propriedades mecnicas do Ao carbono 1020 laminado a quente

Tabela 01. Propriedades mecnicas do Ao 1020

Mdulo de elasticidade (E)Gpa

Resistnciamxima em trao

Mpa ()Elongao do corpo deensaio de 50.8 mm (%)

Dureza Brinell(HB)

209 379 25 111Fonte: Projeto de Mquinas,p.846

Tabela 02. Propriedades do elemento

Tipo de Elemento Dimetro externo(mm)

Espessura de parede(mm)

Densidade em massaKg/m3

Pipe = Tubo 32 3,25 7,8Fonte: Norma SAE/BRASIL

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Propriedades mecnicas da Liga de Alumnio 6061

Tabela 03. Propriedades mecnicas da liga de Alumnio 6061

Mdulo de elasticidade (E)Gpa

Resistnciamxima em trao

Mpa ()Elongao do corpo deensaio de 50.8 mm (%)

Dureza Brinell(HB)

71.7 310 12 95Fonte: Projeto de Mquinas,p.846

Tabela 04. Propriedades do elemento

Tipo de Elemento Dimetro externo(mm)

Espessura de parede(mm)

Densidade em massa(Mg/m3)

Pipe = Tubo 32 3,25 2,8Fonte: Norma SAE/BRASIL

O material do tubo considerado homogneo, isotrpico e obedece a

lei de Hooke .

Definio da geometria do modelo de elemento finito e criao do

modelo, atravs dos ns e elementos

Para criao da geometria e dimenses da estrutura tivemos como base

as normas da Sae-Brasil. A estrutura foi modelada inicialmente no software Autocad

2000 no qual foram definidas coordenadas 3D para organizao dos pontos ou ns

e dos respectivos elementos que esto relacionados.

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NS X Y Z NS X Y Z NS X Y Z1 100 50 25 15 87.50 200 47 29 92.50 210 772 131 50 25 16 100 200 47 30 138.50 210 773 100 110 25 17 131 200 47 31 100 260 674 131 110 25 18 143.50 200 47 32 131 260 675 84.50 190 25 19 100 260 47 33 92.50 260 776 100 190 25 20 131 260 47 34 138.50 260 777 131 190 25 21 92.50 38 53 35 92.50 162 1358 146.50 190 25 22 138.50 38 53 36 137.50 162 1359 100 260 25 23 92.50 80 53 37 92.50 210 135

10 131 260 25 24 138.50 80 53 38 138.50 210 13511 96.25 44 39 25 92.50 110 53 39 131 200 2512 134.75 44 39 26 138.50 110 53 40 100 200 2513

96.25 110 3927

95.50 80 7814 134.75 110 39 28 138.50 80 78Quadro 1. Definio das coordenadas 3D

ELEMENTO ELEMENTO ELEMENTO1 (1-2) 25 (12-14) 49 (29-30)2 (3-4) 26 (4-5) 50 (24-28)3 (1-3) 27 (16-19) 51 (23-27)4 (2-4) 28 (17-20) 52 (22-28)

5 (3-5) 29 (11-21) 53 (21-27)6 (5-6) 30 (12-22) 54 (30-34)7 (6-7) 31 (13-25) 55 (29-33)8 (7-8) 32 (14-26) 56 (33-34)9 (4-8) 33 (15-29) 57 (28-36)

10 (6-40) 34 (18-30) 58 (27-35)11 (7-39) 35 (19-31) 59 (30-38)12 (9-10) 36 (20-32) 60 (29-37)13 (1-11) 37 (31-33) 61 (34-38)14 (2-12) 38 (32-34) 62 (33-37)15 (3-13) 39 (21-22) 63 (36-38)16 (4-14) 40 (22-24) 64 (37-38)17 (5-15) 41 (24-26) 65 (35-37)18 (15-16) 42 (21-23) 66 (35-36)19 (16-17) 43 (23-25) 67 (29-38)20 (17-18) 44 (18-26) 68 (9-40)21 (8-18) 45 (15-25) 69 (10-39)22 (9-19) 46 (3-15) 70 (16-40)23 (10-20) 47 (4-18) 71 (17-39)24 (11-13) 48 (18-29)

