introdução matemática financeira
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NOTA DE AULA: INTRODUO AO CLCULO FINANCEIRO
Este material tem por objetivo apresentar os fundamentos bsicos da Matemtica
Financeira. No primeiro momento, estudaremos as implicaes da relao dinheiro e
tempo, no sentido de que , existir sempre um custo associado posse do dinheiro.
Alm disso, discutiremos os principais conceitos associados aos regimes de
capitalizao e suas operaes, incluindo o estudo das taxas envolvidas. No tema II,
abordaremos equivalncia de capitais e suas implicaes nas operaes de desconto.
Para facilitar seu aprendizado, discutimos em forma de exerccios resolvidos, com
diferentes graus de dificuldades, a teoria a ser estudada.
Tema I Regimes de Capitalizao Financeira
Contedo 1 Introduo Matemtica Financeira
Voc sabe qual o objeto de estudo da matemtica financeira?
Suponha voc um grande empresrio disposto a investir em um novo negcio. fcil
perceber que no processo de tomada de deciso todos os aspectos inerentes desta
deciso so convergidos ou apresentados sob forma de dinheiro: matria prima,
funcionrios, equipamentos, ...etc. Logo, tudo que ser investido, representa em
desembocar ou sacrificar dinheiro no tempo atual objetivando ganhar ou receber muito
mais no futuro.
Agora, voc j pode responder a minha pergunta. No ?
Ento, o objeto do estudo da matemtica financeira consiste no estudo da evoluo do
dinheiro no tempo.
Considerando que nas transaes financeiras o presente certo e o futuro
duvidoso, espera-se existir sempre uma compensao para as incertezas futuras
e a postergao do desejo imediato.
Uma evidncia prtica disso, que quando a economia mundial no vai bem, alguns
pases aumentam as taxas de juros nas operaes de crditos para minimizar os riscos.
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Mas, o que so riscos, neste contexto? a possibilidade dos planos feitos no
ocorrerem conforme esperado.
Mas porque os planos simulados? Estes so efetivados visando na oportunidade de
obter mais recursos rentveis que surjam.
Quem tem a posse do dinheiro dever torn-lo til, pois fazer qualquer investimento
implica em deixar de us-lo hoje para consumi-lo no futuro, o que ser atraente se
existir alguma compensao.
Portanto, o uso do dinheiro implica em saber administrar a utilidade, as
oportunidades e os riscos.
Em geral,
A matemtica financeira compreende um conjunto de tcnicas e formulaes extradas
da matemtica, com o objetivo de resolver problemas relacionados finanas de modo
geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo,
determinando o valor das remuneraes relativas a seu emprego.
Elementos bsicos:
A) Capital(C): o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm
conhecido como Valor presente (VP) valor atual, principal ou valor aplicado.
B) Juros(J): refere-se remunerao do capital utilizado durante certo perodo de
tempo.
Voc sabia que o dinheiro tem um custo associado ao tempo?
Ao tomarmos emprestado determinada quantia de dinheiro a outrem, por certo
prazo de tempo, cobramos uma importncia a ttulo de juros, que refere-se
remunerao pelo capital emprestado.
C) Taxa de juros (i): indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado,
para um determinado perodo.
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juros de Taxatempo
Dinheiro
Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do
perodo de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o smbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Importante!
Para converter uma taxa unitria em percentual, basta multiplicar por 100%. Por
exemplo:
ano ao 15100150 a igual ms ao 150 % ,,
Tanto o prazo da operao como a taxa de juros devem necessariamente estar
expressos na mesma unidade de tempo.
Veja no quadro abaixo as abreviaturas utilizadas nas notaes das taxas:
Abreviaturas Significado
a.d ao dia
a.m. ao ms
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
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D) Montante(M) ou valor futuro(VF): o resultado da aplicao do capital inicial.
Representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o
perodo.
ICM
E) Tempo (n:) ou perodo de capitalizao, corresponde durao (dias, semanas,
meses e anos etc.) que o capital foi empregado determinada taxa de juros.
F) Regime de Capitalizao: demonstram como os juros so formados e
sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Os juros podem
ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou composto.
