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Lima – Perú
2014
M a t e m á t i c a I I
AUTOR: ING. OSCAR PAIBA
Matemática II | Guía del Estudiante | 2
MATEMATICA II
GUÍA DEL ESTUDIANTE
© MATEMÁTICA II
GUÍA DEL ESTUDIANTE P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i ó n p a r c i a l o t o t a l d e
e s t a o b r a p o r c u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i ó n e s c r i t a d e l A u t o r .
© Derechos Reservados 2014
Cuarta Edición
© Universidad Científica del Sur
© Área de Matemática
Universidad Científica del Sur S.A.C.
Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19
Villa El Salvador
Tlf: (51 1) 610 6400
Web: www.ucsur.edu.pe
Matemática II | Guía del Estudiante | 3
Reservados todos los derechos
Ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorización expresa por escrito del autor. La
autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se
refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100,
sólo para uso con fines educativos y sin lucro.
MBA Rolando Vallejo Cortéz Presidente Ejecutivo
MBA Luis Pérez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo
Dr. José Amiel Pérez Rector
Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Académica
M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Básicos de Ciencias
Ing. José Dávila Coordinador del área de Matemática
Autor Ing. Oscar Paiba
Matemática II | Guía del Estudiante | 4
E l e s t u d i o d e e s t a g u í a d e
p r á c t i c a p e r m i t i r á :
Obtener información de los
diferentes temas del curso de
Matemática II, de acuerdo al perfil
profesional.
Que se use en el desarrollo de los
temas del curso tanto en la teoría
como en la práctica de los ejercicios
y problemas aplicativos.
Disponer de ejercicios propuestos.
Disponer de problemas de
Aplicación.
OBJETIVOS
Matemática II | Guía del Estudiante | 5
1. Capítulo 1: Integral Indefinida
1.1. La antiderivada.
1.1.1. Propiedades de la Integral Indefinida
1.1.2. Fórmulas de Integración.
1.1.3. Integración inmediata
1.2. Métodos de Integración
1.2.1. Por sustitución o cambio de variable
1.2.2. Integración por partes
1.2.3. De funciones trigonométricas
1.2.4. Por sustitución trigonométrica
1.2.5. De funciones racionales
1.2.6. Integrales especiales
1.3. Problemas propuestos
2. Capítulo 2: Integral definida
2.1. Introducción
2.2. Cálculo de áreas de regiones planas
2.3. Cálculo del volumen. Sólidos de revolución
2.3.1. Método del disco o método de las rebanadas
Matemática II | Guía del Estudiante | 6
2.3.2. Método del anillo o método de la arandela
2.3.3. Método de la corteza cilíndrica
2.4. Longitud de Arco
2.5. Problemas propuestos
3. Capítulo 3: Integrales Impropias.
3.1. Integrales impropias con límites infinitos
3.2. Integrales impropias con límites finitos
3.3. Cálculo de áreas
3.4. Problemas propuestos
4. Bibliografía
5. Anexos
5.1. Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.
Matemática II | Guía del Estudiante | 7
Matemática II | Guía del Estudiante | 8
1.1 . La Ant ider ivada
Una función F se l l ama ant ider ivada de una función f en un
in te rva lo I; s i F’(x) = f (x) para todo va lor de x en I .
Ej emplo 1 :
S i 𝑭(𝒙) = 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓
𝒇´(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
Entonces : 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
Y dec imos que 𝒇(𝒙) es l a der ivada de 𝑭(𝒙) y 𝑭(𝒙) es l a an t ider ivada
(pr imi t iva o función or iginal ) de 𝒇(𝒙).
Ej emplo 2 :
S i 𝑮(𝒙) = 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒄
𝒈´(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
𝒈(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
En genera l , s i una función F(x) es una ant ider ivada de una función
f (x) en un interva lo I y s i G(x) es tá def inida por:
G(x) = F(x) + C
Donde “C” es una cons tante a rbi t rar ia , entonces , der ivando:
G’(x) = F’ (x) = f (x)
G(x) t ambién es una ant ider ivada de f en e l in te rva lo I .
La Integral Indef inida
La In tegra l Indef inida o ant idi fe renc iación , es e l proceso de
encont rar l a ant ider ivada más general de una función dada y se
denota así :
∫𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = 𝐅(𝐱) + 𝐂
Matemática II | Guía del Estudiante | 9
Donde: (F(x) + C)’ = f (x)
𝐱 = var iable de integración
𝐟(𝐱) = in tegrando
𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = e lemento de integración
∫. = s ímbolo de la in tegra l
∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = in tegra l de f (x) di fe renc ial de x
𝐅(𝐱) = in tegra l par t icu lar
𝐅(𝐱) + 𝐂 = In tegra l Indef in ida .
𝐂 = cons tante de integración arbi t rar ia e indef in ida
1.1 .1 . Propiedades de la Integral Indef inida.
- Derivada de una integral:
𝐝
𝐝𝐱(∫𝐟(𝐱)𝐝𝐱) = (∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱)
′
= (𝐅(𝐱) + 𝐂)′ = 𝐅′(𝐱) + 𝐂′ = 𝐟(𝐱)
“La der ivada de una in tegra l indef in ida , es igua l a l integrando”
- Diferencia l de una integral :
𝐝(∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱) = (∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱)′
𝐝𝐱 = 𝐟(𝐱)𝐝𝐱
“El di fe rencia l de una integral indef in ida , es igua l a l e lemento de
in tegrac ión”
S i 𝐟(𝐱) es función der ivable en el in te rva lo I
Di ferenciando 𝐝(𝐟(𝐱)) = (𝐟(𝐱))′𝐝𝐱 = 𝐟′(𝐱)𝐝𝐱
Entonces : ∫ 𝐟′(𝐱)𝐝𝐱 = ∫ 𝐝(𝐟(𝐱)) = 𝐟(𝐱) + 𝐜
“La in tegra l indef in ida , es una operación inversa a la
d i ferenc iac ión”
Ej emplo 3 :
Sea la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙. 𝐥𝐧 𝒙 − 𝒙
Matemática II | Guía del Estudiante | 10
Diferenciando: 𝒅𝒇(𝒙) = 𝒅(𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙) = 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙
Entonces ∫𝒅(𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙) = ∫ 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙 = 𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙 + 𝒄
- Producto de una constante por una función:
∫𝒂. 𝑢. 𝑑𝑢 = 𝒂 ∫ 𝑢. 𝑑 𝑢
- Suma algebraica de 2 o más funciones:
∫(𝑢𝑑𝑢 ± 𝑣 𝑑𝑣 ± 𝑤𝑑𝑤) = ∫ 𝑢𝑑𝑢 ± ∫ 𝑣𝑑𝑣 ± ∫𝑤𝑑𝑤
1.1 .2 . Fórmulas bás icas de integración.
(u, v , w = funciones ; a, n , c = constantes)
1. ∫𝐝𝐮 = 𝐮 + 𝐜
2. ∫𝐮𝐧𝐝𝐮 =𝐮𝐧+𝟏
𝐧 + 𝟏+ 𝐜 , 𝐬𝐢 𝐧 ≠ −𝟏
3. ∫𝐝𝐮
𝐮= ∫
𝟏
𝐮𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐮| + 𝐜
4. ∫ 𝐞𝐮𝐝𝐮 = 𝐞𝐮 + 𝐜
5. ∫𝐚𝐮𝐝𝐮 =𝐚𝐮
𝐥𝐧𝐚+ 𝐜
6. ∫ 𝐬𝐞𝐧(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐨𝐬 (𝐮) + 𝐜
7. ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧(𝐮) + 𝐜
8. ∫ 𝐭𝐠(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐜 𝐮| + 𝐜 = −𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝐮| + 𝐜
9. ∫ 𝐜𝐭𝐠(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧 𝐮| + 𝐜
10. ∫ 𝐬𝐞𝐜(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐜 𝐮 + 𝐭𝐠 𝐮| + 𝐜 = 𝒍𝒏. 𝒕𝒈 (𝒖
𝟐+𝝅
𝟒)
11. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐭𝐠(𝐮) + 𝐜
12. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝐮 − 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐮| + 𝐜 = 𝐥𝐧 |𝐭𝐠 𝐮
𝟐| + 𝐜
13. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐭𝐠 (𝐮) + 𝐜
Matemática II | Guía del Estudiante | 11
14. ∫𝐝𝐮
𝐮𝟐 + 𝐚𝟐 =
𝟏
𝐚𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 (
𝐮
𝐚) + 𝐜 , 𝐚 > 0
15. ∫𝐝𝐮
𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 =
𝟏
𝟐𝐚𝐥𝐧 |
𝐮 − 𝐚
𝐮 + 𝐚| + 𝐜 , 𝐚 > 0
16. ∫𝐝𝐮
𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 =
𝟏
𝟐𝐚𝐥𝐧 |
𝐚 + 𝐮
𝐚 − 𝐮| + 𝐜 , 𝐚 > 0
17. ∫𝒅𝒖
√𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒖
𝒂) + 𝒄 , 𝒂 > 0
18. ∫𝐝𝐮
√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐 = 𝐥𝐧 |𝐮 + √𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐| + 𝐜
19. ∫√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 𝐝𝐮 = 𝟏
𝟐(𝐮√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 + 𝐚𝟐𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝐮
𝐚) + 𝐜
20. ∫𝐝𝐮
𝐮√𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 =
𝟏
𝐚𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 |
𝐮
𝐚| + 𝐜, 𝐚 > 0
21. ∫√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐𝐝𝐮 = 𝟏
𝟐(𝐮√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐 ± 𝐚𝟐𝐥𝐧 |𝐮 + √𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐|) + 𝐜
22. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮) + 𝐜
23. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮) + 𝐜
24. ∫ 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)| + 𝐜
25. ∫ 𝐜𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)| + 𝐜
26. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜 ó 𝟐𝐭𝐠−𝟏𝐞𝐮 + 𝐜
27. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧 |𝐭𝐠𝐡(𝐮
𝟐)| + 𝐜 ó −𝐜𝐨𝐭𝐠𝐡−𝟏𝐞𝐮 + 𝐜
28. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜
29. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜
30. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮). 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮) + 𝐜
Matemática II | Guía del Estudiante | 12
31. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −√𝟏+ 𝐮𝟐 + 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮) + 𝐜
32. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −(−𝟏 − 𝐮)√−𝟏 + 𝐮
𝟏 + 𝐮 + 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮) + 𝐜
33. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝟏
𝟐𝐥𝐧|−𝟏 + 𝐮𝟐| + 𝐜
1 .1 .3 . Integración Inmediata
Cons is te en resolver l a integral ut i l i zando las propiedades y
fórmulas básicas de acuerdo a l a conclus ión ar r iba mencionada .
Ej emplo 4 :
In tegrar :
∫(8x3 − 19x−3)dx
Ut i l i zando propiedad : ∫8x3dx − ∫ 19x−3dx =
Ut i l i zando propiedad : 8 ∫ x3dx − 19 ∫ x−3dx =
Ut i l i zando la fórmula (2 ) : (8x4
4+ c1) − (
19x−2
−2+ c2) =
Haciendo:
c1 + (−c2 ) = c
S impl i f icando y ordenando, se obt iene como resul tado:
∫(8x3 − 19x−3)dx = 𝟐𝐱𝟒 + 𝟏𝟗
𝟐𝐱𝟐 + 𝐜
Ej emplo 5 :
In tegrar :
∫2x3 + x
x4 + x2 + 2dx
Al d ife renciar e l denominador , resu l ta par te de l numerador:
d(x4 + x2 + 2) = (4x3 + 2x)dx = 2(2x3 + x)dx
Matemática II | Guía del Estudiante | 13
Para parecerse con la fórmula (3 ) , se mul t ip l ica y d ivide por 2:
1
2∫2(2x3+x)
x4+x2+2dx =
1
2∫(4x3+2x)
x4+x2+2dx
O sea se t i ene la forma de la fórmula (3 ) :
1
2∫du
u =
1
2(ln|u| + c)
Resul tando:
∫𝟐𝐱𝟑+𝐱
𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟐. dx =
𝟏
𝟐∫(𝟒𝐱𝟑+𝟐𝐱)
𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟐. dx =
𝟏
𝟐𝐥𝐧|𝐱𝟒 + 𝐱𝟐 + 𝟐| + 𝐜
Ejemplo 6 :
In tegrar :
∫y2 + 15
√y2 + 9dy
Se descompone 15 en 9+6 y se obt ienen dos in tegra les :
∫(y2+9)
√y2+9dy + ∫
6
√y2+9dy → ∫√y2 + 9 dy + 6 ∫
dy
√y2+9
Apl icando las fórmulas d irec tas (21) y (18) resul ta :
∫𝐲𝟐+𝟏𝟓
√𝐲𝟐+𝟗𝐝𝐲 =
𝟏
𝟐[𝐲√𝐲𝟐 + 𝟗 + 𝟗𝐥𝐧 |𝐲 + √𝐲𝟐 + 𝟗|] + 𝐥𝐧 |𝐲 + √𝐲𝟐 + 𝟗| + 𝐜
1 .2 . Métodos de Integración
Para resolver in tegra les exis ten var ios métodos , desde los más
s imples a los más comple jos de acuerdo a l as caracter í s t icas de la
in tegra l .
