guia de matemática i

Lima Per

2015

M a t e m t i c a I

AUTOR: MICHAELS MEJA LAGOS

Matemtica I | Gua del Estudiante | 2

MATEMTICA I

GUA DEL ESTUDIANTE

MATEMTICA I

GUA DEL ESTUDIANTE P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i n p a r c i a l o t o t a l d e

e s t a o b r a p o r c u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i n e s c r i t a d e l A u t o r .

Derechos Reservados 2015

Cuarta Edicin

Universidad Cientfica del Sur

rea de Matemtica

Universidad Cientfica del Sur S.A.C.

Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19

Villa El Salvador

Tlf: (51 1) 610 6400

Web: www.ucsur.edu.pe


Reservados todos los derechos

Ningn material de este manual puede ser reproducido sin autorizacin expresa por escrito del autor. La

autorizacin ser en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se

refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100,

slo para uso con fines educativos y sin lucro.

MBA Rolando Vallejo Cortz Presidente Ejecutivo

MBA Luis Prez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo

Dr. Jos Amiel Prez Rector

Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Acadmica

M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Bsicos de Ciencias

Ing. Jos Dvila Coordinador del rea de Matemtica

Lic. Michaels Meja Lagos Autor


E l e s t u d i o d e e s t a g u a d e p r c t i c a

p e r m i t i r :

Obtener informacin de los diferentes

temas del curso Matemtica I, de acuerdo

al perfil profesional.

Que se use en el desarrollo de los temas

del curso tanto en la teora como en la

prctica de los ejercicios y problemas

aplicativos.

Disponer de ejercicios propuestos.

Disponer de problemas de Aplicacin.

OBJETIVOS


CAPITULO I: FUNCIONES

1.1 Introduccin

1.2 Dominio

1.3 Contradominio

1.4 Imagen de una funcin

1.5 Representacin Grfica de Una Funcin

1.6 Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

1.7 Funciones Especiales

1.8 Operaciones con Funciones y Composicin de Funciones

CAPITULO II: LIMITE DE FUNCIONES

2.1 Limite de Una Funcin

2.2 Limites Al Infinito

2.3 Limite Trigonomtricos

2.4 Continuidad y Discontinuidad de Funciones


CAPITULO III: DERIVADAS

3.1 Definicin de Derivadas

3.2 Segunda Derivada

3.3 Derivadas Implcitas

3.4 Regla de LHOSPITAL

3.5 Aplicaciones de la Derivada: Mximos y Mnimos

3.6 Problemas de Optimizacin

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS


1.1 Introduccin

RELACIN

Se define como relacin o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un

subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que

cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado,

varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} y la relacin R definida

como mayor que que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)

El diagrama (VENN) es:

A B

= {(, ) / }

Forma implcita:

Forma explcita:

= {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}

1 2

3

4

5

1

3

6

5


El conjunto de pares ordenados que forman parte de R est compuesto por un

elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y

adems satisfacen la condicin que define esa relacin. Se dice que:

(, )

FUNCIN

Una funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o

correspondencia entre dos o ms cantidades. El trmino funcin fue usado por

primera vez en 1637 por el matemtico francs Ren Descartes para designar una

potencia xn de la variable x. En 1694 el matemtico alemn Gottfried Wilhelm

Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su

pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido el definido en 1829

por el matemtico alemn, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859), quien escribi:

Una variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de

ello. Dos variables X y Y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a X

entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a

Y, se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se asignan

libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y,

cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores

permitidos de X constituyen el dominio de definicin de la funcin y los valores que

toma Y constituye su recorrido.

DEFINICIN

Una funcin f de A en B es una relacin que le hace corresponder a cada elemento x

A uno y solo un elemento y B, llamado imagen de x por , que se escribe

= (). En smbolos, : .

Es decir una funcin es un vnculo entre elementos de dos conjuntos, de tal manera

que todos y cada uno de los elementos del conjunto de salida se conecta con un

nico elemento del conjunto de llegada.


Al conjunto de salida se le denomina Dominio y al de llegada se le denomina

contradominio

Por ejemplo: dados los conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l}, presentaremos,

grficamente, (mediante Diagramas de Venn) algunas funciones definidas de A en B:

La flecha

indica una correspondencia entre los elementos de A y B. En el ejemplo (a), la

funcin tambin se puede expresar mediante un conjunto de pares ordenados,

llamados as por estar formados por dos valores, ordenados de forma tal que el

primero corresponde al conjunto de partida y el segundo al de llegada:

{(5, g),(6, h),(7, i),(8, j)} , {(5, g),(6, i),(7, j),(8, l)}, {(5, g),(6, g),(7, i),(8, l)}.

Para el ejemplo (a) Para el ejemplo (b) Para el ejemplo (c)

Debemos resaltar que cada elemento de A est unido con una flecha a un slo

elemento de B. As, de un mismo elemento xA no pueden partir dos o ms flechas.

De ste modo una relacin como la de la siguiente figura NO es una funcin.

87658765 8765

h g i l j h g i l j h g i l

(b) (a) (c)

87658765 8765

h g i l j h g i l j h g i l


Teorema: Una ecuacin define a una funcin si cada recta vertical en el sistema de

coordenadas cartesianas pasa a lo ms por un punto de la grfica de la ecuacin. Si

una recta vertical pasa por dos o ms puntos de la grfica de una ecuacin, entonces

la ecuacin no define una funcin.

Ejemplo 1.- Determinar si la grfica representa una funcin o una relacin.


Y

X x


Y

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2

Las rectas verticales intersecan esta

grfica en exactamente un punto. Por lo

tanto, esta grfica representa la grfica de

una funcin.

Representa a una funcin

porque cualquier paralela

al eje y corta a la curva

en un solo punto. Su

dominio es el conjunto

de los nmeros reales y

su imagen son los reales

no negativos, es decir,

Df = R, Cf = R+ U {0}.

El dominio de la

funcin es el conjunto

de todos los valores

que puede tomar la x,

y el conjunto imagen

est formado por

todos los valores que

puede tomar y bajo la

funcin.

No representa una funcin porque al

trazar paralelas al eje de las y se

observa que cada una de ellas corta a la

curva en dos puntos, es decir, cada

elemento del dominio tiene dos

imgenes, excepto el cero.


X

El concepto de funcin, de acuerdo con su definicin, puede descomponerse en

diferentes constituyentes. stos son:

A nivel de conjunto Dominio y Contradominio

A nivel de elemento Argumento e Imagen

1 .2 Dominio

Se llama Dominio de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente. El dominio de una funcin del tipo = () suele representarse

con alguna de estas expresiones: Df, Dom (f).

Definicin:

1 .3 Contradominio

En una funcin : , el dominio corresponde al primer

conjunto. Para el caso que nos ocupa, el dominio es el conjunto A.


Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una funcin al conjunto de valores que

puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede

alcanzar la funcin. El Contradominio de una funcin del tipo y = f(x) suele

representarse con alguna de estas expresiones: Cf, Rango (f), Im (f).

Definicin:

1.4 Imagen de Una Funcin

La asociacin a travs de una funcin f, de los conjuntos A y B, de A hacia B (o

simplemente f: A B) conlleva a la asociacin individualizada de cada uno de los

elementos del conjunto A (primer conjunto o dominio) con un nico elemento del

conjunto B (segundo conjunto o Contradominio).

Definicin:

El Contradominio, tambin llamado rango de la funcin, es el nombre

que se le da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los

valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la

funcin es : , el Contradominio es B.

Cada elemento del primer conjunto recibe el nombre de argumento de

la funcin; y a su correspondiente asociado, elemento del segundo conjunto,

se le denomina imagen del argumento bajo la funcin dada.


= 3 2

Obsrvese la Figura.

A B

La funcin f que aparece es una funcin de variable real en donde:

Su regla de correspondencia es la ecuacin: = 3 2

Su dominio es el conjunto: A = {, -2, -1, 0, 1, 2,}

Y su Contradominio es el conjunto: B = {, -8, -5, -2, 1, 4,}

Si hacemos un anlisis elemento a elemento, encontramos por ejemplo que:

El argumento 2 est asociado a 4; es decir, la imagen de 2 es 4. Cul es la imagen

1? Cuntos argumentos posee el dominio?

Notacin:

La imagen de una funcin f se representa generalmente de la siguiente manera: f(x)

lase la imagen del argumento x bajo la funcin f.o simplemente efe de equis.

