introdução matemática financeira

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NOTA DE AULA: INTRODUO AO CLCULO FINANCEIRO

Este material tem por objetivo apresentar os fundamentos bsicos da Matemtica

Financeira. No primeiro momento, estudaremos as implicaes da relao dinheiro e

tempo, no sentido de que , existir sempre um custo associado posse do dinheiro.

Alm disso, discutiremos os principais conceitos associados aos regimes de

capitalizao e suas operaes, incluindo o estudo das taxas envolvidas. No tema II,

abordaremos equivalncia de capitais e suas implicaes nas operaes de desconto.

Para facilitar seu aprendizado, discutimos em forma de exerccios resolvidos, com

diferentes graus de dificuldades, a teoria a ser estudada.

Tema I Regimes de Capitalizao Financeira

Contedo 1 Introduo Matemtica Financeira

Voc sabe qual o objeto de estudo da matemtica financeira?

Suponha voc um grande empresrio disposto a investir em um novo negcio. fcil

perceber que no processo de tomada de deciso todos os aspectos inerentes desta

deciso so convergidos ou apresentados sob forma de dinheiro: matria prima,

funcionrios, equipamentos, ...etc. Logo, tudo que ser investido, representa em

desembocar ou sacrificar dinheiro no tempo atual objetivando ganhar ou receber muito

mais no futuro.

Agora, voc j pode responder a minha pergunta. No ?

Ento, o objeto do estudo da matemtica financeira consiste no estudo da evoluo do

dinheiro no tempo.

Considerando que nas transaes financeiras o presente certo e o futuro

duvidoso, espera-se existir sempre uma compensao para as incertezas futuras

e a postergao do desejo imediato.

Uma evidncia prtica disso, que quando a economia mundial no vai bem, alguns

pases aumentam as taxas de juros nas operaes de crditos para minimizar os riscos.

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Mas, o que so riscos, neste contexto? a possibilidade dos planos feitos no

ocorrerem conforme esperado.

Mas porque os planos simulados? Estes so efetivados visando na oportunidade de

obter mais recursos rentveis que surjam.

Quem tem a posse do dinheiro dever torn-lo til, pois fazer qualquer investimento

implica em deixar de us-lo hoje para consumi-lo no futuro, o que ser atraente se

existir alguma compensao.

Portanto, o uso do dinheiro implica em saber administrar a utilidade, as

oportunidades e os riscos.

Em geral,

A matemtica financeira compreende um conjunto de tcnicas e formulaes extradas

da matemtica, com o objetivo de resolver problemas relacionados finanas de modo

geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo,

determinando o valor das remuneraes relativas a seu emprego.

Elementos bsicos:

A) Capital(C): o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm

conhecido como Valor presente (VP) valor atual, principal ou valor aplicado.

B) Juros(J): refere-se remunerao do capital utilizado durante certo perodo de

tempo.

Voc sabia que o dinheiro tem um custo associado ao tempo?

Ao tomarmos emprestado determinada quantia de dinheiro a outrem, por certo

prazo de tempo, cobramos uma importncia a ttulo de juros, que refere-se

remunerao pelo capital emprestado.

C) Taxa de juros (i): indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado,

para um determinado perodo.

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juros de Taxatempo

Dinheiro

Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do

perodo de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual

dividida por 100, sem o smbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Importante!

Para converter uma taxa unitria em percentual, basta multiplicar por 100%. Por

exemplo:

ano ao 15100150 a igual ms ao 150 % ,,

Tanto o prazo da operao como a taxa de juros devem necessariamente estar

expressos na mesma unidade de tempo.

Veja no quadro abaixo as abreviaturas utilizadas nas notaes das taxas:

Abreviaturas Significado

a.d ao dia

a.m. ao ms

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

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D) Montante(M) ou valor futuro(VF): o resultado da aplicao do capital inicial.

Representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o

perodo.

ICM

E) Tempo (n:) ou perodo de capitalizao, corresponde durao (dias, semanas,

meses e anos etc.) que o capital foi empregado determinada taxa de juros.

F) Regime de Capitalizao: demonstram como os juros so formados e

sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Os juros podem

ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou composto.