Por exemplo, suponha que voc pediu um emprstimo de R$ 200,00 no prazo de 3 meses,pagando-se 10% ao ms. As tabelas abaixo ilustram a evoluo destas operaes:
CAPITALIZAO SIMPLES
Perodo (n) Capital Juros simples Montante
0 2000 C
1 ms 2010,02001 J 220202001 M
2 ms 2000 C 2010,02002 J 242202202 M
3 ms 2000 C 2010,02003 J 242202203 M
CAPITALIZAO COMPOSTA
Perodo (n) Capital Juros Montante
0 2000 C
1 ms 2010,0200 J 220202001 M
2 ms 2201 MC 2210,0220 J 242222202 M
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3 ms 2422 MC 2,2410,0242 J 2,2662,242423 M
Na capitalizao simples, voc observa que:
os juros incidem somente sobre o capital inicial ou tomado emprestado;
o crescimento dos juros no tempo sempre linear; A taxa de juros totais
obtido multiplicando o perodo da aplicao pela taxa dada. Por exemplo:
%303%10 , ou seja, .6020030,0
Na capitalizao composta, voc observa que:
os juros no incidem somente sobre o capital inicial ou tomado
emprestado, mas sobre o saldo total existente no incio de cada ms; Os
juros so incorporados ao saldo devedor anterior, assim passam, a gerar
juros;
o crescimento dos juros no tempo sempre exponencial.
Na capitalizao composta h uma capitalizao dos juros, o chamado Juros
sobre juros. na capitalizao simples o valor dos juros igual a cada pero
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Fluxo de caixa: serve para demonstrar graficamente as transaes financeiras em
um perodo de tempo. O tempo (n) representado na horizontal dividido pelo
nmero de perodos relevantes para anlise. As entradas ou recebimentos so
representados por setas verticais apontadas para cima, tem sempre sinal positivo e
as sadas ou pagamentos so representados por setas verticais apontadas para
baixo, tem sempre sinal negativo. Observe o diagrama abaixo:
Operao de emprstimo Operao de aplicao
VP VF= VP + J
0 n 0 n
VF = VP + J VP
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF
o valor futuro, que ser igual ao valor que terei no final do fluxo, aps juros, entradas e
sadas.
O diagrama de fluxo de caixa torna o entendimento da operao financeira mais fcil e
simples.
Exemplos:
a. O diagrama de fluxo de caixa de um emprstimo contrado por algum no valor
de R$ 360, 00, que se quitado mediante pagamento de RS 400, 00, daqui a seis
meses, pode ser visto a seguir:
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Valor presente
VP = + R$360,00
0 n = 6 meses
Valor Futuro
VF = - R$ 400,00
b. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao no valor de R$ 500,
00 que ser resgatado em trs parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 200, 00.
R$ 200 R$ 200 R$ 200
0 1 2 3 n
R$ - 500,00
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Contedo 2 - JUROS SIMPLES OU REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES
Num regime de capitalizao simples o juro incide somente sobre o capital inicial da
operao (aplicao ou emprstimo). Logo, a juros simples, o saldo cresce em
progresso aritmtica, ou seja, o capital cresce de forma linear.
Os juros simples so calculados a partir da seguinte frmula:
Onde J = juros, C=capital ou valor presente, i = taxa de juros
Exemplo: Um capital de R$500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no Regime de
Capitalizao Simples. Qual o valor dos juros mensais?
25,00 R$ =0,05 x 500 = C.i = J
OBS: a frmula deve ser operada matematicamente sempre na forma unitria.
Para cada intervalo a que corresponde a taxa de juros temos um mesmo valor,
ento em n perodos, os juros totais sero iguais aos juros por perodo multiplicados
pelo nmero de perodos, ou seja:
No mesmo exemplo acima, suponha que o capital de R$500,00 foi aplicado a taxa
de 5% a.m. no Regime de Capitalizao Simples por 10 meses. Qual o valor dos
juros capitalizados durante o perodo de vigncia da aplicao?
reais 250 =100,05 500 =n iC = J
J = iC.
J = niC
n= perodo de
capitalizao
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O Clculo do montante ou valor futuro pode ser feita mediante o uso da frmula de
juros simples. Observe:
Certo capital empregado durante um perodo n, sob uma taxa i, ter um montante
expresso matematicamente da seguinte forma:
)1( niCM
niCCM
JCM
No exemplo anterior, para encontrarmos o montante do capital de R$500,00 aplicado a
taxa de 5% a.m. no regime de capitalizao simples por 10 meses, bastaria fazer
reais 750250500 JCM
ou,
reais. 750)1005,01(500
1(
M
niCM
Agora a sua vez:
Um capital de R$ 120,00 foi aplicado taxa de 4%a.m no regime de capitalizao
simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o perodo de
vigncia da aplicao?