No obstante, independientemente de la forma en que se lea, siempre debe

interpretarse como corresponde. As, para el ejemplo dado en la Figura: = ()

-2

-1

0

1

-8

-5

-2

1


Y como ejemplo, (2) = 4, observa que para el mismo caso, la regla de

correspondencia puede tambin escribirse como: () = 3 2

Para finalizar esta seccin, tomando en cuenta el mismo ejemplo, contesta: Cul es

la imagen de (5)?. Justifica tu respuesta con operaciones.

Ejemplo

1) Calcular el dominio y el Contradominio de la funcin: 2 xy

SOLUCIN:

Como los nmeros se han restringido a los nmeros reales, y es una funcin de x

slo si 02 x debido a que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se

denomina un solo valor de y, sin embargo, si x < 2, se tiene la raz cuadrada de un

nmero negativo, y en consecuencia, no se obtendr un nmero real y. Por tanto, se

debe restringir x de manera que 2x .

De este modo, el dominio de f es el intervalo ,2 , y su Contradominio es ,0

1 .5 Representacin Grfica de Una Funcin

Las funciones se pueden representar mediante una grfica sobre unos ejes llamados

ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas; sobre

l se sita la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de

ordenadas; sobre l se sita la variable dependiente. Para situar las variables sobre

los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos.

Si P es un punto del plano, trazando por P la paralela al eje y, obtenemos un punto

0 sobre el eje x al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la paralela al eje x,


obtenemos un punto 0 sobre el eje y al que llamamos ordenada de P. Diremos que

0 e 0 son las coordenadas de P y escribiremos = (0, 0) Grficamente:

Ejemplos:

Sea la funcin RRf : / f(x) = 3x + 1. Algunos puntos de su grfica son: (0,

1), (1, 4),(1, 2), ( 31, 2). De esta manera obtenemos la siguiente representacin

grfica de f:

-2 -1 1 2x

-4

-2

2

4

6

y

x

y

Conjunto de puntos (, ) del plano talque = () para todo x perteneciente al

dominio de se denomina grafica de .


-3 -2 -1 1 2 3x

1

2

3

4

5

y

Consideremos la funcin RRf : / f(x) = x2. Para obtener su grfico

aproximado podramos dar distintos valores a x y obtener los correspondientes

de y. Para ello es cmodo hacer una tabla como la siguiente:

Tema: Identificacin de funciones

1.- Indica cuales de las siguientes figuras representan una funcin.

x f(x) = x2

2 4

1 1

0 0

0,5 0,25

1 1

2 4

x

y

z

1

2

3

x

y

z

1

2

3


2.- Indica cuales de las siguientes graficas representa una funcin y cules no

(Argumenta).


Tema: Funciones

1.- Dados los conjuntos 4,3,2A y 6,5,3B Cual de las siguientes relaciones no es una funcin de A en B.

3,3;6,2;5,2

6,4;3,3;5,2

6,4;5,3;3,2

3

2

1

R

R

R

2.- Dados los conjuntos 4,2,0,1A y 8,6,0,2B . Hallar


a) xyBAf 2/:

b) Dominio y rango de la funcin

c) Diagrama sagital

d) Es una aplicacin?

3.- Sean los conjuntos 7,5,4,1A y 7,5,3,2B encontrar

1/, yxAxByxR realiza el diagrama sagital. Es R una funcin?

4.- Sean los conjuntos 5,4,3,2A y 26,15,8,3B encontrar = {(, ) = 2 11} realiza el diagrama cartesiano. Es R una funcin?

5.- Sean los conjuntos 4,3,1,2M y 3,2,1,1,2,3 N encontrar = {(, ) 2 = 2}realiza el diagrama sagital. Es R una funcin?

6.- Dados los conjuntos 5,4,3,2,1,0A y 12,11,9,7,5,3B . Hallar

a) 32/: xyBAf

b) Dominio y rango de la funcin

c) Diagrama sagital

d) Es una aplicacin?

7.- Hallar a y b sabiendo de que el conjunto ab ,6;,2;7,6;3,2 es una funcin.

8.- Hallar m y n sabiendo de que el conjunto 2,;,;12,;, mnmmnmnn es una funcin.

9.- Evaluar las siguientes funciones:

a) si 23 xxxf Calcular: 0

21

f

ff

b) si 12 2 xxf Calcular: 01

41

31

ff

ff

10.- Graficar las siguientes funciones:


a) 14: xyNNf

b) 2

1:

xyNNf

c) 32: 2 xyZZf

11.- Cual debe de ser el valor de a para que la siguiente relacin sea una funcin?

= {(2; 5 1), (7; ), (22 2; 3), (7; 8 3)}

12.- Si1

12

2

1

x

xxQ Calcular el valor de 1aQ

13.- Si 1

12

x

xxf Calcular el valor de 12ff

14.- Si 12 xxxP simplificar 2211 xxPxPxPR

Tema: Graficas, dominio y rango e interseccin con los ejes de

coordenadas

1.- Representa las siguientes funciones grficamente:

a) y = 2x b) y = x c) y = 3x d) y = x

e) y = x 2 f) y = 3x + 5 g) y = x + 1 h) y = x + 4

i) y = 1 j) y = 4 k)y = 3


2.- Grafica cada una de las funciones lineales siguientes, dando el dominio y rango:

)3/24/(2)()

)82(4/1)()

)4(2/3)()

)1(5)()

2/34/)()

3

54)()

5)()

13)()

42)()

2)()

32

xxfj

xxfi

xxfh

xxfg

xxff

xxfe

xxfd

xxfc

xxfb

xxfa

3.-Hallar el dominio y el rango de la siguiente funcin:

8,6;13,6;1,32;3,5 MMF

4.- Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones lineales

a) 34)( xxf

b) 6)( xf

c) 10;18)( xxxf

d) 1)( xxf

e) 2)( xxf

f) 62)( xxf

c) x

xf1

)(

c) 34)( xxf


5.-Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones cuadrticas:

a) 2)( xxf

b) 1)(2 xxxf

c) 108)(2 xxxf

6.-Escribir el dominio y el rango de las funciones raz cuadrada:

a) 1)( xxf

b) xxf 210)(

c) 62)( xxf

d) 12)( xxf

7.-Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones racionales:

a) x

xf1

)(

b) 4

2)(

xxf

c) 32

64)(

2

23

xx

xxxxf

8.-Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones con valor absoluto.

a) 1 xy

b) 3 xy

c) 2 xy


d) 42

1 xy

9.-Identifica la funcin y da como respuesta su rango:

a) 2,1;1,3;1,2;1,1F

b) 2,1;2,1;2,1G

c) 10,5;5,3;3,10;5,10H

d) 1,3;2,3;1,2F

10.-Grafica cada funcin y halla su dominio y su rango

a) 32)( xxf

b) 2,22)( xxxf

c) 2,33)( xxxf

d) 3,42

1)( xxxf

11.- Tabulando encuentre el dominio, rango y grafique de las siguientes funciones.

a) xxf 2)(

b) x

xf2

)(

c) 2)( xxf

d) 3)( xxf

e) 44

3)(

x

xxf

f) 2

1)(

xxf

g) 62

5)(

xxf

12.- Determina el dominio y rango de las siguientes funciones, en forma algebraica.


a) 15)( xxf

b) 22)( xxf

c) x

xf2

3)(

d) 1)( xxf

e) xxf 2)(

f) x

xf1

)(

g) x

xf1

)(

h) 4)(2 xxf

i) 4

1)(

xxf

1 .6 Funciones Especiales

FUNCIN LINEAL

Una funcin lineal es una funcin f de la forma: baxxf )( , donde a y b son

nmeros reales.

Veamos un ejemplo de funcin lineal:

Sea () = + 1. Observemos que en este caso a = 1 y b = 1.

Para graficar esta funcin armamos la siguiente tabla de valores

x f(x) = x + 1

3 2

-4 -2 2 4

x

-2

2

4

y

() = + 1


-2 -1 1 2

x

1

2

3

4

y

0,5 0,5

0 1

1 2

2 3

Notemos que los puntos de la grfica de f estn alineados y que a medida que

grafiquemos ms y ms puntos se ir formando una recta.

La caracterstica de poseer como grfica a una recta se puede generalizar a todas las

funciones lineales de la forma () = + . Recprocamente, toda recta del

plano que no es paralela al eje de ordenadas es la grfica de una funcin lineal.

FUNCIN CUADRTICA

Ahora analizaremos las funciones cuya ecuacin es un polinomio de segundo grado,

es decir, cbxaxxf 2)( , donde 0.