Por exemplo, suponha que voc pediu um emprstimo de R$ 200,00 no prazo de 3 meses,pagando-se 10% ao ms. As tabelas abaixo ilustram a evoluo destas operaes:

CAPITALIZAO SIMPLES

Perodo (n) Capital Juros simples Montante

0 2000 C

1 ms 2010,02001 J 220202001 M

2 ms 2000 C 2010,02002 J 242202202 M

3 ms 2000 C 2010,02003 J 242202203 M

CAPITALIZAO COMPOSTA

Perodo (n) Capital Juros Montante

0 2000 C

1 ms 2010,0200 J 220202001 M

2 ms 2201 MC 2210,0220 J 242222202 M

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3 ms 2422 MC 2,2410,0242 J 2,2662,242423 M

Na capitalizao simples, voc observa que:

os juros incidem somente sobre o capital inicial ou tomado emprestado;

o crescimento dos juros no tempo sempre linear; A taxa de juros totais

obtido multiplicando o perodo da aplicao pela taxa dada. Por exemplo:

%303%10 , ou seja, .6020030,0

Na capitalizao composta, voc observa que:

os juros no incidem somente sobre o capital inicial ou tomado

emprestado, mas sobre o saldo total existente no incio de cada ms; Os

juros so incorporados ao saldo devedor anterior, assim passam, a gerar

juros;

o crescimento dos juros no tempo sempre exponencial.

Na capitalizao composta h uma capitalizao dos juros, o chamado Juros

sobre juros. na capitalizao simples o valor dos juros igual a cada pero

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Fluxo de caixa: serve para demonstrar graficamente as transaes financeiras em

um perodo de tempo. O tempo (n) representado na horizontal dividido pelo

nmero de perodos relevantes para anlise. As entradas ou recebimentos so

representados por setas verticais apontadas para cima, tem sempre sinal positivo e

as sadas ou pagamentos so representados por setas verticais apontadas para

baixo, tem sempre sinal negativo. Observe o diagrama abaixo:

Operao de emprstimo Operao de aplicao

VP VF= VP + J

0 n 0 n

VF = VP + J VP

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF

o valor futuro, que ser igual ao valor que terei no final do fluxo, aps juros, entradas e

sadas.

O diagrama de fluxo de caixa torna o entendimento da operao financeira mais fcil e

simples.

Exemplos:

a. O diagrama de fluxo de caixa de um emprstimo contrado por algum no valor

de R$ 360, 00, que se quitado mediante pagamento de RS 400, 00, daqui a seis

meses, pode ser visto a seguir:

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Valor presente

VP = + R$360,00

0 n = 6 meses

Valor Futuro

VF = - R$ 400,00

b. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao no valor de R$ 500,

00 que ser resgatado em trs parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 200, 00.

R$ 200 R$ 200 R$ 200

0 1 2 3 n

R$ - 500,00

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Contedo 2 - JUROS SIMPLES OU REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES

Num regime de capitalizao simples o juro incide somente sobre o capital inicial da

operao (aplicao ou emprstimo). Logo, a juros simples, o saldo cresce em

progresso aritmtica, ou seja, o capital cresce de forma linear.

Os juros simples so calculados a partir da seguinte frmula:

Onde J = juros, C=capital ou valor presente, i = taxa de juros

Exemplo: Um capital de R$500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no Regime de

Capitalizao Simples. Qual o valor dos juros mensais?

25,00 R$ =0,05 x 500 = C.i = J

OBS: a frmula deve ser operada matematicamente sempre na forma unitria.

Para cada intervalo a que corresponde a taxa de juros temos um mesmo valor,

ento em n perodos, os juros totais sero iguais aos juros por perodo multiplicados

pelo nmero de perodos, ou seja:

No mesmo exemplo acima, suponha que o capital de R$500,00 foi aplicado a taxa

de 5% a.m. no Regime de Capitalizao Simples por 10 meses. Qual o valor dos

juros capitalizados durante o perodo de vigncia da aplicao?

reais 250 =100,05 500 =n iC = J

J = iC.

J = niC

n= perodo de

capitalizao

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O Clculo do montante ou valor futuro pode ser feita mediante o uso da frmula de

juros simples. Observe:

Certo capital empregado durante um perodo n, sob uma taxa i, ter um montante

expresso matematicamente da seguinte forma:

)1( niCM

niCCM

JCM

No exemplo anterior, para encontrarmos o montante do capital de R$500,00 aplicado a

taxa de 5% a.m. no regime de capitalizao simples por 10 meses, bastaria fazer

reais 750250500 JCM

ou,

reais. 750)1005,01(500

1(

M

niCM

Agora a sua vez:

Um capital de R$ 120,00 foi aplicado taxa de 4%a.m no regime de capitalizao

simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o perodo de

vigncia da aplicao?

