Federao das Indstrias do Estado de Santa Catarina Servio Nacional de Aprendizagem Industrial

Departamento Regional de Santa Catarina

SISTEMAS DE POTNCIA

Tubaro - 2003

Sumrio

1.Introduo........................................................................................................................... 1 2.Modelagem das redes eltricas ........................................................................................... 6 3.Sistema de unidade P.U. (Por unidade) ............................................................................ 12 4.Transformadores............................................................................................................... 17 5.Fluxo de potncia ............................................................................................................. 25

5.1.Fluxo de potncia cc .................................................................................................. 28 5.2.Fluxo de potncia C.A. .............................................................................................. 30

6.Compensao de potncia reativa .................................................................................... 39 7.Curto circuito................................................................................................................. 45 8.Estabilidade em sistemas de potncia............................................................................... 63

1

1. INTRODUO

At o incio do sculo XX, a gerao de energia era baseada na utilizao do combustvel exatamente no ponto de consumo de energia. Entretanto, graas a Thomas Edison, um novo tipo de industria surgiu quando a primeira estao de energia eltrica, chamada Pearl Street Electric Station, em NY, entrou em operao em 1882. partir desse instante, o consumo de energia eltrica aumentou rapidamente e as estaes geradoras se espalharam pelo mundo inteiro. Dentre as varias razes para o crescimento rpido da demanda de energia eltrica, as seguintes so citadas como as mais importantes:

1. A Energia Eltrica , sob vrios aspctos, a forma mais conveniente de energia.

2. A Energia Eltrica pode ser transportada at o ponto de consumo e ento transformada em outro tipo de energia (calor, energia mecnica, etc,...).

3. A Energia Eltrica no pode ser efetivamente armazenada, o que tem contribudo para o seu uso crescente.

O objetivo bsico de um sistema de potncia gerar energia em quantidades suficientes e nos locais apropriados, transmiti-la em grandes quantidades aos centros de consumo e ento distribui-la aos consumidores individuais, em forma e quantidade apropriadas e com os mais baixos custos econmico e ecolgico e a maior segurana possvel.

A estrutura de um sistema de potncia muito grande e complexa, contudo, ela pode ser dividida nos seguintes estgios principais:

1. Fonte de energia 2. Conversor de energia 3. Sistema de transmisso 4. Sistema de distribuio 5. Carga

Representao de um sistema eltrico por um diagrama unifilar.

Alm disso durante as etapas de planejamento e operao do sistema eltrico certos requisitos devem ser observados, os quais basicamente dizem respeito aos pontos citados a seguir.

2

1. Suprimento das demandas de potncia ativa e reativa, quantidades variveis ao longo do tempo e que devem ser integralmente satisfeitas ao longo da rea de atuao;

2. Qualidade de servio, a qual implica em Pequenas variaes na magnitude da tenso ( 5% em torno do

valor nominal) e freqncia ( 0,05Hz em torno do valor nominal de 60Hz) Alta confiabilidade (continuidade de servio)

Em geral, os sistemas eltricos so representados por diagramas unifilares. Diagramas desse tipo mostram a topologia de rede eltrica e fornecem concisamente os dados significativos do sistema de potncia.

Os nveis de tenso podem ser distinguidos nos diagramas unifilares: 1. Nvel de transmisso. 2. Nvel de subtransmisso. 3. Nvel de distribuio - primria

- secundria Esses nveis, os quais so baseados na magnitude das tenses, so padronizados no Brasil da seguinte maneira:

Transmisso: 750,500; 230; 138; 69 Kv Subtransmisso: 138; 69; 34,5 Kv Distribuio primria: 34,5; 13,8 Kv Distribuio secundria: 380/220V ,220/127V, 230/115V

Dependendo da topologia da rede eltrica, a estrutura de um sistema de potncia pode ser ainda classificada como;

Radial Em anel (malha)

Simbologia Diagrama Unifilar

Mquina rotativa

Barra

Transformador de dois enrolamentos

3

Transformador de trs enrolamentos

Conexo delta trifsica

Conexo Y trifsica (Neutro no aterrado)

Conexo Y trifsica (Neutro aterrado)

Linha de transmisso

Carga esttica

Disjuntor

Desconexo

Fusvel

Fusvel desconectado

Transformador de Corrente

Transformador de Potncial

4

Capacitor

O planejamento um processo analtico que consiste numa avaliao das condies para o futuro, determinando o curso das aes alternativas em funo dos objetivos desejados. Os tipos de planejamento principais so:

Planejamento a curto prazo: o qual diz respeito seleo do curso se ao recomendado para o perodo de tempo em questo requer comissionamento imediato.

Planejamento a longo prazo: idem, para alm do perodo de tempo que requer imediato comissionamento.

O objetivo do planejamento do sistema eltrico otimizar as facilidades necessrias para fornecer um suprimento de energia eltrica adequado, a um preo relativamente baixo. Em geral isto est relacionado s seguintes atividades:

Sntese: desenvolvimento de planos iniciais para o estudo do sistema.

Anlise: avaliao tcnica da operao do sistema em termos de requisito de reserva, fluxo de potncia e estabilidade sob condio simuladas.

Otimizao: avaliao econmica das alternativas para determinar aquela de mnimo custo. Maximizao da segurana do sistema.

Em termos especficos, as principais atividades do planejamento so: Previso de carga. Planejamento da gerao Planejamento dos sistemas de transmisso, subtransmisso e

distribuio. Planejamento do suprimento de combustvel. Planejamento ambiental. Planejamento financeiro.

Tanto no planejamento como na operao dos sistemas de potncia, os seguintes estudos so envolvidos:

Fluxo de potncia: consiste em determinar as tenses complexas nas barras do sistema eltrico, de forma a permitir que os fluxos de potncia ativa e reativa sejam calculados;

Compensao de potncia reativa: diz respeito ao estudo da localizao e da quantidade tima de potncia

5

reativa (capacitores, indutores, etc.) que devem ser alocados ao longo do sistema, de maneira a garantir uma quantidade de servio satisfatria em termos da magnitude das tenses nas barras.

Despacho econmico: consiste em determinar a distribuio tima da gerao de potncia ativa visando a minimizao dos custos de produo de energia.

Clculo de faltas: Consiste na determinao das correntes que circulam nas redes eltricas durante a ocorrncia de distrbios, de forma a projetar satisfatoriamente o sistema de proteo dos elementos constituintes da rede eltrica.

Estudos de proteo: envolvem a determinao da seleo, da localizao e do dimensionamento dos dispositivos de proteo dos componentes do sistema eltrico.

Projeto do sistema de controle: diz respeito a determinao quantitativa e qualitativa dos dispositivos de controle de excitao e de velocidade dos geradores do sistema de potncia em malha fechada, de maneira que o sistema mantenha durante a sua operao um desempenho satisfatrio em termos de freqncia e magnitude da tenso.

Estudo de estabilidade: relacionados determinao do ponto de operao das unidades geradoras da rede eltrica visando manter o sincronismo entre as mesmas.

Estudos de expanso: relacionados a anlise da expanso de ambos os sistemas, gerao e transmisso, com base nos estudos de previso de aumento de demanda.

6

2. MODELAGEM DAS REDES ELTRICAS

Os sistemas trifsicos equilibrados so representados, para estudos em regime permanente, pelo diagrama de impedncias de uma fase do circuito em Y equivalente. Cada elemento constituinte do diagrama unifilar representado pelo correspondente circuito monofsico equivalente. Os modelos dos principais elementos do sistema de potncia so mostrados a seguir.

Mquinas Sncronas

E Tenso de fase no terminal da mquina sncrona vazio. Xd Reatncia sncrona de eixo direto, por fase. R Resistncia por fase do enrolamento do estator.

Transformadores

Referir as grandezas para o mesmo lado

7

R1 Resistncia do enrolamento primrio. R2 Resistncia do enrolamento secundrio. XL1 Reatncia indutiva representando os fluxos de disperso enrolamento primrio. XL2 Reatncia indutiva representando os fluxos de disperso enrolamento secundrio. Rf.Xm Parmetros de magnetizao. N1/N2 Relao de transformao.

Em geral, para os transformadores utilizados em sistemas de potncia, as perdas no ferro, a corrente de magnetizao e as perdas no cobre so muito pequenas. Por este motivo, o circuito equivalente reduz-se :

Linhas de transmisso

Neste caso, necessrio distinguir trs tipos de linhas, classificados com base no seu comprimento, isto :

Linhas de transmisso longas: l > 249 Km Linhas de transmisso mdias: 80 < l > 249 Km Linhas de transmisso curtas: l < 80 Km

Uma linha de transmisso caracterizada pelos seguintes parmetros:

Resistncia Indutncia Condutncia Capacitncia

srie

paralelo

8

Dependendo do comprimento uma LT ela representada de uma maneira diferente:

- Linhas curtas: Apenas os parmetros srie de linha so considerados, com a impedncia srie da linha de transmisso sendo expressa por.

ZL = R+j XL

- Linhas mdias: A LT representada por um circuito denominado pi - nominal.

- Linhas longas: A LT representada por um circuito denominado pi - equivalente.

Os parmetro Z e Y so calculados com auxlio das coeficientes de atenuao e propagao da LT

( ) j+=

Cargas

As cargas admitem diversos tipos de representaes, entre eles: Injeo de corrente (injeo de potncia constante). Carga polinominal, expressa em funo da magnitude da tenso.