En todos los métodos se busca l legar mediante procedimientos
a lgebraicos u a r t i f ic ios matemát icos , a una de las formas de las
in tegra les bás icas ( tab la) para obtener l a respues ta .
1.2 .1 . Método: Por Sust i tución o cambio de variable
Matemática II | Guía del Estudiante | 14
Si en ∫ f(x)dx , reemplazamos la var iable “x” por : x = g(u)
Tenemos : dx = g′(u)du
Donde “u” es una nueva var iable y “g” una función cont inua
di ferenc iable .
Reemplazando, t enemos:
∫ f(x)dx = ∫ f(g(u)) g′(u)du (1)
La función “g” se procura elegi r de tal manera , que , e l segundo
miembro de la fórmula (1) tome una forma adecuada y parecida a
l as fórmulas básicas de integración .
Ej emplo 7 :
In tegrar :
∫ x2. √3 − x3. dx = ∫√3 − x3. x2. dx ( E l o r d e n d e l o s f a c t o r e s n o a l t e r a e l p r o d u c t o )
a) Forma de resolución 1: ( tomando solo el rad icando)
Hacemos e l cambio de var iable: 𝐮 = 𝟑 − 𝐱𝟑
Di ferenciando: du = −3. x2dx Despejando “x2. dx” , para reemplazar en la integra l or igina l :
x2dx = −du
3
Reemplazando “u” y “x2. dx” en e l ejercic io or iginal t enemos:
∫ x2√3 − x3. dx = ∫(3 − x3)1/2. x2. dx = ∫(u)1/2 (−du
3) = −
1
3∫u1/2du
In tegrando de acuerdo a l a fórmula (2 ) :
−1
3∫u1/2du = (−
1
3) (
2
3)u3/2 + c
Operando y reemplazando “u” nuevamente , se obt iene la
respuesta :
(−1
3) (
2
3) u3/2 + c = −
𝟐
𝟗√(𝟑 − 𝐱𝟑)𝟑 + 𝐜
Matemática II | Guía del Estudiante | 15
b) Forma de resolución 2: ( tomando todo e l rad ica l)
Hacemos e l cambio de var iable: 𝐮 = √𝟑 − 𝐱𝟑
Elevando al cuadrado 𝑢2 = 3 − 𝑥3
Di ferenciando impl íc i tamente 2𝑢du = −3. x2dx Despejando “x2. dx” , para reemplazar en la integra l or igina l :
x2dx = −2udu
3
Reemplazando “u” y “x2dx” en e l e jercic io or iginal t enemos:
∫ x2√3 − x3. dx = ∫(3 − x3)1/2. x2. dx = ∫u (−2udu
3) = −
2
3∫𝑢2du
In tegrando de acuerdo a l a fórmula (2 ) :
−2
3∫u2du = (−
2
3) (
1
3) u3 + c
Operando y reemplazando “u” nuevamente , se obt iene la
respuesta :
(−2
3) (
1
3) u3 + c = −
𝟐
𝟗(√𝟑 − 𝒙𝟑) 𝟑 + 𝐜
N o t a : E s t e r e s u l t a d o s e p u e d e c o m p r o b a r d i f e r e n c i á n d o l o , y a s í o b t e n e r e l “ e l e m e n t o d e i n t e g r a c i ó n ” :
d (−2
9√(3 − x3)3 + c) = (−
2
9√(3 − x3)3 + c)
′dx = x2√3 − x3 . dx
Ej emplo 8 :
In tegrar :
∫sec2x. dx
etgx
Haciendo : u = tgx Di ferenciando: du = (tgx)′dx → du = sec2x. dx
Reemplazando en el e je rc icio or igina l , t enemos
∫sec2x.dx
etgx = ∫
du
eu = ∫ e−udu
Matemática II | Guía del Estudiante | 16
La idea es ut i l i zar la fórmula (4 ) : " ∫ eudu = eu + c" , pero en el
e j erc ic io ( la integra l resul tan te) el exponente es negat ivo , lo cual
impl ica hacer o tro cambio de var iable con e l exponente “ -u”:
S i : t = −u → dt = −du → du = −dt
Reemplazando “ t” : ∫ e−udu = −∫etdt = −(et+ c)
La respuesta se obt iene reemplazando “t” y “u” en −(et+ c) :
∴ ∫sec2x.dx
etgx = −𝐞−𝐭𝐠𝐱 + c
Ej emplo9:
In tegrar :
∫x3. √1 + x4
√1 + x4 + 1. dx
Se puede cons iderar todo el radical como cambio de var iable con
e l f in de evi ta r exponentes f racc ionar ios .
Cambio de var iable: 𝐮 = √𝟏 + 𝐱𝟒 → u2 = 1 + x4
Di ferenciando impl íc i tamente :
2udu = 4x3dx → x3dx =2u.du
4
Reemplazando en e l e jerc ic io (previo ordenamiento) y
s impl i f icando:
∫√1+x4.x3.dx
√1+x4 +1 → ∫
u.2u.du
4(u+1)→ ∫
2u2
4(u+1)du →
1
2∫
u2
u+1du
a ) Solución , divid iendo f racciones : u2
u+1=→ (u − 1) +
1
u+1
Reemplazando en la in tegra l :
1
2∫ [(u − 1) +
1
u+1] du →
1
2[∫(u − 1) du + ∫
1
u+1du]
In tegrando y cambiando “u” , obtenemos la respuesta :
Matemática II | Guía del Estudiante | 17
∫x3.√1+x4
√1+x4 +1. dx =
1
4u2 −
1
2u +
1
2ln(u + 1) + c
∫x3.√1+x4
√1+x4 +1. dx =
𝟏
𝟒(𝟏 + 𝐱𝟒) −
𝟏
𝟐√𝟏 + 𝐱𝟒 +
𝟏
𝟐𝐥𝐧(√𝟏 + 𝐱𝟒 + 𝟏) + 𝐜
b ) Soluc ión , hac iendo cambio de var iable :
Cambio de var iable: 𝑡 = 𝑢 + 1
Di ferenciando: 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢
Despejando “u”: 𝑢 = 𝑡 − 1
Reemplazando en la in tegra l :
1
2∫(𝑡−1)2
𝑡dt →
1
2∫𝑡2−2𝑡+1
𝑡𝑑𝑡 →
1
2∫ (𝑡 − 2 +
1
𝑡) 𝑑𝑡
In tegrando y cambiando “u”:
∫x3.√1+x4
√1+x4 +1. dx →
1
2[(𝑢+1)2
2− 2(𝑢 + 1) + 𝑙𝑛(𝑢 + 1)] + 𝑐 =
Recuperando la var iable “u”
= 1
2[(√1+𝑥4+1)
2
2 − 2(√1 + x4 + 1) + ln(√1 + x4 + 1)] + c
S impl i f icando , obtenemos la respuesta:
∫x3.√1+x4
√1+x4 +1. dx =
𝒙𝟒
𝟒−𝟏
𝟐√𝟏 + 𝒙𝟒 +
𝟏
𝟐𝒍𝒏(√𝟏 + 𝐱𝟒 + 𝟏) + c
N o t a : N o o l v i d a r q u e t o d o s l o s n ú m e r o s e x i s t e n t e s e n l a s o l u c i ó n , c o n s t i t u y e n
c o n s t a n t e s y s e a g r u p a n e n “ c ” .
Ej emplo 10:
In tegrar :
∫5x
1 + 5xdx
Cambio de var iable: u = 5x → du = 5x. ln5. dx → dx =du
5xln5
Reemplazando e integrando
Matemática II | Guía del Estudiante | 18
∫5x
1+5xdx= ∫
u
1+u.du
5xln5 → ∫
u
(1+u).u.ln5du →
1
ln5∫
du
1+u
1
ln5. ln(1 + u) + c r eemplazando “u”: =
𝟏
𝐥𝐧𝟓. 𝐥𝐧(𝟏 + 𝟓𝐱) + 𝐜
N o t a : T a m b i é n s e p u e d e t o m a r “ 1 + 5𝑥 ” c o m o “ u ” .
Ejemplo 11:
In tegrar :
∫t7
t4 − 5dt
Se descompone t7 en t4. t3, debido a que la der ivada de t4 e s 4t3.
∫t4. 𝐭𝟑 𝐝𝐭
t4−5
Haciendo el cambio de var iable:
u = t4 − 5 → t4 = u + 5 → du = 4t3dt → t3dt =du
4
Reemplazando e integrando:
∫t4. 𝐭𝟑 𝐝𝐭
t4−5 = ∫
(u+5)du
4
u →
1
4∫(u+5)du
u →
1
4[∫ du + 5 ∫
du
u]
∫t4. 𝐭𝟑 𝐝𝐭
t4−5 =
1
4[u + 5. ln|u|] + c → =
𝟏
𝟒[𝒕𝟒 − 𝟓 + 𝟓. 𝒍𝒏|𝒕𝟒 − 𝟓|] + 𝒄
1 .2 .2 . Método: Integración por partes
Método ut i l i zado generalmente cuando el e lemento de integración ,
representa un producto (mul t ipl icación) .
Sean u, v dos funciones def in idas y der ivables en el in terva lo I:
Di ferencial de un producto: 𝑑(𝑢. 𝑣) = 𝑢. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑢
Despejando 𝑢. 𝑑𝑣: 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢. 𝑣) − 𝑣. 𝑑𝑢
In tegrando ambos miembros :
∫𝑢. 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢. 𝑣) − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢,
Resul ta l a fórmula de integración por par tes :
Matemática II | Guía del Estudiante | 19
∫u. dv = u. v − ∫ v. du (*)
Ej emplo 12:
In tegrar :
∫ x2. lnx. dx ó ∫ lnx. x2. dx
De acuerdo a l a fórmula de integración por par tes , debemos e legi r
l as dos par tes del e lemento de integración: u y dv , para luego
encont rar du y v respec t ivamente . Se debe t rata r de encontrar en
todo momento una integra l más s imple y fac t ib le de resolver .
