matemática – unidade 2. educação a distância – ead professor: flávio brustoloni matemática

Matemática – Unidade 2

Educação a Distância – EaD

Professor: Flávio Brustoloni

Matemática

Cronograma: Turma ADG0096

Matemática

Data Atividade

20/102º Encontro

1ª Avaliação Disciplina

06/10 1º Encontro

27/103º Encontro

2ª Avaliação Disciplina

10/114º Encontro

3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

06/10 1º Encontro

Objetivos desta Unidade:• Reconhecer relações entre grandezas variáveis dadas por gráficos,

tabelas e fórmulas;

• Desenvolver o conceito de função;

• Reconhecer e definir função;

• Analisar e determinar o domínio, contradomínio e imagem de uma função;

• Construir, ler e interpretar gráficos de funções;

• Reconhecer quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora;

• Analisar gráficos para estabelecer crescimento, decrescimento e raízes de uma função;

• Reconhecer e definir função polinomial e função exponencial.

Unidade 2

A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES

TÓPICO 1

Relações e Funções

1 Introdução

Iremos estudar em um caso particular de relações entre dois conjuntos A e

B: são relações em que cada elemento de A está relacionado com

um único elemento de B. Uma relação que satisfaz a essa propriedade

recebe o nome de função ou aplicação binária.

(Estamos na página 69 da apostila)4/92

Tópico 1

1 IntroduçãoExemplo

Tópico 1Conjunto

das ESPOSAS

Conjunto dos

MARIDOS

Cada item do conjunto B só pode relacionar-se com UM item do

conjunto A, ou seja, cada MARIDO só poderá ter UMA

ESPOSA e vice-versa.

2 O Conceito de Função

Considere o seguinte exemplo:

Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas

partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele

fez durante o mês.

Tópico 1

Como expressar, através de uma lei matemática, o salário mensal deste

vendedor?

Qual o salário do vendedor se, no período de um mês, ele vender

10.000 produtos?

Tópico 1

Salário Mensal = 1.200,00 + 0,08 . (total de vendas do mês)

Tópico 1

S(q) = 1.200,00 + 0,08q

y = 1.200,00 + 0,08x

S e q expressam, respectivamente, as variáveis salário e quantidade

vendida. A expressão S(q) simboliza que o salário depende da quantidade

vendida, ou seja, q é variável independente e S é variável

dependente.

Tópico 1

O gráfico a seguir representa o comportamento de uma substância intravenosa em um paciente com

câncer. O mesmo modelo se aplicaria à ingestão de uma bebida alcoólica ou

de um entorpecente, porém com variações distintas de tempo.

Tópico 1

01 2 3 4 5 6 7

Figura 2 - COMPORTAMENTO DE UMA SUBSTÂNCIA INTRAVENOSAEM PACIENTE COM CÂNCER

Tempo em Meses

O comportamento desta função, denominada função exponencial,

pode ser expresso algebricamente pela lei matemática:

Tópico 1

Q(t) = (1/2)t ou y = (1/2)x

Q e t expressam, respectivamente, as variáveis quantidade de substância e tempo em meses. Na expressão Q(t)

simboliza que a quantidade de substância depende do tempo, logo, podemos classificar o tempo como

variável independente e a quantidade de substância como variável dependente.

Tópico 1

3 Definição de Função

Função é um cálculo feito por meio de uma fórmula, regra ou lei algébrica,

isto porque muitos fenômenos físicos podem ser melhor compreendidos se modelados matematicamente através

de uma função.

Tópico 1

4 Domínio e Imagem de uma Função

Quando estamos analisando uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis

para a variável independente.

Tópico 1

4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos

a) f(x) = 3/x-2

Tópico 1

• a função foi definida no conjunto dos números reais;• se x=2 teríamos 3/0, que não é definida nos reais;

D(f) = {x R |x 2} D(f) = R - {2} ou

b) f(x) = x

Tópico 1

• não existe a possibilidade de x<0, pois invalida a operação de raiz quadrada;

D(f) = {x R |x 0} D(f) = R ou +

c) f(x) = 2x

Tópico 1

• sem nenhum tipo de restrição algébrica;

D(f) = {x R} D(f) = R ou

Tópico 1

Uma microempresa especializada em lanches investe R$ 1.500,00 em

equipamentos e gasta mais R$ 1,50 para cada lanche produzido. A equação

C(q) = 1.500 + 1,50q representa esta situação algebricamente, onde C é a

variável que expressa o custo em função da quantidade q de lanches.

