Grupo de telescópios na

Espanha leva o

nome do físico, matemático e astr

ônomo

Isaac Newton

Viveiro de tartarugas em ReservaExtrativista (Resex) do Rio Jutaí

• Matemática – Função exponencialpg. 02

• Matemática – Logaritmospg. 04

• Física – Movimentos circularespg. 06

• Física – Dinâmicapg. 08

• Português – Perscrutando o textopg. 10

Função exponencial

Revisão sobre potenciação

Potência de expoente natural

Sendo a um número real e n um número naturalmaior ou igual a 2, definimos a n-ésima(enésima) potência de a como sendo: an = a.a.a.a.a. … .a (n vezes) onde o fator a érepetido n vezes, ou seja, o produto possui nfatores.Denominamos o fator a de base e n de expoente;an é a n-ésima potência de a. Portanto, potência éum produto de n fatores iguais. A operação através da qual se obtém umapotência, é denominada potenciação. Nota: A potência 10n é igual a 1 seguido de nzeros.

Convenções:

a) Potência de expoente zero.a0 = 1

b)Potência de expoente unitário.a1 = a

c) As potências de expoente 2 e 3 recebemnomes especiais, a saber:a2 = a.a, é lido como a ao quadrado.a3 = a.a.a, é lido como a ao cubo.

Propriedades das potências

São válidas as seguintes propriedades daspotências de expoentes naturais, facilmentedemonstráveis:(1) am . an = am+n

(2) am : an = am-n

(3) (am)n = am.n

(4) am.bm = (a.b)m

(5) am:bm = (a:b)m

(6) a-n = 1/an

Nota: estas propriedades também são válidaspara expoentes reais.

Exemplo 1:

(MACK) Ache o número designado porx–2 + y––––––––– quando x = -2 e y = 1.2xy + y–1

a) –5/12 b) 5/12 c) 12/5d) –12/5 e) n.d.a.

Solução:x–2 + y (–2)–2 +1 1/4 +1 5/4 5–––––––––=–––––––––––=–––––––=––– = – –––2xy + y–1 2(–2).1 +1–1 –4 +1 –3 12Exemplo 2:

2n+4+2n+2+2n–1

(PUC) Simplifique a expressão –––––––––––––––.2n–2+2n–1

a) 82 b) 3 c) 82/3d) 3/82 e) n.d.a.

Solução:2n+4+2n+2+2n–1 2n.24 + 2n.22 + 2n.2–1

––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– =2n–2+2n–1 2n.2–2 + 2n.2–1

2n(24 + 2–2 + 2 –1) 24 + 2–2 + 2 –1

––––––––––––––––– = ––––––––––––––– =2n(2–2+ 2–1) 2–2+ 2–1

16 + 4 + 1/2 41/2 82––––––––––––––– = ––––– = ——

1/4+ 1/2 3/4 3

Revisão sobre radicais

A forma mais genérica de um radical é ,onde c = coeficiente, n = índice e A = radicando.O radical acima é lido como: c raiz n-ésima(enésima) de A.

• Se n = 2, costuma-se não representar onúmero 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.

• Se n = 3, lê-se o radical como c raiz cúbicade A.

Potência de expoente fracionário A propriedade acima decorre de: Seja x = am/n.Podemos escrever xn = (am/n)n e, daí, xn = am deonde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambosos membros:

A operação com radicais é denominadaRADICIAÇÃO e, esta operação é a inversa da POTENCIAÇÃO. Istodecorre de Exemplo 3:(UFAM)Calcular o valor da expressão 4.(0,5)4 + + 8–2/3.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solução:4.(0,5)4+ + 8-2/3=

Exemplo 4:(UTAM) Determine o valor de:

.a) 21 b) 12 c) 2d) 4 e) 6

Solução:

Função Exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelasnas quais temos a variável aparecendo emexpoente.A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com aIR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial debase a. O domínio dessa função é o conjunto IR(reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos,maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial

Temos 2 casos a considerar:• quando a>1;• quando 0<a<1.Acompanhe os exemplos seguintes:1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando oscorrespondentes valores de y, obtemos a tabelae o gráfico abaixo:

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando oscorrespondentes valores de y, obtemos a tabelae o gráfico abaixo:

2

Imagine receber uma proposta para atuarno mercado de trabalho antes mesmo daformatura, ainda durante o estágio? Essa éa situação de muitos acadêmicos daUniversidade do Estado do Amazonas,particularmente os estudantes do interior,na área de Saúde. No fim de janeiro, aUEA graduou as duas primeiras turmas dealunos do interior dos cursos deOdontologia e Enfermagem.São 17 acadêmicos de Enfermagem e 21de Odontologia, que podem voltar aosseus locais de origem depois decumprirem o Estágio em Saúde Coletiva,também chamado Internato Rural, períodoem que acadêmicos da Escola Superiorde Ciências da Saúde vão para o interiordo Estado promover atividades deassistência básica à saúde em hospitais epostos, além de palestras educativas eminstituições como APAE’s, escolas eassociações de apoio aos idosos.Durante o estágio, os acadêmicos presen-ciam situações inesperadas, peculiares àrealidade dos municípios do interior.Dessa forma, o estágio rural em saúdecoletiva constitui-se em um ato educativoque visa à complementação do ensino eda aprendizagem em que o aluno deveconhecer a realidade sócioeconômica,sanitária e cultural dos municípios quecompreendem o Estado do Amazonas.Nesse sentido, o estágio contribui para amelhora do processo de ensino-aprendi-zagem entre os acadêmicos e a comuni-dade local. Ganham todos. Os alunos,que devolvem e põem em prática osconhecimentos técnicos apreendidosdurante o curso, exercendoverdadeiramente o seu papel de cidadãos.E a comunidade, que se beneficia doconhecimento e colabora junto com osalunos na construção deste processoensino-aprendizagem. Assim, o internato rural é um caminhoviável para a execução dos projetos deensino e extensão da Universidade emprol da melhoria na saúde da populaçãodo interior do Estado, enriquecendo aexperiência de vida dos acadêmicos efuturos profissionais de saúde.Se você está interessado em prestarvestibular para a área de saúde, é essa arealidade que o aguarda. Uma realidadede conhecimento e cidadania.

Enfermagem eOdontologia formamprimeiras turmas do interior

Matemática Professor CLÍCIO

Nos dois exemplos, podemos observar que:a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a

função não tem raízes;b)O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) Os valores de y são sempre positivos

(potência de base positiva é positiva),portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:Se 0 < a < 1, então f será decrescente

Se a > 1, então f será decrescente

Exemplo 5:(UFRJ) Qual é o conjunto imagem da funçãof(x) = 2x + 1?

a) y > 1 b) y < 1c) 0 < y < 1 d) y > 0e) n.d.a.

Solução:2x > 0, para todo x realEntão 2x + 1> 0 + 1 ⇒ f(x) > 1

Equações Exponenciais

Chamamos de equações exponenciais todaequação na qual a incógnita aparece emexpoente.Para resolver equações exponenciais, devemosrealizar dois passos importantes:1.° Redução dos dois membros da equação a

potências de mesma base;2.° Aplicação da propriedade:

am = an, então m = n, para a > 0 e a ≠ 1Exemplo 6:(UNIP) Resolva a equação exponencial:23x+1=128

a) x = 2 b) x = -1 c) x = 0d) x = 3 e) .d.a.