Quadro 2. Definio dos elementos

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Figura 10. Definio dos ns, elementos e condio de contorno

Definio dos carregamentos aplicados

Com relao leitura, Guyan (Elementos Finitos a base da Tecnologia

CAE 2005, p.282), diz que atravs do Mtodo de Reduo para clculo dos modos e

freqncias naturais de vibrao em que as massas podem ser consideradas

concentradas em somente alguns graus de liberdade, os modos e freqncias

podem ser determinadas, sem afetar tais valores. Ao colocar massa em alguns

graus de liberdade limitados, as equaes dinmicas sero reduzidas , pois s serocontabilizadas foras de inrcia onde h massa. Normalmente os graus de liberdade

escolhidos para colocar as massas so chamados de graus de liberdade mster

(mestre) e os demais slaves (escravo)

A reduo de Guyan se baseia na simples relao esttica elstica entre os graus de

liberdade mster e slaves .

Em relao estrutura do Mini Baja, foi utilizado o sistema discretizado

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(lumped mass ), no qual a massa fica concentrada em determinados ns. Os ns

escolhidos foram; 3,4,5,6,7,8,16,17,19,20, 29, 30, 33 e 34.

Nestes ns esto concentradas as massas, consideradas do piloto (80Kg), do motor (20 Kg) e do tanque de combustvel (5 Kg) para efeito de anlise.

Anlise do modelo estrutural (ao 1020)

Para a estrutura do Mini Baja feito com Ao 1020, foram verificadas 5

freqncias naturais ( ) de acordo com os carregamentos aplicados. As mesmas

foram consideradas dentro da faixa de tolerncia.

1 Freqncia ( ) 2 Freqncia ( ) 3 Freqncia ( ) 4 Freqncia ( ) 5 Freqncia ( )

45.74 Hz 55.05 Hz 58.51 Hz 104.90 Hz 143.58 Hz

Quadro 3. Freqncias naturais (ao 1020)

Os deslocamentos foram considerados apenas em alguns ns j

considerados anteriormente, devido massa estar discretizada, os quais so:

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50

N Ux Uy Uz Rx Ry Rz

3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

5 7.394e-002 1.340e-2 8.343e-0023 3.369e-002 2.476e-002 -1.151e-001

6 7.376e-002 5.230e-004 4.599e-002 -1.036e-002 2.605e-001 -2.201e-001

7 7.288e-002 -1.156e-002 -3.662e-002 -9.100e-003 2.523e-001 -6.705e-022

8 7.220e-002 -2.437e-002 -7.245e-002 -6.453e-002 2.287e-001 -1.666e-001

16 1.448e-001 6.493e-005 4.398e-002 -6.345e-003 2.887e-001 1.907e-002

17 1.449e-001 -4.227e-004 -3.631e-002 1.577e-003 2.874e-001 8.647e-00319 5.688e-002 4.222e-005 6.327e-004 -1.781e-002 4.165e-001 1.224e-001

20 5.735e-002 .3.282e-004 -5.906e-004 1.173e-002 4.194e-001 1.251e-001

29 2.264e-001 -1.977e-003 6.540e-002 -2.771e-002 2.713e-001 1.618e-002

30 2.267e-001 5.723e-003 -5.974e-002 2.299e-002 2.697e-001 1.468e-002

33 1.969e-001 -2.518e-002 3.542e-002 -4.221e-002 3.410e-001 5.457e-002

34 1.969e-001 6.144e-003 -3.483e-002 2.663e-002 3.353e-002 5.698e-002

Quadro 4. Deslocamento dos ns (ao 1020)

Figura 11. Primeiro modo de vibrao = 45,74 Hz, ao 1020

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Figura 12. Segundo modo de vibrao = 55,05 Hz, ao 1020

Figura 13. Terceiro modo de vibrao = 58,51 Hz, ao 1020

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Figura 14. Quarto modo de vibrao = 104,90 Hz, ao 1020

Figura 15. Quinto modo de vibrao = 143,58 Hz, ao 1020

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Anlise do modelo estrutural (l iga de alumnio 6061 )

O mesmo procedimento utilizado para anlise do ao 1020, ser utilizadopara o alumnio 6061.

