matematica e arte: como´ representar textos, sons emcabral/textos/palestra/... · a matematica´...

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b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...

Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...

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Como Compactar Texto?

Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001

abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.

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O que e a Serie de Fourier?

Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:

f (x) =∞∑

j=0

bj cos(jx) +∞∑

j=1

aj sin(jx).

Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.

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Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:

f (x) =∞∑

j=0

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j=1

aj sin(jx).

Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.

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Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:

f (x) =∞∑

j=0

bj cos(jx) +∞∑

j=1

aj sin(jx).

Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.

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Exemplos de Serie de Fourier

Exemplo Onda quadrada.

Exemplo Onda triangular.

Exemplo Animacao.

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Serie de Fourier no computador

No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.

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Serie deFourier

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Resumo

Final

Serie de Fourier no computador

No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.

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Algumas Aplicacoes de Fourier

O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.

Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).

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Final

Como Armazenar Imagem?

Formato bruto (raw format): BMP (BitMap). Exemplobitmap.Problema: Ocupa muito espaco.ASCII esta para texto assim como BMP esta paraimagem.

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Formato JPG

Buscar repeticoes: numa imagem tıpica existe o fundo,de cor unica ou variando pouco.Divida imagem em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.

Exemplo jpg-Castelo: JPG os blocos e os tamanhos(82Kb para 33Kb).

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Formato JPG: mais detalhes

E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.

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Final

Formato Vetorial

Aplicacao de Geometria Analıtica.

xfig: Exemplo circulo-retangulo.

Exemplo Comparar qualidade (ampliar figuras) etamanhos de arquivos pdf (4K) jpg (20k) tif (400k)

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Aplicacao de Geometria Analıtica.

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Curvas de Bezier (splines)

Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.

Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.

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Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.

Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.

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Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.

Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.

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Final

Filmes: formato avi, mp4, mpeg, etc.

Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).

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Filmes: formato avi, mp4, mpeg, etc.

Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).

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Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).

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Resumo de Processamento de Imagens

Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.

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Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.

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Como Armazenar Som?

Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.

Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.

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Como Armazenar Som?

Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.

Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.

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Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.

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Formato MP3

Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.

Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.

Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.

Em filmes, a trilha de audio e MP3.

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Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.

Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.

Em filmes, a trilha de audio e MP3.

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Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.

Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.

Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.

Em filmes, a trilha de audio e MP3.

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Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.

Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.

Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.

Em filmes, a trilha de audio e MP3.

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Efeitos em Som

Exemplo Fade in e Fade out.

Exemplo change pitch (mudando perıodo dadecomposicao espectral).

Exemplo change tempo: mudanca de escala dotempo.

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Formato Proprietario: Perigo!

As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.

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Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes

Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).

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O que e Matematica Aplicada?

Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:

Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.

E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.

Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.

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Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:

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Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:

Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.

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Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.

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Matematica Aplicada e o Ensino

Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:

Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.

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Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.

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