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“APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN UN

ENGRANAJE RECTO”

CURSO: CÁLCULO I

PROFESOR: FREDY ENRIQUE RAMÍREZ COSTILLA

2do.Ciclo, Semestre 2015-3

INTEGRANTES:

1. Javier Cárcamo More.

2. Edmar Joel Nolasco Rojas.

3. Michael Jesus Chicoma Diaz.

4. Emerin Bruce Aguilar Pacheco.

5. Frank Edwin Castillo Mamani

6. José Carlos Galvez Paredes

Lima, 23 de febrero de 2015

Aplicación de funciones matemáticas en un engranaje recto Página 2

INDICE

Pag.

CAPITULO I

AAA INDUSTRIAL S.A.

1.1. INFORMACION DE LA EMPRESA 5

ANTECEDENTES, MISION, VISION, SEGURIDAD 6

1.2.

RUBRO O GIRO DE LA EMPRESA 7

1.3. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES DEL PRODUCTO QUE

SE VA ESTUDIAR:

8

1.3.1.

EXPLICACION DE LAS VARIABLES 13

CAPITULO II

FUNDAMENTACIÓN DE LAS TABLAS ELEGIDAS

2.1. FUNDAMENTACION DE LAS TABLAS ELEGIDAS 15

CAPÍTULO III

DEFINICIÓN MATEMÁTICA APROXIMADA

3.1. REPRESENTACION GRAFICA DE LA TABLA DE DATOS EN

UN PLANO CARTESIANO

18

3.2. DEFINICION APROXIMADA DE LA FUNCION MATEMATICA

DE LA GRÁFICA.

23

3.3 GRAFICA DE LA FUNCION MATEMATICA DEDUCIDA 24

3.4. DOMINIO Y RANGO DE LOS INTERVALOS Y CAMBIOS DE

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

25

3.5. APICACION DE LA DERIVADA EN LA FUNCION

ENCONTRADA.

27

3.6 INTERPRETACION DE LAS APLICACIONES APARTIR DE

LA DERIVADA, INDICAR RAZON DE CAMBIO (máximo,

mínimo e inflexión).

30

1. CAPITULO IV CONCLUSIONES

4.1- CONCLUSIONES

32

4.2.- ANEXOS 33

4.3.- GLOSARIO

34

4.4.- BIBLIOGRAFIA 35


Prólogo

La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el

espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a

nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos

de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de

comunicación, etc.

Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los

individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente, que en

nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor

dominio de ideas y destrezas matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo unos

años.

La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo;

en la información que se maneja cada vez aparecen con más frecuencia tablas, gráficos y

fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación, lo

cual en el presente proyecto nos permitirá analizar la construcción de engranajes por

medio de las funciones de variable real y las derivadas.


INTRODUCCION

La potencia puede transmitirse desde un árbol a otro por medio de correas, ruedas de

fricción engranajes o cadenas. Cuando la razón entre las velocidades tiene que ser

constante se aplica ruedas de engrane. Es evidente que cualquier par de superficies que

rueden juntas con un movimiento de rodadura pura, de manera a dar la relación de

velocidades deseada, puede servir de base para el diseño de un par de ruedas dentadas.

El movimiento transmitido por un par de ruedas dentadas bien diseñadas es idéntico al de

las curvas o superficies básicas rodando una sobre otra. Para que un par de curvas

puedan moverse una sobre otra con un movimiento de rodadura pura, el punto de

tangencia de las curvas tiene que hallarse siempre sobre la recta que une los centros de

rotación de las curvas.

Los primeros datos que existen sobre la transmisión de rotaciones con velocidad angular

uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, cuando el famoso

astrónomo danés Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide o

conocido como involuta que se halla a través de los puntos tangentes al radio base. Del

profesor Camus fue la idea de la intercambiabilidad de las ruedas dentadas y Robert

Willis, profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicación práctica de la

epicicloide al emplearla en la construcción de una serie de engranajes intercambiables.

