logaritmo e função logaritmica

FACULDADE ANHANGUERA

Curso: Engenharias

Disciplina: Cálculo 1

Prof. Me. Edson

LOGARITMO

Introdução:

Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois o logaritmo de um número B na base A é igual a x, se e somente se Ax = B.

Genericamente temos:

Exemplo:

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LOGARITMO

Aplicações: Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano. A Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. O manuseio dos logaritmos requer algumas PROPRIEDADES que são fundamentais para o seu desenvolvimento.

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LOGARITMO

Definição: Dados dois números reais positivos a e b, com a ≠ 1 e a > 0 e b > 0, existe somente um número real x, tal que ax = b ou logab = x. Onde:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b.

.4

LOGARITMOExemplos:

a)log24 = 2, pois 2² = 4

b) log327 = 3, pois 3³ = 27

c) f)

d)

e)

LOGARITMO

Casos Especiais:

1) Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.loga1 = 0 loga1 = xax = 1 (a0 = 1) x = 0

Exemplos:

a) b)

c)

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LOGARITMO

Casos Especiais:

2) O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.

logaa = 1 logaa = x

ax = a x = 1

Exemplos:

a) b) c) 7

LOGARITMOCasos Especiais:

3) O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m.logaam = m logaam = x

ax = am x = m

Exemplos:

a) b)

LOGARITMOCasos Especiais:

4) Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

logab = logac logab = x → ax = b

logac = x → ax = c b = c

Exemplo:

a)

LOGARITMO

Casos Especiais:

5) A potência de base a e expoente logab é igual a b.

aloga

b= b aloga

b= x

logab= ax logax = logab, portanto

x = b

Exemplo:

a) 10

LOGARITMO

Propriedades Operatórias:

a)Logaritmo do Produto: loga(x . y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

loga (x . y) = loga x + loga y

Exemplo:log2(32 .16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9

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LOGARITMO

Propriedades Operatórias:

b) Logaritmo do Quociente: loga devemos resolvê-lo subtraindo o

logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

loga = logax – logay

Exemplo:log5( ) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

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LOGARITMO

Propriedades Operatórias:

c) Logaritmo da Potência: logaxm : Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo:

logaxm = m*logax

Exemplo:log3812 = 2.log381 = 2 . 4 = 8

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LOGARITMO

Propriedades Operatórias:

d) Mudança de Base: Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número.

Exemplo:

14

LOGARITMO

Atividades:

1)Calcule

a) e)

b)

c)

d) 15

LOGARITMO

Atividades:

2) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule, aplicando as propriedades operatórias:

a)log 6 b) log 43

c) log 12 d) log 81

e) Logaritmo de 4 na base 616

LOGARITMO

Atividades (Aplicação) P.L.T. pág. 23 – Ex. 373) A quantidade A, em mg, que permanece no

corpo t horas após ter ingerido um remédio para a tosse, é dada por A = 10.(0,82)t.

a)Qual a quantidade inicial ingerida?

b)Qual o percentual do remédio que sai do corpo a cada hora?

c)Quanto do remédio permanece no corpo 6 horas após a ingestão?

d)Quanto tempo leva para que permaneça no corpo apenas 1 mg do remédio? 17

Atividades (Aplicação) P.L.T. Pág. 23 – Ex. 394) Ex.39 – Qual o tempo de duplicação de preços

que estão crescendo a 5% ao ano?

5) Ex. 44 – A população de uma dada região está crescendo exponencialmente. A região tinha 40.000.000 de pessoas em 1980 (t = 0) e 56.000.000 em 1990. Encontre uma expressão para a população em qualquer instante t em anos. Qual a população prevista para o ano 2000? Qual é o tempo de duplicação?

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LOGARITMO

FUNÇÕES LOGARITMICAS

Definição: Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, x > 0, a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Assim o Domínio da função é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x; f(x) = log1/2x;

f(x) = log2(x – 1); f(x) = log0,5x.19

FUNÇÕES LOGARITMICAS

Atenção às RESTRIÇÕES

Dada a função f(x) =log (x – 2)(4 – x), de acordo com a definição, temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 42) x – 2 > 0 → x > 23) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

A intersecção das restrições 1, 2 e 3, nos dá o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}

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Gráfico: Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: a) a > 1 – Função Crescente

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FUNÇÕES LOGARITMICAS

FUNÇÕES LOGARITMICAS

Gráfico: Continuação

b) 0 < a < 1 – Função Decrescente

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Conclusões dobre o gráfico

Características do gráfico da função logarítmica y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im = R.

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FUNÇÕES LOGARITMICAS

Atividades

1)Calcule o valor de x nas equações

a)

b)

2) Resolva (Conjunto dos Reais)

a)

b) 24

FUNÇÕES LOGARITMICAS

Atividades

PLT pg. 23 Ex. 39) Uma xícara de café contém 100 mg de cafeína, que deixa o corpo a uma taxa contínua de 17% por hora.

Escreva uma fórmula para a quantidade A, em Mg, de cafeína no corpo t horas após beber uma xícara de café

Esboce o gráfico da função

Use logaritmos para encontrar a meia-vida da cafeína.

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Atividades

PLT pg. 23. Ex. 41) Uma centena de quilogramas de uma substância radioativa decai para 40kg em 10 anos. Quanto permanece após 20 anos?

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Questão da Prova do 2º Bimestre

A população inicial de uma pequena cidade na data da sua emancipação era de somente 5 mil habitantes. Decorridos apenas 6 anos essa população já era de 20 mi habitantes. Considerando um crescimento exponencial, em quanto tempo a população dessa cidade ultrapassará 50 mil habitantes?

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Até a próxima SemanaDivirtam-se