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Introdução à Lógica Matemática

Matemática Computacional

Proposições

• Chama-se de proposições todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo (ou fechado).

• Exemplos:

a) A Lua é um satélite da Terra. (V)

b) A copa do mundo em 2014 será realizada na Alemanha. (F)

c) Recife é a capital de Pernambuco. (V)

d) 3/5 é um número inteiro. (F)

e) 32 = 9 (V)

f) O número π é um número racional. (F)

Princípios ou Axiomas

•A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios:

PRINCÍPIO DA NÃO NEGAÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo.PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Valores lógicos das proposições

•Chama-se de valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição for verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Classificação das proposições

•Proposições simples: são aquelas que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. (são representadas por letras minúsculas)

Exemplos:p: Joana é estudante.q: 2 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. r: O número 25 é quadrado perfeito.

Proposições compostas

•São aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições (são representadas por letras maiúsculas).•Exemplos:P: Carlos é farmacêutico e Pedro é estudante.Q: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.R: O programa é bom e a internet é lenta.(e : conectivo)

Conectivos

• Chama-se de conectivos, palavras que usadas para formar novas proposições a partir de outras.

Conectivos usuais:

e, ou, não, se...então, ...se e somente se...

Exemplos:

P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isóceles.

r: Não está chovendo.

S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática.

T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

Notação lógica

•O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeiro(V), escrevendo: V (p) = VAnalogamente, exprime-se que p é

falsa (F), escrevendo: V(p) = FDo mesmo modo, o valor lógico de

uma proposição composta P indica-se por V(P).

Mudança de linguagem

•Exemplos 1:

p: Roma é capital da França. (F)

~p: Roma não é capital da França. (V)

q: Carlos é mecânico.

~q: Carlos não é mecânico.

OU

Não é verdade que Carlos é mecânico.

Mudança de linguagem

•Exemplos 2:• p: A neve é branca. (V)q: 2 < 5 (V)p ^ q : A neve é branca e 2 < 5. (V)• r: Paris é capital da França. (V)s: 9 – 4 = 5 (V)p v q:Paris é capital da França ou 9 – 4 = 5 (V)

Mudança de linguagem

• Exemplos 3:• p: Cláudio fala inglês.

q: Cláudio fala alemão.

p v q: Cláudio fala inglês ou Cláudio fala alemão.

p ^ q: Cláudio fala inglês e Cláudio fala alemão.

p^~q: Cláudio fala inglês e Cláudio não fala alemão.

~p^~q: Cláudio não fala inglês e Cláudio não fala alemão.

~(~p^~q): Não é verdade que Cláudio não fala inglês eCláudio não fala alemão.

LISTA DE EXERCÍCIOS...VAMOS PENSAR, UM POUCO...