apostila de matemática inss prof. guilherme

PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Resumindo:

NUMEROS INTEIROS (Z) O conjunto dos números inteiros possui infinitos elementos é:

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Notações especiais:

= Conjunto dos números inteiros sem o zero = Z – {0}

= Conjunto dos números inteiros positivos = {0, 1, 2, 3, 4,...}

= Conjunto dos números inteiros negativos = {..., -3, -2, -1, 0}

= Conjuntos dos números inteiros positivos menos o zero = {1, 2, 3, 4,...}

= Conjunto dos números inteiros negativos menos o zero = {...,-3, -2, -1}

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Números com sinais iguais somam e conservam o sinal. Números com sinais diferentes subtraem e conservam o sinal do maior. Ex: (+4) + (+2) = +6 (- 4) + (- 2) = - 6 (+4) + (- 2) = +2 (- 4) + (+2) = - 2 OBS: É preciso tomar cuidado com os parênteses ( ), existe uma seqüência a seguir e não podemos ignorá-la. Sempre começamos a resolver um exercício pelos parênteses. Ex: 20 – (30 – 10 + 20) =

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Para facilitar a compreensão das regras de sinais na multiplicação, observe a tabela abaixo.

( - ) x ( + ) = ( - )

( - ) x ( - ) = ( + )

( + ) x ( - ) = ( - )

( + ) x ( + ) = ( + )

Ex: a) (+4) x (+5) = +20

b) (+4) x (- 5) = - 20

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Z

*ZZZ*

Z

*

Z


Para facilitar a compreensão das regras de sinais na divisão, observe a tabela abaixo.

( - ) : ( + ) = ( - )

( - ) : ( - ) = ( + )

( + ) : ( - ) = ( - )

( + ) : ( + ) = ( + )

Podemos observar que a tabela da multiplicação é igual à tabela da divisão. Ex: a) (+20) : (+2) = +10 b) (+20) : ( -2) = - 10

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Sabemos que, por exemplo, 33 = 3 x 3 x 3 = 27. Do mesmo modo, ( -2)3 = ( -2) x ( -2) x ( -2) = - 8.

Algumas Regras De Potenciação

Número positivo elevado a um expoente par ou ímpar resulta sempre em um numero positivo.

Ex: (+5)2 = 25 e (+5)3 = 125 Número negativo elevado a um expoente par resulta em um numero positivo, se elevado a um

expoente ímpar, resulta em um número negativo.

Ex: (- 2)2 = 4 e (- 2)3 = - 8

1 elevado em qualquer expoente é sempre 1.

Ex: ( 1 )250 = 1 ( 1 )27 = 1 Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Ex: 22 x 23 = 25 (- 3)-5 x (- 3)3 = (- 3)-2

Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Ex: 24 : 22 = 22 (- 2)3 : (- 2)5 = (- 2)-2 Para elevar uma potência em outra potência, conserva-se a base e multiplicamos os expoentes.

Ex: 642.2.2.2.2.222632

Para elevar um produto a uma potência, elevamos cada fator a essa potência.

Ex: 1005.5.2.25.25.2 222

É preciso tomar cuidado. 2223232

2553222 e 139432 22 logo 1325

Qualquer número elevado na 0 (zero) é igual a 1.

PROVA: 12.2

2.2

2

22.22

2

2220

Ex: (2546)0 = 1


332224

5735132131

Agora que sabemos as regras de potenciação, devemos tomar muito cuidado na hora de resolver uma expressão algébrica com potências. Existe uma seqüência hierárquica de resolução que não pode ser quebrada. Começamos sempre pela potenciação, multiplicação ou divisão (na ordem), adição ou subtração (na ordem) não esquecendo também que resolvemos primeiro os parênteses ( ) depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }. Ex:

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Consideramos os números -5 e 3. É evidente que – 5 < 3, pois colocando esses números na reta numérica temos:

Portanto, para compararmos dois ou mais números inteiros, basta colocá-los na reta numérica, considerando que um número situado a esquerda de outro é menor que esse outro.

SUCESSOR E ANTECESSOR DE UM NÚMERO INTEIRO CONSECUTIVO

Antecessor: é o número que vem antes de outro número. Ex: (- 5) é antecessor de (- 4), 2 é antecessor de 3 e assim por diante. Sucessor: é o número que vem depois de outro número. Ex: 8 é sucessor de 7, (- 3) é sucessor de (- 4) e assim por diante.

INTERVALOS

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b:

bxaba ,

Intervalo fechado em a e aberto em b:

bxaxba /,

Intervalo aberto em a e fechado em b:

bxaxba /,

Intervalo aberto em a e b:

bxaxba /,

Temos também:

axxea /,

0/, bxb

Exercícios 1) Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo:

a) BA

b) BA

c) BA

d) AB 2) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine:

a) BA

b) BA

c) BA

d) AB


3) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine:

a) BA

b) BA

c) BA

d) AB

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO O módulo, nada mais é que a distancia entre um número e o zero na reta numérica. Na reta acima, temos que: | -5 | = 5 e | 3 | = 3.

MÚLTIPLOS (NÃO NEGATIVOS) DE UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO Para determinarmos se um número é múltiplo de outro, basta dividir esse número pelo outro, se a divisão for exata é múltiplo, se não for exata, não é múltiplo.

Ex: 21 é múltiplo de 3? Para descobrirmos, basta dividir 21 por 3.

Portanto 21 é múltiplo de 3. Ex: 20 é múltiplo de 3?

Como determinar todos os múltiplos de um número? Para isso basta pegarmos o numero que queremos achar seus múltiplos e multiplicar por {0, 1, 2, 3, 4,...}. Ex: Determinar M (3).

Portanto os múltiplos de 3 são: {0, 3, 6, 9,...} Ex: Determinar M (5). OBS: O zero é múltiplo de qualquer inteiro, pois 0 dividido por qualquer inteiro não nulo sempre dá

como resultado o número 0. ATENÇÃO!!! Não podemos dividir nenhum número por 0.

DIVISORES DE UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO

Para determinar os divisores de um número inteiro positivo, devemos decompor esses números em fatores primos.

Lembrando que números primos são aqueles que são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Ex: 2, 3, 5, 7, 11,... Depois de decompor esse número em fatores primos, adicionamos uma nova coluna, que começa com o número 1 que é divisor que qualquer número.


Logo os divisores de 20 são: {1,2,4,5,10,20}. Ex: Ache os divisores de 30.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE DOIS NÚMEROS INTEIROS (NÃO NEGATIVOS)

Se formos calcular o m.d.c (20, 30), devemos achar todos os divisores de 20 e todos os divisores de 30, e verificar os divisores em comum dos dois números, então o maior entre eles é o m.d.c (20, 30). Mas felizmente existe um jeito prático de calcular o m.d.c, pelo método das divisões consecutivas.

Este método baseia-se, em pegar o maior número e dividir pelo menor, o resto dessa divisão é o novo divisor, e assim por diante até o novo resto ser igual a 0.

Ex: Calcule o m.d.c (210, 140).

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE MAIS DE DOIS NÚMEROS INTEIROS (NÃO NEGATIVOS)

O processo é semelhante ao anterior, primeiro calculamos o m.d.c de dois dos números e questão, depois é feito o mesmo processo, só que agora com o m.d.c encontrado e o número que ficou de fora da operação anterior. Ex: Calcular o m.d.c (126, 420, 210). OBS:

1) No caso do m.d.c de vários números ser 1, dizemos que esses números são primos entre si. 2) O conjunto de divisores de um número é um conjunto finito, e o 1 é divisor de qualquer numero

inteiro.

MÍNIMO MULTIPLO COMUM (M.M.C) DE NÚMEROS INTEIROS

Se formos calcular o m.m.c (5, 3), temos que achar os múltiplos de 5 e os múltiplos de 3 e verificar o menor número comum entre os múltiplos de cada um deles. Temos que concordar que esse método é um pouco demorado se lidarmos com números muito grandes. Assim como o m.d.c o m.m.c também tem um jeito mais prático de calcular. Esse método consiste em decompor simultaneamente os números em questão em fatores primos. Ex: Calcular o m.m.c (9, 4).

Logo o m.m.c (9, 4) = 2x2x3x3 = 36 Ex: Calcule o m.m.c (20, 7, 3).


NÚMEROS RACIONAIS

O conjunto dos números racionais Q é formado por todo número da forma b

a com a e b inteiros e b

0, primos entre si. Este conjunto possui uma quantidade infinita de elemento que podem ser

representados na reta numérica.

OBS: Todo número inteiro é racional, pois podemos escrever qualquer número inteiro na forma de

fração.

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

São números escritos na forma b

a com a e b inteiros e b 0 . Como já sabemos desde o ensino

fundamental, a é o numerador e b é o denominador. Devemos saber que uma função pode ser representada de várias maneiras.

Ex: ...4

6

20

30

10

15

6

9

2

3

Esta propriedade nos diz que podemos simplificar uma fração, desde que o numerador e o denominador sejam múltiplos de um mesmo úmero inteiro.

Ex: a) 25

45=

b) 9

27=

c) 220

40=

d) 24

256=

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

1° Caso: Se as frações têm o mesmo denominador, apenas somamos ou subtraímos os numeradores

e conservamos o denominador.

Ex: 4

13

4

1

4

9

4

3

2° Caso: Se as frações têm denominadores diferentes, calculamos o m.m.c dos denominadores, dividimos o m.m.c pelo denominador da primeira fração e multiplicamos pelo numerador, fazemos o mesmo com a segunda fração.

Ex: 3

1

5

3

3

2

15

14

15

5910

Ex: 2

1

8

3

6

5

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES


Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos o numerador de uma fração com o numerador da outra, e o denominador de uma com o denominador da outra.

Ex: 2

1

12

6

3

2

4

3

Ex: 2

5

2

3

8

1

OBS: Simplifique o máximo possível o resultado.

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Para dividir uma fração pó outra, basta multiplicarmos a primeira pelo inverso da segunda.

Ex: 15

14

3

7

5

2

7

3

5

2

Ex:

3

52

3

ATENÇÃO!!!!!! Não confunda oposto de um número com inverso de um número.

Ex: O oposto de 50 é – 50, e o inverso de 50 é 50

1.

OBS: Quando você enxergar uma expressão do seguinte tipo: 5

2 de 50, significa multiplicação.

205

10050

5

2

POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES

1° Caso: Fração elevada a um expoente positivo.

Ex: 9

16

3

4

3

4

3

42

Ex:

3

2

5

2° Caso: Fração elevada em 0.

Novamente, qualquer número elevado na zero é igual a 1.

Ex: 18

70

Ex: 120

25120

3° Caso: Fração elevada em expoente negativo.

Nesse caso, invertemos a base e trocamos o sinal do expoente.

Ex:

22

3

2

2

3

Ex: 32 Exercícios


1) O valor da expressão 11 )3(:)2).(3(2 .

2) O valor de 22

121

22

)2()2(2

é:

RADICIAÇÃO

É do tipo: ban que é a operação inversa da potenciação.

n índice do radical

a radicando

b raiz

OBS: 1) Raízes de índice par darão sempre números positivos e negativos. 2) Raízes de índice ímpar sempre existem, seja o radicando positivo ou negativo. 3) Quando estivermos resolvendo expressões, nas raízes de índice par só usaremos o valor

positivo. 4) Para obtermos a raiz de uma fração devemos extrair a raiz do numerador e do dominador.

Ex1: 525

Ex2: 2216 4 44

Ex3: 5 32

Ex4: 25

16

Ex5: 3

8

27=

Ex6:

5

243

32

Expoente Racional Fracionário

n mn

m

aa

Ex: 5 35

3

22 NÚMEROS IRRACIONAIS

Os números irracionais são todos aqueles que escritos na forma decimal, apresenta um número infinito de casas decimais, sem formar períodos. Ex1: π = 3,1415...

Ex2: 2 = 1,41421...

OBS: Toda raiz quadrada de um número primo é irracional.

NÚMEROS DECIMAIS

São números que não são inteiros, e que possuem um número finito de casas decimais depois da vírgula. Ex: 0,1 ; 3,29 ; 30,41 ;...

Como Transformar Um Número Decimal Em Uma Fração

O método é bem simples, basta copiar o número todo sem a vírgula e dividir por 1 acrescido de tantos zeros quantos forem os números depois da vírgula.


831,01000

831

1000

4001322050

1000

4001

100

322

100

5001,422,305,0

045,01000

45

100

15

10

315,03,0

Ex1: 10

33,0

Ex2: 1000

5749749,5 Ex3: 00059,0

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Temos dois métodos para somar ou subtrair números decimais. 1° Método: transformar os números décimas em frações, e desenvolver a soma de frações como já

aprendemos. 2° Método: dispor os números um abaixo do outro, vírgula em baixo de vírgula e desenvolvendo a soma. Ex1: Faça a adição ou subtração dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima. 1°Método)

2° Método)

Ex2: Faça a adição ou subtração de números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima.

357,0015,231,7

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Existem dois métodos de calcular o produto entre dois números decimais. 1° Método: Transformar os números decimais em frações e efetuar a multiplicação como já sabemos. 2° Método: Colocar número abaixo de número, não sendo necessário o alinhamento das vírgulas,

multiplique normalmente os números como se fossem inteiros, após isso conte o numero de casas depois da vírgula dos dois números e adicione a vírgula no resultado de acordo com as casas decimais que você contou. Ex1: Faça a multiplicação dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima. 1°Método) 2° Método)

Ex2: Faça a multiplicação dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima.

