instituto galileo galilei prof. luis fábio. probabilidades aplicada na teoria dos jogos física...

Instituto Galileo GalileiInstituto Galileo Galilei

Prof. Luis FábioProf. Luis Fábio

PROBABILIDADESPROBABILIDADES

aplicada naaplicada na

Teoria dos JogosTeoria dos JogosFísicaFísica

GenéticaGenéticaEstatísticaEstatística

O que é sorte?O que é sorte?

Eu definiria como “Eu definiria como “eventos que eventos que influenciam nossas vidas (ou dos outros) influenciam nossas vidas (ou dos outros) e que, pelo menos aparentemente, estão e que, pelo menos aparentemente, estão

fora de nosso controlefora de nosso controle”.”.

A A FísicaFísica moderna (mecânica moderna (mecânica quântica) já mostrou que o Universo quântica) já mostrou que o Universo funciona de fato com fatores funciona de fato com fatores aleatórios. Do ponto de vista da aleatórios. Do ponto de vista da FilosofiaFilosofia, esse é também um ponto a , esse é também um ponto a ser considerado: qualquer um que ser considerado: qualquer um que acha que tem controle rígido e acha que tem controle rígido e detalhado de suas vidas está vivendo detalhado de suas vidas está vivendo uma ilusão.uma ilusão.

Em algumas situações, é possível Em algumas situações, é possível ampliar suas chances de sucesso ao ampliar suas chances de sucesso ao adotar determinadas posturas e adotar determinadas posturas e procedimentos que minimizem riscos. procedimentos que minimizem riscos. Isso é estudado na Isso é estudado na PsicologiaPsicologia, por , por exemplo.exemplo.

Aqui entra: seu preparo profissional e Aqui entra: seu preparo profissional e acadêmico, planejamento, experiência acadêmico, planejamento, experiência no tema, dedicação, perseverança etc.no tema, dedicação, perseverança etc.

O Universo (e a Vida) são previsíveis ou O Universo (e a Vida) são previsíveis ou são compostos de elementos são compostos de elementos incontroláveis?incontroláveis?

Einstein acreditava que “deus não joga Einstein acreditava que “deus não joga dados”... Essa é uma frase sempre mal dados”... Essa é uma frase sempre mal citada, pois mostra um dos poucos erros citada, pois mostra um dos poucos erros dele, ao crer no ideia de universo dele, ao crer no ideia de universo mecânico.mecânico.

O fato é que “deus joga dados” (Stephen O fato é que “deus joga dados” (Stephen Hawking)...Hawking)...

Física e UniversoFísica e Universo

Mecânica Quântica: “deus” Mecânica Quântica: “deus” joga dados.joga dados.

http://www.youtube.com/watch?v=pCgR6kns5Mchttp://www.youtube.com/watch?v=pCgR6kns5Mc

O universo (e a vida) O universo (e a vida) funcionam com participação funcionam com participação de eventos probabilísticos.de eventos probabilísticos.

ProbabilidadeProbabilidade

P = P = (o que vc quer)(o que vc quer)

(total de (total de possibilidades)possibilidades)

ProbabilidadeProbabilidade

A probabilidade pode ser A probabilidade pode ser expressa como expressa como fraçãofração ou como ou como porcentagemporcentagem..

UniversoUniverso

Pode variar de 0 (zero) = 0% - Pode variar de 0 (zero) = 0% - impossívelimpossível de ocorrer de ocorrer

até até 1 (100%) – 1 (100%) – certezacerteza que vai que vai

ocorrer.ocorrer.

O resto está entre os dois O resto está entre os dois extremos e pode ser previsto.extremos e pode ser previsto.

Análise Análise CombinatóriaCombinatória Recorde Recorde

como mapear como mapear o espaço o espaço amostral a amostral a partir desta partir desta questão do questão do Enem 2012Enem 2012::

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Qual a chance de jogar : Qual a chance de jogar uma moeda duas vezes e uma moeda duas vezes e dar dar caracara (K) nas duas? (K) nas duas?

MapaMapa: : KK cc Kc cKKK cc Kc cK

P = ¼ = 0,25 = 25%P = ¼ = 0,25 = 25%

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Probabilidade de jogar : Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai um dado, apostar que vai dar “dar “55” e ganhar?” e ganhar?