9

Diagrama de Impedncias de um Sistema Eltrico

Diagrama Unifilar

Diagrama de Impedncias

Sistemas Trifsicos

Conexo Y Balanceadas

10

VEE anan 0=

VEE bnbn 120=

VEE cncn 120=

VEE anab 30

3=

VEE bnbc 90

3

=

VEE cnca 150

3/=

Y

ana Z

EI

=

Y

bnb Z

EI

=

Y

cnc Z

EI

=

Conexo Delta Balanceada

= Z

EI abAB

= Z

EI bcBC

= Z

EI caCA

303

=ABII

11

1503

=BC

bII

903 CA

c

II =

Potncia Complexa em Sistemas Trifsicos Balanceados

333 QjPS +=

LfLL IVIVS 333 ==

12

3. SISTEMA DE UNIDADE P.U. (POR UNIDADE)

Uma quantidade no sistema P.U. definida pela razo entre o valor real de uma grandeza e o valor base da mesma grandeza, selecionado como referencia, isto :

Valor P.U. = Valor real da grandeza (V, A, , W...) Valor base da grandeza (V, A, , W...)

Observe que: A quantidade em P.U. admensional Valor base sempre um numero real O ngulo do valor em P.U. sempre o mesmo do valor verdadeiro.

Exemplo: Referir as tenses abaixo em P.U., usando arbitrariamente como Base o valor de 120 KV.

KVV 1261 =

KVV 1092 =

KVV 1203 =

Valores base das grandezas eltricas do sistema

Cada ponto do sistema eltrico fica caracterizado por quatro grandezas: Tenso eltrica (V) Corrente eltrica (I) Potncia aparente (S) Impedncia (Z)

Observe-se que, conhecendo apenas duas destas grandezas, as outras duas ficam tambm definida atravs das equaes abaixo.

IZV = *IVS = 2XIP = 2XIQ = jQPS +=

Basta, ento, escolher como base, apenas duas dessas grandezas. comum, em sistema de potncia, escolher como bases a tenso (Vbase) e a potncia

13

aparente (Sbase), ficando, conseqentemente, fixadas as bases de corrente e de impedncia para o nvel de tenso correspondente.

Sistema Monofsico

o caso de redes monofsicas ou transformadores monofsicos. Calculo da corrente base (Ibase)

base

basebasebasebasebase V

SIIVS == .

Onde: Vbase = tenso base da fase no nvel de tenso considerado Sbase = potncia aparente base Ibase = corrente base no nvel de tenso da Vbase

Calculo de impedncia base (Zbase)

base

base

base

base

base

base

basebase S

V

VSV

IVZ

2

===

Sistema Trifsico

Um sistema trifsico (3) de potncia envolve cargas e transformadores ligados em e Y. Os clculos de curto - circuitos, para proteo, so feitos usando componentes simtricas, que so equilibradas. Deste modo, pode-se analisar apenas uma nica fase.

Portanto, toda a representao de um sistema trifsico em PU feito numa nica fase do sistema em Y equivalente.

Sbase Potncia aparente base do sistema trifsico, ou seja, a soma das potncias aparentes base de cada fase.

14

( ) ( ) 133 bb SS =

Vbase Tenso base de linha linha, ou 3 vezes a tenso base de fase da Y equivalente.

bfbase VV 3=

Vbf Tenso base de fase.

Clculo da corrente de base (Ibase)

A corrente base a mesma da linha do sistema trifsico original e da fase do Y equivalente.

basebasebase IVS 3=

base

basebase V

SI3

=

Calculo da impedncia base (Zbase)

A impedncia base de um sistema trifsico, sempre a impedncia da fase do sistema trifsico em Y equivalente

bf

bfbase I

VZ =

basebf II =

bfbase VV 3=

base

basebase I

VZ3

=

base

basebase S

VZ2

=

Exemplo: Um sistema de potencia trifsico, tem como 100 MVA e 230 KV. Determinar: a) Corrente base b) Impedncia base c) Admitncia base d) Corrente I = 502,04 A em P.U. e) Impedncia Z = 264,5 +j 1058 em P.U. f) Em P.U., a impedncia de uma linha de transmisso de 230 Kv

com 52,9 Km de comprimento, tendo 0,5 /Km por fase.

15

Mudana de base de uma grandeza (Impedncia)

Geralmente os dados dede placa dos transformadores no coincidem com a base na qual o sistema esta sendo calculado. A mudana de base da impedncia do transformador dever ser efetuada como segue.

velhabase

velhabasevelhopu S

VZ

novabase

novabasenovopu S

VZ

velhobasevelhopureal ZZZ .=

NovobaseNovopureal ZZZ .=

NovobaseNovopuVelhobaseVelhopu ZZZZ .. =

velhabase

novabase

novabase

velhabasevelhopunovopu S

SVV

ZZ2

=

Exemplo: A placa de um gerador sncrono apresenta os seguintes dados 50 MVA, 13,8 KV e X=20%. Calcular a reatncia da mquina em PU referida a uma nova base de 100 MVA e 13,2 KV

=

=

=

MVASKVV

Xvelhabase

velhabasepu 50

8,132,0

=

=

=

MVASKVV

Xnovobase

novobasenovo 100

2,13?

Vantagens do sistema por unidade

1. Especificando propriamente as quantidades base, o circuito equivalente do transformador pode ser simplificado. O transformador ideal pode ser eliminado, de forma que as tenses, correntes, impedncias e admitncias externas expressas em P.U. no se modificam quando referidas aos lados AT ou BT do transformados.

2. Evita-se erros de clculos provenientes de se referir as grandezas a um lado ou ao outro.

3. Fabricantes em geral especificam as impedncias das mquinas e transformadores nos sistemas P.U. ou percentual. (%)

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Exemplo: Considerando o diagrama unificar abaixo calcule a corrente na carga e a corrente fornecida pelo gerador.

Determinao das bases

KVASbase 30= para todo o circuito

Regio 1 - VVbase 2401 = Regio 2 - VVbase 4802 = Regio 3 - VVbase 1203 =

Exemplo: Fazer o diagrama de impedncia do sistema da figura abaixo usando como base as caractersticas nominais do gerador sncrono G 1.

MVASbase 30= para todo o circuito

KVVbase 8,131 = KVVbase 1382 = KVVbase 8,133 =

KVVbase 184 =

17

4. TRANSFORMADORES

Transformador ideal

2

1

2

1

NN

EE

=

1

2

2

1

NN

II

=

2*

22*

111 SIEIES ===

Transformador defasador

Este transformador pode ser utilizado para o controle dos fluxos de potncia ativa nas LTs.

A relao de transformao um numero complexo expresso por jea = . A tenso e a corrente no lado primrio so respectivamente

221 EeEaEj

==

21 IeIj

=

onde se pode observar que

A tenso E1 est adiantada da tenso E2 por um ngulo 0. A corrente I1 est adiantada da corrente I2 por um ngulo 0.

18

As magnitudes das correntes e tenses no so modificadas.

A potncia complexa no transformador defasador e expressa como

*

22*

111 IEIES ==

Transformadores trifsicos de dois enrolamentos

Os transformadores trifsicos podem ser conectados da seguinte forma

YY, Y, Y,

Nas conexes YY e no h deslocamento angular entre as grandezas dos lados de AT e BT.

Nas conexes Y e Y um deslocamento angular de 30 deve ser considerado nos circuitos de seqncia positiva.

As impedncia PU no dependem das conexes dos enrolamentos, isto , Zpu de um transformador independe da conexo. Entretanto os valores base dependem da conexo do enrolamento.

Na conexo Y, as tenso e as correntes no lado AT esto adiantadas de 30 de suas correspondentes grandezas no lado de BT, no diagrama de seqncia positiva.

No caso da seqncia negativa as correntes e tenses do lado de BT esto adiantadas em relao as correspondentes grandezas do lado de AT por 30.

Exemplo: Um transformador de Energia Eltrica com valores nominais de 20 MVA, 345 KV / 34,5 KVY, possui uma impedncia de disperso de 8%. O transformador atua como um elo conectando um sistema de transmisso de 345 KV e um sistema de distribuio de 34,5 KV. A resistncia dos enrolamentos e a corrente de magnetizao so desprezadas. A barra AT conectada ao transformador suposta ser uma fonte ideal de 345 KV, seqncia positiva, com impedncia desprezvel. Utilizando os valores nominais do transformador como base, determinar:

a) Os valores da queda de tenso no transformador e da queda de tenso nos terminais BT, quando a corrente nominal (1 pu) do transformador a um fator de potncia 0,8 atrasado entra nos terminais de AT.

b) O valor PU da corrente de falta quando um curto-circuito trifsico para a terra ocorre nos terminais de BT.

a)

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?TV ?bTV

puIZV TT 13,5308,0

87,360,1

.

9008,0

=

==

puVVV TATBT 85,3954,0

13,5308,0

00,1

=

==

b)

Concluso Reatncia de disperso de alto valor limita Icc Causa maior queda de tenso.

Transformador de trs enrolamentos

Num transformador ns temos AT, MT e BT, ou seja, trs tenses diferentes.

No sistema pu BTpuMTpuATpu III +=

BTpuMTpuATpu EEE ==

Para a seleo das quantidades base, adota-se o seguinte procedimento: Uma base comum de potncia aparente Sbase selecionada para os

terminais AT, BT e MT. As tenses VAT base, VMT base e VBT base so selecionadas de acordo com

as relaes de tenso. Deslocamento de fase devem ser includos para bancos Y.

