lei de potencia
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1
BC-0506: Comunicação e BC-0506: Comunicação e RedesRedes
Semana 4: •Semana 4: • Leis de Leis de PotênciaPotência
Santo André, 1T2010
2
Leis de Potência
Distribuições de probabilidade
Leis de potência e escalas logarítmicas
Interpretando as leis de potência
Parte 1: Introdução
4
A lei do 80/20A lei do 80/20
Vilfredo Pareto, importante economista italiano
Durante sua jardinagem:
80% das peras → produzidas por 20% das árvores
Começou a notar o padrão em outras áreas
80% das terras → 20% da população
80% dos lucros → 20% dos funcionários
80% dos problemas → 20% dos clientes
80% das decisões → 20% de uma reunião
80% dos crimes → 20% dos criminosos
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A lei do 80/20A lei do 80/20
Existem outros cenários em que a lei 80/20 não é diretamente aplicável, mas temos algo próximo:
80% dos hyperlinks → 15% das páginas
80% das citações → 38% dos cientistas
Utilizamos o termo lei de potência para descrever
Duas variáveis onde uma varia de acordo com uma potência da outra
f(x) = a xk + o(xk)
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Sistemas complexos e leis Sistemas complexos e leis de potênciade potência
Sistemas complexos são compostos por unidades que interagem de forma não-linear.
Frequentemente possuem propriedades aderentes às leis de escala ou leis de potência
Uso de leis de potência
Tentativa de construir um arcabouço teórico para o entendimento destes sistemas
Origem à teorias da física, como a teoria do caos
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Parte 2: Distribuições de probabilidade
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9
O Andar do BêbadoO Andar do Bêbado
Descreve como a aleatoriedade afeta as nossas vidas e como as pessoas costumam ignorá-la e mesmo interpretá-la erroneamente (como sorte ou azar, por exemplo)
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Variável AleatóriaVariável Aleatória
Mapeamento de um evento (resultado de um experimento aleatório) em um número
Exemplos:
X = estado do servidor: 1 ativo, 0 inativo
Y = número de pacotes IP por intervalo de tempo
Z = atraso estabelecimento conexão TELNET
Experimento: lançar um dadoA = valor facial
B = 0 valor 3 1 valor 4
C = 0 valor par 1 valor ímpar
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Variáveis Discretas e Variáveis Discretas e ContínuasContínuas
Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado
Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo
O número de resultados possíveis não pode ser listado
Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por uma medição
0 1 2-1-2
Número de resultados infinitos
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Eventos independentesEventos independentes
Dois eventos são independentes a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro
A existência ou não de relação de dependência pode modificar conclusões de uma simulação
Eventos dependentesNúmero de pacotes que chegam em um roteador
Número de pacotes descartados
Eventos independentesNúmero de chamadas que chegam a um central telefônica
Duração das chamadas
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Distribuição de Distribuição de probabilidadeprobabilidade
Descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores
A soma de todas as probabilidades deve ser 1
Variável discreta
Tabela especificando a probabilidade de que a variável assuma cada um dos valores possíveis
Variável contínua
Função especificando a probabilidade de que a variável assuma um valor em cada um dos intervalos possíveis
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Determina o comportamento de uma variável aleatória discretadiscreta, atribuindo probabilidades a todos os possíveis valores
Exemplo: variável X (estado do servidor)
P[X=1] = p1
P[X=0] = p2
O conjunto {p1, p2} é a distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X
Distribuição discreta de Distribuição discreta de probabilidadeprobabilidade
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Função acumulada e Função acumulada e densidadedensidade
No caso de variáveis contínuas, define-se uma função de distribuição acumulada FX(x) que determinada a probabilidade da variável assumir um valor menor ou igual a um determinado valor x
onde, fX(x) é a função de densidade de probabilidade ou somente densidade
x
XX duufxXPxF )()()(
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Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson
Parâmetro: (média)
Utilização:Número de chegadas em um determinado tempoNúmero de chamadas telefônicas em um tempo t Número de conexões TCP em um tempo t
Exemplo:X = número de conexões FTP por horaEm determinado servidor = 3,5P(X = 2) = 0,185
0,!