Solução:23x+1=128 ⇒ 23x+1=27 ⇒ 3x + 1 = 7 ⇒ 3x = 6⇒ x = 2S = {2}

Exemplo 7:(UEA) Resolva a equação exponencial:

82x+3 + 63 = –––

2x

a) –1 b) –2 c) –3d) –4 e) n.d.a.

Solução:8 8

2x+3 + 63 = ––– ⇒ 2x.23 + 63 = ––– 2x 2x

Faça 2x = y8

8y + 63 = ––– ⇒ 8y2 + 63y – 8 = 0y

y = –8 ou y = 1/82x = –8(falso, já que 2x >0)2x = 1/8 ⇒ 2x = 2-3 ⇒ x = –3S = {–3}

Exemplo 8:

(UFAM) Resolva a equação 7x + 7x-1 = 8x.a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Solução:7x + 7x-1 = 8x

7x7x + –––= 8x

717x(1 + ––– )= 8x7

8/7 = (8/7)x ⇒ x = 1S = {1}

Inequação Exponencial

Chamamos de inequações exponenciais todainequação na qual a incógnita aparece emexpoente.Para resolver inequações exponenciais, devemosrealizar dois passos importantes:1.° redução dos dois membros da inequação a

potências de mesma base;2.° aplicação da propriedade:

Exemplo 9:(UEA) Resolva a inequação exponencial: (0,1)5x-1 ≤ (0,1)2x+8.

a) x ≥ 3 b) x > 3 c) x < –3d) x ≤ 3 e) n.d.a.

Solução:(0,1)5x-1 ≤ (0,1)2x+8 ⇒ 5x – 1 ≥ 2x + 8, já que0 < 0,1 < 15x – 2x ≥ 8 + 13x ≥ 9x ≥ 3Na reta real, teremos que:

Por propriedade, teríamos:S = {x ∈ IR/ x ≥ 3}Por intervalo, teríamos:S = [3;+∞[

Exemplo 10:

(UFAM) Qual é o domínio mais amplo da função:

?

a) x < 5 b) x > -5 c) x < -5d) x > 5 e) n.d.a.

Solução:

3

01. (UFC) Calcule o valor da expressão

41/2 – 2–1 + (–3)0 + (–0,1)0. (25–1)0.a) 2 b) 7 c) 2/7d) 7/2 e) n.d.a.

02. (UFAM) Simplifique a expressão:

a) 11 b) 318 c) 318/11d) 11/318 e) n.d.a.

03. (UTAM)Qual é o valor da expressão:

, quando

a = 10-3 e b =10-2?

a) 10 b) 10-9 c) 109

d) 10-1 e) n.d.a.

04. (UFPA)Calcule o conjunto verdade daequação .

a) {2} b) {3} c) {-2}d) {-3} e) n.d.a.

05. (UFPA)Resolva a equação:52x-1 – 10.5x-1 – 75 = 0, em U = IR.a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2d) x = 3 e) n.d.a.

06. (UFRS)Determine o valor real de x

para que se tenha .

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4d) x = 5 e) n.d.a.

07. (FUVEST) Determine a solução dainequação: 22x+2 – 0,75.2x+2 < 1.

a) x < 2 b) x > 2 c) x < 0d) x > 0 e) n.d.a.

08. Na função exponencial y = 2x2 – 4x

encontre os valores de x para os quais1 < y < 32.

a) –1 < x < 0 ou 4 < x < 5b) –1 < x < 0c) 4 < x < 5d) x > –1e) x < –1 ou x > 5

09. Seja A = x + y onde x e y são,respectivamente, as soluções dasequações exponenciais e9.3y+1 – 3y = 78. Calcule o valor de ª

a) 30 b) 35 c) 40d) 45 e) 50

10. (UNINORTE)Resolver a equação:

.

a) S={1,2} b) S={0,2}c) S={1,3} d) S={1,4}e) S={0,1}

DesafioMatemático

Logaritimos

O Conceito de Logaritmo

Sejam a, b ∈ IR*+ e a ≠ 1. O número x que

satisfaz a igualdade ax = b é chamado logaritmona base a de b.

O símbolo para representar a sentença “O loga-ritmo na base a de b é igual a x” é: logab = x.Portanto, logab = x ⇔ ax = b

Propriedades dos logaritmos

Sejam a, b, c ∈ IR*+e a,c ≠ 1.

• O logaritmo da unidade em qualquer base énulo, ou seja, logb1 = 0 porque b0 = 1.

• O logaritmo da base é sempre igual a 1, ouseja, logbb =1, porque b1 = b.

• logbbk = k, porque bk = bk .• blogbM = M ou seja, b elevado ao logaritmo

de M na base b é igual a M.• loga(b.c) = logab + logac • loga(b/c) = logab – logac

• cologbN = – logbN.

• Logaritmo da potência: logabn = n.logab1• logam b = —––. logabm

logab• loga b = —–––––– , com logca ≠ 0

logca

• logbN = logN / logb • logba . logab = 1

Exemplo 1:

(UFAM) Determine o valor de .a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Solução:

Exemplo 2:(UTAM) Simplificar a expressão:3

2+log3 2.

a) 12 b) 81 c) 18d) 21 e) n.d.a.

Solução:32+log32 = 32.3log

32 = 9.2 =18

Exemplo 3:(PUC) Calcule o logaritmo de 1/64 na base 0,25.Solução:

Exemplo 4:(MACK) Simplifique a expressão: log25. log57. log78.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solução:

Exemplo 5:(UFRR)Calcule o valor da expressão:log tg1° + log tg2° + log tg3° + .....+ log tg89°.

a) –1 b) 1 c) 2d) 0 e) 3

Solução:log tg1°+log tg2°+log tg3°+....+ log tg89° = = log(tg1°. tg2°. tg3°............... tg89°) =

= ,

observe que:sen 1° = cos 89°, sen 2° = cos 88°, .................Então, teremos que a expressão se reduz a log1 = 0Exemplo 6:(USP) Calcule o valor da expressão .

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

Solução:

Função Logaritmica

Considere a função y = ax , denominada funçãoexponencial, onde a base a é um númeropositivo e diferente de 1, definida para todo x real.Observe que nestas condições, ax é um númeropositivo, para todo x ∈ IR, onde IR é o conjuntodos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positi-vos por R+* , poderemos escrever a funçãoexponencial como segue:f: R → R*

+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1Esta é bijetora, pois:a) é injetora, ou seja: elementos distintos

possuem imagens distintas.b)É sobrejetora, pois o conjunto imagem

coincide com o seu contradomínio.Assim sendo, a função exponencial é BIJETORAe, portanto, é uma função inversível, OU SEJA,admite uma função inversa.Vamos determinar a da função y=ax, onde0<a ≠ 1.Permutando x por y, vem:x = ay → y = logaxPortanto, a função logarítmica é então:f: R*

+→ R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.Mostramos a seguir, os gráficos das funçõesexponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax),para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que,sendo as funções, inversas, os seus gráficossão curvas simétricas em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes, ou seja,simétricos em relação à reta y = x.

