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Curso Nível Médio Avançado – Matemática/Raciocínio Lógico – Professor Bruno Villar – Aula 06
Curso Nível Médio Avançado
Disciplina Matemática/Raciocínio lógico
Prof. Bruno Villar
Aula 06
MATERIAL DO PROFESSOR
DESCONTO
Desconto é o valor pago pela antecipação de um titulo financeiro com valor futuro.
DESCONTO SIMPLES
DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA” SIMPLES
É o desconto cobrado sobre o valor nominal da dívida.
D = N. i.t
N =valor nominal = valor futuro = valor de um titulo = valor de letra
t = Tempo de antecipação do pagamento
Cálculo do valor atual: A = N – D ou A = N ( 1 – i . t)
A = valor atual = valor liquido = valor descontado
TREINAMENTO
1-(BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 120
dias à taxa de 3% ao mês, é, em reais:
(A) 320,00
(B) 120,00
(C) 240,00
(D) 340,00
(E) 420,00
2.(CESGRANRIO 2008) Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro
meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês.
Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa deverá receber,
em reais,
(A) 12.000,00
(B) 10.000,00
(C) 9.600,00
(D) 9.200,00
(E) 9.000,00
DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO”
É o desconto calculado sobre o valor atual da dívida.
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Fórmulas:
D = A .i. t ou D = titiN.1..
Valor Atual racional : A = ti
N.1
TREINAMENTO
1.O valor atual de um titulo cujo valor de vencimento é de R$ 256 000,00 daqui a 7 meses , a uma taxa
de juros simples de 4 % a. m , descontado racionalmente é :
(A) R$ 200 000,00
(B) R$ 220 000,00
(C) R$ 180 000,00
(D) R$ 190 000,00
(E) R$ 195 000,00
2. (BB 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto
racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual
igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é
descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e
com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de
(A) R$ 42.160,80.
(B) R$ 41.529,60.
(C) R$ 40.664,40.
(D) R$ 39.799,20.
(E) R$ 38.934,00.
DESCONTO COMPOSTO
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “ POR DENTRO”
Fórmulas:
VA =
i t
N
1 d = N – VA
Dica: VA = N ( 1+i)-t .
Na prova de 2005, a ESAF forneceu a tabela: (1+i)-t , evitando assim uma possível divisão.
TREINAMENTO
01. (CESGRANRIO)Um título, cujo valor de face é R$ 29.040,00, sofre desconto racional composto dois
meses antes do seu vencimento. Se a taxa utilizada na operação é 10% ao mês, o valor do desconto, em
reais, é
(A) 5.808,00
(B) 5.040,00
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(C) 4.912,00
(D) 4.840,00
(E) 4.784,00
Gabarito
01.B
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU “ POR FORA”
VA = N (1- i)t d = N – VA.
1.(CESGRANRIO 2009) A Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$
18.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. O
valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi de
(A) 16.861,40
(B) 16.941,45
(C) 16.941,77
(D) 17.123,56
(E) 17.899,99
02. (CEF CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do
vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial
composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale
(A) 399,00
(B) 398,00
(C) 397,00
(D) 396,00
(E) 395,00
Gabarito
01. B
02. B
ESTUDOS DAS TAXAS.
*Taxa equivalente.
A taxa equivalente é a taxa que aplicada a um mesmo capital em um determinado intervalo de tempo
produz o mesmo montante.
Obs.: em juros simples taxas proporcionais é igual a taxa equivalente.
Ieq = (1 + i) T-1
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TREINAMENTO.
1-(BANERJ) Um capital foi colocado a juros compostos, a uma taxa semestral de 5% . A taxa anual
equivalente a essa taxa semestral corresponde a:
2-(TCDF) Uma empresa solicita um empréstimo ao banco no regime de capitalização composta à base de
44% ao bimestre. A taxa equivalente composta mensal é de:
(A) 12%
(B) 20%
(C) 22%
(D) 24%
(E) 26%
*Taxa efetiva
Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização, a mesma é denominada efetiva. Caso o
período da taxa seja diferente da taxa real, utilizamos a fórmula de taxa equivalente.
Ier = (1 + i)k -1
Exemplo: 5% ao mês é igual a 10,25% ao bimestre.
*Taxa Nominal.
Quando o período da taxa não coincide com o período da capitalização, a taxa é dita nominal.
Ex.: 120% a.a , com capitalização mensal.
24% a.b , com capitalização mensal.