Haciendo: 𝐮 = lnx y 𝐝𝐯 = x2dx Hal lamos du y v :
S i : 𝐮 = lnx → d i fe renciando → 𝐝𝐮 = 1
xdx
S i : 𝐝𝐯 = x2dx → integrando → ∫ dv =∫ x2dx → 𝐯 = x3
3
Reemplazando, según la fórmula de integrac ión por par tes (*) :
∫ lnx. x2. dx = ∫u. dv = u. v − ∫ v. du → (lnx) (x3
3) − ∫ (
x3
3)1
xdx
S impl i f icando e in tegrando:
∫ lnx. x2. dx = x3
3 lnx −
1
3∫ x2dx =
x3
3 lnx −
1
9x3 + c
O también , fac tor izando :
∫ lnx. x2. dx = x3
3(lnx −
1
3) + c
Ej emplo 13:
In tegrar :
∫ex(x + 1)2dx
Matemática II | Guía del Estudiante | 20
Desarro l lando el b inomio, para apl icar integrac ión por par tes:
∫(x2 + 2x + 1)exdx
𝐮 = x2 + 2x + 1 → 𝐝𝐮 = (2x + 2)dx 𝐝𝐯 = exdx → 𝐯 = ex Reemplazando en la fórmula de in tegrac ión por par tes:
(*) ∫u. dv = u. v − ∫ v. du
∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − ∫ 𝐞𝐱 (𝟐𝐱 + 𝟐)𝐝𝐱
Resolviendo nuevamente por par tes l a in tegra l (en negr i ta) :
𝒖 = 2x + 2 → 𝒅𝒖 = 2dx 𝒅𝒗 = exdx → 𝒗 = ex Se t iene:
∫𝐞𝐱(𝟐𝐱 + 𝟐)𝐝𝐱 = (2x + 2)ex − ∫ ex. 2dx = (𝟐𝐱 + 𝟐)𝐞𝐱 − 𝟐𝐞𝐱
Reemplazando en el e je rc icio genera l , obtenemos la respues ta :
∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − [(2x + 2)ex − 2ex] + c
∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − (2x + 2)ex + 2ex + c
Ej emplo 14:
In tegrar :
∫exsen2x. dx
Hal lando u , du , dv v:
𝐮 = ex → 𝐝𝐮 = exdx
𝐝𝐯 = sen2x. dx → 𝐯 = −1
2cos2x
Reemplazando, según la fórmula :
∫ exsen2x. dx = 𝑒𝑥 (−1
2𝑐𝑜𝑠2𝑥) − ∫−
1
2𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
Matemática II | Guía del Estudiante | 21
∫ exsen2x. dx = −1
2𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥) +
𝟏
𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. 𝒆𝒙𝒅𝒙 (1)
Desarro l lando nuevamente por par tes l a integra l en negri ta:
𝒖 = ex → 𝒅𝒖 = exdx
𝒅𝒗 = cos2x. dx → 𝒗 =1
2sen2x
∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱. 𝐞𝐱𝐝𝐱 = 1
2ex(sen2x) −
1
2∫ exsen2x. dx
Reemplazando en (1) :
∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙 = −1
2𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥) +
𝟏
𝟐[1
2ex(sen2x) −
1
2∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙]
Dado que se vuelve a encont rar l a in tegra l inicial del e je rc icio y
no hay reducción del e je rc ic io , se opera como una ecuación de
pr imer grado, se despeja l a integral problema y se obt iene la
respuesta :
∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙 = −1
2𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥) +
1
4𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥) −
1
4 ∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙.
∫𝐞𝐱𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱. 𝐝𝐱 = 𝟐
𝟓𝐞𝐱 (
𝟏
𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱) + 𝐜
Ej emplo 15:
In tegrar :
∫lnx. dx
𝐮 = lnx → 𝐝𝐮 =1
𝑥dx
𝐝𝐯 = sen2x. dx → 𝐯 = x
Reemplazando, según la fórmula , obtenemos la respuesta:
∫lnx. dx = x. lnx − ∫𝑥.1
𝑥𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶
Matemática II | Guía del Estudiante | 22
1.2 .3 . Método: Integración de funciones tr igonométricas .
Para este t ipo de integrac ión , es necesar io conocer l as i dent idades
t r igonomét r icas , di fe renc iales e in tegra les de las funciones
t r igonomét r icas .
Es muy impor tante tener presente , para e fecto de resoluc ión de
ej erc ic ios , l a af in idad que t i enen: seno-coseno , t angente -secante y
co tangente -cosecante .
S i a l t ra ta r de desar ro l la r l a in tegra l de acuerdo a la af inidad y no
se puede resolver , en tonces una es t ra tegia es conver t i r todo a seno
y coseno.
Identidades trigonométr icas
1. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 12. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1
𝑠𝑒𝑛𝜃
2. 1 + tg2θ = sec2θ 13. secθ = 1
cosθ
3. 1 + ctg2θ = cosec2θ 14. ctgθ = 1
tgθ
4. sen2θ = 2senθ. cosθ 15. tgθ = senθ
cosθ
5. cos2θ = 2cos2θ − 1 16. ctgθ = cosθ
senθ
6 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃
7. cos2θ = cos2θ − sen2θ
8 . senθ. cosβ = 1
2[sen(θ + β) + sen(θ − β)], si θ > 𝛽
9. senθ. cosβ = 1
2[sen(θ + β) − sen(β − θ)], si β > 𝜃
10. senθ. senβ = 1
2[cos(θ − β) − cos(θ + β)]
11. cosθ. cosβ = 1
2[cos(θ − β) + cos(θ + β)]
Matemática II | Guía del Estudiante | 23
Ejemplo 16:
In tegrar :
∫senx. cos3x. dx
Donde exis te se no y coseno , se debe tener en cuenta que e l
d i ferenc ia l y l a integra l de uno de e l los , da como resul tado e l o t ro .
Generalmente cuando uno de e l los t iene la potenc ia 1 y e l o t ro una
potencia d ife rente de 1 , se hace e l cambio de var iable
cons iderando como “u” a l a función con exponente d iferente de 1:
S i : u = cosx → du = −senx. dx → senx. dx = −du
Reemplazando en el e je rc icio:
∫ senx. cos3xdx = ∫u3(−du) → −∫u3du → -u4
4+ c
Reemplazando u :
∫ senx. cos3xdx = −1
4cos4x + c ó −
𝟏
𝟒(𝐜𝐨𝐬𝐱)𝟒 + 𝐜
Ej emplo 17:
In tegrar :
∫sen2x. cos4x. dx
Apl icando la fórmula de ident idades t r igonomét r icas que convier te
e l producto en suma o resta (9) :
sen2x. cos4x = 1
2[sen(2x + 4x) − sen(4x − 2x)]=
sen2x. cos4x = 1
2[sen(6x) − sen(2x)]
Reemplazando e integrando:
∫1
2[sen(6x) − sen(2x)] dx =
1
2∫ sen(6x)dx −
1
2∫ sen(2x)dx
Matemática II | Guía del Estudiante | 24
Haciendo cambio de var iable en ambas in tegra les:
u = 6x → du = 6. dx → dx = du
6
t = 2x → dt = 2. dx → dx = dt
2
Reemplazando e integrando:
1
2∫ senu.
du
6 −
1
2∫ sent.
dt
2 =
1
12∫ senu. du −
1
4∫ sent. dt =
−1
12cosu +
1
4cost + c = −
𝟏
𝟏𝟐𝐜𝐨𝐬𝟔𝐱 +
𝟏
𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 + 𝐜
Ejemplo18:
In tegrar :
∫dθ
tgθ. cos2θ
Reemplazando 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛉, o rdenando y cambiando var iable :
∫dθ
tgθ.1
sec2θ
= ∫sec2θ.dθ
tgθ
S i : u = tgθ → du = sec2θ. dθ
Reemplazando, integrando y cambiando var iable :
∫du
u = ln|u| + c = 𝐥𝐧|𝐭𝐠𝛉| + 𝐜
Ej emplo19:
In tegrar :
∫tg5x. sec4x. dx
Se debe tener en cuenta que la der ivada de tangente es 𝑠𝑒𝑐2𝑥. Adecuando la integral para hacer el cambio de var iable: 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥,
además de u t i l i zar l a ident idad 1 + tg2θ = sec2θ
Matemática II | Guía del Estudiante | 25
∫ tg5x. 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱. sec2x. dx = ∫ tg5x(1 + tg2x)sec2x. dx
Haciendo cambio de var iable :
S i : u = tgx → du = sec2xdx
Reemplazando y desar rol lando la in tegral :
∫ tg5x. sec4x. dx = ∫ u5(1 + u2)du = u6
6+u8
8+ c =
𝐭𝐠𝟔𝐱
𝟔+𝐭𝐠𝟖𝐱
𝟖+ 𝐜
1.2 .4 . Método: Integración por sust i tuc ión tr igonométr ica .
Método u t i l i zado cuando el integrando “f (x)” cont iene una
expres ión de la forma: √a2 − u2, √a2 + u2, √u2 − a2, a > 0
Cas i s iempre es pos ible integrar haciendo una sust i tución
t r igonomét r ica , obteniendo una integra l con funciones
t r igonomét r icas .
Caso 1: √𝐚𝟐 − 𝐮𝟐, 𝐚 > 𝟎
Se usa la relación: 𝐬𝐞𝐧𝛉 =𝐮
𝐚 , ob teniendo :
𝐮 = 𝐚 𝐬𝐞𝐧𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐜𝐨𝐬𝛉. 𝐝𝛉
√a2 − u2 = √a2 − (a. senθ)2 = √a2 − a2sen2θ
= √a2(1 − sen2θ) = a√cos2θ = a. cosθ
√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 = 𝐚. 𝐜𝐨𝐬𝛉
Caso 2 : √𝐚𝟐 + 𝐮𝟐, 𝐚 > 𝟎
Se usa la relación: 𝐭𝐠𝛉 =𝐮
𝐚 , ob teniendo :
𝐮 = 𝐚 𝐭𝐠𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝟐𝛉. 𝐝𝛉
√𝐚𝟐 + 𝐮𝟐 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝛉
√𝑎2 − 𝑢2
𝑎 𝑢
𝜃
𝑢
𝜃
𝑎
√𝑎2 + 𝑢2
Matemática II | Guía del Estudiante | 26
Caso 3 : √𝐮𝟐 − 𝐚𝟐, 𝐚 > 𝟎
Se usa la relación: 𝐬𝐞𝐜𝛉 =𝐮
𝐚 , ob teniendo :
𝐮 = 𝐚 𝐬𝐞𝐜𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝛉. 𝐭𝐠𝛉. 𝐝𝛉
√𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 = 𝐚. 𝐭𝐠𝛉 N o t a . E n t o d o s l o s c a s o s , p a r a r e t o r n a r a l a v a r i a b l e o r i g i n a l “ u ” , s e h a c e u s o d e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o r e s p e c t i v o .
Ej emplo 20 :
In tegrar :
∫dx
x2√4 − x2 ó ∫
dx
x2√22 − x2
Apl icando e l caso 1, y cons iderando 𝒂 = 𝟐 𝑦 𝒖 = 𝒙
𝐱 = 2. senθ → 𝐝𝐱 = 2. cosθdθ → √𝟐𝟐 − 𝐱𝟐 = 2cosθ
Reemplazando, s impli f icando e in tegrando:
∫dx
x2√4−x2 = ∫
2.cosθdθ
4sen2θ.2cosθ =
1
4∫
dθ
sen2θ =
1
4∫ cosec2θdθ = −
1
4ctgθ + c
Regresando a la var iable or iginal , mediante el t r i ángulo
rectángulo:
∫dx
x2√4−x2 = −
1
4ctgθ + c = −
√4−x2
4x+ c
𝜃
√𝑢2 − 𝑎2 𝑢
𝑢
𝑎
2 𝑥
√4 − 𝑥2
𝜃
Matemática II | Guía del Estudiante | 27
Ejemplo 21:
In tegrar :
∫√81 − x2
xdx ó ∫
√92 − x2
xdx
Apl icando Sus t i tuc ión t r igonomét r ica y cambiando var iable:
𝐱 = 9senθ → 𝐝𝐱 = 9cosθ. dθ → √𝟗𝟐 − 𝐱𝟐 = 9cosθ
Reemplazando en la in tegra l y s impl i f icando:
∫(9cosθ)(9cosθ.dθ)
9senθ = ∫
81cos2θ
9senθ. dθ = 9∫
cos2θ
senθdθ = 9∫
(1−sen2θ)
senθdθ =
9 [∫1
senθdθ − ∫
sen2θ
senθdθ] = 9[∫ cosecθ. dθ – ∫ senθ. dθ] =
9[ln|cosecθ − cotθ| − (−cosθ)] + c
Recuperando la var iable “x” , con el t r iángulo rectángulo:
cosecθ = 9
x
cotgθ = √81−x2
x
cosθ = √81−x2
9
∫√81−x2
xdx = 9 [ln |
9
x−
√81−x2
x| +
√81−x2
9] + c
Ej emplo 22:
In tegrar :
∫dt
(t2 + 8t + 7)3 2⁄ ó ∫
dt
√(t2 + 8t + 7)3
Comple tando cuadrados para parecer lo a uno de los casos:
t2 + 8t + 7 = t2 + 8t + (8
2)2− (
8
2)2+ 7 = (t + 4)2 − 9
√92 − x2
X 9
𝜃
Matemática II | Guía del Estudiante | 28
Reemplazando e n la in tegra l : ∫𝑑𝑡
(√(t+4)2−9 )3
Haciendo: 𝑢 = t + 4 → du = dt
∫𝑑𝑢
(√u2−32 )3 , Cons iderando el caso:
𝐮 = 3secθ
𝑢 √𝑢2 − 32 𝐝𝐮 = 3secθ. tgθdθ
√𝐮𝟐 − 𝟑𝟐 = 3tgθ
𝜃
3 Reemplazando en la in tegra l , s impl i f icando y desarro l lando:
∫3secθ.tgθ.dθ
(3tgθ)3 =
1
9∫𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑑𝜃
𝑡𝑔2𝜃 =
1
9∫
1
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑑𝜃 = 1
9∫𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃
Haciendo: 𝒓 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝒅𝒓 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
Reemplazando, desar ro l lando y recuperando las var iables :
1
9∫𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃 =
1
9∫𝑑𝑟
𝑟2 = −
1
9𝑟+ 𝑐 = −
1
9𝑠𝑒𝑛𝜃+ 𝑐
Recuperando la var iable a par t i r de l t r i ángulo rectángulo:
∫dt
(t2+8t+7)3 2⁄ = −1
9(√𝑢2−32
u)
+ c = −u
9(√𝑢2−32 )+ c = −
t+4
9√(t+4)2−9+ c
De manera equiva lente : ∫dt
(t2+8t+7)3 2⁄ = −𝐭+𝟒
𝟗√𝐭𝟐+𝟖𝐭+𝟕+ 𝐜
Matemática II | Guía del Estudiante | 29
1.2 .5 . Método: Integración de Funciones Racionales .
