lógica matemática 2011

Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e

Ms. Luiz

Lógica Matemática

LOMA – 40 tempos

36 – Aulas

2 – Prova

2 – Exame

Ms. Luiz

Avaliação

• 1 prova dissertativa, com peso 8

• Exercícios Avaliatórios, com peso 2

• Exame

• Segunda Época

Ms. Luiz

Bibliografia

Básica

• Introdução á Lógica Matemática– Editora CENGAGE

– Carlos A. F. Bispo, Luiz B. Castanheira e Oswaldo Mello S. Filho

Complementar

• Introdução à Lógica 3a ed., Irvin M. Copi.

• Lógica, Ed. MAKRON Books – John Nolt e Dennis Rohatyn.

• Introdução à Lógica, Editora UNESP – Cezar A. Mortari.

Ms. Luiz

Unidades

• Calculo Proposicional– Proposição

– Tabela Verdade

– Classificação das proposições

– Tautologias

– Dedução Formal

• Cálculo de predicados– Funções Proposicionais

– Quantificadores

– Argumentos Quantificados

Ms. Luiz

O que é a Lógica Matemática?

Estudo da validade das formas de

argumentos.

Dedutiva

Ms. Luiz

Lógica Formal

Período Grego (IV a.C. – XIX)

Sistemas de Regras

Período Booleano (XIX – XX)

Conjunto de Leis

Período Contemporâneo (XX – XXI)

Estrutura Linguística

Ms. Luiz

Alguns Lógicos• Aristóteles (384-322 a. C.)

• Abelardo (1079 -1142)

• Ockham (1285 -1347)

• Leibniz (1646 -1716)

• De Morgan (1806 -1871)

• Boole (1815 -1864)

• Frege (1848 -1925)

• Whitehead (1861 -1947)

• Russell (1872 -1970)

• Brouwer (1881 -1966)

• Lewis (1883 -1964)

• £ukasiewicz (1878 -1956)

• Tarski (1902 -1983)

• Ramsey (1903 -1930)

• Church (1903 -1995)

• Gödel (1906 -1978)

• Rosser (1907 -1989)

• Herbrand (1908 -1931)

• Kleene (1909 -1994)

• Turing (1912 -1954)

• Robinson (1918 -1974)

Ms. Luiz

SINOPSE DAS VÁRIAS LÓGICAS

Clássica

Cálculo de predicados de primeira

ordem• Teoria de Conjuntos

• Teoria de Tipos

• Teoria de Categorias como Fundamento da

Matemática

Ms. Luiz

Não ClássicaComplementares da Clássica

• Epistêmica Clássica

Lógica da Crença

Lógica do Conhecimento• Modal Clássica

• Clássica de Ação, etc.

• Intencionais Clássicas

• Indutiva Clássica, etc.

Ms. Luiz

HeterodoxasParacompletas

Paraconsitentes

Não Aléticas

Quânticas

Relevantes

Modais Paraconsistentes

Epistêmicas Paracompletas

Indutivas Paraconsistentes

Ms. Luiz

Cálculo Proposicional

Estuda as condições de validade de

formas de argumento mostradas na

linguagem proposicional.

Na linguagem proposicional temos

símbolos, regras de formação e regras

de dedução.

Ms. Luiz

Proposição

Sentença declarativa que assume

um dos dois valores-verdade: verdade

(V) e falsidade (F).

Ms. Luiz

Exemplos de Proposição

• sen 90O = 1

• Júpiter está a 100 km da Terra.

• Os suíços fabricam os melhoresrelógios, e os franceses o melhorvinho.

Ms. Luiz

Contra-exemplos de Proposição

• Venha aqui!

• Atenção sala!

• Não corra tão rápido!

• Quantas vezes terei que repetir isso?

Ms. Luiz

Princípios da Lógica Clássica

• Identidade

“Toda proposição é idêntica a si mesma.”

• Não Contradição

“Uma proposição não pode ser verdadeira

e falsa ao mesmo tempo.”

• Terceiro Excluído

“Toda proposição ou é verdadeira

ou é falsa, não existindo um terceiro

valor que ela possa assumir.”

Ms. Luiz

Formalização

A formalização consiste emconverter um conjunto de proposiçõesinterligadas para uma estruturacomposta de letras proposicionais,conectivos lógicos e símbolos depontuação.

Ms. Luiz

Letras Proposicionais

• A, B, C,...

• a, b, c,...

• P1, P2, P3, ...

• p1, p2, p3, ...