De la misma manera, de los primeros matemáticos fue la idea del empleo de la evolvente

de círculo en el perfil del diente, que es realizada por 2 semicírculos simétricos que dan el

perfil del diente.

A continuación en el presente trabajo se realizara el perfil del diente a través de involuta y

envolvente para analizar los puntos de construcción que nos llevan a las funciones

matemáticas que se estudian durante este proyecto y además nos permitirá encontrar

sus derivadas para analizarlos e interpretarlos.


CAPITULO I

AAA INDUSTRIAL S.A.


1.1. INFORMACION DE LA EMPRESA

ANTECEDENTES:

AAA INDUSTRIAL S.A. inicia sus actividades en 2011 y desde entonces viene

apoyando a las empresas vinculadas a los diferentes sectores de la economía del

país, tales como: Minería, Energía, Cemento e Industria en General.

Asimismo, ha establecido alianzas estratégicas con empresas representantes de

reconocidas marcas del mercado minero e industrial, contando con contratos de

soporte de mantenimiento, bajo las estrictas normas y supervisión de dichas marcas.

AAA INDUSTRIAL S.A.ha desarrollado dos áreas de trabajo donde es especialista.

Una, la de Maestranza Industrial, donde realiza trabajos de fabricación,

reconstrucción y/o reparación de piezas y componentes y sistemas para equipos

mecánicos, hidráulicos y neumáticos, y la otra, de mantenimiento, donde nuestra

amplia experiencia nos ha llevado a trabajar muy de cerca con empresas dedicadas a

la Minería, Pesca, Transporte de Carga y Pasajeros, así como el sector Automotriz en

general.

MISIÓN:

“Cooperar en el desarrollo del Perú, ofreciendo servicios de calidad a las principales

industrias del país, como la minera, cementera, generadoras de energía, entre otras.

Esto mediante la innovación, la tecnología, la mejora continua y un personal

altamente calificado con valores éticos y morales.”

VISIÓN:

“Ser líderes en el mercado, empresa reconocida por nuestros servicios de alta

calidad, creando de esta manera una continuidad del negocio que beneficie a

nuestros clientes y colaboradores.”

SEGURIDAD:

"Somos una empresa que adopta un enfoque preventivo como principio fundamental

para proteger al trabajador, el medio ambiente y a través de nuestro trabajo. Usando

materiales e insumos de alta calidad y seguridad, equipos modernos y capacitación

permanente y constante a nuestro personal tanto en seguridad industrial como en el

manejo de las maquinas herramientas.


1.2. RUBRO O GIRO DE LA EMPRESA

AAA INDUSTRIAL S.A se dedica al rubro metalmecánico, a la fabricación de

máquinas para industria pesquera, minera, alimentaria, etc. Asimismo desarrollamos

proyectos adecuados a las necesidades del cliente. Contamos con un Departamento

de Ingeniería que está desarrollando constantemente mejoras en nuestros productos

de Fabricación, ofreciéndole mejores alternativas a nuestros clientes.

Todos nuestros procesos pasan por controles de calidad que dan como resultado

productos de alta confiabilidad y eficiencia en su desempeño

A continuación algunos servicios y productos que brinda nuestra empresa:

Diseño y fabricación de maquinaria industrial según el requerimiento del

cliente.

Servicios de recubrimiento de cromado duro industrial. (pulido y rectificado) de

superficie.

Rectificado y afilado de cuchillas.

Mantenimiento y reparación de bombas de vacío, reductores, vávulas de

compuerta, transporte conveyor.

Reparación de prensas excéntricas.

Fabricación de repuestos y piezas mecánicas para la industrial en general.

Fabricación de engranajes: rectos, helicoidales, cónicos, cónicos helicoidales.

Fabricación de ejes excéntricas, poleas, variadores, reductores.


