7/24/2019 Funo potncia

1/4

Funes

potncia

Objetivos de aprendizagem

Definio.

Funes monomiais e

seus

grficos.

Grficos de funes potncia.

As

funes

potncia podem des

crever as relaes

proporcionais

existentes, por

exemp

lo,

na geo

metria,

qulmica

e fsica.

Cap tu lo 9

Definio

Funes potncia formam uma importante famlia de

funes

pela sua

prpria

estru t

ur

a, alm de fazerem

parte

de outras

funes.

DEFINIO Funo potncia

Qualque r funo que pode ser escrita na forma

f(x)=kxa,

onde k

e a so constantes di

fer

entes de zero,

uma funo

potncia. A constante

a

a potncia ou o expoente) e

k a

constante de

variao

ou constante

de

proporo. Ns dizemos que f (x)

varia

como a a-sima potncia de x ou que f (x) propor

cional a-sima potncia de

x.

Em

geral.

se

y

=

f(x) varia como

uma potncia

constante de

x,

ento y

uma

fu

no

potncia

de

x.

Muitas das frmulas mais comuns de geometria e c incia so funes potncia.

Nome

Frmula Po

t

nc

ia o u

expoente Co

n

sta

nte de

var

i

ao

Comprimento da circunfernc ia C= 27Tr 27T

rea de um crculo

A 7Tr

2

2 7T

Fora

da

gravidade

F =

k/d

2

2

k

Lei de Boy le

V= k/P

- I

k

Estes

quatro

modelos de funes potnc ia envolvem relaes

que podem

se r expressas na lin-

gu

age

m

de variao e proporo:

O

comprimento

da

circunferncia varia diretamente

com

o seu raio.

A rea dentro

de

um crculo diretamente proporcional ao quadrado

do

seu raio.

A fora de gravidade agindo sobre um objeto inversamente proporcionalao quadrado da distn

cia do objeto ao centro da Terra.

A lei de Boyle afirma

que

o vo lume de um gs armazenado

e

m

uma

temperatura constante) varia

inversamente com relao presso aplicada.

As

frmulas

de fun

o

potnciacom

potncias positivas (expoentes positivos)

so exemp

los de

variao direta , e frmulas de funo potncia com potncias negativas (expoentes negativos) so

exemplos de variao inversa. A menos

que

a

palavra

inversamente esteja inc luda

em

um

exem

plo de var iao, e la assumida como direta, como

no

caso que

veremos

a segui

r.

96

Pr-clculo

EXEMPLO 1 Anlise de funes

potncia

Verifique a potncia (ou o expoente) e a constante de variao

para cada

funo, represente-a

ora

ficamente e analise-a.

a)

f(x)

=

SOLUO

I

b) g x)

x2

(a)

Comof(x)

=

Vx

=

xi

/J

=

I

xi

13

,

ento seu

ex

poente

3

e sua

co

n

sta

nte de variao

1

O grfico de f demonstrado na Figura 9.1 (a).

Domnio: conjunto de todos os nmeros reais

l,magem:

co

njunto de todos os nmeros reais

E contnua

crescente

para

todo

x

imtrica com relao origem (uma funo mpar)

Nao h

nu

tada nem superior nem inferiormente

No

tem

extremo

l

oca

l

No tem assntotas

Co

mportamento nos extremos

do

domnio: Iim =

-oo

e Iim = + oo

x- -oo

x-+

+-

Fato interessante: a fu

no

raiz

cb

i

ca

f(x)

=

a inversa da funo cb ica.

b) Com?

g x) =

l:x

2

=

x-

2

=

1

x-

2

,

ento seu expoente 2 e

sua

constante de variao I.

O grafico de g e demonstrado na Figura

9.l b

).

Domnio:

co

O[

U ]0,

+oo[

Imagem: ]0, +c o(

contnua so bre seu domnio. descontnua em x = O

~ c r e s c e n t e

sob

re]

-co, 0[.

decrescente sobre

]0,

+co[

simtrica com rel

ao

ao eixo y (uma funo par)

E limitada mfenor, mas no superiormente

No tem

extremo

local

Assntota horizontal

y

= O Assntota vertical : x = O

Comportamento nos extremos do domnio: lim (lfx2) =O e Iim

lfx2)

=o

. \ - -oo x-++-

Fato ~ e r e s s a n t ~ : g ~ x = l/x

2

a base das leis cientficas

com

inverso

de

um quadrado, como

o

pnncip

io gravitacJOnal com quadrado inverso dado por

F= k d

2

, mencionado anteriormente.

Assim,

(x)

= l/x.

2

chamada s vezes de funo do quadrado inverso, mas ncio a inversa

da funao quadrtica e s im sua inversa multiplicativa.

[-4

,7; 4,7] por 1 3.1; 3,1]

a)

[-4.7:4,7] ~ r [ - 3 , 1 ; 3.1]

(b)

Figura 9.1 Os grficos de

(a)

f(x) = x = xi/3

e (b)

g (x) - 1/.il - . --2.

7/24/2019 Funo potncia

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CAPTULO 9

Fu n

es

p

ot

ncia

97

Funes monomiais

e seus

grficos

Uma funo polinomial de um termo uma funo potnc ia que tambm chamada de uma

f uno monomial.

DEFINIO Funo monomial

Qualquer funo que pode ser esc rita como

f(x)

=

k

ou

f

x)

=

k

x

onde k uma

co

nstante e n um inte iro positivo, uma

funo monomial.

Assim, a fun

o zero e as fun

es

constantes so fun

es

monomiais, mas a funo monomial

mais tpica uma funo potnc ia

co

m um expoente inteiro positivo, o qual o grau do monmio.

