função potência
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-
7/24/2019 Funo potncia
1/4
Funes
potncia
Objetivos de aprendizagem
Definio.
Funes monomiais e
seus
grficos.
Grficos de funes potncia.
As
funes
potncia podem des
crever as relaes
proporcionais
existentes, por
exemp
lo,
na geo
metria,
qulmica
e fsica.
Cap tu lo 9
Definio
Funes potncia formam uma importante famlia de
funes
pela sua
prpria
estru t
ur
a, alm de fazerem
parte
de outras
funes.
DEFINIO Funo potncia
Qualque r funo que pode ser escrita na forma
f(x)=kxa,
onde k
e a so constantes di
fer
entes de zero,
uma funo
potncia. A constante
a
a potncia ou o expoente) e
k a
constante de
variao
ou constante
de
proporo. Ns dizemos que f (x)
varia
como a a-sima potncia de x ou que f (x) propor
cional a-sima potncia de
x.
Em
geral.
se
y
=
f(x) varia como
uma potncia
constante de
x,
ento y
uma
fu
no
potncia
de
x.
Muitas das frmulas mais comuns de geometria e c incia so funes potncia.
Nome
Frmula Po
t
nc
ia o u
expoente Co
n
sta
nte de
var
i
ao
Comprimento da circunfernc ia C= 27Tr 27T
rea de um crculo
A 7Tr
2
2 7T
Fora
da
gravidade
F =
k/d
2
2
k
Lei de Boy le
V= k/P
- I
k
Estes
quatro
modelos de funes potnc ia envolvem relaes
que podem
se r expressas na lin-
gu
age
m
de variao e proporo:
O
comprimento
da
circunferncia varia diretamente
com
o seu raio.
A rea dentro
de
um crculo diretamente proporcional ao quadrado
do
seu raio.
A fora de gravidade agindo sobre um objeto inversamente proporcionalao quadrado da distn
cia do objeto ao centro da Terra.
A lei de Boyle afirma
que
o vo lume de um gs armazenado
e
m
uma
temperatura constante) varia
inversamente com relao presso aplicada.
As
frmulas
de fun
o
potnciacom
potncias positivas (expoentes positivos)
so exemp
los de
variao direta , e frmulas de funo potncia com potncias negativas (expoentes negativos) so
exemplos de variao inversa. A menos
que
a
palavra
inversamente esteja inc luda
em
um
exem
plo de var iao, e la assumida como direta, como
no
caso que
veremos
a segui
r.
96
Pr-clculo
EXEMPLO 1 Anlise de funes
potncia
Verifique a potncia (ou o expoente) e a constante de variao
para cada
funo, represente-a
ora
ficamente e analise-a.
a)
f(x)
=
SOLUO
I
b) g x)
x2
(a)
Comof(x)
=
Vx
=
xi
/J
=
I
xi
13
,
ento seu
ex
poente
3
e sua
co
n
sta
nte de variao
1
O grfico de f demonstrado na Figura 9.1 (a).
Domnio: conjunto de todos os nmeros reais
l,magem:
co
njunto de todos os nmeros reais
E contnua
crescente
para
todo
x
imtrica com relao origem (uma funo mpar)
Nao h
nu
tada nem superior nem inferiormente
No
tem
extremo
l
oca
l
No tem assntotas
Co
mportamento nos extremos
do
domnio: Iim =
-oo
e Iim = + oo
x- -oo
x-+
+-
Fato interessante: a fu
no
raiz
cb
i
ca
f(x)
=
a inversa da funo cb ica.
b) Com?
g x) =
l:x
2
=
x-
2
=
1
x-
2
,
ento seu expoente 2 e
sua
constante de variao I.
O grafico de g e demonstrado na Figura
9.l b
).
Domnio:
co
O[
U ]0,
+oo[
Imagem: ]0, +c o(
contnua so bre seu domnio. descontnua em x = O
~ c r e s c e n t e
sob
re]
-co, 0[.
decrescente sobre
]0,
+co[
simtrica com rel
ao
ao eixo y (uma funo par)
E limitada mfenor, mas no superiormente
No tem
extremo
local
Assntota horizontal
y
= O Assntota vertical : x = O
Comportamento nos extremos do domnio: lim (lfx2) =O e Iim
lfx2)
=o
. \ - -oo x-++-
Fato ~ e r e s s a n t ~ : g ~ x = l/x
2
a base das leis cientficas
com
inverso
de
um quadrado, como
o
pnncip
io gravitacJOnal com quadrado inverso dado por
F= k d
2
, mencionado anteriormente.
Assim,
(x)
= l/x.
2
chamada s vezes de funo do quadrado inverso, mas ncio a inversa
da funao quadrtica e s im sua inversa multiplicativa.
[-4
,7; 4,7] por 1 3.1; 3,1]
a)
[-4.7:4,7] ~ r [ - 3 , 1 ; 3.1]
(b)
Figura 9.1 Os grficos de
(a)
f(x) = x = xi/3
e (b)
g (x) - 1/.il - . --2.
-
7/24/2019 Funo potncia
2/4
CAPTULO 9
Fu n
es
p
ot
ncia
97
Funes monomiais
e seus
grficos
Uma funo polinomial de um termo uma funo potnc ia que tambm chamada de uma
f uno monomial.
DEFINIO Funo monomial
Qualquer funo que pode ser esc rita como
f(x)
=
k
ou
f
x)
=
k
x
onde k uma
co
nstante e n um inte iro positivo, uma
funo monomial.
Assim, a fun
o zero e as fun
es
constantes so fun
es
monomiais, mas a funo monomial
mais tpica uma funo potnc ia
co
m um expoente inteiro positivo, o qual o grau do monmio.
