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“APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN UN
ENGRANAJE RECTO”
CURSO: CÁLCULO I
PROFESOR: FREDY ENRIQUE RAMÍREZ COSTILLA
2do.Ciclo, Semestre 2015-3
INTEGRANTES:
1. Javier Cárcamo More.
2. Edmar Joel Nolasco Rojas.
3. Michael Jesus Chicoma Diaz.
4. Emerin Bruce Aguilar Pacheco.
5. Frank Edwin Castillo Mamani
6. José Carlos Galvez Paredes
Lima, 23 de febrero de 2015
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 2
INDICE
Pag.
CAPITULO I
AAA INDUSTRIAL S.A.
1.1. INFORMACION DE LA EMPRESA 5
ANTECEDENTES, MISION, VISION, SEGURIDAD 6
1.2.
RUBRO O GIRO DE LA EMPRESA 7
1.3. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES DEL PRODUCTO QUE
SE VA ESTUDIAR:
8
1.3.1.
EXPLICACION DE LAS VARIABLES 13
CAPITULO II
FUNDAMENTACIÓN DE LAS TABLAS ELEGIDAS
2.1. FUNDAMENTACION DE LAS TABLAS ELEGIDAS 15
CAPÍTULO III
DEFINICIÓN MATEMÁTICA APROXIMADA
3.1. REPRESENTACION GRAFICA DE LA TABLA DE DATOS EN
UN PLANO CARTESIANO
18
3.2. DEFINICION APROXIMADA DE LA FUNCION MATEMATICA
DE LA GRÁFICA.
23
3.3 GRAFICA DE LA FUNCION MATEMATICA DEDUCIDA 24
3.4. DOMINIO Y RANGO DE LOS INTERVALOS Y CAMBIOS DE
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
25
3.5. APICACION DE LA DERIVADA EN LA FUNCION
ENCONTRADA.
27
3.6 INTERPRETACION DE LAS APLICACIONES APARTIR DE
LA DERIVADA, INDICAR RAZON DE CAMBIO (máximo,
mínimo e inflexión).
30
1. CAPITULO IV CONCLUSIONES
4.1- CONCLUSIONES
32
4.2.- ANEXOS 33
4.3.- GLOSARIO
34
4.4.- BIBLIOGRAFIA 35
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 3
Prólogo
La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el
espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a
nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos
de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de
comunicación, etc.
Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los
individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente, que en
nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor
dominio de ideas y destrezas matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo unos
años.
La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo;
en la información que se maneja cada vez aparecen con más frecuencia tablas, gráficos y
fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación, lo
cual en el presente proyecto nos permitirá analizar la construcción de engranajes por
medio de las funciones de variable real y las derivadas.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 4
INTRODUCCION
La potencia puede transmitirse desde un árbol a otro por medio de correas, ruedas de
fricción engranajes o cadenas. Cuando la razón entre las velocidades tiene que ser
constante se aplica ruedas de engrane. Es evidente que cualquier par de superficies que
rueden juntas con un movimiento de rodadura pura, de manera a dar la relación de
velocidades deseada, puede servir de base para el diseño de un par de ruedas dentadas.
El movimiento transmitido por un par de ruedas dentadas bien diseñadas es idéntico al de
las curvas o superficies básicas rodando una sobre otra. Para que un par de curvas
puedan moverse una sobre otra con un movimiento de rodadura pura, el punto de
tangencia de las curvas tiene que hallarse siempre sobre la recta que une los centros de
rotación de las curvas.
Los primeros datos que existen sobre la transmisión de rotaciones con velocidad angular
uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, cuando el famoso
astrónomo danés Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide o
conocido como involuta que se halla a través de los puntos tangentes al radio base. Del
profesor Camus fue la idea de la intercambiabilidad de las ruedas dentadas y Robert
Willis, profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicación práctica de la
epicicloide al emplearla en la construcción de una serie de engranajes intercambiables.