4

DesafioMatemático01. (UFAM)Se , então x vale:

a) 6b) 2c) 3d) 5e) 1

02. (FATEC)O domínio da função

é:

a) x < -2b) x > 0c) –2 < x < 0 ou x > 2d) –2 < x < 0 ou x > 1e) x > 2

03. Sendo x e y reais, tais que

e , então x + y

é igual a:

a) 0b) –1c) –2d) 1 ou –4e) –6 ou –2

04. (UEA)Se logax = n e logay = 6n,

então é igual a:

a) 8n/3b) 4n/3c) 2n/3d) 3ne) n/3

05. (UNIP)O conjunto verdade da equação2logx = log4 + log(x + 3) é:

a) {-2,6} b) {-2} c) {2,-6}d) ∅ e) {6}

06. (UFPE)Se log5 = 3n, log3 = m e

1002x = , então x vale:

a) m + n b) 3m + n/4 c) 3n + m/4d) 3n + m e) m + n/4

07. O valor de logx8, sendo x a solução daequação

é:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08. Se log3a = x, então log9a2 é igual a:

a) x b) 2x c) x + 2d) x2 e) 2x2

Matemática Professor CLÍCIO

Da simples observação dos gráficos acima,podemos concluir que:• Para a > 1, as funções exponencial e

logarítmica são CRESCENTES;• Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.• O domínio da função y = logax é o conjunto

R*+ .• O conjunto imagem da função y = logax é o

conjunto R dos números reais.• O domínio da função y = ax é o conjunto R

dos números reais.• O conjunto imagem da função y = ax é o

conjunto R*+.

Exemplo 7:

(UEA) Qual é o domínio mais amplo da função: f(x) = log(1 – x2)?

a) x < -1 b) x > 1 c) –1 < x < 1d) x > 0 e) x < 0

Solução:f(x) = log(1 – x2) 1 – x2 > 0 1 – x2 = 0, então x = ± 1

Logo –1 < x < 1 é a solução.

Exemplo 8:

(UFAM) Determine a condição de existência dafunção f(x) = log(1-x) (2x).

a) x < -1 b) x > -1 c) –1 < x < 0d) 0 < x < 1 e) x > 0

Solução:f(x) = log(1-x)(2x)

Exemplo 9:(FEI) No campo real, para que valores de x temsentido a expressão y = log(x2 +x –12)?

a) x < 4 b) x < -4 ou x > 0c) x < -4 ou x > 3 d) x > 3e) x < -3

Solução:y = log(x2 +x –12) ⇒ x2 +x –12 > 0x2 +x –12 = 0 ⇒ x = -4 ou x = 3

x < -4 ou x > 3

Equações Logarítmicas

Chamamos de equações logarítmicas todaequação que envolve logaritmos com aincógnita aparecendo no logaritmando, na baseou em ambos.Para resolver equações logarítmicas, devemosrealizar dois passos importantes:1. redução dos dois membros da equação a

logaritmos de mesma base;2. aplicação da propriedade:

logax = logay ⇒ x = y, satisfeitas ascondições de existência.

Exemplo 10:(UNIP) Determinar o conjunto solução daequação: logx (3x2 – x) – 2 = 0.

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 2/3 e) 3

Solução:Vamos a condição de existência dos elementosdessa equação logaritmica.

logx (3x2 – x) – 2 = 0logx (3x2 – x) = 2 ⇒ 3x2

– x =x2

2x2– x = 0 ⇒ x = 1/2 (V) ou x = 0 (F)

Logo x = 1/2 é a solução dessa equação.

Exemplo 11:

(UEA) Dê o conjunto solução da equação:.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) n.d.a.

Solução:

Exemplo 12:(PUC) Resolva a equação log(x–4) (–4x + 13) = 2

a) x = 5 b) x = 6 c) x = 7d) x = 8 e) S = ∅

Solução:

Exemplo 13:(USP) Resolver a equação log5(log3x) = 1.

a) 27 b) 64 c) 81d) 243 e) 256

Solução:Observe a condição de existência,

log5(log3x) = 1 ⇒ log3x = 5 ⇒ x = 35 = 243(V)

Inequações Logaritmicas

Chamamos de inequações logarítmicas todainequação que envolve logaritmos com aincógnita aparecendo no logaritmando, na baseou em ambos.Para resolver inequações logarítmicas, devemosrealizar dois passos importantes:1. redução dos dois membros da inequação a

logaritmos de mesma base;2. aplicação da propriedade:

Se a > 1, então logam > logan ⇒ m>n>0Se 0<a<1, então logam > logan ⇒ 0<m<n

Exemplo 14:

(UFAM) Resolver a inequação logaritmica: log3(5x – 1) > log34.

a) x < -1 b) x > 1 c) x > -1 d) x > 0 e) x < 1

Solução:log3(5x – 1) > log34(1) 5x – 1 > 0 ⇒ 5x > 1 ⇒ x > 1/5(2) 5x – 1 > 4 ⇒ 5x > 5 ⇒ x > 1Logo x > 1

Exemplo 15:

(UTAM) Determine o conjunto solução dainequação: log12(x -1) + log12(x -2) ≤ 1.

a) x > 2 b) x < 5 c) x ≤ -5d) 2 ≤ x ≤ 5 e) 2 < x ≤ 5

Solução:

(1)

(2) log12[(x – 1).(x – 2)] ≤ 1x2 –3x + 2 ≤ 12x2 –3x - 10 ≤ 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 5

Portanto, 2 < x ≤ 5

5

DesafioMatemático

01. (UFBA)A equação xlogx = 10000admite duas raízes:

a) iguaisb) opostas entre sic) inteirasd) cujo produto é igual a 1e) cuja soma é 101

02. (UFAM) Se log3x + log9x = 1, entãoo valor de x é:

a)

b)c) 9d) 3e) n.d.a.

03. (FGV)Daqui a t anos o valor de umautomóvel será V = 2000.(0,75)t

dólares. A partir de hoje, daqui aquantos anos ele valerá a metade doque vale hoje?

a) 3 anosb) 2,5 anosc) 2 anosd) 4,5 anose) 6 anos

04. (MACK)O domínio da função

é:

a) 0 < x < 2b) 0 < x ≤ 2c) x < 0d) x > 2e) n.d.a.

05. (FGV) Se log23 = a, calcule oconjunto solução da equação 2x +27.2-x = 12.

a) {a,2a} b) {a} c) {3a,2a}d) {-a,2a} e) {a,3a}

06. (UFMG)Determine os valores inteirosde x e y, tais que

a) (2,64) b) (1,4) c) (2,32)d) (2,128) e) (4,64)

07. (UFPA)Resolva a equaçãolog2 (x+3) + co log2 (x–1) = 1.

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4d) x = 5 e) x = 6

08. (USP)Determine o conjunto soluçãoda inequação

a) x > -2 b) x < 4 c) x > 4d) x < 3 e) 1 < x < 3

Movimentos circulares

Na Cinemática Escalar, estudamos a descriçãode um movimento em trajetória conhecida,utilizando as grandezas escalares. Agora,veremos como obter e correlacionar asgrandezas vetoriais descritivas de ummovimento, mesmo que não sejam conhecidaspreviamente as trajetórias.