1.3. DESCRIPCION DE LAS VARIABLES DEL PRODUCTO QUE

SE VA ESTUDIAR:

ENGRANAJES RECTOS:

Los engranajes son elementos mecánicos dentados que rotan alrededor de un eje,

con la finalidad de transmitir potencia entre dos puntos fijos y a una distancia

determinada, esto es posible gracias a la acción conjugada y sucesiva de los dientes

de una rueda conductora o motriz hacia una rueda conducida, manteniendo siempre

una relación de transmisión constante durante su contacto.

Si los engranajes están formados por un cuerpo cilíndrico que dispone de dientes

ubicados de forma paralela al eje de rotación del engranaje se denominan engranajes

cilíndricos rectos. Además se denominan externos si los dientes son tallados en la

periferia del elemento y con una Orientación del diente hacia fuera.

CAMPO DE APLICACIÓN DE LOS ENGRANAJES

Existe una gran variedad de formas y tamaños de engranajes, desde los más

pequeños usados en relojería e instrumentos científicos (se alcanza el módulo 0,05) a

los de grandes dimensiones, empleados, por ejemplo, en las reducciones de

velocidad de las turbinas de vapor de los buques, en el accionamiento de los hornos y

molinos de las fábricas de cemento, etc. El campo de aplicación de los engranajes es

prácticamente ilimitado. Los encontramos en las centrales de producción de energía

eléctrica, hidroeléctrica y en los elementos de transporte terrestre: locomotoras,

automotores, camiones, automóviles, transporte marítimo en toques de todas clases,

aviones, en la industria siderúrgica: laminadores, transportadores, etc., minas y

astilleros, fábricas de cemento, grúas, montacargas, máquinas-herramientas,

maquinaria textil, de alimentación, de vestir y calzar, industria química y farmacéutica,

etc., hasta los más simples movimientos de accionamiento manual. Toda esta gran

variedad de aplicaciones del engranaje puede decirse que tiene por única finalidad la

transmisión de la rotación o giro de un eje a otro distinto, reduciendo o aumentando

la velocidad del primero, constituyendo los llamados “reductores o multiplicadores de

velocidad” y los “cambios de velocidades”. Una variedad muy interesante de todos

estos mecanismos la constituyen los llamados “trenes epicicloidales” y los

diferenciales.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TRANSMISIÓN POR

ENGRANES

Debido a la forma curva de los perfiles de los dientes es de evolvente o cicloidal el

movimiento transmitido por un par de ruedas dentadas es de rodadura pura.

Además la relación de rotaciones con velocidad angular de la transmisión engranajes,

es uniforme. Por esta razón se aplica como reductor o multiplicador de velocidades

en máquinas en las que se requiere una velocidad específica y que no tenga

alteraciones o fluctuaciones de velocidad.


Los engranes proporcionan a las máquinas una gradación utilizable de relaciones de

velocidad.

Los engranes permiten grandes transmisiones de potencia desde el eje de una fuente

de energía hasta otro eje situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo sin

perdidas de energía.

Los engranes tienen como desventaja que no pueden transmitir potencia entre

distancias grandes entre centros para estos casos se utiliza poleas o cadenas.

Los engranes tienen un costo elevado comparado con los otros tipos de transmisión

por cadenas y las poleas.

PERFIL DEL DIENTE

El perfil del diente, o sea la forma de sus flancos, está constituido por dos curvas

evolventes de círculo, simétricas respecto al eje que pasa por el centro del mismo.

Como se sabe, existe también el perfil cicloidal, aunque casi no se emplea, excepto

en relojería.

1.- LA EVOLVENTE DE CÍRCULO. Se llama “evolvente de círculo” a la curva descrita

por un punto de una recta (generatriz) que gira sin deslizar sobre una circunferencia

(circunferencia-base). La parte del perfil del diente que está debajo de la

circunferencia-base no es ya “evolvente”.