1 Freqncia 2 Freqncia 3 Freqncia 4 Freqncia 5 Freqncia

26.79 Hz 36.01 Hz 39.47 Hz 85.86 Hz 124.54 Hz

Quadro 5. Freqncias naturais (liga de alumnio 6061)

Os deslocamentos foram considerados apenas em alguns ns j

considerados anteriormente, devido massa estar discretizada, os quais so:

N Ux Uy Uz Rx Ry Rz

3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 05 7.394E-002 1.340E-002 8.343E-002 3.639E-002 2.476E-001 -1.151E-001

6 7.376E-002 5.230E-004 4.599E-002 -1.036E-002 2.606E-001 -2.201E-002

7 7.288E-002 -1.156E-003 -3.662E-002 -9.100E-003 2.523E-001 -6.705E-002

8 7220E-002 -2.437E-002 -7.215E-002 -6.153E-002 2.287E-001 -1.666E-001

16 1.448E-001 6.503E-005 4.398E-002 -6.345E-003 2.887E-001 1.907E-002

17 1.499E-001 -4.226E-004 -3.631E-002 1.577E-003 2.874E-001 8.647E-003

19 5.668E-002 4.233E-005 6.327E-004 -1.781E-002 4.188E-001 1.224E-001

20 5.375E-002 -3.280E-004 -5.906E-004 1.173E-022 4.194E-001 1.251E-001

29 2.264E-001 -1.977E-003 6.540E-002 -2.721E-002 2.713E-001 1.618E-002

30 2.267E-001 5.723E-003 -5.974E-002 2.299E-002 2.697E-001 1.468E-002

33 1.969E-001 -2.518E-003 3.542E-002 -4.221E-002 3.410E-001 5.457E-002

34 1.969E-001 6.195E-003 -3.483E-003 2.663E-002 3.354E-001 5.698E-002

Quadro 6. Deslocamento dos ns (liga de alumnio 6061)

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Figura 16. Primeiro modo de vibrao f = 26.79 Hz, Al 6061

3 METODOLOGIA

Diante da necessidade de se projetar e criar um veculo terrestre de

pequeno porte para uma pessoa para pista de terra, mais precisamente entre os

anos de 2000 e 2001, um grupo de acadmicos da Universidade Estadual do

Maranho do curso de Engenharia Mecnica, mobilizaram-se para tal feito,idealizaram participar de uma competio de carros tipo gaiola no Estado de So

Paulo no Autdromo de Interlagos. Foi uma forma encontrada de motivar e fazer

com que estes estudassem com afinidade.

De inicio ficou-se um pouco perdido por onde comear, foi necessrio at

mesmo ir a outras universidades que j haviam participado da competio para

conhecer o projeto de onde retornaram cheios de idias.

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Para realizao do projeto Mini Baja, foi formada uma equipe de vinte

acadmicos e um professor(a) orientador (a), de modo que foi feito um planejamento

e algumas etapas foram definidas.A 1 etapa, consistiu na identificao da necessidade ou seja, o que se

pretendia com este projeto, geralmente nesta etapa as idias so mal definidas.

A 2 etapa o desenvolvimento das informaes na pesquisa de suporte,

para esta etapa a equipe foi dividida em sub-equipes tais como; estrutura, motor,

transmisso, motor, direo, freio, eltrica e marketing. Este um momento de

pesquisas (de campo, bibliogrfica em arquivos tcnicos da biblioteca, leitura de

revistas especializadas em mobilidade, utilizao de softwares comerciais de

engenharia com o Autocad, Solidworks e Cosmo/M, pesquisas na internet e at

compra de livros tcnicos especficos.