Deslocamento Vetorial

Na Figura 1, →rA e

→rB são vetores-posição com

origem em O. Se um móvel realizar ummovimento de A para B, terá realizado umdeslocamento Δ→

r , com origem no ponto A eextremidade no B, dado pela diferença entre ovetor-posição no fim do deslocamento e o vetor-posição no início:ΔΔ→→

r = →→rB –

→→rA

Velocidade Vetorial Média

Numa trajetória qualquer (retilínea ou curvilínea),a velocidade vetorial média é definida pela razãoentre o vetor deslocamento e o correspondenteintervalo de tempo:

(o vetor velocidade média tem a mesma direçãoe o mesmo sentido do vetor deslocamento).

Aplicação 1

Num certo instante, um homem observa o filhodele deslocar-se de bicicleta da posição A, a 6mdo ponto O em que está posicionado. Depois de5s, a criança está na posição B, a 8m do mesmoreferencial, conforme ilustra a figura. Determine omódulo da velocidade vetorial média do movi-mento do menino.

Solução:Módulo do deslocamento vetorial:

Módulo da velocidade vetorial média:

Velocidade Vetorial Instantânea

A direção, o sentido e a "rapidez" (módulo) domovimento, em cada ponto da trajetória, são oselementos que o vetor velocidade instantânearepresenta.

1. Em um movimento retilíneo:A velocidade vetorial, em dado instante, tem osentido do movimento e a direção da reta emque ele ocorre:

2. Em um movimento curvilíneo:A velocidade vetorial instantânea tem direção

tangente à curva, no ponto considerado, esentido indicado pela orientação do vetor:

Atenção: uma grandeza vetorial só é constantese forem constantes sua direção, seu sentido esua intensidade. Assim, o único movimentoque tem velocidade vetorial constante é omovimento retilíneo uniforme.

Aceleração Vetorial Instantânea

É a aceleração vetorial de um móvel em cadaponto de sua trajetória.Vamos decompor o vetor aceleração instan-tânea, tomando como base a direção do vetorvelocidade:

1. Aceleração tangencial (→at) – Compõe a

aceleração vetorial na direção do vetor veloci-dade (

→v ) e indica a variação do módulo deste.

Possui módulo igual ao da aceleração escalar:ΔΔvat = a = ––– ΔΔt

Importante:1. Em movimentos acelerados,

→at e

→v têm o

mesmo sentido, como na Figura, acima.2. Em movimentos retardados,

→at e

→v têm

sentidos contrários.3. Em movimentos uniformes,

→at é nula, já que

o módulo de→v não varia nesses movimentos.

2. Aceleração centrípeta ou normal (→ac) –

Componente da aceleração vetorial na direçãodo raio de curvatura (R); indica a variação dadireção do vetor velocidade (

→v ); tem sentido

apontando para o centro da trajetória (por isso,centrípeta) e módulo dado por:

v2

ac = ––––R

Importante: nos movimentos retilíneos, →ac é nula

porque o móvel não muda de direção nessesmovimentos.

3. Aceleração vetorial resultante – A obtençãoda intensidade da aceleração resultante pode serfeita aplicando-se o Teorema de Pitágoras notriângulo retângulo em destaque na figura acima:a2 = a2

t+ a2c

Aplicação 2

Um corpo descreve uma trajetória circular dediâmetro 20cm, com velocidade escalar de5m/s, constante. Nessas condições, calcule aaceleração à qual fica submetido o corpo.

Solução:Como D = 20cm, o raio R = 10cm = 0,1m;v = 5m/s.O módulo da velocidade não muda (v constante),então: at = 0. A aceleração do corpo é:a2 = a2

t + a2c ∴ a2 = a2

t ∴ a = acv2 52

a =–––– = ––––– = 250m/s2

R 0,1

MOVIMENTOS CIRCULARES

Deslocamento escalar – O perímetro de umacircunferência corresponde à medida do arcorelativo a uma circunferência completa (uma volta):S = 2πR (Unidade no SI: metro – m).A correspondente medida em radianos vale:

S 2ππ Rθθ = ––– = ––––– = 2ππ radR R

Assim, quando um corpo se desloca sobre umacircunferência, podemos fornecer a sua posiçãomencionando o ângulo central correspondente.

6

FísicaProfessor CARLOS Jennings

MOVIMENTOS CIRCULARES

Representação de uma partícula em MCU. Osintervalos de tempo entre duas posiçõesconsecutivas são sempre iguais.

Um satélite em órbita circular em torno daTerra realiza um movimento que, além decircular, é uniforme. Em telecomunicaçõesdestacam-se os satélites denominadosgeoestacionários. Esses satélitesdescrevem uma circunferência com cercade 42 000km de raio, no mesmo plano doequador terrestre, e se mantémpermanentemente sobre um mesmo localda Terra, completando, portanto, uma voltaa cada 24 horas.

A Lua completa uma volta ao redor daTerra em aproximadamente 27 dias(período de translação). Nesse mesmointervalo de tempo, ela também completauma rotação em torno de seu eixo(período de rotação). Em virtude dessaigualdade de períodos de translação erotação da Lua, ela nos mostra sempre amesma face. A outra face (face oculta) sóficou conhecida com o advento da eraespacial.

AnotaAí!

Deslocamento angular – A medida algébricado ângulo que define a posição do corpo, emrelação à origem, é chamada de fase (θ).A variação sofrida pela fase (Δθ ), num dadointervalo de tempo, recebe o nome dedeslocamento angular: ΔΔθθ = θθ – θθo (unidadeno SI: radiano – rad).Relação entre os deslocamentos escalar eangular – É uma constante de valor igual aoraio da circunferência:ΔS ΔS ––– = R ⇒ Δθ = –––Δθ RVelocidade escalar linear e velocidadeangular – Do mesmo modo como definimos avelocidade escalar média (vm= ΔS/Δt), podemosdefinir a velocidade angular média:

Δθωm= ––– (unidade no SI: rad/s).

ΔtRelação entre velocidade escalar média eangular média – Opera-se por meio do raio:

vmωm = ––– ∴ vm = ωm RR

Relação entre aceleração centrípeta evelocidade angular:

v2 (ω R)2

ac = ––– = –––––– ⇒ ac = ω2R R R

Aceleração escalar linear e aceleração angular– Do mesmo modo como definimos a aceleraçãoescalar média (am = Δv/Δt), podemos definir aaceleração angular média:

Δωγm = ––––

ΔtRelação entre aceleração escalar média eangular média – Opera-se por meio do raio:

amγm = –––– ⇒ am = γm RR

MOVIMENTOS PERIÓDICOS

Aqueles que se repetem identicamente emintervalos de tempo iguais.

Grandezas características:

1. Freqüência (f) – Representa o número devoltas (n) que o móvel efetua por unidade detempo:

nf = ––– (unidade no SI: rotações por segundo

Δt (rps), que recebe o nome de hertz – Hz).

2. Período (T) – Representa o intervalo detempo correspondente a uma volta completa:

ΔtT = –––– (unidade no SI: segundo – s).

n

Relação entre T e f – O período é o inverso dafreqüência:

f = 1/T ou T = 1/f

Relação entre ω, T e f :Δθ 2π

ω = –––– ∴ ω = –––– ∴ ω = 2πfΔt T

Aplicação 3

Um móvel percorre uma trajetória circular de 4mde raio, dando 4 voltas em 8s. Quais asvelocidades tangencial e angular do móvel?