Ms. Luiz

Conectivos Proposicionais

Conectam duas proposições

• Negação não

• Conjunção e

• Disjunção ou

• Condicional se..., então

• Bicondicional se, e somente se,

Ms. Luiz

Símbolos de Pontuação

• Parênteses ( )

Ms. Luiz

Proposição Simples e Composta

simples se, e somente se, contém uma

única afirmação.

composta quando for constituída por

uma seqüência finita de pelo menos

duas proposições simples.

Ms. Luiz

Exemplos

• Simples

Joaquim faltou ao paradão.

• Composta

Joaquim faltou ao paradão e foi punido.

Ms. Luiz

Conjunção

Combinação de duas proposições

ligadas pela palavra

substituída pelo símbolo

“”

Ms. Luiz

Exemplo da Conjunção

Maria foi ao cinema e Marta ao teatro.

Tradução:

C: Maria foi ao cinema.

T: Marta foi ao teatro.

Simbolicamente

Ms. Luiz

Disjunção

Combinação de duas proposições

ligadas pela palavra

substituída pelo símbolo

“”

Ms. Luiz

Exemplo da Disjunção

José será jogador de futebol ou

cursará medicina.

Tradução

F: José será jogador de futebol.

M: cursará Medicina.

Simbolicamente

Ms. Luiz

Condicional

Duas proposições formam uma

condicional quando for possível

colocá-las na forma:

Se antecedente, então conseqüente

Simbolicamente

Ms. Luiz

Exemplo de Condicional

Se dormir na aula, então serei punido.

Tradução

D: dormir na aula

P: serei punido

Simbolicamente

Ms. Luiz

Bicondicional

Proposição que pode ser colocado na forma:

A se, e somente se, B

Simbolicamente

pode ser entendida como uma

conjunção de dois condicionais

AB e BC

Ms. Luiz

Exemplo de bicondicional

“Só haverá diminuição da violência se a

educação for prioridade.”

Tradução

V: Haverá diminuição da violência.

E: A educação é prioridade governamental.

Simbolicamente

Ms. Luiz

Negação

Não liga duas proposições, simplesmente, nega a afirmação da

proposição que o precede.

Simbolicamente

Ms. Luiz

Exemplos de Negação

“Alfredo não gosta de marchar”.

Tradução

M: Alfredo gosta de marchar.

“A estabilidade não gera desemprego”.

Tradução

E: A estabilidade gera desemprego.

Ms. Luiz

Fórmula Bem Formada - fbf

Seqüência qualquer de elementos do

vocabulário do cálculo proposicional

constitui uma fórmula.

Nem toda fórmula é aceitável para o

cálculo proposicional.

Uma fórmula aceitável para o cálculo

proposicional é fórmula bem formada.

Ms. Luiz

Regras de Formação

• Uma letra proposicional é uma fbf.

• Se P é uma fbf, então P também é.

• Se P e Q são fbfs, então também são:

Ms. Luiz

Regras de Pontuação

Cada parêntese aberto “(”

deve ser fechado “)”

sendo que os internos à expressão

precedem aos mais externos.

Ms. Luiz

Prioridade dos Conectivos

Quando houver ambigüidade

parênteses devem ser colocados.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Tabela Verdade

• Dispositivo onde figuram as possíveis combinaçõesdos valores-verdade das proposições.

• O valor verdade único de uma proposição é obtido apartir dos valores verdade de suas proposiçõessimples.

• A atribuição de um valor-verdade para umaproposição simples é semântico.

• Número de linhas 2n, onde n é o número deproposições simples.

• Número de colunas n+p, onde p é o número deconectivos.

Ms. Luiz

Valores da Tabela Verdade

Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional

p q p q p q p q p q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Ms. Luiz

Valores da Tabela Verdade

Negação

Ms. Luiz

Critérios para o Valor-Verdade

O valor-verdade de uma

proposição composta depende

unicamente

do valor lógico de suas

proposições simples.

Ms. Luiz

Conjunção ()

Uma conjunção tem seu valor

lógico (V) se, e somente se, as duas

proposições que a compõem forem

verdadeiras (V)

Ms. Luiz

Disjunção ()

Uma disjunção tem valor-verdade (F)

se, e somente se, ambas proposições

que a compõem são falsas (F)

Ms. Luiz

Condicional ()

Uma proposição condicional é

falsa (F) se, e somente se,

a proposição antecedente for

verdadeira (V) e a consequente

for falsa (F).

Ms. Luiz

Bicondicional ()

Uma proposição bicondicional

tem valor verdade (V) se, e somente se,

as duas proposições que a compõem

tiverem o mesmo valor-verdade.