TRAZADO DE LA EVOLVENTE. SE divide la circunferencia-base en un número

entero de partes iguales. En la figura, doce partes iguales, cosa que facilita el

trazado, por coincidir con los 30° y los 60° de las escuadras de dibujo. Desde P se

traza la tangente horizontal PC, igual a la longitud de la circunferencia-base. Se divide

PC en el mismo número de partes iguales anterior. Desde el extremo de cada radio

se traza una tangente (que siempre es normal al radio en dicho punto). Empleando

PC como escala, se toma sobre cada tangente la longitud correspondiente de la

tangente PC. Así, 1—P1 = 1/12 PC, 2— P2=2/12 PC, 3— P= 3/12 PC, etc. Nótese

que las longitudes de las tangentes crecen en progresión aritmética. La curva que

pasa por los puntos P1, P2, P3,... es una evolvente.


TRAZADO APROXIMADO DE LA EVOLVENTE. Se divide la circunferencia-base en

un número cualquiera de partes iguales, AB, BC, CD, etcétera. Por cada uno de los

puntos A, B, C e trazan las tangentes BB1, CC1.., perpendiculares a los radios

respectivos en dichos puntos. Con centro en B, y radio igual a BA se traza el arco

AB1. Luego, el próximo arco B1C1, con centro en C y radio CB1. Se traza el arco

siguiente C1D1 con centro en D y radio DC1. La curva determinada por la sucesión

de arcos trazados es, con aproximación suficiente, una evolvente, Naturalmente,

cuanto más pequeñas sean las divisiones efectuadas en la circunferencia-base,

mayor será la aproximación de la curva obtenida a la evolvente.

CIRCUNFERENCIA BASE Y ANGULO DE PRESION. Conforme queda dicho, el

origen de las evolventes que constituyen los flancos de los dientes está en la

“circunferencia-base”.

El ángulo que forma la línea de acción y la tangente horizontal a la circunferencia

primitiva en el punto primitivo, es el “ángulo de presión”. Se designa por la fórmula

que nos da el diámetro de la circunferencia-base o diámetro-base, es la siguiente:

Db= d cosα

d = diámetro primitivo (de generación) = z.m

CIRCUNFERENCIAS PRIMITIVAS DE FUNCIONAMIENTO. La circunferencia

primitiva o la circunferencia base se refieren a una rueda o piñón independiente. En

el momento que esta pieza pasa a formar parte de un engranaje (o sea, engranando

con otra) nace el concepto de circunferencias “primitivas de funcionamiento”, que

son las circunferencias (distintas de las “de generación” en los engranajes

corregidos), que son tangentes y ruedan sobre otra sin deslizar. Tienen importancia

en los engranajes corregidos al funcionar el engranaje con distancia entre centros

distinta de la normal. En los normales, las primitivas de generación y las de

funcionamiento son las mismas.


ECUACION POLAR DE LA EVOLVENTE.. El ángulo bajo el cual, en un punto del

perfil, la tangente en este punto corta al radio vector correspondiente se denomina

“ángulo de incidencia. El ángulo de incidencia en el punto primitivo 1 será igual al

ángulo de presión

La ecuación polar de la evolvente es:

inv = tgα

y α expresados en radianes.

A la función (tgα) se la denomina evolvente, y su símbolo es invα

De la figura anterior se deduce también:

ÁngulolOa = invα

Ángulo IOM = inv — inv


PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE

Se forman cuando un círculo rueda sobre el exterior y el interior de los círculos de

rodadura o círculos primitivos C y D . En la figura que sigue a continuación se ilustra

una porción de dos ruedas con dientes cicloidales. El contacto acaba de empezar en

a, y a medida que las ruedas giren el punto de contacto se desplazará a lo largo de la

trayectoria curvilínea aOb, cesando en b. Se ha trazado la normal al primer punto de

contacto y es evidente que la inclinación de la normal con respecto a la tangente

común de los dos círculos primitivos es máxima en este punto, y varía

constantemente de dirección, aunque pasando siempre por O. Puede demostrarse

que en el sistema evolvente la relación de las velocidades angulares permanece

constante, dentro de los limites dc actuación, sean o no tangentes los círculos

primitivos; pero para la transmisión de una relación constante de velocidades con

engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes.