Solução:Comecemos pelo período:4 voltas → 8s1 volta → TEntão: T =2sAgora, a velocidade tangencial:

2π R 2. 3,14 .4v = ––––– = ––––––––– = 12,56m/s

T 2Finalmente, a velocidade angular:

2π 2. 3,14 ω = –––– = –––––––– = 3,14rad/s

T 2

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Características:• Trajetória: circunferência.• Movimento periódico.• Velocidade vetorial: constante em módulo e

variável em direção e sentido.• Aceleração tangencial: nula.• Aceleração centrípeta: constante em módulo

e variável em direção e sentido.• Freqüência e período: constantes.

Funções horárias escalar e angular (de fase):

Aplicação 4

(FGV) A função horária do espaço, para umMCU de raio 2m, é S = 5 + 4t (SI). Determine:

a) A função horária de fase.Solução:R = 2m; S = 5 + 4t

S 5 + 4t θ = ––– = ––––––– ∴ θ = 2,5 + 2tR 2

b)As velocidades escalar e angular domovimento.

Solução:Das funções horárias do espaço e da fase,respectivamente, retiramos:v = 4m/s e ω = 2rad/s

c)As acelerações tangencial e centrípetapara esse movimento.

Solução:at = 0 (MCU);

v2 42

ac = ––– = –––– = 8m/s2

R 2MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTEVARIADO (MCUV)Características:• Trajetória: circunferência.• Velocidade vetorial: variável em módulo,

direção e sentido.• Aceleração tangencial: constante em módulo,

variável em direção e sentido.• Aceleração centrípeta: variável em módulo,

direção e sentido.Expressões do MCUV:Funções horárias

Aplicação 5

Uma partícula em MCUV tem sua velocidadeangular alterada de 2π rad/s para 10π rad/s,durante 20s. Calcule o número de voltas que apartícula efetua nesse intervalo de tempo.

Solução:

ωo = 2π rad/s; ω = 10π rad/sω = ωo + γ t 10π = 2π + γ .20 ⇒ 10π – 2π = γ . 20

2πγ = –––– rad/s2

5O deslocamento angular:ω2 = ω2

o+ 2 γ Δθ2π

100π2 = 4π2 + 2. ––– . Δθ ⇒ Δθ =120πrad5

O número de voltas:1 volta → 2π radn voltas → 120π radn = 60

7

01. Considere a Terra perfeitamenteesférica e suponha um aro nelaajustado, na linha do equador (quemede aproximadamente 40 000km).

Se o comprimento desse aro foraumentado de 1m, surgirá uma folga xentre ele e a Terra, como está indicadona figura. Dentre as alternativas,assinale aquela que traz o maior animalcapaz de passar por essa folga:a) Pulga. b) Aranha. c) Rato.d) Gato. e) Elefante.

02. (FEI–SP) Uma partícula descreve umacircunferência com movimentouniforme. Pode-se concluir que:a) Sua velocidade vetorial é constante.b) Sua aceleração tangencial é não-nula.c) Sua aceleração centrípeta tem módulo

constante.d) Sua aceleração vetorial resultante é nula.e) Suas acelerações tangencial e resultante

são iguais em módulo.

Arapuca

Encontre uma expressão da velocidade escalarlinear v de um ponto da superfície da Terra,referida apenas ao movimento de rotação, emfunção da latitude L. A Terra, suposta esférica,tem raio R e seu período de rotação é T.Solução:

Um ponto P qualquer, de latitude L, da superfícieterrestre descreve uma circunferência de raio rem relação ao eixo da Terra, com velocidadeangular dada por:

2πω = –––– (I)T

Do triângulo destacado, temos:r

cosL = –––– ⇒ r = RcosL (II)R

A velocidade escalar linear é dada por:v =ω r (III) Substituindo (I) e (II) em (III), obtemos:

2πRcosLv = ––––––––––

T

DesafioFísico

Dinâmica

Nesta aula, aprenderemos a analisar as causasdos movimentos, pela aplicação das chamadasLeis de Newton, e resolver problemas a partir doconceito físico de força.

Conceitos básicos

Força• Resultado da interação entre corpos.• Unidade de força (SI): Newton (N)

Efeitos de uma força:

• Alterar o movimento ou o repouso.• Produzir equilíbrio.• Deformar um corpo.• Anular outra força.

Interações a distância

1. Forças de campo• Interação sem contato.• Meio transmissor: campo.• Forças de campo: gravitacional, magnética e

elétrica.

Força peso

Nas proximidades de um planeta (satélite ouestrela), o peso é a força com que esse planeta(satélite ou estrela) atrai um corpo.Cuidado! No dia-a-dia, as pessoas costumamconfundir massa com peso. São comuns frasesdo tipo: “O meu peso é 70 quilogramas”. Masquilograma é unidade de massa (conforme jávimos na apostila anterior) e não de peso. Opeso é uma força (P = mg) e, assim, deve serexpresso em unidades de força.

Arapuca

Ao nível do mar, a aceleração da gravidade é:gP = 9,83m/s2 no pólo Norte, e gE = 9,78m/s2

no equador. Na Lua, a aceleração da gravidadeé, aproximadamente, gL = 1,6m/s2. Calcule opeso de um corpo de massa m = 100kg emcada um desses lugares.

Solução:No pólo Norte: PP = m . gP = 100 . 9,83 = 983NNo Equador: PE = m . gE = 100 . 9,78 = 978NNa Lua: PL = m . gL = 100 . 1,6 = 160NObserve que, ao ir de um lugar para outro, amassa do corpo não mudou; o que mudou foi oseu peso, ou seja, a força de atração exercidasobre ele (no caso, pela Terra e pela Lua).

Interações de contato

Forças de contato• Resultado da compressão entre sólidos.• Dificuldade à interpenetração.

Componentes da força de contato

1. Força Normal• Aplicada pela superfície.• Age sempre no sentido de empurrar.

2. Força de Atrito

• Atrito estático: corpos em contato comtendência ao deslizamento.

• Atrito dinâmico: ocorre no deslizamentodepois que se supera o valor máximo doatrito estático.

A intensidade da força de atrito é proporcional à

da força normal (N) trocada entre os corpos emcontato: Fat = μμ .N

Caiu no vestibular

(FGV) Tendo um objeto sobre umplano horizontal rugoso, para pô-lo emmovimento é necessário aplicar umaforça:

a) qualquer;b) igual ao peso;c) menor que para mantê-lo em movimento

uniforme;d) a mesma para mantê-lo em movimento

uniforme;e) maior do que para mantê-lo em movi-

mento uniforme.

Solução:Para que o corpo entre em movimento, énecessário aplicar uma força maior que a forçade atrito estático. Sabemos que a força de atritoestático é maior que a força de atrito cinemático.Letra “e”.

Força resultante

É a soma vetorial de todas as forças atuantesem um corpo. A força resultante sozinha produzo mesmo efeito dinâmico que todas as forçasassociadas produzem sobre o corpo.

Veja um exemplo simples:Um corpo de massa 5kg é solicitado somentepelas duas forças da figura. Representegraficamente a resultante e encontre a suaintensidade.

Solução:

A intensidade da resultante é dada pela somavetorial das duas forças que atuam no corpo.R2 = 32 + 42 ⇒ R = ⇒ R = 5N

LEIS DE NEWTON

LEIS DO MOVIMENTO MECÂNICA CLÁSSICA

Primeira Lei de NewtonPrincípio da Inércia Sob condição de força resultante nula, umcorpo tende a permanecer, por inércia, emrepouso ou em MRU.