Ms. Luiz

Negação ()

A negação de uma proposição

verdadeira (V) é uma proposição

falsa (F) e a de uma proposição

falsa (F) é uma proposição

verdadeira (V).

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Tautologia

Uma proposição composta é

tautológica ou uma tautologia se, e

somente se, seu valor lógico é sempre

verdade (V).

Ms. Luiz

Contradição

Uma proposição composta é uma

contradição se, e somente se, o seu

valor lógico for sempre falso (F).

Ms. Luiz

Contingência

Uma proposição composta é

contingente, ou uma contingência,

quando o seu valor lógico pode ser (V)

ou (F), dependendo do valor de suas

proposições simples.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Implicação Tautológica

É uma proposição condicional

tautológica.

Ms. Luiz

Equivalência Tautológica

É uma proposição bicondicional

tautológica

Ms. Luiz

Propriedades Tautológicas

Reflexiva

Simétrica

(p q) (q p)

Transitiva

(p q) (q r) (p r)

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Argumento

É um conjunto de n proposições, sendo que uma delas é conseqüência e

depende das demais.

A proposição consequência é chamada de conclusão, e as demais de

premissas.

Ms. Luiz

Forma de Argumento

(n-1). P(n-1)

Pi são as premissas e C é a conclusão

Equivalentemente

P1P2P3...P(n-1)C

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Tautologias Úteis

A seguir, implicações e equivalências

tautológicas que serão utilizadas para

provar a validade de um argumento.

Sejam “p”, “q”, “r” e “s” proposições

simples quaisquer.

Ms. Luiz

Equivalências

01) Indepotência (IND)

• (p p) p

02) Comutação (COM)

• (p q) (q p)

Ms. Luiz

Equivalências

03) Associação (ASS)

• ((p q) r) (p (q r))

04) Distribuição (DIS)

• (p (q r)) ((p q) (p r))

Ms. Luiz

Equivalências

05) Leis de De Morgan (MOR)

• (p q) (p q)

06) Dupla Negação (D.N.)

• (p) p

Ms. Luiz

Equivalências

07) Equivalência Material (E.M.)

• (p q) ((p q) (q p))

• (p q) ((p q) (p q))

08) Implicação Material (I.M.)

• (p q) (p q)

Ms. Luiz

Equivalências

09) Negação da Implicação Material (N.I.M.)

• (p q) (p q)

10) Transposição (TRA)

• (p q) (q p)

Ms. Luiz

Equivalências

11) Importação / Exportação (I. E.)

• ((p q) r) (p (q r))

12) Absurdo (ABD)

• (p (q q)) p

Ms. Luiz

Implicações

01) Adição (ADI)

p ou p(pq)

Ms. Luiz

Implicações

02) Simplificação (SIM)

pq ou pqp

pq ou pqq

Ms. Luiz

Implicações

03) Conjunção (CON)p ou pqpq

p ou pqqp

Ms. Luiz

Implicações

04) Absorção (ABS)

pq ou (pq)(pp q)

_______

05) Modus Ponens (M.P.)

pq ou (pq)pq

_______

Ms. Luiz

Implicações06) Modus Tollens (M.T.)

pq ou (pq)qp

07) Dilema Construtivo (D.C.)

pq ou (pq)(rs)(pr)qs

Ms. Luiz

Implicações

08) Dilema Destrutivo (D.D.)

pq ou (pq)(rs)(qs)(pr)

______

Ms. Luiz

Implicações

09) Silogismo Disjuntivo (S.D.)

pq ou (pq)pq

pq ou (pq)qp

Ms. Luiz

Implicações

10) Silogismo Hipotético (S.H.)

pq ou (pq)(qr)(pr)

Ms. Luiz

Implicações

11) Exportação (EXP.)

pqr ou (pqr)(p(qr))

_______

Ms. Luiz

Implicações

12) Importação (IMP.)

p(qr) ou (p(qr))(pqr)

________

Ms. Luiz

Regras de Dedução

A prova direta de validade de umargumento no cálculo proposicional utilizaas regras a seguir.1. introduzir premissas usando

a. equivalências;

b. implicações;

c. Teorema da Dedução.

2. Cada premissa introduzida deve indicar, à suadireita, o número das linhas e a tautologia porela utilizada.

3. Usar as premissas e a regra 1 para se chegar àconclusão.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Teorema da Dedução (T.D.)