1.3.1. EXPLICACION DE LAS VARIABLES

Terminología empleada y Fórmulas matemáticas

Fórmulas matemáticas para el cálculo de fabricación:

1. Módulo

2. Paso circular

3. Diámetro primitivo

4. Distancia entre centros

5. Addendum

6. Dedendum

7. Espacio libre de fondo

8. Profundidad de diente

9. Profundidad de trabajo

10. Espesor circular del diente

11. Diámetro exterior

12. Diámetro base

13. Longitud del diente

CAPÍTULO II:

FUNDAMENTACIÓN DE LAS TABLAS ELEGIDAS.


2.1. FUNDAMENTACION DE LAS TABLAS ELEGIDAS

A continuación, en la siguiente tabla se muestra el cálculo de las variables y se comprobara con el engranaje físico que se tiene de muestra para esta tarea.

Cálculo de engranajes rectos sin despuntar

Datos de entrada Fórmulas Cálculos

Ángulo de presion 20

Numero de dientes (z) 38

Módulo (m) m=p/π 2

Paso circular (P) mm p=m*π 6.28

Diámetro primitivo d=m*z 76

Addendum (ha) ha=m 2

Dedendum (hf) hf=m*1.25 2.5

Espacio libre de fondo © c=m*0.25 0.5

Profundidad del diente (h) h=m*2.25 4.5

Profundidad de trabajo (h΄) h΄=m*2 4

Espesor circular del diente (s) s=p/2 3.14

Diámetro exterior (de) de=m*(z+2) 80

Diámetro base (db) db=d*cosα 71.42

longitud del diente (b) b=2*p 12.56


A continuación representamos el grafico que definen los puntos de

dispersión con ayuda del Excel, dichos puntos se unen para formar el perfil

del engranaje. En ello nos damos cuenta que el grafico se acerca bastante a

una ecuación polinómica (y = -0.8145x2 + 3.9553x + 35.969),

presentándonos el valor R² = R² = 0.9953

y = -0.8145x2 + 3.9553x + 35.969

R² = 0.9953

35

36

37

38

39

40

0 1 2

ALT

UR

A D

EL D

IEN

TE

ANCHO DEL DIENTE

PERFIL DE INVOLUTA

Series1

Polinómica(Series1)

Puntos de circunferencia base

puntos de trayectoria del perfil de la involu-ta

Diámetro base

71.41663918 Y X Y X

Ángulo de presión

(ϕ)

sen ϕ= ϕ*PI()/180°

senϕ*DB/2 cosϕ*DB/2 cosϕ*DB/2+senϕ*DB/2*ϕ senϕ*DB/2-cosϕ*DB/2*ϕ

4 0.06981317 2.490886458 35.62133592 35.7952326 0.004048075

7 0.122173048 4.351749463 35.44215519 35.97382168 0.021673348

10 0.174532925 6.200684624 35.16582998 36.2480536 0.063089451

13 0.226892803 8.032624141 34.79311767 36.61566228 0.138316155

16 0.27925268 9.842546792 34.32503985 37.07359742 0.257187413

19 0.331612558 11.62549171 33.76287948 37.61803852 0.429296883

22 0.383972435 13.37657196 33.1081774 38.24441231 0.66394445

25 0.436332313 15.09098795 32.36272811 38.94741379 0.970083945


CAPÍTULO III:

DEFINICIÓN MATEMÁTICA APROXIMADA

3.1. REPRESENTACION GRAFICA DE LA TABLA DE DATOS EN UN PLANO CARTESIANO.

Grafico realizado en Excel aplicandola tabulación y los puntos de intersección.