De la misma manera, de los primeros matemáticos fue la idea del empleo de la evolvente
de círculo en el perfil del diente, que es realizada por 2 semicírculos simétricos que dan el
perfil del diente.
A continuación en el presente trabajo se realizara el perfil del diente a través de involuta y
envolvente para analizar los puntos de construcción que nos llevan a las funciones
matemáticas que se estudian durante este proyecto y además nos permitirá encontrar
sus derivadas para analizarlos e interpretarlos.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 5
CAPITULO I
AAA INDUSTRIAL S.A.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 6
1.1. INFORMACION DE LA EMPRESA
ANTECEDENTES:
AAA INDUSTRIAL S.A. inicia sus actividades en 2011 y desde entonces viene
apoyando a las empresas vinculadas a los diferentes sectores de la economía del
país, tales como: Minería, Energía, Cemento e Industria en General.
Asimismo, ha establecido alianzas estratégicas con empresas representantes de
reconocidas marcas del mercado minero e industrial, contando con contratos de
soporte de mantenimiento, bajo las estrictas normas y supervisión de dichas marcas.
AAA INDUSTRIAL S.A.ha desarrollado dos áreas de trabajo donde es especialista.
Una, la de Maestranza Industrial, donde realiza trabajos de fabricación,
reconstrucción y/o reparación de piezas y componentes y sistemas para equipos
mecánicos, hidráulicos y neumáticos, y la otra, de mantenimiento, donde nuestra
amplia experiencia nos ha llevado a trabajar muy de cerca con empresas dedicadas a
la Minería, Pesca, Transporte de Carga y Pasajeros, así como el sector Automotriz en
general.
MISIÓN:
“Cooperar en el desarrollo del Perú, ofreciendo servicios de calidad a las principales
industrias del país, como la minera, cementera, generadoras de energía, entre otras.
Esto mediante la innovación, la tecnología, la mejora continua y un personal
altamente calificado con valores éticos y morales.”
VISIÓN:
“Ser líderes en el mercado, empresa reconocida por nuestros servicios de alta
calidad, creando de esta manera una continuidad del negocio que beneficie a
nuestros clientes y colaboradores.”
SEGURIDAD:
"Somos una empresa que adopta un enfoque preventivo como principio fundamental
para proteger al trabajador, el medio ambiente y a través de nuestro trabajo. Usando
materiales e insumos de alta calidad y seguridad, equipos modernos y capacitación
permanente y constante a nuestro personal tanto en seguridad industrial como en el
manejo de las maquinas herramientas.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 7
1.2. RUBRO O GIRO DE LA EMPRESA
AAA INDUSTRIAL S.A se dedica al rubro metalmecánico, a la fabricación de
máquinas para industria pesquera, minera, alimentaria, etc. Asimismo desarrollamos
proyectos adecuados a las necesidades del cliente. Contamos con un Departamento
de Ingeniería que está desarrollando constantemente mejoras en nuestros productos
de Fabricación, ofreciéndole mejores alternativas a nuestros clientes.
Todos nuestros procesos pasan por controles de calidad que dan como resultado
productos de alta confiabilidad y eficiencia en su desempeño
A continuación algunos servicios y productos que brinda nuestra empresa:
Diseño y fabricación de maquinaria industrial según el requerimiento del
cliente.
Servicios de recubrimiento de cromado duro industrial. (pulido y rectificado) de
superficie.
Rectificado y afilado de cuchillas.
Mantenimiento y reparación de bombas de vacío, reductores, vávulas de
compuerta, transporte conveyor.
Reparación de prensas excéntricas.
Fabricación de repuestos y piezas mecánicas para la industrial en general.
Fabricación de engranajes: rectos, helicoidales, cónicos, cónicos helicoidales.