Na 3 etapa j foi possvel estabelecer objetivos de forma mais razovel e

racional, de forma que as idias apareceram mais naturalmente.

Na 4 etapa foram definidas as especificaes de tarefas para as

respectivas sub-equipes. cada uma possua um coordenador que era responsvel

em fiscalizar as atividades dos participantes, o mesmo tinha o objetivo de cobrar por

resultados, caso contrrio tinha o poder de eliminar do projeto determinado

participante desinteressado.Na 5 etapa buscaram-se tantas alternativas quanto possveis para os

diversos componentes, foram feitas comparaes e debates em relao a modelos

de outras universidades. Este um momento de concepo e inveno ou seja,

gerado o maior nmero de solues criativas sem considerar valor ou qualidade.

Na 6 etapa as possveis solues da etapa anterior foram analisadas, na

qual podem ser aceitas, rejeitadas ou modificadas.

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Na 7 etapa foi de deciso das solues. na qual foram escolhidas as

mais promissoras ou seja, a soma dos melhores componentes, desenhos,

materiais e processos de fabricao.Na 8 etapa chegou-se ao projeto detalhado, todas as informaes so

somadas, todos os modelos de engenharia feitos, fornecedores identificados,

levantamento de custos, recursos financeiros para o projeto, mtodos de soldagem,

processo de fabricao e mo de obra.

Na 9 etapa consistiu na construo real do Mini Baja e dos testes de

campo.

Na 10 etapa foi feito um relatrio em que so descritos todos os

materiais, custos, programas comerciais utilizados, processo de tratamento trmico

na estrutura se realizado, mtodos de produo com os respectivos resultados que

ser avaliado pela instituio organizadora. O relatrio de projeto tem que ser

entregue na data prevista, caso contrrio a equipe perde ponto.

Durante todo o projeto fundamental o processo de iterao que ir

permitir mudanas se necessrio.

4 RESULTADOS, DISCUSSES E SUGESTES

Feita a modelagem da estrutura fez-se uma simulao e se observou,

reaes do sistema por meio das freqncias de vibrao e deslocamentos de

alguns ns onde haviam fixaes e das energias envolvidas. Pode-se perceber que

h algumas variaes de acordo com o material utilizado at mesmo no inicio da

simulao (o deslocamento no comea do zero). Isso aceitvel tendo em vista

que foi necessrio fazer uma subtrao de posies entre pontos e centros de

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gravidade da estrutura, podendo ocorrer arredondamentos, ocasionando tais fatos

(deslocamentos de 1 milmetro podem ser desconsiderados frente aos demais).

Inicialmente foram calculados 14 modos estticos associados com os graus deliberdade de juno e aplicando as condies de contorno. Percebe-se que a

deformao ocorre praticamente nas proximidades do ponto que sofre

deslocamento/rotao

No foi observado o fenmeno da ressonncia para ambas as estruturas, o que nos

leva a concluir que as freqncias encontradas so consideradas tolerveis.

Solues mais refinadas dependem de uma anlise mais detalhada, em

que podemos aplicar fatores de segurana, cargas de impacto e acelerao de

gravidade para um melhor entendimento de como a estrutura se comporta de acordo

com o material utilizado e dos carregamentos aplicados. Tornando possvel avaliar

modos de falhas.

Para futuros trabalhos de anlise por Elementos Finitos, sugiro que deva

ser utilizado como ferramenta estratgica para soluo de problemas mais

complexos.

5 CONCLUSO

Levando-se em considerao que os dados foram considerados

compatveis com os modelos e que no tivemos grandes problemas durante o

projeto, pode-se afirmar que o mesmo foi bem sucedido.