Intentemos hallar la grfica de la funcin cuadrtica ms sencilla: 2xy . Para

esto, ayudmonos con la siguiente tabla:

x f(x) = 2x

3 9

2 4

1 1


0 0

1 1

2 4

3 9

El grfico obtenido al dibujar y = 2x se denomina parbola, al igual que el grfico

de cualquier funcin cuadrtica.

Observemos que el menor valor que toma y es 0, cuando x = 0, y que y no puede

tomar valores negativos puesto que es de la forma y = 2x . El punto (0, 0) se

denomina vrtice de la parbola.

Formas polinmica y cannica de una funcin cuadrtica

La expresin de la funcin cuadrtica cbxaxxf 2)( recibe el nombre de

forma polinmica de la funcin.

Ahora bien, si a esta forma aplicamos el procedimiento visto anteriormente de

completamiento de cuadrados obtenemos una expresin de la forma:

khxaxf 2)( , lo que se conoce como forma cannica de la funcin cuadrtica.

Veamos en un ejemplo cmo llevar a la forma cannica una funcin dada en forma

polinmica.

Ejemplo:

Sea 582)(2 xxxf la forma polinmica de una funcin cuadrtica.

Completando cuadrados, resulta:


13422

1342

2

54442

2

542)(

2222

xxxxxxxf

Por lo tanto, 1342)( 2 xxf es la forma cannica de la funcin, donde a = 2, h = 4 y k = 13.

Actividad

Completar el siguiente cuadro segn corresponda:

Forma Polinomica Forma Cannica

163)( 2 xxxf

523)( 2 xxg

882)( 2 xxxh

Desplazamientos del grfico de una funcin cuadrtica

Vamos a analizar qu sucede con el grfico de una funcin cuadrtica al variar los

parmetros a, h y k en la expresin cannica de la funcin.

Supongamos h = 0 y k = 0, entonces la funcin cuadrtica resulta de la forma

() = 2.

En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer a = 1,

a = 1, a = 3, a = 3, a = 21, a = 2

1 .

a = 1 aa=3

-3 -2 -1 1 2 3

x

-3

-2

-1

1

2

3

ya=1/2 a = 3 a = 1


Qu sucede si a < 0?

......................................................................................................................................

Qu sucede si a> 0?

......................................................................................................................................

Qu observa a medida que a aumenta? Qu sucede con las ramas de la

parbola?

......................................................................................................................................

Qu observa a medida que a disminuye? Qu sucede con las ramas de la

parbola?

......................................................................................................................................

Supongamos a = 1 y k = 0, entonces la funcin tiene la forma 2)( hxxf En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer h = 0,

h = 2, h = 2, h = 4 y h = 5.

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

x

1

2

3

4

5

yh = 5 h = 2 h = 0 h = 2 h = 4


Hacia dnde se desplaza la parbola si > 0?

......................................................................................................................................

Hacia dnde se desplaza la parbola si < 0?

......................................................................................................................................

Supongamos a = 1 y h = 0, entonces la funcin tiene la forma () = 2 + . En

el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer k = 0,

k = 1, k = 2, k = 3 y k = 6.

Hacia dnde se desplaza la parbola si > 0?

......................................................................................................................................

Hacia dnde se desplaza la parbola si < 0?

......................................................................................................................................

-2 -1 1 2

x

-2

-1

1

2

3

y k = 0 k = 2

k = 2

k = 1

k = 1


Tomando como referencia a la parbola y = 2x podemos obtener el grfico de

cualquier funcin cuadrtica teniendo en cuenta la siguiente conclusin:

Dada la forma cannica de una funcin cuadrtica () = ( )2 + , se

tiene que:

El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parbola.

El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la

parbola.

El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parbola.

Ya vimos que el vrtice de la parbola y = 2x es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en

cuenta los desplazamientos analizados podemos inferir que el vrtice de una funcin

cuadrtica de la forma khxaxf 2)( es el punto (, ), ya que todos los puntos de su grfica estn desplazados h unidades en la direccin del eje de las x y k

unidades en la direccin del eje de las y.

Es til determinar cul es el vrtice de una parbola pues facilita hallar su grfica.

Por lo tanto, dada una funcin cuadrtica en forma polinmica slo necesitamos

obtener su expresin cannica para poder determinar su vrtice y de esta manera

poder graficarla fcilmente.

Tambin es importante advertir que las parbolas tienen un eje de simetra que las

divide en dos ramas simtricas como se puede observar en el siguiente grfico.

2)1( 2 xy

-1 1 2 3x

-2

-1

1

2

3

y

Eje de simetra

x = 1


Este eje de simetra es una recta paralela al eje y que pasa por el vrtice de la

parbola. Por lo tanto, la ecuacin de dicho eje est dada por x = h.

Actividad

1) Representar grficamente las siguientes funciones cuadrticas. Indicar dominio e

imagen, coordenadas del vrtice y ecuacin correspondiente al eje de simetra.

a) 422 xxy

b) 632 xy

c) 2

2

1 )3( xy

d) xxy 232

2) Encontrar la ecuacin de una funcin cuadrtica que tenga vrtice en el punto

)4,2( y pase por el punto (1, 1).

Races de una funcin cuadrtica

Al igual que las races de una funcin lineal, las races de una funcin cuadrtica son

los valores de x que anulan la funcin, es decir verifican la ecuacin

0)( 2 cbxaxxf . Grficamente los puntos )0,(x , con x raz de la funcin,

son los puntos de interseccin entre la funcin y el eje x.

Ejemplo:


Consideremos la funcin 32)(2 xxxg y busquemos cules son sus races.

Para ello debemos resolver la ecuacin 0322 xx . Como vimos

anteriormente, esta ecuacin polinmica de grado 2 se puede resolver aplicando la

frmula cuadrtica. As, obtenemos:

2

42

12

)3(1422 2

2,1

x Luego, las races son: 11 x y

32 x

Por lo tanto, como se puede observar en el siguiente grfico, los puntos de

interseccin de la funcin )(xg con el eje x estn dados por )0,1( y )0,3( .

Ya hemos visto que una ecuacin de segundo grado puede tener dos races reales

distintas, una sola raz real o no poseer races reales.

Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica con una sola raz real?

Ejemplifique.

..............................................................................................................................

-4 -2 2

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

y

(1, 0) (3, 0)


Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica con 2 races reales distintas?

Ejemplifique.

..............................................................................................................................

Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica que no posea races reales?

Ejemplifique.

..............................................................................................................................

Actividad

1) Determinar, ayudndose con el grfico, los valores de x para los cuales se

satisface la desigualdad .0452 xx

2) Determinar, ayudndose con el grfico, los valores de x para los cuales se

satisface la desigualdad 0522 2 xx .

3) Sabiendo que 2 y 5 son races de una funcin cuadrtica y que dicha funcin

pasa por el punto (0, 10). Determinar la ecuacin cannica de dicha funcin.

FUNCIN RAZ CUADRADA

Primero encontramos el dominio de la funcin mediante la desigualdad + > 0

Luego a partir del dominio elaboramos una tabla de valores, graficamos y

obtenemos el recorrido.

EJEMPLO:

Graficar, obtener el dominio y el recorrido de () = 2 5

El dominio se obtiene de la desigualdad 2 5 > 0 > 2.5

A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.

2,5 3 4 5 6


() 0 1 1,73 2,24 2,65

EJEMPLO:

Graficar, obtener el dominio y el recorrido de () = 2 6 3

El dominio se obtiene de la desigualdad 2 6 > 0 < 1/3.

A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.

1/3 0 -1 -2 -3 () -3 -1,59 -0,17 0,74 1.47


FUNCIN RACIONAL Y ASNTOTAS

Una funcin racional est formada por la divisin de dos funciones polinomiales.

1

1 1 0

1

1 1 0

...( )

...

n n

n n

m m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio

del numerador es menor que el del denominador, n


Funcin racional

Se dice que f es una funcin racional si )(

)()(

xd

xnxf donde n(x) es un polinomio

cualquiera y d(x) es un polinomio que no sea el polinomio nulo. El dominio de f es el

conjunto de todos los nmeros reales tales que 0)( xd .

Ejemplos:1

3)(

2

x

xxxf ,

44)(

23

xxx

xxg ,

3

1)(

xxp

Se supone que, a menos que se advierta lo contrario, los polinomios n(x) y d(x)

no poseen factores comunes, esto es, que no pueden ambos anularse para el

mismo valor de x, pero tericamente, esa posibilidad siempre existe.

Como el polinomio del denominador puede ser una constante (grado 0), todos

los polinomios se pueden considerar como funciones racionales.