Fabricación de ejes excéntricas, poleas, variadores, reductores.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 8
1.3. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES DEL PRODUCTO QUE
SE VA ESTUDIAR:
ENGRANAJES RECTOS:
Los engranajes son elementos mecánicos dentados que rotan alrededor de un eje,
con la finalidad de transmitir potencia entre dos puntos fijos y a una distancia
determinada, esto es posible gracias a la acción conjugada y sucesiva de los dientes
de una rueda conductora o motriz hacia una rueda conducida, manteniendo siempre
una relación de transmisión constante durante su contacto.
Si los engranajes están formados por un cuerpo cilíndrico que dispone de dientes
ubicados de forma paralela al eje de rotación del engranaje se denominan engranajes
cilíndricos rectos. Además se denominan externos si los dientes son tallados en la
periferia del elemento y con una Orientación del diente hacia fuera.
CAMPO DE APLICACIÓN DE LOS ENGRANAJES
Existe una gran variedad de formas y tamaños de engranajes, desde los más
pequeños usados en relojería e instrumentos científicos (se alcanza el módulo 0,05) a
los de grandes dimensiones, empleados, por ejemplo, en las reducciones de
velocidad de las turbinas de vapor de los buques, en el accionamiento de los hornos y
molinos de las fábricas de cemento, etc. El campo de aplicación de los engranajes es
prácticamente ilimitado. Los encontramos en las centrales de producción de energía
eléctrica, hidroeléctrica y en los elementos de transporte terrestre: locomotoras,
automotores, camiones, automóviles, transporte marítimo en toques de todas clases,
aviones, en la industria siderúrgica: laminadores, transportadores, etc., minas y
astilleros, fábricas de cemento, grúas, montacargas, máquinas-herramientas,
maquinaria textil, de alimentación, de vestir y calzar, industria química y farmacéutica,
etc., hasta los más simples movimientos de accionamiento manual. Toda esta gran
variedad de aplicaciones del engranaje puede decirse que tiene por única finalidad la
transmisión de la rotación o giro de un eje a otro distinto, reduciendo o aumentando
la velocidad del primero, constituyendo los llamados “reductores o multiplicadores de
velocidad” y los “cambios de velocidades”. Una variedad muy interesante de todos
estos mecanismos la constituyen los llamados “trenes epicicloidales” y los
diferenciales.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TRANSMISIÓN POR
ENGRANES
Debido a la forma curva de los perfiles de los dientes es de evolvente o cicloidal el
movimiento transmitido por un par de ruedas dentadas es de rodadura pura.
Además la relación de rotaciones con velocidad angular de la transmisión engranajes,
es uniforme. Por esta razón se aplica como reductor o multiplicador de velocidades
en máquinas en las que se requiere una velocidad específica y que no tenga
alteraciones o fluctuaciones de velocidad.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 9
Los engranes proporcionan a las máquinas una gradación utilizable de relaciones de
velocidad.
Los engranes permiten grandes transmisiones de potencia desde el eje de una fuente
de energía hasta otro eje situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo sin
perdidas de energía.
Los engranes tienen como desventaja que no pueden transmitir potencia entre
distancias grandes entre centros para estos casos se utiliza poleas o cadenas.
Los engranes tienen un costo elevado comparado con los otros tipos de transmisión
por cadenas y las poleas.
PERFIL DEL DIENTE
El perfil del diente, o sea la forma de sus flancos, está constituido por dos curvas
evolventes de círculo, simétricas respecto al eje que pasa por el centro del mismo.
Como se sabe, existe también el perfil cicloidal, aunque casi no se emplea, excepto
en relojería.
1.- LA EVOLVENTE DE CÍRCULO. Se llama “evolvente de círculo” a la curva descrita
por un punto de una recta (generatriz) que gira sin deslizar sobre una circunferencia
(circunferencia-base). La parte del perfil del diente que está debajo de la
circunferencia-base no es ya “evolvente”.