][
x
xexP
17
Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonHistogram of y
y
De
nsi
ty
0 5 10 15 20 25
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
= 10
Geração: R
(http://www.r-project.org)
18
Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
Parâmetros: a e b (limite inferir e superior)
Utilização:Variável limitada sem informação adicional
Direção de movimentação de um usuário em um rede celular
Distância entre fonte e destino em uma rede
Probabilidade de um pacote conter um erro
casosoutros
bxaab
xf X
,0
,1
)(
19
Distribuição UniformeDistribuição UniformeHistogram of y
y
De
nsi
ty
0 2 4 6 8 10
0.0
00
.02
0.0
40
.06
0.0
80
.10
a = 0
b = 10
20
Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial
Parâmetro: (média)
Utilização:
Tempos entre eventos sucessivos
Tempo entre chamadas telefônicas
Tempo entre requisições a um servidor TELNET
Tempo entre falhas de um equipamento
casosoutros
xexf xX
,0
0,0,)(
21
Distribuição ExponencialDistribuição ExponencialHistogram of y
y
Den
sity
0 20 40 60 80 100 120
0.0
00.
02
0.0
40.
06
0.0
8
= 10
22
Distribuição Normal Distribuição Normal (Gaussiana)(Gaussiana)
Parâmetros: , (média e desvio padrão)
Utilização:
Aleatoriedade causada por várias fontes independentes agindo em conjunto
Erros em medições
0,2
1)(
22 2/
xexf
23
Distribuição Normal Distribuição Normal (Gaussiana)(Gaussiana)
Histogram of y
y
De
nsity
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Normal Padrão = 0 = 1
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Média ou valor esperadoMédia ou valor esperado
A média denota o valor esperado de uma variável aleatória
Média distribucional
Média amostral (estimador)
dxxxfxpXE X
n
iii )()(
1
n
i ixn
x1
1
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Variância e desvio padrãoVariância e desvio padrão
A média não dá informação sobre dispersão
Ex: conjuntos {5,10,15} e {0,10,20}, com média 10
Variância e desvio padrão medem a dispersão dos dados em relação à média
Variância amostral (estimador)
Desvio padrão =
n
i i xxn 1
22 )(1
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Distribuições gaussianas
Quando um estatístico estuda certos dados, ele utiliza uma ferramenta indispensável: um gráfico em forma de sino que representa a distribuição gaussiana ou normal dos dados
27
Distribuições gaussianas
As distribuições gaussianas são definidas a partir de uma função densidade de probabilidades que se escreve da seguinte forma:
onde x é a variável aleatória,
é a média da distribuição, e
denomina-se desvio-padrão.
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ExemploExemplo
Desejamos medir o comprimento de uma mesa, que será nossa variável aleatória x.
Ao realizarmos N medidas sucessivas obtemos uma estimativa do valor médio por
tende ao valor de a medida que N tende ao infinito
Dessa forma temos que:
Onde k é uma constante
Ou seja, o desvio-padrão nos dá uma boa aproximação do erro cometido na estimação da média
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Teorema Central do LimiteTeorema Central do Limite
Distribuições gaussianas são, supostamente, a norma da natureza, cuja larga aplicabilidade resulta do teorema central do limite :
Temos um grande número de eventos aleatórios independentes, com mesmo valor esperado μ e desvio padrão σ
O conjunto de suas contribuições se aproxima da distribuição normal, com média μ e variância σ2
30
Exemplo: Passeio aleatórioExemplo: Passeio aleatórioCompostos por uma variável xi pode assumir aleatoriamente os valores ± s. Por exemplo:
Bêbado tentando ficar em pé (1D)
O caminho de um animal em sua caçada (2D)
Trajetórias de moléculasde um gás (3D)
No caso unidimensional,após N passos, a posiçãodo bêbado será dada por:
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Exemplo: Passeio aleatórioExemplo: Passeio aleatórioPelo teorema do limite central, como os passos xi:
são independentes
possuem desvio-padrão finito
a função densidade de probabilidade dada por:
será gaussiana à medida que N → ∞, mesmo que cada xi não obedeça à distribuição normal
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Parte 3: Leis de potência e escalas logarítmicas
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Leis de PotênciaLeis de PotênciaUma lei de potência é um tipo especial de relação matemática entre duas quantidades