Equilíbrio

As situações previstas na 1.a Lei (repouso eMRU), constituem situações em que a resultantedas forças que atuam no corpo é nula:• Repouso: equilíbrio estático.• MRU: equilíbrio dinâmico.

8

UNIDADES DE FORÇA

No SI, a unidade de intensidade de força é oNewton, cujo símbolo é N. Considerando a2.a Lei de Newton, temos:F = m . a1N = 1kg . 1m/s

2⇒ N = m . kg . s

-2

O SISTEMA CGS

O sistema de unidades mais usado é o SI.Mas algumas áreas da Física, por razõespráticas, usam o sistema CGS (iniciais dasunidades básicas desse sistema: centímetro,grama e segundo).

No sistema CGS, a unidade de intensidadede força é dina, cujo símbolo é dyn. Arelação entre as unidades de força do SI edo sistema CGS é:1N = 105dyn

O QUILOGRAMA-FORÇA

O quilograma-força (cujo símbolo é kgf) éuma antiga unidade de força que nãopertence ao SI, mas que ainda hoje é usada.O kgf é definido como a intensidade deforça igual à intensidade do peso de umcorpo cuja massa é 1kg, num local em quea aceleração da gravidade tem seu valornormal (9,80665m/s2). Observe:P = m . g1kgf = 1kg . 9,80665m/s2

1kgf = 9,80665N

Desafio físico

01. Um bloco de 30kg está em repousosobre uma superfície horizontal. Oscoeficientes de atrito estático e dinâmicoentre o bloco e a superfície valem,respectivamente, 0,30 e 0,25 (g =10m/s2). Uma corda é amarrada aobloco numa direção paralela à superfíciehorizontal. Nessas condições,determine:

a) a intensidade da tração na corda quedeixa o bloco na iminência demovimento;

b) a aceleração do bloco, se a tração nacorda é 150N.

FísicaProfessor CARLOS JenningsAnota

Aí!

Aplicação 1

Um avião está em vôo ascendente, em trajetóriaretilínea x, inclinada de θθ em relação ao solo,admitido plano e horizontal, sob a ação dequatro forças:→P : força da gravidade.→S : força de sustentação do ar.→F : força propulsora.→R: : força de resistência do ar.

Supondo que o movimento do avião sejauniforme, analise as proposições a seguir,apontando as falsas e as verdadeiras.I) O avião está em equilíbrio dinâmico.II)

→P+

→S+

→F+

→R =

→0

III) | →F|=

→R: | + |

→P|sen θ

IV) | →S| = |

→P|

V) O avião está em movimento, por inércia.Solução:I) Correta. Se o avião realiza movimento retilíneouniforme, ele está, como vimos, em equilíbriodinâmico.II) Correta. A resultante das forças atuantes noavião deve ser nula (condição de equilíbrio):→P+

→S+

→F+

→R =

→0

III) Correta. Na direção x, a resultante das forçasdeve ser nula. Logo:|

→F|= |

→R| + |

→P|sen θ

IV) Errada. Na direção y, a resultante das forçastambém deve ser nula. Então:|

→S| = |

→P| cos θ

V) Correta.

Segunda Lei de Newton

Princípio Fundamental da DinâmicaForça e variação de velocidade são diretamenteproporcionais: F = ma. • Maior força aplicada, maior aceleração.• Maior massa, menor aceleração.

Caiu no vestibular01. (FGV) Um corpo com massa igual a

10kg, sujeito a uma força de 30N,partindo do repouso, terá quevelocidade após 6m de percurso?

Solução:A 2.a Lei de Newton permite encontrar aaceleração do automóvel:F = m . a30 = 10.a → a = 3m/s2

Como o tempo do movimento não foi fornecido,utilizemos a equação de Torricelli:v2 = v2

o+ 2aΔSv2 = 0 + 2.3.6 ⇒ v = 6m/s

02. (ITA) Um corpo é lançado comvelocidade de 20m/s sobre um planohorizontal rugoso. Qual é o espaçopercorrido pelo corpo até parar?(Dados: μ = 0,5 e g = 10m/s2).

Solução:→Fat =

→R

μ .N = m.aComo N = P, temos:

μ .P = m.aFazendo P = mg:μ .mg = m.aa = μ .gSubstituindo esse resultado na equação deTorricelli:v2 = v2

o + 2aΔS02 = 202 – 2. μ .g.ΔS0 = 400 – 2. 0,5 .10.ΔSΔS = 40mPortanto, o móvel percorre 10m até parar.

Terceira Lei de Newton

Princípio da Ação-ReaçãoSe um corpo A exerce uma força sobre umcorpo B, o corpo B reage em A com uma forçade mesma intensidade, mesma direção, mas desentido contrário.

→FAB = –

→FBA

Forças de ação-reação:• São coexistentes.• São simultâneas.• Podem apresentar efeitos diferentes.• Não se anulam.

Aplicação 2

Um rebocador arrasta duas pequenas balsasidênticas, de 3,2t de massa cada, imprimindo-lhes uma aceleração de módulo 0,10m/s2, aolongo de uma linha reta. A força de tração nocabo que o une à primeira balsa temintensidade de 800N.

A força de resistência aplicada pela água emcada balsa, tem intensidade f e a força detração no cabo que une as duas balsas temintensidade T. Calcule f e T.

Solução:m = 3,2t = 3,2 . 103kg2.a Lei de Newton para o conjunto das duasbalsas:T1 – 2f = (m + m).a ⇒ T1 – 2f = 2ma800 – 2f = 2 . 3,2 . 103. 0,10 ⇒ f = 80N2.a Lei de Newton para a balsa de trás:T2 – f = ma ⇒ T2 – 80 = 3,2 . 103 . 0,10 T2 = 400N

Aplicação 3Qual a força mínima, expressa em N, paraacelerar um corpo de massa 1,0kg, Segundo avertical, para cima, com aceleração de 1m/s2?(g = 10m/s2)

Solução:

A resultante das forças que agem no corpo é:R = F – PAplicando a 2.a Lei de Newton:m.a = F – m.g ⇒ F = m(a+g) F = 1(1+10) ⇒ F =11N

9

01. (UEA – Aprovar) Considere uma caixade massa m em repouso em relação àsuperfície da Terra, consideradahorizontal. Assinale certo ou errado:

I. O peso da caixa é a força de intera-ção entre ela e a superfície.

II. Se a caixa estivesse no ar, ela nãoaplicaria força na superfície, mas,ainda assim, estaria interagindo coma Terra.

III. A força normal é uma interação decontato e a força peso é umainteração de campo.

02. Dois blocos (A, de 3,0kg, e B, de7,0kg) ligados por um fio, inicialmenteem repouso sobre um plano horizontal,são puxados para a direita pela força

→F

de intensidade 50N.

Sendo o coeficiente de atrito entre osblocos e a superfície horizontal igual a0,20, determine:

a) a aceleração adquirida pelos blocos; b) a intensidade da força de tração no

fio que une os blocos.