Cuando el in tegrando f (x) es una función rac ional (propia o
impropia) ; és ta se puede descomponer en f racciones s imples .
∫ f(x). dx y f(x) = [P(x)]m
[Q(x)]n
Donde: P(x) = Polinomio de grado "m"
Q(x) = Polinomio de grado "n
S i : m ≥ n, la función racional es 𝐈𝐦𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐚
m < n, la función racional es 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐚
Solución de una Función Racional Impropia :
La so luc ión se determina a par t i r de la d ivis ión de l pol inomio:
→ P(x)
Q(x) = C(x) +
R(x)
Q(X)
O sea :
∫P(x)
Q(x). dx = ∫ [C(x) +
R(x)
Q(X)] . dx
Donde:
C(x): Cuociente o resultado
R(x): Residuo
Q(x): Divisor
Solución de una Función Racional Propia :
El denominador de la función racional se expresa en fac tores (se
factor iza) y se descompone en f racciones parciales .
Caso 1 .
Cuando los factores son l ineales y no repet idos : (ax+b)(cx+d) .
La descomposic ión de cada factor en f racciones s imples es :
Matemática II | Guía del Estudiante | 30
A
ax+b+
B
cx+d
Caso 2 .
Cuando el fac tor es l inea l y repe t ido (ax+b) n
La descomposic ión de cada factor en f racciones s imples es :
A1
(ax+b)+
A2
(ax+b)2+⋯+
An
(ax+b)n
Caso 3 .
Cuando los fac tores de l denominador son no -l ineales y no
r epet idos : (ax 3 +bx 2 +cx+d)(ex 2 +fx+g)
La descomposic ión de cada factor en f racciones s imples es :
Ax2+Bx+C
(ax3+bx2+cx+d)+
Dx+E
(ex2+fx+g)
Caso 4 .
Cuando el fac tor de l denominador es no-l inea l y repet ido:
(ax 2 +bx+c) n
La descomposic ión de los factores en f racc iones s imples es :
A1x+B1
(ax2+bx+c)+
A2x+B2
(ax2+bx+c)2+⋯+
Anx+Bn
(ax2+bx+c)n
N o t a : D o n d e : A , B , C , D , E , A 1 , A 2 , A n , B 1 , B 2 , B n , s o n c o n s t a n t e s q u e d eb e n
d e t e r m i n a r s e .
Ej emplo 23:
In tegrar :
∫x2 − 3x − 8
x2 − 2x + 1dx
Como e l grado del p ol inomio del numerador es igua l a l del
denominador (grado 2) ; en tonces se divide:
𝑥2−3x−8
x2−2x+1 = 1 −
x+9
(x−1)2
Remplazando en la integra l inic ia l :
∫𝑥2−3𝑥−8
x2−2x+1dx = ∫ [1 −
x+9
(x−1)2] dx = ∫dx − ∫
x+9
(x−1)2dx (**)
Matemática II | Guía del Estudiante | 31
Se obt iene una integra l di rec ta y una in tegra l racional propia:
(caso2 )
Descomponiendo la función rac ional de la segunda in tegral en la
suma de dos f racc iones s imples (caso 2) y apl icando MCD:
x+9
(x−1)2 =
A
x−1 +
B
(x−1)2 =
A(x−1)+ B
(x−1)2 =
Ax − A + B
(x−1)2 =
Ax – (A − B)
(x−1)2
Se t iene: x+9
(x−1)2 =
Ax – (A − B)
(x−1)2
S impl i f icando denominadores , se obt iene:
1. 𝐱 + 9 = A. 𝐱 – (A – B)
“De dos pol inomios iguales , los coe f icientes que corresponden a
los t érminos de igual grado, son iguales”
De: x = Ax tenemos: 𝐀 = 𝟏
De: 9 = −(A − B) tenemos: 𝐁 = 𝟏𝟎
Reemplazando las cons tantes A y B; resul ta x+9
(x−1)2 =
A
x−1 +
B
(x−1)2 =
1
x−1 +
10
(x−1)2
Reemplazando en la integral (* *) , e integrando, se obt iene e l
resul tado:
∫dx − ∫x+9
(x−1)2dx → x − ∫
dx
x−1− ∫
10dx
(x−1)2 → x − ln|x − 1| +
10
x−1+ c
Ej emplo 24:
In tegrar :
∫dx
x3 + 5x2 + 4x
Se t ra ta de una “Fracc ión Propia” , Factor izando e l denominador:
∫dx
x(x2+5x+4) = ∫
dx
x(x+4)(x+1)
Matemática II | Guía del Estudiante | 32
T rabajando con la f racc ión , haciendo la descomposición
cor respondiente (caso 1) y ha l lando MCD:
1
x(x+4)(x+1) =
A
x +
B
x+4 +
C
x+1 =
A(x+4)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x+4)
x(x+4)(x+1)=
S impl i f icando e igualando coef icientes , para ha l la r constantes A,
B, C:
0𝑥2 + 0x + 𝟏 = x2(A + B + C) + x(5A + B + 4C) + 4A
{A + B + C = 05A + B + 4 = 0
4A = 1
Se obt iene : A =1
4 B =
1
12 C = −
1
3
Reemplazando A, B y C en la integra l , e integrando:
∫( A
x +
B
x+4 +
C
x+1 )dx = ∫ (
1
4
x +
1
12
x+4 +
−1
3
x+1 )dx =
= 1
4∫dx
x +
1
12∫
dx
x+4 −
1
3∫
dx
x+1 =
Por lo t an to:
∫dx
x3+5x2+4x =
1
4lnx +
1
12ln(x + 4) −
1
3ln(x + 1) + c
1.2 .6 . Método: Inte gración de Funciones Racionales que
cont ienen seno y coseno
Teorema: Una di ferenc ial t r igonomét r ica que cont iene funciones
racionales de sen(u) y cos(u) , puede t ransformarse en o t ra
expres ión d ife rencial racional en Z, considerando e l ángulo mi tad ,
mediante la sus t i tuc ión:
Z = tg y → 𝐲 = (𝐮
𝟐) → Z = tg (
u
2)
Para obtener : sen(u) , cos(u) y du , se t rabaja a par t i r de las
s iguientes ident idades t r igonomét r icas:
Matemática II | Guía del Estudiante | 33
a) cos 2y = 2cos2y − 1
cos 2 (u
2) = 2cos2 (
u
2) − 1 → cosu =
2
sec2(u
2) − 1 =
cos u = 2
1+tg2(u
2) − 1 → cos u =
2
1+Z2 − 1 =
Por lo t an to: 𝐜𝐨𝐬𝐮 = 𝟏−𝐙𝟐
𝟏+𝐙𝟐
b) sen 2y = 2 seny. cosy
sen 2 (u
2) = 2 sen (
u
2) . cos (
u
2) → sen u = 2 sen (
u
2) . cos (
u
2) =
sen u = 2 sen(
u
2).cos2(
u
2)
cos(u
2)
→ sen u = 2 tg (u
2.) .
1
sec2(u
2) =
Por tan to:
sen u = 2 tg(
u
2.)
