lÓgica proposicional
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Lógica Proposicional
Semântica
Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu
significado Existe um mundo sintático e um mundo
semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas
(consideradas apenas como concatenções de símbolos)
Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre
um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências
[Gaiarsa]
Semântica
P (símbolo sintático) representa“Está chovendo”
Q representa“A rua está molhada”
Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?
Interpretação Depende das condições climáticas e se
a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q
I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q])
A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quandoI[P]=T e I[Q]= T
Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q,
I[P^Q]=F
Interpretação Função binária – só possui em sua imagem 2
elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional,
é uma função binária t;l que: O domínio de I é o conjunto de fórmulas
proposicionais A imagem é o conjunto {T,F} O valor da interpretação I, tendo como argumentos
os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F
Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T,F}
Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma
interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo
proposicional, I[E]=I[P] Se E=true, então I[E]=I[true] =T, e
se E=false, então I[E]=I[false]=F Se H é uma fórmula e E=H, então
I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T
Interpretação de fórmulas (cont.)
Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]=I[G]
Tabelas-verdade
Tabelas verdade associada a conectivos
Tabelas verdade associada a fórmulas Como fazer para obter a tabela verdade
associada à fórmula H=((P)vQ)(Q^P)? Colunas intermediárias: P,Q,P, PvQ e
Q^P
Semântica da implicação Olhando a tabela
verdade de HG
H G HG-----------------T T TT F FF T TF F F
I[HG]=T se I[H]=T e I[G]=T I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F I[HG]=T se I[H]=F,
independente de G
Se está chovendo, então a rua está molhada.
(P (P v Q))
Causalidade e Implicação Não há relação entre causalidade e
implicação Q = “o sol é redondo” P = “Maluf é honesto”
I[PQ]=T, sem relação de causalidade, pois I[Q]=T
R = “é possível 2 objetos ocuparem o mesmo lugar no espaço”
S = “a lua é redonda” I[RS]=T
Interpretação de uma fórmula
Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[S]=T
Qual a interpretação de H ? Fazer tabela verdade (de uma linha
)
Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = =((P)^Q)(RvP) e
H=(falseP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F I[H]=? J[H]=? I[P true]=? J[P true]=?
Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia
(ou é válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T
H é factível ou satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H]=T
H é contraditória se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F
Propriedades semânticas básicas (cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G,HG se e somente se para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T
Dadas H e G,HG se e somente se para toda interpretação I, I[H]=I[G]
Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T
Propriedades semânticas básicas (cont.)
Um conjunto de fórmulas ={H1,H2,...Hn} é satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H1]= I[H2]= ... = I[Hn]= T I satisfaz o conjunto de fórmulas , ou
I[]=T Toda I satisfaz o conjunto de fórmulas
vazio
Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia,
pois toda I[H]=T I[H]=T I[PvP]=T
I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F
aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”) Como I é uma função binária com
imagem {T,F}, então I[P]=T e/ou I[P]=F é verdade e I[H]=T.
Exemplo de Satisfatibilidade
A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.
H é tautologia? Por quê?
Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista
I[H]=T
I[H]=T I[P^P]=T I[P]=T e I[P]=T
I[P]=T e I[P]=F
Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos valores, i.e. I[P]=T ou I[P]=F. Então
I[P]=T e I[P]=F é falsa, e portanto I[H]=T também é falsa.
Exercícios
Quais das fórmulas abaixo são válidas, satisfazíveis ou contraditórias?
H1=P1^P2^QQ H2=P1^P2^QQ H3=(PvP)(Q^Q)
Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ)
E G? E H? H G? H E? G H?
Exercício
Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G
Se H=F, G=?
Equivalência
Exemplo (Lei de Morgan)H=(P^Q) e G=(PvQ)
Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G]
Casos I[H]=T e I[H]=F
(P^Q) (PvQ) ? Caso I[H]=TI[H]=T I[P^Q]=T I[P]=T e I[Q]=T I[P]=F e I[Q]=F I[PvQ]=F I[(PvQ)]=T I[G]=T I[H]=T I[H]=I[G]
Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas
verdade das 2 fórmulas
Exemplos de Satisfatibilidade e Insatisfatibilidade
Qual(is) conjunto(s) são (in)satisfazíveis: H1=P, H2=P e H3=Q E=(P Q), H=(Q R) e G=(R P)
Relações entre as Propriedades Semânticas
Validade e factibilidade H é válida H é contraditória H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível H é
contraditória
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G, H implica G (H G) é tautologia H equivale a G (H G) é tautologia
Provar que (H G) e (G H) Transitividade da equivalência
E H e H G E G
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)
Satisfabilidade e factibilidade Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de
fórmulas {H1,H2,...Hn} é satisfatível
{H1^H2^...^Hn} é satisfatível
Equivalências
aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e quer dizer “se … então …”
Cuidado: Há uma diferença entre eles: H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (1) H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (2)
Equivalência e Validade H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (1)é dividida em 2 implicações:
H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2)e H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)
Contra-exemplo de Equivalência e Validade
H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)
H=P e G=Q, que não são equivalentes “H equivale a G” é falsa
No entanto, o antecedente é verdadeiro H e G não são tautologias
(Falso Falso) Falso Verdadeiro Falso, o que é falso
Proposição 1 –Equivalência e Validade H equivale a G
H é tautologia G é tautologia} (2)
Prova do tipo prop3 prop2 e
prop2 prop1
Passos: prop2,
prop2 prop1 [1] prop3,
prop3 prop2 [2] Portanto,
prop3, [3] prop3 prop2, prop2 prop1
Proposição 2 – Implicação e Validade H equivale a G H é tautologia G é tautologia}(4) Porque isso equivale a
G equivale a H G é tautologia H é tautologia} (5) Portanto,
H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2) E prop2 prop1
Implicação e Validade (cont.)
Se H é tautologia G é tautologia}(4) eG é tautologia H é tautologia} (5) então
H é tautologia G é tautologia} (2) E portanto,
H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2)
Lema (implicação) (A (B C)) equivale a ((A^B) C)
Olhar tabelas verdade H equivale a G H é tautologia G é tautologia}(4)
é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a
{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}
prop3 prop2
Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é
tautologia} Supondo {H implica G} e {H é tautologia} Para {G é tautologia} ser verdade, então{G é tautologia} toda I[G]=T
Proposição 3 – Implicação e Validade (cont.)
{G é tautologia} toda I[G]=T Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T Como {H implica G}, então toda
I[G]=T {G é tautologia} prop3 prop2
prop2 prop1
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