11,032,0

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Colocamos os números na disposição usual da divisão e mexemos a vírgula para a direita simultaneamente nos dois números, até os dois números se tornarem inteiros.


Ex: Calcule a divisão de 0,016 por 0,04.

Logo a divisão de 0,016 por 0,04 é 0,4.

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Expoente positivo: Transformamos o número decimal em fração e o elevamos ao expoente como já

aprendemos anteriormente. Expoente zero: Sabemos que qualquer número elevado no expoente 0 é igual a 1, aqui não é

diferente. Expoente negativo: Transformamos o número decimal em fração, invertemos esse número e

trocamos o sinal do expoente, bem como aprendemos anteriormente.

Ex1: 04,025

1

100

4

10

22,0

2

2

Ex2: 2

15,0

DÍZIMAS PERIÓDICAS

Dízimas periódicas, são números decimais que apresentam infinitos algarismos após a vírgula aos quais se repetem, a parte que se repete é chamada de período.

Ex: ...333,03

1

Dízima Periódica Simples: é quando sua parte decimal é formada apenas pelo período.

Ex: 0,222... indicamos por 0,2 4,4343... indicamos por 4,43

Dízima Periódica Composta: é quando sua parte decimal apresenta, antes do período, algarismos

que não se repetem.

Ex: ...2444,0 indicamos por 0,24

...165757,3 indicamos por 3,1657

Transformação De Dízima Periódica Em Fração: Precisamos achar a sua função geratriz.

Ex1: Ache a fração geratriz da dízima 0,333...

Seja: x = 0,333... ( * ) 10x = 3,333... ( ** ) multiplicamos por 10 por que o período tem 1 algarismo.

Fazendo (**) – (*) temos: 3

1

9

339 xxx que é a fração geratriz.

Ex2: Ache a fração geratriz da dízima 0,4545... Ex3: Ache a fração geratriz da dízima 0,135135...

Ex4: Ache a fração geratriz da dízima 2,211515...

DIVISÃO PROPORCIONAL.


REGRA DE TRÊS SIMPLES

E COMPOSTA.

PORCENTAGEM

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, variando-se uma delas, a outra varia na mesma razão da primeira. Ex1: Joãzinho foi até o armazém da esquina comprar alguns refrigerantes e se deparou com a

seguinte situação. 1 refrigerante custa R$ 2,00 2 refrigerantes custam R$ 4,00 3 refrigerantes custam R$ 6,00 e assim por diante. Observe que à medida que o número de refrigerantes cresce o preço a se pagar por eles crescem na mesma proporção.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando-se uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira. Ex2: A distância entre a cidade A e a cidade B é de 120 km. Então. Com velocidade de 30 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 4 horas. Com velocidade de 40 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 3 horas. Com velocidade de 60 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 2 horas. Com velocidade de 120 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 1 hora. Observe que à medida que a velocidade do carro aumenta, o tempo de viagem diminui.

NÚMEROS PROPORCIONAIS

Sucessões Diretamente Proporcionais

Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões entre os números correspondentes forem iguais.

Observe as sucessões: 5

20

4

16

3

12

2

8

1

4 = 4, onde 4 é a constante de proporcionalidade

direta entre elas.

Sucessões Inversamente Proporcionais

Duas sucessões de números são inversamente proporcionais, quando os produtos entre os números correspondentes forem iguais. Ob

serve as sucessões: 6

6

9

4

3

12

18

2 , são inversamente proporcionais, pois

6694312182 = 36, onde 36 é a constante de proporcionalidade inversa.


DIVISÃO PROPORCIONAL

Divisão Em Partes Diretamente Proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais consiste em determinar valores que, divididos por números previamente estabelecidos, produzam uma mesma razão.

6

150

3

75

2

50 = 25 = constante de proporcionalidade k.

Para calcularmos a constante de proporcionalidade k basta fazermos a razão entre a soma dos

numeradores e a soma dos denominadores.

25632

1507550

k

Ex: Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 12, 2 e 6.

Divisão Em Partes Inversamente Proporcionais

Toda divisão inversamente proporcional torna-se diretamente proporcional quando invertemos os representativos das partes em que o número dado foi dividido.

Ex1: Dividir o número 2370 em partes inversamente proporcionais a 3

2, 5 e

9

4.

Os inversos dos representativos das partes são: 5

1,

2

3e

4

9. Temos, então: O m.m.c. (2,4 e 5) = 20

20

4,

20

30 e

20

45. Portanto, os representativos procurados são: 30, 4, 45.

Aplicando a regra prática, obtemos: 30 + 4 + 45 = 79 3079

2370 k

1ª parte: 9003030

2ª parte: 120430

3ª parte: 13504530

Ex2: Dividir o número 928 em três partes tais que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais

a 2, 5 e 7 e a 4, 3 e 5.

Aplicação Da Divisão Em Partes Proporcionais

Um pai distribuiu certa importância entre seus três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades, que eram 8, 13 e 15 anos. Se o primogênito recebeu R$ 1.400,00 a mais que o caçula, qual foi a quantia distribuída e quanto recebeu o filho do meio?

REGRA DE TRÊS SIMPLES

É um processo prático para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Resolução De Problemas


Para resolver problemas envolvendo regra de três deve-se proceder da seguinte maneira. Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário. Ex1: Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m2. Quantos litros são necessários para

uma parede de 15 m2? Ex2: Com 12 operários podemos construir um muro em 3 dias. Quantos dias levarão 4 operários para

fazer o mesmo número?

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

É um processo prático que envolve problemas com mais de duas grandezas. Ex1: Sabe-se que 5 máquinas produzem 60m de tecido em 2 horas. Pergunta-se quantos metros de tecido serão produzidos por 10 máquinas do mesmo tipo, trabalhando 6 horas. Ex2: Sabendo que 20 operários executam determinado serviço em 12 dias e 9 horas cada, pergunta-

se quantos operários realizarão o mesmo serviço trabalhando 15 dias de 6 horas casa.

PORCENTAGEM

Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (por cento). Ex:

a) %8100

8 (lê-se “8 por cento”) b) %5

100

5 (lê-se “5 por cento”)

Problemas De Porcentagem São resolvidos através de regra de três simples. Ex1: Calcular 8% de R$ 700,00. Ex2: Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.

Exercícios: 1. Uma mistura apresenta 3 kg de leite em pó e 900 g de café em pó. Qual a razão entre a quantidade de leite e a quantidade de café? 2. Dividindo 264 em três partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8, encontramos três números cuja soma dos dois maiores é igual a S. Calcule o valor de S. 3) Calcular o valor desconhecido em cada proporção abaixo:

a) 21

49

3

x

b) 20

8

3

3

x

x

c) 2

5

4

8

xx

4. Em um mapa na escala de 1 : 500.000, a distância entre duas cidades é de 6 cm. Qual a distância real, em km, entre essas cidades?


5. Embalando alimentos doados para o programa "Fome Zero", 4 voluntários gastaram 75 horas. Se

fosse possível contar com 12 voluntários, trabalhando no mesmo ritmo daqueles 4, em quanto tempo o trabalho teria sido feito? 6. Uma confeiteira deseja comprar 2,6 kg de achocolatado em um supermercado, que é vendido em

embalagens de 200 g, 400 g e 1 kg, a R$1,80, R$2,80 e R$6,80, respectivamente. Quantas unidades de cada tipo de embalagem ela deve comprar, para gastar o menor valor possível? 7. Uma certa marca de cereal em barra disponibiliza seu produto nas versões normal e light, em caixas com três barras de 25 g cada uma. Segundo a informação nutricional do produto, cada 100 g da versão normal tem 100 calorias e cada 100 g da versão light tem 80 calorias. Qual é a diferença calórica entre uma barra normal e uma light? 8. Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50. Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele

irá pagar ao feirante? 9) Calcule os conseqüentes de uma proporção sabendo que sua soma é 11 e que os antecedentes

são 12 e 10. 10) Calcular antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 8 e que os conseqüentes são

27 e 45. 11. O preço do ingresso da arquibancada no ano passado era de R$ 16,00 mas sofreu um reajuste de

40%. Para o jogo da final do campeonato carioca, em fevereiro foi concedido um desconto de 30% para o ingresso da arquibancada. Quanto custou o ingresso na final do campeonato? 12. O preço da gasolina sofreu um reajuste de 25% em novembro e de mais 25% em dezembro. Qual

a porcentagem em que deve ser reduzido o seu preço atual para que volte a custar o que custava antes dos dois reajustes? 13) Um segmento de 330cm é dividido em duas partes que estão na razão de 80/30. Qual o

comprimento de cada parte, em cm? 14) Dividir R$280,00 entre duas pessoas, de modo que a primeira receba uma quantia proporcional à 2 e a segunda uma quantia proporcional a 5. 15. Segundo estudo do BNDES, publicado na Folha de S. Paulo, em 26/09/2006, o setor siderúrgico pretende investir 46,4 bilhões de reais no período de 2007 a 2011. Esse valor equivale a um aumento de 140% em relação aos valores aplicados no período de 2001 a 2005. De acordo com esses dados, calcule o total investido no setor siderúrgico no período de 2001 a 2005. 16. Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro (02/08/06) no ano de 2006 deverão ser

investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa um crescimento de 6,2% em relação a 2005. Com base nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo, no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing. 17) A razão entre a base e a altura de um triângulo é 7/3 e a soma das medidas é 30cm. Determinar a área do triângulo.

2

.hbAt


18. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Nas

grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente: 19) Quais devem ser os valores de x e y para que os números 2, 4 e x sejam diretamente

proporcionais a y, 6 e 15, respectivamente? 20) Quais devem ser os valores de x, y e z, para que os números 2, x, 4 e y seja inversamente

proporcionais a 10, 20, z e 2? 21) Dividir 1800 em partes diretamente proporcionais aos números 10, 2 e 6. 22) Dividir 2460 em partes inversamente proporcionais aos números 10, 3 e 4.

23) Dividir o número 13350 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 6 e, ao mesmo tempo,

inversamente proporcionais a 2/5, 3/4 e 1/3. 24) Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30 litros de gasolina. Determinar a

percentagem do acréscimo no consumo de combustível, se a distância percorrida for de 600 km (supondo que as condições do percurso não se alteram). 25) A velocidade de um carro de F1 é 270km/h. Qual a sua velocidade em m/s? 26) Se 40 operários constroem um barracão trabalhando durante 24 dias, durante 8 horas diárias, em

quantos dias, de 10 horas, 60 operários constroem o mesmo barracão? 27) Em 30 dias uma frota de 35 caminhões consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias

uma frota de 36 caminhões (do mesmo tipo) consumiria 240000 litros de combustível. 28) O Sr. Silva teve um aumento de 22%, e assim seu salário passou a ser de R$ 742,37. Quanto

ganhava o Sr. Silva antes do aumento? 29) Um produto que custava R$ 100,00 teve um aumento de 20%. Ais tarde, foi posto em promoção,

com um desconto dos mesmos 20%. A quanto era vendido o produto na promoção? a) R$ 96,00 b) R$ 97,00 c) R$ 98,00 d) R$ 99,00 e) R$ 100,00 30) A ultima pesquisa de opinião, realizada as vésperas de uma eleição para prefeito de um certo

município, apontava as seguintes taxas de intenção de voto: Candidato A..................43% Candidato B..................37% Candidato C..................10% Candidato D..................10% Se o município tem 570000 eleitores, a diferença esperada de votos entre os candidatos A e B é: a) 34000 b) 34100 c) 34200 d) 34300 e) n.d.a

GABARITO


1) 10/3 2) S = 224 3) 7 4) 30 km 5) 25 horas

6) 2 de 1Kg 1 de 400g 1 de 200g

7) 5 calorias 8) R$ 2,50 9) x=6 y=5

10) x=3 y=5

11) 15,68 reais 12) 36% 13) x=240 y=90

14) x=80 y=200

15) 19,33 bilhões de reais

16) 633,71 bilôes 17) 94,5cm2

18) 4 meses 19)

x=10 y=3

20) x=1

y=10 z=5

21) x=1000 y=200 z=600

22) X=360

Y=1200 Z=900

23) 2250 3000 8100

24)

67%

25)

75m/s

26) 12 d 19 h

12 min

27) 70

Dias

28)

608,50

29)

a)

30)

c)

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro ( m ), que é um padrão internacional. Dependendo do comprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

km hm dam m dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 1 dam = 10 m d) 0,08 km = ____m g) 0,35 km = ______cm b) 1 dm = ____m e) 62,361 dam = ____cm h) 5218 cm = ______hm c) 84,7 hm = ____m f) 05 mm = _________km i) 8,35 dam = ______dm

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE A unidade fundamental para medir superfícies é o ( m

2 ), que é um padrão internacional. Dependendo da

superfície cuja área queremos determinar, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

1000000 m2

10000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2


Observamos que as unidades variam de 100 em 100. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 3 dam

2 = 300 m

2 d) 7,5 cm

2 = ________dm

2 g) 47,25 hm

2 = ________cm

2

b) 5482,2 m2 = _______hm

2 e) 58,7 km

2 = _________dam

2 h) 48,2 cm

2 = ______hm

2

c) 38 mm2 = ___________m

2 f) 800 mm

2 = ______m

2 i) 0,025 hm

2 = ________dm

2

Medidas agrárias de superfície As medidas agrárias são utilizadas para medir grandes extensões de terra, como fazendas, sítios, etc... 1 are = 1ª = 100 m

2 1 alqueire mineiro = 48400 m

2

1 hectare = 1 há = 10000 m2

1 alqueire paulista = 24200 m2

1 centiare = 1 ca = 1 m2

MEDIDAS DE VOLUME A unidade fundamental para medir volumes é o ( m

3 ), que é um padrão internacional. Dependendo do volume a

ser medido, podemos utilizar múltiplos ou submúltiplos do m3.

km3

hm3

dam3

m3 dm

3 cm

3 mm

3

1000000000 1000000 1000 1 m3

0,001 0,000001 0,000000001

Observamos que as unidades variam de 1000 em 1000. Ex: Transforme as unidades abaixo a) 2 hm

3 = 2000000 m

3 d) 2,59 mm

3 = ________________dm

3

b) 84,5 dam3 = _______________dm

3 e) 592,1 hm

3 = ________________dam

3

c) 62,4 cm3 = ________________m

3 f) 91,37 mm

3 = _______________dam

3

MEDIDAS DE CAPACIDADE Chamamos capacidade de um recipiente ao volume de um líquido ou de um gás que esteja contido nesse recipiente. O litro é um padrão internacional para medidas de capacidade e corresponde à capacidade de um cubo de aresta 1dm.