VOC SABIA que em operaes de curto prazo, o modelo de juros simples aplicado

pelos bancos comerciais em operaes que adotam que adotam taxas de perodo

anuais para prazos tomados em dias. Da convencionou-se dois tipos de juros simples:

1. Juro simples ordinrio, que utiliza o ano comercial com 360 dias

ni

CJ 360

2. Juro simples exato, que utiliza o ano civil com 365 dias

ni

CJ 365

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Na prtica adotado o juro simples ordinrio. Quando mensal , admite ano

comercial com 30 dias. O juro simples exato, s usado quando for expresso de

forma explicita na operao financeira.

O juro simples restringe-se principalmente as operaes de curto prazo.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. Um capital de R$ 80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms durante um

trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros simples acumulados neste

perodo.

Ateno!!!!!!!!

A taxa(i) e o perodo (n)devem estar sempre na mesma a unidade de tempo. A idia

. alterar sempre n e evite alterar i

Soluo: C = R$ 80.000,00

i = 025,0100

2,5ms ao % 2,5

n = 3 meses

J = ?

niCJ = 80.000 x 0,025 x 3

J = 6.000,00 reais

2. Qual o valor de juros simples e o montante correspondente aplicao de um

capital de R$200.000,00 pelo prazo de 64 dias, taxa de juros simples de 15%

ao ms?

Soluo:C = R$ 200.000,00

i = 15% ao ms (0,15)

n = 64 dias

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J = ?

C=?

O prazo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo, ento: n = 64 dias =

30

64

niCJ = reais 64000 30

640,15200000

M = C + J = 200.000,00 + 64.00,00 = 264.000,00

Ou, vc pode utilizar da frmula

).1.( niCM

).1.( niCM = 200.000,00 (1 + 0,15 x 30

64)

M = 264.000,00 reais

3. Quanto devo aplicar hoje para poder resgatar, daqui a trs meses, taxa de

juros simples de 2% ao ms a quantia de R$ 60.000,00?

Soluo: C = R$ 60.000,00

i = 2 % ao ms (0,02)

n = 3 meses

J = ?

M =?

).1.( niCM

60.000,00 = C. (1 + 0,02 .3)

C = )3.02,01(

00,000.60

= 56.603,77

4. Em sete meses R$ 18.000,00 renderam R$ 4000,00 de juros. Qual a taxa

anual simples ganha?

Soluo: i = ?

n = 7 meses

12

J = 4.000

C = 18.000

J = niC ..

4.000 = 18.000 x 12

i x 7 = 0,381 = 38,1% a.a

5. Em quanto tempo, um capital de R$ 1.000,00, aplicado a taxa de juros simples

de 2,20% ao ms, produz a quantia de R$ R$ 400,00 a ttulo de juros?

Soluo: i = 2,20 % ao ms (0,022)

n = ?

J = 400,00

C = 1.000,00

niCJ

400 = 1000 x 0,022 x n

n = 022,0.1000

400 = 18,182 meses,ou seja, 18,182 x 30 dias = 545 dias.

6. Uma aplicao feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$

750,00 aps cinco meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da

operao?

Soluo: i = 10% ao ms (0,10)

n = 5

M = 750,00

C = ?

).1.( niCM

750 = C (1 + 0,10 x 5)

C = 5,1

750 = 500

Lembre-se que: em matemtica financeira, RENDIMENTO IGUAL A

JUROS!!!!!!

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Na capitalizao simples, voc pode calcular prazos mdios, ponderados em

funo dos volumes aplicados.

Contedo 3 - JUROS COMPOSTOS OU REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA

A incidncia de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incide sobre o

montante acumulado no final do perodo anterior. Num regime de capitalizao a juros

compostos o saldo cresce em exponencialmente.

Com base na tabela, se investirmos um capital C por um perodo n a uma taxa de juros

i, teremos um montante, no fim do perodo, obtido por

Evoluo do montante ao longo de n perodos 1ms

2ms

3ms

n ms

.

Temos ento, que a frmula do montante uma funo exponencial do tipo:

( ) nM n C a

1)1()1( iCM

2)1()1(

)1(

)1()2( iCi

M

iCM

3)1()1(

)2(

2)1()3( iCi

M

iCM

niCi

nM

niCnM )1()1(

)1(

1)1()(

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onde 0) i1( a uma constante.

A equao de capitalizao de juros compostos pode ser apresentada da seguinte

forma:

onde M = Montante, C= capital (ou valor presente), i=taxa, n=perodo de capitalizao.

Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 550,00 taxa de 20% ao ano durante 4 meses.

Determine o valor acumulado ao final desse perodo.