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Autotransformadores

No autotransformador as duas bobinas esto acopladas eletricamente e magneticamente. H, portanto menor impedncia de disperso pu, e menor queda de tenso, o que constitui uma vantagem na utilizao deste tipo de equipamento. Entretanto, h tambm uma maior corrente de curto-circuito e isto pode ser considerado uma desvantagem dos autotransformadores. Ainda neste caso, as perdas so mais baixas, h uma maior eficincia, a corrente de excitao mais baixa e o custo tambm mais baixo (se a relao de transformao no grande demais). Uma desvantagem adicional dos autotransformadores que as sobretenses transitrias passam atravs do autotransformador mais facilmente por causa da conexo eltrica dos enrolamentos.

Transformadores com TAP varivel

Os transformadores com TAP varivel necessitam ser modelados de uma forma particular, por ser impossvel selecionar as quantidades base.

2min1min alnoalno VatV =

Onde 1min alnoV e 2min alnoV so as tenses nominais dos lados primrio e secundrio do transformador, respectivamente, e at suposto um numero real ou complexo.

Supondo ainda que as tenses base selecionadas satisfazem a relao.

21

21 basebase bV =

definido seobtembatC = ,/

2min2min1min alnoalnoalno VbcVbatbV =

=

Esta equao pode ser interpretada como representando dois transformadores conectados em srie com as seguintes caractersticas:

O primeiro transformador possui a mesma relao entre as tenses nominais que as tenses base selecionadas (parmetro b); este transformador modelado no sistema pu portanto como um transformador convencional.

O segundo transformador suposto ideal, sendo modelado da forma mostrada na figura abaixo.

Exemplo: Um transformador trifsico possui valores nominais 1000MVA; KVYKV 345/8,13 , com Zeq=j10%. As bobinas de alta tenso do

transformador possuem TAPS com variao 10%. As quantidades base so: Sbase 30 = 500 MVA; Vbase BTFF = 13,8 KV; Vbase ATFF = 345 KV Determine os circuitos equivalentes de seqncia positiva deste

transformador quando: a) O TAP selecionado no valor nominal.

b) O TAP selecionado no valor 10% (isto , resultando num decrscimo de 10% no valor da tenso no lado de AT).

a) TAP no valor nominal 16 == Cat

saitrafosegundoOc

batSe1=

=

22

bKVKV

VV

atalno

nomiinal==== 04,0

3458,13

2min

1

pujMVAMVAjZ novoeq 05,01000

50010,0 =

=

b) 21 basebase VbV =

04,0345

8,132

1===

KK

VV

bbase

base

0444,09,0345

8,132min

1min===

KK

VV

atalno

alno

111,104,0

0444,0===

bat

c

pujjYc eq 22,2205,01111,1 =

=

( ) ( ) pujjYc eq 222,205,01111,111 =

=

( ) ( ) pujjYcc eq 469,205,01111,1111,1 22 =

=

Transformadores Reguladores

A figura abaixo mostra o diagrama do transformador trifsico com TAP varivel para regulao da magnitude da tenso.

23

As tenses ajustveis VbnVan , e Vcn possuem magnitudes iguais (denotadas como V ) e esto em fase com as tenses bnan VV , e cnV .

O parmetro correspondente a variao do TAP : ( )VC += 1 no caso de um aumento de tenso no lado abc. ( ) 11 += VC se a elevao da magnitude da tenso no lado abc.

O trafos reguladores de tenso influenciam o fluxo de potncia reativa. A figura abaixo mostra o diagrama do transformador trifsico com TAP varivel

para a regulao da fase da tenso.

No caso do transformador com TAP varivel para deslocamento de fase, as tenses incrementais bnan VV , e cnV . Esto deslocadas de 90+ em relao as correntes tenses Vam, Vbm e Vcm.

24

1C se o aumento de fase no lado abc.

1C se o aumento de fase no lado abc.

Os trafos reguladores de fase da tenso influenciam o fluxo de potencia ativa.

25

5.FLUXO DE POTNCIA

O calculo do fluxo de potncia uma das mais importantes solues requeridas na anlise de sistemas de transmisso. Os resultados deste tipo de calculo so extensivamente utilizados durante os estgios de projeto, planejamento e operao dos sistemas de potncia..

Fluxo de potncia em LTs e trafos

Considere uma LT conectando duas barras i e j, cujo circuito pi - equivalente mostrado acima. Suponha ainda que

Os fatores que representam as tenses nodais complexas, expressos como

i

Ii

VV = e ij

jVV = so conhecidos.

A impedncia srie da LT conhecida. A condutncia em paralelo da LT desprezvel, e portanto a admitncia

shunt se reduz a suceptncia capacitiva shsh BjY = . As potncias aparentes ijS e jiS , so consideradas positivas quando se

afastam das barras i e j, respectivamente.

O fator corrente que flui da barra i para a barra j dado por

ijij

jiij XjR

VVI

+

=

e a correspondente potncia aparente

==+=ijij

jiiijiijijij XjR

VVVIVQjPS

**

*'''

( )

=

jiji

iijij

ijVVV

XjRS 2' 1

26

Denotando a defasagem entre os fasores tenso nas barras i e j como ( )jiij = , a qual chamada ngulo de potncia, ou abertura da LT, e expandindo a ltima equao obtm-se:

( )[ ]ijijjiiijij

ijijij jVVVXR

XjRS sencos222' ++

+=

Separando a parte real e a imaginria

( )ijjiijijjiijiijijij

ij VVXVVRVRXRP sencos1 222' ++=

( )ijjiijijjiijiijijij

ij VVRVVXVXXRQ sencos1 222' +=

Nenhuma potncia ativa flui pelo ramo paralelo da linha, portanto.

'

ijij PP = Isto no acontece no caso do fluxo de potncia retiva

shiijij QQQ += '

A potncia aparente que flui no ramo shunt relativo a barra i dada por

22

2** cishi

ishiishiBVjYVVIVS =

==

2

2ci

shiBVQ =

Portanto, os fluxos de potncia ativa e reativa numa linha de transmisso so expressos como:

( )ijjiijijjiijijjiijiijijij

ij VVRVVXVVRVRXRP sensencos1 222 ++=

( )ijjiijijjiijiijijij

ciij VVRVVXVXXR

BVQ sencos12

222

2

++=

De maneira anloga, os fluxos de potncia ativa e reativa da barra j para i so:

( )jijiijjijiijjijijij

ji VVXVVRVRXRP sencos1 222 ++=

27

( )jijiijjijiijjijijij

cjji VVRVVXVXXR

BVQ sencos12

222

2

++=

No caso de LTs contendo transformadores, em geral a resistncia e a capacitncia da linha so desprezveis, isto 0=ijR e 0=cB , ento

ijij

jiij X

VVP sen= ijji PP =

( )ijjiiij

ij VVVXQ cos1 2 =

( )ijjijij

ji VVVXQ cos1 2 =

As perdas de potncia ativa e reativa so

jiijL PPP +=

jiijL QQQ +=

Potncia ativa: fluxo positivo depende de que tenso est adiantada.

iV adiantada em relao a 0> iji PV jV adiantada em relao a 0> ijji QVV 0 ijij QVV

28

5.1.FLUXO DE POTNCIA CC

Uma verso do fluxo de potncia A.C. utilizada freqentemente em estudos onde no se requer demasiada preciso da soluo aquela onde so feitas aproximaes no modelo de forma que as equaes resultantes constituem um conjunto de equaes lineares.

Sendo a potncia aparente do sistema de duas barras anterior

( )( ) shjijijijjiijjiiijijij bjVjbgVjVVVVQjPS 2*2 sencos +=+=

ijjiijjiijiijij VVbVVgVgP sencos2 +=

Supondo que: 0ij puVV ji 0,1== ijij RX >> 0ijR ento 0=ijg

ijijij

ijij XXR

Xb 122 =+

=

0,1cos =ij ijij =sen

Portanto:

ij

jiij X

P

=

em geral iji PP =

ou em forma matricial

BP =

=

NNNN

N

N BB

BBBB

P

PP

2

1

1

21

11211

2

1

29

Seqncia p/ o clculo

1. Selecionar um n como referncia 2. Determinar a matriz B resultante ( ) ( )11 nxn 3. Determinar a matriz P 4. Resolver o sistema linear ( )[ ]ngulosnBP 1' = 5. Calcular os fluxos de potncia ativa

( )ij

jiij X

P

=

Exemplo: Para o sistema mostrado na figura abaixo, calcule os fluxos de potncia ativa nas linhas de transmisso utilizando o mtodo de soluo fluxo de potncia c.c.

construo da matriz B

ijB Quando ( )

=

==

1

0

1n

ijj ijX

ji

Quando ijX

ji 1=

30

5.2.FLUXO DE POTNCIA C.A.

O problema de fluxo de potncia geral C.A. pode ser formulado considerando o i simo n de um sistema de potncia genrico, conforme figura abaixo.