A unidade fundamental de medidas de capacidade é o ( ), que é um padrão internacional. Dependendo da

capacidade a ser medida, podemos utilizar os seus múltiplos ou submúltiplos.

k h da d c m

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo

a) 0,4 d = 0,04 d) 50000 c = ________

b) 916,3 = _________k e) 1000 = ________dm3 = ___m

c) 84,52 da = _________d f) 100 h = _______ = ______dm3 = ______m

3


OBS: 1 = 1 dm3

MEDIDAS DE MASSA A unidade fundamental de medidas de massa é o grama ( g ), e é um padrão internacional que equivale à massa de 1cm

3 de água destilada a temperatura de 4°C.

kg hg dag g dg cg mg

1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 2 dag = 10 g d) 16,25 cg = _____________hg b) 6,52 dag = ________cg e) 0,05 kg = __________g c) 5 cg = _____________kg f) 65,2 hg = _________________mg

MEDIDA DE TEMPO No sistema internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo é ( s ). Além do segundo, também são usados, minuto, hora, semana, mês, ano e século. Temos que: a) 1 minuto = 60 segundos d) 1 mês comercial = 30 dias b) 1 hora = 60 minutos e) 1 ano comercial = 360 dias (ou 12 meses) c) 1 semana = 7 dias f) 1 século = 100 anos OBS: O ano civil tem 365 dias e o ano bissexto tem 366 dias. Ex1: Transforme em dias: 2 anos 6 meses e 5 dias

905518072053063602 dias.

Ex2: Transforme em meses: 1 ano 4 meses 10 dias Ex3: Transforme 789 dias em anos, meses e dias: Ex4: Transforme 2,325 anos em anos, meses e dias. Ex5: Efetue a adição: (2h 47mim 18s) + (3h 18min 51s) Ex6: Efetue a subtração: (4h 26min 12s) – (2h 35min 45s)

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

EQUAÇÃO DO 1° GRAU

Resolver uma equação é determinar um valor que, colocado no lugar da variável, torna o 1° membro igual ao 2° membro.

Ex1: 102 x , veja que somente para 8x conseguiremos igualar os dois lados da equação.

Ex2: 2

)1(3

4

12

3

2

xxx


Ex3: Equação do 1° grau fracionária:

Ex: 03

5

1

2

3

2

xx 0x e 1x

Exercícios 1) As tarifas praticadas por duas agências de locação de automóveis, para veículos idênticos são: Agência A => 14.400 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 167,50 cruzeiros por km rodado. Agência B => 14.100 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 170,00 cruzeiros por km rodado a) Para um percurso diário de 110km, qual agência oferece o menor preço? b) Seja x o número de km percorridos durante um dia. Determinar o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na Agência A do que na B. 2) O dobro do peso de Sônia somado com 42 kg é igual a 150 kg. Qual é o peso de Sônia? 3) Determine o valor de x que torna verdadeira a igualdade dada por (-3x)/7 = (x - 1)/12 4) Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro? 5) O número -2 é raiz da equação dada por 5(x-4) + 2(-x+2) = -3 + -7(x+8), com U = Z? 6) Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 largam juntos num determinado circuito e completam, respectivamente, cada volta em 72 e 75 segundos, pergunta-se: depois de quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da largada, ele estará uma volta na frente do outro? Justifique sua resposta. 7) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 8) Após ter percorrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhando 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? c) Quantos metros o atleta havia caminhado? 9) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada "bandeirada", e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeira custa R$3,44 e cada quilômetro rodado custa R$0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11 km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$21,50 pela corrida. 10) O preço unitário de um produto é dado por.

p = k/n + 10, para n 1 onde k é uma constante e n é o número de unidades adquiridas. Encontre o valor da constante k, sabendo-se que quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário foi de R$19,00. 11) Resolvendo a equação 1/2 - x = 6 (1/3 - x) no conjunto R; obtemos a raiz: a) 3/10 b) 1/10 c) 10 d) 3 e) 5/2


12) Para que as equações: (m - 2)x - (m - 1) = 0 e 2x - 4 = 0 sejam equivalentes, devemos ter m igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 3/2 13) Num exercício de tiro ao alvo, o número de acertos de uma pessoa A foi 40% maior do que B. Se A e B acertaram juntas 720 tiros, então o número de acertos de B foi: a) 380 b) 320 c) 300 d) 220 e) 280 14) Um reservatório, contendo 200 litros de água, está sendo esvaziado por meio de uma torneira cuja vazão é de 200cm

3 por minuto. O tempo necessário para esvaziar completamente o reservatório, em minutos, é:

a) 1 b) 10 c) 100 d) 1000 e) 10000 15) Um feirante compra maçãs ao preço de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$50,00 é: a) 40 b) 52 c) 400 d) 520 e) 600 16) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua. Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a: a) 240 b) 235 c) 225 d) 220

GABARITO

1) a) Agencia B b) maior que 120 km

2) 54 kg 3) x =

43

7

4) 72 e 120

5) Não 6) x>25 voltas 7) 40 bombons 8) a) 2310 m b) 660 m c) 1050 m

9) a) R$ 12,90 b) 21 Km

10) a) k = 90

11) a) 12) b)

13) c) 14) d) 15) c) 16) c)

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

A equação do segundo grau tem a forma cbxax 2, onde x é a variável e a, b e c são os coeficientes.

Ex1: 0132 2 xx onde 3,2 ba e 1c

Ex2: 035 2 x onde 0,5 ba e 3c

Ex3: 022 xx onde 2,1 ba e 0c

1° Caso: Equações da forma 02 bxax

Ex: 042 xx

2° Caso: Equações da forma 02 cax

Ex: 0812 x

3° Caso: Equações da forma 02 cbxax . Para resolver uma equação do segundo grau completa, usamos

a fórmula de Báskara.


a

acbbx

2

42

Chamamos o termo acb 42 de Delta ( ).

acb 42

Reescrevendo a fórmula de Báskara temos:

a

bx

2

OBS: Se 0 teremos duas soluções reais e diferentes.

Se 0 teremos duas soluções reais e iguais.

Se 0 a equação não admite soluções reais.

Também podemos resolver uma equação do segundo grau por Soma e Produto.

Soma das Raízes: a

bxx 21 ou

a

bS

Produto das Raízes: a

cxx 21. ou

a

cP

Ex: 01282 xx

4° Caso: A equação dada é fracionária.

Ex: 9

1

3

1

3

12

2

x

x

xx

x 3x

5° Caso: A equação for literal.

Ex: 06)43(2 2 abxbax

Exercícios

1) Ao quadrado de um número você adiciona 7 e obtém sete vezes o número, menos 3. Escreva na forma normal a equação do segundo grau que se pode formar com os dados desse problema.

2) Dada a equação, calcule o discriminante e diga como são as raízes sem calculá-las.

0167 2 xx

3) Quando o polinômio axx 2 tem raízes iguais?

4) A maior raiz da equação 0532 2 xx vale:

a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + 19 )/4


5) Sejam 1x e 2x ‚ as raízes da equação 073310 2 xx . O número inteiro mais próximo do número

)(2.5 2121 xxxx é:

a) – 33 b) – 10 c) – 7 d) 10 e) 33

6) O valor de x na equação

163

22

x

xx é:

a) 3 b) 2 c) 2 e 3 d) 1 e) -3

7) A soma e o produto das raízes da equação 012 xx são, respectivamente:

a) -1 e 0 b) 1 e -1 c) -1 e 1 d) +1 e 0 e) -1 e -1 8) O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a" a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9) A equação x/(1 - x) + (x - 2)/(x -1) = 0 tem duas raízes. A soma e o produto dessas raízes são iguais a: a) -2 b) 0 c) 3 d) -4 e) 1

10) Se 1x e 2x ‚ são as raízes da equação 0823 2 xx , sendo 21 xx ‚ então 823 1

2

2 xx é igual

a: a) 2/3 b) 8/3 c) 16/3 d) 20/3

11) Os valores de m, para os quais a equação 043 2 mxx tem duas raízes reais iguais, são

a) 5 e 52 b) 34 e 34 c) 23 e -3 2 d) 2 e 5 e) - 6 e 8

12) Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação 012 xx ?

GABARITO

1) 01072 xx 2) Reais e distintas 3) a = - 0,25 4) a)

5) b) 6) a) 7) e) 8) c)

9) a) 10) d) 11) b) 12) - 1

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

São equações onde a incógnita aparece como expoente de uma ou mais potências. Geralmente, uma equação exponencial pode ser resolvida de duas maneiras. 1ª Maneira: Igualando as bases.

Ex: a) 82 x b) 17 x

c) 279 x d) 81)3( 2 x


2ª Maneira: Substituição.

Ex: a) 2422 21 xx

b) 072222 xx

c) 033.432 xx

Exercícios:

1) Sabendo que 726 2 x, tem-se que

x6 vale:

a) -4 b) -2 c) 0 d) ½ e) 2

2) O valor de x , Rx , que é solução da equação 32 84 xx, é:

a) 0 b) 1/5 c) ½ d) 1 e) 4/3

3) O valor de x na equação x3

3

9.3 4

é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -3

4) A solução da equação xx 23 52 )25,0(2 é:

a) -1 b) ½ c) 14/15 d) 15/14 e) 2

5) O produto das raízes da equação 121 132

xx é:

a) 3 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2

6) A solução da equação 32 1255 xx é:

a) -2 b) 2 c) 3 d) -3 e) 6

7) A soma das raízes da equação 9

56255 122

xx é:

a) -4 b) -2 c) -1 d) 2 e) 4


4

9

49

7

3

x

é:

a) ¼ b) -4 c) 16 d) -8 e) -1/4

9) Se 1001,05

x, então x vale:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10) O valor de x que verifica a equação 1

1

16

14

x

x é:

a) -1 b) -1/2 c) 0 d) ½ e) 1

11) Se 16,0064,01

x, então 42x é:

a) -81 b) -1/81 c) 0,81 d) 1/81 e) 81

12) O valor de x na equação 25,08 4 xé:

a) -14/3 b) 3/7 c) 1/8 d) 4 e) 3


13) O valor de x que satisfaz a equação

12

xx

a

b

b

a para todo Rba , , é:

a) 1 b) 1 c)

3

1 d)

3

1 e) 3

14) A solução da equação xx 3327 12 pertence ao conjunto:

a) 12/ xRx b) 01/ xRx c) 2/ xRx

d) 21/ xRx e) 10/ xRx

15) O conjunto verdade da equação 62553

xxé:

a) {2,3} b) {-1,4} c) {-4,1} d) {-2,3} e) {3,4}

16) A soma das raízes da equação 19.3 12

xx é igual a:

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

17) No sistema

yx

x

81.819

2433 1

, o valor de y é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18) O produto das raízes da equação 13

4

279 x

x

é:

a) 2 b) 3 c) 9 d) 12 e) 27

19) Sendo 1222 1 xx, o valor de

x3 é:

a) 3 b) 8 c) 9 d) 12 e) 27

20) A raiz da equação x322 =256 é:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

GABARITO

1)d 2)d 3)a 4)b 5)b

6)b 7)d 8)d 9)b 10)a

11)d 12)a 13)c 14)e 15)b

16)a 17)a 18)a 19)e 20)e

EQUAÇÕES LOGARÍTIMICAS Chama-se logaritmo de um número N positivo, numa base a, positiva e diferente de 1, ao expoente que devemos elevar a base a para obtermos o número N, ou seja:


NaxN x

a log

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS

a) 01log a

b) 1log aa

c) 11

log a

a

d) NaNa

log

e) mam

a log

OUTRA PROPRIEDADE IMPORTANTE

cbcb aa loglog

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

a) BABA ccc loglog).(log

b) BAB

Accc logloglog

c) AnA c

n

c loglog

LOGARITMOS DECIMAIS

xNxN 10log

LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO

xeNxN ln

MUDANÇA DE BASE

b

NN

a

ab

log

loglog

OUTRAS PROPRIEDADES


a) b

aa

blog

1log

b) NaN bba loglog.log

c) bn

mb a

m

an loglog

Ex1: Calcule:

a) 8log 2

b) )8.4(log 2

c) 27log3

d) 3 10log

Ex2) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.

a) 932

b) 823

c) 2100log10

Ex3) Resolva os seguintes logaritmos.

a) 10log10

b) 1log10

c) 2

1010log

d) 2log1010

Exercícios:

1) O valor de y na expressão: 1log2log

1000log01,0log

62

y , é:

a) 1 b) 2 c) -1 d) 0 e) -2

2) Simplificando log812.log 12 8+ log 75 .log 7 25. Obtém-se

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1

3) O valor de x que satisfaz a igualdade abaixo,é log 3 x+log 3 2 = -1

a) 6 b) 1/6 c) 3/2 d) 2/3 e) -3/2

4) Usando log 2 = a, o valor de y na expressão y = log 125 2 pode ser determinado como:

a) )1(3 a

a

b)

35

a c) a.5

3 d)

125

1a e) 2

5) Efetuando 23log2 +4

3log2 . Tem-se a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

6) No universo dos números reais,o subconjunto solução da equação log 2 )1(log3 x = 2, está na

alternativa a) {9} b) {81} c) {80} d) {8} e) {35} 7) Considerando as afirmações:


I - (logA)4= 4.log A.(A

)

II - log x + 2log y=log(xy2).(x ).

