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MATEMÁTICA DISCRETA

CÁLCULO PROPOSICIONAL

PROFESSOR

WALTER PAULETTE FATEC SP 2009 02

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CÁLCULO PROPOSICIONAL

1. Proposições

Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não

ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas.

1.1. Proposições simples

a) Pedro é aluno do Curso de Informática.

b) A terra gira em torno do sol.

c) O leite é branco.

d) 7 é quadrado perfeito.

1.2. Proposições compostas

e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América.

f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística.

g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo.

h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado.

i) ABC é triângulo eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.

1.3. Princípio da não contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).

1.4. Princípio do terceiro excluído.

Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um

terceiro.

2. Operações lógicas

O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de

proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser

efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.

2.1. Conectivos

O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber:

...não...(denota-se “ ”)

... e... (denota-se “ ”)

...ou...(denota-se “ ”)

...se,... então... (denota-se “ ”)

...se, e somente se ... (denota-se “ ”)

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O primeiro operador “ ” é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando;

os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos.

2.2. Negação

É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então A é

falsa, se A é falsa, então A é verdadeira.

A: 2/3 é um número racional. (verdade)

A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou

A: 2/3 é um número irracional. (falso)

Tabela verdade para a negação

2.3. Conjunção ( )

Essa operação-verdade corresponde ao termo “e” e seu símbolo é “ ”. Por meio da

conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B

que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.

A: Recife é a capital de Pernambuco.

B: Manaus é a capital do Amazonas.

A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas.

A B A B A B A B

V V V 1 1 1

V F F 1 0 0

F V F 0 1 0

F F F 0 0 0

Exemplo 01.

José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)

5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )

> 4 e 7 é número primo. ( F V = F )

> 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )

A A A A

V F 1 0

F V 0 1

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2.4. Disjunção ( )

Essa operação-verdade corresponde ao termo “ou” e seu símbolo é “ ”. Por meio

da disjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta

A B que será falsa somente quando A e B forem falsas.

A: Recife é a capital de Pernambuco.

B: Manaus é a capital do Amazonas.

A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas.

A B A B A B A B

V V V 1 1 1

V F V 1 0 1

F V V 0 1 1

F F F 0 0 0

Exemplo 02.

2+2=4 ou 5>3 ( V V = V)

4 ou 7 é número primo. ( F V =V)

4 ou 8 é número primo. ( F F =F )

2.5. Condicional ( )

Se chover, então irei ao cinema.

Se estudar, então serei aprovado.

Seja A: estudar

B: serei aprovado

A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição

A B (se A, então B) ou A implica B.

A tabela verdade é dada por:

A B A B A B A B

V V V 1 1 1

V F F 1 0 0

F V V 0 1 1

F F V 0 0 1

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Observação 01:

Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A , assim, se

x A B , então ,x B isto é, sempre é verdade que se x está em A B , então x

está em .B Logo, na tabela A B B é sempre verdadeira.

A B A B A B B

V V V V V V

V F F F V F

F V F F V V

F F F F V F

Observando as três últimas colunas podemos escrever:

V V = V

F F = V

F V = V

Observação 02:

Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F),

independente do valor de B.

Observação 03:

Uma proposição A B é Verdadeira sempre que B é verdadeira.

Exemplo 03.

1) Se 2 + 2 =5, então 1 1 (verdade)

2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1 (verdade)

3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão.

3) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta

serão aprovados.

Observação 04:

As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou

A: O Papa joga no Corinthians,são falsas.

2.5. Bicondicional ( )

Encontramos com freqüência a forma:

“A se, e somente se, B ” que é definida por (A B) ( B A)

A B A B B A (A B) ( B A)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

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Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.

A B A B A B A B

V V V 1 1 1

V F F 1 0 0

F V F 0 1 0

F F V 0 0 1

Exercícios de aplicação 01:

Escreva em linguagem corrente.

1) A: Está frio.

B: Está chovendo.

a) A:

b) A B:

c) A B:

d) A B;

e) A B:

f) A B:

g) A B:

2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS

B: ADS é Curso da Fatec SP

3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças.

p: Carolina é alta.

q: Carolina é elegante.

a) Carolina é alta e elegante.

b) Carolina é alta mas não é elegante.

c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante.

d) Carolina não é nem baixa nem elegante.

e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante.

4) Dar o valor lógico das proposições.

a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )

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b) Se 3 > , então 2 é racional. ( )

c) Se 3 > , então o Corinthians será campeão Paulista de 2009. ( )

d) Se 1 1, então 4 9 5 . ( )

e) 2+3=5 se, e somente se 36 6. ( )

f) 32 6 se, e somente se 2+2+2=6. ( )

2.7. Formas sentenciais

Quando estudamos as expressões numéricas, observamos expressões com as

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses,

colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando

, , , e .

2.8. Tabelas-verdade

Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.

Exemplo 04.

Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial

[( ) ( )] ( )A B A C B C

A B C A B A A C C B C

V V V V F V F F F

V V F V F F F V V

V F V F F V V F F

V F F F F F V V F

F V V V V V F F F

F V F V V V V V V

F F V V V V F F F

F F F V V V F V F

8

Exemplo 05.

Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial

[( ) ( ] ( )A B B C A C

A B C A B B C A C

V V V V V V V

V V F V F V F

V F V F V V V

V F F F V V F

F V V V V V V

F V F V F V V

F F V V V V V

F F F V V V V

Exemplo 06.

Tabela-verdade simplificada.

( ) ( )A B A B

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F


Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não).

1) ( ) ( )p q p q

2) [ ( )] ( )A B C A C

3) [( ) ( )] ( )A B C D D A

4) [( ) ( )] [( ) ( )]A C B C B A A C

5) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C A

6) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C B

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2.9. Tautologia –Contradição

Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que

sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma

contradição.

Exemplo 07. A forma sentencial que segue é uma tautologia.

( ) ( )A B A B

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F

Exemplo 08. A forma sentencial que segue é uma contradição.

( ) ( )A B A B

V V V F F F F

V V F F F F V

F V V F V F F

F F F F V V V

Exemplo 09.

Se a forma sentencial ( ( )) ( )A B C B C é falsa,

quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?

( ( )) ( )A B C B C

____________________0___________ 1ª conclusão

____1______________________ 0_______2ª conclusão

__________1____0_________1_____0___ 3ª conclusão

_________0_________________________ 4ª conclusão

_0__________0_____________________ 5ª conclusão

Assim, A=0, B=1 e C=0


As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que

podem assumir A, B, C e D?

1) [ ( )] ( )A B D A B C

2) ( ) [( ) ]A B B C C

3) ( ( ) ) (( ) ( )A B C D B E C D

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4) A B B C

5) Se a forma sentencial ( ) ( )A B C B C A é falsa, e a

sentença C B é verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade, que podem

assumir A, B e C?

Respostas dos exercícios de aplicação 02:

1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=1

4) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1

2.10. Implicações e equivalências lógicas (~)

Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial

Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia.

Exemplo 10.

Seja X: A B e Y: A B , mostremos que X ~ Y isto é

( )A B ( )A B

A B A B A B

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F F V V V V F

2.11. Equivalências lógicas Fundamentais

1E : Lei da dupla negação: ~A A

A A A

V F V

F V F

Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo.

A : Entendi essa explicação.

A : Não entendi essa explicação.

A: Não entendi nada essa explicação ~ A : entendi tudo.

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2E : Lei da idempotência: ~ ~A A A e A A A

A A A A V V V V

F F V F

A A A A V V V V

F F V F

3E : Lei da Comutatividade:

a) ~A B B A

A B B A V V V V V V V

V F F V F F V

F F V V V F F

F F F V F F F

b) ~A B B A

A B B A V V V V V V V

V F F V F F V

F F V V V F F

F F F V F F F

4E : Leis da associatividade:

a) ( ) ~ ( )A B C A B C

b) ( ) ~ ( )A B C A B C

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5E : Leis de De Morgan

a) ( ) ~ ( )A B A B

b) ( ) ~ ( )A B A B

Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F

a) ( ) ~ ( )A B A B

A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1

b) ( ) ~ ( )A B A B

A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1

Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.

6E : Leis distributivas ou de fatoração

a) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C

b) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C

7E : Leis de absorção

1) ( ) ~A A B A

2) ( ) ~A A B A

3) ( ) ~ ( )A B B A B

4) ( ) ~ ( )A B B A B

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5) Se T é tautologia e F uma contradição, então

a) ( ) ~T A A b) ( ) ~T A T

c) ( ) ~F A F d) ( ) ~F A A

Mostremos a) ( ) ~T A A

T A A 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

1 0 0 1 0

Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.

8

E : Contrapositivo.

( ) ~ ( )A B B A

A B B A 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1

9E : Eliminação da condicional

a) ( ) ~ ( )A B A B

A B A B 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

b) ( ) ~ ( )A B A B

A B A B B 1 1 1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 0 1

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10

E : Eliminação da Bicondicional

a) ( ) ~ ( ) ( )A B A B A B

A B A B A B 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 1

b) ( ) ~ ( ) ( )A B A B B A

A B A B B A 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 1


Nota: Nos exercícios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta

sendo usada.

1)A forma sentencial ( ) ( )A B A B B é logicamente

equivalente a

A) A B b) A B c) A B d) A B

2)A forma sentencial [( ) ] ( )B C A C B é logicamente

equivalente a

a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )C A B

3)A forma sentencial ( ) [ ( )]A A B A B B é

logicamente equivalente a

a) ( )A B b) A B c) A B d) ( )B A

4) A forma sentencial ( ) [( ) ]A B C A B C é logicamente

equivalente a

a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )A B C

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5) A forma sentencial

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]A B B A A B B A C A C C

é logicamente equivalente a

a) ( )A B b) ( )C A B c) ( )A B C


1)c 2) a 3) d 4) c 5)a

Observação:

Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua

simbologia. Assim

A B : lê-se: Se A , então B

A somente se B

A é condição suficiente para B .

B é condição necessária para A .

A B : A é condição necessária é suficiente para B .

Exemplo 12.

Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.

a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s)

b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)

c) A: x é ímpar B: 2x é impar (c.n.s)

d) A: x = 2 B: 2x =4 (c.s)

e) A: 2x =4 B: x = 2 (c.n)

Exemplo 13.

Dar a negação em linguagem corrente das proposições.

As rosas são amarelas e os cravos brancos.

Solução:

Definindo:

A: As rosas são amarelas.

B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever A B

Negação de A B é ( )A B ~ A B (Leis de De Morgan)

As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.

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Exemplo 14.


Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar.

Definindo:

C: estiver cansado

F: com fome

E: consigo estudar

E: não consigo estudar.

Assim, podemos escrever:( )C F E , negando:

[( ) ] ~ [ ( ) ]C F E C F E ~( )C F E .

Portanto,

Mesmo cansado ou com fome eu estudo.

Estando cansado ou com fome consigo estudar.

Exemplo 15.


A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar.

Definindo:

D: A temperatura diminuirá

C: chover

N: nevar

Assim, podemos escrever: ( )D C N , negando

[ ( )]D C N ~ [ ( )]D C N ~ ( )D C N ~ )D C N

A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando.

Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá.



1) Fará sol se, e somente se não chover.

2) Bruno é aluno MD ou pesquisador.

3) Existe menina feia.

4)Todo menino gosta de futebol.

5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.

6) Tudo que é bom engorda.

7)Todos os homens são mortais.

8)Thaís é inteligente e estuda.

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9)O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos

ajudarem.


1) Fará sol se, e somente se chover.

2) Não é aluno Bruno MD e não é pesquisador.

3) Todas as meninas não são feias.

4) Existe menino e que não gosta de futebol.

5) Existem meninas que não gostam do Corinthians.

6) Nem Tudo que é bom engorda.( Existe coisa boa e que não engorda)

7) Existem homens que não são mortais.

8) Thaís não é inteligente ou não estuda.

9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians não ganhará o

campeonato brasileiro.

2.11. Argumentos

Sejam 1 2, ,...,

nP P P e Q proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação

de que uma dada seqüência finita de proposições 1 2, ,...,

nP P P acarreta uma proposição

final Q .

1 2, ,...,

nP P P denominam-se premissas, e Q conclusão. Lê-se

1 2, ,...,

nP P P acarreta Q ou

Q decorre de 1 2, ,...,

nP P P .

Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, denomina-se

silogismo.

Um argumento 1 2, ,...,

nP P P Q é valido se, e somente se a condicional

1 2( ... )

nP P P Q é uma tautologia.

Exemplo 16.

Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma

falácia .

1) Sejam as Premissas:

i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro.

ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo.

Conclusão:

Homens solteiros morrem cedo.

Chamando

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F: Homem é feliz

S: Solteiro

C: morre Cedo

Podemos escrever a forma simbólica (argumentação) como:

[( ) ( )] ( )F S F C S C

______1________1________1___________ 1_______ 1ª conclusão

___________1__________________________________2ª conclusão

__________0___________________________________3ª conclusão

___0__________________0_______________________4ª conclusão

____________________1________1______________1_ 5ª conclusão

__________________________________1______1____final

Portanto, a argumentação é verdadeira.


i) Se um homem não fuma , então é atleta ou não é alcoólatra.

ii) Se um homem fuma, então tem câncer.

iii) Paulo não é atleta mas alcoólatra.

Conclusão:

Paulo tem câncer.

Chamando

F: Fuma

C: Câncer

At: Atleta

Al: Alcoólatra

( ( )) ( )t l t l

F A A F C A A C

______ 1____________________1__________ __ 1__________1ª conclusão

______________________________________1__ ___1____ 2ª conclusão

___________0______1_____________________0____________3ª conclusão

________________0____________________________________4ª conclusão

______________0______________________________________5ª conclusão

___0_________________________________________________6ª conclusão

_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7ª conclusão

_________________________________________________1__ Verdade__



i) Se eu não jogar xadrez,jogarei futebol.

ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol

Conclusão:

Se estiver machucado jogarei xadrez.

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Chamando

X: jogar Xadrez

F: Futebol

M: Machucado

X F M F M X

______ V_____________ V_____________________ 1ª conclusão

_______________V____________________ V hip ____ 2ª conclusão

___________________V_________________________ 3ª conclusão

___________F________________F________________ 4ª conclusão

___F__________________________________________ 5ª conclusão

______V____________________________________V__6ª conclusão

_____________________________________V_______ 7ª conclusão

_______________________________V_______________Verdade



Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .


i) Os bebes não são lógicos.

ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado.

iii) Pessoas não lógicas são desprezadas.

Conclusão:

Bebes não conseguem amestrar crocodilo.


i) O professor não erra.

ii) Andréia é distraída.

iii) Quem é distraído erra

Conclusão:

a) Andréia não é professora.

b) Nenhum professor é distraído.


i) Gracielli é estudiosa.

ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta.

Conclusão:

Gracielli será reprovada em Matemática discreta.


1) e 2) A argumentação é verdadeira.

3) A argumentação é falsa.

professor walter paulette fatec sp · uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser...

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