TRAZADO DE LA EVOLVENTE. SE divide la circunferencia-base en un número
entero de partes iguales. En la figura, doce partes iguales, cosa que facilita el
trazado, por coincidir con los 30° y los 60° de las escuadras de dibujo. Desde P se
traza la tangente horizontal PC, igual a la longitud de la circunferencia-base. Se divide
PC en el mismo número de partes iguales anterior. Desde el extremo de cada radio
se traza una tangente (que siempre es normal al radio en dicho punto). Empleando
PC como escala, se toma sobre cada tangente la longitud correspondiente de la
tangente PC. Así, 1—P1 = 1/12 PC, 2— P2=2/12 PC, 3— P= 3/12 PC, etc. Nótese
que las longitudes de las tangentes crecen en progresión aritmética. La curva que
pasa por los puntos P1, P2, P3,... es una evolvente.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 10
TRAZADO APROXIMADO DE LA EVOLVENTE. Se divide la circunferencia-base en
un número cualquiera de partes iguales, AB, BC, CD, etcétera. Por cada uno de los
puntos A, B, C e trazan las tangentes BB1, CC1.., perpendiculares a los radios
respectivos en dichos puntos. Con centro en B, y radio igual a BA se traza el arco
AB1. Luego, el próximo arco B1C1, con centro en C y radio CB1. Se traza el arco
siguiente C1D1 con centro en D y radio DC1. La curva determinada por la sucesión
de arcos trazados es, con aproximación suficiente, una evolvente, Naturalmente,
cuanto más pequeñas sean las divisiones efectuadas en la circunferencia-base,
mayor será la aproximación de la curva obtenida a la evolvente.
CIRCUNFERENCIA BASE Y ANGULO DE PRESION. Conforme queda dicho, el
origen de las evolventes que constituyen los flancos de los dientes está en la
“circunferencia-base”.
El ángulo que forma la línea de acción y la tangente horizontal a la circunferencia
primitiva en el punto primitivo, es el “ángulo de presión”. Se designa por la fórmula
que nos da el diámetro de la circunferencia-base o diámetro-base, es la siguiente:
Db= d cosα
d = diámetro primitivo (de generación) = z.m
CIRCUNFERENCIAS PRIMITIVAS DE FUNCIONAMIENTO. La circunferencia
primitiva o la circunferencia base se refieren a una rueda o piñón independiente. En
el momento que esta pieza pasa a formar parte de un engranaje (o sea, engranando
con otra) nace el concepto de circunferencias “primitivas de funcionamiento”, que
son las circunferencias (distintas de las “de generación” en los engranajes
corregidos), que son tangentes y ruedan sobre otra sin deslizar. Tienen importancia
en los engranajes corregidos al funcionar el engranaje con distancia entre centros
distinta de la normal. En los normales, las primitivas de generación y las de
funcionamiento son las mismas.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 11
ECUACION POLAR DE LA EVOLVENTE.. El ángulo bajo el cual, en un punto del
perfil, la tangente en este punto corta al radio vector correspondiente se denomina
“ángulo de incidencia. El ángulo de incidencia en el punto primitivo 1 será igual al
ángulo de presión
La ecuación polar de la evolvente es:
inv = tgα
y α expresados en radianes.