P = 1/6 = 0,166 = 16,6%P = 1/6 = 0,166 = 16,6%

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Probabilidade de jogar : Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai um dado, apostar que vai dar “dar “44 ouou “ “55” e ganhar?” e ganhar?

P = 2/6 = 1/3 = 0,333 = P = 2/6 = 1/3 = 0,333 = P=33,3% P=33,3%

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Probabilidade de jogar : Probabilidade de jogar um dado apostando que a um dado apostando que a face seja face seja parpar, e ganhar?, e ganhar?

P = 3/6 = 0,5 = 50%P = 3/6 = 0,5 = 50%

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Probabilidade : Probabilidade de jogar dois de jogar dois dados, apostando dados, apostando na soma das na soma das faces igual a 11 e faces igual a 11 e ganhar?ganhar?

MapaMapa: : resultadosresultados

P = 2/36 = 1/18 P = 2/36 = 1/18 = 0,055 = 5,5%= 0,055 = 5,5%

Distribuição Estatística – Distribuição Estatística – SimuladorSimulador

http://phet.colorado.edu/sims/plinko-http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.htmlprobability/plinko-probability_en.html

Note que é a mesma que fizemos Note que é a mesma que fizemos para o mapa de lançamento dos dois para o mapa de lançamento dos dois dados e aparece em casos de dados e aparece em casos de geografia, populações, medicina, etc.geografia, populações, medicina, etc.

Jogo de Dados – SimuladorJogo de Dados – Simulador

http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math8/strand4/4201.htmmath8/strand4/4201.htm

ProbabilidadeProbabilidade

ExEx: Qual a probabilidade de : Qual a probabilidade de jogar um só dado duas jogar um só dado duas vezes seguidas e dar 6 nas vezes seguidas e dar 6 nas duas vezes que você jogar? duas vezes que você jogar?

É a mesma coisa que jogar É a mesma coisa que jogar dois dados de uma só vez, dois dados de uma só vez, apostar em soma 12 e apostar em soma 12 e ganhar?ganhar?

SoluçãoSolução::Jogar um dado só duas vezes:Jogar um dado só duas vezes:

P = (1/6) . (1/6) = 1/36P = (1/6) . (1/6) = 1/36

Jogar os dois de uma vez Jogar os dois de uma vez (o mapa (o mapa teria 36 pares possíveis):teria 36 pares possíveis):

1/61/6

1/36

Um baralho tem 52 cartas, Um baralho tem 52 cartas, divididos em 4 naipes. Cada divididos em 4 naipes. Cada naipe tem um ás, um rei, uma naipe tem um ás, um rei, uma dama e um valete.dama e um valete.

Paus, Copas, Espadas, Ouros - Então cada naipe tem uma série de 13 cartas

Questão:Questão: a) De um baralho a) De um baralho completo, qual a chance de completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e pegar uma carta sem olhar e ser um ás?ser um ás?

Solução: 4 cartas serviriamSolução: 4 cartas serviriam

P = 4/52 = 1/13 = 0,076 = 7,6%

Questão:Questão: b) De um baralho b) De um baralho completo, qual a chance de completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e pegar uma carta sem olhar e ser um ás de ouros?ser um ás de ouros?

Solução: só 1 carta serviriaSolução: só 1 carta serviria

P = 1/52 = 0,0192 = 1,9%

Questão:Questão: c) De um baralho c) De um baralho completo, qual a chance de completo, qual a chance de pegar primeiro um rei de pegar primeiro um rei de espadas e depois tirar um espadas e depois tirar um valete?valete?

Solução: na primeira só 1 carta Solução: na primeira só 1 carta serviria serviria

e depois qualquer valetee depois qualquer valete

P = 1/52 . 4/51 = 4/2652 = 0,001 = P = 0,1%

Questões:Questões: d) Qual a chance de d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama?ás e depois uma dama?

e) Qual a chance de tirar duas e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando no cartas do baralho, ficando no fim com um ás e uma dama?fim com um ás e uma dama?

Questões:Questões: d) Qual a chance de d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama?ás e depois uma dama?

P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 = 0,6%P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 = 0,6%

e) Qual a chance de tirar duas e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando com cartas do baralho, ficando com um ás e uma dama?um ás e uma dama?

P = Ás/Dama P = Ás/Dama ouou Dama/Ás Dama/Ás P = 0,6 % . (2) = 1,2%P = 0,6 % . (2) = 1,2%

Questões:Questões:

f) Tirar dois valetes na f) Tirar dois valetes na sequência?sequência?

