lista resolvida algebra linerar matriz e sistemas
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-
Universidade Federal de VicosaCentro de Ciencias Exatas e Tecnologicas - CCE
Departamento de Matematica
Monitoria de MAT 137 - Introducao a` Algebra Linear
Resolucao da 1a Lista de Exerccios
1. Considere a matriz B dada por
B =
1 1 12 3 45 8 9
.(a) Calcule o determinante de B.
Resolucao:Pela Regra de Crammer, temos
det(B) =
1 1 12 3 45 8 9
1 12 35 8
= 3 9 + 4 5 + 2 8 3 5 4 8 9 2 = 2
Portanto, det(B) = 2
(b) Encontre a matriz adjunta adjB.
Resolucao:Calculando cada cofator separadamente, temos
a11 = (1)1+1 3 48 9
= 3 9 8 4 = 5a12 = (1)1+2
2 45 9 = 1 (3 9 8 4) = 2
a13 = (1)1+3 2 35 8
= 2 8 5 3 = 1a21 = (1)2+1
1 18 9 = 1 (1 9 8 1) = 1
a22 = (1)2+2 1 15 9
= 1 9 5 1 = 4a23 = (1)2+3
1 15 8 = 1 (1 8 5 1) = 3
a31 = (1)3+1 1 13 4
= 1 4 3 1 = 1a32 = (1)3+2
1 12 4 = 1 (1 4 2 1) = 2
-
a33 = (1)3+3 1 12 3
= 1 3 2 1 = 1Portanto,
adj(B) =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
T = a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
adj(B) = 5 1 12 4 2
1 3 1
(c) Use o item (b) acima para calcular B1.
Resolucao:Por Teorema, sabemos queA adj(A) = adj(A) A = det(A) IComo det(B) = 2 6= 0, existe a matriz inversa de B, alem disso, det(B)1 = 1
det(B).
Assim,A adj(A) = det(A) I A1 (A adj(A)) = A1 (det(A) I) (A1 A) adj(A) = det(A) (A1 I) adj(A) = det(A) A1 A1 = 1
det(A) adj(A)
Desta forma, B1 =1
2 adj(B) = 1
2 5 1 12 4 2
1 3 1
Portanto, B1 =
52 12 121 2 11
2321
2
2. Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:3y + 2x = z + 1
3x + 2z = 8 5y3z 1 = x 2y
Resolucao:Inicialmente organizamos o sistema de forma que cada coluna tenha a mesma incognita,como feito abaixo:
2x + 3y z = 13x + 5y + 2z = 8x + 2y + 3z = 1
Escrevendo matricialmente,
2 3 13 5 21 2 3
A
xyz
X
=
181
B
-
Assim, temos det(A) =
2 3 13 5 21 2 3
= 22det(Ax) =
1 3 18 5 21 2 3
= 66, det(Ay) =
2 1 13 8 21 1 3
= 22,det(Az) =
2 3 13 5 81 2 1
= 44Logo, pela Regra de Crammer:
x =det(Ax)
det(A)=6622 x = 3, y =
det(Ay)
det(A)=
22
22 y = 1 e
z =det(Az)
det(A)=4422 z = 2.
3. Suponha P uma matriz inversvel. Mostre que det(P1) = (det(P ))1.Resolucao:Sabemos que PP1 = P1P = I. Desta forma, aplicando o determinante a`s matrizestemos
det(PP1) = det(I) det(P )det(P1) = 1 det(P1) = 1det(P )
.
Portanto, det(P1) = [det(P )]1, desde que det(P ) 6= 0.
4. Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmacao dada e (sempre) verdadeira ou(a`s vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento logico matematico (severdadeira) ou um contra-exemplo (se falsa).
(a) (F) det(AB) = det(BA)Resolucao:
Considere as matrizes A =
[1 23 4
]e B =
[ 1 35 7
].
Temos
AB =
[9 17
17 28
] det(AB) = 37.
BA =
[8 10
26 38
] det(BA) = 44.
Portanto, det(AB) 6= det(BA)
(b) (F) det(2A) = 2detAResolucao:
Tome a matriz A dada por A =
[1 23 4
]. Note que
-
det(A) = 2; 2A =[
2 46 8
] det(2A) = 8.
Logo, det(2A) = 8 6= 2 (2) = 2det(A).
(c) (F) det(I + A) = 1 + det(A)Resolucao:
Tome a matriz A dada por A =
[1 23 4
]. Note que
I + A =
[2 23 5
] det(I + A) = 4 6= 1 + (2) = det(A).
Portanto, det(I + A) 6= 1 + det(A).
(d) (F)det(A + B) = det(A) + det(B)Resolucao:
Considere as matrizes A =
[1 23 4
]e B =
[ 1 35 7
].
Veja que det(A) = 2 e det(B) = 22.
A + B =
[0 58 11
] det(A + B) = 40.
Logo, det(A + B) 6= det(A) + det(B).
(e) (V)Se AB = 0 e B e inversvel, entao A = 0Resolucao:Como B e inversvel podemos aplicar B1 em ambos os lados da igualdade, assim,AB = 0 (AB)B1 = 0B1 A(BB1) = 0 AI = 0 A = 0.
(f) (F)det(A) = det(A).Resolucao:
Consideremos a matriz A dada por A =
1 2 31 0 43 2 1
, onde det(A) = 12.Temos que A =
1 2 31 0 43 2 1
, alem disso, det(A) = 12 = (1)3det(A).Portanto,det(A) = det(A) apenas quando a ordem da matriz A e par.