A la función (tgα) se la denomina evolvente, y su símbolo es invα
De la figura anterior se deduce también:
ÁngulolOa = invα
Ángulo IOM = inv — inv
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 12
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE
Se forman cuando un círculo rueda sobre el exterior y el interior de los círculos de
rodadura o círculos primitivos C y D . En la figura que sigue a continuación se ilustra
una porción de dos ruedas con dientes cicloidales. El contacto acaba de empezar en
a, y a medida que las ruedas giren el punto de contacto se desplazará a lo largo de la
trayectoria curvilínea aOb, cesando en b. Se ha trazado la normal al primer punto de
contacto y es evidente que la inclinación de la normal con respecto a la tangente
común de los dos círculos primitivos es máxima en este punto, y varía
constantemente de dirección, aunque pasando siempre por O. Puede demostrarse
que en el sistema evolvente la relación de las velocidades angulares permanece
constante, dentro de los limites dc actuación, sean o no tangentes los círculos
primitivos; pero para la transmisión de una relación constante de velocidades con
engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 13
1.3.1. EXPLICACION DE LAS VARIABLES
Terminología empleada y Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas para el cálculo de fabricación:
1. Módulo
2. Paso circular
3. Diámetro primitivo
4. Distancia entre centros
5. Addendum
6. Dedendum
7. Espacio libre de fondo
8. Profundidad de diente
9. Profundidad de trabajo
10. Espesor circular del diente
11. Diámetro exterior
12. Diámetro base
13. Longitud del diente
CAPÍTULO II:
FUNDAMENTACIÓN DE LAS TABLAS ELEGIDAS.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 15
2.1. FUNDAMENTACION DE LAS TABLAS ELEGIDAS
A continuación, en la siguiente tabla se muestra el cálculo de las variables y se comprobara con el engranaje físico que se tiene de muestra para esta tarea.
Cálculo de engranajes rectos sin despuntar
Datos de entrada Fórmulas Cálculos
Ángulo de presion 20
Numero de dientes (z) 38
Módulo (m) m=p/π 2
Paso circular (P) mm p=m*π 6.28
Diámetro primitivo d=m*z 76
Addendum (ha) ha=m 2
Dedendum (hf) hf=m*1.25 2.5
Espacio libre de fondo © c=m*0.25 0.5
Profundidad del diente (h) h=m*2.25 4.5
Profundidad de trabajo (h΄) h΄=m*2 4
Espesor circular del diente (s) s=p/2 3.14
Diámetro exterior (de) de=m*(z+2) 80
Diámetro base (db) db=d*cosα 71.42
longitud del diente (b) b=2*p 12.56
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 16
A continuación representamos el grafico que definen los puntos de
dispersión con ayuda del Excel, dichos puntos se unen para formar el perfil
del engranaje. En ello nos damos cuenta que el grafico se acerca bastante a
una ecuación polinómica (y = -0.8145x2 + 3.9553x + 35.969),
presentándonos el valor R² = R² = 0.9953
y = -0.8145x2 + 3.9553x + 35.969
R² = 0.9953
35
36
37
38
39
40
0 1 2
ALT
UR
A D
EL D
IEN
TE
ANCHO DEL DIENTE
PERFIL DE INVOLUTA
Series1
Polinómica(Series1)
Puntos de circunferencia base
puntos de trayectoria del perfil de la involu-ta
Diámetro base
71.41663918 Y X Y X
Ángulo de presión
(ϕ)
sen ϕ= ϕ*PI()/180°
senϕ*DB/2 cosϕ*DB/2 cosϕ*DB/2+senϕ*DB/2*ϕ senϕ*DB/2-cosϕ*DB/2*ϕ
4 0.06981317 2.490886458 35.62133592 35.7952326 0.004048075
7 0.122173048 4.351749463 35.44215519 35.97382168 0.021673348
10 0.174532925 6.200684624 35.16582998 36.2480536 0.063089451
13 0.226892803 8.032624141 34.79311767 36.61566228 0.138316155
16 0.27925268 9.842546792 34.32503985 37.07359742 0.257187413
19 0.331612558 11.62549171 33.76287948 37.61803852 0.429296883
22 0.383972435 13.37657196 33.1081774 38.24441231 0.66394445
25 0.436332313 15.09098795 32.36272811 38.94741379 0.970083945
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 17
CAPÍTULO III:
DEFINICIÓN MATEMÁTICA APROXIMADA
3.1. REPRESENTACION GRAFICA DE LA TABLA DE DATOS EN UN PLANO CARTESIANO.
Grafico realizado en Excel aplicandola tabulación y los puntos de intersección.