VOC SABIA que em operaes de curto prazo, o modelo de juros simples aplicado
pelos bancos comerciais em operaes que adotam que adotam taxas de perodo
anuais para prazos tomados em dias. Da convencionou-se dois tipos de juros simples:
1. Juro simples ordinrio, que utiliza o ano comercial com 360 dias
ni
CJ 360
2. Juro simples exato, que utiliza o ano civil com 365 dias
ni
CJ 365
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Na prtica adotado o juro simples ordinrio. Quando mensal , admite ano
comercial com 30 dias. O juro simples exato, s usado quando for expresso de
forma explicita na operao financeira.
O juro simples restringe-se principalmente as operaes de curto prazo.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Um capital de R$ 80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms durante um
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros simples acumulados neste
perodo.
Ateno!!!!!!!!
A taxa(i) e o perodo (n)devem estar sempre na mesma a unidade de tempo. A idia
. alterar sempre n e evite alterar i
Soluo: C = R$ 80.000,00
i = 025,0100
2,5ms ao % 2,5
n = 3 meses
J = ?
niCJ = 80.000 x 0,025 x 3
J = 6.000,00 reais
2. Qual o valor de juros simples e o montante correspondente aplicao de um
capital de R$200.000,00 pelo prazo de 64 dias, taxa de juros simples de 15%
ao ms?
Soluo:C = R$ 200.000,00
i = 15% ao ms (0,15)
n = 64 dias
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J = ?
C=?
O prazo e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo, ento: n = 64 dias =
30
64
niCJ = reais 64000 30
640,15200000
M = C + J = 200.000,00 + 64.00,00 = 264.000,00
Ou, vc pode utilizar da frmula
).1.( niCM
).1.( niCM = 200.000,00 (1 + 0,15 x 30
64)
M = 264.000,00 reais
3. Quanto devo aplicar hoje para poder resgatar, daqui a trs meses, taxa de
juros simples de 2% ao ms a quantia de R$ 60.000,00?
Soluo: C = R$ 60.000,00
i = 2 % ao ms (0,02)
n = 3 meses
J = ?
M =?
).1.( niCM
60.000,00 = C. (1 + 0,02 .3)
C = )3.02,01(
00,000.60
= 56.603,77
4. Em sete meses R$ 18.000,00 renderam R$ 4000,00 de juros. Qual a taxa
anual simples ganha?
Soluo: i = ?
n = 7 meses
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J = 4.000
C = 18.000
J = niC ..
4.000 = 18.000 x 12
i x 7 = 0,381 = 38,1% a.a
5. Em quanto tempo, um capital de R$ 1.000,00, aplicado a taxa de juros simples
de 2,20% ao ms, produz a quantia de R$ R$ 400,00 a ttulo de juros?
Soluo: i = 2,20 % ao ms (0,022)
n = ?
J = 400,00
C = 1.000,00
niCJ
400 = 1000 x 0,022 x n
n = 022,0.1000
400 = 18,182 meses,ou seja, 18,182 x 30 dias = 545 dias.
6. Uma aplicao feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$
750,00 aps cinco meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da
operao?
Soluo: i = 10% ao ms (0,10)
n = 5
M = 750,00
C = ?
).1.( niCM
750 = C (1 + 0,10 x 5)
C = 5,1
750 = 500
Lembre-se que: em matemtica financeira, RENDIMENTO IGUAL A
JUROS!!!!!!
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Na capitalizao simples, voc pode calcular prazos mdios, ponderados em
funo dos volumes aplicados.
Contedo 3 - JUROS COMPOSTOS OU REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA
A incidncia de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incide sobre o
montante acumulado no final do perodo anterior. Num regime de capitalizao a juros
compostos o saldo cresce em exponencialmente.
Com base na tabela, se investirmos um capital C por um perodo n a uma taxa de juros
i, teremos um montante, no fim do perodo, obtido por
Evoluo do montante ao longo de n perodos 1ms
2ms
3ms
n ms
.
Temos ento, que a frmula do montante uma funo exponencial do tipo:
( ) nM n C a
1)1()1( iCM
2)1()1(
)1(
)1()2( iCi
M
iCM
3)1()1(
)2(
2)1()3( iCi
M
iCM
niCi
nM
niCnM )1()1(
)1(
1)1()(
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onde 0) i1( a uma constante.
A equao de capitalizao de juros compostos pode ser apresentada da seguinte
forma:
onde M = Montante, C= capital (ou valor presente), i=taxa, n=perodo de capitalizao.
Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 550,00 taxa de 20% ao ano durante 4 meses.
Determine o valor acumulado ao final desse perodo.