Comportamiento de la funcin en los ceros de n(x) y d(x)

Mediante preguntas y discusin colectiva, llegar a las siguientes conclusiones:

1. Si d(a) = 0, (independientemente de que n(a) sea o no cero) entonces a no

pertenece al dominio de f, porque la divisin por cero no est permitida. Para x =

a no existe la funcin.

2. Si n(a) = 0 y 0)( ad entonces x = a es un cero de la funcin f. En el punto

x = a la grfica de f corta al eje de las x.

3. Si d(a) = 0 y 0)( an entonces la funcin f crece indefinidamente en valor

absoluto cuando x se acerca hacia a. Puede crecer hacia valores grandes y

positivos o hacia valores grandes negativos, o de formas diferentes a cada lado

de x = a.


Ejercicio

Analizar el comportamiento de la funcin racional 1

2)(

xxf en las cercanas de

= 1.

Solucin:

a) Para valores de x prximos a 1 pero mayores que 1, la funcin toma valores

positivos que pueden sobrepasar a cualquier cantidad fijada de antemano

tomando una x suficientemente prximo a 1. Esto se escribe:

)(xf Cuando 1x

b) Para valores de x prximos a 1 pero inferiores a l, el denominador de la

fraccin es pequeo y negativo, as que f(x) toma valores negativos de valor

absoluto cada vez mayor a medida que x se aproxima hacia 1 por la izquierda.

Esto se simboliza:

)(xf Cuando 1x

La figura muestra la grfica de f en las proximidades de x = 1:

x 1


Asntotas verticales y asntotas horizontales

La recta x = a es una asntota vertical para la grfica de y = f(x) si f(x) aumenta o

disminuye sin lmite cuando x se aproxima hacia a desde la derecha o desde la

izquierda. De manera simblica:

)(xf )(xf cuando ax ax

La recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de y = f(x) si f(x) se aproxima

hacia b a medida que x aumenta sin lmite o disminuye sin lmite. De manera

simblica:

() Cuando +

Las figuras muestran las posibles posiciones relativas entre la funcin y la asntota.

a a a a

b b b b


Destacar que una funcin puede poseer muchas asntotas verticales pero slo

una horizontal hacia la derecha y otra horizontal hacia la izquierda (que, por lo

general, coinciden) ya que una funcin solo puede tomar un valor para cada x.

El comportamiento asinttico de las funciones racionales

Como se recordar, para valores de x tendiendo a infinito, las funciones polinmicas

siempre tienden a ms o a menos infinito, no tienen otra opcin porque el trmino

predominante es una potencia natural de x y solo puede tener este comportamiento.

En el caso de las funciones racionales, el comportamiento puede ser mucho ms

variado pues tanto en el numerador como en el denominador hay polinomios y

ambos crecen sin lmite cuando x se aleja del origen.

Como en cada uno de ellos el trmino principal (el de mayor grado) es el que

predomina para valores de x grandes, el comportamiento de la funcin racional ser

muy similar al cociente de los trminos principales del numerador y el denominador.

Resulta entonces la siguiente observacin importante:

Las funciones

01

01

...

...)(

bxbxb

axaxaxf

nn

mm

y

nn

mm

xb

xaxg )( poseen un

comportamiento similar cuando + . Es costumbre decir que

ambas funciones poseen el mismo comportamiento asinttico.

Como la funcin g es mucho ms fcil de analizar que la funcin f, debido a que las

potencias se simplifican, esto permite simplificar el anlisis del comportamiento de

una funcin racional para valores grandes de la variable.

Hay tres situaciones especialmente interesantes:


Si m < n la funcin g queda: mn

n

m

xb

axg

)( que tiende hacia cero cuando

, as que, en este caso, la funcin f posee asntota horizontal y = 0 para

y

Si m = n la funcin g queda: n

m

b

axg )( que es una constante, y en este caso, la

funcin f posee asntota horizontal n

m

b

ay cuando y .

Si m = n + 1, se puede realizar la divisin y quedar un polinomio de primer grado

(cociente) ms una funcin racional con el grado del numerador (resto) menor que el

del denominador:

)(

)()(

xd

xrbmxxf

Como la parte fraccionaria tiende hacia cero cuando o , en este

caso la funcin f se comporta asintticamente como una recta inclinada, as que la

grfica posee una asntota oblicua cuya ecuacin es bmxy

Grafica de funciones racionales

La grfica de una funcin refleja todo nuestro conocimiento acerca de ella, de ah la

importancia de graficar una funcin. En el caso de las funciones racionales, los

elementos ms importantes a tomar en cuenta a la hora de construir su grfica son:

Las funciones racionales son continuas y suaves, salvo en los puntos donde se

anula el denominador.

Los interceptos con el eje x y el intercepto con el eje y.

El dominio de la funcin (todos los reales excepto los ceros del denominador).

Las asntotas verticales (ceros del denominador que no anulan el numerador).


El comportamiento asinttico de la funcin (trminos predominantes del

numerador y denominador).

Esquema de signos de la funcin (tal como se hizo al resolver inecuaciones).

Simetra de la funcin.

En general, con estos elementos se puede trazar una grfica bastante aproximada de

la funcin racional. Si esto no fuera suficiente, se puede evaluar la funcin en

algunos valores importantes de x.

1.5

25)(

2

x

xxH

Solucin:

2.6

)3()4()(

2

2

xx

xxxg

Solucin:

2 25

+ 5=( + 5)( 5)

( + 5); 5

() = 5 , 5

= {5}

= {10}

(0) = 0 5 = 5

(5) = 5 5 = 0


3. 6

1243)(

2

23

xx

xxxxf

Solucin:

4. Para la funcin 9

2)(

2

2

x

xxg :

(a) determine el dominio de la funcin


(b) encuentra las intercepciones de la grfica de la funcin con los ejes

(c) encuentra las asntotas verticales y horizontales si existen

(d) dibuja la grfica

(e) encuentra el recorrido de la funcin

Solucin:

(a) 3,3 RD f

(b) Las intercepciones con los ejes son: 00 yxSi

La curva corta al eje y en el punto (0,0)

00209

20 2

2

2

xxx

xySi

La curva corta al eje x en el punto (0, 0)

(c) asntotas:

Por el teorema 1, la grfica tiene asntotas verticales en = 3 y = 3

Por el teorema 2, puesto que = , la grfica de la funcin tiene una asntota

horizontal de la forma m

n

b

ay , es decir en = 2.


(e) ),2(]0,( fR

5. Para la funcin 2

9)(

2

x

xxg

(a) determine el dominio de la funcin

(b) encuentra las intercepciones de la grfica de la funcin con los ejes

(c) encuentra las asntotas verticales y horizontales u oblicuas si existen

(d) dibuja la grfica

(e) encuentra el recorrido de la funcin

Solucin:

(a) 2 RR f

(b) La intercepciones con los ejes son:

2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

x

yy = (2x^2)/(x^2-9)

=22

2 9


2

90 yxSi , la curva corta al eje y en el punto (0, 9/2)

30 xySi , la curva corta al eje x en los puntos (-3, 0) y (3, 0).

(c) asntotas:

La recta = 2 es una asntota vertical

Por el teorema 2, como > , no hay asntotas horizontales.

Como n > m en una unidad, se tiene una asntota oblicua, cuya ecuacin es:

Dividiendo P(x) entre Q(x):

2

52

2

92

xx

x

x

La ecuacin de la asntota oblicua es = +

(d) la grfica queda as:

2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

x

yy = (x^2-9)/(x-2)

y = x+2 =

22

2 9 ; = + 2


(e) ),( fR

Ejercicio

Graficar las siguientes funciones:

1. 21

)(x

xxp

2. 2

86)(

2

2

xx

xxxf

3. 2

3)(

2

x

xxg

Solucin:

1. 21

)(x

xxp

Dominio = 1: xRx

Interceptos: (0, 0)

Simetra: () =

1()2=

12= (). La grfica es simtrica respecto al

origen.

Asntotas verticales: = 1 y = 1

Comportamiento asinttico: Cuando , 0)( xp

Cuando , 0)( xp

Esquema de signos: Ceros del numerador: x = 0

Ceros del denominador: x = 1 y x = 1


Con esta informacin se puede construir la grfica a mano alzada.

d) 2

86)(

2

2

xx

xxxf

Ceros del numerador: 0862 xx 0)2)(4( xx ; x = 2 y x = 4

Ceros del denominador: 022 xx 0)1)(2( xx ; x = 1 y x = 2

Dominio = 2 y 1: xxRx

Interceptos: ( 4, 0); ( 2, 0); (0, 4)

Simetra: No hay.