As funes bsicas

x, x 2

e

Xl

so funes monomiais tpicas. i

mp

ortante e nten

de

r os grficos

da

s

funes monomiais, porque toda f uno polinomial uma funo monomial ou uma soma de fun

es

mon

omia

is.

Vamos analisar a funo

cbica

f (x)

=

Xl x

e

IR

Domnio: conjunto de todos os nmer

os

rea is

Ima

ge

m: conjunto

de

todos os nmer

os

r

ea

is

contnua

crescente

para

todo

x

simtrica com relao origem (uma funo mpar)

No limitada nem superior nem infe rio

rm

ente

No tem extremo local

No tem ass ntot

as

nem h01izontais nem vertica is

Comportamento nos extremos do domnio: lim x3 = - oo e lim x

3

= +=

x

oo .r- oo

1- 4

,

7;

4.7]

por r 3

.1; 3.1]

Figura 9 .2

O g r

f

ico

de (x) =

x

3

.

X

MPLO 2 Representao grfica de funes mon

om

iais

Desc reva como obter o grfico de cada funo dada do g rfico de

g(x)

= (observe que o valor

do expoente mantido). Voc pode esbo

ar

o grfico e conferir com uma calculadora apropriada .

2

a) f( x ) =

b)

f(x)

=

- x

4

SOLUAO

a) Obtemos o grfico de f (x) =

2Xl

esticando verticalmente o grfico de g(x) = x

3

por meio da

mul tip licao

pe

lo fator

2.

Am

ba

s s o funes mpares. Veja a Figura 9 .3(a).

98

Prclculo

b) Obtemos o grfico

de f(x)

=

-(213)x

4

encolhendo verticalmente o grfico de

g(x)

=

x

4

por

meio da multiplicao pelo fator 2/3 e, ento, re

fl

etindo com relao ao eixo

x

(devido ao sinal

negativo). Ambas so funes pares. Veja a Figura 9.3(b).

\

\

I

I

\

,

\

I

\

,

,

,

\

',..,_

/

.

.-

/

L ,21

por ( 16, 16)

(a)

v

[- 2, 2]

por [- 16, 16]

(b)

\

Figura

9.3 Os grfico

s

de

(a)

f(x) = il com

f

uno

m

on

o

mial

b s

ica g(x)

= 3

e

(b)

f(x) =

-( 2

/3)x

4

c

om

fu n

o mo

n

omial

b

si

ca

gx

= x

4

Grficos de

funes

potncia

Os grficos na Figura 9.4 representam as quatro formas que so possveis

pa

ra funes potn

cia em geral, tais comof

(x)

=

k

x

para

x

O grfico de sempre cont

m

o ponto

1, k).

As

funes

que

apresen

ta

m expoentes positivos tambm

pass

am

pe

lo

pon

to

(0, 0).

Aquelas

com

expoentes negativos so assintticas para os dois eixos, isto , no cruzam nenhum deles.

Quando k

>

Otemos o grfico no prime iro quadrante, mas quando k < O o grfico est no

quarto quadrante.

Em geral, para qualquer funo potncia f(x) = k x , uma das trs si tuaes seguintes oco

r-

re quando x

< O

f

in

de

finida p

arax

< O

co

mo no

cas

o paraf(x) = xl

i2 ef(x)

=

x .

uma f uno par, assim

f

s imtri

ca

com relao ao eixo verti

ca

l y, como no caso para

f(x) =

x-

2

e f(x) = x

213

.

f uma funo mpar, assim

f

simtrica com relao o

ri

g

em

, como no caso

paraf(x)

=

1

e f

(x )

=

xm

y

y

2

(a)

(b)

Figura 9.4

Os grfico

s

d ef(x)

=

k x para x ;:; : O

(a )

k > O

(b

)

k < O

O prximo exemplo ilustra o

pr

ocesso em dois passos para a representao grfi

ca

da funo

potncia.

7/24/2019 Funo potncia

3/4

CAPTULO 9 Funes potncia

99

IKI :MIPLO 3 Representao r f i ~ f u n ~ s ~ n c i s da

onn

. . . . . -

Encontre os valores das constantes

k

e a. Descreva a parte da curva que est no primeiro ou no

quarto quadrante. Determine

se

f par, mpar ou indefinida para x < O. Descreva o restante da

curva nos demais quadrantes. Esboce o grfico para verificar a descrio.

{a) f(x) = 2x-

3

b) f(x) = -0,4x ,s (c) f(x) = - x

0

4

SOLU

O

(a) Como

k

= 2 positivo e a =

3

negativo, ento o grfico passa pelo par ordenado (1, 2) e

assinttico

em

ambos os eixos. O grfico de uma funo decrescente

no

primeiro quadrante.

A funof mpar porque

2 2

f (-x) = 2 -x

) -3

=

-x )3

= - x3 =

- 2 x

-3 = -f (x)

Assim, o grfic o simtrico

co

m rel

ao

origem. O grfico na Figura 9.5 a) nos orienta sob re

todos os aspectos des sa descrio.

{b)

Como k =

- 0,4 negati

vo

e a

=

I 5 > I, ent

o

o grfico contm o

par

ordenado (0, O) e passa

pe lo par ordenado

I;

-0 ,

4). O

grfico de uma funo decrescente no quarto quadrante. A

funof no est definida

para

x < O

porque

2 2 r

f(x)

=

-0 ,4xt,5

=

Sx312

=

-5 v x)3

e a funo raiz quadrada

no

est definida para

x