De acordo com as leis de Kirchoff

=

=

n

kkik

i

i VYVS

1*

*

ou

=

=

n

kkikii VYVS

1

**

ou

=

=

n

k k

kik

i

ii

VYVS1

*

= =

ki

kn

kikii

VYVS 1

*

onde ikki =

Separando as partes real e imaginria da ultima expresso, obtem-se:

( ) ( )

+=n

kkikikikikiii VBGVVP

1sencos

( ) ( ) kn

kikikikiki VBGVVQ

=

=

11 cossen

onde ikG e ikB so elementos da matriz admitncia de barra. Para a soluo numrica destas equao, em geral assume-se que o sistema

trifsico balanceado, com a rede de transmisso representada pelas correspondentes impedncia de seqncia positiva. Em forma matricial, a equao da tenso modal complexa pode ser escrita como

YV = I

31

onde I representa o equivalente modal das correntes injetadas e calculado de:

*

*

i

ii V

SI =

onde *iS a gerao lquida de potncia na barra i, isto ( ) ( ) iidigidigii QjPQQjPPS ==*

Denotando por riV a tenso complexa na i esima gerao e por

iir

ir

iespii QjPIVSS +== *

A potncia aparente incremental, possvel escrever

( )=

=n

kkikikikiki

espii VBGVPP

1coscos

( )=

=n

kkikikikiki

espii VBGVQQ

1cossen

Os clculos dos fluxos de potncia so em geral estabelecidas de uma forma tal que as tenses complexas (magnitude e ngulo ou partes real e imaginria) so determinados para que as potncias ativas espP e reativa espQ das cargas e de determinados geradores sejam mantidas em valores especificados. Alm disso, desejado que a magnitude da tenso espV e a potncia ativa espP em certas barras de gerao tambm sejam mantidas em valores especificados. O objetivo do fluxo de potncia calcular a tenso complexa (mdulo e ngulo) nas barras do sistema e, partir desses valores junto com a topologia e os parmetros da rede eltrica, determinar os fluxos de potncia ativa e reativa nas LTs.

Classificao das Barras

Observe-se que quatro variveis ( iiii eVQP ,, ) esto associadas a cada barra. Duas dessas variveis devem ser especificadas de forma que as outras duas possam ser calculadas. Dependendo a especificao das variveis, as barras podem ser divididas em trs tipos:

Barra PQ ou de carga: neste tipo de barra, h predominncia de demanda sobre as outras variveis, no existindo na grande maioria dos bases gerao de potncia na barra. Neste caso, as injees de potncia ativa (Pesp) e reativa (Qesp) so especificadas e a magnitude (Vi) e o ngulo ( )i

32

da tenso modal so calculados atravs da soluo das equaes da rede eltrica; portanto para uma barra de carga.

( ) ( ) ( )espiidiespgidiespgiespi IVQQjPPS *=+=

Barra PU ou de tenso controlada: Neste tipo de barra, a injeo de potncia ativa (Pesp) e a magnitude (Vi) da tenso so especificados e o ngulo ( )i da tenso modal e a injeo de potncia reativa (Qesp) so calculados; observe que para viabilizar estas especificaes preciso que pelo menos um dispositivo de controle de magnitude da tenso esteja disponvel, para uma barra de tenso controlada.

Barra de folga, ou swing, ou slack ou referncia: Neste caso, a magnitude (Vi) e o ngulo ( )i da tenso so especificados e as injees de potncia ativa (Pesp) e reativa (Qesp) so calculados. Note que, o objetivo do fluxo de potncia calcular as tenses modais e a partir da determinar os fluxos de potncia nas LTs, a partir dos quais as perdas de potncia ativa na rede eltrica podem ser determinadas. Desde que a priori as perdas no so conhecidas sem a soluo do fluxo de potncia, conveniente para os clculos numricos, selecionar como n de referncia, uma barra onde as injees de potncia no tenham sido especificadas.

Resduos ou desbalanos de potncia

Desde que a soluo do fluxo de potncia de natureza iterativa, necessrio estabelecer um critrio de convergncia. Em geral utiliza-se para esta finalidade um teste efetuado nos chamados resduos ou desbalanos de potncia.

O desbalano de potncia complexa no n i a diferena entre a potncia especifica espiS e a potncia calculada riri IV * , onde riV a tenso ccomplexa calculada na iterao r portanto

+==1

**

rek

r

kikr

iespi

espi

r

ir

iespii VYVQjPIVSS

Esta equao pode ser separada em partes real e imaginria e expressa na forma polar como

( ) +=1

sencosrek

kikikkiikiesp

ii VBGVPP

( ) =1

cossenrek

kikikikikiespii VBGVQQ

33

Nessas equaes suposto que Vi a tenso calculada na iterao r. o critrio de convergncia mais comumente utilizado na pratica :

iP para todas as barras PV e PQ

iQ para todas as barras PQ

Onde uma tolerncia pr-especificada (tipicamente na faixa de 0,01 a 10 MW).

Em PU 10-3 e 10-4 P.U.

Soluo do fluxo de potncia via mtodo de Gauss-Seidel

Uma das tcnicas mais simples para resolver equaes no lineares o mtodo de Gauss-seidel. Para estabelecer o algoritmo iterativo correspondente a esta tcnica considere que o sistema de equaes a ser resolvido expresso como

( )

( )( )( )

( )

=

=

=

=

0,...,,,

0,...,,,0,...,,,0,...,,,

321

3213

3212

3211

nn

n

n

n

xxxxf

xxxxfxxxxfxxxxf

xf

onde f o vetor das funes no lineares, e o objetivo a determinao do conjunto de variveis ( )nT xxxxX ,...,,, 321= .

O mtodo iterativo de Gauss consiste em executar os seguintes passos:

Expresse cada varivel do vetor x em funo outras variveis (e da prpria varivel se for necessrio); isto

( )( )( )

( )nnn

n

n

n

xxxxFx

xxxxFxxxxxFxxxxxFx

,...,,,

,...,,,

,...,,,

,...,,,

321

32133

32122

32111

=

=

=

=

Faa uma estimativa inicial do vetor x Atualize o vetor x atravs do seguinte algoritmo ( )1= VV XFX

34

onde V o nmero da iterao corrente;

Efetive o teste de convergncia nas variveis ix . Isto , o processo encerrado a diferena entre os valores de cada varivel em duas iteraes consecutivas for menor do que uma especificada tolerncia , ou, em termos analticos,

1VV XX

O mtodo de Gauss-seidel, com o qual possvel se obter maior velocidade de convergncia, consiste em utilizar na equao o valor mais atualizado de cada varivel. Por exemplo, o clculo da varivel 3x desta equao, na iterao V, efetuado com auxlio da seguinte expresso ( )1132133 ,...,,, = VnVVVV xxxxFx

A convergncia do mtodo de Gauss-seidel pode se tornar ainda mais rpida se forem utilizados fatores de acelerao adequados. Apesar de existirem muitas estratgias de soluo alternativas, na prtica a seguinte extrapolao linear a mais freqentemente utilizada: definindo o incremento na varivel ix entre duas iteraes como:

1= Vi

Vi

Vi xxx

A atualizao da varivel com a aplicao do fator de acelerao dada por

Vi

Vi

Viac xxx +=

1

Observe que 0,1= implica no processo de convergncia natural. Para que a acelerao da convergncia do processo iterativo seja acelerada deve ser portanto maior do que 1,0.

Exemplo: Resolva o sistema de equao no lineares

=+

=+

012012

212

211

xxx

xxx

Pelo mtodo de Gauss-seidel a partir de 01 =x , 02 =x ( )111 ,..., = VnViVi xxFx

35

Aplicao no problema de fluxo de potncia

O mtodo de Gauss-seidel aplicado na soluo de fluxo de potncia, tomando as equaes estticas do fluxo de potncia na forma mostrada nas sees anteriores, isto

( ) niVYVjQPS nk

kikiiii ,...,2,11

**===

=

ou

niniii

ii VYVYVYV

jQP+++=

...2211*

Expressando para cada barra a equao de uma varivel complexa Vi obtem-se.

niVYV

jQPY

Vn

ikk

kiki

ii

ii

,...2,111

*1 =

= =

Um conjunto de equaes da forma da expresso acima aquele a ser resolvido atravs do mtodo de Gauss-seidel. Cada uma dessas equaes estabelecida de acordo com o tipo de barra em questo.

Barras PQ: Desde que para este tipo de barra a injeo de potncia complexa espiS especificada e a tenso complexa iV desconhecida, as equaes que caracterizam as barras de carga so

= =

n

ikk

atualkikantigo

i

espi

espi

ii

novo

i VYVjQP

YV

1*

1

onde atualkV representa o ultimo valor disponvel da tenso complexa Vk

Barras PV: Para uma barra PV, a injeo de potncia ativa espiP e a magnitude da tenso ESPiV so especificadas, o ngulo da tenso inovo a injeo de potncia reativa novoiQ so desconhecidos. Estes podem ser calculados considerando inicialmente a equao.

36

niVYV

jQPY

Vn

ikk

atualkikantigo

i

calci

espi

ii

novo

i ,...2,11

1*

=

= =

A utilizao desta equao exige que o valor da injeo de potncia reativa na barra PV seja calculado. Isto pode ser feito com o auxlio da equao.

= =

n

kkiki

calci VYVQ

1

*Im

Utilizando os valores mais atualizados das tenses complexas

A substituio dos valores das variveis requeridos pela equao da tenso acima, fornecera a tenso complexa

valvi

valvicalc

iVV =

e, desde que o valor de Vi especificado a priori, apenas o valor do ngulo calci utilizado. A partir deste ponto o valor da tenso complexa na barra PV passa a ser

calci

espiV / durante a iterao corrente.

Uso do fator de acelerao

No caso da aplicao do mtodo de Gauss-seidel ao problema de fluxo de potncia, o fator de acelerao tambm consegue reduzir o nmero de iteraes e utilizado no seguinte contexto.