Quando o número ou frequência de um objeto ou evento varia conforme a potência de algum atributo do objeto (ex.: o tamanho), diz-se que esse número ou tamanho segue uma lei de potência
Exemplo:
O número de cidades que tem uma certa população varia conforme uma potência do tamanho da população
34
Lei de PotênciasLei de PotênciasDiversas distribuições, tanto de fenômenos naturais quanto humanos, são compostos por:
Um grande número de fenômenos comuns
Um pequeno número de fenômenos raros
Estes fenômenos frequentemente apresentam regularidades nas quais:
O tamanho P(x) de um evento pode ser associado a alguma propriedade x do evento através de uma simples escala, do tipo:
P(x) = a xk + o(xk)
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Aplicações da Regra 80-20Aplicações da Regra 80-2080-20 é uma regra de ouro nos negócios; por exemplo, "80% de suas vendas vêm de 20% de seus clientes"
Matematicamente, quando algo é compartilhado entre um conjunto suficientemente grande de participantes deve haver um número k entre 50 e 100%, tal que k% desse conjunto é utilizado por (100 - k)% dos participantes
k pode variar de 50 (no caso da distribuição uniforme) para cerca de 100 (quando um pequeno número de participantes é responsável por quase todos os recursos)
Não há nada especial sobre o número de 80% matemati-camente, mas muitos sistemas reais terão esse número k em algum lugar onde haverá desequilíbrio na distribuição
36
Regra 80-20 e Leis de PotênciaRegra 80-20 e Leis de Potência
O Princípio de Pareto (80-20) é uma ilustração de uma relação de leis de potência, o que também ocorre em fenômenos como incêndios florestais e terremotos
Por ser auto-similar ao longo de um vasto leque de magnitudes, produz resultados completamente diferentes dos fenômenos de distribuição gaussianos
Este fato explica as frequentes quebras de sofisticados instrumentos financeiros
São modelados no pressuposto de que uma relação gaussiana é adequado para, por exemplo, tamanhos de movimento de mercado (ações)
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Leis de potência - exemplos
Um terremoto duas vezes maior é quatro vezes mais raro. Se esse padrão vale para terremotos de todos os tamanhos
Dizemos que a distribuição "escala"
Leis de potência também descrever outros tipos de relacionamentos, tais como:
A taxa metabólica de uma espécie e a sua massa corporal (chamada lei Kleiber)
O tamanho de uma cidade e o número de patentes que produz
O que isto significa é que na relação não existe tamanho típico no sentido convencional
Leis de potência são encontrados nos mundos naturais e artificiais, e é uma área ativa de investigação científica
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DefiniçãoA lei de potência é uma relação polinomial que exibe a propriedade de invariância de escala. As leis de potência mais comuns relacionam duas variáveis e têm a forma
onde
a e k são constantes
e o(xk) é uma função assintoticamente pequena
k normalmente é chamado o expoente de escala
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Escalando a funçãoEscalando a função
O reescalonamento do argumento da função muda a constante de proporcionalidade, mas preserva a forma da função
log(f(x)) = k.log(x) + log (a)Esta expressão tem uma relação linear com a inclinação k
Esta linha reta é denominada assinatura da lei de potência
O reescalonamento de x produz apenas um deslocamento da função para cima ou para baixo
40
Frequência de palavras (Zipf Frequência de palavras (Zipf Law)Law) f(x) = xk
log( f(x) ) = k. log(x)
Frequencia x Rank de palavras doBrown’s English dictionary
41
Frequência de palavras (Zipf Law)
42
Propriedade: Propriedade: Invariância à EscalaA principal propriedade das leis de potência que as tornam interessantes é a sua invariância à escala
Dada a relação f(x) = a.xk, escalonando o argumento x por um fator constante causa apenas um escalonamento proporcional da própria função. Isto é:
Um exemplo de invariância à escala são os fractais
Eles permanecem iguais não importando quanto nos aproximamos ou distanciamos do grafo
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Invariância à Escala (Fractais)
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AplicaçõesAplicações
Leis de potência é um tema de pesquisa ativa em muitos campos da ciência, incluindo:
Física
Ciência da computação
Lingüística
Geofísica
Sociologia
Economia e muito mais.