Diámetro exterior 80
X Y
-40 0.00
-39 8.89
-36 17.44
-30 26.46
-21 34.04
-12 38.16
0 40.00
12 38.16
21 34.04
30 26.46
36 17.44
39 8.89
40 0.00
Puntos del diametro exterior
-
-
0.000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Rad
io e
xte
rio
r (m
m)
Diametro exterior (mm)
Diámetro exterior
Diámetro exterior
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 19
Grafico del diámetro exterior, realizado en geogebra aplicando funciones matemáticas.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 20
Grafico realizado en Excel aplicando la tabulación y los puntos de intersección.
Diámetro base 71.41663918
X Y
-35.708 0.15
-35 7.08
-32 15.85
-27 23.37
-21 28.88
-12 33.63
0 35.71
12 33.63
21 28.88
27 23.37
32 15.85
35 7.08
35.708 0.15
Puntos del diametro base
-
-
0.150
5
10
15
20
25
30
35
40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Rad
io b
ase
(m
m)
Diametro base (mm)
Diámetro base
Diámetro base
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 21
Grafico diámetro interior, realizado en geogebra aplicando funciones matemáticas.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 22
Gráfico del perfil del diente realizado en geogebra aplicando las funciones matemáticas
3.2. DEFINICION APROXIMADA DE LA FUNCION MATEMATICA DE LA GRÁFICA.
X Y
-2.51 35.62
-2.4 35.64
-2.3 35.69
-2.2 35.76
-2.1 35.90
-2.06 36.02
Radio de raiz del diente
X Y
-2.06 36.01
-1.8 37.21
-1.6 37.91
-1.4 38.50
1 42.72
-0.76 39.99
Radio del flanco derecho
h
X Y
-0.76 39.99
-0.65 39.99
-0.28 40.00
0 40.00
0.65 39.99
0.76 39.99
Radio de diametro exterior
p
X Y
0.76 39.99
1 39.48
1.25 38.89
1.5 38.21
1.7 37.58
2.06 36.01
Radio del flanco derecho
q
X Y
2.06 36.02
2.09 35.92
2.15 35.82
2.35 35.66
2.4 35.64
2.51 35.62
Radio de raiz del diente
r
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 24
3.3. GRAFICA DE LA FUNCION MATEMATICA DEDUCIDA.
F(x)=
1) √
2) √
3) √
4) √
5) √
X Y
-2.51 35.62
-2.4 35.64
-2.3 35.69
-2.2 35.76
-2.1 35.90
-2.06 36.02
-2 36.34
-1.9 36.81
-1.8 37.21
-1.7 37.58
-1.6 37.91
-1.4 38.50
-1.3 38.76
-1.2 39.01
-1 39.48
-0.76 39.99
-0.65 39.99
-0.28 40.00
0 40.00
0.65 39.99
0.76 39.99
1 39.48
1.2 39.01
1.3 38.76
1.4 38.50
1.6 37.91
1.7 37.58
1.8 37.21
1.9 36.81
2 36.34
2.06 36.01
2.09 35.92
2.15 35.82
2.35 35.66
2.4 35.64
2.51 35.62
3.4. DOMINIO Y RANGO DE LOS INTERVALOS Y CAMBIOS DE
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
Función del Diámetro Exterior
DE(x) = sqrt(1600 - x²)
Dom(f)= [-40,40]
Rg(f)= [0,40]
Intervalo de crecimiento
<-40, 0>
Intervalo de decrecimiento
<0, 40>
Función del Diámetro primitivo
DP(x) = sqrt(1444 - x²)
Dom(f)= [-38,38]
Rg(f)= [0,38]
Intervalo de crecimiento
<-38, 0>
Intervalo de decrecimiento
<0, 38>
Función del Diámetro interior
DI(x) = sqrt(1275.2 - x²)
Dom(f)= [-35.71, 35.71]
Rg(f)= [0,35.71]
Intervalo de crecimiento
<-35.71, 0>
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 26
Intervalo de decrecimiento
<0, 35.71>
Función del Perfil delDiente
Dom(f)= [-2.51, 2.51>
Rg(f)= [35.62, 40]