( ) ( ) ( )( ) ( )11 += kvelhoikvelhoiknovoikacei VVVV

Onde o fator de acelerao, o qual empiricamente determinado em geral na faixa 1,4 1,8.

Limites de potncia reativa

Para representar a capacidade fsica dos geradores, limites de potncia reativa so estabelecidos para cada nvel de potncia especificada. Esses limites, os quais so obtidos com auxlio da curva de capabilidade dos geradores sncronos, podem ser representados atravs da inequao.

maxmingigigi QQQ

Onde mingiQ e maxgiQ so os limites mnimo e mximo de gerao de potncia reativa. Uma especificao errada da magnitude da tenso (valores

37

demasiadamente altos ou baixos) pode levar violaes desta restrio de desigualdade no processo iterativo. O procedimento adotado para o tratamento deste tipo de restrio de potncia consiste no seguinte:

Caso durante o processo iterativo o limite de potncia reativa gerada for violado, a barra correspondente convertida em barra de carga. Isto , a injeo de potncia reativa fixada no limite e a magnitude da tenso passa a ser uma varivel adicional calculada ao longo das iteraes.

Teste de convergncia

A convergncia do processo iterativo na soluo do fluxo de potncia via mtodo de Gauss-seidel realizada em duas etapas. A primeira consiste em verificar a cada iterao se as variaes na magnitude e no ngulo da tenso complexa so significativos. Ou seja, se

VV

iV

i VV 1

Onde V uma tolerncia pr-especificada para a tenso complexa, para todas as barras de carga (PQ) e de tenso controlada (PV) envolvidas no processo.

Caso este teste seja satisfeito, um teste semelhante efetuado para os resduos de potncia ativa e reativa, isto

pcalc

iesp

i PP (barras PV e PQ)

( )PQbarrasQQ Qcalciespi

38

= jjjj

Ybarra

Determinar a soluo das equaes da rede eltrica, via mtodo de Gauss-seidel, utilizando fatores de acelerao 1,0 e 1,5, com tolerncia para o mdulo das tenses igual a 10-3pu(V).

39

6.COMPENSAO DE POTNCIA REATIVA

Durante a operao dos sistemas de potncia, necessrio manter o balano de potncia ativa a fim de que a freqncia do sistema permanea constante. Por outro lado, tambm imprescindvel manter o balano de potncia reativa para que se tenha um perfil de tenso estvel e que satisfaa os limites pr-especficos. No caso do balano de potencia reativa observa-se que:

Sob condies de carga elevada devem existir fontes de reativo suficientes para suprir as demandas de potncia reativa do sistema;

Sob condies de carga leve o sistema deve ter capacidade suficiente de absorver o excesso de reativo nele gerado.

A manuteno do balano de potncia reativa pode ser efetuada atravs de duas formas bsicas:

Transmisso dos MVAr dos pontos de gerao para os pontos de consumo atravs das LTs.

Instalao de fontes de reativos prximos dos pontos de deficincia ou de excesso de consumo.

Evidentemente esta ltima alternativa a mais vantajosa do ponto de vista do desempenho do sistema.

Por conveno, a potncia reativa positiva (indutiva) quando absorvida por uma carga indutiva ( positivo, corrente atrasada, cos atrasado). De acordo com esta conveno, um capacitor absorve potncia reativa negativa (capacitiva) ou gera (ou fornece) potncia reativa positiva (ou indutiva) ao sistema.

Para analisar como flui a potncia reativa num sistema, considere as frmulas do fluxo de potncia numa LT sem perdas, isto , com resistncia desprezvel.

ijij

jiij X

VVP sen=

( )ijjiij

iij VVX

VQ cos=

Sempre que entre dois pontos de uma LT existir uma diferena escalar de tenses, haver um fluxo de potncia reativa do ponto de maior tenso para o de menor tenso. Em outras palavras, sempre que em uma barra houver deficincia de potncia reativa, esta dever ser fornecida atravs das linhas que nela incidem e assim a tenso na barra dever se reduzir.

Reciprocamente, quando em uma barra houver excesso de reativo (por exemplo, devido ao chaveamento de um banco de capacitores) a tenso na barra dever se elevar.

40

Concluir-se ento, que a tenso em uma barra pode ser controlada injetando-se nela uma potncia reativa de sinal conveniente (usando-se banco de capacitores ou reatores eventualmente disponveis).

Fontes e sumidouros de potncia reativa

A gerao de potncia reativa pode ser feita basicamente atravs dos seguintes dispositivos:

Mquinas sncronas superexcitadas Capacitores Linhas com baixo carregamento Cabos

Por outro lado, a absoro de potncia reativa efetuada via:

Mquinas sncronas subexcitadas Motores de induo Transformadores Reatores LTs sobrecarregadas

Mquinas sncronas

Estes equipamentos podem funcionar como geradores (Pg>0) ou como motores (Pg0) ou subexcitados (Qg

41

Bancos de capacitores e indutores

Indutores e capacitores podem ser utilizados em LTs mdias e longas para aumentar a capacidade de carregamento da LT, assim como para manter a tenso prxima da nominal. Eles podem ser instalados nos barramentos, em ambos os nveis de transmisso e distribuio, ao longo das LTs, ou nas leis e cargas. Essencialmente, esses dispositivos constituem um meio de fornecer Var localmente. Eles podem ser conectados permanentemente ou chaveados para atuar de acordo com as variaes de carga do sistema.

Algumas caractersticas do uso desses equipamentos no problema de compensao de potncia reativa so sumarizadas a seguir.

Reatores shunt: so projetados para consumir potncia reativa gerada por linhas descarregadas. Estes equipamentos so comumento instalados em pontos selecionados ao longo das LTs de extra alta tenso, de cada fase ao neutro. Os indutores absorvem potncia reativa e reduzem as sobretenses durante os perodos de carga leve. Eles tambm reduzem as sobretenses transitrias resultantes de surtos de chaveamentos. Entretanto, sob condies de plena carga necessrio remover seu efeito da LT a fim de que a capacidade de carregamento da mesma no seja reduzido.

Capacitores shunt: estes dispositivos so projetados para gerar potncia reativa em sistemas de alto consumo de reativo e/ou muito carregados. Eles so utilizados para aumentar a tenso na LT durante os perodos de carga pesada. No caso de uma carga com fator de potncia atrasado, por exemplo, os capacitores fornecem uma parte ou a totalidade da potncia reativa quando conectados em paralelo. Nesta condio, eles reduzem a corrente da LT necessria para suprir a carga, assim como a queda de tenso na LT, Melhorando o fator de potncia da carga. Desta feita, uma maior quantidade de potncia ativa pode ser transmitida pela LT.

Capacitores srie: estes equipamentos tambm so utilizados em LTs longas para elevar a capacidade de carregamento da mesmas. Os bancos de capacitores so instalados em srie com cada fase (condutor) do sistema de transmisso, em pontos selecionados. O seu efeito reduzir a impedncia srie da LT, e portanto a queda de tenso ao longo da LT, aumentando assim o limite de estabilidade em regime permanente. A desvantagem deste tipo de equipamento que dispositivos automticos de proteo tem que ser instalados para desviar as altas correntes durante a ocorrncia de faltas e reinserir o banco de capacitores aps a falta. O uso de banco de capacitores srie pode tambm provocar o aparecimento de oscilaes de baixa freqncia, originando o fenmeno chamado ressonncia subsincrona. Estas oscilaes podem danificar o eixo da turbina do gerador.

42

O esquema de compensao de uma LT e seu correspondente circuito equivalente so abaixo.

Onde: NC a quantidade de compensao reativa srie expressa em percentagem

(%) da impedncia de seqncia positiva da LT.

- NL a quantidade de compensao reativa shunt expressa em percentagem (%) da admitncia de seqncia positiva da LT. suposto que a metade da compensao instalada em cada extremo da LT.

Outros Equipamentos

Alm da mquina sncrona, outros equipamentos influenciam o balano de potncia reativa do sistema eltrico. Os principais so listados a seguir:

- Motores de induo: Estes equipamentos absorvem potncia reativa (indutiva ou positiva), isto , consomem potencia ativa e reativa. Eles constituem boa parte da carga industrial e influenciam de forma bastante acentuada o balano de potncia reativa.

- Transformadores: os transformadores tambm absorvem potencia reativa indutiva, na reatncia de magnetizao e nas reatncia de disperso. A funo usual desses equipamentos o controle do nvel de tenso do sistema eltrico.

- Compensadores estticos: a combinao dos dois tipos anteriores, para funcionar com cargos variveis ao longo do dia. Estes tipo de equipamento consiste na conexo em paralelo de reatores chaveados por tiristores e capacitores. Tais dispositivos so capazes de absorver potencia reativa durante os perodos de carga leve, e produzir potncia reativa nos perodos

43

de carga pesada. Atravs do controle automtico dos tiristores as flutuaes de tenso minimizadas e a capacidade de carregamento aumentada.