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A teoria Black SwanA teoria Black Swan
Inventando por Nassim Taleb, é usada para explicar a existência e ocorrência de eventos raros tem altíssimo impacto e são dificílimos de prever, de modo que caem fora do que nós podemos esperar
Algumas pessoas tentam usar um modelo gaussiano para lidar com problemas tipicamente Black Swan e por isso não conseguem prevê-los
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Parte 4: Interpretando as leis de potência em redes
e grafos
49
Distribuição de lei de Distribuição de lei de potênciapotência
Veremos através de uma comparação de características entre uma mapa rodoviário e um mapa de rotas aéreas
50
Distribuição de lei de Distribuição de lei de potênciapotência
No mapa rodoviário as cidades são os nós e as auto-estradas conectando elas são as arestas
Esta é uma rede razoavelmente uniforme: cada grande cidade possui pelo menos uma conexão com o sistema se auto-estradas, e não há cidades servidas por centenas de estradas. A maioria dos nós são similares, grosseiramente com o mesmo número de conexões
No mapa de rotas aéreas os nós são aeroportos conectados entre si por vôos diretos entre si
Existem alguns “hubs”, de onde vôos partem para quase todos os demais aeroportos. A grande maioria dos aeroportos são pequenos, aparecendo como nós com no máximo poucos vôos conectando-os com um ou mais “hubs”. Portanto, poucos “hubs” se conectam com muitos pequenos aeroportos
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Distribuição de lei de Distribuição de lei de potênciapotência
Leis de potência formulam matematicamente o fato que em redes reais a maioria dos nós possuem apenas poucos links e que estes numerosos pequenos nós coexistem com poucos grandes “hubs” – nós com grande número de links
Nesse caso, não há nós com número de links próximo da média, como visto nas redes aleatórias. Essa distribuição pelos extremos de um gráfico estatístico, com relação ao número de links, leva ao conceito de redes sem-escala.
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Distribuição de lei de Distribuição de lei de potênciapotência
A distribuição de uma rede aleatória segue curva tipo Sino, onde a maioria dos nós possui o mesmo número de links
A distribuição de lei de potência das redes sem-escala prediz que a maioria dos nós tem poucos links mantidos juntos com “hub” altamente conectados.
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Rede de Alcançe MundialRede de Alcançe Mundial
World Wide Web (WWW)
A Web forma uma rede de informação, funcionando como um serviço da Internet
Páginas contém links para outras páginas
Algumas páginas são extremamente mais referenciadas do que outras (grandes portais, por exemplo)
Algumas páginas referenciam uma quantidade enorme de outras páginas (mecanismos de busca, como o Google)
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Distribuição - WWWDistribuição - WWW
Exemplo de Variável Aleatória
Número de links (referências) de cada Página Web para outras Páginas Web
Segue distribuição de uma lei de potência
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Redes de Citações de Artigos
Artigos citam outros artigos
Estrutura: alguns pesquisadores publicam muito mais e são muitos mais citados do que outros
Ex. de variável aleatória: número de citações, recebidas ou realizadas por cada artigo (ou autor); numero de vértices; etc.distribuição de lei de potência
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Redes de Citações de Artigos
Redes de Citações são aciclicas pois os artigos somente podem citar outros artigos que já tenham sido escritos, mas não aqueles que ainda não foram escritos.
Um estudo quantitativo de Alfred Lotka’s, de 1926, discobriu-se o que foi conhecido como Lei da Produtividade Cientifica:
A distribuição do número de artigos escritos por cientistas seguem uma lei de potência.
Isto é, o número de cientistas que tenham escritos k artigos tem decaimento de k−, sendo constante.
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Redes de Citações de Artigos
A rede formada por citações foi discutida num artigo de Price [1965], em que entre outras coisas, o autor aponta pela primeira vez que ambas distribuições (in-degree e out-degree) da rede, seguem as leis de potência
Muitos outros estudos de redes de citações foram realizadas desde então, inclusive usando os recursos cada vez melhores disponibilizadas em bancos de dados de citações
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Conceituação: Grau da Rede - Degree
Grau da Rede - Degree: é o número de arestas conectadas a um vértice
Note que o grau não é necessariamente igual ao número de vértices adjacentes a um vértice, pois podem haver mais de uma aresta entre dois vértices quaisquer
Um grafo direcionado possui ambos tipos de grau: um in-degree (grau de entradas) e um out-degree (grau de saídas) para cada vértice, que denotam o número de arestas entrando e saindo, respectivamente.