**

y

III - log 8 9 = log223

assinale a alternativa correta. a) I,II e III são falsas b) I,II e III são verdadeiras c) Somente II é verdadeira. d) Somente I é falsa e) I é verdadeira e II é falsa 8) Considere as seguintes afirmações abaixo:

I. log 3 1/2 = log 3/1 2

II. log(1/x) = -log x, x>0 ( )

III. Se 3x= 4 então x = log 3 4

a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Só II é falsa d) Só III é falsa e) Só I é verdadeira

9) Se log 2 b-log 2 a = 5, o quociente b/a vale:

a)10 b)25 c)32 d)64 e)128

10) Seja k a solução da equação 2x28 loglog=1/2

O valor de k8 é igual a:

a) 1/8 b) ¼ c) ½ d) 1 e) 2

11) O produto (log 3 2).(log 2 5).(log 5 3) é igual a:

a) 0 b)1 c) 10 d) 30 e) 1/10

12) Sabendo-se que log x y = 4,então:

a) x + y = 1/4 b) x.y = 1/16 c) y = 4x d) x-y = 81 e) x = 4y

13) Se m = log b a, m 0, então log a/1

b2 vale:

a) –m b) m+2 c) m2 d) -2/m e) -1/m

14) A expressão 5x5log.3,para x > 0 é equivalente a:

a) 3x b) 5x2 c) 5

x3 d) x

5 e) x

3

15) A equação ( log x )2- 3.log x + 2 = 0 tem como conjunto-solução:

a) {1,2} b) {-1,-2} c) {10,100} d) {1,10}

16) O valor de 3

.log

5 ba é:

a) 3loglog25

log b

a b) 3log

2

loglog5

ba c) 3log

2

loglog5

ba

d) 3log.2

log.log5

ba e) 3loglog5

2

log b

a


17) Para todo ),0( x , a expressão 2

66 log)6(log2 xx é igual a:

a) 2 b) 6 c) 12/x2 d) x6log6 e)

x

6log2 6

18) Se 4log a e 1log b então 3

2

logb

a vale:

a) 6 b) 4 c) 3 d) 8/3 e) 7/3

19) Se a2log e ba3log , então 3 54log é:

a) ba 312 b) 3

4ba c)

3

34 ba d)

3

4 ba e) ba4

20) A potência 2log39 é igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

GABARITO

1)a 2)d 3)b 4)a 5)d

6)c 7)d 8)a 9)d 10)e

11)b 12)e 13)d 14)e 15)c

16)b 17)a 18)e 19)c 20)c

FUNÇÕES

Antes de entrarmos definitivamente em funções, vamos aprender um pouco sobre o Plano Cartesiano, que será uma ferramenta muito importante nesse assunto.

Todo ponto no plano é representado por um par ordenado ),( yx .

O eixo x se chama eixo das abscissas. O eixo y se chama eixo das coordenadas.

FUNÇÃO DO 1° GRAU Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir: Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2


Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Denomina-se função do 1° grau toda função :f definida por:

baxxf )(

com a , b e 0a .

a coeficiente angular ou taxa de variação

b coeficiente linear

O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta.

Zero ou Raiz da Função

O zero ou raiz de uma função do primeiro grau é o valor de x que torna 0)( xf .

baxxf )(

a

bxbaxbax 0 que é a raiz da função.

Ex: Ache a raiz da função 42)( xxf .

Estudo do sinal de uma função do 1° grau Para estudar o sinal de uma função do primeiro grau, devemos primeiramente achar a sua raiz, depois ver se a função é crescente ou decrescente.

Se a função é crescente (a>0), então 0)( xf a direita da raiz e 0)( xf a esquerda da raiz.

Se a função e decrescente (a<0), então 0)( xf a esquerda da raiz e 0)( xf a direita da raiz.

Ex: Faça o estudo do sinal das funções 84)( xxf e 93)( xxf .

Construção do gráfico de uma função do 1° grau Para construirmos o gráfico de uma função do 1° grau, primeiramente calculamos sua raiz, que vai nos dizer aonde o gráfico intercepta o eixo x (eixo das abscissas), depois analisamos o coeficiente angular ( a ) para saber se a função é crescente ou decrescente, e o coeficiente linear ( b ), que indica onde o gráfico intercepta o eixo y (eixo das coordenadas). Ex: Construa o gráfico das seguintes funções do 1° grau.


a) 42)( xxf b) xxf 3)( c) xxf 3)(

Nomenclaturas da função de 1°grau

Função Afim: é a função baxxf )( com ba, .

Função Linear: é a função axxf )( com a e 0b . Seu gráfico sempre passa pela origem.

Função Constante: é a função bxf )( com b e 0a . O gráfico sempre é uma reta paralela ao eixo x.

Função Identidade: É a função xxf )( . O gráfico é a bissetriz do 1° e 3° quadrantes.

Determinar a função analisando o gráfico Ex: Obtenha a função que determina o seguinte gráfico:

Exercícios 1) Seja a função definida por f(x) = x – 1, então o valor f(K + 1) é: a) 0 b) 1 c) K – 1 d) K

Ex: xxf 2)(

Ex: 3)( xf


e) K – 2

2) Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de 8

8

10

3)10(

f é:

a)10-14

b)10-2

c) 0 d)102

e)1014

3) Seja a função de IR em IR definida por f(x) = 5

32 x. Qual é o elemento do domínio que tem -

4

3 como

imagem?

a) 10

9

b) 2

45

c) 8

3

d) 3

8

e) 9

10

4) Dada a função f(x) = kx + 5, e sabendo que f(1) = 2, então: a) k = 1 b) k = 2 c) k = 3 d) k = -1 e)k = -3

5) Seja f(x) = bx

ax

, para x -b. sabendo-se que f(b) = 1, pode-se afirmar que:

a) a = -b b) a = b c) a = 2b

d) a = 2

b

e) a = -3b 6) Considerando f(x) = x + 1, o valor de x de modo que f(1) + 2f(x) + 2 = 0 é: a) – 2 b) 1 c) – 3 d) 0

7) Sendo f(x) = x + 1, então f(9) + (16) é:

a) 5 b) 9 c) 16 d) 20 e) 25 8) O gráfico abaixo representa uma função do 1

º grau f(x) = ax + b.

É correto afirmar que: a) a > 0 e b > 0 b) a > 0 e b = 0 c) a < 0 e b > 0 d) a < 0 e b < 0 e) a > 0 e b < 0 9) O valor de x que anula a função f(x) = 2x – 1 é:

y

x


a) 1 b) 0 c) 2 d) 1,5 e) 0,5

10) Seja a função f:IR IR, f(x) = ax + b. Se f(2) = 1 e f(1) = -1, então a e b valem respectivamente: a) 2 e 3 b) 1 e –2 c) 3 e 1 d) 3 e 2 e) 2 e –3 11) Dada f(x) = ax + b. Se os pontos (0,4) e (2,0) pertencem ao gráfico de f, então a e b valem respectivamente: a) –2 e 4 b) 4 e 2 c) 1 e 2 d) 2 e 3 12) Identifique a função dada pelo gráfico e marque a opção correta: a) f(x) = 2x + 1

b) 23)( xf

c) f(x) = -x + 2 d) f(x) = x – 2 e) f(x) = x + 1 13) Em uma loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 130,00. Além disso, ele ganha R$ 2,50 por unidade vendida. Expressando o ganho mensal desse vendedor em função do número x de unidades vendidas e determinando a quantidade de unidades que ele deve vender para receber um salário de R$ 530,00 tem-se, respectivamente: a) y = 130x + 2,5x; 4 b) y = 130x + 2,5; 4 c) y = 130 + 2,5x; 160 d) y = 2,5x ; 212 e) y = 130 + 2,5x; 80 14) A função f(x) = x – 1 é: a) Positiva para x > -1. b) Negativa para x < 1. c) Negativa para x = 1. d) Positiva para x < 1. e) Positiva para todo x real. 15) A reta 2x+y=5 corta o eixo das abscissas no ponto: a) (0,5/2) b) (5/2,0) c) (-5/2,0) d) (0,-5/2) 16) Seja a reta ® cuja equação é 2x-3y=-1. O coeficiente linear e o angular são, respectivamente, iguais a: a) 1 e 2 b) 2/3 e 1/3 c) 1/3 e 2/3 d) -1/3 e 2/3 17) Seja a função f de R em R definida por y=2x+1. Um dos pontos do gráfico desta função tem coordenadas: a) (0,1) b) (1,4) c) (-1,1) d) (-10,-20) 18) Dada a função f(x)=2x,qual é o elemento do domínio cuja imagem é 1/4? a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 9/4 19) As funções f e g, de R em R são definidas por f(x)=-x-1 e g(x)=2x+2. Qual o valor de f(2).g(0)? a) 0 b)2 c) -6 d) 6 20) Qual das funções abaixo corresponde ao gráfico ao lado?

(0;1)

-1 x

y


a) y= -2x-2x b) y= 2x+2 c) y= -x-2 d) y= -x+2 21) Fazendo a representação gráfica da função definida por y = x-3, verificamos que a reta obtida intercepta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas: a) (3,0) b) (-3,0) c) (0,3) d) (0,-3) 22) Qual o valor do coeficiente linear da reta definida por -2x+4-y=2x+3? a) 1 b) 4 c) -1 d) -4 23) As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas de equações, y=3-3x e 2x=-y-1, são: a) (4,7) b) (4,-9) c) (-9,4) d) (2/3,1) 24) Qual deve ser o valor de “m” para que o coeficiente angular da reta seguinte, 2x+my+6=0, seja 12? a) -1/6 b) -1/2 c) 1/6 d) 1/3

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Denomina-se função do 2° grau toda função :f definida por cbxaxxf 2)( , com cba ,, e

0a .

O gráfico de uma função do 2° grau é uma curva aberta chamada parábola.

Zero ou raiz da função

São os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, 0)( xf .

Para obter as raízes da função de 2° grau, usamos a fórmula de Báskara, que já é de nosso conhecimento.

Se 0 , teremos duas raízes reais e diferentes.

Ex: 65)( 2 xxxf

Se 0 , teremos duas raízes reais e iguais.

Ex: 44)( 2 xxxf


Se 0 , não existem raízes reais.

Ex: 1)( 2 xxxf

Estudo do sinal de uma função do 2° grau Para estudarmos o sinal de uma função do 2° grau, devemos analisar o sinal do coeficiente angular a , e

também o valor do . Consideramos as seguintes possibilidades:

>0 temos duas raízes reais 1x e 2x . Assim:

0 temos duas raízes reais iguais, 21 xx . Assim:

0 não teremos raízes reais. Assim:

Construção do gráfico de uma função do 2°grau Para construirmos o gráfico de uma função do 2° grau, primeiramente calculamos suas raízes através da fórmula

de Báskara, que vai nos dizer aonde o gráfico intercepta o eixo das abscissas )(x , depois analisamos o sinal do

coeficiente angular )(a , para saber se a função é crescente ou decrescente, de depois o coeficiente linear

)(c , que indica onde o gráfico intercepta o eixo das coordenadas )(y .

OBS: O coeficiente )(b indica se a parábola está descendo ou subindo quando corta o eixo y.

Ex: Construa o gráfico das seguintes funções do 2° grau.

a) 45)( 2 xxxf b) 44)( 2 xxxf

c) xxxf 3)( 2 d) 9)( 2 xxf


Coordenadas do vértice Vértice é o ponto extremo da função do 2° grau, é aonde a função admite um valor máximo ou um valor mínimo.

