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DIRETORIA DE ENSINO

CAMPINAS-OESTE2011

IMPLEMENTAÇÃO DO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA

MÓDULO 3

COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

Inês Chiarelli DiasAirton Clementino

Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições.

ENSINO DE COMBINATÓRIA1- Não faça fórmulas demais ou

casos particulares demais. Isso torna as coisas mais complicadas. A troca do princípio básico da contagem por fórmulas pode trazer dificuldades para resolver simples problemas.

2- Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É importante, diante de uma solução errada, analisar porque ela está errada

3- Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é começar assim: esse é um problema de arranjos ou de combinações?

Exemplos

1) Suponha que tenha entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apena 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer?

2) Se no exemplo 1, Carlos tivesse dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer?

No ex1 utilizamos o Princípio AditivoSe A e B são dois conjuntos disjuntos (A∩B=ᴓ) com,respectivamente p e q elementos, então AUB possui p + q elementos

O ex2. obedece a um outro princípio básico de contagem que chamamos Princípio Multiplicativo.

Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n

Em linguagem de conjuntos, se A é um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos, então o conjunto A x B dos pares ordenados (a, b), tais que a pertence a A e b pertence a B, tem cardinalidade m.n

3) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras?

R: 5 x 20 = 100 maneiras diferentes

4) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática e 7 livros diferentes de física e permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?

R: 5 x 7 = 35

5) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz?

R: O 1º premio a qualquer um dos 10 e o 2º a qualquer um dos 9 (10 x 9=90)

6) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar uma decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é x.y

7) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

R: 3 x 26

8) Quantos são os números de três dígitos distintos?

?

Estratégia para resolver problemas de Combinatória

1) POSTURA:Devemos sempre nos colocar no

papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar.

2) DIVISÃO:Devemos sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher um homem e escolher uma mulher, colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra.

E muito importante é:3) NÃO ADIAR DIFICULDADES:Pequenas decisões adiadas

costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as outras, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar.

No ex8, há restrição no algarismo da centena, é por lá que devemos começar.

_ _ _

R: 9 x 9 x 8

9) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?

Solução:a) 360= 23 x 32 X 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2α x 3β x 5γ, com α ϵ {0,1,2,3}, β ϵ {0,1,2} e γ ϵ {0,1}. Há 4 x 3 x 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes α, β, γ. Há 24 divisores.

b) Para o divisor ser par, α não pode ser 0. Há 3 x 3 x 2 = 18 divisores pares.

c) Para o divisor ser ímpar, α deve ser 0. Há 1 x 3 x2 =6 divisores ímpares (ou item a – item b)

d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β, γ devem ser pares. Há 2 x 2 x 1 = 4 divisores que são quadrados perfeitos.

10) Quantos são os números pares de três dígitos distintos?

Há 5 modos de escolher o último dígito, Note que começamos pelo último dígito, que é o mais restrito; o último dígito pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.Em seguida vamos ao primeiro dígito. De quantos modos podemos escolher o primeiro dígito?

“Depende”, Se não tivermos usado o 0 há 8 modos de escolher o primeiro dígito (nem o 0 nem o dígito já usado na última casa); se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa.

IMPASSE

Dois métodos para resolvê-lo.1º ) Contar separadamente: os que

terminam em 0 e os que não terminam em 0.

2º) Contar em demasia: fazer de conta que o 0 pode ser usado na 1ª casa do número e depois descontar todos que se iniciam com 0.

Também poderia ser achado todos os números de 3 algarismos distintos e tirar todos os números ímpares de 3 algarismos distintos

11) De quantas maneiras podemos escolher 1 consoante e 1 vogal de um alfabeto formado por 18 consoantes e 5 vogais?

R: Para a escolha da consoante temos 18 possibilidades e para cada uma delas temos 5 possibilidades para a escolha da vogal. Portanto há 18 x 5 = 90 escolhas

12) Quantos são os anagramas de 2 letras formados por uma vogal e uma consoante escolhidas dentre 18 consoantes e 5 vogais?

R: No ex anterior encontramos 90 escolhas possíveis de 1 consoante e 1 vogal. Para formarmos anagramas, basta considerarmos para cada uma dessas escolhas, as 2 possibilidades, isto é, consoante-vogal ou vogal-consoante,

13) Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são irmãos e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos possíveis?