Tópico 1

O domínio da função refere-se ao conjunto de possíveis valores atribuídos a q

(quantidade de lanches produzida) que determinarão o custo C. Observe que q

pressupõe um valor inteiro não negativo, ou simplesmente um númeral natural:

D(f) = {q N} D(f) = Nou

a) f(x) = 3/x-2

Tópico 1

• a imagem consiste no conjunto de valores que f(x) pode assumir dados os valores atribuídos a x. Observe que f(x) pode assumir valores inteiros, positivos, negativos, mas jamais poderá ser zero, pois não existe um valor para o qual 3 possa ser dividido, resultando em quociente zero.

Im(f) = {y R |y 0} Im(f) = R* ou

b) f(x) = x

Tópico 1

• assim como no domínio, todos os reais não negativos;

Im(f) = {y R |y 0} Im(f) = R ou+

c) f(x) = 2x

Tópico 1

• sem nenhum tipo de restrição algébrica;

Im(f) = {y R} Im(f) = R ou

Tópico 1

Para o exemplo expresso por C(q) = 1.500 + 1,50q, o domínio ficou restrito ao conjunto dos números naturais, pois se referia à quantidade de lanches produzidos. Já o conjunto imagem

será os reais não negativos, visto que a produção de 9 lanches, por exemplo, irá gerar um custo de C(9) = 1.500 + 1,50(9) = 1.513,50

(que não pertence aos números naturais).

Im(f) = {C R } Im(f) = R ou +

5 Classificação das Funções5.1 Função Injetora

Tópico 1

Uma função é dita injetora se é uma relação um a um, ou seja, se para cada elemento distinto do domínio, x A, está

associado um elemento distinto da imagem, y B.

Tópico 1

a) f(x) = x + 1

Observe que f é injetora, pois a cada elemento do conjunto de entrada A

está associado um elemento do conjunto de saída B.

Tópico 1

• -1

Tópico 1

b) f(x) = x2

Esta aplicação não é injetora, pois dois valores distintos do conjunto de

entrada estão associados a um mesmo valor do conjunto de saída. Por exemplo, para x=3 e para x=-3

temos que f(3) = f(-3) = 9.

5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora

Tópico 1

Uma função é dita sobrejetora se a imagem for constituída por todo

o conjunto B, ou seja, todos os elementos de B estiverem

envolvidos na relação.

Tópico 1

a) f(x) = x2

Observe que esta função é sobrejetora, pois o conjunto imagem é Im(f) = R, que é próprio conjunto B.

Tópico 1

• -2

• -1

Tópico 1

b) f: Z Z, y = f(x) = x

Observe que esta função é sobrejetora, pois para cada valor Z do domínio, há relacionada uma imagem

de mesmo valor em Z. Assim, dizemos Im(f) = Z = B.

Tópico 1

1-1 2 3 4 5-2-3-4-5

Gráfico 1 - Representação Gráfica da Função

Tópico 1

c) f: R R, f(x) = 2x2 + 4x -1

Observe que ao tentarmos encontrar um valor de x para o qual f(x) = -4, obtemos uma equação do segundo grau completa que após resolvida

não admite soluções reais:

Tópico 1

f(x) = 2x2 + 4x -1 (função 2º Grau)

-4 = 2x2 + 4x -1 (equação 2º Grau)

2x2 + 4x +3 = 0 (equação 2º Grau completa)

Tópico 1

x = -b - b - 4ac2+

x = -4 - 4 - 4.2.32+

Tópico 1

x = -4 - 16 - 24+

x = -4 - -8+

4Não há solução, uma vez que -8 R.

Tópico 1

Gráfico 2 - Representação Gráfica da FunçãoY

1-1 2 3 4 5-2-3-4-5

Tópico 1

Observe pelo gráfico que as coordenadas do ponto mínimo para o

qual existe imagem é x = -1 que gera y = -3, que são as coordenadas do vértice

desta curva denominada parábola, gerada pela função f(x) = 2x2 + 4x +3.