P = 4/52 . 3/51 = 12/2652 P = 4/52 . 3/51 = 12/2652

P = 0,0045 = 0,4%P = 0,0045 = 0,4%

Caixa com SorteioCaixa com SorteioUma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são

azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas.azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas.

Qual a probabilidade de:Qual a probabilidade de:a)a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?b)b) Tirar uma e ela ser amarela?Tirar uma e ela ser amarela?c)c) Tirar duas azuis seguidas?Tirar duas azuis seguidas?d)d) Tirar uma preta e depois uma azul?Tirar uma preta e depois uma azul?e)e) Tirar duas, ficando com uma azul e uma Tirar duas, ficando com uma azul e uma

preta?preta?f)f) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?g)g) Tirar uma e ela não ser preta?Tirar uma e ela não ser preta?h)h) Tirar uma bola vermelha? Tirar uma bola vermelha?

Total:16 bolasTotal:16 bolas10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.

a)a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?b)b) Tirar uma e ela ser amarela?Tirar uma e ela ser amarela?c)c) Tirar duas azuis seguidas?Tirar duas azuis seguidas?d)d) Tirar uma preta e depois uma azul?Tirar uma preta e depois uma azul?e)e) Tirar duas, ficando com uma azul e uma Tirar duas, ficando com uma azul e uma

preta?preta?f)f) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?g)g) Tirar uma e ela não ser preta?Tirar uma e ela não ser preta?h)h) Tirar uma bola vermelha? Tirar uma bola vermelha?

Total:16 bolasTotal:16 bolas10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.

Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?

P = 10/16 = 5/8P = 10/16 = 5/8

Tirar uma e ela ser amarela?Tirar uma e ela ser amarela?

P = 2/16 = 1/8P = 2/16 = 1/8

Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL)Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL)

P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL)Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL)

P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24

Total:16 bolasTotal:16 bolas10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas.

Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta?Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta?

P = 4/16 . 10/15 (Preta, Azul)P = 4/16 . 10/15 (Preta, Azul) P = 10/16 . 4/15 (Azul, Preta)P = 10/16 . 4/15 (Azul, Preta) EntãoEntão: P = (4/24). 2 = 8/24 = 1/3: P = (4/24). 2 = 8/24 = 1/3

Tirar uma só, e ela ser azul Tirar uma só, e ela ser azul ouou amarela? amarela?

P = 12/16 = ¾ (75%)P = 12/16 = ¾ (75%)

Tirar uma e ela Tirar uma e ela nãonão ser preta? ser preta? P = 12/16 = ¾ (P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!)veja que é a mesma que a pergunta de cima!!)

Tirar uma bola vermelha? Tirar uma bola vermelha?

P = 0/16 = 0 (impossível)!P = 0/16 = 0 (impossível)!

Caça NíquelCaça Níquel

ObjetivoObjetivo: girar e tirar três : girar e tirar três frutas iguais. frutas iguais.

No caso mais simples:

Se tem 5 tipos de frutas, para dar 3 iguais:

P = 1/5 . 1/5 . 1/5 = 1/125

Logo: P = 5 (1/125) = 1/25

Caça NíquelCaça Níquel

ObjetivoObjetivo: tirar seu dinheiro: tirar seu dinheiro

OBMEP 2011OBMEP 2011

Ana Bárbara Carol

Cada uma comprou três blusas iguais da mesma cor, uma amarela, outra verde e outra preta. Qual a chance de saírem juntas e as três com a mesma blusa?

P = 3 . 3 . 3 = 27 (total de possibilidades no mapa geral)

Dessas, 3 são combinações repetidas (AAA, VVV, PPP)

Então: P = 3 / 27 = 1/9

3 3 3

ExercíciosExercíciosNum campeonato de Poker a tabela mostra

os resultados das últimas partidas:

Qual a chance de:

a)O jogador A ganhar a próxima partida?

b)O jogador B perder a próxima?

c) C ou D ganharem a próxima?

jogadojogadorr

jogoujogou ganhoganhouu

AA 1212 66

BB 1212 33

CC 1212 22

DD 1212 11

ExercíciosExercíciosO jogador A ganhar a próxima partida?

P = 6/12 = ½ (50%)

O jogador B perder a próxima?

P = 9/12 = ¾ (75%)

C ou D ganharem a próxima?