Asntotas verticales: = 1 y = 2

Comportamiento asinttico: Cuando , () 1

Cuando , () 1

1 0 1

() (+) () (+)

1 1


Esquema de signos:

Con estos datos se puede construir la grfica sin dificultad. La que sigue, se realiz

en Derive, salvo las asntotas e interceptos que han sido agregados para ms

claridad.

3.- () =32

+2

Ceros del numerador: = 0; ceros del denominador: = 2

Dominio = 2: xRx

Interceptos: (0, 0)

Simetra: No hay.

y = 1

x = 1

1

() (+) () (+)

4 2 2

(+)


Asntotas verticales: = 2

Comportamiento asinttico:

Efectuando la divisin la funcin resulta: 2

1263)(

xxxg

Como la parte fraccionaria tiende hacia cero cuando , la funcin = 3 6

es una asntota oblicua.

Con los datos anteriores y teniendo en cuenta que cuando la funcin se

encuentra encima de la asntota oblicua y para debajo de ella, la grfica se

puede trazar sin dificultad. La figura que sigue se obtuvo en Derive y las asntotas e

interceptos se agregaron posteriormente.

y = 3x + 6 x = 2


1 .7 Funciones Inyect ivas, Sobreyect ivas y Biyect ivas

Ahora analizaremos algunas propiedades que cumplen ciertas funciones.

Inyectividad

Consideremos las siguientes funciones:

() = 2 y () = y sus correspondientes grficos

Puedes encontrar dos elementos distintos del dominio de f a los que les

corresponda una misma imagen?

..............................................................................................................................

Puedes hacer lo mismo con la funcin g?

...............................................................................................................................

Diremos que una funcin es inyectiva, cuando dados dos elementos distintos

cualesquiera del dominio stos poseen imgenes tambin diferentes. En smbolos:

-3 -2 -1 1 2 3

x

1

2

3

4

5

y

-2 -1 1 2 3

x

-2

-1

1

2

3

y

Una funcin es inyectiva si1,2 (): 1 2 (1) (2)


En el ejemplo anterior, () = es inyectiva. Sin embargo () = 2no es

inyectiva, pues 2 y 2 son elementos distintos del dominio de f, pero sus imgenes

coinciden ya que ( 2) = (2) = 4.

Sobreyectividad

Recordemos que si f es una funcin definida de un conjunto A a otro conjunto B

(f: A B), el conjunto A era el dominio de la funcin, el conjunto B era el

codominio de la funcin y la imagen de f estaba dada por:

Im (f) = {yB: xA / f(x) = y}.

Diremos que una funcin f: A B es sobreyectiva si la imagen de la funcin f

coincide con el codominio B, es decir, si todo elemento del codominio es imagen de

la funcin.

En smbolos:

Ejemplo:

Si consideramos la funcin f: RR tal que 23)( xxf , sta es sobreyectiva,

puesto que su imagen es R y coincide con el codominio.

Por otra parte si consideramos la funcin h: RR tal que 31)( 2 xxh . Vemos

que su imagen es ,3 . Puesto que la imagen no coincide con el codominio, o

sea, ,3 R, la funcin h no es sobreyectiva.

Buscar elementos del codominio que no sean imgenes de la funcin h.

Una funcin f A B es sobreyectiva si : /() =


Si a la funcin h definida anteriormente, la redefinimos de la siguiente manera:

h: R ,3 . Es h sobreyectiva? Por qu?

Biyectividad

Diremos que una funcin f es biyectiva, si verifica simultneamente las condiciones

de infectividad y sobreyectividad.

Ejemplo 1: sea : R R, tal que () = 2 3

Es inyectiva ya que:

(1) = (2) 21 3 = 22 3 21 = 22 1 = 2

Ejemplo 2: Si : R R tal que f(x) () =21

+2con x -2

Es inyectiva?

21 1

1 + 2=22 1

2 + 2

212 + 41 2 2 = 212 1 + 42 2

1 = 2

Es Inyectiva

Ejemplo 3: La funcin : R R tal que x 2x 3 es Sobreyectiva

= ()

= 2 3

+ 3

2=

, la funcin es sobreyectiva


Ejemplo 4: Sea : R -1 R -0, tal que(x) =1

1 es Biyectiva, en efecto:

a) es Inyectiva

(1) = (2) 1

1 1=

1

1 2 1 2 = 1 1 2 = 1

2 = 1

Es inyectiva

a) es sobreyectiva :

=1

1

= 1 1

{0}

No es Sobreyectiva

De a y b no es Biyectiva.

Actividad:

Sean las siguientes funciones definidas de R en R. Identificar cules de ellas son

inyectivas, cules son sobreyectivas y cules biyectivas.

a) 2)( xf

b) 54)( xxg

c) 34)(2 xxxh

d)

1 si2

1 si1)1()(

2

xx

xxxk


Tema: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

1.- Determinar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas

a) 13 xxf

b) 26 xxf

c) xxf 74

d) 22 xxxf

e) 2 xxf

f) 212 xxf

g) 212 xxf

h) xxxf 714

i) 3xxf

j) 112 xxxxf

k) 22 2 xxxf

l) 0; aaxxf

m) 12 xxf

n) x

xf1

2

o) 6

11

xxf


p) 1

36

xxf

q) 1/; 22 xyRyxF

r) xyRyxF /; 2

s) 32 /; xyRyxF

t) xxyRyxF 22 /;

u) 27/; 2 xyRyxF

v) 0;/; 2 aaxyRyxF

w)

7

1/; 2

xyRyxF

FUNCION INVERSA

Veamos lo que sucede con las dos funciones lineales que presentamos a

continuacin: = 2 + 1 , =1

2

1

2, de las cuales vamos a construir sendas

tablas de valores para estudiar su comportamiento.

Para que una funcin = () admita una funcin inversa = 1(), es

condicin necesaria y suficiente que la misma sea INYECTIVA.


x

2

1 -

2

1 xy

-3 -2

-1 -1

1 0

3 1

5 2

7 3

Podemos observar que en ambas funciones, los pares de valores correspondientes a

las coordenadas de los puntos de las respectivas grficas, aparecen permutados.

Cuando esto ocurre se dice que ambas funciones son inversas.

Para tener una idea ms amplia del comportamiento de las funciones inversas

podemos realizar las grficas.

Podemos observar que las grficas de las dos funciones son simtricas respecto de la

funcin y=x.

x = 2 + 1

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

3 7

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

0

1

2


Procedimiento para obtener la inversa de una funcin

Sea = () una funcin cualquiera, llamaremos 1() a su inversa (si sta

existe), y para obtenerla se deben seguir los siguientes pasos:

1. De la ecuacin de la funcin, se debe despejar la variable x

2. .Se deben intercambiar las variables x e y.

Ejemplo:

Dada = () = 2 + 1, obtener la expresin de 1().

1. 2

1 -y

2

1 x 1 2x y

2. 2

1 -x

2

1 y

Luego, 1() = 2

1 -x

2

1

Para contestar la segunda pregunta analizaremos el siguiente ejemplo:

Obtener f-1

(x) si y = f(x) = 2x

1. Primero despejamos x: y x xy 2

2. intercambiamos variables: x y

Pero aqu ha surgido un inconveniente, la ecuacin obtenida no corresponde a una

funcin por qu?

Aqu podemos, entonces, introducir la siguiente condicin:


Volvamos al ejemplo de 2xy :

Si tomamos Dom: y Cod: +, veremos que

esta funcin es no inyectiva y no sobreyectiva,

sin embargo, podemos realizar algunas

restricciones en estos conjuntos, de tal manera

que la funcin = 2 resulte una

biseccin.

Si Dom: ; 0 y Cod: ; 0 ,

la grfica de la funcin = 2 queda

como se muestra a la izquierda y en estas

condiciones es una funcin biyectiva,

la cual admite inversa.

Si realizamos el procedimiento para encontrar la ecuacin de la funcin inversa,

obtendremos x y .

Las grficas de ambas funciones pueden

observarse a la izquierda, donde se resalta

la simetra respecto de la bisectriz del

primer cuadrante.

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3


FUNCION EXPONENCIAL

Se llama funcin exponencial a toda funcin de la forma () = para a > 0 y

a 1

Grfica de funciones

exponenciales

trazando puntos:

Tracemos la grfica de las

funciones exponenciales,

x

y

-4 -2 0 2

-2

0

2

4

x

y

-2 0 2 4

0

2

4

6

() = Para > 1

() = Para 0 < < 1

x

y

-2 0 2 4

-2

0

2

4


haciendo previamente una tabla

x () = 3 () = (1/3)

-3 1/27 27

-2 1/9 9

-1 1/3 3

0 1 1

1 3 1/3

2 9 1/9

3 27 1/27

En general podemos ver que todas estas grficas pasan por el punto (0,1) porque


0 = 1 Para 0

Puede analizarse que existen tres tipos de funciones exponenciales = :

Si 0 < < 1 la funcin exponencial decrece rpidamente.