-Linhas: consomem potencia reativa na indutncia srie e geram potncia reativa nas capacitncias shunt. A analise do fluxo de potncia reativa nas Lts pode ser feita a partir dos seguintes parmetros:

Impedncia caracterstica (ou impedncia de surto)

wcGwlJRZ

+

+=0

Em LTs sem perdas

CLZ =0

- Surge impedncia loading (SIL) de uma LT : A potncia entregue pela linha a uma carga puramente resistiva de impedncia igual a impedncia caracterstica da linha. Nestas circunstancias a corrente fornecida pela linha dada por:

sistivaaCWZV

ZVVIVSIL

ZV

I

LLLLL

LL

Rearg][3

33

)3/(

0

2

0

0

=

==

=

A SIL pode ser interpretada como a carga de fator de potncia unitrio que faz com que os MVAr gerados na caracitncia Shunt da LT compensem extremamente as perdas de MVar na reatncia indutiva srie. Para valores abaixo do SIL (linhas de descargas) haver um saldo de gerao de MVAr acima do SIL (linhas carregadas) haver excesso de perdas MVAr na linha.

- Cabos: Devido a sua alta capacitncia e pelo fato de que o limite trmico de conduo de corrente muito menor que a SIL, estes equipamentos atuam como geradores de potncia reativa.

44

Exemplo: O circuito da figura abaixo representa uma carga sendo alimentada atravs de LT de 525KV compensada com reatores sem taps. Determine como se deve compensar a linha utilizando um compensador shunt no lado da carga, sob condies de cargas mnimas (3,0 -j1,0 pu) e mxima (6,0 +j 1,0 pu) para operar a linha plana em 0,95 pu.

Exemplo: Em relao a LT do problema anterior, qual deve ser a tenso e a potncia reativa da fonte para que na extremidade da carga se tenha uma tenso com magnitude igual a 0,95 pu, tanto na condio de carga mxima como na condio de carga mnima? Observe que neste caso o compensador shunt no utilizado.

45

7.CURTO CIRCUITO

Componentes simtricos

Os curto - circuitos em sistemas eltricos de potncia geram desbalanceamentos, dificultando os clculos e as simulaes da ocorrncia. Em 1915 o Dr.C.L. Fortescue, conseguiu formular uma ferramenta analtica muito poderosa, propondo, de maneira genrica, a decomposio de qualquer sistema de N fases desequilibradas nas suas respectivas componentes simtricas equilibradas. A formulao proposta por Fortescue, foi mais tarde, adaptada e aplicada aos elementos que compe o sistema eltrico de potncia. Isto possibilitou a aplicao de todas as tcnicas j conhecidas e dominadas de circuitos trifsicos equilibrados aos sistemas desbalanceados pelos curto circuitos, atravs das componentes simtricas.

Teorema de Fortescue

Fortescue, atravs do teorema intitulado de mtodo de componentes simtricos aplicado a soluo de circuitos polifascos, estabeleceu que um sistema de n fasores desequilibrados pode ser decomposto em n sistema de fasores equilibrados, denominadas componentes simtricos dos fasores originais. A expresso analtica obra para um sistema desequilibrado com n fases dado por:

)1(210

)1(210

)1(210

...

...

...

++++=

++++=

++++=

n

n

n

VcVcVcVcVcVbVbVbVbVbVaVaVaVaVa

.

.

)1(210 ... ++++= nVnVnVnVnVn

Cada seqncia composta de n fasores equilibrados, isto , de mesmo mdulo e igualmente defasados. A defasagem k de dois fatores consecutivos do sistema de seqncia K-sima, dada por:

=

nkk pi 2

Assim, tem-se os sistemas de

46

Seqncia zero: o conjunto de n fatores Vao Vbo Vco,..., Vno de mesmo modulo e em fase, girando no mesmo sentido e velocidade sncrona do sistema original de n fases.

Seqncia 1: o conjunto de n fatores Va1, Vb1, Vc1,...,Vn1, de mesmo mdulo, com defasagem de

n

pi2, girando no mesmo sentido e velocidade do sistema

polifsico original.

Seqncia 2: o conjunto de n fatores, Va2, Vb2, Vc2,..., Vn2, de mesmo mdulo, com defasamento entre si de

n

pi22 , girando no mesmo sentido e velocidade

sncrona do sistema original.

Seqncia K-sima: o conjunto de n fatores Vak, Vbk, Vck,...,Vnk de mesmo mdulo, com defasamento entre si de

nk pi2 girando.

Sistema trifsico de seqncia positiva

o conjunto de 3 fatores balanceados, ou seja, de mesmo mdulo, defasados de 120, com seqncia de fase idntica a do sistema trifsico original desbalanceado. Notao: ndice 1 representa seqncia positiva.

11

11

1

2401

1201

01

aVcV

aVbV

aV

=

=

=

Em mdulos, elas so iguais

47

111 cVbVaV ==

As outras tenses foram expressas em funo de Va1, porque o sistema equilibrado, ento basta analisar uma nica fase. Em vez de usar o termo

1201 , praxe, substituir este numero complexo

por uma representao literal, batizada de a , conhecida como operador rotacional. Assim,

11

12

1

1 01

,

1201

aVacVaVabV

aVEnto

a

=

=

=

=

Sistema trifsico de sequecia negativa

o conjunto de 3 fatores equilibrados, girando numa seqncia de fase contrria a do sistema original desbalanceado, na velocidade sncrona, contraria ao da seqncia positiva. Notao: ndice 2 representa seqncia negativa

Colocando-se os fatores tenso em funo da tenso da fase a, tem-se

22

2

22

2 01

aVacVaVabV

aV

=

=

=

48

Sistema trifsico de seqncia zero

o conjunto de 3 fatores iguais, em fase, girando no mesmo sentido da seqncia do sistema original desbalanceado, isto , da seqncia positiva. Notao: ndice zero representa seqncia zero.

Em termos de tenso, os fatores de seqncia zero ficam

000 cVbVaV ==

Expresso analtica do teorema de Fotescue

Como j foi dito, um sistema trifsico desequilibrado composto por trs sistemas trifsicos equilibrados de seqncia zero, positiva e negativa. A expresso analtica do teorema de Fotescue

DCBA

cVcVcVcVbVbVbVbVaVaVaVaV

210

210

210

++=

++=

++=

A = sistema trifasico desequilibrado B = sistema trifasico equilibrado de sequencia zero C = sistema trifasico equilibrado de sequencia positiva D = sistema trifasico equiibrado de sequencia negativa

Colocando todas as tenses em funo da fase a

22

10

212

0

210

aVaaVaaVcVaVaaVaaVbV

aVaVaVaV

++=

++=

++=

Na forma matricial,

=

2

1

0

2

2

11

111

aVaVaV

aa

aa

cVbVaV

49

Representado a matriz T, tem-se

=

2

2

11

111

aa

aaT

T uma matriz quadrada 3x3, conhecida como matriz transformao das componentes de seqncia nos fasores originais do sistema desbalanceado.

Para se obter as componentes de seqncia, em funo do sistema desbalanceado, deve-se determinar o inverso do indicado na expresso acima

)(31)(31

)(31

22

21

0

cVabVaaVaV

cVabVaaVaV

cVbVaVaV

++=

++=

++=

Na forma matricial

=

cVbVaV

aa

aa

cVbVaV

2

2

2

1

0

11

111

31

=

aa

aaT

2

21

11

111

31

Sendo T-1 a matriz inversa de T

Aplicando o teorema de Fortescue aos trs fatores de corrente do sistema trifsico desbalanceado, temos

=

2

1

0

2

2

11

111

aI

aI

aI

aa

aa

cIbIaI

=

cIbIaI

aa

aa

aI

aI

aI

2

2

2

1

0

11

111

31

50

Obs:

A seqncia zero tem uma caracterstica muito peculiar, de extrema singularidade, em que os fatores esto em fase, mesmo assim recebe a denominao particular de sistema trifsico balanceado. As concluses obtidas produzem interpretaes fsicas, com aplicaes direta a proteo do sistema eltrico.

)(310 cIbIaIaI ++=

Da expresso acima conclui-se que s pode existir corrente de seqncia zero em um sistema com neutro ou aterrado.

Impedncia de seqncia dos equipamentos do sistema

Como j foi visto, um sistema eltrico trifsico ser decomposto, segundo Fortercue, em trs sistemas eltricos trifsicos de seqncia positiva, negativa e zero. Isto leva a necessidade de se obter o modelo do sistema para cada componente de seqncia, ou seja, haver a necessidade de modelar o sistema para as seqncias positivas, negativas e zero. Os trs modelos obtidos so sistemas trifsicos equilibrados, sendo portanto, necessrio efetuar o estudo apenas do uma nica fase, sendo a fase a adotada como referncia. Portanto, atravs de ensaios em laboratrio, ou pela caracterstica do material do material e forma de ligao, deve-se calcular ou medir a impedncia apresentada pelo equipamento quando submetido a cada seqncia individualmente.

Z1 a impedncia apresentada pelo equipamento a seqncia Positiva.

Z2 a impedncia apresentada pelo equipamento a seqncia Negativa.

Z0 a impedncia apresentada pelo equipamento a seqncia zero.

Para os estudos de curto circuito, os elementos importantes a considerar no sistema eltrico so os geradores, transformadores, linhas de transmisso e a configurao da rede.

Gerador sncrono

Modelo de seqncia positiva

Usa-se a reatncia sub transitria na modelagem do gerador sncrono, esta produz uma corrente de curto circuito maior, e o disjuntor, apesar de estar um pouco mais dimensionado, melhora a segurana do sistema.

51

111 " aIdjxaEaV =

Ea1 -> Tenso de fase no terminal do gerador sncrono gerando a vazio. Va1 -> Tenso da fase em relao ao neutro da seqncia positiva para qualquer

situao. Ia1 -> Corrente de seqncia positiva da fase a, que sai dos enrolamentos da

mquina para o sistema.