Esta função não é classificada como sobrejetora.

5 Classificação das Funções5.3 Função Bijetora

Tópico 1

Uma função é dita bijetora se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora,

ou seja, se para diferentes valores de x A estiverem associados diferentes valores de y B e ainda se todos os

elementos de B possuírem um elemento do domínio associado através de f.

f(x) = 2x + 1

5 Classificação das Funções5.3 Função Bijetora

Tópico 1

• 2• 1

f• 3

f(x) = 2x + 1

6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.1 Par Ordenado

Tópico 1

Sejam os conjuntos A e B (não vazios); chamamos de par ordenado dos

elementos de A e B ao par (a, b), onde a A e b B, nesta ordem.

A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}

(1, 2) é par ordenado de A e B, pois 1 A e 2 B.

6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.1 Par Ordenado

Tópico 1

A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}

(4, 2) não é par ordenado de A e B, pois 4 A e 2 B.

(8, 2) é par ordenado de A e B, pois 8 A e 2 B.

6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.2 Sistema Cartesiano Ortogonal

Tópico 1

1-1 2 3 4 5-2-3-4-5

Quadrante II Quadrante I

Quadrante III Quadrante IV

• Ponto A(5,4)A • Ponto C(-3,1)

a) f(x) = 3x

6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano

Tópico 1

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=3x (x, y)-2 -6 (-2, -6)

-1 -3 (-1, -3)

0 0 (0, 0)

1 3 (1, 3)

2 6 (2, 6)

3 9 (3, 9)

b) f(x) = -x2

6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano

Tópico 1

x y=-x2 (x, y)-2 -4 (-2, -4)

-1 -1 (-1, -1)

0 0 (0, 0)

1 -1 (1, -1)

2 -4 (2, -4)

1-1 2 3-2-3

Gráfico 6 – População Brasileira de 1940 a 1990

7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Crescente

Tópico 1

1940 1950 1960 1970 1980 1990Anos

Gráfico 7 – Tanque de Água se esvaziando

7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Decrescente

Tópico 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tempo (em minutos)

Gráfico 8 – Comportamento de um Projétil

7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Crescente e Decrescente

Tópico 1

h (m )

t(s )3

1 5 60

* No intervalo de 0 a 3 seg a função é crescente.

* No intervalo de 3 a 6 seg a função é decrescente.

TÓPICO 2

Função Polinomial do 1º Grau

2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim

Tópico 2

Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado

em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por:

f(x) = 230 – 50x

2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim

Tópico 2

f(x) = 230 – 50x

Esta função é polinomial do 1º grau ou função afim pois atende à

seguinte definição:

Existem dois números a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x R.

a) f(x) = 2x

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau3.1 Função Linear

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=2x (x, y)-2 -4 (-2, -4)

-1 -2 (-1, -2)

0 0 (0, 0)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

b) f(x) = -2x

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau3.1 Função Linear

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=2x (x, y)-2 4 (-2, 4)

-1 2 (-1, 2)

0 0 (0, 0)

1 -2 (1, -2)

2 -4 (2, -4)

a) f(x) = 3

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=3 (x, y)-2 3 (-2, 3)

-1 3 (-1, 3)

0 3 (0, 3)

1 3 (1, 3)

2 3 (2, 3)

b) f(x) = -3

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=-3 (x, y)-2 -3 (-2, -3)

-1 -3 (-1, -3)

0 -3 (0, -3)

1 -3 (1, -3)

2 -3 (2, -3)

a) f(x) = x

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.3 Função Identidade

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=x (x, y)-2 -2 (-2, -2)

-1 -1 (-1, -1)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 2 (2, 2)

a) f(x) = x + 2

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=x+2 (x, y)-2 0 (-2, 0)

-1 1 (-1, 1)

0 2 (0, 2)

1 3 (1, 3)

2 4 (2, 4)

b) f(x) = x - 2

3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação

Tópico 2

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

x y=x-2 (x, y)-2 -4 (-2, -4)

-1 -3 (-1, -3)

0 -2 (0, -2)

1 -1 (1, -1)

2 0 (2, 0)

4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos

Tópico 2

Exemplo 1:

Dados o ponto P(2, 3), ou seja x=2 e y=3 (par ordenado) e o ponto Q(4, 5), ou seja x=4 e y=5, podemos encontrar a função que passa por estes pontos, levando em

consideração que y = ax + b.