Si = 1 () es constante

Si > 1, la funcin crece rpidamente, y mientras ms grande sea la base,

ms rpido ser el crecimiento.

En cualquiera de estos casos la grfica nunca toca al eje x. As, para 1 la

funcin exponencial () = tiene dominio R e imagen (0,).

Transformaciones de funciones exponenciales. Desplazamiento vertical y

horizontal

Analicemos qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma

() =

() = . k

(a) () = 2 1

(b) () = 3. 2 3

(c) () = 5. 2 5

Podemos observar que k modifica el valor de la ordenada

Analicemos ahora qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma () =

x

y

-4 -2 0 2 4

0

2

4

6

a)

b)

c)

(a) (b) (c)


x

y

-4 -2 0 2 4

0

2

4

6 a)

b)c)

() = b Corrimiento

(a) () = 2 0 No hay

(b) () = 2+1 -

1

1 hacia la

izquierda.

(c) () = 21 1 1 hacia la

derecha

Observamos cmo el valor de b marca el corrimiento sobre el eje x

Analicemos, por ltimo, qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma () = + .

() = + . c Corrimiento Asntota

horizontal

(a) () = 2 0 No hay y = 0

(b) () = 2 + 1 1 1 hacia arriba y = 1

(c) () = 2 1 -1 1 hacia abajo y = -1


Podemos entonces plantearnos, de forma general, que denominamos funcin

exponencial a toda funcin de la forma:

() = . +

Ejemplo:

Analizar la funcin () = 101 2 Determinar asntota, dominio y rango de

esta funcin

x

y

-4 -2 0 2 4

0

2

4

6

Modifica el

valor de la

ordenada al

origen

Indica el

corrimiento

sobre el eje x

Indica el

corrimiento

sobre el eje y

Es la asntota

horizontal


Utilizamos la grfica de la funcin () = 10 para comparar la funcin requerida y determinar los desplazamientos verticales y horizontales.

Podemos responder observando el grfico que la asntota horizontal es = 2, el

dominio es R y el rango es (2,).

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

Cualquier nmero positivo puede utilizarse como base para una funcin

exponencial, pero algunas bases son utilizadas ms frecuentemente que otras. As,

las bases 2 y 10 son utilizadas para ciertas aplicaciones, pero la base ms utilizada es

el nmero identificado con la letra .

La notacin e para la base de la funcin exponencial natural fue elegida por el

matemtico suizo Euler, y su valor, con cinco decimales es: = 2,71828.

Por qu utilizar una base tan extraa para la funcin exponencial? Como veremos

ciertas aplicaciones utilizan el nmero e como la mejor base posible, tal es el caso

del inters compuesto y el crecimiento demogrfico.

() = 10 () = 101 2


x

y

-4 -2 0 2 4

0

2

4

6

y=e

2

x

Puesto que 2 < < 3, la grfica de la funcin exponencial natural se encuentra

entre las grficas de = 2 = 3

FUNCION LOGARITMICA

La funcin exponencial tiene una inversa (as como la suma es la inversa de la resta)

y se la conoce como funcin logartmica.

Sea un nmero positivo con 1, la funcin logaritmo con base a se define

como:

= = (Se lee logaritmo en base a de x)

Es decir que loga es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener x

El dominio de la funcin = son todos los nmeros reales, para > 0 Es

decir que el logaritmo de los nmeros negativos no existe, como tampoco existe el

logaritmo de cero.


Decamos que las formas logaritmo y exponencial son equivalentes, por lo tanto

podemos pasar de una a otra como en los siguientes casos.

Forma logaritmo Forma exponencial

10 100000 = 5 105 = 100000

2 8 = 3 23 = 8

2 1/8 = 3 2-3

= 1/8

Grfica de la funcin logaritmo.

Tracemos la grfica de () = 2 , Comenzamos con una tabla de valores:

x y = log2x

1 0

2 1

4 2

8 3

-1

x

y

0 2 4 6

-2

0

2

4


Podemos ver que el logaritmo de un nmero que est entre cero y uno es negativo.

Que el logaritmo de uno es cero y el de un nmero mayor a 1 es positivo.

Visualicemos ahora una familia de logaritmos:

(a) 2

(b) 3

(c) 5

(d) 10

Volvamos ahora a observar la grfica de la funcin y = log x (en los logaritmos en

base 10 no hace falta indicar la base) que realizamos ms arriba. Si las reflejamos

sobre el eje x nos quedar la funcin

y = - log x

x

y

0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

x

y

0 2 4 6

-2

0

2

4

a)

b)

c)

d)


Desplazamiento de grficas de funciones logaritmo

Podemos ampliar la expresin general de los logaritmos y expresarla como

= ( ) +

El nmero b es lo que se desplaza la funcin sobre el eje x, hacia la derecha (si el

valor de b est sumando a la x, entonces se desplaza para la izquierda)

El nmero c es lo que se desplaza la funcin sobre el eje y, hacia arriba (si el valor

de c es negativo, entonces se desplaza hacia abajo)

Veamos como ejemplo cmo trasladamos la funcin = en:

= + 4 , = ( + 3)

x

y

-2 0 2 4 6

0

5

y = log x

y =log x + 4

y = log (x + 3)


FUNCION LOGARITMO NATURAL

De todas las bases a para logaritmos, la ms conveniente para los fines del clculo

es el nmero e. El logaritmo con base e se conoce como logaritmo natural y se

simboliza :

=

La funcin logaritmo natural y = ln x es la funcin inversa de la funcin exponencial

= . Por lo tanto podemos expresar:

= =

Tema: Funciones cuadrticas

1.- Realice la grfica de las siguientes funciones cuadrticas.

a) 2xy

b) 122 xxy

c) 31 2 xy

x

y

-2 0 2 4 6

-5

0

5

y=log (x)

y=ex

y=ln (x)


d) 2xy

e) 422 xy

f) 132 xy

g) 32 xy

h) 23 xy

i) 242)(2 xxxf

j) 63)(2 xxf

2.- Determine el dominio y rango de las siguientes funciones cuadrticas.

a) 2xy

b) 122 xxy

c) 31 2 xy

d) 2xy

e) 422 xy

f) 132 xy

g) 32 xy

h) 23 xy

i) 242)(2 xxxf

j) 63)(2 xxf

k) 63)(2 xxxf

l) 121)( 2 xxxf

3.- Determine el mximo o mnimo de las siguientes funciones cuadrticas y trace la

grafica


a) 2)(2 xxf

b) 24)(2 xxf

c) 12)(2 xxxf

d) 242)(2 xxxf

e) 63)(2 xxf

f) 121)( 2 xxxf

Tema: Funcione racional

1.- Indica el dominio y rango en cada una de las siguientes funciones y su grafica

35

24

3

2

2

2

2

2

4

9)()

44

2)()

8)()

145

1)()

84

58)()

4

2)()

13

1)()

9

36)()

37)()

43

5)()

23

2)()

xx

xxfk

xx

xxfj

x

xxfi

xxxfh

x

xxfg

x

xxxff

x

xxfe

x

xxfd

x

xxfc

xxfb

x

xxfa


2.- Determine el dominio, rango y asntotas de las siguientes funciones racionales.

a) x

xf1

b) 3

2

xxf

c) 2

1

1

xxf

d) 2

3

xxf

e) 2

2

xxf

f) 5

3

xxf

g) 4

12

x

xf

h) 24

2

xxf

i) 29

2

xxf

j) 9

22

x

xf

k) 1

2

xxf

l) 6

3

xxf

m) 4

x

xxf

n) 1

33

x

xf


3.- Realice la grfica de las siguientes funciones racionales, indicando intersecciones

con los ejes, simetras, dominio, rango y asntotas.

a) 3

1

xxf

b) 2

x

xxf

c) 1

1

x

xxf

d) 2

42

x

xxf

e) 2)2(

2

xxf

f) 9

32

x

xxf

g) 4

52

x

xxf

h) 4

32

x

xxf

i) 1

12

2

x

xxf

j) 6

12

xx

xxf

k) 4

92

x

xxf

FUNCIN DEFINIDA POR PARTES

Existen funciones que no pueden representarse mediante una nica expresin. Por

ejemplo si consideramos la funcin que le asigna a los nmeros negativos el 1 y a

los nmeros positivos el 1, no podemos hallar ninguna expresin para dicha funcin.