4 meses = 4/12 ao ano

niCM )1(

M= 550 (1 + 0,2)4/12 = 584,46

Obs: no regime de juros compostos nunca divida ou multiplique a taxa de juros!!

Para calcularmos apenas os juros bastam diminuir o principal do montante ao final do

perodo:

No caso do exemplo acima o valor dos juros ser de :

CMJ = 584,46 550 = 84,46

Para consolidar este contedo, segue uma situao bem prtica:

Voc precisa ir ao banco, hoje, para tomar emprestado R$ 850,00 reais. O

pagamento dever ser efetuado daqui a 60 dias, e foi anunciada a cobrana de

niCM )1(

CMJ

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uma taxa de 6,5% a.m. Por quanto tempo o emprstimo dever ficar retido no

banco, de forma que o banco alavanque seu ganho em 8%a.m?

O primeiro passo, vc estimar o montante ou valor futuro aps 2, considerando a taxa

aplicada:

09,964)065,01(850

)1(

2

M

iCM n

Com o valor obtido, voc estima qual deve ser o prazo da operao, para atingir

uma taxa de 8%a.m. Logo,

Assim:

meses 6365,1)08,1ln(

850

0913,964ln

)08,1ln(850

0913,964ln

)08,1ln(850

0913,964ln

)08,1(850

0913,964

)08,01(85009,964

)1(

n

n

iCM

n

n

n

n

Assim, para se obter o perodo de reteno, basta calcular a diferena em meses, entre o prazo

anunciado na cobrana e desejado pelo banco:

2-1,6365= 0,3635 meses. O nmero em dias encontrado, fazendo 10,905030 0,3635 , que

representa, aproximando, 11 dias de reteno.

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. Qual o valor de regate relativo aplicao de um capital de R$ 500.000,00 por

18 meses, taxa de juros compostos de 10 % ao ms?

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Soluo: C = 500.000,00

i = 10% ao ms = 0,10

n = 18 meses

M = ?

niCM )1( = 500.000 (1 + 0,10)18 = 2.779.958,66

2. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$

100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms?

Soluo: C = ?

i = 2% ao ms = 0,02

M = 100.000,00

niCM )1(

ni

MC

)1( =

12)02,01(

,000.100

= 78.849,32

3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicao de R$

40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um

quadrimestre.

Soluo: C = 40.000,00

VF = 43.894,63

n = 4 meses

i = ?

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niCM )1( = niC

M)1( = 4)1(

00,000.40

63,894.43i =

1,097366 = 41 i

4 097366,1 = 4 41 i

1 + i = 1,0235

i = 0,0235 ou 2,35% ao ms

4. Uma aplicao de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, taxa

composta de juros de 2,4% ao ms, um montante de R$ 26.596,40 em certa

data futura. Calcular o prazo da operao.

Soluo: C = R$ 22.000,00

M = R$ 26.596,40

i = 2,4% a.m.

n = ?

niCM )1(

niC

M)1( = n024,01

00,000.22

40,596.26 =

1,208927 = (1,024)n

Aplicando-se logaritmos tem-se:

Log 1,208927 = n x log 1,024

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8010300,0

082400,0

024,1log

208927,1logn meses

5. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por dez meses a juros

efetivos de 2% a.m.?

CMJ

niCM )1(

000.402,1000.4 10J R$ 875,98

6. Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m.,

rende R$ 10.000.

Soluo: n = 7 meses

J= 10.000,00

i = 4% a.m. = 0,04

C = ?

Substituindo niCM )1( em CMJ , obtemos a seguinte expresso:

CiMJ n 1 .

Substituindo os dados da questo na expresso acima, obtemos:

10.000 = C (1 + 0,04)7 C

C = 104,1

000.107

= R$ 31.652, 40

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BIBLIOGRAFIA

BRUNI, Adriano Leal; FAM, Rubens. Matemtica Financeira: com HP12C e Excel. So Paulo: atlas, 2002.(Srie Finanas na Prtica). MATHIAS,W.E.; GOMES,J.M. Matemtica Financeira: com mais de 600 exerccios resolvidos e propostos . 2 ed. So Paulo: Atlas.1996. SAMANEZ,C.P. Matamtica Financeira: Aplicaes Anlise de Investimentos.3 ed. So paulo:Makron. KUHNN, O.L.; BAUER, U.R.Matemtica Finaceira aplicada e Anlise de Investimentos. 2 ed. So Paulo: Atlas, 1996. ASSAF, A.N. Matemtica financeira e suas aplicaes. 8 ed. So Paulo: Atlas, 2003.