Tópico 2

y = ax + b

xa + b = y

2a + b = 34a + b = 5

Ponto P(2, 3)

Ponto Q(4, 5)

-2a - b = -34a + b = 5

Tópico 2

-2a - b = -34a + b = 52a / = 2

2a + b = 3

2.1 + b = 32 + b = 3b = 3 – 2

b = 1y = ax + by = x + 1

Tópico 2

Exemplo 2:

Dados o ponto P(1, 2) e o ponto Q(3, 7), determine a função polinomial do 1º

Tópico 2

y = ax + b

xa + b = y

1a + b = 23a + b = 7

Ponto P(1, 2)

Ponto Q(3, 7)

-a - b = -23a + b = 7

Tópico 2

-a - b = -23a + b = 72a / = 5a = 5/2

a + b = 2

5/2 + b = 2b = 2 – 5/2b = (4-5)/2

b = -1/2y = ax + by = (5/2)x – 1/2

5 Função Afim Crescente e DecrescenteFunção Crescente: a>0

Tópico 2

x1 < x2

f(x1) < f(x2)

f(x )2

(0 , b )

f(x )1

5 Função Afim Crescente e DecrescenteFunção Decrescente: a<0

Tópico 2

x1 > x2

f(x1) > f(x2)

f(x )2

(0 , b )

f(x )1

TÓPICO 3

Função Polinomial do 2º Grau

2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática

Tópico 3

O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é

dado pela função abaixo, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de

unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para

que o custo seja mínimo?

C(x) = x2 – 86x + 2500

Tópico 3

C(x) = x2 – 86x + 2500

Esta função é polinomial do 2º grau ou função quadrática pois atende à

seguinte definição:

Existem números a, b e c, tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a 0 e

para todo x R.

Tópico 3

Outros exemplos:

• y = 2x2 – 4x + 3 (a=2, b=-4, c=3)

• f(x) = x2 - 4 (a=1, b=0, c=-4)

• y = 5x – 3x2 (a=-3, b=5, c=0)

a) f(x) = x2 - 1

3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

Tópico 3

x y=x2-1 (x, y)-3 8 (-3, 8)

-2 3 (-2, 3)

-1 0 (-1, 0)

0 -1 (0, -1)

1 0 (1, 0)

2 3 (2, 3)

3 8 (3, 8)

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

b) f(x) = -2x2 - 1

3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

Tópico 3

x y=-2x2-1 (x, y)-2 -9 (-2, -9)

-1 -3 (-1, -3)

0 -1 (0, -1)

1 -3 (1, -3)

2 -9 (2, -9)

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

1º Caso: >0 Implica 2 raízes reais e distintas.

4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X

Tópico 3

Dada a função y = 2x2 – x – 1, para obtermos os pontos de intersecção da

parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação

decorrente 2x2 – x – 1 = 0.

Tópico 3

2x - x - 1 = 0 = b - 4ac = (-1) - 4.2.(-1) = 1 + 8 = 9

Tópico 3

x = -b - b - 4ac2+

x = -(-1)-2.2

x = 1-4

x = 11

x = 221- = -0,5

Tópico 3

0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5

- 0 ,5-1-1 ,5-2

y = 2x2 – x - 1 Implica 2 raízes reais e distintas.

O coeficiente a = 2 implica que a concavidade da parábola seja para cima.

2º Caso: =0 Implica 2 raízes reais e iguais.

Tópico 3

Dada a função y = -x2 + 6x – 9, para obtermos os pontos de intersecção da

parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação

decorrente -x2 + 6x – 9 = 0.

Tópico 3

-x + 6x - 9 = 0 = b - 4ac = 6 - 4.(-1).(-9) = 36 - 36 = 0

Tópico 3

x = -b - b - 4ac2+

x = -6 -2.(-1)

x = -6 --2

x = 1 x = 32

Tópico 3

y = -x2 + 6x - 9 Implica 2 raízes reais e iguais.

O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo.

1 2 3 4 5 6 7

3º Caso: <0 Implica a inexistência de raízes reais.