Modelo de seqncia negativa

X2 -> Reatncia de seqncia negativa por fase.

Va2 ->Tenso de seqncia negativa no terminal da fase a em relao ao neutro do gerador.

Ia2 -> Corrente de seqncia negativa que sai pela fase a do gerador.

Modelo de seqncia zero

52

X0 -> Reatncia de seqncia zero.

Va0 -> Tenso de seqncia zero da fase a em relao ao neutro do gerador sncrono.

Ia0 -> Corrente de seqncia zero que sai pela fase a do gerador sncrono.

Modelo de seqncia zero com uma impedncia zn (aterrado)

Motor sncrono

Modelo de seqncia positiva

Modelo de seqncia negativa

Modelo de seqncia zero

53

Motor assncrono

O motor assncrono tambm denominado motor de induo. O modelo de seqncia positiva mostrado na figura abaixo

E o modelo de seqncia negativa mostrado na figura abaixo.

Onde,

Em -> tenso por fase nos terminais do motor de induo antes do defeito.

Xs -> Reatncia de disperso da bobina do estator.

Xr -> Reatncia de disperso da bobina do rotor referida ao estator.

O motor de induo trifsico no tem seqncia zero.

Transformador

O transformador um elemento importante do sistema eltrico. Ele interliga, isto , possibilita a conexo de vrios equipamentos eltricos com tenses eltricas distintas. Como as correntes de curto circuito do sistema passam atravs dos transformadores, h necessidade de analisar o comportamento do transformador em relao a estas correntes.

54

Impedncia de seqncia positiva

A impedncia de seqncia positiva z1 a mesma impedncia de curto circuito obtida no ensaio de curto circuito do transformador.

Impedncia de seqncia negativa

Como o transformador um elemento do sistema puramente passivo e esttico, qualquer seqncia de fase ser encarada como seqncia positiva. O valor da impedncia de seqncia negativa ser o mesmo da seqncia positiva.

12 ZZ =

Impedncia de seqncia zero

Como, por definio, a corrente de seqncia zero nas trs fases so iguais, as mesmas s podero existir se houver possibilidade de retorno atravs de um circuito fechado. A impedncia de seqncia zero (Z0) vai depender do tipo de transformador, da forma do seu ncleo magntico e do tipo de conexo das bobinas primaria e secundaria. Abaixo temos os circuitos equivalentes por fase de seqncia zero de transformadores trifsicos de ncleo envolvente e de banco de transformadores monofsico.

Transformador trifsicos Circuito equivalente por De 2 enrolamentos fase da seqncia zero.

55

Abaixo temos os circuitos equivalentes, por fase, de transformadores trifsicos de ncleo envolvente com trs enrolamentos

Transformadores trifsicos Circuito equivalente por De 3 enrolamentos fase da seqncia zero.

56

Abaixo temos os circuitos equivalentes, por fase, de transformadores trifsicos de ncleo envolvente com trs enrolamentos

Transformadores trifsicos Circuito equivalente por De 3 enrolamentos fase da seqncia zero

57

Linha de transmisso

A linha de transmisso o elemento mais vulnervel do sistema eltrico. Os curto circuito ocorrem principalmente devido aos defeitos na LT. Outra caracterstica da LT o fato de ter uma impedncia alta, sendo portanto, a grande limitadora da corrente de curto circuito. A impedncia da LT fica, predominante, indutiva com o aumento do nvel de tenso. Deste modo, o ngulo de defasagem da corrente de curto circuito varia com o nvel de tenso.

Impedncia de seqncia positiva

Circuito equivalente por fase da seqncia positiva da LT.

Impedncia de seqncia negativa

Como a LT um elemento esttico do sistema de energia eltrica, a sua performance no se altera com a seqncia de fase energizao e o seu funcionamento idntico para qualquer seqncia de fase balanceada. Deste modo, a impedncia, por fase, de seqncia negativa, a mesma de seqncia positiva.

Z2 = Z1

58

Impedncia de seqncia zero

Como as correntes de seqncia zero de cada condutor da linha de transmisso so iguais e esto em fase, elas so obrigadas a retornar por qualquer caminho que no seja o formado pelos prprios condutores da linha. Assim, elas retornam pelo cabo de cobertura (cabo guarda ou cabo para raio), pelo solo sob o percurso da linha e pelo solo seguido a menor distancia entre o ponto de defeito e a subestao.

LiberadaTerraLTsobTerraCoberturadeCaboLinhaa IIII ++=3

De modo geral, a impedncia total de seqncia zero da LT com cabo de cobertura, com retorno pela terra, tem seu valor indicado na expresso abaixo.

LTZaZ LT 10 62=

Curto Circuito no Sistema Eltrico

Este capitulo destina-se ao estudo do curto circuito no sistema eltrico. A analise aqui desenvolvida geral, sendo aplicada a sistema eltrico em anel e radial. Apesar do defeito ser indesejvel, o curto circuito sempre ocorre em pontos aleatrios da rede eltrica. Se os curto circuitos no forem rapidamente eliminados, os danos nos equipamentos que integram a rede eltrica podero ser elevados. O conhecimento da corrente de curto circuito atende a diversos objetivos importantes, relacionados a seguir:

Conhecer a dimenso do seu valor Dimensiona a LT em relao a seu limite suportvel de elevao da

temperatura devido ao curto circuito. Dimensionar o disjuntor quanto a seco dos seus contatos e a capacidade

disruptiva da sua cmara de extino do arco-eltrico. Dimensionar o transformador de corrente (TC) quanto ao nvel de

saturao da sua curva de magnetizao definido pela sua classe de exatido.

Efetuar a coordenao de rels Analise das sobretenses na freqncia industrial devido ao curto

circuito. Conhecer o tempo de atuao do rele, conseqentemente o tempo da

eliminao do defeito para analisar as perturbaes devido as harmnicas e da estabilidade dinmica do sistema eltrico.

59

Curto circuito trifsico

o curto onde todas as correntes so equilibradas, portanto no h diferena no curto circuito trifsico e trifsico - terra. As condies do defeito so: 0=== cVbVaV Ento

=

000

11

111

31

2

2

2

1

0

aa

aa

aVaVaV

Portanto:

0210 === aVaVaV

1aI 2aI 0aI Seqncia -> Seqncia -> Seqncia -> 1aV = 0 2aV =0 0aV = 0 Positiva Negativa Zero

Como os circuitos equivalente de seqncia negativa e zero so passivos, s h necessidade de apresentar o circuito de seqncia positiva.

Exemplo: um gerador sncrono de plos salientes, com as bobinas da armadura ligada em y com caracterstica de placa de 30MVA, 13,8KV, 60Hz, est funcionando a vazio com tenses nominais em seus terminais. A reatncia sub transitria do eixo direito igual a 0,2 pu e a reatncia de seqncia negativa vale 0,25 pu. A reatncia de seqncia zero vale 0,08 pu. O gerador sncrono est aterrado atravs de uma reatncia de 0,09 pu. Para um curto circuito trifsico nos seus terminais, calcular:

a) As correntes de seqncia b) As correntes verdadeiras

Curto circuito monofsico terra

60

Pela figura acima conclui-se que

00

==

=

IcIbVa

Para o curto circuito monofsico terra os modelos so ligados em srie.

Seqncia + Seqncia + Seqncia + 1aV 2aV 0aV Positiva - Negativa - zero -

Exemplo: O gerador sncrono o mesmo do exemplo da pagina 59. O gerador sncrono est a vazio com tenso nominal nos seus terminais e ocorre um curto-circuito monofsico terra na fase a determine: a) As correntes de seqncia positiva, negativa e zero. b) A corrente que passa no neutro do gerador.

Curto circuito bifsico na linha B e C

As condies de defeito so:

0

0

=+

=

=

cIbIcVbV

aI

61

Os modelos de seqncia positiva e negativa devero ser ligados em paralelo para o curto circuito bifsico.

Exemplo: O gerador sncrono tem as mesmas caractersticas do exemplo da pagina 59. O gerador est girando a vazio com tenso nominal nos seus terminais e ocorre um cc bifsico na fase B e C. determine: a) As correntes de seqncia b) A corrente que passa pelo neutro do gerador c) As tenses de seqncia no ponto do CC.

Curto circuito bifsico Terra

As condies de defeito so:

030

0

IaIcIbVcVb

Ia

=+

==

=

Os modelos de seqncia positiva, negativa e zero devero ser ligados em paralelo.

62

Exemplo: O gerador sncrono o mesmo do exemplo da pagina 59. O gerador est girando a vazio com tenso nominal nos seus terminais e ocorre um CC bifsico-Terra nas fases B e C.

Determinar: a) As correntes de seqncia b) A corrente que passa pela terra

Exemplo: O sistema eltrico da figura abaixo opera sem carga. Para um CC monofsico Terra na fase a da barra c, calcular as correntes de CC considerando o transformador do ncleo envolvido.