Dado um argumento

A1A2A3...An-1(BC)

se a proposição C pode ser obtida pela

aplicação das regras de dedução

direta 1a e 1b às premissas

A1, A2, A3, ... , An-1 e B,

então (BC) pode ser obtido das premissas

A1, A2, A3, ..., An-1

Ms. Luiz

Teorema da Dedução (T.D.)

Se o argumento

A1A2A3...An-1B C

for válido, então,

A1A2A3...An-1(BC)

será válido.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Prova Indireta

Redução ao Absurdo (R.A.)

A prova indireta de validade de um

argumento consiste da introdução de uma

nova premissa que seja a negação da

conclusão e, a partir disso, a derivação de

uma contradição. Dessa contradição obtida,

conclui-se a validade do argumento.

A prova indireta da validade é mais

conhecida como Redução ao Absurdo,

sendo utilizada em algumas demonstrações

matemáticas.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Prova de Invalidade

1. Tabela Verdade

a. Uma linha falsa

2. Atribuição de Valores

a. Premissas verdadeiras

b. Conclusão Falsa

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Cálculo de Predicados

No cálculo de predicados, a atenção se

volta para a estrutura da proposição simples.

A mais simples proposição envolve um

termo e um predicado:

Termo designa um objeto ou indivíduo;

Predicado indica a sua propriedade.

Ms. Luiz

Função Proposicional

Uma função proposicional em , um

conjunto de termos, é um predicado P

associado a um termo x, em , que

não pode ser classificada como

verdadeira ou falsa.

Ms. Luiz

Classificação de Função

Proposicional

A classificação de uma Função

proposicional Px, é possível quando x

representar em relação aos elementos

pelo menos um

Ms. Luiz

Quantificadores

São operadores lógicos querestringem as funções proposicionaisde forma que elas se refiram a todo oconjunto de termos ou a uma partedele.

Ms. Luiz

Quantificadores

Função

Proposicional

Quantificador

= Proposição

Ms. Luiz

Quantificadores

• : quantificador universal

(para todo, qualquer que seja, etc.)

• : quantificador existencial

(existe, há, alguns, etc.).

Ms. Luiz

Formalização do Cálculo de

Predicados

1. Termos serão indicados com as últimasletras minúsculas do alfabeto : x, y e z.

2. Predicados serão indicados por letrasmaiúsculas à esquerda dos termos.

3. Função proposicional entre parênteses.

4. Quantificador à esquerda do termo e ambosà esquerda da função proposicional.

Ms. Luiz

Fórmula Bem Formada - CP

1. Um predicado “P” seguido de um termo “x”é uma fbf: Px.

2. Se Px e Qx são fbf, então serão também fbf:

b. Px Qx

c. Px Qx

d. Px Qx

e. Px Qx

f. x (Px)

g. x (Px)

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Equivalências entre

quantificadores

Para se provar a validade de

argumentos que apresentas funções

proposicionais quantificadas é

conveniente, que estas e seus

quantificadores não se apresentem

na forma negativa.

Ms. Luiz

quantificadores

No caso de existir quantificador

negado, devemos substituí-lo de forma

equivalente.

Ms. Luiz

quantificadores

Se representar um predicado

associado aos termos de um conjunto

, as equivalências a seguir se

verificam:

1. x (x) é equivalente ax (x)

2. x (x) é equivalente a x (x)

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

Ms. Luiz

Exemplificação

É a aplicação de duas

tautologias que transformam funções

proposicionais em proposições.

Ms. Luiz

Exemplificação Existencial (E.E.)

Se existe um termo c associado ao

predicado , estipulamos que tal termo seja c.

______

Ms. Luiz

Exemplificação Universal (E.U.)

Se todos os termos estão associados aopredicado , escolhemos aleatoriamente umdeles, c.

______

Ms. Luiz

Generalização

Transforma proposições em funções

proposicionais.

Ms. Luiz

Generalização Existencial (G.E.)

Se um termo c está associado aopredicado , então existe um termoassociado a .

Ms. Luiz

Generalização Universal (G.U.)

Se o termo c pode ser qualquer

elemento de , então qualquer termo

está associado ao predicado .

______

Ms. Luiz

Observação

A Exemplificação Existencial

sempre antecede a Exemplificação

Universal

Ms. Luiz

Validade de Argumentos

Quantificados

1. Transformar o argumento quantificado, por

meio da exemplificação, em argumento sem

quantificadores.

2. Usar a prova direta de validade para esse

argumento exemplificado.

3. Usar generalização para se obter a

conclusão do argumento quantificado.

Ms. Luiz

Exercícios

Propostos

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