Em Taxa Nominal deve-se usar taxas proporcionais.Exemplo:
120% a.a com capitalização mensal. Na verdade a taxa real é de 10%
TREINAMENTO
1 A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:
(A) 60,0%
(B) 66,6%
(C) 68,9%
(D) 72,8%
(E) 84,4%
02. (CESGRANIO 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao no,
capitalizada mensalmente, monta a
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(A) 12,68%
(B) 12,75%
(C) 12,78%
(D) 12,96%
(E) 13,03%
Gabarito
01.D
02.A
*Taxa aparente:
Ia: taxa aparente é a taxa cobrada nas operações financeiras.
ii : taxa inflacionaria é a taxa da inflação do período da operação financeira.
ir : taxa real é ganho real na operação , retirando as perdas com a inflação.
(1+ ia) = ( 1+ ii)( 1+ ir)
TREINAMENTO
01.(CESGRANRIO BB 2010) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse
mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi
(A) 0,5%.
(B) 5,0%.
(C) 5,5%.
(D) 10,0%.
(E) 10,5%.
02. CESGRANRIO 2011) Uma aplicação financeira é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a
taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de
(A) 3,02%
(B) 3,10%
(C) 8,10%
(D) 8,24%
(E) 8,32%
Gabarito
01.D
02.D
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Rendas
Rendas certas são pagamentos ou recebimento iguais e consecutivos efetuados através do regime de
capitalização composta. Estão dividas em:
1. Amortização 2. Capitalização
O n o n
RENDAS
Classificação das rendas:
1.1)Postecipada (modelo básico da price)
1.2)Antecipada
1.3)Diferidas ou com carência
1.1 RENDAS POSTECIPADA- O pagamento será efetuado no final do primeiro período e , portanto, o
vencimento da última prestação, tendo a renda “n” prestações , ocorrerá ao fim de “n” períodos.
Com a tabela : A = P .a n] i
Onde: A = valor da atual e P = prestação ou anuidade
Sem a tabela: a n] i =
in
n
i
i
.
1
1
1
TREINAMENTO
1.(CEF)O preço à vista de um computador é R$ 2.200,00. Ele pode ser comprado a prazo com uma
entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas
vencendo ao completar 30 dias data da compra. Se, no financiamento, os juros são compostos à taxa de
3% ao mês, o valor de cada uma das prestações será
(A) R$ 380,00
(B) R$ 390,00
(C) R$ 400,00
(D) R$ 410,00
(E) R$ 420,00
2.(CESPE 2009) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$
3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga
um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como
valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi
(A) inferior a 16.800.
(B) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
(C) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
(D) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
(E) superior a 18.300.
Gabarito
01.C
02.B
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CAPITALIZAÇÃO ( VALOR FUTURO)
Capitalização é representada por depósitos sucessivos com o objetivo de construir um fundo de reserva.
Com a tabela : M = C . S n]i onde S n]i é encontrado na tabela de capitalização.
Sem a tabela : S n]i = i
ni 11
01.(CESGRANRIO 2010) Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00
(trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês
após o último dos 6 depósitos, é
(A) 2.040,00
(B) 2.142,00
(C) 2.240,00
(D) 2.304,00
(E) 2.442,00
Gabarito
01.B
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AMORTIZAÇÃO DE EMPRESTIMO E FINANCIAMENTO
De modo geral, os financiamentos podem ser feito por curto, médio ou longo prazo. Na prática, os empréstimos
de curto prazo vão até 1 ano; os de médio , até 3 anos e a partir daí de longo prazo.
Observações:
Amortização ( A ) : é a redução do saldo devedor.
Prestação (P): é a soma da amortização com os juros. P = A +J
Saldo Devedor ( Sd ) : é o estado da dívida, ou seja, em um determinado instante.
Sdt = Sd ( t -1) - at
Juros: ( j ): são sempre cobrados sobre o saldo devedor.
J T = Sd ( t -1) . i
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
As parcelas de amortização são constantes, as prestações diminuem com o tempo.
Fórmulas básicas:
Amortização a = n
Sdo
O Saldo Devedor : Sdt = Sd ( t -1) - at
Os Juros: J t= Sd ( t -1) . i
Prestação: a + jt
TREINAMENTO
1-(CEF) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês
pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do
empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de
(A) R$ 2.260,00
(B) R$ 1.350,00
(C) R$ 1.500,00
(D) R$ 1.750,00
(E) R$ 1.800,00
2-(CEF) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de
Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá
ser
(A)R$ 2 950,00
(B)R$ 3 000,00
(C)R$ 3 050,00
(D)R$ 3 100,00
(E)R$ 3 150,00
Gabarito
01.E
02.C
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