mecÂnica - dinÂmica cinemática de uma partícula cap. 12

MECÂNICA - DINÂMICA

Cinemática de uma Partícula

Cap. 12

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, velocidade e aceleração

Estudar o movimento de um ponto material ao longo de uma reta e representar graficamente esse movimento

Investigar o movimento de um ponto material ao longo de uma trajetória curva usando diferentes sistemas de coordenadas

Apresentar uma análise do movimento interdependente de dois pontos materiais

Examinar os princípios do movimento relativo de dois pontos materiais usando eixos em translação


12.4 Movimento Curvilíneo Geral

Velocidade dsv

dtd

dt

rv

méd t

r

v



méd t

v

ad

dt

va

2

2

d

dt

ra

Aceleração



Posição

kjir zyx


12.5 Movimento Curvilíneo: Componentes Cartesianos

x y z

d

dtv v v

rv

v i j k

Velocidade

dt

dzzv

dt

dyyv

dt

dxxv zyx

:onde


12.5 Movimento Curvilíneo: Componentes Cartesianos

x y z

d

dta a a

va

a i j k

Aceleração

zvvva zzyyxx a ya x

:onde


Exemplo 12.9

Para cada instante a posição horizontal do balão meteorológico

mostrado na figura é definida por 8 pés, onde é dado em

segundos. Se a equação da trajetória é ² /10, determine

(a) a distância do

x t t

y x

balão à estação em em 2 s,

(b) o módulo, a direção e o sentido da velocidade em 2 s e

(c) o módulo, a direção e o sentido da aceleração em 2 s.

A t

t

t


Exemplo 12.9 - Solução

2 2

Posição:

Quando 2 s, 8(2) 16 pés; assim:

(16)2 /10 25.6 pés

A distância entre A e B é, portanto,

(16) (25.6) 30.2 pés

t x

y

r r



2 2 26.8 pés/

Velocidade:

Quando 2 s, o módulo da velocidade é,

portanto:

(8) (25.6)

A direção é tangente à trajetória

(ver figura), com:

25.6

s

72.6 8v v

y

x

o

t

v

varctg arctg

v

v



2 22

2

Logo: (0) (12.8)

A direção e o sentido de são especificados pela figura com:

12.8

0Observação: Também é possível obter e

1

2.

, expressando-se

( ) (8 ) /10 6.

8 pés/

4 ²

s

90a

y y

a

a

a

arctg

v a

y f t

a

t t

,

para, em seguida, calcular

derivadas temporais

sucessivas.


12.6 Movimento de um Projétil

Somente atua a aceleração da gravidade.

Existe uma posição e uma velocidade inicial.


12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante

0

20 0

2 20 0

1

2

2

c

c

c

c

a a

v v a t

s s v t a t

v v a s s



x

0

20 0

0

0

2 20

0

00

( )

( )

( )

Movimento horizontal (a = 0):

1

2

2 ( )

x x

x

x x

c

c

c

v v a t

x x v t a t

v v a x

v v

x x v t

v vx



y

0

20 0

2 2

0

20 0

2 20 00 0

Movimento vertical (a = -g):

1

2

( )

1( )

2

( ) 2 ( )2 ( )

y y

y

c

c

y yc

v v a t

y y v t a t

v

v v gt

y y v t gt

v v g yv a y yy

Obs.: Somente duas destas equações são independentes.


Exemplo 12.11

Um saquinho sai de uma calha com velocidade

horizontal de 12 m/s. Se a saída da calha está a

6 m de altura, determine o tempo necessário

para o saquinho atingir o piso e o alcance

onde os saquinhos se e

R

mpilham.



Escolhe-se o início da trajetória em como origem do sistema

de coordenadas. Os componentes de velocidade inicial de um

saquinho são 12 m/s e =0.

Entre os pontos e a aceleração é -9.81 m/s

A Ax y

y

A

v v

A B a

2. Como

= =12 m/s, as três incógnitas são , e o

tempo de vôo .

Não é necessário determinar .

B A Bx x y

AB

B y

v v v R

t

v



20 0

2 2

Movimento vertical:

A distância vertical de até é conhecida, portanto:

1/ 2

-6 0 0 1/ 2 -9

1.106 1.11 s

. 1 /

0

8

AB y AB

B

A

y

B BA

A

A B

y y v

t t

t a t

m m s t



0 0

Movimento horizontal:

Como o tempo de vôo já foi calculado,

13.3 m

pode ser

calculado como:

0 12 m/s 1.1060

ABxx v t

R s

R

R

x


12.7 Movimento Curvilíneo: Componentes Normal e Tangencial

Plano osculante

Movimento Plano


12.7 * Velocidade


12.7 * Aceleração


Exemplo 12.15

2

Um carro corre numa pista circular horizontal de raio 300 ft.

Se o carro aumenta sua velocidade a uma taxa constante de

7 ft/s , partindo do repouso, determine o tempo para que ele

atinja uma aceleração 2de 8 ft/s e a sua velocidade neste instante.



2

2

2 22

22 2 2 2

2 2 2

7Como

300

Usando

8 7 0.163

Resolvendo-se para positivo:

0.163 8 7

A velocidade será: 7 7 4.8

7 ft/s

7

0

7

4.87 s

.1

34.1

63 ft s

/

t

n

o t

n n

t n

v v a t

tva a

a a a t

t

t

v t

t

v

a

v t

a t

ft/s


Problema 12.86

Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista A, a um ângulo de 60°. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 pés do ponto A, determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta deixou o solo. Despreze as dimensões da moto.


Problema 12.86


Problema 12.88

O snowmobil deixa o ponto a a uma velocidade de 10m/s.

Determine o tempo de vôo de A até B e o alcançe R da trajetória.


Problema 12.88 - Solução

Como é um movimento parabólico, a velocidade na direção X é constante, assim:

Já na direção Y a aceleração é constante.

Incógnitas:

xBxAx vvv )()(

9.81 / ²a g m s

RtAB e



Distâncias percorridas:

vy

vxA

B

35

4

R

3R/4

5R/4



No movimento horizontal:

No movimento vertical:



Substituindo temos:

23 9.811ª) 0 6.4279

4 22ª) 0 7.6604 7.6604

R t t -

R t t



Substituindo R na primeira:

2

2

2

3 7.66040 6.4279 4.905

4

0 5.7453 6.4279 4.905

4.905 12.1732 0

Com isso temos que:

0

12.1732 2.4818 s

42

. 5.48

9s

0

( t) t - t

t t t

t t

t t t

t



Substituindo t na segunda:

7.6604 2.4818 19.0 mR R

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