1+tg2(u
2) → 𝐬𝐞𝐧 𝐮 =
𝟐𝐙
𝟏+𝐙𝟐
c) Diferenciando para ha l la r “Z”:
Z = tgu
2 → dZ =
1
2sec2 (
u
2) . du
dZ = 1
2[1 + tg2 (
u
2)] du → dZ =
1
2[1 + Z2]du
𝐝𝐮 = 𝟐 𝐝𝐙
𝟏+𝐙𝟐
En conclus ión , l a función seno, coseno y e l d i fe renc ia l , se
reemplazan así :
𝐬𝐞𝐧 𝐮 = 𝟐𝐙
𝟏+𝐙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝐮 =
𝟏−𝐙𝟐
𝟏+𝐙𝟐 𝐝𝐮 =
𝟐 𝐝𝐙
𝟏+𝐙𝟐
Matemática II | Guía del Estudiante | 34
Ej emplo 25:
In tegrar :
∫dx
1 − senx + cosx
Reemplazando: sen x = 2Z
1+Z2 cos x =
1−Z2
1+Z2 dx =
2 dZ
1+Z2
∫dx
1−senx+cosx = ∫
2dZ
1+Z2
1 − 2Z
1+Z2 +
1−Z2
1+Z2
= ∫dZ
1−Z
In tegrando y reemplazando Z, obtenemos el resul tado:
∫dx
1−senx+cosx = −ln|1 − Z| + c = −ln |1 − tg
x
2|+ c
1.3 . Problemas Propuestos
INTEGRALES INMEDIATAS
1. ∫(3x + 5)dx 2. ∫ x−25 dx
3. ∫(6x4 − x2 + 5)dx 4. ∫dx
x3
5. ∫(7 − √x)2dx 6. ∫ √x123
dx
7. ∫3x5 − 6x2 + √x
x3dx 8. ∫ av5dv
9. ∫dp
p2 − 25 10. ∫ (
2a
√x−b
x2+ 3c√x2
3) dx
11.∫u2 + 13
√u2 + 9du 12. ∫(a2/3 − x2/3)
3
dx
13.∫2x3 + x
x4 + x2 + 2dx 14. ∫
x2 + 2
x2(x2 + 4)dx
15.∫3x2 + 2x + 1
x + 1dx 16. ∫
x2 − 5
x2(x2 − 9)dx
Matemática II | Guía del Estudiante | 35
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE
VARIABLE
1. ∫(x3 + 1)4
3x2dx 2. ∫ 2x√1 + x2dx
3. ∫x4
√x5 + 17 dx 4. ∫
5ex
√1 − e2xdx
5. ∫senhx. coshx
(1 + senhx)5 dx 6. ∫
xdx
e3x(1 − x)4
7. ∫x + 2
(x − 2)4dx 8. ∫ x√x + 4 dx
9. ∫ cos(10x + 6) dx 10. ∫ e(2x−5)dx
11. ∫√1 − cosxdx 12. ∫ 4xexdx
13. ∫√1 + senxdx 14. ∫ sec3xdx
15. ∫(x2 − 2x + 1)1/5
1 − xdx 16. ∫
dx
2x + 3
INTEGRACIÓN POR PARTES
∫u. dv = u. v − ∫ v. du
1. ∫ lnx. dx 2. ∫(x2 + 3x − 1)e2xdx
3. ∫ sec5xdx 4. ∫ sec3xdx
5. ∫ x2lnxdx 6. ∫(7 + x − 3x2)e−xdx
7. ∫ cos(lnx)dx 8. ∫ e2xcos(ex)dx
9. ∫ cos2xexdx 10.∫(x +3
2)e2xdx
11.∫xcosxdx 12.∫(x2 + 1)ex
(x + 1)2dx
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. ∫ cos53xdx 2. ∫ senxcos3xdx
3. ∫ sen2x. cos4xdx 4. ∫ sen2x. sen3xdx
Matemática II | Guía del Estudiante | 36
5. ∫ cos2(4x − 1)sen2xdx 6. ∫ sen2x. cos2xdx
7. ∫dx
senx. cos3x 8. ∫ cosec4x2. xdx
9. ∫(senx − cosx)2dx 10. ∫sen3x
√cosxdx
11.∫cos32x
sen52xdx 12. ∫ tg7x. sec4xdx
13.∫ ctg4(2x − 1)dx 14. ∫ tg3x. sec4xdx
INTEGRACIÓN POR SUSTITUTCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1. ∫dx
x3√x2 − 9 2.∫
x3dx
√x2 + 2x + 5
3. ∫dx
(1 + x4)√√1 + x4 − x2 4.∫
x2dx
(x2 + 4)3
5. ∫dx
x2√4 − x2 6.∫
√9 − x2
x2dx
7. ∫du
u√25 − u2 8.∫√1 − v2dv
9. ∫dx
(5 − 4x − x2)3/2 10.∫ x2√16 − x2. dx
11.∫√16 − t2
t2dt 12.∫
√100 − u2
udu
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
1. ∫dx
x2 − 4 2. ∫
2x3 + x + 3
x4 + 2x2 + 1dx
3. ∫5x − 2
x2 − 4dx 4. ∫
6x2 − 2x − 1
4x2 − xdx
5. ∫dx
x3 + 3x2 6. ∫
dx
(x + 2)3
7. ∫x4 + 3x3 − 5x2 − 4x + 17
x3 + x2 − 5x + 3 dx 8. ∫
−24x3 + 30x2 + 52x + 17
9x4 − 6x3 − 11x2 + 4x + 4dx
9. ∫5x2 − 3
x2 − 4dx 10. ∫
t4 − 8
t3 + 2t2dt
Matemática II | Guía del Estudiante | 37
11.∫2v2 − 8v − 8
(v − 2)(v2 + 4)dv 12. ∫
4dx
x4 − 1
13.∫(x − 1)dx
x3 − x2 − 2x 14. ∫
dz
z4 − z2
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES QUE
CONTIENEN SENO Y COSENO
1.∫dx
1 − senx + cosx 2.∫
cosxdx
1 + cosx
3.∫ secxdx 4.∫cosθdθ
3 − senθ + 2cosθ
5.∫dx
secx + 1 6.∫
4 + cosω
2 + 3cosωdω
7.∫1 + cosφ
1 − cosφdφ 8.∫
senxdx
senx + cosx
9.∫dx
senx − cosx + √2 10.∫
tgxdx
(1 + 2tg2x)
Matemática II | Guía del Estudiante | 38
Matemática II | Guía del Estudiante | 39
Y = f (X)
X = b
X = a
ab f x x
0 1 2 3 4 50
10
20
30
40
50
60
70
2.1 . Introducción.
La integral definida es un concepto que está relacionado con el valor del área o
región bajo una curva delimitada por las rectas acotadas en un determinado intervalo
[a, b].
[a, b]
Propiedades Fundamentales de la Integral Definida:
1. ∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dxb
a
b
a
2. ∫ f(x)dx = 0a
a
3. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dxb
a
b
a ± ∫ g(x)dx
b
a
4. ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dxa
b
b
a
5. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dxb
a
c
a + ∫ f(x)dx
c
b, a < 𝑏 < 𝑐
6. Si ∶ f(x) ≥ g(x), para todo x en [a, b]; entonces:
∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dxb
a
b
a
Matemática II | Guía del Estudiante | 40
f(b)
x
y
0
y = f(c)
y = f(x)
f(a)a
bf x x
ba c1 1 2 3 4
5
10
15
20
7. Si: m ≤ f(x) ≤ M, para a ≤ x ≤ b; entonces:
m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a)b
a
Teorema del Valor Medio para integrales:
Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe entonces un
número “c” entre a y b tal que:
∫ f(x)dx = f(c)(b − a)b
a
Matemática II | Guía del Estudiante | 41
Teorema fundamental del cálculo integral:
Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], y si la función F(x) es
cualquier antiderivada particular de f(x) de modo que: F’(x)=f(x); entonces:
∫ f(x)dx = [F(x)]abb
a = F(b) − F(a)
𝐚, 𝐛: límites de integración
Ejemplo 26:
Resolver:
∫ x3dx2
1
Por definición:
∫ x3dx2
1 = [
x4
4]1
2
= [24
4 −
14
4] =
15
4
Ejemplo 27:
Aplicando el teorema del valor medio, encontrar el valor de “f(c)” y “c”:
∫ f(x)dx = f(c)(3 − 1); si f(x) = x23
1
Reemplazando f(x) e integrando:
Matemática II | Guía del Estudiante | 42
∫ x2dx3
1 = [
x3
3]1
3
= [33
3−
13
3] =
26
3 = 8
2
3
Entonces:
f(c)(3 − 1) = 26
3 → 𝐟(𝐜) =
𝟏𝟑
𝟑
Pero: f(x) = x2
Entonces: 𝑐2 = 13
3 → c = ±√
13
3 → 𝐜 ≅ 𝟐. 𝟎𝟖
Se rechaza el valor de -2.08, por no estar en el intervalo [1,3]
Comprobando:
∫ x2dx = f(2.08)(3 − 1) ≅ 8.6 1
1
Cambio de variable y límites de integración:
El cambio de variable en la integral definida es igual al método aplicado en la
integral indefinida. El cambio de los límites de integración se realiza para unificar
todo en la nueva variable.
Ejemplo 28:
Resolver:
∫ x√1 + x. dx3
0
Matemática II | Guía del Estudiante | 43
Cambio de variable: u = 1 + x → x = u − 1 → du = dx
Cambio de límites de integración:
Si: u = 1 + x ⟹ {cuando x = 0 → u = 1 cuando x = 3 → u = 4
Remplazando en el ejercicio original e integrando:
∫ x√1 + x. dx3
0 = ∫ (u − 1)
4
1(u)1/2du = ∫ (u3/2 − u1/2)
4
1du =
[2
5u5/2 −
2
3u3/2]
1
4 = [
2
5(4)5/2 −
2
3(4)3/2] − [
2
5(1)5/2 −
2
3(1)3/2] =
116
15
Ejemplo 29:
Resolver:
∫ senxdxπ/2
0
Integrando:
∫ senxdxπ/2
0 = −cosx]0
π/2 = −cos (
π
2) − [−cos(0)] = 1
Integración Por Partes:
En integrales definidas se utiliza la fórmula:
∫ u. dv = u. v]abb
a − ∫ v. du
b
a
Ejemplo 30:
Resolver:
∫ x2. lnx. dx3
1
Hallando u, du, dv, v:
u = lnx → du = 1
xdx
Matemática II | Guía del Estudiante | 44
y = f (x)
x = a x = b
ab f x x
R
2 4 6 8 10
2
2
4
6
8
10
dv = x2dx → v = x3
3
Reemplazando, según la fórmula e integrando:
∫ x2. lnx. dx3
1 = [(lnx) (
x3
3)]1
3
− 1
3∫ x3.
1
xdx
3
1 =
[(lnx) (x3
3)]1
3
− 1
3∫ x2dx3
1 =
[(lnx) (x3
3)]1
3
− 1
9[x3]1
3 = 9ln3 −26
9
2.2 . Calculo de Áreas de Regiones P lanas .
El cálculo de áreas de regiones planas, es una de las principales aplicaciones de la
integral definida.
Caso 1:
El área de la región “R”, limitada por la curva y=f (x), el eje x y las rectas verticales
x=a y x=b, se expresa:
AR = ∫ f(x)dx b
a
Donde f(x) ≥ 0 (función positiva) y A se expresa en Unidades cuadradas (u2).
Caso 2:
El área de la región “R”, limitada por la curva x=f (y), el eje y (x=0) y las rectas
verticales y=c y y=d, donde f(y) ≥ 0 (positiva); se expresa:
Matemática II | Guía del Estudiante | 45
𝐀𝐑 = ∫ 𝐟(𝐲)𝐝𝐲 𝐝
𝐜
Caso 3:
Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] y además f(x) ≥ g(x),
para a ≤ x ≤ b; entonces el área de la región “R” es:
𝐀𝐑 = ∫ [𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱)] 𝐝𝐱 𝐛
𝐚
Caso 4:
Si f(y) y g(y) son funciones continuas en el intervalo [c, d] y además f(y) ≥ g(y),
para c ≤ y ≤ d; entonces el área de la región “R” es:
𝐀𝐑 = ∫ [𝐟(𝐲) − 𝐠(𝐲)] 𝐝𝐲 𝐝
𝐜
Matemática II | Guía del Estudiante | 46
Ejemplo 31:
Calcular el área de la región que forman las ecuaciones 𝑦 = 1 − (𝑥
2), x=-2, x=4,
y=0
Solución:
De acuerdo al gráfico, se observan dos regiones: R1 y R2. El área de R1 es positiva
(caso 1). El área R2 está bajo el eje x (y=0), por lo que se tiene que aplicar la
fórmula del caso 2, donde se consideran dos funciones: y = 0, y = 1 − (x
2)
Se tiene:
Área Total (AT) = AR1 + AR2
AT = ∫ (−x
2+ 1)dx + ∫ [0 − (−
x
2+ 1)]
4
2
2
−2dx:
Integrando:
AT = [−x2
4+ x]
−2
2
+ [x2
4− x]
2
4
= 4 + 1 = 5 u2
Matemática II | Guía del Estudiante | 47
Ejemplo 32:
Calcular el área de la región comprendida entre las curvas: y2 = x, y = −x + 2
Solución:
La parte sombreada corresponde a la región, a la cual se le hallará el área.
Este problema se puede resolver en forma directa aplicando la fórmula del caso 4,
despejando “x” para cada curva:
x = y2; x = 2 − y Con límites de integración, desde -2 hasta 1:
A = ∫ [(2 − y) − y2]1
−2dy = [2y −
y2
2−y3
3]−2
1
= 7
6 +
10
3 =
𝟗
𝟐𝐮𝟐
Ejemplo 33:
Dadas las ecuaciones: y =x2
2− 2x + 1 , y =
x
3+ 1 , y = −x + 5 : se pide
calcular el área de la región que encierran las tres curvas.
Matemática II | Guía del Estudiante | 48
Solución:
En este problema, el área de la región buscada se puede dividir en dos regiones: R1 y
R2, para poder hacer uso de la fórmula del caso 3, tal como lo muestra el gráfico.
Área Total (AT) = AR1 + AR2
AT = ∫ [x
3+ 1 − (
x2
2− 2x + 1)] dx
3
0 + ∫ [−x + 5 − (
x2
2− 2x + 1)]
4
3dx
La respuesta se obtiene Integrando y reemplazando los límites de integración
respectivos:
AT = [x2
6+ x −
x3
6+ x2 − x]
0
3
+ [−x2
2+ 5x −
x3
6+ x2 − x]
3
4
=
6 + 4
3 =
𝟐𝟐
𝟑𝐮𝟐
Ejemplo 34:
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x) = 4-x2
y g(x)= 3x2.
Solución:
Haciendo uso de la fórmula del caso 3, donde el área de la región comprendida entre
las dos curvas está formada por f(x) ≥ g(x), desde x=-1 y x=1 (límites de
integración).
