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Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos IParte 5 – Tensões de Flexão

Prof. Arthur M. B. Braga

2008.1

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica dos Sólidos

ProblemaCorpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar• Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos

Mecânica dos Sólidos I

Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas

F7

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F8

P (x,y,z) ),,( zyxσ

x

z

y

σxyσxx

σxz

σzyσzx

σzz

σyy

σyx

σyz

Mecânica dos Sólidos I

F

Barras Carregadas Axialmente

Fσxx

z

y

x

σxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000xx

σσ

AF

xx =σ

Mecânica dos Sólidos I

Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

JTrr =)(τ

1φ

xT

T2φ

GJTL

=∆φ

Mecânica dos Sólidos I

Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

A

xT

T

y

zA

x

y

z)0(>= xzστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

00

xz

xz

σσ

σ

JTDDxz 2

)2( ==τσ

Mecânica dos Sólidos I

Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

p

tPD2

=θθσ

tPD

xx 4=σ

xxσ

θθσ

Vasos cilíndricos

Mecânica dos Sólidos I

Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

p

tPD4

=θθσ

tPD4

=ϕϕσϕϕσ

θθσ

Vasos esféricos

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Momento fletor e esforço cortante atuando na seção transversal de uma viga carregada no plano xy

x

y

zM

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Seção tranversal simétrica em relação ao plano xy

x

y

z

y

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Flexão Pura

x

yM M

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Flexão Pura (viga de seção transversal simétrica)

A B C

D E F

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

A′ B′ C′

D′ E′ F ′

OFlexão Pura

M M

φ∆φ∆

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Curvatura

O

O′

φ∆

φ∆φ

s∆

ρ

B

C

A curvatura no ponto B édefinida como:

ρφφ 11limlim

00=

′=

∆∆

==→∆→∆ BOsds

dkssy

x

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

A′ B′ C′

D′ E′ F ′

OFlexão Pura

M M

φ∆φ∆

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

M NI J y x

y

Deformação do segmento IJ

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Eixo Neutro(deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′

=−′′

=ε

Deformação do segmento IJ

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

φρ ∆=′′NMDeformação do segmento IJ

φρ ∆−=′′ )( yJI

Eixo Neutro(deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Deformação longitudinal

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′

=−′′

=ε

φρ ∆=′′NM

φρ ∆−=′′ )( yJI

ydydy

xxφ

ρε −=−=

Deformação cisalhante

021

== xyxy γε

Simetria (flexão pura)

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Relação tensão vs. deformação

( )[ ]ρ

σσνσε yE zzyyxxxx −=+−=1

022

1===

Gxy

xyxy

σγε

022

1===

Gxz

xzxzσγε

Tensões cisalhantes são nulas no caso de flexão pura

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Equilíbrio

x

y

M

Axx ∆σ

z

y

z

MdAyM

dAzM

dAF

A xxz

A xxy

A xxx

=−=

==

==

∫∑∫∑∫∑

σ

σ

σ

0

0

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

• Hipótese:

• Balanço de forças na direção longitudinal

0=== yzzzyy σσσ

ydsdEyExxφ

ρσ −=−=

0=−=−== ∫∫∫∑ dAyEdAyEdAFAAA xxx ρρ

σ

Eixo neutro está localizado sobre o centróide da área da seção transversal

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

• Balanço de momentos na direção y

0=−=−== ∫∫∫∑ dAyzEdAzyEdAzMAAA xxy ρρ

σ

Simetria da seção transversal em relação ao plano xy 0=⇒ ∫ dAyz

A

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

• Balanço de momentos na direção z

MdAyEdAyEdAyMAAA xxz ===−= ∫∫∫∑ 2

2

ρρσ

dAyIA∫=

2 Momento de inércia da área da seção transversal

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⇒==

IMy

EIMy

EIM

dsd

xx

xx

σ

ε

ρφ 1

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

xxσ

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000)(

),,(y

zyxxxσ

σ

IMyyxx −=)(σ

Tensões Normais de Flexão

MM

Mecânica dos Sólidos I

Tensões de Flexão em Barras (vigas)

F

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000),(

),,(yx

zyxxxσ

σ

IxMyyxxx)(),( −=σ

Tensões Normais de Flexão

xxσ

Mecânica dos Sólidos I

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Mecânica dos Sólidos I

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

P

Lâminas “Coladas”

Mecânica dos Sólidos I

P

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Lâminas Independentes

Mecânica dos Sólidos I

P

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Mecânica dos Sólidos I

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes

Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas

Lâminas deslizam umas sobre as outras

Mecânica dos Sólidos I

xyσ

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Forças de cisalhamento

horizontal

Tensões Cisalhantes

xyσ

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

)( xxM ∆+

)( xxV ∆+)(xM

)(xV

x

y

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Equilíbrio horizontal (direção x)

y

x

),( yxxxx ∆+σ),( yxxxσ

y

xz

y

xz

y

xz

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Equilíbrio horizontal (direção x)

21

2

0),(),()( 22

cyccy

dAxxdAxyVc

y xx

c

y xxH

<<−<<

=∆++−− ∫∫ξ

ξσξσ

y

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ2c

1cx

ξ)(yVH

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Equilíbrio horizontal (direção x)

IxxMxx

IxMx

xybyyV

dAxxdAxyV

xx

xx

xyH

c

y xx

c

y xxH

)(),(

)(),(

)()()(

0),(),()( 22

∆+−=∆+

−=

∆=

=∆++−− ∫∫

ξξσ

ξξσ

σ

ξσξσ

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ

)(yVH

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Equilíbrio horizontal (direção x)

0)()()()( 22 =∆+

−+∆− ∫∫c

y

c

yxy dAI

xxMdAI

xMxyby ξξσ

definindo ∫=2)(

c

ydAyQ ξ

xM

ybIyQ

xxMxxM

ybIyQyxy ∆

∆−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆−∆+

−=)()()()(

)()()(σ

fazendo e recordando que dxdMxV −=)(0→∆x

IybyQxVyxy )()()()( =σ

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ

)(yVH

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Exemplo: Viga de seção retangular

y

zh

b

ξdbdAbhIhyhbyb ==<<−= ,12,22,)( 3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== ∫

22 2

418

)(hybhdbyQ

h

yξξ

IybyQxVyxy )()()()( =σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Viga de seção retangular:

y

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ

bhVy xyxy 2

3)0(})(max{ ==σσ

Mecânica dos Sólidos I

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Viga de seção Circular:

y

AVy xyxy 3

4)0(})(max{ ==σσ

IybyQVyxy )()()( =σ