4 meses = 4/12 ao ano
niCM )1(
M= 550 (1 + 0,2)4/12 = 584,46
Obs: no regime de juros compostos nunca divida ou multiplique a taxa de juros!!
Para calcularmos apenas os juros bastam diminuir o principal do montante ao final do
perodo:
No caso do exemplo acima o valor dos juros ser de :
CMJ = 584,46 550 = 84,46
Para consolidar este contedo, segue uma situao bem prtica:
Voc precisa ir ao banco, hoje, para tomar emprestado R$ 850,00 reais. O
pagamento dever ser efetuado daqui a 60 dias, e foi anunciada a cobrana de
niCM )1(
CMJ
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uma taxa de 6,5% a.m. Por quanto tempo o emprstimo dever ficar retido no
banco, de forma que o banco alavanque seu ganho em 8%a.m?
O primeiro passo, vc estimar o montante ou valor futuro aps 2, considerando a taxa
aplicada:
09,964)065,01(850
)1(
2
M
iCM n
Com o valor obtido, voc estima qual deve ser o prazo da operao, para atingir
uma taxa de 8%a.m. Logo,
Assim:
meses 6365,1)08,1ln(
850
0913,964ln
)08,1ln(850
0913,964ln
)08,1ln(850
0913,964ln
)08,1(850
0913,964
)08,01(85009,964
)1(
n
n
iCM
n
n
n
n
Assim, para se obter o perodo de reteno, basta calcular a diferena em meses, entre o prazo
anunciado na cobrana e desejado pelo banco:
2-1,6365= 0,3635 meses. O nmero em dias encontrado, fazendo 10,905030 0,3635 , que
representa, aproximando, 11 dias de reteno.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Qual o valor de regate relativo aplicao de um capital de R$ 500.000,00 por
18 meses, taxa de juros compostos de 10 % ao ms?
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Soluo: C = 500.000,00
i = 10% ao ms = 0,10
n = 18 meses
M = ?
niCM )1( = 500.000 (1 + 0,10)18 = 2.779.958,66
2. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$
100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms?
Soluo: C = ?
i = 2% ao ms = 0,02
M = 100.000,00
niCM )1(
ni
MC
)1( =
12)02,01(
,000.100
= 78.849,32
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicao de R$
40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um
quadrimestre.
Soluo: C = 40.000,00
VF = 43.894,63
n = 4 meses
i = ?
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niCM )1( = niC
M)1( = 4)1(
00,000.40
63,894.43i =
1,097366 = 41 i
4 097366,1 = 4 41 i
1 + i = 1,0235
i = 0,0235 ou 2,35% ao ms
4. Uma aplicao de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, taxa
composta de juros de 2,4% ao ms, um montante de R$ 26.596,40 em certa
data futura. Calcular o prazo da operao.
Soluo: C = R$ 22.000,00
M = R$ 26.596,40
i = 2,4% a.m.
n = ?
niCM )1(
niC
M)1( = n024,01
00,000.22
40,596.26 =
1,208927 = (1,024)n
Aplicando-se logaritmos tem-se:
Log 1,208927 = n x log 1,024
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8010300,0
082400,0
024,1log
208927,1logn meses
5. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por dez meses a juros
efetivos de 2% a.m.?
CMJ
niCM )1(
000.402,1000.4 10J R$ 875,98
6. Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m.,
rende R$ 10.000.
Soluo: n = 7 meses
J= 10.000,00
i = 4% a.m. = 0,04
C = ?
Substituindo niCM )1( em CMJ , obtemos a seguinte expresso:
CiMJ n 1 .
Substituindo os dados da questo na expresso acima, obtemos:
10.000 = C (1 + 0,04)7 C
C = 104,1
000.107
= R$ 31.652, 40
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BIBLIOGRAFIA
BRUNI, Adriano Leal; FAM, Rubens. Matemtica Financeira: com HP12C e Excel. So Paulo: atlas, 2002.(Srie Finanas na Prtica). MATHIAS,W.E.; GOMES,J.M. Matemtica Financeira: com mais de 600 exerccios resolvidos e propostos . 2 ed. So Paulo: Atlas.1996. SAMANEZ,C.P. Matamtica Financeira: Aplicaes Anlise de Investimentos.3 ed. So paulo:Makron. KUHNN, O.L.; BAUER, U.R.Matemtica Finaceira aplicada e Anlise de Investimentos. 2 ed. So Paulo: Atlas, 1996. ASSAF, A.N. Matemtica financeira e suas aplicaes. 8 ed. So Paulo: Atlas, 2003.