Para obtener los límites de integración se igualan las dos funciones para obtener los
puntos comunes o de intersección entre las curvas:
𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 → 4𝑥2 − 4 = 0 → 𝑥2 − 1 = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 → 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1
Luego se reemplazan los valores de “x” en cualquiera de las ecuaciones para obtener
los valores de “y”. Por lo tanto, los puntos de intersección son: (1, 3) y (-1, 3).
Matemática II | Guía del Estudiante | 49
Siendo la región formada una Región simétrica; entonces se puede calcular el área
de la mitad de la región (de x=0 a x=1) y multiplicarla por 2:
A = 2 ∫ [(4 − x2) − (3x2)]1
0dx =
2∫ (4 − 4x2)1
0dx = 2 [4x −
4x3
3]0
1
= 2 [4(1) −4(1)3
3] =
𝟏𝟔
𝟑𝐮𝟐
Ejemplo 35:
Hallar el área de la región comprendida por la curva f(x) = x3 entre las abscisas x=-2
y x=1.
Solución:
Según el gráfico, la función forma dos regiones: una bajo el eje x (negativa) y otra
sobre el eje x (positiva). La función es continua.
En este caso se deben formar dos integrales ; una desde x=2 a x=0,
que inc luye una di fe renc ia de [(𝒚 = 𝟎) − (𝒚 = 𝒙𝟑)], dado que el área
es tá bajo e l e je x (y=0) y de esta manera se estar ía evi tando que el
á rea sea negat iva ( fórmula caso 3) ; y l a ot ra área sobre el e je x ,
desde x=0 a x=, que or igina un área pos i t iva :
𝑨 = ∫ (𝟎 − 𝒙𝟑). 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙𝟏
𝟎
𝟎
−𝟐
Entonces la suma de las á reas queda de la s iguiente manera:
Matemática II | Guía del Estudiante | 50
𝑨 = −∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙 = [−𝒙𝟒
𝟒]−𝟐
𝟎
+ [𝒙𝟒
𝟒]𝟎
𝟏
= 𝟏𝟔
𝟑+𝟏
𝟒 =
𝟏𝟕
𝟒𝒖𝟐
𝟏
𝟎
𝟎
−𝟐
2 .3 . Calculo de l Volumen de un sól ido de revolución.
Un Sólido de revolución, es un sólido obtenido al rotar una región plana alrededor
de una recta fija contenida en el plano de la región. La recta fija se llama eje del
solido de revolución.
2.3.1. Método del Disco o de las Rebanadas
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces el volumen del sólido de
revolución engendrado al hacer girar sobre el eje x la región limitada por la curva
f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b está dado por:
V = π∫ [f(x)]2 dx b
a
Matemática II | Guía del Estudiante | 51
Nota: Se le llama método del disco, porque el diferencial al girar alrededor del eje, genera un disco de espesor “dx”
El volumen “V”, se expresa en unidades cúbicas (u3).
Ejemplo 36:
Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar
por: 𝑦 = √𝑥, x=3 y el eje x. alrededor del eje x, la región acotada
Solución:
Reemplazando en la fórmula correspondiente al método del disco y desarrollando:
V = π∫ [√x]2 dx
3
0 = π∫ x dx
3
0 = [
πx2
2]0
3
= 𝟒. 𝟓𝛑 𝐮𝟑
Matemática II | Guía del Estudiante | 52
Caso:
Si f es una función continua en el intervalo [c, d], entonces el volumen del sólido de
revolución engendrado al hacer girar sobre el “eje y” la región limitada por la curva
x=f (y), el eje y, y las rectas y= c, y=d está dado por:
V = π∫ [f(y)]2 dy d
c
Ejemplo 37:
Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y, la región
acotada por la curva f(y) = (y-1)1/2 y la recta y=3.
Solución:
Aplicando la fórmula del presente caso, y
desarrollando:
V = π∫ [√y − 1]2 dy
3
1 = π∫ (y − 1)
3
1 dy = π [
y2
2 − y]
1
3
= 𝟐𝛑 𝐮𝟑
2.3.2. Método del Anillo o de la Arandela
Si f(x) ≥ g(x), para todo x que pertenece al intervalo [a, b]. El volumen del sólido de
revolución engendrado al girar sobre el “eje x” la región “R” formada por f(x) y g(x)
es:
V = π ∫ {[f(x)]2 − [g(x)]2}b
a dx
Matemática II | Guía del Estudiante | 53
Al girar la región “R” alrededor del eje x, forma un agujero, anillo u arandela:
También:
Caso:
Si f(y) ≥ g(y), para todo “y” que pertenece al intervalo [c, d]. El volumen del sólido
de revolución engendrado al girar sobre el “eje y” la región “R” formada por f(y) y
g(y) es:
V = π ∫ {[f(y)]2 − [g(y)]2}d
c dy
Ejemplo 38:
Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las
parábolas y=x2yy2=8x.
Solución:
Las ecuaciones quedarían despejadas de la siguiente manera: y=x2, 𝑦 = ±√8𝑥. Al
igualar ambas ecuaciones, se encuentran los puntos de intersección de ambas
parábolas: (0, 0) y (2, 4).
Matemática II | Guía del Estudiante | 54
Por lo tanto, aplicando la fórmula para una región comprendida entre dos curvas que
giran alrededor del eje x, tenemos:
V = π∫ [(√8x)2− (x2)2]
2
0 dx = π∫ (8x − x4)
2
0dx =
𝟒𝟖𝛑
𝟓𝐮𝟑
Caso: Cuando la región “R” gira alrededor de un eje diferente al eje x o eje y, y gira
alrededor del eje c, se aplica la siguiente fórmula:
𝐕 = 𝛑∫ {[𝐟(𝐱) − 𝐜]𝟐 − [𝐠(𝐱) − 𝐜]𝟐}. 𝐝𝐱 𝐛
𝐚
Nota: Para aplicar la fórmula, se debe señalar previamente una jerarquía de
funciones de mayor a menor (en el gráfico: 𝑦 = 𝑓(𝑥) > 𝑦 = 𝑔(𝑥) > 𝑦 = 𝑐, para
poder expresar la diferencia mayor, menos la diferencia menor, considerando
siempre el eje “c”.
Matemática II | Guía del Estudiante | 55
2.3.3. Método de la Corteza Cilíndrica o casquetes cilíndricos
Este método es alternativo y se puede utilizar para resolver volúmenes de sólidos de
revolución de los métodos anteriores. La característica principal es que al girar un
diferencial se obtiene un cilindro.
Sea la función y = f(x) continua en [a, b]. Si la región limitada por y=f(x), el eje x y
las rectas x=a, x=b están en el primer cuadrante, el volumen del sólido de revolución
engendrado al girar esta región sobre el eje “y” es:
V = 2π∫ x. f(x) dx b
a
Ejemplo gráfico
Ejemplo 39:
Encontrar el volumen del sólido engendrado al girar sobre el eje y, la región positiva
limitada por la curva y = (x − 2)3, el eje x y la recta x=3.
Solución:
Matemática II | Guía del Estudiante | 56
y = 1x
2
y = 0.4
y = -x + 4.5
y x 3.5 2
1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
La gráfica corta al eje x en x=2; por lo tanto los límites de integración son: x=2 y
x=3. Aplicando la fórmula correspondiente a la corteza cilíndrica:
V = 2π∫ x(x − 2)3 dx3
2 = 2π∫ x(x3 − 6x2 + 12x − 8) dx
3
2 =
𝟕𝛑
𝟓𝐮𝟑
Ejemplo 40:
Fabricación de objetos utilizando sólidos de revolución y el programa Wolfram
Mathematica.
Se desea hallar la cantidad de material (volumen del sólido de revolución) a utilizar
en la construcción de una pieza de ajedrez, al hacer girar alrededor del eje x la
región formada por la siguiente función:
𝑓(𝑥) =
{
1 −
𝑥
2; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.2
0.4; 1.2 ≤ 𝑥 ≤ 2.91
−(𝑥 − 3.5)2 + 0.75; 2.91 ≤ 𝑥 ≤ 4 −𝑥 + 4.5; 4 ≤ 𝑥 ≤ 4.5
Solución:
Matemática II | Guía del Estudiante | 57
Para hallar el volumen del sólido de revolución de la región formada, se tiene que
hallar el volumen de cada una de las regiones que forman la función. En este caso se
aplica el método del disco:
𝐕𝐓 = 𝛑 [∫ (𝟏 −𝐱
𝟐)𝟐
𝐝𝐱𝟏.𝟐
𝟎 + ∫ (𝟎. 𝟒)𝟐𝐝𝐱 + ∫ [−(𝐱 − 𝟑. 𝟓)𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓]𝟐𝐝𝐱 + ∫ (−𝐱 + 𝟒. 𝟓)𝟐𝐝𝐱
𝟒.𝟓
𝟒
𝟒
𝟐.𝟗𝟏
𝟐.𝟗𝟏
𝟏.𝟐]
𝑽𝑻 = 𝟏. 𝟗𝟔𝟎 + 𝟎. 𝟖𝟓𝟗 + 𝟏. 𝟒𝟕𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐
𝑽𝑻 ≅ 𝟒. 𝟑𝟑𝟑 𝒖𝟑
Nota: Si las unidades estuvieran en centímetros, entonces el volumen de material
sería 4.333 cm3
2 .4 . Longi tud de Arco (L)
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de
recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más
segmentos sean y lo más pequeños posibles.
Cada segmento de recta se puede calcular por el teorema de Pitágoras.
(𝐝𝐋)𝟐 = (𝐝𝐱)𝟐 + (𝐝𝐲)𝟐
Teorema:
Si f es una función y f´ la derivada de f, son funciones continuas en [a, b], entonces
la Longitud de Arco (longitud de la curva) de la gráfica, donde y=f (x) desde el
punto [a, f (a)] hasta el punto [b, f (b)] en “unidades” (u) es:
Matemática II | Guía del Estudiante | 58
𝐋 = ∫ √𝟏 + (𝐝𝐲
𝐝𝐱)𝟐𝐛
𝐚 𝐝𝐱
Ejemplo 41:
Calcular la longitud de arco de la curva 𝑥2 + 𝑦2 = 1 (Primer cuadrante) desde el
punto (0, 1) al punto (1, 0)
Solución:
La ecuación representa una relación, que al despejarla en y, se obtiene:
𝑦 = ±√1 − 𝑥2 , (Se considera “+” por estar por encima del eje x).
Para hallar la longitud de arco de la curva según los datos del problema, en el primer
cuadrante desde el punto (0, 1) al punto (1, 0), primero se halla la derivada:
f ′(x) = −x
√1 − x2
Reemplazando en la fórmula correspondiente a la “longitud de arco”, se obtiene:
L = ∫ √1 + [−x
√1−x2]2 . dx
1
0 = ∫ √
1
1−x2 dx
1
0 =
𝛑
𝟐 𝐮.
Matemática II | Guía del Estudiante | 59
2.4 . Problemas propuestos
INTEGRAL DEFINIDA – EJERCICIOS
1. ∫𝑑𝑥
𝑥 − √𝑥
9
4
5. ∫𝑠𝑒𝑛𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0
2. ∫𝑥1/6
4 + 𝑥1/2 𝑑𝑥 6. ∫ |𝑥 + 2|
4
−3
729
7
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 7. 1
0
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑑𝑥𝜋/2
0
4. ∫𝑣𝑑𝑣
(1 + 𝑣)3/4 8.
15
0
∫(𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 + 5)
(𝑥 − 2)3
1
−1
𝑑𝑥
CÁLCULO DE ÁREAS
Determine el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas.
Haga un esquema gráfico e indique claramente la región cuya área se pide:
1. y = x2, y=0, x=2, x=4
2. x=y2-4, x=0
3. y= 5x-x2, y=x
4. y2=x, y=x3
5. y=x3-8, y=0, x=0
6. y=6x-x2, y=0
7. y=x3-6x2+9x, y=x
8. y=senx, y=0, x pertenece a [0,π]
9. y2=x3, y2=x
10. y=senx, y= cosx, x∈ a [π/4, 5π/4]
11. y=2x+x2-x3, eje x, eje y, x=-1, x=1
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
1. Calcular el volumen generado por la elipse x2
4+
y2
3= 1, al girar alrededor del
eje x
2. Calcular el volumen generado por la circunferencia x2+(y-3)2=1, al girar
alrededor del eje x.