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Distribuições de Grau da Rede
Definimos “pk“ como sendo a porção de vértices da rede que possuem grau k
Equivalentemente, “pk“ é a probabilidade que um vértice escolhido de maneira aleatória tenha um grau k
Um gráfico de pk para qualquer rede pode ser formado pela construção do histograma dos graus dos vértices da rede
Este histograma é a distribuição de grau da rede
Num grafo aleatório do tipo estudado por Erdos e Renyi [1959, 1960, 1961], cada aresta está presente ou ausente com probabilidades iguais, e portanto a distribuição de grau são do tipo binomial, ou Poisson no limite de grafos de grande tamanho
60
Distribuições de Grau da Rede
Redes do mundo real são na maioria dos casos bem distintos dos grafos aleatórios nas suas distribuições de grau
Longe de possuir uma distribuição de Poisson, os graus de vértices na maior parte das redes são altamente inclinadas para a direita, significando que suas distribuições possuem uma longa cauda para a direita em valores que estão bem acima da média
61
Histograma de Grau
A medição dessa cauda é um pouco complicada. Embora em uma teoria temos apenas que construir um histograma dos graus, na prática raramente tem-se medições suficientes para conseguir boas estatísticas na cauda, e histogramas diretos são geralmente ruidosos
Existem duas formas aceitas para contornar este problema
Uma delas é construir um histograma no qual os tamanhos das faixas aumentam exponencialmente com o grau. Por exemplo, as primeiras faixas podem cobrir graus 1, 2-3, 4-7, 8-15, e assim por diante. O número de amostras em cada faixa é então dividido pela largura da faixa para normalizar a medição
62
Histograma de Grau
Esse método de construção de um histograma é muitas vezes usado quando o histograma será traçado com uma escala logarítmica de grau, de modo que as larguras das faixas vão parecer iguais.
Devido as faixas ficarem mais largas a medida que vamos em direção à cauda, os problemas com as estatísticas são reduzidas, embora eles ainda estejam presentes, numa certa medida, enquanto pk decai mais rápido do que k-1, o que deve acontecer caso a distribuição seja integrada
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Função distribuição acumulada
Uma maneira alternativa de apresentar os dados dos graus dos vértices é construir um gráfico da função de distribuição acumulada:
que é a probabilidade que o grau seja maior ou igual a k.
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Função distribuição acumulada
Tal gráfico possui a vantagem de que todos os dados originais estão sendo representados
Quando construímos um histograma convencional por agrupamento de faixas, as eventuais diferenças entre os valores de pontos de dados que se enquadram na mesma faixa são perdidas
A função distribuição acumulada não sofre deste problema. A distribuição acumulada também reduz o ruído na cauda
65
Função distribuição acumulada
Na figura da página a seguir, apresentam-se distribuições acumuladas de grau de rede, para várias redes já mencionadas anteriormente.
Conforme mostrado na figura, as distribuições são de fato inclinadas para a direita. Muitas delas seguem as leis de potência nas suas caudas:
pk ~ k− para um expoente constante .
66
Distribuições de Grau Acumuladas [Newman]
.
67
ExercíciosExercícios
Para os grafos dados a seguir:
i) Calcule o grau de todos os vértices do grafo (in-degree e out-degree, para grafos direcionados)
ii) Calcule a média dos graus dos vértices e o desvio padrão
iii) Calcule e esboce um histograma dos graus
iv) Calcule e esboce a distribuição acumulada das probabilidade de grau
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Grafos do exercícioGrafos do exercício
a) b)
c) d)
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Exercício a)Exercício a)
i. Graus:
1Gin= 2; 1Gout=1;
2Gin=2; 2Gout=3;
3Gin=1; 3Gout=1;
4Gin=1; 4Gout=2;
5Gin=2; 5Gout=1.
ii. Média:
Gin = 8/5 = 1.6
Gout = 8/5 = 1.6
Calculo do desvio padrao=Sqrt( (Soma(xi-)2)/(N-1) )
Gin:=Sqrt( ( (2-1.6)2+ (2-1.6)2+ (1-1.6)2+ (1-1.6)2)+ (2-1.6)2 ) / 4) = 0.55
in=0.55
Gout:=Sqrt( ( (1-1.6)2+ (3-1.6)2+ (1-1.6)2+ (2-1.6)2)+ (1-1.6)2 ) / 4) = 0.89
out=0.89
70
Exercício a)- iii. histogramaExercício a)- iii. histograma
Número de ocorrências de cada grau
GinGin=0: 0
Gin=1: 2 vezes
Gin=2: 3 vezes
Gin=2: 0
GoutGin=0: 0
Gin=1: 3 vezes
Gin=2: 1 vez
Gin=2: 1 vez
1 1.5 20
1
2
3histograma Gin
1 1.5 2 2.5 30
1
2
3histograma Gout
Gráfico Histograma
71
Exercício a)- iv. distribuição acumuladaExercício a)- iv. distribuição acumulada
calculo das probabilidades
Gin:
p(1) = 2/5 = 0.4
P(2) = 3/5 = 0.6
Gout:
p(1) = 3/5 = 0.6
p(2) = 1/5 = 0.2
p(3) = 1/5 = 0.2
0 1 2 30
0.5
1Dist.Cumulativa Gin
0 1 2 30
0.5
1Dist.Cumulativa Gout
Gráfico Distribuição acumulada
Errata: sempre inicia-se com valor “1”, em p=0.