Intervalo de crecimiento
<-2.51, 0>
Intervalo de decrecimiento
<0, 2.51>
F(x)=
1) √
2) √
3) √
4) √
5) √
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 27
3.5. APICACION DE LA DERIVADA EN LA FUNCION ENCONTRADA.
Derivada del Diámetro Exterior
DE(x) = sqrt (1600-x2)
DE’(x) = [(1600-x2)1/2]’
DE’(x)= 1/2. (1600-x2)1/2-1 .(1600-x2)’
DE’(x)=1/2. 1/sqrt(1600-x2) . -2x
DE’(x)= -x/ sqrt(1600-x2)
Derivada del Diámetro Primitivo
DP(x)= sqrt(1444-x2)
DP’(x)= [(1444-x2)1/2]’
DP’(x)=1/2. (1444-x2)1/2-1 .(1444-x2)’
DP’(x)=1/2. 1/ sqrt(1444-x2) . -2x
DP’(x)= -x/ sqrt(1444-x2)
Derivada de Diámetro Interior
DI(x)= sqrt(1275.2-x2)
DP’(x)= [(1444-x2)
1/2]’
DI’(x)= 1/2.(1275.2-x2)1/2-1 .(272.25-x2)’
DI’(x)=1/2. 1/ sqrt(1275.2-x2) . -2x
DI’(x)= -x/ sqrt(1275.2-x2)
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 28
Derivada del Perfil del Diente – Radio de raíz del diente
g(x)= 36.12 - sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)
g’(x)= [36.12 - sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)]’
g’(x)= [- sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)]’
g’(x)= [- (0.25 - (x + 2.55)²)1/2]’
g’(x)= -1/2. (0.25 - (x + 2.55)²)1/2-1.(0.25 - (x + 2.55)²)’
g’(x)= -1/2. 1/sqrt(0.25 - (x + 2.55)²). – ((x + 2.55)²)’
g’(x)=-1/2. 1/ sqrt(0.25 – (x+2.55)2) . -2(x+2.55). (x+2.55)’
g’(x)= (x+2.55) / sqrt(0.25 – (x+2.55)2)
Derivada del Perfil del Diente – Radio del flanco derecho
h(x)= 33.55 +sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)
h’(x)= [33.55 +sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)]’
h’(x)= [ sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)]’
h’(x)= [ (209.69 - (x – 12.21)²)1/2]’
h’(x)= 1/2. (209.69 - (x - 12.21)²)1/2-1.(209.69 - (x - 12.21)²)’
h’(x)= 1/2. 1/sqrt(209.69 - (x - 12.21)²). – ((x - 12.21)²)’
h’(x)= 1/2. 1/ sqrt(209.69 - (x - 12.21)²) . -2(x – 12.21). (x – 12.21)’
h’(x)= -(x- 12.21) / sqrt(209.69 - (x - 12.21)²)
Derivada del Perfil del Diente – Radio del diámetro exterior
p(x) = sqrt (1600-x2)
p’(x) = [(1600-x2)1/2]’
p’(x) = 1/2. (1600-x2)1/2-1 .(1600-x2)’
p’(x) = 1/2. 1/ sqrt(1600-x2) . -2x
p’(x) = -x/ sqrt(1600-x2)
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 29
Derivada del Perfil del Diente – Radio del flanco izquierdo
q(x)= 33.55 +sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)
q’(x)= [33.55 +sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)]’
q’(x)= [ sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)]’
q’(x)= [ (209.69 - (x + 12.21)²)1/2]’
q’(x)= 1/2. (209.69 - (x + 12.21)²)1/2-1
. (209.69 - (x + 12.21)²)’
q’(x)= 1/2. 1/sqrt(209.69 - (x + 12.21)²). – ((x + 12.21)²)’
q’(x)= 1/2. 1/ sqrt(209.69 - (x + 12.21)²) . -2(x + 12.21). (x + 12.21)’
q’(x)= -(x+ 12.21) / sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)
Derivada del Perfil del Diente – Radio de raíz del diente
g(x)= 36.12 - sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)
g’(x)= [36.12 - sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)]’
g’(x)= [- sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)]’
g’(x)= [- (0.25 - (x - 2.55)²)1/2]’
g’(x)= -1/2. (0.25 - (x - 2.55)²)1/2-1 .(0.25 - (x - 2.55)²)’
g’(x)= -1/2. 1/sqrt(0.25 - (x - 2.55)²). – ((x - 2.55)²)’
g’(x)=-1/2. 1/ sqrt(0.25 – (x-2.55)2) . -2(x+2.55). (x- 2.55)’
g’(x)= (x-2.55) / sqrt(0.25 – (x-2.55)2)
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 30
3.6 INTERPRETACION DE LAS APLICACIONES APARTIR DE LA
DERIVADA, INDICAR RAZON DE CAMBIO (máximo, mínimo e inflexión).