Matemática II | Guía del Estudiante | 60
3. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje 0X la región formada
por las gráficas: y2=x3, y=0, x=0, x=4.
4. Calcular el volumen generado al girar el área menor comprendida entre las curvas
x2+y2=25 y 3x2=16y alrededor del eje x.
5. Calcular el volumen generado por la región comprendida por el área menor que
forman las gráficas x2+y2=25 y x=4 al girar alrededor de la recta x=6.
6. Calcular el volumen generado por la rotación alrededor del eje y de la región
formada por: y=lnx, Eje x y x=2.
7. Calcular el volumen engendrado por la rotación de la región limitada por y=x2,
y= x1/2, x=2, cuando gira alrededor del eje x.
8. Calcular el volumen que se genera al girar alrededor de x=3 la región
comprendida por la circunferencia (x+2)2 + (y-2)2=1.
9. Calcular el volumen generado por la región limitada por las gráficas: x+y2+3y-
6=0 y x+y-3=0, al girar alrededor de y=3.
LONGITUD DE ARCO
1.- Un cable conductor de electricidad sostenido por dos postes, adquiere la forma de
una catenaria, de ecuación y= a/2 (ex/a+e-x/a). Se pide calcular la longitud del cable
necesario para colocarlo entre dos postes distantes 2a metros.
2.-Hallar la longitud del segmento de recta: y= 3x+5 desde x=1 hasta x=4. Compare
el resultado con la fórmula de la distancia entre dos puntos.
3. Hallar la longitud de la curva 4(y-1)3=9x2, desde y=1 hasta y=4
4. Hallar la longitud del arco de la curva y=lnx, desde x=(3)1/2 hasta x=(8)1/2.
Matemática II | Guía del Estudiante | 61
Matemática II | Guía del Estudiante | 62
Introducción
La integral impropia, es una extensión del concepto de integral
definida, aplicada a funciones que presentan extremos infinitos (∞).
3.1. Integrales impropias con límites infinitos:
Caso 1: Si f es una función continua en el intervalo infinito [a, +∞),
entonces:
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→+∞
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐭
𝐚
+∞
𝐚
Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es
convergente , caso contrario es divergente .
Caso 2: Si f es una función continua en el intervalo infinito ( -∞, b],
entonces:
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→−∞
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐛
𝐭
𝐛
−∞
Matemática II | Guía del Estudiante | 63
Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es
convergente, caso contrario es divergente.
Caso 3: Si f es una función continua para todo x, entonces:
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = ∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 + 𝐜
−∞ ∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱+∞
𝐜
+∞
−∞
Suponiendo que las integrales de la derecha son convergentes. “c” es un
número arbitrario.
3.2. Integrales impropias con límites finitos:
Caso 4: Si f es una función continua en el intervalo semi -abierto [a,b),
donde f(b -)=∞ existe; entonces:
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→𝐛−
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐭
𝐚
𝐛
𝐚
Siempre que el límite exista.
Caso 5: Si f es una función continua en el intervalo semi-abierto (a,b],
donde f(a+)=∞ existe; entonces:
Matemática II | Guía del Estudiante | 64
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→𝐚+
∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐛
𝐭
𝐛
𝐚
Siempre que el límite exista.
3.3. Cálculo de Áreas:
Sea una función f continua en el intervalo infinito [a, ∞), El ÁREA de
la región limitada por la curva y=f(x) y el eje x, hacia la derecha de
x=a, es:
𝑨 = ∫ |𝒇(𝒙)| 𝒅𝒙∞
𝒂
Siempre que el límite de la integral impropia exista.
Interpretaciones semejantes a
ésta integral, son válidas para
cualquier otra integral
convergente con límites infinitos
de integración.
Matemática II | Guía del Estudiante | 65
Ejemplo 42:
Evaluar la integral impropia:
∫ 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑑𝑥
∞
0
Aplicando la fórmula del caso 1:
∫ x. e−x2 dx = lim
t→∞∫ x. e−x
2t
0 dx
∞
0
Integrando con cambio de variable:
u = −x2 → du = −2x. dx → x. dx = −du
2
Entonces:
∫ 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞∫ 𝑥. 𝑒−𝑥
2𝑡
0
𝑑𝑥 = lim𝑡→∞
−1
2∫ 𝑒𝑢𝑡
0
𝑑𝑢 = lim𝑡→∞
−1
2[𝑒−𝑥
2]0
𝑡∞
0
Reemplazando los límites de integración: 0, t:
lim𝑡→∞
−1
2[𝑒−𝑥
2]0
𝑡 = lim
𝑡→∞−1
2[𝑒−𝑡
2− 1] = lim
𝑡→∞
1
2[1 − 𝑒−𝑡
2]
Aplicando el límite al infinito:
lim𝑡→∞
1
2[1 − 𝑒−𝑡
2] = lim
𝑡→∞
1
2[1 −
1
𝑒𝑡2] =
1
2[1 − 0] =
𝟏
𝟐
La integral impropia es convergente y converge a ½.
Ejemplo 43:
Determinar si existe el valor de:
∫𝑑𝑥
√𝑥 − 1
2
1
Matemática II | Guía del Estudiante | 66
F(x), es continua en (1, 2], y f(1 +)=+∞.
Utilizando la fórmula del caso 5:
∫𝑑𝑥
√𝑥 − 1
2
1
= lim𝑡→1+
∫𝑑𝑥
√𝑥 − 1 = lim
𝑡→∞[2√𝑥 − 1]
𝑡
2 = 𝟐
2
𝑡
La integral impropia es convergente y converge a 2.
3.4 . Problemas propuestos
1. ∫𝑑𝑥
𝑥2 + 1
+∞
−∞
5. ∫𝑑𝑥
𝑒𝑥 + 9𝑒−𝑥
𝑙𝑛3
−∞
2. ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥+∞
0
6. ∫𝑥𝑑𝑥
(𝑥2 + 9)2
+∞
0
3. ∫𝑑𝑥
𝑥3
1
−2
7. ∫𝑑𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
0
4. ∫𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+∞
−∞
8. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥+∞
0
4. Bibl iograf ía
1. Santiago, Prado, Gómez, Quezada, Zúñiga, Pulido, Barajas,
Olmos. Cálculo integral para ingeniería - Pearson Educación.
México. Primera edición. 2008
Matemática II | Guía del Estudiante | 67
2. Swokowski, E. Cálculo con Geometría Analítica – Editorial
Iberoamericana. Segunda edición. 1998.
3. Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica - Harla. 1994.
4. Larson Ronald. Cálculo Vol. I-II. McGraw Hill. España. Quinta
edición. 1996.
5. Purcell, E. Cálculo con Geometría Analítica. Pren tice Hall. Sexta
Edición. 1993.
6. ElfriedeWenzelburger. Cálculo Integral. Grupo Editorial
Iberoamérica. 1994.
7. Moisés Lázaro. Cálculo Integral y sus Aplicaciones. Editorial
Moshera. 1996.
8 . ht tp: / /video .google .com/videoplay?docid=3744538696992328
705
Video de métodos de integración.
5. Anexos
Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.
1. ∫(2𝑢 + 1)(1 + 𝑢 + 𝑢2)𝑑𝑢 2. ∫𝑣+1
𝑣−5𝑑𝑣
3. ∫cos (𝑙𝑛𝑥)
𝑥𝑑𝑥 4. ∫ 5𝑥2𝑥𝑑𝑥
5. ∫1+𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 6. ∫
𝜋−7𝑝2+1
2 √𝑝3
6𝑝3𝑑𝑝
7. ∫ 𝑒(28−14𝑥)𝑑𝑥 8. ∫6𝑥2(𝑥3+4)
(1−𝑥3)4𝑑𝑥
9. ∫30𝑝
1+ 30𝑝𝑑𝑝 10. ∫ 4𝑥𝑒𝑥
2𝑑𝑥
11. ∫(√𝑥−2)
2
𝑥𝑑𝑥 12. ∫(3√𝑦 + 3) (
4
√𝑦− 5𝑦) 𝑑𝑦
Matemática II | Guía del Estudiante | 68
13. ∫(𝑥−1)
√2𝑥 – √𝑥+1𝑑𝑥 14. ∫
𝑦+1
√𝑦−1𝑑𝑦
15. ∫𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 16. ∫
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃+1𝑑𝜃
17. ∫ 𝑒2𝑥+4. (2𝑥 + 4)𝑑𝑥 18. ∫𝑡𝑔𝑥
√1−𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
19. ∫𝑑𝑥
100+𝑒𝑥 20. ∫[𝑙𝑛 (𝑧)]2𝑑𝑧
21. ∫ 𝑒√2𝑝𝑑𝑝 22. ∫𝜋7𝑥− √𝑥2
9+1
4𝑥1 3⁄ 𝑑𝑥
23. ∫𝑑𝑦
𝑦3+5𝑦2+4𝑦 24. ∫
𝑥5𝑑𝑥
𝑥3−8
25. ∫1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑎𝑔𝑥𝑑𝑥 26. ∫
𝑡𝑔(𝑒𝑠𝑒𝑛 𝛼)
𝑠𝑒𝑐 𝛼𝑑𝛼
27. ∫𝑑𝜃
𝜃 (1+𝜃20)3 28. ∫
𝑒−𝑥.𝑑𝑥
(9𝑒−2𝑥+1)3/2
29. ∫ √7 + 4𝑥2. 𝑑𝑥 30. ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑢. 𝑑𝑢
31. ∫ 𝑥3𝑒𝑥2. 𝑑𝑥 32. ∫ 𝑡𝑎𝑔5𝑥. 𝑠𝑒𝑐8𝑥. 𝑑𝑥
33. ∫ cos(𝑙𝑛2𝑦) . 𝑑𝑦 34.
dy
y
y
22
2
35. dss
s3
ln 36.
d
tag.cos
12
37. dxx
xsenx22
2
cos 38.
dx
e
ex
x
1
1
39.