En estos casos dividimos el dominio de la funcin en partes, de tal forma que para

cada parte del dominio, s podamos encontrar una expresin que se ajuste a la

funcin dada. En el caso anterior, el dominio quedara divido en dos partes: los

nmeros negativos, para los cuales corresponde la expresin () = 1, y los

nmeros positivos, para los cuales corresponde la expresin () = 1. Escribimos:


0 si1

0 si1)(

x

xxf

Cul es el dominio de dicha funcin?

..............................................................................................................................

Y la imagen?

..............................................................................................................................

Y cul es su grfica?

..............................................................................................................................

Veamos otros ejemplos:

3 si

31 si4

1 si12

)(

xx

x

xx

xf

Cunto vale (0)? Para poder responder esta pregunta es necesario que

identifiquemos cul de las partes en las que est dividido el dominio es la que

contiene al nmero 0. Como 0 verifica la segunda condicin, es decir, 301 ,

entonces, la imagen que le corresponde es 4.

Si, en cambio, queremos hallar ( 5), entonces, puesto que 5 cumple la primer

condicin, es decir, 5 < 1, la imagen que le corresponde es 2.5 + 1 = 11.

Luego ( 5) = 11.

Cunto vale (3)? (80)? ( 1)?

..............................................................................................................................

El grfico de la funcin f est dado por:

f(x)


Actividad

Graficar las siguientes funciones, indicar dominio, imagen e intersecciones con los

ejes coordenados:

0 xsi

0 si)(

x

xxxf

3 si5

30 si4

4 si5

)( 2

x

xx

xx

xg

2 si8

20 si2

02 si2

2 si8

)(2

2

x

xx

xx

x

xh

1.8 Operaciones con Funciones y Composicin de Funciones

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se

llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la funcin definida por

( + )() = () + ()


Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos

funciones reales de variable real f y g, como la funcin

( )() = () ()

Para que esto sea posible es necesario que f y g estn definidas en un mismo

intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo.

Se llama funcin producto de f y g a la funcin definida por

(. )() = (). ()

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo,

se llama funcin cociente de f y g a la funcin definida por

(/)() = ()/()

(La funcin f/g est definida en todos los puntos en los que la funcin g no se anula.)

Producto de un nmero por una funcin

Dado un nmero real a y una funcin f, el producto del nmero por la funcin es la

funcin definida por

(. )() = . ()

Propiedades:

Para el anlisis de una funcin deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:


1. Dominio: Es el conjunto de nmeros reales tales que la funcin tenga sentido.

2. Asntotas: Son rectas a las cuales se pega el grfico de la funcin, pero no la toca.

3. Interceptos con los ejes:

Con el eje X son puntos de la forma (; 0) Con el eje Y son puntos de la forma (0; )

4. Extremos: Mximos: son puntos de la forma (x; f(x)) tale que f(x) es el mayor

valor que alcanza la funcin en un entono de x (siempre que x pertenezca al Dom.(f)

.Mnimos: (Idem).

Ejercicio: operaciones con funciones

1.- Sean las funciones () = 3 + 1, () = 2 4.

Definir la funcin + y calcular las imgenes de los nmeros 2,3 1/5.

Resolucin:

La funcin + se define como

( + )() = () + () = + 1 + 2 4 = 5 3.

( + )(2) = 5 2 3 = 7

( + )(3) = 5(3) 3 = 18

( + )(1/5) = 5 1/5 3 = 2

Obsrvese que si se calculan las imgenes de por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2

(2) = 3.2 + 1 = 7 ( + )(2) = 7 + 0 = 7

(2) = 2.2 4 = 0


2.- Dadas las funciones () = 3, () = + 3, definir la funcin ( )().

Calcular las imgenes de 1/3,2 0 mediante la funcin .

Resolucin:

( )() = () () = 3 ( + 3) = 3 3 = 6

( )(1/3) = (1/3) 1/3 6 = 56/9 ( )(2) = (2) (2) 6 = 0 ( )(0) = (0) 0 6 = 6 Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado,

y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3.- Dadas las funciones () = /2 3 () = 2. + 1, definir la funcin .

Resolucin:

(. )() = (). () = (/2 3). (2. + 1) = 11. /2 3

Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado,

y multiplicando despus, se obtienen los mismos resultados.

4.- Dadas las funciones () = 1, () = 2 + 3, definir /.

Calcular las imgenes de los nmeros 1, 2 3/2 mediante /.

Resolucin:

(/)() = ()/() = ( 1)/(2. + 3)

La funcin f/g est definida para todos los nmeros reales, salvo para x = -3/2,

donde la funcin g se anula.

(/)(1) = 0/1 = 0

(/)(2) = 3/7


(/)(3/2) = (5/2)/6 = 5/12

Calculando por separado las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g,

y despus efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5.- Dada la funcin () = + 2, calcular 3. /3.

Obtener las imgenes de los nmeros 2, 1 y 0 mediante la funcin 3 f.

Resolucin:

(3. )() = 3. () = 3. ( + 2) = 3. + 3. 6

(1/3). () = (1/3). ( + 2)

(3. )(2) = 3.2 + 3.2 6 = 12

(3. )(1) = 3.1 + 3.1 6 = 0

(3. )(0) = 3.0 + 3.0 6 = 6

6.- Resolver:( + )(); ( )(); ( )(); ( )()( )() en las

siguientes funciones

() = { + 1 , 3

22 2, < 1 , () = {

+ 1 , 723 + 1 , > 12

Para hallar la suma, resta producto y divisin de funciones se tiene que intersectar

los dominios de las funciones:

= ] , 1[ [3 , +[ = ] , 7] ]12 ,+[

Entonces: =

-1 3 7 12


= ] , 1[ [3 , 7] ]12 , +[

Suma:

] , 1[ = 22 2 + ( + 1) = 22 3 + 1

[3 , 7] = + 1 + ( + 1) = 2

]12 , +[ = + 1 + 22 + 1 = 22 + + 2

( + )() = {22 3 + 1 , ] ,1[

2 , [3 , 7]

22 + + 2 , ]12 , +[

Resta:

] , 1[ = 22 2 ( + 1) = 22 1

[3 , 7] = + 1 ( + 1) = 2

]12 , +[ = + 1 (22 + 1) = 22 +

( )() = {22 1 , ] ,1[

2 , [3 , 7]

22 + , ]12 , +[

Producto:

] , 1[ = (22 2) ( + 1) = 23 + 22

[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) = 1 2

]12 , +[ = ( + 1) (22 + 1) = 23 + 22 + + 1


( )() = {

23 + 22 , ] , 1[

1 2 , [3 , 7]

23 + 22 + + 1 , ]12 , +[

Divisin:

( )()

] , 1[ = (22 2) ( + 1) =22 2

1

[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) = + 1

1

]12 , +[ = ( + 1) (22 + 1) = + 1

22 + 1

( )() =

{

22 2

1 , ] , 1[

+ 1

1 , [3 , 7]

+ 1

22 + 1 , ]12 , +[

( )()

] , 1[ = ( + 1) (22 2) =1

22 2

[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) =1

+ 1

]12 , +[ = (22 + 1) ( + 1) =22 + 1

+ 1


( )() =

{

1

22 2 , ] , 1[

1

+ 1 , [3 , 7]

22 + 1

+ 1 , ]12 , +[

Ejercicios propuestos de algebra de funciones

1.- En los siguientes ejercicios se definen las funciones Determine las funciones resultantes xgf , xgf , xgf . , xgf

1. 1 xxf 4 xxg

2. 5 xxf 12 xxg 3.

1

1

x

xxf

xxg

1

4. xxf 12 xxg 5. 2 xxf xxxg 42 2 6. 4 xxf 42 xxg 7.

4

62)(

x

xxf xxg 25

2.- Resolver las siguientes operaciones con funciones:

( + )(); ( )(); ( )(); ( )()( )()

a)() = {2 + 1 , 12 2, < 0

, () = {3 + 1 , 823 , > 10

b)() = {2 + 1 , [3,0[ + 2, [0,4]

, () = {2 + 1 , [2,2]

4 , ]2,5]

c)() = { + 4 , < 1 3, 1 < 4

, () = {2, 4 < < 34 , 3


d)() = { + 1 , 222 2, < 1

, () = {3 + 1 , 733 , > 11

e)() = {2 1 , [0,1[

2 , [2,5[ , () = {

3 , ]1,1]2, ]1,4]

f)() = { + 3 , [4,0]3 + 2, ]0,5[

, () = {2 4 , [3,2]2 , ]2,8[

COMPOSICIN DE FUNCIONES

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva

funcin llamada la "compuesta de f y g".