03. Com base na Primeira Lei de Newton,julgue as afirmações seguintes:

I. Um corpo em repouso permaneceem repouso se, e somente se, aresultante das forças que agemsobre ele é nula.

II. Um corpo em movimento retilíneo euniforme permanece em movimentoretilíneo e uniforme se, e somentese, a resultante das forças que agemsobre ele é nula.

III.Sob resultante nula, dizemos que asforças que agem no corpo estãoequilibradas.

IV. Um corpo em repouso encontra-seem equilíbrio estático.

V. Um corpo em movimento encontra-se em equilíbrio dinâmico. (V)

VI.Para um corpo estar em equilíbrionão pode haver forças agindo sobreele. (F)

04. Um bloco de massa 50kg encontra-seem repouso sobre uma superfíciehorizontal perfeitamente lisa. Aplica-seao bloco uma força paralela à superfíciee para a direita, de módulo 80N, durante10s.

a) Qual é a aceleração do bloco?b) Qual será a velocidade do bloco

após os 10s?c) Se, após os 10s, a força é retirada, o

que acontece com a velocidade dobloco?

DesafioFísico

10

Texto

BacanteLetra: Anibal Beça

Música: Eudes Fraga

O mar lava a concha cavae cava concha lava o mar,como a língua limpa lavatua concha antes de amar.

Delírio da estrela D’alva:mistério da preamarvinda e volta abrindo a aldravada concha do paladar.

Oh! Minhas parcas de mel!eu me afogo em mar de vinhona espera de algum batel.

Sou cantador de cordel: estórias sabor marinho,bacantes de moscatel.

Perscrutando o texto

01. Na primeira estrofe, a seqüência desons consonantais simetricamente dis-postos constitui:

a) metáfora;b) metonímia;c) aliteração;d) hipérbato;e) hipérbole.

02. Quanto à métrica, os versos do poemapodem ser classificados de:

a) decassílabos;b) eneassílabos;c) octossílabos;d) redondilha menor;e) redondilha maior.

03. Na primeira estrofe, as rimas cava/lavae mar/amar são, respectivamente:

a) rica e pobre;b) ricas;c) pobre e rica;d) pobres;e) esdrúxulas.

04. Pela disposição dos versos nas estrofese pela desposição das estrofes no pa-pel, o poema classifica-se como:

a) elegia;b) ode;c) epitalâmio;d) soneto;e) madrigal.

05. Quanto à temática, o poema pode serclassificado de:

a) lírico-erótico;b) lírico-sacro;c) satírico.d) lírico-épico;e) bucólico.

06. Quanto às rimas, o poeta alterna pala-vras paroxítonas com palavras oxíto-nas e/ou monossilábicas, isto é, ele al-terna rimas:

a) masculinas com femininas;b) femininas com masculinas;c) masculinas com esdrúxulas;d) femininas com esdrúxulas;e) femininas com soantes.

07. No verso “eu me afogo em mar de vi-nho”, o pronome “me” é:

a) pronome que integra o verbo;b) objeto direto;c) objeto indireto;d) adjunto adnominal;e) complemento nominal.

08. Observe a estrofe:

Oh! Minhas parcas de mel!eu me afogo em mar de vinhona espera de algum batel.

A expressão “Minhas parcas de mel”tem função de:

a) aposto;b) vocativo;c) sujeito;d) oração intercalada;e) oração adjetiva.

09. Observe a estrofe:

Delírio da estrela D’alva:mistério da preamarvinda e volta abrindo a aldravada concha do paladar.

Pode-se trocar a palavra sublinhada,sem prejuízo semântico, por:

a) boca;b) concavidade;c) porta;d) tranca;e) saliva.

10. Observe a estrofe:

Oh! Minhas parcas de mel!eu me afogo em mar de vinhona espera de algum batel.

Sem prejuízo semântico, as palavrassublinhadas podem ser substituídas,respectivamente, por:

a) deusas e pequeno barco;b) favos e pequeno barco;c) deusas e batelão;d) favos e batelão;e) deusas e barcaça.

Caiu no vestibular

Janela do Amor Imperfeito

Thiago de Mello

Alta esquina no céu, tua janelasurge da sombra e a sombra faz dourada.Já não me sinto só defronte dela,me chega doce o fel da madrugada.

Atrás dela te estendes alva e em sonhome levas desamado sem saberque mais amor te invento e que te ponhosobre o corpo um lençol de amanhecer.Doce é saber que dormes leve e pura,depois da dura e fatigante lidaque a vida já te deu. Mas é doçura

PortuguêsProfessor João BATISTA Gomes

01. Escolha a letra em que a norma cultada língua NÃO foi respeitada.

a) Tem a ONU uma função precípua: elamedeia a paz entre as nações.

b) Nos dias de hoje, os jovens anseiampor diversões e aventuras.

c) Ações bem-articuladas do MinistérioPúblico remediam injustiças no interiordo Amazonas.

d) Declarações do presidente incendeiamos ânimos políticos e provocam mal-estar na bancada governista.

e) Apesar dos maus-tratos que recebedos familiares, ele não os odeia.

02. Escolha a letra em que a norma cultada língua NÃO foi respeitada.

a) Quando estivemos aqui, há três anos,este riacho ainda abrigava muitasvidas.

b) Quando estivemos aqui, três anosatrás, este riacho ainda abrigavamuitas vidas.

c) Em dadas circunstâncias, a poluiçãodos igarapés-açus pode passardespercebida.

d) O Sol, estrela em torno da qual giram aTerra e os outros planetas do sistemasolar, denomina-se Coaraci namitologia tupi-guarani.

e) Hajam os problemas que houver, nãose deixe influenciar por pseudo-informações.

03. (FGV) Ainda que endureçamos osnossos corações diante da vergonhae da desgraça experimentadas pelasvítimas, o ônus do analfabetismo émuito alto para todos os demais.

A locução ainda que e o advérbio muitoestabelecem, nesse enunciado, relaçõesde sentido, respectivamente, de

a) restrição e quantidade;b) causa e modo;c) tempo e meio;d) concessão e intensidade;e) condição e especificação.

04. (FGV) Assinale a alternativa quepreenche corretamente o espaço dafrase: “Descubra .................... osbons sofrem.

a) porquêb) o porquêc) por quêd) porquee) por que

Desafio Gramatical

que sabe a sal no mais azul do peitoonde o amor sofre a pena malferidade ser tão grande e ser tão imperfeito.

01. (FGV/UEA–2006) O verso 5 do peomareme-te a um momento da literaturaanterior ao Modernismo. Identifique-o.:

a) Simbolismob) Arcadismoc) Barrocod) Terceira Geração do Romantismoe) Segunda Geração do Romantismo

02. (FGV/UEA–2006) O texto classifica-secomo:

a) écloga.b) elegia.c) ode.d) soneto.e) poema em prosa.

03. (FGV/UEA–2006) Os versos do poemassão:

a) decassílabos.b) dodecassílabos.c) em redondilha maior.d) em redondilha menor.e) livres.

04. (FGV/UEA–2006) Para o eu-lírico dopoema, o amor:

a) se realiza plenamente na maturidade.b) só é possível após a morte.c) é carregado de imperfeições e

sofrimentos.d) se manifesta no desejo carnal.e) é impossibilitado pela vida dura

cotidiana.