dp
p
pp
1
532
3
40. ∫dx
(x2+8x+7)3/2
41. ∫2y
1+y4dy 42. ∫
√16(1−cost)
1+costdt
43. ∫ √1 − ex . dx 44. ∫dθ
1+tanθ
Matemática II | Guía del Estudiante | 69
45. ∫1
x2+2x+4dx 46. ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝜔. 𝑐𝑜𝑠6𝜔. 𝑑𝜔
47. ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑥. 𝑑𝑥 48. ∫ 𝑠𝑒𝑐4𝜃. 𝑑𝜃
49. ∫√25−𝑥2
𝑥2𝑑𝑥 50. ∫
𝑑𝑦
√𝑒2𝑦+𝑒𝑦
51. ∫𝑑𝑟
√𝑟2−6𝑟 52. ∫ 𝑠𝑒𝑛√𝑧. 𝑑𝑧
53. ∫𝑒𝑥
√𝑒𝑥+1+1𝑑𝑥 54. ∫ 𝑒2𝑝𝑐𝑜𝑠(3𝑝)𝑑𝑝
55. ∫𝑦7
𝑦4+√6 56. ∫ (1 +
1
𝑡)−3(1
𝑡2)𝑑𝑡
57. ∫ ((𝑥 − 1)2 +3
2) 𝑑𝑥
2
0 58. ∫ (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
2𝜋
0𝑑𝜃
59. ∫3𝑦
1+ 3𝑦𝑑𝑦
2
1 60. ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥2𝑑𝑥
2
1
61. ∫ 17𝑒𝑥+𝑒𝑥. 𝑑𝑥 62. ∫ 7𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝑑𝑦
63. ∫𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 64. ∫
(𝑣2−2)(𝑣2+1)
√𝑣23 . 𝑑𝑣
65. ∫𝑑𝑡
√(9𝑡2+9).𝑙𝑛|√1+𝑡2+𝑡|
66. ∫√2+𝑥2−√2−𝑥2
√4−𝑥4𝑑𝑥
67. ∫16𝑡3
𝑒𝑡2 𝑑𝑡 68. ∫
𝑒𝑙𝑛𝑦2
𝑦3+8𝑑𝑦
69. ∫𝑑𝑣
√(1+𝑣2)𝑙𝑛|𝑣+√1+𝑣2|
70. ∫ 16(𝑛𝑡)1−𝑛𝑛 . 𝑑𝑡
71. ∫𝑑𝑦
(𝑒2𝑦+𝑒𝑦)1 2⁄ 72. ∫√𝑥+13
𝑥𝑑𝑥
73. ∫𝑠𝑒𝑛𝑡.𝑑𝑡
1+𝑠𝑒𝑛2𝑡 74. ∫ 30𝑠𝑒𝑛3𝜃. 𝑐𝑜𝑠3𝜃. 𝑑𝜃
75. ∫ |𝑦 − 1|𝑑𝑦 2
−3 76. ∫
𝑑𝑥
𝑥(1+𝑥20)31
−1
Matemática II | Guía del Estudiante | 70
77. ∫ √𝑥√23
𝑥
3
. 𝑑𝑥 78. ∫23𝑦
√23−2𝑦4𝑑𝑦
79. ∫ 23𝑡(46𝑡 + 5)10𝑑𝑡 80. ∫𝑥2
√1+𝑥𝑑𝑥
81. ∫𝑒2𝑡−1
3+𝑒2𝑡𝑑𝑡 82. ∫
26(𝑣𝑥−𝑤𝑥)2
𝑣𝑥𝑤𝑥 𝑑𝑥
83. ∫ 26𝑦. 𝑙𝑛 |1−𝑦
1+𝑦| 𝑑𝑦 84. ∫
26𝑥4
√(1−𝑥2)33 𝑑𝑥
85. ∫13
𝑣2(𝑣2+16)𝑑𝑣 86. ∫
16.𝑙𝑛23𝑡
𝑡2𝑑𝑡
87. ∫𝑑𝑠
𝑐𝑜𝑠8(𝑠
2)𝑡𝑔5(
𝑠
2) 88. ∫
17.𝑑𝑥
3√𝑒𝑥−1
89. ∫𝑡7+𝑡3
𝑡12−2𝑡4+1𝑑𝑡 90. ∫
18.ln (2𝑤)
𝑤.ln (4𝑤)𝑑𝑤
91. ∫𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃+2𝑡𝑔𝜃−1 92. ∫
𝑠𝑒𝑛(7𝑡).𝑒sec (7𝑡)
27.𝑐𝑜𝑠2(7𝑡)𝑑𝑡
93. ∫ 24. 𝑐𝑜𝑠6𝑥. 𝑑𝑥 94. ∫21.𝑠𝑒𝑛𝑡.𝑑𝑡
1+𝑠𝑒𝑛2𝑡
9. Hallar el área del rectángulo equivalente al área que forma la curva f(x)=4-x2
con el intervalo x є [-2, 2]. Grafique el problema.
96. Se pide encontrar el ÁREA de la región limitada por la gráfica de las
ecuaciones y2=2x; x-y=4. Grafique e indique claramente la región del área
pedida.
97. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para un jardín que se
encuentra limitada por dos carreteras que se cruzan y simulan las curvas: y=x3
y la parábola y=2x-x2, desde x=0 hasta x=2; e indique gráficamente la región
del área pedida.
98. Calcule el área que se destinará para reforestación, que corresponde a la región
limitada por el eje horizontal y la gráfica de la función: f(x) = xe−x2 en el
intervalo [0, +∞).
99. El diseño de la parte superior de un silo de granos, obedece al sólido de
revolución que se forma al girar la región que forma la función:
Matemática II | Guía del Estudiante | 71
f(y) = 2√4 − y y las rectas y=0, y=3, al girar alrededor del eje x. Hallar
volumen del sólido de revolución.
100. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del
eje x la región formada por la curva y=2x+ x2 –x3, y = 0. (Ver gráfico).
101. Dada la siguiente función f(x) = 1/(2x-x2)1/2, se pide hallar la superficie que
forma con el eje y=0 y sus asíntotas.
102. Se desea medir la longitud de un cable de internet suspendido entre dos
edificios contiguos que está representada por la función y =x3
6+
1
2x entre
los puntos x=1/2 y x=2. Hallar la longitud, considerando la escala cartesiana
en metros.
103. La producción de una matriz para la elaboración de hitos, se desarrolla
mediante un sólido de revolución, que se obtiene al rotar la región que forman
las curvas x = √4 − y y los ejes positivos, al girar alrededor de la recta x=4.
Determinar dicho sólido.
104. Se desea construir un soporte para una línea de postes de alumbrado de un
bosque, que se logra con la rotación de la región formada por las funciones
f(x) = x2+2x+2, g(x)= 6x-2, h(x) = 1, alrededor del eje x. Construir la gráfica y
hallar el volumen soporte formado
105. Las curvas y=x3; x=y3; forman una región en el 1° cuadrante. Esta región al
girarla alrededor del eje y, forma parte del diseño de la parte superior de una
pileta ornamental. Se desea hacer el esquema gráfico y hallar el volumen de
revolución respectivo.
Matemática II | Guía del Estudiante | 72
106. La producción de flotadores obedecen a una matriz experimental, que es
producto del sólido de revolución que forma la circunferencia (y-3)2 + x2 =1 al
girar alrededor del eje y=0. Urgentemente, se le pide hallar el volumen
engendrado y su gráfica.
107. Se desea construir un depósito para almacenar agua sobre una plataforma en
una zona desértica, que obedece a la región formada por las curvas y=6-x2,
x=0, y=2 en el 2° cuadrante; que gira alrededor de la recta x=2. Hallar el
volumen del sólido de revolución formado y su gráfica.
108. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para una losa que colindará
con un área verde que se encuentra limitada por dos curvas: x = 1 + 4y;
x = −143 − 56y − 6y2 . Indique gráficamente la región del área pedida.
109. Un terreno destinado para arborización como pulmón de una determinada
ciudad, tiene la forma de la región que se forma entre las curvas: y=x3-6x2+8x
e y-x2+4x=0. Se pide determinar el área del terreno.
110. Calcular el área de la región que se encuentra limitada por las ecuaciones
y2-x+1=0, y+1=0 y los ejes cartesianos del “IV cuadrante”. Además, calcular
el costo de la región, si el m2 cuesta S/.20.00. Considerar la escala cartesiana
1:1Km.
111. La región destinada para un moderno centro de cómputo, simula el espacio que
encierran las curvas y=x3 y la recta tangente a la curva en el punto x=-2. Se
pide calcular el área.
112. La construcción de una pileta artística de concreto, que será instalada en el
parque que Ud. diseñará; se asemeja a la región que encierran las curvas
y=1-(x+1)2; x-y=0 y que gira alrededor de la recta x=0. Escala cartesiana:
1:1m. Se le pide:
a) Hacer la gráfica respectiva y calcular el volumen del sólido de revolución.
b) ¿Cuánto será el costo del concreto a utilizar, si el m3 cuesta S/.2,580.00?
113. Un sólido experimental diseñado para reemplazar unas piezas de caucho para
un dispositivo utilizado en la recuperación de petróleo; se forma por la rotación
alrededor de la recta y=-1 de la región que cierran las curvas: x=4+6y-2y2;
x+4=0. Se pide la gráfica y calcular el volumen del sólido de revolución.
Matemática II | Guía del Estudiante | 73
114. La parte externa de una campana industrial, se genera por la rotación alrededor
de la recta x=0 de la región que encierran las curvas: x=1, y=-x2+4x-3,
y=x3-6x2+12x-5, x=3. Se pide la gráfica y calcular el volumen del sólido de
revolución.
115. Cree Ud. un sólido de revolución considerando lo siguiente:
a) Que sea de utilidad cotidiana o industrial
b) Que contenga como mínimo 02 curvas
c) Dibujar la gráfica
d) Calcular del volumen del sólido de revolución.
116. Las toberas de un cohete que será enviado al espacio, se construyen con un
molde que se asemeja a la región que encierran las 03 curvas: y=4x-x2; la
tangente a la curva en el punto x=1 y y= -4, que gira alrededor de la recta
x=2. Se le pide la gráfica respectiva y hallar el volumen del sólido formado.
117. Calcular el área de una región destinada para pozas de oxidación, que se
encuentra limitada por las curvas: y=4xe-x, y=0, comprendida desde x=0 al
infinito. Gráfica.
118. Un pedestal decorativo sólido, se genera por la rotación alrededor del eje x de
la región que encierran las curvas: (y-1)3=x2, y=0, x=1, x=8.
Escala cartesiana: 1:1pulgada. Aparte de la gráfica respectiva, se le pide:
a) Calcular el perímetro de la región formada.
b) Calcular el volumen del sólido de revolución.
c) El costo de la cantidad de material a utilizar, si el litro cuesta S/.53.00.
119. Una zona destinada para la instalación de un equipo de tratamiento de aguas
residuales, es representado por la región que limitan las ecuaciones: y2+x-5=0;
y+x+1=0. Calcule:
a) El área de la región formada, considerando la escala 1:1m.
b) La longitud de la región formada
120. Cierto dispositivo de caucho para la pesca industrial, se diseña a partir de la
región que encierran las curvas y=4x2; x=2, x=-2, y=0 y que gira alrededor de
la recta y=-1. Se pide:
a) Calcular el perímetro de la región formada antes del giro
Matemática II | Guía del Estudiante | 74
b) Hallar el volumen del sólido fe revolución
121. Una cúpula industrial, se asemeja al sólido de revolución que se genera al girar
alrededor del eje y, la región que encierran las curvas: y+x-4=0; y+2x-8=0;
y= (12-2x)/3. Calcule:
a) El volumen del sólido de revolución formado. Escala 1:1m
b) El costo del concreto a utilizar en caso que la construcción sea factible; si
7m3 cuestan S/.2125.00
122. Un agitador de una poza de lechada de cal de una fábrica de papel, se asemeja
al sólido que se genera por la rotación alrededor del eje y de la región que
encierran las curvas: (y − 1)3 = x2; y=0, x=1, x=8. Se pide:
a) Calcule el área de la región formada y la gráfica respectiva
b) Calcular el volumen del sólido de revolución formado
123. Un prototipo de propulsor de cohetes ideado por la NASA, se asemeja a la
región que encierran las curvas: Y=2x; y=x/2; x=1, x=3 al girar alrededor de
un eje. Se pide calcular:
a) El perímetro de la región formada.
b) El área de la región formada
c) El volumen del sólido formado, cuando gira en la recta y=-1
124. Una plataforma especial, en uno de sus extremos, tiene la forma de la curva:
y=1+2x-x2, acotada desde x=-1 a x=2. Calcule la longitud de este extremo y el
costo del cerco especial a colocar, si el pie lineal cuesta S/. 18.5. Considerar
Escala cartesiana: 1:1metro; 1pié=30.cm.
125. Un cruce moderno de dos grandes autopistas, se asemeja al que forman las
curvas: 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 𝑒 𝑦 = −𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥, formando una región
que se destinará para área verde. Se pide calcular el área de la región formada.
Gráfica.
126. Dada la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2, 𝑛 𝑦 = √𝑥 y la recta x=2; se
le pide calcular:
a) El área de la región formada
b) El perímetro de la región establecida
Matemática II | Guía del Estudiante | 75
c) El volumen del sólido de revolución formado cuando gira en la recta y=0
127. Un recipiente para preparar aditivos para un riego tecnificado, obedece
aproximadamente al sólido que se genera cuando gira alrededor de x=0 la
región que encierran las curvas x2 + (y − 3)2 = 4; y = x + 1; x = 0
a) Encuentre la capacidad del reservorio. Escala cartesiana: 1:1m
b) El costo del agua para llenarlo, si el litro cuesta S/.0.25
128. El cabezal de un tanque industrial, se construye simulando la rotación alrededor
de la recta x=-1 de la región que limitan las curvas: x=cosy; x=0; y=0;
y=π/4. Calcular el volumen del sólido de revolución formado.
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