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2 | no 96 | revista do professor de matemática
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história
NEWTON E O BINÔMIOJoão Bosco Pitombeira de Carvalho
INTRODUÇÃO
Geralmente, chama-se de “binômio de Newton” o desenvolvimento
( ) , (1)( )a b nk a bn
k
k nk n k+ =
=
=−∑
0
em que, quando n e k são números naturais, com n ≥ k, temos:
nk
n n n n kk
nk n k
=
− − − +=
−( )( ) ( )
!!
!( )!, (2)1 2 1
os chamados coeficientes binomiais, que são, entre outras coisas, o número de combinações de n objetos tomados k a k.
Se, em (1), fizermos a = 1 e b = x, obtemos:
10
+( ) =
=
=−∑x n
k xn
k
k nn k . (3)
Em verdade, a fórmula (1) já era conhecida bem antes da época de Newton. O caso em que n = 2 se encontra nos Elementos de Euclides, escrito em torno de 300 a.C. O triângulo de Pascal era co-nhecido por Chu Shih Chieh, na China, em torno de 1300 e, antes disso, pelos hindus e muçulmanos. O matemático hindu Bháskara (1114-1185?) sabia calcular o número de permutações, combinações e arranjos de n objetos. Umar al-Kayyami conhecia, em torno de
Michael Stifel (1487–1567)
Gottfried Wilhem Leibniz (1646–1716)
Isaac Newton (1643–1727)
Blaise Pascal (1623–1662)
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( ) ( )a b nk a bn
k
k nn k k+ =
=
=−∑
0.
1100, a fórmula, para n = 4,5 e 6, e afirmou explicitamente que ela podia ser generalizada para um número natural qualquer. Sabemos que o matemático árabe al-Karaji (953 – 1029?) conhecia a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal,
np
np
np
++
= +
+
11 1 .
O mesmo aconteceu com um matemático e filósofo francês, o rabino Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e trabalhou no sul da França, e que, entre outras coisas, tentou demonstrar o 5o pos-tulado de Euclides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tarde, por Michael Stifel (1487-1567), que mostrou, em torno de 1550, como calcular (a + b)n conhecendo o desenvolvimento de (a + b)(n − 1).
O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no ocidente foi no frontispício de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nicolò Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os elementos do triângulo de Pascal com as potências de (a + b). Pascal (1623-1662) publicou um tratado, em 1654, mostrando como utilizá-los para achar os coe-ficientes do desenvolvimento de (a + b)n. Mateus Bernoulli (1654-1705), em seu Ars conjecturandi, de 1713, usou a interpretação de Pascal para demonstrar que
Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calcular diretamente (a + b)n sem antes calcular (a + b)(n − 1). Ele mostrou que cada coefi-ciente pode ser determinado usando o anterior, pela fórmula
nr
n rr
nr+
=
−+
1 1
.
OS COEFICIENTES BINOMIAIS GENERALIZADOS
Mostra-se que, se n e k são números naturais, com n ≥ k, en-
tão nk é um número natural. Usando-se a mesma expressão usada
para n ≥ k para definir nk quando n < k, obtemos o valor zero.
Observe também que (2) faz sentido sempre que k for um número natural e n for um número real qualquer. Só que, se n não é um número natural, o numerador n(n − 1)(n − 2) ∙∙∙ (n − k + 1) nunca será igual a zero (por quê?). Assim, definimos os coeficientes bino-miais generalizados:
Michael Stifel (1487–1567)
Gottfried Wilhem Leibniz (1646–1716)
Isaac Newton (1643–1727)
Blaise Pascal (1623–1662)
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