Sean f: A B y g: B C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de

l.

El propsito es asignar a cada elemento de A un nico elemento de C, y el camino

natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g.

Definicin:

Sean : : dos funciones. La composicin de las funciones , denotada por ( ) es la funcin:

( )() = ( () )

Ejemplo:


( ) () = [()] = (2) = 3 (2) + 1 = 6 + 1

( ) (1) = 6 1 + 1 = 7

Dominio

( ) = { / () }

Propiedades

Asociativa:

( ) = ( )

No es conmutativa.

El elemento neutro es la funcin identidad, () = . = =

Ejemplo:

Si f y g son las funciones definidas por: () = 2

3x y () = x hallar:

a) ()() b) ()()


Solucin:

a) ( )() = ( () ) = )(xf = 2

3x

b) ( )() = ( () ) = 2

3)( xg =

2

3x

Tema: Composicin de Funciones

1.- Encuentre y , as como sus respectivos dominios.

a) x

xxg

x

xxf

3)(

2)(

b) 5)(4)( xxgxxf

c) 3)(1)(2 xxgxxxf

d) 1)()(2 xxgxxf

e) 12)()(2 xxgxxf

f) 1)(1)(4 xxgxxf

g) 1)(1)(4 xxgxxf

b) Sea2)( xxf encuentre una funcin tal que() = () =

2.- Graficar la funcin inicial y las funciones que se originan al realizar la

transformacin indicada.


a) 2)(2)()(222 xxfxxfxxf

b) 2)3()(2)3()()(222 xxfxxfxxf

c) 222 )()(2)()( xxfxxfxxf

d) 22)( yxxxf

e) 1)(1)()(333 xxfxxfxxf

f) 233 )2()()2()()( xxfxxfxxf

g) 33)( yxxxf

Tema: Operaciones con funciones y composicin de funciones

1.- Siendo() = 2 + 1 ; () =(2)

, () =

2

(1) . Calcula:

a) xgh b) xgf c) xhf d) xhg

e) xf 1 f) xg 1 g) xh 1

2.- Hallar la funcin inversa de:

a)3+x

1+2x =y b)

2-2x

5+x =y c)

2+x

1-x =y

d)1-x

1+2x =y e)

5-3x

4-x =y f)

3-2x

1-2x =y

3.- Dadas las funciones: () =32

24, () =

1

. Calcular: () ()

4.- Calcula la inversa de las funciones:


a)x-1

2+3x =y b) 3+2x =y

5.- Dadas las funciones: () = 2 2, () = 5, () =+2

22 Calcula:

a) xgh b) xgf c) xhf d) xhg

e) xf 1 f) xg 1 g) xh 1

6.- Operaciones con funciones para () = 32 + 5 + 2 , () = 2 + obtener:

a) xgf b) xgf c) xgf

d) )(

)(

xg

xf e) xgf

7.- Para1

)(

x

xxf ; y

21)( xxg , encuentre:

a) xgf b) xgf c) )(

)(

xg

xf


2.1 Limite de Una Funcin

La nocin de lmite de una funcin en un nmero (un punto de la recta real) se

presentar mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la

grfica de la funcin

1

3

x

1-x = xf

Para todo punto x 1 podemos trazar la grfica por los mtodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la grfica de f cerca de x=1,

usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1

f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ? 3,003001 3,0301 3,31

f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3


La figura 1 es la grfica de la funcin 11

3

xx

1-x = xf y cmo podemos

observar, en dicha grfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la

funcin 12 xxxg f no est definida en el nmero 1. Es de notar que sta grfica es la de la funcin menos el punto (1; 3). La funcin g se obtiene a partir de

la funcin f, factorizando el numerador y simplificando. La discusin anterior

conduce a la siguiente descripcin informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un

nmero L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el lmite f(x) cuando x tiende a a es L,

LxfLimax

Teorema 1. Lmite de una funcin lineal.

Sea bmx = xf donde m y b son dos nmeros reales cualesquiera y, entonces

bmabmxLimLxfLimaxax

Ejemplo 1.

5712734743

xLimx


Teorema 2. Lmite de una funcin constante.

Si c es una constante (un nmero real cualquiera), entonces ccLimax

Ejemplo 1.

224

x

Lim

Teorema 3. Lmite de una funcin identidad.

Sea xxf , entonces axLimax

Ejemplo 1.

22

xLimx

Teorema 4. Lmite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si LxfLimax

y MxgLimax

, entonces:

MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

Ejemplo 1.

Sean 2423

xLimx

y 933

xLimx

, entonces,

1192342342333

xLimxLimxxLimxxx

792342342333

xLimxLimxxLimxxx

Teorema 5. Lmite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si nnaxaxax

LxfLimyLxfLimLxfLim

2211 , entonces:

n

naxaxax

nxax

LLL

xfLimxfLimxfLimxfxfxfLim

21

211


Teorema 6. Lmite del producto de dos funciones.

Si LxfLimax

y MxgLimax

, entonces:

MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

Ejemplo 1.

Sean 2423

xLimx

y 933

xLimx

, entonces,

1892342342333

xLimxLimxxLimxxx

Teorema 7. Lmite del producto de n funciones.

Si nnaxaxax

LxfLimyLxfLimLxfLim

2211 , entonces:

nnaxaxax

nxax

LLLxfLimxfLimxfLimxfxfxfLim

21211

Teorema 8. Lmite de la n-sima potencia de una funcin.

Si LxfLimax

, y n es cualquier nmero entero positivo, entonces

nnax

n

axLxfLimxfLim

Ejemplo 1.

Sea, 201052

xLimx

entonces,

40020105105 222

2

2

xLimxLim

xx

Teorema 9. Lmite del cociente de dos funciones.


Si LxfLimax

y MxgLimax

, entonces:

0

MSi

M

L

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax

Ejemplo 1.

Sean 2423

xLimx

y 933

xLimx

, entonces, 2

9

42

3

42

3

3

3

3

xLim

xLim

x

xLim

x

x

x

Teorema 10. Lmite de la raz n-sima de una funcin.

Si n es un nmero entero positivo y LxfLimax

, entonces

nnax

n

axLxfLimxfLim

con la restriccin que si n es par, L> 0.

Ejemplo 1.

Sea, 41

2

364

xLim

x entonces

44 23

4

12

31066464

xLimxLim

xx

Teorema 11. Lmite del logaritmo de una funcin.

Sean: b un nmero real positivo y distinto de 1, y 0

LxfLimax

, entonces

xfLimxfLimax

bbax

loglog

Ejemplo 1.

Calcule: exLimex

2ln aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:


1ln2ln2ln2ln2ln

eeeeLimxLimexLimexLimexexexex

Sin aplicar el teorema:

1ln2ln2ln

eeeexLimex

Teorema 12. Unicidad del lmite de una funcin.

Si 1LxfLimax

y 2LxfLimax

, entonces21 LL

Este teorema asegura que si el lmite de una funcin existe ste es nico.

Procedimiento para calcular lmites

Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula

directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a

cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas

es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que

a la propiedad 6 cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo,

la propiedad 7 se aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indetermidada 0/0 es

posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la

funcin de tal modo que se pueda evitar la divisin por cero: para lograr esto

disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la

conjugada, etc.

EJERCICIOS

1.-

73x

Lim 2.-

735

xLimx

3.-

1222

xxLimx

4.-

15

54

3 x

xLimx

5.-

3

18

1 x

xLimx

6.-

32

94 2

2

3 x

xLimx

7.-

492

16832

2

4 xx

xxLimx

8.-

x

xLimx

22

0

9.-

x

xLimx

113

0

10.-

34134

325223

23

3 xxx

xxxLimx


11.-

16

84

3

2 x

xLimx

Soluciones

1. Solucin

773

x

Lim

2. Solucin:

8753735

xLimx

3. Solucin:

7122212 222

xxLimx

4. Solucin:

2

1

135

534

15

54

3

x

xLimx

5. Solucin:

2

3

4

9

31

118

3

18

3

18

11

x

xLim

x

xLim

xx

6. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada

0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente

el lmite aplicando el TL1:

632

3232

32

3232

32

94

2

3

2

3

2

2

3

xLimx

xxLim

x

xLim

xxx


7. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada

0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente

el lmite aplicando el TL7 o el TL4(III):

7

16

142

443

12

43

124

434

492

1683

442

2

4

x

xLim

xx

xxLim

xx

xxLim

xxx

8. Solucin:

No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no

obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la

guia de matemática i

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