Diámetro exterior 80

X Y

-40 0.00

-39 8.89

-36 17.44

-30 26.46

-21 34.04

-12 38.16

0 40.00

12 38.16

21 34.04

30 26.46

36 17.44

39 8.89

40 0.00

Puntos del diametro exterior

-

-

0.000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Rad

io e

xte

rio

r (m

m)

Diametro exterior (mm)

Diámetro exterior

Diámetro exterior


Grafico del diámetro exterior, realizado en geogebra aplicando funciones matemáticas.


Grafico realizado en Excel aplicando la tabulación y los puntos de intersección.

Diámetro base 71.41663918

X Y

-35.708 0.15

-35 7.08

-32 15.85

-27 23.37

-21 28.88

-12 33.63

0 35.71

12 33.63

21 28.88

27 23.37

32 15.85

35 7.08

35.708 0.15

Puntos del diametro base

-

-

0.150

5

10

15

20

25

30

35

40

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Rad

io b

ase

(m

m)

Diametro base (mm)

Diámetro base

Diámetro base


Grafico diámetro interior, realizado en geogebra aplicando funciones matemáticas.


Gráfico del perfil del diente realizado en geogebra aplicando las funciones matemáticas

3.2. DEFINICION APROXIMADA DE LA FUNCION MATEMATICA DE LA GRÁFICA.

X Y

-2.51 35.62

-2.4 35.64

-2.3 35.69

-2.2 35.76

-2.1 35.90

-2.06 36.02

Radio de raiz del diente

X Y

-2.06 36.01

-1.8 37.21

-1.6 37.91

-1.4 38.50

1 42.72

-0.76 39.99

Radio del flanco derecho

h

X Y

-0.76 39.99

-0.65 39.99

-0.28 40.00

0 40.00

0.65 39.99

0.76 39.99

Radio de diametro exterior

p

X Y

0.76 39.99

1 39.48

1.25 38.89

1.5 38.21

1.7 37.58

2.06 36.01

Radio del flanco derecho

q

X Y

2.06 36.02

2.09 35.92

2.15 35.82

2.35 35.66

2.4 35.64

2.51 35.62

Radio de raiz del diente

r


3.3. GRAFICA DE LA FUNCION MATEMATICA DEDUCIDA.

F(x)=

1) √

2) √

3) √

4) √

5) √

X Y

-2.51 35.62

-2.4 35.64

-2.3 35.69

-2.2 35.76

-2.1 35.90

-2.06 36.02

-2 36.34

-1.9 36.81

-1.8 37.21

-1.7 37.58

-1.6 37.91

-1.4 38.50

-1.3 38.76

-1.2 39.01

-1 39.48

-0.76 39.99

-0.65 39.99

-0.28 40.00

0 40.00

0.65 39.99

0.76 39.99

1 39.48

1.2 39.01

1.3 38.76

1.4 38.50

1.6 37.91

1.7 37.58

1.8 37.21

1.9 36.81

2 36.34

2.06 36.01

2.09 35.92

2.15 35.82

2.35 35.66

2.4 35.64

2.51 35.62

3.4. DOMINIO Y RANGO DE LOS INTERVALOS Y CAMBIOS DE

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

Función del Diámetro Exterior

DE(x) = sqrt(1600 - x²)

Dom(f)= [-40,40]

Rg(f)= [0,40]

Intervalo de crecimiento

<-40, 0>

Intervalo de decrecimiento

<0, 40>

Función del Diámetro primitivo

DP(x) = sqrt(1444 - x²)

Dom(f)= [-38,38]

Rg(f)= [0,38]


<-38, 0>


<0, 38>

Función del Diámetro interior

DI(x) = sqrt(1275.2 - x²)

Dom(f)= [-35.71, 35.71]

Rg(f)= [0,35.71]


<-35.71, 0>



<0, 35.71>

Función del Perfil delDiente

Dom(f)= [-2.51, 2.51>

Rg(f)= [35.62, 40]