As funes bsicas
x, x 2
e
Xl
so funes monomiais tpicas. i
mp
ortante e nten
de
r os grficos
da
s
funes monomiais, porque toda f uno polinomial uma funo monomial ou uma soma de fun
es
mon
omia
is.
Vamos analisar a funo
cbica
f (x)
=
Xl x
e
IR
Domnio: conjunto de todos os nmer
os
rea is
Ima
ge
m: conjunto
de
todos os nmer
os
r
ea
is
contnua
crescente
para
todo
x
simtrica com relao origem (uma funo mpar)
No limitada nem superior nem infe rio
rm
ente
No tem extremo local
No tem ass ntot
as
nem h01izontais nem vertica is
Comportamento nos extremos do domnio: lim x3 = - oo e lim x
3
= +=
x
oo .r- oo
1- 4
,
7;
4.7]
por r 3
.1; 3.1]
Figura 9 .2
O g r
f
ico
de (x) =
x
3
.
X
MPLO 2 Representao grfica de funes mon
om
iais
Desc reva como obter o grfico de cada funo dada do g rfico de
g(x)
= (observe que o valor
do expoente mantido). Voc pode esbo
ar
o grfico e conferir com uma calculadora apropriada .
2
a) f( x ) =
b)
f(x)
=
- x
4
SOLUAO
a) Obtemos o grfico de f (x) =
2Xl
esticando verticalmente o grfico de g(x) = x
3
por meio da
mul tip licao
pe
lo fator
2.
Am
ba
s s o funes mpares. Veja a Figura 9 .3(a).
98
Prclculo
b) Obtemos o grfico
de f(x)
=
-(213)x
4
encolhendo verticalmente o grfico de
g(x)
=
x
4
por
meio da multiplicao pelo fator 2/3 e, ento, re
fl
etindo com relao ao eixo
x
(devido ao sinal
negativo). Ambas so funes pares. Veja a Figura 9.3(b).
\
\
I
I
\
,
\
I
\
,
,
,
\
',..,_
/
.
.-
/
L ,21
por ( 16, 16)
(a)
v
[- 2, 2]
por [- 16, 16]
(b)
\
Figura
9.3 Os grfico
s
de
(a)
f(x) = il com
f
uno
m
on
o
mial
b s
ica g(x)
= 3
e
(b)
f(x) =
-( 2
/3)x
4
c
om
fu n
o mo
n
omial
b
si
ca
gx
= x
4
Grficos de
funes
potncia
Os grficos na Figura 9.4 representam as quatro formas que so possveis
pa
ra funes potn
cia em geral, tais comof
(x)
=
k
x
para
x
O grfico de sempre cont
m
o ponto
1, k).
As
funes
que
apresen
ta
m expoentes positivos tambm
pass
am
pe
lo
pon
to
(0, 0).
Aquelas
com
expoentes negativos so assintticas para os dois eixos, isto , no cruzam nenhum deles.
Quando k
>
Otemos o grfico no prime iro quadrante, mas quando k < O o grfico est no
quarto quadrante.
Em geral, para qualquer funo potncia f(x) = k x , uma das trs si tuaes seguintes oco
r-
re quando x
< O
f
in
de
finida p
arax
< O
co
mo no
cas
o paraf(x) = xl
i2 ef(x)
=
x .
uma f uno par, assim
f
s imtri
ca
com relao ao eixo verti
ca
l y, como no caso para
f(x) =
x-
2
e f(x) = x
213
.
f uma funo mpar, assim
f
simtrica com relao o
ri
g
em
, como no caso
paraf(x)
=
1
e f
(x )
=
xm
y
y
2
(a)
(b)
Figura 9.4
Os grfico
s
d ef(x)
=
k x para x ;:; : O
(a )
k > O
(b
)
k < O
O prximo exemplo ilustra o
pr
ocesso em dois passos para a representao grfi
ca
da funo
potncia.
-
7/24/2019 Funo potncia
3/4
CAPTULO 9 Funes potncia
99
IKI :MIPLO 3 Representao r f i ~ f u n ~ s ~ n c i s da
onn
. . . . . -
Encontre os valores das constantes
k
e a. Descreva a parte da curva que est no primeiro ou no
quarto quadrante. Determine
se
f par, mpar ou indefinida para x < O. Descreva o restante da
curva nos demais quadrantes. Esboce o grfico para verificar a descrio.
{a) f(x) = 2x-
3
b) f(x) = -0,4x ,s (c) f(x) = - x
0
4
SOLU
O
(a) Como
k
= 2 positivo e a =
3
negativo, ento o grfico passa pelo par ordenado (1, 2) e
assinttico
em
ambos os eixos. O grfico de uma funo decrescente
no
primeiro quadrante.
A funof mpar porque
2 2
f (-x) = 2 -x
) -3
=
-x )3
= - x3 =
- 2 x
-3 = -f (x)
Assim, o grfic o simtrico
co
m rel
ao
origem. O grfico na Figura 9.5 a) nos orienta sob re
todos os aspectos des sa descrio.
{b)
Como k =
- 0,4 negati
vo
e a
=
I 5 > I, ent
o
o grfico contm o
par
ordenado (0, O) e passa
pe lo par ordenado
I;
-0 ,
4). O
grfico de uma funo decrescente no quarto quadrante. A
funof no est definida
para
x < O
porque
2 2 r
f(x)
=
-0 ,4xt,5
=
Sx312
=
-5 v x)3
e a funo raiz quadrada
no
est definida para
x
top related