As coordenadas do vértice da parábola obtida através da função do 2° grau cbxaxy 2 e ),( vv yx , que

calculamos da seguinte maneira.

a

bxv

2

e

ayv

4

Se a função é crescente )0( a , as coordenadas do vértice da parábola representarão um ponto de valor

mínimo.

Se a função é decrescente )0( a , as coordenadas do vértice da parábola representarão um ponto de valor

máximo.

Ex: Obtenha as coordenadas do vértice da parábola obtida através da função quadrática xxxf 42)( 2 .

Determinar a função analisando o gráfico Ex: Obtenha a função que determina o gráfico:

Exercícios

1) Dado a função f: IR IR, definida por f(x) = x2 – 1, então f(-1) + f(1) vale:

a) 2 b) 0 c) 1 d) –1 e) –2

2) Seja f: IR IR a função definida por f(x) = x2 – 3x + 1. O valor de

h

fhf )1()1( é:

a) 0 b) h c) h

2 – h


d) h

h 12

e) h – 1

3) Se f(x) = x

x 12 , então f

a

1 é igual a:

a) 12 a

a

b) 1

2

a

a

c) a

a 12

d) 1

12

a

a

e) 1

12

a

a

4) Dada f: IR IR definida por f(x) = 4

62 x para todo x IR; se f(m) = f(m - 4) então:

a) m = -1 b) m = 1 c) m = 4 d) m = 2 e) m = - 4 5) Se f (x + 1) = 2x

2 – 5, então f(-1) é igual a:

a) 5 b) – 3 c) – 1 d) 3 e) 5

6) A parábola representada na figura é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com x IR.. A soma e o produto

das raízes dessa função valem, respectivamente: a) 5; 4. b) –5; 4. c) 4; -5. d) 4; 5. e) –4; -5.

7) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) por outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale: a) -8 b) –6 c) 0 d) 6 e) 8 8)

x

y

0 1 2 3

8

5

x

y

2

1 3

3

-1

f(x) dm

x (dm)

2


A figura indica a trajetória parabólica do salto de uma rã e destaca a distância horizontal máxima (8 dm) e a altura máxima (2 dm) atingidas. A função quadrática que expressa a altura em relação à distância horizontal é dada por: a) f(x) = 0,125x

2 + x

b) f(x) = -0,125x2 + x

c) f(x) = -0,25x2 + 1,5x

d) f(x) = -x2 + 4,5x

e) f(x) = -0,5x2 + 2,5x

9) Veja a função f(x) = ax2 + bx + c

representada abaixo, é INCORRETO afirmar que: a) a > 0 b) b < 0 c) c = 0 d) a . b > 0 e) b . c = 0

10) Dada a função f: definida por f(x) = x2 + 3 podemos afirmar que seu gráfico:

a) passa pelo ponto de ordenada –3 b) passa pela origem. c) Tangencia o eixo das abcissas. d) Não intercepta o eixo das abcissas. e) Intercepta o eixo das abcissas em dois pontos distintos. 11) Se f(x) = ax

2 + bx, onde f(1) = 2 e f(-1) = 0, então:

a) o gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. b) O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0; 1). c) O gráfico de f intercepta o eixo x no ponto (1; 0). d) O gráfico de f intercepta o eixo x num único ponto. e) O gráfico de f intercepta o eixo x em dois pontos distintos. 12) A cordenada do vértice da parábola f(x) = x

2 – 2x + 5 é:

a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) – 2 13) O valor máximo da função f(x) = - x

2 + 2x + 2 é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)6 14) O valor da função y = x

2 – 8x + 15 é:

a) máximo, dado por V = (4, 1) b) mínimo, dado por V = (4, -1) c) máximo, dado por V = (-4, -1) d) mínimo, dado por V = (-4, -1)

x

y

3

9

0 x

y


e) máximo, dado por V = (4, -1)

15) Determine o vértice da parábola definida pela função f(x)= 862 xx .

a) (3,-1) b) (3,1) c) (2,0) d) (1,3)

16) A função f(x)=x 2 122 xx , tem mínimo no ponto em que “x” vale:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

17) O gráfico da função f(x)= pmpx 2 com m,p constantes reais,passa pelos pontos (0,1) e

(-1,3). Então o seu valor mínimo é: a) 3/2 b) -3/2 c) 3/4 d)1/2

18) A função cbxaxy 2onde 042 acb e 0a , é estritamente positivo para todo x ...

a) positivo b) exterior às raízes c) negativo d) interior às raízes

19) Para que a equação 01222 mmmxx tenha uma raiz nula e outra positiva, o valor

de m, deve ser : a) -4 b) -3 c) 4 d) 3 20) Seja uma função f do 1º grau. Se f(-1)=3 e f(1)=1, então o valor de f(3) é a) -1 b) -3 c) 0 d) 2

21) Qual o maior valor numérico que a função 56)( 2 xxxf pode assumir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

22) Dê o valor de “m” para que a equação 09)32(2 xmx admita apenas uma raiz

real. Dica: Se ∆ =0 ⇒ somente uma raiz. a) -3/2 ou 9/2 b) -2/3 ou 3/4 c) 5/3 ou -3/5 d) 7/5 ou 9/7

23) O maior valor numérico da função 16102 xxy é:

a) -41 b) 41 c) -9 d) 9


24) Se a parábola (gráfico da função cbxaxy 2) tangenciar o eixo das abscissas,

então podemos afirmar que:

a) 4ac=2b

b) 2b <4ac

c) 2b >4ac

d) b=4a-c

25) Determine o valor de “m” para que a função 2)1()( 2 mxmxxf , tangencie o eixo

das abscissas. (dica: teremos somente uma raiz) a) 1 b) -2 c) 3 d) -3

26) A figura representa, graficamente, no plano cartesiano, a função polinomial do 2º grau cbxaxxf 2)( ,

onde a, b e c são constantes reais e f( 1x )=f( 2x )=0. Então, de acordo com a figura, a firmação correta é:

a) a.b.c<0 b) a<0 e c>0 c) 4ac>b 2 d) b<0 e c<0 e) b>0 e c>0

27) O valor de k, para que a função kxxxf 3)( 2 tenha um valor máximo

igual a 10,25 é a) 10 b) 25 c) 12,5 d) 8 e) 16

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Esta função é do tipo: xaxf )( , com 0a e 1a .

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Se 1a , então a função é crescente e tem o seguinte gráfico.


Se 10 a , então a função é decrescente e tem o seguinte gráfico.

Ex: a) Analise se a função xxf 5)( é crescente ou decrescente e construa seu gráfico.

b) Analise se a função

x

xf

2

1)( é crescente ou decrescente e construa seu gráfico.

Exercícios:

1) Dada a função RRf : , definida por 5

12

2

1)(

x

xf , pode-se dizer que f é .........................

(crescente ou decrescente) e o valor de x para o qual 32)( xf vale .........................(13/5 ou -13/5).

a) crescente, -13/5 b) decrescente, -13/5 c) crescente, 13/5 d) decrescente, 13/5 2) Qual é o ponto comum aos gráficos de f(x)= 4x-1 e g(x) = 2x?

3) A figura mostra um esboço do gráfico da função f(x) = ax + b, com a, b IR, a > 0, a 1 e b 0. Então, o valor de a2 – b2 é: a) -3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3

GABARITO

y

x

5

2

2


1)b 2) x=2 3)e

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Esta função é do tipo: xxf alog)( com 0a e 1a .

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Se 1a , então a função é crescente e tem o seguinte gráfico:

Se 10 a , então a função é decrescente e tem o seguinte gráfico.

Ex: a) Analise se a função xxf 2log)( é crescente ou decrescente e construa seu gráfico.

b) Analise se a função xxf2

1log)( é crescente ou decrescente e construa seu gráfico.

Exercícios:

1) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é: a) 10 b) 2 c) 1

d) 2

1

e) –2 2) A figura abaixo mostra o gráfico da função logarítmica na base b. O valor de b é:

a) 4

1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

0 1 x

-2

4

y

y

x

0,25

-1

1


GABARITO

1)d 2)d

EXERCÍCIOS:

1) Sendo x uma variável real, a função xxf 5)( é:

a) crescente b) decrescente c) constante d) quadrática e) linear

2) Dada a função xy 2 , podemos afirmar que

a) seu domíneo é

b) seu conjunto imagem é

c) o gráfico é uma curva que passa pelo ponto (0,1) d) esta função é decrescente

e) 6)3( f

3) Assinale o domíneo e a imagem de xxf 2)( :

a) e b) e (0, ) c) [0, ) e [0, ) d) [1, ) e [0, )

e) [1, ) e

4) Entre os gráficos, o que melhor se adapta ao da função dada por xay , com 1a , é

5) Dentre os gráficos abaixo, aquele que representa a função real definida por

x

y

2

1é:


6) Na figura está a representação geométrica de uma função exponencial f dada por xbxf )( .

Podemos garantir que a) b = 10 b) b = 2 c) b = 1 d) b < 0 e) 0 < b < 1

7) A função f: definida por xbxf .2)( é exponencial crescente se, e somente se

a) b >0 b) b< 0 c) 0< b < 1 d) b < 1 e) b > 1

8) A função xxf 2)( é .................. e o valor de )0(f é ............. . Completando as lacunas, temos:

a) decrescente; 1/2 b) crescente; 1/2 c) decrescente; 1 d) crescente; 0 e) crescente; 1

9) Dadas as funções

2

16

1)(

x

xf e xxg 32)( definidas para todo o x , pode-se dizer que f é

....... e o valor de x para o qual )()( xgxf é .......... . Selecione a alternativa que completa

corretamente as lacunas. a) decrescente; 8/9 b) crescente; -8/9 c) constante; -8/9 d) crescente; 8/9 e) decrescente; -8/9

10) Indique as afirmativas referentes à função xaxf )( , com 0a e 1a , são verdadeiras (V) ou

falsas (F).

( ) f é crescente para )1,0(a

( ) o domíneo de f é

( ) a imagem de f é (0, )

A seqüência correta é: a) F – V – F b) V – F – F c) F – V – V d) V – V – V e) V – F – V


11) O gráfico de

1

3

2)(

x

xf

a) passa pelo ponto (1,0)

b) é crescente em

c) passa pelo ponto

3

2,0

d) passa pelo ponto (0,1) e) intersecta o eixo x

12) A figura mostra um esboço do gráfico da função bay x , com a e b , ,0a 1a e 0b .

Então, o valor de 22 ba é:

a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 13) Observe os gráficos: As funções de (I e (II) são, respectivamete:

a)xy 2 ;

xy 2

b)xy 2 ;

22 xy

c) xy 2 ; 12 xy

d) xy 2 ; 12 xy e) xy ; 2 xy

14) A função xxf 2log)( é:

a) exponencial b) crescente c) decrescente d) quadrática e) linear 15) Responda esta questão com base no gráfico abaixo: A função

xxf alog)( 0( a e )1a

a) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (1,0) b) é sempre crescente c) a > 1 d) 0< a < 1

e) )Im( f


16) O gráfico abaixo mostra o comportamento da função logarítmica na base a . Então o valor de a é:

a) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2 17) O gráfico abaixo representa a função:

a) xxf 2)(

b) 5

13)( xf

c) xxf 2log)(

d) 1)( 3 xxf

e) nenhuma das respostas anteriores

18) o valor de t, para que o ponto P=(1000,t) pertença ao gráfico de 1log)( 10 xxf , é igual a

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 19) O gráfico acima representa uma função

xxf blog)(

Ache o valor deb :

a) 1/3 b) 3 c) 2 d) ½ e) 2/2

20) Sejam as funções f e g , de , em , definidas por xxf alog)( e

xaxg )( , com 10 a .

