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MATEMÁTICA II - Prof. Edézio 1
MATEMÁTICA II
Prof. Edézio
MATEMÁTICA II - Prof. Edézio 2
Ementa Derivadas Aplicações das Derivadas Integração Livro Texto:
Murolo,A. & Bonetto,G.: Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. Thomson, São Paulo, 2004.
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Derivadas O conceito foi introduzido em
meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física.
Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange.
Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas como Economia e Administração.
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Derivadas Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois
pontos de seu domínio Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens
x0
Δx
Δy
x1
f(x0)
f(x1)
●
●
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Derivadas Chamamos de taxa média de variação
de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente
01
01 )()(
xx
xfxf
x
f
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Exemplo1 Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de
abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:
Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.
42
13
13
)1()3( 22
ff
x
f
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Exemplo 1
1 3
1
9
●
●
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Exemplo 2 Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa
média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x0=x e um acréscimo também genérico Δx.
xxx
xxx
x
xxx
x
xfxxf
x
f
2)(2)()()( 222
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Exemplo 2
Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.
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Exemplo 3 Suponhamos que um objeto seja
abandonado a 2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:
f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.
Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.
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Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5
segundos), a variação de altura é diferente.
A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.
1º intervalo: Velocidade média:
2º intervalo: Velocidade média:
smf
/505
250
51
smf
/1505
750
52
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Velocidade Instantânea Muitas vezes estamos interessados na
velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea)
No exemplo considerado, calculemos a velocidade instantânea para t=5 segundos.
Para isso consideremos a velocidade média (taxa média de variação) para amplitudes de variação de tempo cada vez menores. Consideraremos o intervalo [5; 5+Δt]:
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Velocidade Instantânea
tt
tt
t
f
t
t
t
f
x
fxf
t
f
10100)(10100
])5(102000[])5(102000[
)5()5(
2
22
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Velocidade Instantânea Calculemos a velocidade média para valores
de Δt cada vez menores:
Intervalo
Δt Δf/Δt
[5;10] 5 -150
[5;8] 3 -130
[5;6] 1 -110
[5;5,5] 0,5 -105
[5;5,1] 0,1 -101
[5;5,01] 0,01 -100,1
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Velocidade Instantânea Notamos que a velocidade média está se
aproximando de -100 m/s. A velocidade instantânea é o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no ponto t=5 e dada por:
Esse limite da taxa média de variação quando Δt tende a zero é chamado de derivada da função f(t) no ponto t=5.
.100)10100(limlim00
t
t
ftt
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Conceito de Derivada Derivada de uma Função num Ponto
Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito, limite dado por:
Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto
x0=3?
.)()(
limlim)()()( 00
00000 x
xfxxf
x
fxfx
dx
dyx
dx
dfxx
.6)6(lim)(6
lim)3(
3)3(lim
)3()3(lim)3(
0
2
0
22
00
xx
xxf
x
x
x
fxff
xx
xx
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Conceito de Derivada
Isso significa que um pequeno acréscimo Δx dado a x, a partir de x0=3, acarretará um correspondente acréscimo Δf que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo Δx.
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Função Derivada É a derivada calculada num ponto genérico x. Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2?
Temos,
xxxx
xxxx
xxxxx
x
xxx
x
xfxxfxf
xx
x
xx
2)2(lim)2(
lim
)(.2lim
)(lim
)()(lim)(
00
222
0
22
00
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Função Derivada Assim, se quisermos a derivada no
ponto x0=5, calculamos f´(5)=2.5=10. Obs.: para Δx pequeno. Para x=5 e Δx= 0,1 temos:
Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1)2 - 52 = 1,01
Portanto
,)(x
fxf
1,101,0
01,1
x
f
.)5(x
ff
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Exercícios1. Para cada função f(x), determine a derivada f
´(x0) no ponto x0 indicado:
a) f(x)=x2, x0=4.
b) f(x)= 2x+3, x0=3.
c) f(x)=-3x, x0=1.
d) f(x)= x2-3x, x0=2.
e) f(x)= 1/x, x0=2.
f) f(x)= x2 – 3x + 4, x0=6.2. Determine a função derivada para cada
função do exercício anterior.
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Derivada das Principais Funções Elementares
Derivada da Função ConstanteSe f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para todo x.Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0.
Derivada da Função PotênciaSe f(x)=xn, então f´(x)= nxn-1.Exs.:
xxxfxxxf
xxxfx
xxf
xxfxxf
2
1)´()(
33)´(
1)(
8)()(
21
21
21
443
3
78
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Derivada das Principais Funções Elementares
Derivada da Função LogarítmicaSe f(x)=ln x, então f´(x)=1/x , x>0.
Derivada das funções seno e cossenoSe f(x)=sen x, então f´(x)= cos x para todo x real.Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo x real.
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Propriedades Operatórias Se f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x). Se f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x). Se f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x). Se f(x)=u(x).v(x) então
f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x) Se f(x)=u(x)/v(x) então
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf
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Exercícios
32
)()5ln10)()
52)()7625)()
2
1)())()
)12)(532()()10)()
ln.)())()
.)()10)()
2523
32
25
25
xxflxxffxx
xfkxxxxfe
x
xxfjxxxfd
xxxxfixxfc
xxxfhxxfb
xsenxxfgxfa
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Função Composta – Regra da Cadeia Considere a função y = f(u)=u3 e u=g(x)=x-5. Temos
que a função composta (f ◦ g)(x) é dada por:
y(x)=f(g(x))=(x2 - 5)3
Questão: É possível calcular a derivada da composta (f ◦ g)´(x) usando apenas as derivadas de f e g separadamente (sem o calculo prévio da composta}?
Regra da Cadeia: Se y é uma função de u e existe f´(u), e se u é uma função de x e existe g´(x), então y é uma função de x e existe y´(x), sendo dada por
y´(x)=f´(u).u´= f´(g(x)).g´(x)
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Função Composta – Regra da Cadeia
No exemplo dado, temos:
y´(x)=3u2.u´=3(x2-5)2.2x=6x(x2-5)2.
Qual a derivada de f(x)=ln(3x+6)?Fazendo u=3x+6, temos f(u)=ln u . Assim:
.63
33
63
1´
1´)´()´(
xxu
uuufxy
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Derivada da Função Exponencial
Se f(x)=ax, então f´(x)=ax.ln a, para todo x real (com a>0 e a≠1).
Demonstração: Consideremos a função:
Pela regra da cadeia:Por outro lado:
Portanto:
axaxfxh x lnln)(ln)(
)´()(
1)´( xf
xfxh
axh ln)´(
.lnln)()´(ln)(
)´(aaaxfxfa
xf
xf x
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Exemplos f(x)=3x então f´(x)=3x ln x; f(x)=ex então f´(x)=ex ln e = ex.
)32(´)´(
:53)(53
253
2
2
xeuexf
temosxxufazendoexfxxu
xx
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Exercícios1. Obtenha a derivada das seguintes funções:
52
2
62
43
)23(
1)()
3)()
)()2)()
1)())23ln()()
12)())535()()
3)())12()()2
xxxfk
exfe
eexfjxfd
xxxfixxxfc
xxfhxxxfb
xfgxxfa
xx
xxx
x
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