<-2.51, 0>


<0, 2.51>

F(x)=

1) √

2) √

3) √

4) √

5) √


3.5. APICACION DE LA DERIVADA EN LA FUNCION ENCONTRADA.

Derivada del Diámetro Exterior

DE(x) = sqrt (1600-x2)

DE’(x) = [(1600-x2)1/2]’

DE’(x)= 1/2. (1600-x2)1/2-1 .(1600-x2)’

DE’(x)=1/2. 1/sqrt(1600-x2) . -2x

DE’(x)= -x/ sqrt(1600-x2)

Derivada del Diámetro Primitivo

DP(x)= sqrt(1444-x2)

DP’(x)= [(1444-x2)1/2]’

DP’(x)=1/2. (1444-x2)1/2-1 .(1444-x2)’

DP’(x)=1/2. 1/ sqrt(1444-x2) . -2x

DP’(x)= -x/ sqrt(1444-x2)

Derivada de Diámetro Interior

DI(x)= sqrt(1275.2-x2)

DP’(x)= [(1444-x2)

1/2]’

DI’(x)= 1/2.(1275.2-x2)1/2-1 .(272.25-x2)’

DI’(x)=1/2. 1/ sqrt(1275.2-x2) . -2x

DI’(x)= -x/ sqrt(1275.2-x2)


Derivada del Perfil del Diente – Radio de raíz del diente

g(x)= 36.12 - sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)

g’(x)= [36.12 - sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)]’

g’(x)= [- sqrt(0.25 - (x + 2.55)²)]’

g’(x)= [- (0.25 - (x + 2.55)²)1/2]’

g’(x)= -1/2. (0.25 - (x + 2.55)²)1/2-1.(0.25 - (x + 2.55)²)’

g’(x)= -1/2. 1/sqrt(0.25 - (x + 2.55)²). – ((x + 2.55)²)’

g’(x)=-1/2. 1/ sqrt(0.25 – (x+2.55)2) . -2(x+2.55). (x+2.55)’

g’(x)= (x+2.55) / sqrt(0.25 – (x+2.55)2)

Derivada del Perfil del Diente – Radio del flanco derecho

h(x)= 33.55 +sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)

h’(x)= [33.55 +sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)]’

h’(x)= [ sqrt(209.69 - (x – 12.21)²)]’

h’(x)= [ (209.69 - (x – 12.21)²)1/2]’

h’(x)= 1/2. (209.69 - (x - 12.21)²)1/2-1.(209.69 - (x - 12.21)²)’

h’(x)= 1/2. 1/sqrt(209.69 - (x - 12.21)²). – ((x - 12.21)²)’

h’(x)= 1/2. 1/ sqrt(209.69 - (x - 12.21)²) . -2(x – 12.21). (x – 12.21)’

h’(x)= -(x- 12.21) / sqrt(209.69 - (x - 12.21)²)

Derivada del Perfil del Diente – Radio del diámetro exterior

p(x) = sqrt (1600-x2)

p’(x) = [(1600-x2)1/2]’

p’(x) = 1/2. (1600-x2)1/2-1 .(1600-x2)’

p’(x) = 1/2. 1/ sqrt(1600-x2) . -2x

p’(x) = -x/ sqrt(1600-x2)


Derivada del Perfil del Diente – Radio del flanco izquierdo

q(x)= 33.55 +sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)

q’(x)= [33.55 +sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)]’

q’(x)= [ sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)]’

q’(x)= [ (209.69 - (x + 12.21)²)1/2]’

q’(x)= 1/2. (209.69 - (x + 12.21)²)1/2-1

. (209.69 - (x + 12.21)²)’

q’(x)= 1/2. 1/sqrt(209.69 - (x + 12.21)²). – ((x + 12.21)²)’

q’(x)= 1/2. 1/ sqrt(209.69 - (x + 12.21)²) . -2(x + 12.21). (x + 12.21)’

q’(x)= -(x+ 12.21) / sqrt(209.69 - (x + 12.21)²)