Os gráficos cartesianos de f e g :

a) não tem pontos comuns b) têm um único ponto comum, cuja abscissa é menor que 1 c) têm um único ponto comum, cuja abscissa é igual a 1 d) têm um único ponto comum, cuja abscissa é maior que 1 e) têm somente dois pontos comuns

21) Seja xay 1 a função exponencial de base a e xy alog2 , a função logarítmica na base a ,

onde 0a e 1a . Afirma-se o seguinte:

I – y1 e y2 são crescentes para x >1. II – Para x <0, obtêm-se y1>0 e y2<0. III – O domínio de y1 é igual a imagem de y2. É(são) verdadeira(as): a) apenas I b) apenas III c) apenas I e II d) apenas I e III


e) apenas II e III

22) Sexxf 2)( , então )1()3( xfxf é igual a:

a) )(2

15xf

b) 4 c) )(

32

15xf

d) )(

2

3xf

23) Sexxf 2)( , então a propriedade

trtr 22.2 é expressa em notação funcional por

a) )()().( trftfrf

b) )()()().( tfrftfrf

c) )().( trftrf

d) )()().( tfrftrf

e) )().().( tfrftrf

GABARITO

1)a 2)c 3)b 4)e 5)d 6)e

7)e 8)e 9)a 10)c 11)c 12)e

13)d 14)b 15)d 16)d 17)c 18)d

19)d 20)b 21)b 22)a 23)a

INEQUAÇÕES DO 1° GRAU

O estudo das inequações do 1° grau tem como finalidade encontrar os valores da variável x para os

quais a expressão bax é positiva ou negativa. Se você prestar atenção, este assunto tem tudo a ver

com o estudo do sinal de uma função. Ex:

a) 1024 x b) 843 xx c) )2(4)5(3 xx

d) 4

2

3

12

xx

INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

O estudo das inequações de segundo grau tem como finalidade encontrar os valores da variável x

para os quais a expressão cbxax 2 é positiva ou negativa. Este assunto tem a ver com o estudo

do sinal de uma função. Ex:

a) 0342 xx

b) 0452 xx

c) 0)23).(1( 2 xxx

d) 0)34).(2( 2 xxx

e) 09

12

x

x


f) 0232

2

xx

xx

Exercícios:

1) O conjunto solução da inequação x2-3x<10 é:

a) ( , -2) b) (- , -2) (5 , ) c) (-2,5) d) (0,3) e) (3,10)

2) As soluções de x2-2x<0 são valores de x pertencentes ao conjunto:

a) (0,2) b) (- ,0) c) (2, ) d) (- ,0) (2, ) e) (0, )

3) A solução da inequação x 2 x é o intervalo real: a) (- , -1] b) [-1, ) c) [-1, 0] d) [-1, 1] e) [0,1]

4) As soluções reais da desigualdade x2+1>2x são os números x, tais que

a) x 0 b) x 1 c) x>1 d) x 1 e) x<1

5) O intervalo que corresponde à solução da inequação x2-x-2>0 é

a) (-1;2) b) (-2;1) c) (- ;-1) (2; ) d) (- ;2) (1; ) e) (-2;2)

6) O lucro L de uma empresa é dado por L = -x2+8x-7, onde x é a quantidade vendida. O lucro

será positivo se, e somente se: a) 2<x<5 b) x>7 ou x<1 c) 1<x<7 d) 0<x<12 e) x>12

7) A menor solução inteira de x2-2x-35<0 é:

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1

8) A soma dos valores inteiros da solução da inequação x2-8x+7<0 é.

a) 28 b) 27 c) 21 d) 20 e) 10

9) O conjunto solução de x2-4x+4

0 é:

a) { x / x2>0 } b) { x / -2 x 2} c) { 2 }

d) { 4 } e) { x x 2}

10) O conjunto solução da inequação x2

-2x+10 é. a) (0,1) b) { 1 } c) { 2 } d) [ 1 , ) e) (- ,1]

11) Quantos números naturais não nulos pertencem ao conjunto solução de x2-2x+1

0 é. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

12) A soma dos valores inteiros da solução da inequação x2-4x-5<0 é:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14

13) O conjunto solução da inequação ( x2-7x+12) . ( x

2-16)<0 é:

a) (-4,3) b) (- ,3) (4, ) c) [3, ) d) [3,4] e) [4, )

14) Os valores de x que satisfazem a inequação (x2+x+1). (x-5) <0são:


a) [5, ) b) { 5 } c) (1, ) d) (- ,1) e) (- ,5) 15) O conjunto solução da inequação (x+3)(x-2) 0 é:

a) {x 3 x ] b) {x 32 x } c) {x 32 ouxx } d) {x 23 x }

e) {x 32 x }

16) O número de soluções inteiras da inequação (x2+2x+7) (x

2-7x+6) 0 é:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 3

17) Os valores de x que verificam 2

652

x

xx<0 são expressas por:

a) x<3 b) 2<x<3 c) x<2 ou x>3 d) x 2 e) x<3 e x 2 18) O conjunto solução da inequação

322

2

xx

xx0

a) {x 103 exouxx } b) {x 13 ouxx } c) {x 13 x }

d) {x 003 } e) {x 10,3 ouxx }

19) Os valores de x que satisfazem a inequação 127

442

2

xx

xx 0 são:

a) 2 3 x b) 2 4 x c) 3<x<4 d) x<3 e) x<3 ou x>4

20) O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequação 1

2

x<1 é:

a) { 0 } b) { 0;2

1} c) {x 11, x } d) {x 0, x } e) {x x, 1 ou x>3}

21) O conjunto solução 2

2

9

1

x

xx

x3

1 é dado por

a) [-3,3 [ b) ]- ,-2] [2, [ c) ]-3,-2] [2,3[ d) [-2,2] e) [2, [

GABARITO

1)c 2)a 3)e 4)d 5)c 6)c 7)b

8)d 9)c 10)b 11)c 12)b 13)a 14)e

15)d 16)a 17)b 18)d 19)e 20)e 21)c

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA (PA)

É a seqüência de termos em que cada termo a partir do 2° termo é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão. Ex1: A seqüência (1,4,7,10,...) é uma PA de r=3. Ex2: A seqüência (3,1,-1,...) é uma PA de r=-2


CÁLCULO DA RAZÃO

1 nn aar

Ex: Na PA (1,7,13,19,...) a razão é:

FÓRMULA DO TERMO GERAL

nk arkna )(

Exercícios:

1) Calcule o 20° termo da PA (2,6,10,...) 2) Calcule o 13° termo da PA (5,2,-1,...) 3) Calcule o 16° termo da PA (2,7,12,...)

4) Numa Pa de 20 termos onde 1a = 50 e r = -2, os quatro primeiros termos são 1a = 50, 2a = 48, 3a =

46 e 4a = 44. Calcule 20a .

5) Numa PA, o 3° termo é 12 e o 5° termo é 20. Calcule a razão da PA. 6) Numa P.A. de razão 3, cujo 8º termo vale 10, o valor do 15º termo é: 7) Se o 5º termo de uma P.A. é 13 e o 9º termo é 45, pode-se determinar a razão da seguinte forma: 8) Interpole 4 meios aritméticos entre 11 e 26. 9) Numa PA, a soma do 3° termo com o 5° termo é 30 e a soma do 4° termo com o 7° termo é 42. Calcule o 1° termo da PA. 10) Quantos múltiplos de 3 existem entre 14 e 100? 11) A soma de três números em PA é 18 e o maior é o triplo do menor. Calcule o menor dos números. OBS 1:Com exceção dos extremos, qualquer termo é igual à soma do termo anterior com o termo

posterior dividida por 2. OBS 2: Se a PA tiver um número ímpar de termos, esta propriedade é válida para os extremos. Ex1: Na PA (1,3,5,7,...) temos: Ex2: Calcule x, sabendo que x+1, 5x-3 e 2x+7 formam nesta ordem, uma PA. Ex3: Sabendo que x-1, 2x+3 e 4x+4 formam nesta ordem uma PA, determine a razão da PA. EX4: Numa PA, de número ímpar de termos, os extremos são 4 e 28. Calcule o termo médio da PA.

SOMA DOS TERMOS DE UMA (PA)

2

1 naaS n

n

Exercícios:

1) Numa P.A. com 30 termos o primeiro e 12 e o último, 58. Qual o valor da soma de todos

eles? 2) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA (3,6,9,12,...). 3) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2,6,10,14,...).

4) O termo geral de uma PA é 53 nan . Determine a soma dos 40 primeiros termos da PA.


5) Numa PA temos:

35

29

74

63

aa

aa Calcule o primeiro termos desta PA e a soma dos 15 primeiros

termos. 6) A soma dos 80 primeiros números positivos é:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

É a seqüência de termos em que cada termo a partir do 2° termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão. Ex1: A seqüência (1,2,4,8,16,...) é uma PG de razão 2. Ex2: A seqüência (-3,9,-27,81,...) é uma PG de razão -3.

CALCULO DA RAZÃO

1

n

n

a

aq

FÓRMULA DO TERMO GERAL

n

kn

k aqa .

Exercícios: 1) Calcule o 5° termo da PG (4,12,36,...).

2) Calcule 7a da PG de razão 3 e 52 a .

3) Determine a razão da PG onde o 1° termo é 2 e o 4° termo é 250. 4) Dê a razão da PG em que à soma do 2° termo com o 5° termo é 90 e a do 3° com o 6° termo é 180. 5) Interpole 6 meios geométricos entre 1 e 128. 6) Quantos termos tem a PG (5,10,20,...,2560)? 7) A soma de três números em PG de razão 4 é 42. Quais são os números? 8) O produto de três números em PG de razão 2 é 1000. Calcule a soma dos números. 9) O produto dos três primeiros termos de uma PG é 27 e a razão é 4. O termo do meio é: 10) Um produto custa inicialmente 1000 reais e tem seu preço ajustado mensalmente com uma taxa

de 30%. Ao fim de 12 meses, o preço do produto será, em reais. OBS 1: Numa PG, com exceção dos extremos, qualquer termo ao quadrado é igual ao produto do

termo anterior pelo termo posterior. OBS 2: Numa PG de número ímpar de termos, o termo médio é igual ao produto dos extremos, ou igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Ex1: Calcule x para que x-1, x+1, x+7 formem, nesta ordem, uma PG. EX2: Numa PG de número ímpar de termos, o termo médio é igual a 9. Calcule o produto dos extremos dessa PG.


SOMA DOS TERMOS DE UMA (PG)

1

)1(1

q

qaS

n

n

Exercícios:

1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da PG (2,4,8,16,...): 2) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (1,3,9,27,...). 3) Numa PG, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da

PG.

SOMA DOS TERMOS DE UMA (PG) INFINITA

q

aSn

1

1

Exercícios:

1) Calcular a soma dos termos da PG

,...

5

1,1,5 :

2) Resolva a equação em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma PG infinita:

320...204080 xxx .

3) Calcule x na equação: 60...164

xx

x .

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA (PG)

2

)1(

1 .

nnn

n qaP

Exercícios:

1) Calcule o produto dos 9 primeiros termos da PG (-2,-4,-8,...). a) 512.236 b) 256.232

c) 512.233 d) 256.220 e) 512.230

2) O 10° termo da PA

,...

2

3,

aa , é igual a:

a) 2

11a b)

2

9a c)

2

7a

d) 2

13a e)

2

15a

3) Numa PA, o 2° termo é 5 e o 6° termo é 17. A razão da PA é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4) Sabendo que numa PA, o 4° termo é 8 e o 10° termo é 50, o valor do 13° termo é:


a) 51 b) 31 c) 20 d) 42 e) 71 5) A razão para inserir 7 meios aritméticos entre 3 e 99 é: a) 16 b) 12 c) 8 d) 17 e) n.d.r

6) Numa PA temos:

35

29

74

63

aa

aa. O primeiro termo da PA é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 7) A quantidade de múltiplos de 5 existentes entre 8 e 101 é: a) 17 b) 18 c)19 d) 20 e) 21 8) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é: a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 157 9) A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000 que são divisíveis por 3 e 7, é: a) 138 b) 238 c) 137 d) 247 e) 157 10) Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética. Se o menor deles mede a metade do maior, então o maior mede: a) 80° b) 90° c) 100° d) 60° e) 120° 11) A soma de três números em PA é 12 e o produto é 28. O maior dos números é: a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 12) O perímetro de um triângulo retângulo é 48cm e os seus lados estão em PA. A área do triângulo, em cm2, é igual a: a) 108 b) 96 c) 64 d) 54 e) 48 13) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. O perímetro do triângulo é: a) 36 b) 27 c) 24 d) 22 e) 18 14) O valor de a na PA (2a, 4a+2, 8a+6) é: a) -1 b) 1 c) -3 d) 3 e) 6 15) Os três primeiros termos de uma seqüência aritmética estão representados por (2x+5, x-4, 3x-1). O valor da razão dessa seqüência é: a) -3 b) -2 c) 3 d) 2 e) -5 16) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x, x2-5 e estão em PA, nesta ordem. O perímetro do triângulo é: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33

17) O termo geral de uma progressão é 35 nan . A soma dos 15 primeiros termos é:

a) 72 b) 375 c) 555 d) 615 e) 1080 18) A soma dos múltiplos de 3, entre 25 e 98 é: a) 1053 b) 1403 c) 1476 d) 1538 e) 1668 19) A soma dos 80 primeiros números ímpares positivos é: a) 3240 b) 6400 c) 1476 d) 1538 e) 1668 20) A soma dos 100 primeiros números pares positivos é: a) 5050 b) 5100 c) 6360 d) 10050 e) 10100 21) Em uma progressão aritmética, a soma dos termos é 70, o primeiro termo é 10 e a razão é 5. O número de termos é: a) 10 b) 8 c) 4 d) 12 e) 16


22) A soma dos n primeiros termos de uma PA é nn 22 . O 10° termo dessa PA vale:

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

23) A soma dos n primeiros termos de uma PA é nnSn 32 2 . O 21° termo dessa PA é:

a) 70 b) 79 c) 47 d) 84 e) 100

24) A soma dos n primeiros de uma progressão aritmética é dada por nnSn 53 2 . A razão dessa

progressão aritmética é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 25) Em uma rodovia muito movimentada, havia 2 telefones instalados nos quilômetros de número 2 e 50. A população conseguiu 11 novos telefones para serem instalados, a igual espaçamento um do outro, entre aqueles dois existentes. Assim sendo, a distância entre cada telefone deverá ser de: a) 3 km b) 4 km c) 4,8 km d) 5 km e) 5,2 km 26) Calcular o valor de “X”, sabendo-se que, nesta ordem, x+2, 2x+6, e 4x+8, formam uma progressão aritmética. a) 5 b) 3 c) 2 d) 12 e) nenhuma 27) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se o perímetro deste triângulo mede 3cm, a medida da hipotenusa, em cm, é igual a: a) 0,75 b) 1 c) 1,25 d) 1,75 e) 2,25 28) Vinte pessoas se reúnem para doar uma certa quantia para uma instituição. A primeira pessoa oferece 350 reais e cada uma das seguintes da 50 reais a mais que a anterior. Qual a quantia total doada, em reais: a) 1200 b) 1350 c) 16500 d) 13000 e) 14000 29) Numa campanha promocional de venda de veículos, uma concessionária propôs a seguinte condição para um automóvel de tipo popular: R$ 3500,00 de entrada mais 36 parcelas. A primeira é de R$ 436,00 e a cada uma das demais parcelas sofre um abatimento de R$ 5,00. O valor total do caro é: a) R$ 15516,00 b) R$ 12546,00 c) R$ 13849,00 d) R$ 16046,00 e) R$ 19016,00 30) Numa progressão aritmética crescente, os dois primeiros termos são as raízes da equação x2+2x-8=0. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao triplo da sua razão, então a soma dos termos dessa PA é igual a: a) -378 b) -282 c) 98 d) 294 e) 846 31) A soma dos cinqüenta primeiros múltiplos de 3, maiores que 100, é: a) 8725 b) 33.52.13 c) 8675 d) 32.53.13 e) (3.5.13)2 32) A soma dos termos de uma PA cujo primeiro termo é 4, o último é 46 e a razão é igual ao número de termos é: a) 50 b) 100 c) 150 d) 175 e) 200 33) O primeiro termo de uma progressão aritmética é -10 e a soma dos 8 primeiros termos, 60. A razão é: a) -15/7 b) 15/7 c) 5 d) 28 e) 35 34) Numa progressão aritmética de 7 termos, o ultimo termo é igual ao dobro da razão e a soma de todos eles é 28. Determine a razão. a) 14/12 b) 0,5 c) -14/11 d) -2 e) -4


35) Um oficial comanda 325 soldados e quer formá-los em disposição triangular, de modo que a primeira fila tenha 1 soldado, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante. O número de filas assim constituídas será: a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 28 36) Um nadador treinando para as olimpíadas decidiu nadar 200 metros no 1° dia de treino e, a cada dia, aumentar 50 metros em relação à distância anterior. Prosseguindo assim e acumulando as distâncias nadadas a cada dia, o nadador totalizou 3000m de nado em: a) 8 b) 15 c) 7 d) 16 e) 50 37) Uma criança consumiu no 1° mês de vida, 2 latas de leite em pó; no segundo mês a quantia de 3 latas; no terceiro mês a quantia de 4 latas e assim sucessivamente, até consumir a quantia de 119 latas. Esse consumo ocorreu em: a) 13 meses b) 14 meses c) 15 meses d) 16 meses e) 17 meses 38) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. O valor de n é: a) 11 b) 16 c) 26 d) 54 e) 66 39) Os concorrentes de uma prova de atletismo organizada pela academia do professor Zacarias, foram distribuídos de forma que aparecia 1 na primeira fila, e, em cada fila seguinte, 2 a mais que na anterior, totalizando 324 atletas. O número de atletas da penúltima fila foi de: a) 27 b) 31 c) 33 d) 35 e) 39

40) Para todo Nn a soma dos n primeiros termos de uma PA é nn 23 2 . A razão é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

41) A soma dos n primeiros de uma PA é dado por nnSn 2. O termo geral dessa PA é:

a) n b) 3n c) 2n+1 d) 2n e) 2n-1 42) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou uma coleção de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura abaixo. Supondo que o guri conseguiu formar 10”T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) mais de 300 bolitas b) pelo menos 230 bolitas c) menos de 220 bolitas d) exatamente 300 bolitas e) exatamente 41 bolitas 43) Numa PG o 4° termo é 8 e o 7° termo é 64. O 11° termo da PG é: a) 2048 b) 128 c) 256 d) 512 e) 1024 44) Em uma progressão geométrica de razão positiva, o 2° termo é 8 e o 8° termo é 1/8. A soma dos dois primeiros termos é: a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 45) O primeiro termo de uma PG em que a3=1 e a5=9 é: a) 1/9 b) 1/3 c) 1/27 d) 1 e) 0


46) Um produto custa inicialmente 1000 reais e tem seu preço reajustado mensalmente com uma taxa de 30%. Ao fim de 12 meses, o preço do produto será, em reais: a) 1000.(1,3)12 b) 1000.(0,3)12 c) 1000.(30)k d) 1000.312 e) 100.(1,3)12 47) A cada ano que passa, um capital de 400 reais aumenta 10% em relação ao seu valor no ano anterior. O valor do montante após 5 anos será: a) 400.(1,1)4 b) 400.(1,1)5 c) 400.(1,1)3 d) 400.(0,1)5 e) 400.105 48) Uma empresa produziu inicialmente 100.000 unidades de um produto. O aumento anual de produção da empresa é de 20%. Quantas unidades deste produto deverá produzir após 4 anos? a) 100.000(0,2)4 b) 100.000(1,2)3 c) 100.000(1,2)4 d) 100.000(1,2)5 e) 100.000(0,2)3 49) O crescimento anual das vendas de computadores de uma fábrica é de 20%. Supondo que A represente o número de computadores vendidos no ano de 2005 e que o crescimento anual se mantenha o mesmo, o número de computadores que a fábrica venderá no ano 2008 é dado pela expressão: a) 3,6ª b) (0,2)3ª c) (0,2A)3 d) (1,2)3ª e) (1,2A)3 50) Durante um ano certo produto tem seu preço reajustado 15% ao mês. Os preços mensais do produto formam uma progressão: a) aritmética com razão 15 b) aritmética com razão 1,15 c) geométrica com razão 115 d) geométrica com razão 15 e) geométrica com razão 1,15 51) Se cada ratazana de uma colônia gera três ratas, então o número de ratas da 7ª geração que serão descendentes de uma única ratazana é: a) 6561 b) 2187 c) 729 d) 243 e) 21 52) A dívida de uma pessoa dobra a cada três meses. Se a dívida está acumulada hoje em 1200 reais, há seis meses a dívida era de: a) 75 reais b) 150 reais c) 300 reais d) 450 reais e) 600 reais 53) Numa progressão geométrica crescente de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros termos vale 1, e a soma dos 2 últimos vale 9. A razão da progressão é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 54) Numa PG de razão 3, o primeiro termo é 8. O termo que vale 648 é o: a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8° 55) Considere esta progressão geométrica: 3; 0,3; 0,03; 0,003;...... Os logarítmos decimais de cada um desses números, na ordem em que estão dispostos formam uma: a) PG de razão 0,01 b) PG de razão 0,1 c) PA de razão 0,1 d) PA de razão -1 e) PG de razão -1 56) Se o número 111 for dividido em três partes que constituem uma PG de razão ¾, a menor dessas partes será: a) 12 b) 16 c) 18 d) 21 e) 27 57) O produto de 3 números em PG é 125 e a soma é 31. O maior número é: a) 5 b) 1 c) 25 d) 120 e) 4 58) Os termos x, x+9 e x+45 estão em progressão geométrica, nesta ordem. A razão desta progressão é: a) 45 b) 9 c) 4 d) 3 e) 4/3

59) Os números x, x , 2

1

2x

são nessa ordem, os três primeiros termos de uma PG. Então, o primeiro

termo e o produto dos quatro primeiros termos são, respectivamente:


a) 2

1e

2

1

b) 2

1e

2

1

c)

2

1e 2 d) 2 e

2

1

e) 2 e 2

60) Para que a seqüência (1+x, 4+x, 10+x, y) seja uma PG, o valor de y é: a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 61) Se x e y são positivos e x, xy, 3x estão, nesta ordem, em PG, então o valor de y é:

a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 9

62) Qual o número que devemos somar a 1; 5 e 17, nesta ordem, para obtermos uma PG? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

63) Os números log10x, 2x e x2 estão em progressão geométrica nesta ordem. Sendo Rx , x>0, o

valor de x é: a) 3 b) 4 c) 10 d) 500 e) 1000 64) Uma pessoa compra um automóvel e vai pagá-lo em 7 prestações, de modo que a primeira prestação é de R$ 100,00 e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. O preço do automóvel é, em R$, igual a: a) 6200 b) 25600 c) 4800 d) 12800 e) 12700 65) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais 4 na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto 7 árvores. Pode se afirmar que o número total de árvores desta plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1030 c) maior que 1502 d) igual a 1024 e) igual a 1320 66) A soma dos termos de uma PG (3, 6, 12,..., 384) é: a) 8 b) 765 c) 964 d) 101 e) 114

67) A soma dos termos da seqüência infinita

,...

9,

3,

xxx é:

a) x b) 2x c) 3x d) 3

2x

e)

2

3x

68) O limite da soma

...

8

1

4

1

2

11 +

...

27

1

9

1

3

11 é igual a:

a) + b) 2 c) 3/2 d) 7/2 e) 1 69) Dado um quadrado de lado 2, une-se os pontos médios dos lados, obtendo um novo quadrado. Após, une-se os pontos médios deste novo quadrado, obtendo-se um outro quadrado, e assim sucessivamente. A soma das áreas dos infinitos quadrados assim obtidos é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 48 70) Considere um quadrado de lado a. pelos pontos médios de dois dos seus lados não paralelos, construa um novo quadrado, orientado pela figura abaixo. Nesse novo quadrado, repita o processo e assim proceda sucessivamente. A soma das áreas de todos os quadrados é:

a) 22a

b) 3

4 2a

c) 3

7 2a

d)

3

3 2a

e)

24a


71) O limite do produto ...2.2.2.2 1684 é igual a:

a) 2 b) 2 c) 3 d) 2

1

e) 1

72) Se 0x e 1x então a expressão:

...2log

1

2log

1

2log

1

2log

1842

xxxx

y

É equivalente a:

a) x2log2 b) x2log2

3

c)

x2log

4

d) x2log

1

e) x2log2

5


18...42

xx

x é:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18 74) O valor de a , que satisfaz a equação

30...2793

3 aaa

a) 18 b) 27 c) 30 d) 54 e) impossível de ser calculado

75) Numa PG decrescente ilimitada, o primeiro termo é 5 e a soma é 4

25. O segundo termo da

progressão é: a) ½ b) 3/2 c) 2/5 d) 3 e) 6 76) Uma tabela tem 5 valores. Observa-se que com exceção do primeiro, cada valor é 2/3 do valor numérico anterior. Se a soma total dos valores é 211, o primeiro valor da tabela é: a) 81 b) 87 c) 90 d) 93 e) 99

77) A soma dos infinitos termos da progressão geométrica

,...

3,,3x

xx é -5. o primeiro termo dessa

PG é: a) 3 b) -1/3 c) -10/3 d) -10/9 e) 10/3 78) Numa progressão geométrica crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem respectivamente às raízes da equação x2 – 51x + 144 = 0. o valor do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é: a) 12 b) 24 c) 28 d) 36 e) 42 79) O preço de um carro é R$ 5000,00. A cada ano que passa o preço do carro deprecia 8%. O preço do carro após 4 anos é: a) 5000(0,92)3 b) 5000(0,92)5 c) 5000(0,92)4 d) 5000(1,08)4 e) 5000(0,08)4 80) No triângulo proposto abaixo, M1, M2, M3,... são os pontos médios dos seguimentos AC, M1C, M2C,..., respectivamente, e N1, N2, N3,... são os pontos médios dos seguimentos BC, N1C, N2C,..., respectivamente. Continuando indefinidamente esse processo de obter segmentos e sabendo que AB mede 1, a soma das medidas dos segmentos M1N1, M2N2,... é: a) 8/3 b) 4 c) 2 d) 1


e) 1/2

GABARITO

1)a 2)a 3)c 4)e 5)b 6)c

7)c 8)d 9)b 10)a 11)c 12)b

13)a 14)a 15)e 16)d 17)c 18)c

19)b 20)e 21)c 22)e 23)b 24)a

25)b 26)c 27)c 28)c 29)d 30)e

31)b 32)d 33)c 34)e 35)c 36)a

37)b 38)a 39)c 40)e 41)d 42)b

43)e 44)a 45)a 46)a 47)b 48)c

49)d 50)e 51)b 52)c 53)c 54)b

55)d 56)e 57)c 58)c 59)b 60)a

61)b 62)a 63)e 64)e 65)b 66)b

67)e 68)d 69)c 70)b 71)b 72)a

73)c 74)d 75)d 76)a 77)c 78)e

79)c 80)d

MATEMÁTICA FINANCEIRA Taxas de acréscimo

São utilizados para majoração de preços de bens ou serviços, para determinação de preços de venda a partir de preços de custo e numa série de outras ocasiões.

Para encontrar o valor da taxa de acréscimo, do valor inicial do produto ou o valor final, utiliza-se regra de três. Exemplos: 1. Qual foi o acréscimo sofrido por um produto cujo valor inicial era de R$175,00 e passou a custar R$ 220,00? 2. As exportações de vinhos brasileiros cresceram 37,4% no último ano. Se o total de vendas foi de R$175 milhões, qual foi o valor no inicio do período? Acréscimos simultâneos

São acréscimos (dois ou mais) aplicados sobre o mesmo valor inicial, onde a taxa total é a soma das taxas parciais e o valor final ou o inicial é encontrado através de regra de três. Exemplos: 1. Uma fabrica de detergente determina o preço de venda de suas mercadorias calculando, sobre o preço de custo, 22% a título de impostos, 3,5% para comissões, 25% como lucro e 5% para despesas gerais. Qual o preço de custo de uma mercadoria que foi vendida por R$7,45? Acréscimos sucessivos

No caso dos acréscimos sucessivos, cada um deles incide sobre o valor resultante do acréscimo anterior (isto é, a cada aplicação de taxa se altera a base de cálculo do acréscimo).