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Exercício b)Exercício b)
i. Graus:
S.Gin=0; S.Gout=2;
O.Gin=1; O.Gout=2;
P.Gin=2; P.Gout=1;
Q.Gin=1; Q.Gout=2;
R.Gin=2; R.Gout=1.
T.Gin=2; T.Gout=0
ii. Média:
Gin = 8/5 = 1.6 (=0.87)
Gout = 8/5 = 1.6 (=0.87)
iii.histograma
Gin e Gout:
G=0: 1 vez
G=1: 2 vezes
G=2: 3 vezes
iv. distrib. acumulada
p(0)=1/6
p(1)=2/6
p(2)=3/6
P(k)= {1, 5/6, 3/6, 0 }
73
Referências
Barabasi, A.L., Linked: How Everything Is Connected to Everything Else and What It Means for Business, Science and Everyday Life, Plume, 2003.
Newman, M., The Structure and Function of Complex Networks, Siam Review, Vol. 45, No 2, pp.167–256, 2003.
Clauset, A.; Shalizi, C.R.; Newman, M., Power-law distributions in empirical data, Siam Review, Vol. 51, No 4, pp.661–703, 2009.
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Apêndices
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A Regra 80-20A Regra 80-20
O princípio de Pareto, também conhecido como a regra 80-20, entre outros nomes, estabelece que, para muitos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos (consequências) são provenientes de 20% das causas. [3]
O economista italiano Vilfredo Pareto, que observou em 1906 que 80% das terras na Italia eram pertencentes à 20% da população, devenvolveu o princípio pela observação de que 20% das vagens de ervilha em seu jardim continham 80% das ervilhas.
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/80-20_rule
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Aplicações da Regra 80-20Aplicações da Regra 80-20
80-20 é uma regra de ouro nos negócios; por exemplo, "80% de suas vendas vêm de 20% de seus clientes."
Matematicamente, quando algo é compartilhado entre um conjunto suficientemente grande de participantes, deve haver um número k entre 50 e 100% tal que k% desse conjunto é utilizado por (100 - k)% dos participantes.
k pode variar de 50 (no caso da distribuição uniforme) para cerca de 100 (quando um pequeno número de participantes são responsáveis por quase todos os recursos).
Não há nada especial sobre o número de 80% matematicamente, mas muitos sistemas reais terão esse número k em algum lugar onde haverá desequilíbrio na distribuição.
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Regra 80-20 e Leis de PotênciaRegra 80-20 e Leis de Potência
O Princípio de Pareto é uma ilustração de uma relação de leis de potência, o que também ocorre em fenêmenos como incêndios florestais e terremotos.
Por ser auto-similar ao longo de um vasto leque de magnitudes, produz resultados completamente diferentes dos fenômenos de distribuição gaussianos.
Este fato explica às frequentes quebras de sofisticados instrumentos financeiros, que são modelados no pressuposto de que uma relação gaussiana é adequado para, por exemplo, tamanhos de movimento de mercado (ações).
78
Atividade para Entregar
79
Atividade para EntregaAtividade para EntregaUma rede de informação possui uma topologia representada por um grafo cuja matriz de adjacências é dada a seguir.
Utilizando recursos computacionais, elabore uma programa para calcular: i) os graus in-degree e out-degree de todos os vértices do grafo; ii) a média dos graus dos vértices e o desvio padrão; iii) o histograma dos graus; iv) a distribuição acumulada das probabilidade dos graus. Apresente o resultado na forma de vetor. Esboce o gráfico manualmente do histograma e da distribuição acumulada.
Entregue o programa em arquivo, e os resultados e o grafico impressos.
Obs: Os custos das arestas não são usados.
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