R: Considerando as moças (3) que possuem irmãos (2), há 3 x 8 = 24 casamentos possíveis.

Considerando as moças (9) que não possuem irmãos, há 9 x 10 = 90 casamentos possíveis.

Portanto há 24 + 90 = 114 casamentos possíveis.

14) Quantos são os números que podemos formar com todos os dígitos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 e 3?

R: Se primeiro colocarmos todos os dígitos 1’s, deixando um espaço entre eles, teremos:

_1_1_1_1_1_1_1_

Ficaram 8 espaços nos quais podem ser colocados os dígitos 2 e 3. Supondo que vamos colocar o dígito 2 primeiro

_1_2_1_1_1_1_1_1_

Notamos que agora temos 9 espaços para colocar o dígito 3

Portanto 8 x 9 = 72 são os números formados conforme descrição do problema

Ex15) A figura mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por 5 estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarelo, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?

Explorando Conceitos Matemáticos com a Linguagem Braille

Existem 26 = 64 configurações que podem ser obtidas no código de Braille usual 3×2. É fácil descobrir que isto é verdade, quando aplicamos o Princípio Multiplicativo da Contagem: há duas possibilidades para a primeira casa – ou ela é marcada ou não é (ou pintamos de preto ou de branco) - do mesmo modo há duas possibilidades para cada uma das outras casas, o que resulta em2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 possibilidades.

Vamos resolver?1) Jogamos uma moeda três vezes. Quantas

seqüências diferentes da cara e coroa podemos obter? 2.2.2

2) Cada célula em uma tabela 2x2 pode ser colorida branca ou preta. Quantas colorações diferentes existem para a tabela? 2.2.2.2

3) Quantas maneiras existem de preencher um cartão de loteria esportiva? Nesta loteria você deve adivinhar os resultados de 13 jogos de futebol, indicando uma vitória para um dos dois times, ou um empate. 3^13

4) Um time de futebol com 11 jogadores precisa eleger um capitão e um vice-capitão. De quantas maneiras isto pode ser feito? 11105) De quantas maneiras possíveis podemos colocar um rei branco e outro preto em um tabuleiro de xadrez de modo que eles não possam se atacar mutuamente? 4.60+ 24.58 + 36.55

6) De quantas maneiras podemos arrumar quatro bolas, de cores vermelha, preta, azul e verde, em uma fileira? 4.3.2.1

7) Quantas diagonais têm o polígono convexo de n lados? n.(n-3)/2

8) Quantos números com seis algarismos têm pelo menos um algarismo par? 900,000 – 5^6

9) Uma mãe tem duas maças, três peras e quatro laranjas. Durante 9 dias ela dá uma fruta para seu filho no café da manhã. De quantas maneiras isso pode ser feito?

10) Um dormitório tem três quartos: um para um único aluno, um para dois alunos, e um para quatro alunos. De quantas maneiras podemos colocar sete estudantes neste dormitório?

PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES

Há alguns (poucos) problemas de Combinatória que, embora sejam aplicações do princípio básico, aparecem com muita freqüência. Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas.

De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos?

A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita n modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n-1 modos,..., a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo.

A resposta é n.(n-1).(n-2)....1 = n!Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permutação simples de objetos.O número de permutações simples de n objetos distintos é Pn=n!

Quantos são os anagramas da palavra “BOTAFOGO”?

Se as letras fossem diferentes a respostas seria 8!

Como as 3 letras O são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama.

Isso faz que na nossa contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! Modos de trocar as letras O entre si.

De modo geral, o nº de permutações de n objetos, dos quais α são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C é

Pnα,β,γ=

De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?

5! ?

CB

B

A

AA

B

C

C

D

D

D

E

E

E

Essas 3 formações acima são iguais, assim como muitas outras.

De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?

Vamos pensar se p = 3 e n= 5, então quero escolher 3 em 5. 1º a ser escolhido é qualquer um dos 5, depois qualquer um dos 4 restantes e depois qualquer um dos 3 restantes, lembrando que escolhendo a,b,c ou a,c,b ou b,a,c ou b,c,a ou c,a,b ou ainda c,b,a estamos escolhendo os mesmos, por isso devemos dividir por 3!

5.4.3/3!Como expressar 5.4.3?

Então temos:

Que é uma combinação de n elementos p a p.

Cn,p=