(g) (V)A soma de duas matrizes simetricas de mesma ordem e uma matriz simetrica.Resolucao:Se A e B sao duas matrizes simetricas, entao, da definicao, temos que A = AT eB = BT . Desta forma,
-
A + B = AT + BT = (A + B)T
Portanto, A + B tambem e simetrica.
(h) (V)Se AB = C e duas das matrizes sao inversveis, entao a terceira tambem o e.Resolucao:1o Caso: Sejam A,B duas matrizes inversveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0.Assim,A B = C det(AB) = det(C) det(A)det(B) = det(C), como, por hipoteses,det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0, segue que det(C) 6= 0. Logo, C e inversvel.2o Caso:Sejam A,C duas matrizes inversveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0.Assim,det(A)det(B) = det(C) e como, por hipotese, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue quedet(B) 6= 0. Portanto, B e inversvel.3o Caso:Se B,C sao inversveis, temos det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0. Logo,det(A)det(B) = det(C) e como det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que det(A) 6= 0.Portanto, A e inversvel.
5. Considere a matriz A abaixo:
A =
2 1 5 11 1 3 43 6 2 12 2 2 3
.(a) Calcule o determinante da matriz A. Resolucao:
Inicialmente vamos fazer operacoes nas linhas da matriz A, de modo que facilite ocalculo do determinante, posteriormente.
A =
2 1 5 11 1 3 43 6 2 12 2 2 3
L1L1L4
0 1 3 41 1 3 43 6 2 12 2 2 3
L1L1+L2
1 0 0 01 1 3 43 6 2 12 2 2 3
A
.
Sabemos que as operacoes efetuadas nao alteram o valor do determinante, assimdet(A) = det(A).Calculando o determinante de A, temos
det(A) =
1 0 0 01 1 3 43 6 2 12 2 2 3
= 1 (1)1+1
1 3 46 2 12 2 3
= 120Portanto, det(A) = det(A) = 120.
(b) Encontre o determinante da matriz C, onde C e a matriz obtida de A atraves das
-
seguintes operacoes elementares:L1 L4, L3 2L3.Resolucao:Por meio das propriedades de determinante sabemos que
L1 L4 det(C) = det(A)L3 2L3 det(C) = 2det(A)
Desta forma, det(C) = (2det(A)) det(C) = 2(120) det(C) = 240.
6. Determine os valores reais de k para que o sistema linearx + 3y + 4z = 2
3x + 7y + (k + 13)z = 102x + (2k + 2)y + 4z = 20
seja:
(a) Possvel determinado;Resolucao:Inicialmente vamos escrever o sistema na forma matricial: 1 3 43 7 (k + 13)
2 (2k + 2) 4
A
xyz
X
=
21020
B
.
Para ser possvel e determinado a matriz A deve ser inversvel, ou seja, det(A) 6= 0.
det(A) =
1 3 43 7 (k + 13)2 (2k + 2) 4
= 2k2 + 2k + 12det(A) = 2(k2 k 6) 6= 0 k2 k 6 6= 0
Logo, basta fazer k 6= 3 e k 6= 2.Portanto, S = { k R/k 6= 3, k 6= 2}
(b) Possvel indeterminado;Resolucao:Como a matriz A e quadradra, ou seja, o sistema tem o numero de linhas igual aonumero de incognitas, podemos aplicar a Regra de Cramer.Assim,
x =det(Ax)
det(A); y =
det(Ay)
det(A)e z =
det(Az)
det(A).
Para que o sistema seja possvel e indeterminados temos que det(A) = 0 e det(Ax) =det(Ay) = det(Az) = 0.
-
Desta forma,
det(Ax) =
2 3 4
10 7 (k + 13)20 (2k + 2) 4
= 4k2 + 84k + 184det(Ax) = 4(k2 21k 46) = 0 k2 21k 46 = 0 k = 23 ou k = 2.
det(Ay) =
1 2 43 10 (k + 13)2 20 4
= 16k 32det(Ay) = 16k 32 = 0 k = 2.
det(Az) =
1 3 23 7 102 (2k + 2) 20
= 8k 16det(Az) = 8k 16 = 0 k = 2.
Portanto, para que o sistema seja Possvel e Indeterminado, basta fazer k = 2.
(c) Impossvel.Resolucao:Para que o sistema linear seja impossvel, basta termos det(A) = 0 e det(An) 6= 0com n = x, y ou z.Assim, perceba que se fizermos k = 3 teremos det(A) = 0, porem det(Ax) 6= 0.Portanto, basta fazer k = 3 para que o sistema seja Impossvel.
7. Seja A uma matriz real e quadrada de tal sorte que det(A) = 3. Em cada uma dassentencas abaixo, obtenha o determinante da matriz B, sabendo-se que tal matriz eobtida de A por:
(a) Multiplicacao de uma linha de A por um escalar k.Resolucao:Sabemos que det(A) = 3, pelas propriedades de determinante, ao multiplicarmosuma linha da matriz A por um escalar seu determinante tambem sai multiplicadopor este escalar.Desta forma,
det(A) = k det(A) det(A) = 3k. Onde A e a matriz A com uma linha multiplicada por k.
(b) Troca entre si de duas linhas de A.
7
-
Resolucao:Pelas propriedades de determinante, ao trocarmos duas linhas da matriz A seu de-terminante troca de sinal.Desta forma,
det(A) = det(A) det(A) = 3.Onde A e a matriz A com duas linhas trocadas.
(c) Por meio da seguinte sequencia de operacoes elementares: L1 L2,L3 (1/2)L5, L4 L4 L1.Resolucao:Por meio das propriedades de determinante, sabemos que trocar uma linha pelacombinacao linear de outras duas nao altera o valor do determinante.Desta forma,
det(A) = 12
det(A) det(A) = 32
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