Exemplos: 1. Em janeiro Fernando ganhava um salário de R$ 600,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi aumentado em 5%, 8% e 4%, respectivamente. Quantos reais Fernando passou a ganhar em abril? 2. Se os preços aumentam 20% ao mês, qual a porcentagem de aumento em 2 meses?


3. Quanto é 20% de 70%? Descontos

Os descontos, também designados por abatimentos, são operações freqüentes no nosso dia-a-dia,

como exemplo, as compras de mercadorias em liquidação. Exemplo: 1. Numa revenda de automóveis foi concedido um desconto de 12% nos automóveis zero Km que custava R$14.999.00. O preço a ser pago pelo automóvel é de? Descontos simultâneos

São descontos (dois ou mais) são aplicados sobre o mesmo valor inicial. Exemplo: 1. Qual é o salário líquido de um operário cujo salário bruto é de R$600,00, após serem descontados de seu salário bruto, 11% de INSS, 5,5% para Fundo de Pensão e 12% para o plano de assistência médica. Qual o percentual X de desconto para o plano de assistência médica? Descontos sucessivos

No caso dos descontos sucessivos, cada um deles incide sobre o valor resultante do desconto anterior (isto é, a cada aplicação de taxa se reduz a base de cálculo do desconto). Exemplos: 1. A cada ano que passa, o valor de um carro usado diminui 15% em relação ao seu preço original. Se um carro zero quilômetro custa R$ 12000,00, qual será seu valor daqui a 2 anos? 2. Num bingo beneficente, o valor arrecadado foi de R$3.400,00. Desse valor, R$1.200,00 foi pago para o conjunto musical, e 15 % do valor restante foi de despesas. Qual o valor total descontado da entidade beneficente? MATEMÁTICA FINANCEIRA

A Matemática Financeira é a ciência que estuda as várias formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem assim analisa, compara e decide a melhor alternativa para a aplicação/obtenção de recursos financeiros. Juros (J) Sempre que alguém emprega certos recursos, espera por parte destes, algum rendimento, ou seja, uma diferença positiva entre o montante readquirido e a quantia inicialmente investida, a qual chamamos de juros, isto é, remuneração do capital empregado em atividades produtivas. Alguns fatores que ocasionam juros são; Inflação – a diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido. Risco – existe sempre a possibilidade do investimento não ocorrer às expectativas. Os investidores assumem esta situação ao receber uma determinada remuneração. Oportunidade – os recursos são limitados, por isso, quando se opta por um investimento, perde-se a oportunidade de ganhar em outros. É preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório. Utilidade – investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada. Capital (C) É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.


Taxa de Juros (i)

É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ji

P

Exemplo: C = 100 J=50 i=50/100=0,5 ou 50% obs.: A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. Taxa de Juros unitária

A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira para conseguirmos a taxa unitária a partir da percentual, basta dividirmos a taxa percentual por 100. Montante (M)

Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Exemplo: C = 100 J= 50 M = 150 Regimes de Capitalização

Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com dois regimes de capitalização de juros: - capitalização simples; - capitalização composta. Capitalização Simples

Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere à taxa de juros. Capitalização Composta Os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-se os dois regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto. Salvo aviso contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente. Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.


A representação gráfica de uma empresa, do fluxo de caixa é o ponto de partida para a resolução de qualquer problema de Matemática Financeira, na medida em que possibilita a correta interpretação, com a visualização de todos os elementos necessários para o perfeito atendimento de uma situação. Por usa utilidade, enfatizamos que o uso do diagrama do fluxo de caixa deve ser exercitado desde o início do estudo de Matemática Financeira. eixo horizontal: contado o tempo eixo horizontal: pagamentos e recebimentos setas para cima: entradas de dinheiro setas para baixo: saídas de dinheiro

O fluxo acima indica o seguinte: · Foi feito um empréstimo (entrada de dinheiro) no valor de R$ 10.000,00, após 3 períodos foram pagos R$ 10.612,08 (saída de dinheiro), que representa capital mais juro, a taxa deste empréstimo foi de 2 %.

O ponto de vista representado foi o de quem pegou dinheiro emprestado, do ponto de vista de quem emprestou, teríamos o seguinte:

O que não mudaria o resultado, pois a taxa é a mesma para quem emprestou como para quem pegou emprestado. O importante é que as setas (fluxos de entrada e saída de capital) sejam respeitadas, usaremos a seguinte convenção: Contagem de dias A contagem de dias, na matemática financeira é óbvio, diz respeito ao tempo decorrido ou a fluir e ele poderá considerar os dias isoladamente, se superior a trinta dias ou o ano comercial (360 dias) ou o civil (365 dias ou 366 dias se o ano for bissexto), se superior. Naquele os meses são considerados de trinta dias, de maneira uniforme e neste o número de dias é o que o calendário lhes dá. Tempo exato e tempo aproximado Exato: número exato de dias. Aproximado: todos os meses são considerados como tendo 30 dias. Exemplo: De 17/03 a 29/07 aproximado: 4 meses + (29-17) = 120 + 12 = 132 dias exato: 132 + 1 (março) + 1 (maio) = 134 dias Regra do Banqueiro

10.000,0

0

3

0 i = 2 %

10.000,0

0

3

0 i = 2 %

10.612,08

10.612,08


Convenção mundialmente conhecida e praticada no comércio mundial, na qual utiliza-se a contagem exata de dias nos empréstimos, mas considera-se ano comercial ou bancário, ou seja, o ano tem 360 dias. JUROS SIMPLES

Temos um processo de Juros Simples quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois,, sobre os juros acumulados. Nesse regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo.

Simbologia:

C Capital inicial ou valor inicial;

M Montante ou valor final (é obtido através da soma entre o capital inicial e o juro produzido);

J Juros;

i Taxa de aplicação ou taxa de juros (unitária);

t Prazo ou tempo de aplicação. Obs.1: Tempo e taxa de juros precisam estar sempre na mesma unidade de tempo. Obs. 2: A taxa de juros deve sempre estar no seu formato unitário. Fórmulas para o cálculo do Juro Simples e do Montante Exemplos:

1) Aplicou-se a juros simples o capital de R$600,00, a taxa de juros de 4%a.m. Qual o valor acumulado (montante ao final de 2 anos e 5 meses? 2) Ao final de quantos anos um capital aplicado a juros simples a uma taxa de 2% a.a. triplicará? Exercícios

1) Calcule o juro simples por um capital de R$ 2.000,00 investido à: a) 9% a.a. em 8 anos b) 12% a.t. em 4 trimestres c) 18,5% a.m. em 5 meses d) 0,5% a.s. em 4 semestres 2) Encontre o juro simples referente a um capital de R$ 1.500,00 aplicado a uma taxa de juro de: a) 84% a.a. em 340 dias b) 0,3% a.m. em 34 dias c) 22,5% a.a. em 3 meses d) 75% a.a. em 2 meses e 20 dias 3) Um investidor aplica a juro simples R$ 650,00 a 1,6% a.m. por 4 meses. Um segundo investidor aplica, também a juro simples, R$ 800,00 a 1,8% a.m., por 3 meses.

Juros Simples:

J = C . i . t

Montante:

M = C + J

M = C + Cit

M = C ( 1 + i. t)


a) Qual dos 2 investidores recebe mais juros? b) De quanto será a diferença desses juros recebidos? 4) Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 560,00 a 0,7% ao mês, para render R$ 11,76 de juro simples. 5) Determine a taxa de juro simples de um capital de R$ 5.000,00 de modo a produzir um montante de R$ 6.200,00 em 4 meses. 6) Solange colocou certo capital à taxa de juro simples de 1,5% ao mês por 4 meses. Em seguida, ela aplicou o juro simples obtido a 1% ao mês por 2 meses, obtendo nessa última aplicação R$ 12,00 de juro simples. Qual era o capital inicial? Gabarito:

1) a) R$ 1.440,00 b) R$ 960,00 c) R$1.850,00 d) R$ 40,00 2) a) R$ 1.190,00 c) R$ 5,10 c) R$ 84,38 d) R$ 250,00 3) a) O segundo investidor recebe mais juros b) A diferença entre os juros é de R$ 1,60. 4) 3 meses 5) 6% ao mês 6) R$ 10.000,00 JUROS COMPOSTOS

São aqueles em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime a taxa varia exponencialmente em função do tempo. Assim,

Exemplos: 1. Qual o valor do montante de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 3% am, num período de 3 meses? 2. Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00 em regime de juros compostos a 5% am, durante 2 meses. Exercícios:

1. Um investidor aplicou R$500 000,00 a juro composto de 2% am. Quantos reais terá após 5 meses de aplicação? Qual o juro obtido? 2. Um investidor aplicou R$ 14 000,00 a juro composto de 2% ao mês. Quantos reais terá após 8 meses de aplicação? 3. Uma pessoa aplicou R$ 5 000,00, à taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o rendimento for de juro composto? Quantos reais de juro obterá nessa operação? 4. Uma pessoa aplicou R$ 40 000,00 em um banco a juro composto de 16% aa. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? 5. Calcule o montante correspondente a um capital de R$ 100 000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:

a) 240% ao ano. b) 120% ao semestre. c) 60% ao trimestre. d) 20% ao mês.

6. Apliquei R$ 600,00 a juros compostos de 8% ao mês, por 5 meses. Qual o valor dos juros que me serão pagos? 7. Determinado capital foi aplicado a juros compostos por 5 meses à taxa de 4% ao mês, gerando um montante de R$ 3 100,00. Qual seria o montante se a aplicação fosse efetuada por 8 meses?

M = C ( 1 + i) t


8. Para uma aplicação pelo prazo de 3 anos o que é mais vantajoso receber: juros simples de 5% ao mês ou juros compostos de 3% ao mês? R: juros compostos 9. Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano transformou-se em R$ 14 000,00. Qual foi o capital inicialmente aplicado? Gabarito: 1. R$552 000,00 e R$ 52 000,00 2. R$16 408,00 3. R$ 5 795,00 e R$ 795,00 4.R$ 13

824,00 5. a) R$ 340 000,00 b) R$ 484 000,00 c) R$ 655 360,00 d) R$ 891 610,00 6. R$ 281,60 7. R$ 3 487,07 9. R$ 6 052,62. Convenção Linear e Exponencial

Se denominarmos n o número de períodos inteiros em que o capital permanecer aplicado e n1 a

fração de período de aplicação, teremos: C = Capital Aplicado n = número de períodos inteiros

n1= fração de período

M = montante Para encontrar o valor do montante irá depender de como estará regulamentado o período

fracionário n1 . Poderemos encontrar duas situações:

1ª) Não remuneração no período fracionário; 2ª) Remuneração no período fracionário. Quando houver remuneração no período fracionário esta poderá ser a juros simples ou a juros compostos. Se a remuneração for a juros simples temos que se convencionou a chamar de Convenção Linear, se a juros compostos Convenção Exponencial.

Exemplo: 1. Suponhamos que um capital de R$ 18.000,00 esteja aplicado a juros compostos de 7,50% am por três meses e meio. Como o período a que se refere a taxa é o mês e temos um número não inteiro de meses, precisamos adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação como essa. Não remuneração do capital no período fracionário.

O capital só será remunerado após um número inteiro de períodos. Assim teremos:

(1 )nM C i

Remuneração do capital também no período fracionário. Convenção Linear

C

M

n n1

Juros Compostos (sempre)

i n 0

n 2 = n + n 1


A convenção linear é aquela que remunera a juros compostos somente a parte inteira do período considerado e sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Assim:

1(1 ) (1 . )nM C i i n

Convenção Exponencial

A convenção exponencial remunera a juros compostos todo o período de aplicação. Assim:

M = C ( 1 + i)t

Exercícios: 1. Dado um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12%aa, capitalizados anualmente, calcular o montante, pela conversão linear e pela conversão

exponencial. (Considere 1,12 167,3 = 1,4318)

2. Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa de 36% aa, durante dois anos e quatro meses. Qual o valor do montante, considerando-se a convenção linear? 3.Apliquei R$ 80.000,00 por três anos e três meses, à taxa de 60% aa. Quanto resgatarei no final da

aplicação? Considere a convenção exponencial. Despreze os centavos. Considere 1,6 25,3 = 4,6067. 4.Um capital no valor de R$ 25.000,00 foi aplicado por 42 meses à taxa de 30% aa. Calcule,

desprezando os centavos: (Considere 1,3 5,3 = 2,505) a) o valor dos juros, considerando a convenção linear.

b) o valor do montante, considerando a convenção exponencial. Gabarito: 1. R$ 143.302,66 e R$ 143.180,00 2. R$ 103.577,60 3. R$ 368 536,00

4. a) R$ 38.163,00 b) R$ 62.625,00

apostila de matemática inss prof. guilherme

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