Según la gráfica se observa que solamente se puede evaluar algún punto máximo,
mínimo o de inflexión en p(x) ya que en las demás no se ve un cambio en la curvatura,
acotar que g(x) y r(x) tienen puntos mínimos que vendrían a ser en los extremos de la
circunferencia en respectivamente, pero estas coordenadas no se
encuentran comprendidas en los dominios de las funciones.
Analizando p(x), para verificar algún punto se requiere hallar la segunda derivada:
√
Para evaluar algún punto máximo o mínimo se requiere hallar las raíces de la primera derivada:
√
Se obtuvo que x=0 es una raíz de la primera derivada, tenemos que evaluarlo en la segunda derivada:
F΄(x)=
1) √ –
2) √
3) √
4) √
5) √ –
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 31
CAPÍTULO IV:
CONCLUSIONES
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 32
No solo se pueden diseñar e interpretar planos de objetos con ayuda de software
de diseño, sino también a través de las funciones matemáticas nosotros podemos
analizar e interpretar los trazos y curvas que forman este objeto.
Se realizó las funciones de los 3 diámetros bases que forman un engranaje como
son: Diámetro exterior, diámetro primitivo, diámetro interior.
Para el diseño del perfil del engranaje, se unieron 5 funciones matemáticas que
en conjunto forman el perfil de involuta o envolvente.
Gracias a las funciones matemáticas obtenidas por el Geogebra, logramos reali-
zar los puntos, arcos, rectas que pasan por los ejes de coordenadas del plano car-
tesiano.Que nos llevan al diseño del objeto (perfil del engranaje) muy aproximado
del objeto físico a lo teórico.
Con el cálculo y análisis de las derivadas nos ayudan a observar e interpretar los
cambios de función del perfil del engranaje.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 33
ANEXOS
Piñón de referencia para el cálculo
Toma de datos de engranaje con ayuda del pie de rey
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 34
GLOSARIO
Envolvente: De la curva o superficie tangente, en cada punto, a una familia de curvas.
Generatriz:Es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica,
que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva.
Cicloide:Es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia
generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.
Diámetro:Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos
opuestos de una circunferencia, una superficie esférica o una curva cerrada.
Modulo:En el diseño de engranajes, el módulo es la relación entre el diámetro
primitivo y el número de dientes.
Flanco: Cada una de las dos partes laterales de un cuerpo considerado o visto de
frente:
Involuta:Es una curva plana de desarrollo, cuyas normales son tangentes de la
circunferencia.
Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 35
BIBIOGRAFIA
LARBURU ARRIZABALAGA, Nicolás (2004). Máquinas. Prontuario. Técnicas
máquinas herramientas.
Manual del cálculo de Taller A.L. CASILLAS.
COMAS, A. Tecnología resumida sobre engranajes. Ediciones Cedel
SENATI, diseño y cálculo de engranajes.
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