Derivada del Perfil del Diente – Radio de raíz del diente

g(x)= 36.12 - sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)

g’(x)= [36.12 - sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)]’

g’(x)= [- sqrt(0.25 - (x - 2.55)²)]’

g’(x)= [- (0.25 - (x - 2.55)²)1/2]’

g’(x)= -1/2. (0.25 - (x - 2.55)²)1/2-1 .(0.25 - (x - 2.55)²)’

g’(x)= -1/2. 1/sqrt(0.25 - (x - 2.55)²). – ((x - 2.55)²)’

g’(x)=-1/2. 1/ sqrt(0.25 – (x-2.55)2) . -2(x+2.55). (x- 2.55)’

g’(x)= (x-2.55) / sqrt(0.25 – (x-2.55)2)


3.6 INTERPRETACION DE LAS APLICACIONES APARTIR DE LA

DERIVADA, INDICAR RAZON DE CAMBIO (máximo, mínimo e inflexión).

Según la gráfica se observa que solamente se puede evaluar algún punto máximo,

mínimo o de inflexión en p(x) ya que en las demás no se ve un cambio en la curvatura,

acotar que g(x) y r(x) tienen puntos mínimos que vendrían a ser en los extremos de la

circunferencia en respectivamente, pero estas coordenadas no se

encuentran comprendidas en los dominios de las funciones.

Analizando p(x), para verificar algún punto se requiere hallar la segunda derivada:

√

Para evaluar algún punto máximo o mínimo se requiere hallar las raíces de la primera derivada:

√

Se obtuvo que x=0 es una raíz de la primera derivada, tenemos que evaluarlo en la segunda derivada:

F΄(x)=

1) √ –

2) √

3) √

4) √

5) √ –


CAPÍTULO IV:

CONCLUSIONES


No solo se pueden diseñar e interpretar planos de objetos con ayuda de software

de diseño, sino también a través de las funciones matemáticas nosotros podemos

analizar e interpretar los trazos y curvas que forman este objeto.

Se realizó las funciones de los 3 diámetros bases que forman un engranaje como

son: Diámetro exterior, diámetro primitivo, diámetro interior.

Para el diseño del perfil del engranaje, se unieron 5 funciones matemáticas que

en conjunto forman el perfil de involuta o envolvente.

Gracias a las funciones matemáticas obtenidas por el Geogebra, logramos reali-

zar los puntos, arcos, rectas que pasan por los ejes de coordenadas del plano car-

tesiano.Que nos llevan al diseño del objeto (perfil del engranaje) muy aproximado

del objeto físico a lo teórico.

Con el cálculo y análisis de las derivadas nos ayudan a observar e interpretar los

cambios de función del perfil del engranaje.


ANEXOS

Piñón de referencia para el cálculo

Toma de datos de engranaje con ayuda del pie de rey


GLOSARIO

Envolvente: De la curva o superficie tangente, en cada punto, a una familia de curvas.

Generatriz:Es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica,

que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva.

Cicloide:Es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia

generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.

Diámetro:Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos

opuestos de una circunferencia, una superficie esférica o una curva cerrada.

Modulo:En el diseño de engranajes, el módulo es la relación entre el diámetro

primitivo y el número de dientes.

Flanco: Cada una de las dos partes laterales de un cuerpo considerado o visto de

frente:

Involuta:Es una curva plana de desarrollo, cuyas normales son tangentes de la

circunferencia.


BIBIOGRAFIA

LARBURU ARRIZABALAGA, Nicolás (2004). Máquinas. Prontuario. Técnicas

máquinas herramientas.

Manual del cálculo de Taller A.L. CASILLAS.

COMAS, A. Tecnología resumida sobre engranajes. Ediciones Cedel

SENATI, diseño y cálculo de engranajes.

guia mi_ii_finalizado_los técnicos (1)

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