Os valores dos deslocamentos encontrados em alguns pontos mais crticos foram

considerados razoveis para este tipo de veculo. Sem dvida que a estrutura pode

ser melhorada, pois a funo da engenharia determinar dimenses, formas e

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materiais adequados. Agora temos a possibilidade de anlise da estrutura e outros

componentes do Mini Baja, tais como suspenso e transmisso.

Os problemas na utilizao dos softwares foram poucos, apenas emrelao aos COSMOS/M, devido ao aluno ser iniciante em tal pacote computacional

e o pouco tempo de uso do software .

O espao no permite um tratamento completo de todos os detalhes

envolvidas no projeto, mas esperamos que est apresentao, dem algumas idias

a respeito da forma de como este projeto deve integrar uma ampla variedade de

requisitos, em geral conflitantes, at se obter um modelo ideal.

Para explicao deste projeto foi necessrio utilizao de vrios

conceitos, no qual espero ter sido compreendidos

Finalmente, em termos de simulao pode-se dizer que o projeto foi

satisfatrio, apesar do pouco tempo para um estudo mais detalhado. Entretanto,

espera-se que este projeto venha dar subsdios a outros projetos que ainda viro

sobre este tema, tendo como foco o sucesso da equipe do Mini Baja da

Universidade Estadual do Maranho.

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REFERNCIAS

ALVES, Avelino Filho.Elementos Finitos a base da Tecnologia CAE So Paulo:Editora rica, 2005;

MARTIN, Harold Clifford.Introduction to Finite Element Analysis Washington:

Editora McGraw-Hill, 1973;

RAO, Singiresu S. Mechanical Vibration Massachusetts: Editora Addison Wesley

Publising, 1995;

GILLESPIE, Thomas D.Fundamentals of Vehicle Dynamics Michigan: Publising

by Society of Automotive Engineers, 1992;

GERE, James G. Mecnica dos Materiais So Paulo: Editora Thomson, 2003;

Lashkari, M. Cosmo/M (mimeo);

FINKELTEIN, Ellen. Autocad 2000 a Bbl ia Rio de Janeiro: Editora Cincia

moderna, 2000;

KALAMEJA, Alan J. Autocad para Desenhos de Engenharia So Paulo: Editora

Makron Books, 1996;

Revista ENGENHARIA AUTOMOTIVA E AEROESPACIAL, So Paulo: Editora. SAE

BRASIL, n. 4, janeiro/fevereiro. 2001 (p.66-68);

Internet, acesso em: www.saebrasil.org.br

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GLOSSRIO

Rigidez uma propriedade do elemento e est relacionada com atenso/deformao .

Pontos nodais a juno de elementos.

Esttica parte da fsica que estuda as foras que no variam no tempo.

Dinmica parte da fsica que estuda os corpos cujo movimento acelerado.

Diagrama de corpo livre esboo geral do formato de uma determinada parte da

estrutura, indicando todas as foras e momentos.

Equao Linear podem ser representadas por equaes diferenciais.

Matrizes tabela formada por m linhas e n colunas (indicada por m x n), formada

por nmeros reais.

Coordenadas 3D sistema de referncia tri-dimensional.

Elementos Finitos mtodo numrico para soluo de estruturas complexas.

Discretizao so determinados pontos onde acrescentada massa.

Tenso definida como fora por unidade de rea.

N extremidade dos elementos.

Gaiola estrutura tubular.

Homogneo significa que as propriedades do material so uniformes nele todo.Isotrpico aquele cujas propriedades independem da orientao ou da direo

do material.

Dureza um indicador de resistncia ao desgaste

Perodo tempo necessrio para completar um ciclo do movimento.

Mdulo de elasticidade uma medida de rigidez do material em sua regio

elstica.

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Ao carbono so chamados de usinagem livre e no so considerados aos liga .

Alumnio metal ferroso muito utilizado.

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ANEXOS

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63

APNDICE

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64

Tela principal do Software Autocad 2000

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Tela principal do Software COSMOS/M V. 2.8