mecÂnica - dinÂmica cinemática de uma partícula cap. 12

MECÂNICA - DINÂMICA

Cinemática de uma Partícula

Cap. 12

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, velocidade e aceleração

Estudar o movimento de um ponto material ao longo de uma reta e representar graficamente esse movimento

Investigar o movimento de um ponto material ao longo de uma trajetória curva usando diferentes sistemas de coordenadas

Apresentar uma análise do movimento interdependente de dois pontos materiais

Examinar os princípios do movimento relativo de dois pontos materiais usando eixos em translação

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 3

12.4 Movimento Curvilíneo Geral

Velocidade dsv

dtd

dt

rv

méd t

r

v

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 4

12.4 Movimento Curvilíneo Geral

méd t

v

ad

dt

va

2

2

d

dt

ra

Aceleração

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 5

12.4 Movimento Curvilíneo Geral

Posição

kjir zyx

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 6

12.5 Movimento Curvilíneo: Componentes Cartesianos

x y z

d

dtv v v

rv

v i j k

Velocidade

dt

dzzv

dt

dyyv

dt

dxxv zyx

:onde

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 7

12.5 Movimento Curvilíneo: Componentes Cartesianos

x y z

d

dta a a

va

a i j k

Aceleração

zvvva zzyyxx a ya x

:onde

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 8

Exemplo 12.9

Para cada instante a posição horizontal do balão meteorológico

mostrado na figura é definida por 8 pés, onde é dado em

segundos. Se a equação da trajetória é ² /10, determine

(a) a distância do

x t t

y x

balão à estação em em 2 s,

(b) o módulo, a direção e o sentido da velocidade em 2 s e

(c) o módulo, a direção e o sentido da aceleração em 2 s.

A t

t

t

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 9

Exemplo 12.9 - Solução

2 2

Posição:

Quando 2 s, 8(2) 16 pés; assim:

(16)2 /10 25.6 pés

A distância entre A e B é, portanto,

(16) (25.6) 30.2 pés

t x

y

r r

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 10

Exemplo 12.9 - Solução

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 11

Exemplo 12.9 - Solução

2 2 26.8 pés/

Velocidade:

Quando 2 s, o módulo da velocidade é,

portanto:

(8) (25.6)

A direção é tangente à trajetória

(ver figura), com:

25.6

s

72.6 8v v

y

x

o

t

v

varctg arctg

v

v

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 12

Exemplo 12.9 - Solução

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 13

Exemplo 12.9 - Solução

2 22

2

Logo: (0) (12.8)

A direção e o sentido de são especificados pela figura com:

12.8

0Observação: Também é possível obter e

1

2.

, expressando-se

( ) (8 ) /10 6.

8 pés/

4 ²

s

90a

y y

a

a

a

arctg

v a

y f t

a

t t

,

para, em seguida, calcular

derivadas temporais

sucessivas.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 14

Exemplo 12.9 - Solução

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 15

12.6 Movimento de um Projétil

Somente atua a aceleração da gravidade.

Existe uma posição e uma velocidade inicial.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 16

12.6 Movimento de um Projétil

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 17

12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante

0

20 0

2 20 0

1

2

2

c

c

c

c

a a

v v a t

s s v t a t

v v a s s

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 18

12.6 Movimento de um Projétil

x

0

20 0

0

0

2 20

0

00

( )

( )

( )

Movimento horizontal (a = 0):

1

2

2 ( )

x x

x

x x

c

c

c

v v a t

x x v t a t

v v a x

v v

x x v t

v vx

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 19

12.6 Movimento de um Projétil

y

0

20 0

2 2

0

20 0

2 20 00 0

Movimento vertical (a = -g):

1

2

( )

1( )

2

( ) 2 ( )2 ( )

y y

y

c

c

y yc

v v a t

y y v t a t

v

v v gt

y y v t gt

v v g yv a y yy

Obs.: Somente duas destas equações são independentes.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 20

Exemplo 12.11

Um saquinho sai de uma calha com velocidade

horizontal de 12 m/s. Se a saída da calha está a

6 m de altura, determine o tempo necessário

para o saquinho atingir o piso e o alcance

onde os saquinhos se e

R

mpilham.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 21

Exemplo 12.11 - Solução

Escolhe-se o início da trajetória em como origem do sistema

de coordenadas. Os componentes de velocidade inicial de um

saquinho são 12 m/s e =0.

Entre os pontos e a aceleração é -9.81 m/s

A Ax y

y

A

v v

A B a

2. Como

= =12 m/s, as três incógnitas são , e o

tempo de vôo .

Não é necessário determinar .

B A Bx x y

AB

B y

v v v R

t

v

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 22

Exemplo 12.11 - Solução

20 0

2 2

Movimento vertical:

A distância vertical de até é conhecida, portanto:

1/ 2

-6 0 0 1/ 2 -9

1.106 1.11 s

. 1 /

0

8

AB y AB

B

A

y

B BA

A

A B

y y v

t t

t a t

m m s t

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 23

Exemplo 12.11 - Solução

0 0

Movimento horizontal:

Como o tempo de vôo já foi calculado,

13.3 m

pode ser

calculado como:

0 12 m/s 1.1060

ABxx v t

R s

R

R

x

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 24

12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial

Plano osculante

Movimento Plano

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 25

12.7 * Velocidade

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 26

12.7 * Aceleração

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 27

Exemplo 12.15

2

Um carro corre numa pista circular horizontal de raio 300 ft.

Se o carro aumenta sua velocidade a uma taxa constante de

7 ft/s , partindo do repouso, determine o tempo para que ele

atinja uma aceleração 2de 8 ft/s e a sua velocidade neste instante.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 28

Exemplo 12.15 - Solução

2

2

2 22

22 2 2 2

2 2 2

7Como

300

Usando

8 7 0.163

Resolvendo-se para positivo:

0.163 8 7

A velocidade será: 7 7 4.8

7 ft/s

7

0

7

4.87 s

.1

34.1

63 ft s

/

t

n

o t

n n

t n

v v a t

tva a

a a a t

t

t

v t

t

v

a

v t

a t

ft/s

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 29

Problema 12.86

Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista A, a um ângulo de 60°. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 pés do ponto A, determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta deixou o solo. Despreze as dimensões da moto.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 30

Problema 12.86

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 31

Problema 12.86

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 32

Problema 12.86

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 33

Problema 12.88

O snowmobil deixa o ponto a a uma velocidade de 10m/s.

Determine o tempo de vôo de A até B e o alcançe R da trajetória.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 34

Problema 12.88 - Solução

Como é um movimento parabólico, a velocidade na direção X é constante, assim:

Já na direção Y a aceleração é constante.

Incógnitas:

xBxAx vvv )()(

9.81 / ²a g m s

RtAB e

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 35

Problema 12.88 - Solução

Distâncias percorridas:

vy

vxA

B

35

4

R

3R/4

5R/4

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 36

Problema 12.88 - Solução

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 37

Problema 12.88 - Solução

No movimento horizontal:

No movimento vertical:

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 38

Problema 12.88 - Solução

Substituindo temos:

23 9.811ª) 0 6.4279

4 22ª) 0 7.6604 7.6604

R t t -

R t t

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 39

Problema 12.88 - Solução

Substituindo R na primeira:

2

2

2

3 7.66040 6.4279 4.905

4

0 5.7453 6.4279 4.905

4.905 12.1732 0

Com isso temos que:

0

12.1732 2.4818 s

42

. 5.48

9s

0

( t) t - t

t t t

t t

t t t

t

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 40

Problema 12.88 - Solução

Substituindo t na segunda:

7.6604 2.4818 19.0 mR R