Momento da dissertação

TÓPICO FRASAL 1Declaração inicial

1. Definição – Declarar, nesse caso, consisteem “afirmar” ou “negar” alguma coisa logono primeiro período do parágrafo. O que vemdepois deve justificar ou fundamentar adeclaração inicial. Todos nós temos algo adeclarar sobre problemas que nos afligem nodia-a-dia (violência, desemprego, educação,moradia, terrorismo, êxodo rural, saúdepública, etc.).

2. Exemplo 1 – Veja a construção de um tópicofrasal usando-se a “declaração inicial” sobreo tema “Violência urbana”:

A violência urbana é um problemasocial insolúvel que desafia ainteligência do homem moderno. Amelhoria do aparato policial, a construçãode novos presídios, a ameaça com penade morte são medidas que controlam aescalada desse mal crônico, mas nãoconseguem (nem conseguirão) extirpá-lopor completo.

Comentários – O tópico frasal está emnegrito e contém duas afirmações: “aviolência é problema social insolúvel” e“desafia a inteligência do homem moderno”.O período após o tópico frasal tenta justificara declaração inicial: o homem consegueamenizar o problema, mas não solucioná-lopor completo.

3. Exemplo 2 – Veja a construção de um tópicofrasal usando-se a “declaração inicial” sobreo tema “Violência urbana”:

A violência urbana não tem,necessariamente, ligações com apobreza ou com o racismo. Ela temraízes num modelo de educação queprivilegia uma minoria bem-sucedida,relegando a maioria a um plano marginalde vida, sem oportunidades para competirde igual para igual.

Comentários – O tópico frasal está emnegrito e contém uma negação: “a violêncianão está ligada à pobreza ou ao racismo”. Operíodo após o tópico frasal indica asorigens da violência, satisfazendo acuriosidade levantada pela negação inicial.

4. Exemplo 3 – Veja a construção de um tópicofrasal usando-se a “declaração inicial” sobreo tema “Ensino superior no Brasil”:

Cursar uma faculdade e garantir umavida estável: sonho cada vez maisdistante para a maioria dos brasileiros.A conquista de uma profissão em nívelsuperior depende, quase sempre, doesforço do próprio universitário e dosfatores socioeconômicos que o cercam.

Comentários – O tópico frasal está emnegrito e contém uma afirmação: “cursaruma faculdade é sonho distante para amaioria dos brasileiros”. O período que vemdepois do tópico frasal condiciona aaquisição de uma profissão em nível superiora dois fatores: o esforço do próprio aluno eas condições sociais e econômicas que ocercam.

Momento poético

PARA FAZER UM SONETO

Carlos Pena Filho* Tome um pouco de azul, se a tarde é clara,e espere pelo instante ocasional. Neste curto intervalo Deus prepara e lhe oferta a palavra inicial.

Aí, adote uma atitude avara:se você preferir a cor local,não use mais que o sol de sua carae um pedaço de fundo de quintal.

Se não, procure a cinza e essa vaguezadas lembranças da infância, e não se

apresse,antes, deixe levá-lo a correnteza.

Mas ao chegar ao ponto em que se teceDentro da escuridão a vã certeza,Ponha tudo de lado e então comece.

*Carlos Pena Filho, poeta do azul, como ficouconhecido, era pernambucano do Recife, autorde O tempo da busca (1952) e Memórias do BoiSerapião (1965). Foi um renovador do soneto natemática e, sobretudo, na linguagem, carregadade oralidade, essencialmente musical e de forteapelo pictórico.

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DESPERCEBIDO e DESAPERCEBIDO1. Despercebido – Significa ignorado, sem ser

notado; que não se sentiu ou não se viu;impercebido.

Veja construções certas e erradas:

a. Quase tudo que se passa à nossa voltapassa desapercebido, isto é, não setoma como fato que mereça serdivulgado. (errado)

b. Quase tudo que se passa à nossa voltapassa despercebido, isto é, não se tomacomo fato que mereça ser divulgado.(certo)

c. No processo de revisão textual, errospassam desapercebidos. (errado)

d. No processo de revisão textual, errospassam despercebidos. (certo)

2. Desapercebido – Significa despreparado,desprovido, desprevenido, desaparelhado.

Veja construções certas e erradas:

a. O exército perdeu a batalha porqueestava desapercebido. (certo)

b. O exército perdeu a batalha porqueestava despercebido. (errado)

c. Notou que ela estava desapercebida eroubou-lhe a bolsa. (certo)

d. Notou que ela estava despercebida eroubou-lhe a bolsa. (errado)

ABAIXO e A BAIXO1. Abaixo – O advérbio abaixo é usado em

vários sentidos (sempre opondo-se aacima). Veja:

a. Em local menos elevado; embaixo.Esta cinta de concreto deveria ficar maisabaixo.

b. Em posição subseqüente.As mercadorias abaixo relacionadasdevem seguir via aérea.

c. Para a parte inferior, em direçãodescendente.Ela escorregou e rolou ladeira abaixo.

d. Em situação ou posição de menorimportância.Aqui, na fundação, o presidente estáabaixo do Conselho-Diretor.

e. Ao chão, à terra.Com auxílio de máquinas, a casa foiabaixo rapidamente.

2. Abaixo – Na condição de interjeição, abaixofaz parte de frases exclamativas de protestoveemente, de reprovação. Veja:

a. Abaixo os maus-tratos!b. Abaixo a corrupção!

3. A baixo – A locução “a baixo” só se usa emparceria com as locuções “de alto” ou “decima” . Veja:

a. O muro está rachado de alto a baixo.

b. Antes de autorizar a entrada, ele a olhoude alto a baixo.

c. Os manifestantes interditaram a rua decima a baixo.

Dificuldadesda língua

ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.

ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso deFísica. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.

BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.

BONJORNO, José et al. Física 3: de olhono vestibular. São Paulo: FTD, 1993.

CARRON, Wilson et al. As Faces daFísica. São Paulo: Moderna, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.

GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.São Paulo: FTD, 1995.

Grupo de Reelaboração do Ensino deFísica (GREF). Física 3: eletromagne-tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.

PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.

RAMALHO Jr., Francisco et alii. OsFundamentos da Física. 8.a ed. SãoPaulo: Moderna, 2003.

TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)01. C; 02. E; 03. 12;04. A;05. B;06. D;

x – 307. f-1(x) = ––––––

508. B;09. B; 10. D; 11. B;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)01. B; 02. B; 03. E;04. D;05. E;06. C;07. C;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)01. D; 02. D; 03. C;04. A;05. D;06. A;07. A;

DESAFIO FÍSICO (p. 6)01. C; 02. E; 03. D; 04. B; 05. B; 06. B;

DESAFIO FÍSICO (p. 7)01. 50m; 02. C;

DESAFIO FÍSICO (p. 8)01. B; 02. 352m; 03. 20m/s2, 100m/s, 50m/s;04. D;05. A;06. 6s;07. 15m/s2;

DESAFIO FÍSICO (p. 9)01. E; 02. D; 03. A; 04. D; 05. 40m;06. 132m/s;

DESAFIO GRAMATICAL (p. 11)01. A; 02. D; 03. E;04. C;

Governador

Eduardo Braga

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Omar Aziz

Reitor

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-Reitor

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Pró-Reitor de Planejamento e Administração

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Encarte referente ao curso pré-vestibularAprovar da Universidade do Estado doAmazonas. Não pode ser vendido.

Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:

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