Tópico 3

Dada a função y = -x2 + 4x – 5, verifique a inexistência de raízes reais, atribuindo zero

à variável y e resolvemos a equação decorrente -x2 + 4x – 5 = 0.

Tópico 3

-x + 4x - 5 = 0 = b - 4ac = 4 - 4.(-1).(-5) = 16 - 20 = -4

Tópico 3

y = -x2 + 4x - 5 Implica a inexistência de raízes reais.

O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo, porém sem ponto no eixo x.

1 2 3 4 5 6 7

4 Pontos Notáveis da ParábolaSíntese sobre as raízes da função 2º Grau

Tópico 3

> 0 (Duas raízes reais e distintas)

a > 0(concavidade para cima)

x1 x2 x

a < 0(concavidade para baixo)

xx1 x2

Tópico 3

= 0 (Duas raízes reais e iguais)

x1 x2 x

x1 x2x=

Tópico 3

< 0 (não há raízes reais)

4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y

Tópico 3

Dada a função y = x2 - 6x + 5, construa o gráfico da parábola apresentando as

intersecções com o eixo x e a intersecção com o eixo y.

Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y basta atribuirmos

zero à variável x.

Tópico 3

x - 6x + 5 = 0 = b - 4ac = (-6) - 4.1.5 = 36 - 20 = 16

Tópico 3

x = -b - b - 4ac2+

x = -(-6)-2.1

x = 6 -2

Tópico 3

x = 6 - 4 = 2 = 11

2 2x = 6 + 4 = 10 = 52

Tópico 3

x0 1 2 3 4 5 6 7

4 Pontos Notáveis da Parábola4.3 O Vértice da Parábola

Tópico 3

O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores de

máximo, ou de mínimo, que expressam importantes informações acerca de uma determinada situação-problema que seja

descrita pela função polinomial do 2º grau.

Xv = - (b/2a) Yv = - ( /4a)

5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau

Tópico 3

Exemplo: a estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = -x2 + 120x – 2000, sendo y o

lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base nisso, determine quantas unidades do produto

devem ser produzidas para que a empresa atinja o lucro máximo e qual é esse lucro máximo.

Tópico 3

x = v2ab- = 120

2.(-1) = 120 - -

-2 = 120

2 = 60 unidades.

y = v4a

- = b - 4ac 2

= 120 - 4.(-1).(-2000) 2

- 4.(-1)

= 14400 - 8000 - -4

= 6400 - -4

= 1.600,00

Tópico 3

Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para que o lucro seja máximo, no

valor de R$ 1.600,00.

TÓPICO 4

Função Exponencial

1 Introdução

Tópico 4

A função Exponencial expressa um crescimento ou decrescimento

característico de alguns fenômenos da natureza, bem

como o funcionamento de juros compostos, importantes na

matemática financeira.

2 Função Exponencial

Tópico 4

Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado

pela fórmula M = C(1+i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$ 2.000.000,00 a uma

taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente a expressão algébrica que

descreve esta situação.

Tópico 4

Substituindo os dados na fórmula, obtemos a seguinte expressão algébrica:

M = 2.000.000 .(1,12)t

3 Gráfico da Função Exponencial

Tópico 4

a) f(x) = 2x

x f(x) (x, y)-2 1/4 (-2, 1/4)

-1 1/2 (-1, 1/2)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8)

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

Tópico 4

Observe que no exemplo (a) a função y = 2x é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. Observe

também que, quanto menor for o valor de x, mais o gráfico da função se

aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, atingí-la.

3 Gráfico da Função Exponencial

Tópico 4

b) f(x) = (1/2)x

x f(x) (x, y)-2 4 (-2, 4)

-1 2 (-1, 2)

0 1 (0, 1)

1 1/2 (1, 1/2)

2 1/4 (2, 1/4)X

2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

Tópico 4

Observe que no exemplo (b) a função y = (1/2)x é decrescente. Isso ocorre

sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor

de x, mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto,

atingí-lo.

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

PRÓXIMA AULA:

Matemática

2º Encontro da Disciplina1ª Avaliação da Disciplina (Redação com consulta)

matemática – unidade 2. educação a distância – ead professor: flávio brustoloni matemática

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