P = 3/12 = ¼ (25%)

jogadorjogador jogoujogou ganhouganhou

AA 1212 66

BB 1212 33

CC 1212 22

DD 1212 11

ExercíciosExercícios

Nos treinos de futebol de uma equipe, o batedor de pênaltis oficial costuma acertar 4/5 das cobranças que faz. Qual a probabilidade dele entrar num jogo, ser chamado para cobrar dois pênaltis e errar os dois?

ExercíciosExercíciosVeja:

Estatística com Combinatória...

Para isso ocorrer ele tem que errar os dois.

A chance dele cobrar o primeiro e errar é de 1/5. Idem para errar o segundo pênalti (que não depende do primeiro).

P = 1/5 . 1/5 = 1/25

errar errar

BIOLOGIABIOLOGIA

GenéticaGenética

Eventos probabilísticos estão na base da propagação de características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes dos pais.

O estudo de Análise Combinatória permite o trabalho nesse campo da ciência.

GenéticaGenética

Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH

HMM MHM

Um casal planeja ter três filhos.

Qual a chance deles terem três meninas?

E de ter uma menina e dois meninos?

3 meninas:

P = 1/8 = 0,125 = 12,5%

1 menina e 2 meninos:

P = 3/8 = 0,375 = 37,5%

GenéticaGenética

Questões

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?

b) Ter três homens?

c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

GenéticaGenética

Questões:

a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?

b) Ter três homens?

c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH

HMM MHM

a) P = ½ (50%)

b) P = 1/8

c) P = 2/8 = ¼ (25%)

Genética - TeoriaGenética - TeoriaA cor dos olhos é uma característica transmitida

geneticamente.

Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da mãe e outro do pai.

O gene dominante é A e o recessivo é aNesse caso, quando aparece na combinação o gene

dominante A a pessoa terá a característica marcada por esse gene.

Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo

aa

Genética - TeoriaGenética - TeoriaVeja as combinações possíveis para cor dos olhos:

Aa olhos castanhos

aA olhos castanhos

AA olhos castanhos

aa olhos azuis

GenéticaGenética

Questão:

Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa.

Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?

Questão:

Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?

Veja:

Aa Mulheraa Homem

Então o filho poderá ser (Mapa de possibilidades):

Aa Aa aa aa

Logo, são dois casos possíveis para ele ter olhos azuis:

P = 2/4 = ½ = 0,5 = 50%

Questão:

Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três deles de olhos azuis.

a)Qual o genótipo do casal?

b)Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de olhos azuis?

GenéticaGenética

Veja:

?? Mulher?? Homem

O casal tem olhos castanhos, mas se eles têm filhos com

olhos azuis, então certamente cada um deles possui a na sua codificação. Então eles só podem ser:

Aa (M) Aa (H)

Logo, para um possível quinto filho ter olho azul olhamos as 4 combinações possíveis que saem do cruzamento dos genótipos de H e M:

Possível filho: AA Aa Aa aa

P = 1/4 = 0,25 = 25%

GenéticaGenética

Genética - TeoriaGenética - Teoria

Ter cabelo loiro ou castanho também segue essa lógica matemática.

O gene dominante é para cabelo castanho, então para ser loiro a pessoa deve ser aa

Genética - TeoriaGenética - TeoriaRegra do OU (multiplica)

EX: Tirar três blusas da mesma cor (3 azuis ou 3 verdes ou 3 pretas):

P = 1/27 + 1/27 + 1/27 = 3/27 (mais fácil fazer direto em vez de somar frações!!)

Regra do E (soma)

Ex: Tirar um ás e depois uma dama:

P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 (retirada em sequência direto!!)

LotecaLoteca

LotecaLoteca

Chance de acertar o palpite em um jogo:

MAPA

Ganha time A

Ganha time B

Empata

P = 1/3

LotecaLoteca

Então, escolhendo um duplo em qualquer jogo:

P = (1/3).(1/3).(1/3).(1/3)....(1/3).(2/3)

P = 1/ 2391485

Mega SenaMega Sena

QuinaQuina

Monty Hall ProblemMonty Hall Problem

Simulador: Simulador: http://math.ucsd.edu/~crypto/Mohttp://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.htmlnty/monty.html

FilmeFilme

““Quebrando Quebrando a Banca”a Banca”

Trailer: Trailer: http://www.youtubhttp://www.youtube.com/watch?e.com/watch?v=NGFoCtDUGy8v=NGFoCtDUGy8