63

8. ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POTNCIA

A estabilidade de sistema de potncia pode ser definida como a propriedade do sistema que permite as mquinas sncronas desse sistema responder a um distrbio, a partir de uma condio de operao de tal maneira a retomarem uma condio de operao novamente normal. Estudos de estabilidade so usualmente classificados em trs tipos, dependendo da natureza e ordem de grandeza do distrbio. Estes estudos so chamados estudo de estabilidade transitria, dinmica e em regime permanente. Hoje os estudos de estabilidade transitria constituem a principal metodologia analtica para o estudo do comportamento dinmico eletromecnico. Estudos de estabilidade transitria so esperados quando se determina que o sistema permanecer em sincronismo aps distrbios significativos tais como faltas no sistema de transmisso, variaes rpidas de carga, perdas de unidades geradoras ou chaveamento de linhas. Atualmente os sistemas de potencia so vastos, sistemas fortemente interconectados com varias centenas de mquinas que podem interagir atravs do meio composto das redes com extra alta tenso e ultra alta tenso. Estas maquinas tem, associados a elas, sistemas de excitao e sistemas de controle turbina governador que, em alguns casos, devem ser modelados em ordem de refletir apropriadamente a resposta dinmica correta ao sistema de potncia para certos distrbios do sistema. Os estudos da estabilidade dinmica e em regime permanente so menos extensivos em escopo e envolvem uma ou algumas poucas mquinas que sofrem mudanas lentas ou graduais nas condies de operao. Portanto, os estudos de estabilidade dinmica e de regime permanente referem-se a estabilidade do lcus dos pontos de operao essenciais em regime permanente do sistema. Estudos de estabilidade transitria so mais comumente efetuados por refletirem sua grandiosa importncia na pratica. Tais problemas envolvem grandes distrbios que no permitem procedimento de linearizao a ser usado e as equaes algbricas e diferenciais no lineares devem ser resolvidas por mtodos diretos ou por procedimentos interativos passo a passo. Os problemas de estabilidade transitria podem ser subdivididos em problemas de estabilidade considerando a primeira oscilao ou multioscilaes. A estabilidade da primeira oscilao baseada num modelo razoavelmente simples de gerador sem a representao dos sistemas de controle. Usualmente, o perodo de tempo para estudo o primeiro segundo que se segue a uma falta no sistema. Se as mquinas do sistema mantm o sincronismo dentro do primeiro segundo, o sistema dito estvel. Problemas de estabilidade e multioscilaes se estendem sobre um longo perodo e ainda deve considerar os efeitos do sistema de controle do gerador que afeta o desempenho da mquina durante o perodo de tempo considerado. Modelos de mquinas com grande sofisticao devem ser representados com o objetivo de refletir o comportamento apropriado. Em todos os estudos de estabilidade, o objetivo determinar se os rotores das mquinas, sendo perturbadas, retornam ou no a operao com a velocidade constante. Obviamente, isto significa que as velocidades dos rotores se desviam, pelo menos temporariamente, da velocidade sncrona. Para facilidade de computao, trs consideraes fundamentais so feitas em todos os estudos de estabilidade:

64

1. Somente correntes e tenses na freqncia sncrona so consideradas nos enrolamentos ao estator e no sistema de potncia. Conseqentemente, correntes CC de ajuste e componentes harmnicas so desprezadas.

2. Componentes simtricos so usadas na representao e fruta desequilibradas.

3. A tenso gerada considerada no afetada pelas variaes de velocidade da mquina.

Estas condies permitem o uso da lgebra fatorial para a rede de transmisso e a soluo pelas tcnicas de fluxo de carga usando os parmetros de 60hz. Tambm, as redes de seqncia negativa e seqncia zero podem ser incorporadas na rede de seqncia positiva no ponto de falta.

Dinmica do rotor e equao de oscilao

A equao que descreve o movimento do rotor de uma mquina sncrona est baseada no principio elementar da dinmica que diz ser o torque de acelerao igual ao produto do momento de inrcia do rotor pela sua acelerao angular. No sistema MKS de unidades, esta equao pode ser escrita para geradores sncronos na forma.

][22

NmTeTmTadt

mdJ==

Onde: J = Momento de inrcia total das massas do rotor, em Kgm2. m = Deslocamento angular do rotor com respeito a um eixo estacionrio, em

radianos. t = Tempo em segundos Tm = Torque do eixo ou torque mecnico suprido pela mquina primria

menos o torque de retardo devido as perdas rotacionais em Nm. Te = Torque eltrico ou eletromagntico resultante em Nm. Ta = Torque de acelerao resultante em Nm.

O torque mecnico Tm e o torque eltrico Te so considerados positivos para o gerador sncrono. Nas condies de operao em regime permanente do gerador, Tm e Te so iguais e o torque de acelerao Ta zero. Neste caso, no existe acelerao ou desacelerao das massas do rotor e a velocidade constante resultante a velocidade sncrona. As massas rotativas que incluem o rotor do gerador e da mquina primria so ditas estarem em sincronismo com as outras mquinas operando na velocidade sncrona no sistema de potncia. Como m medido com respeito a um eixo de referencia estacionaria sobre o rotor, constitui-se em uma medida absoluta do ngulo do rotor. Conseqentemente, cresce continuamente com o tempo, embora ainda em velocidade sncrona constante. Como a velocidade do rotor relativa a velocidade

65

sncrona de interesse, mais conveniente medir a posio angular do rotor com respeito a um eixo de referencia que gira em velocidade sncrona.

m = sm+m

Onde:

sm a velocidade sncrona da mquina em radianos por segundo.

m o deslocamento angular do rotor, em radianos, a partir do eixo de referencia da rotao sncrona.

Derivando a equao acima

dtmd

dtmd

sm

+=

Esta equao indica que a velocidade angular do rotor

dtmd

a constante e igual a velocidade sncrona somente quando dt

md

zero.

Portanto dt

md representa o desvio de sincronismo da velocidade e as

unidades de medida so radianos mecnicos por segundo. A acelerao do rotor medida em radianos por segundo ao quadrado representada por:

2

2

2

2

dtmd

dtmd

=

Substituindo na equao

][22

NmTeTmTadt

mJd==

Fica

TeTmTadt

mJd==2

2

Multiplicando a equao acima por m

][22

WPePmPadt

mdJ m ==

Onde Pm a potncia de entrada no eixo da mquina menos as perdas rotacionais.

66

Pe a potncia eltrica no entreferro Pa a potncia de acelerao que leva em conta qualquer desequilbrio

entre as duas quantidades.

O coeficiente Jwm o momento angular do motor, representado por M e chamado de constante de inrcia da mquina ento:

][22

wPePmPadt

mdM ==

Em dados de mquinas, fornecidos para estudos de estabilidade, outra constante relacionada a inrcia freqentemente encontrada. Esta a chamada constante H que definida por:

H = Energia cintica armazenada em megaJoule na velocidade sncrona. Potncia nominal da mquina em MVA.

H = ]/[21

21 2

MVAMJSmaq

mM

SmaqsmJ SS

=

Onde Smaq a potncia mecnica nominal da mquina em MVA. M = SmaqH

sm

2

Substituindo na equao

][22

WPePmPadt

mdM == Temos

][2 22

puPePmPadtdH

S

==

Esta equao chamada de equao de oscilao da mquina, a equao fundamental que governa as dinmicas rotacionais das mquinas sncronas em estudos de estabilidade. Notamos que esta equao diferencial de segunda ordem e que pode ser escrita como duas equaes diferenciais de primeira ordem:

.).(2

pPcPmdts

Hd=

sdtd

=

67

Potencia sincronizante e freqncia de oscilao

Considere uma mquina sncrona representada por uma fonte de tenso constante em srie com sua reatncia transitria de eixo direto (xd) ligada a uma barra infinita atravs de uma reatncia Xe.

Diagrama fatorial

senXeqEVPe= onde xedxxeq += '

Substituindo na equao de oscilao

)(2 22

puPePmdtdH

=

sen

22

2

XeqEVPm

dtdH

=

ou

sen22

XeqEVPm

dtdM =

maxPXeqEV

=

68

senmax22

PPmdtdM =

Esta equao chamada de equao ngulo de potncia e sua curva representada abaixo.

Observe que Pm constante e intercepta a curva senoidal do ngulo de potncia no ngulo de operao 0 . Esta a posio angular inicial do rotor do gerador correspondente as condies de operaes dadas.

Coeficiente de potncia sincronizante

Considere a MS operando em regime permanente com uma potncia.

0 =Peo

Suponha uma perturbao , tal que

+= 0

Ento

)sen( 0 +=+= XeqEVPPeoPe

= += sencoscossen 00 XeqEV

XeqEV

Tomando se que tem valores pequenos, cos 1 e sen , ento a equao anterior pode ser reescrita da seguinte forma.

+=+ )(cossen 00 XeqEV

XeqEVPPeo

69

Tomando-se XeqEVP =max

+=+ )cosmax(senmax 00 PPPPeo

Ento = )cosmax( 0PP

Onde 0cosmax PPs =

denominado de coeficiente de potncia sincronizante

Freqncia natural de oscilao

Em um see submetido a perturbaes, as mquinas oscilam, uma em relaes as outras com determinados freqncias, causando flutuaes nas tenses, nas freqncias e nas potncias das interligaes. Para pequenas perturbaes pode-se determinar o modo das oscilaes, das mquinas, linearizando-se a equao de oscilao. Considere uma variao em , tal que:

PPeoPe +=+= 0

Utilizando a equao de oscilao

PePmdtdM =2

2

Assume a seguinte forma

=+ PsPeoPmdtdM )( 02

2

= PsPeoPmdt

dM 22 )(

= Psdt

dM 22 )(

ou 0)( 22

=+ Psdt

dM

Aplicando a transformada de laplace, resulta:

70

HPs

ouMxeq

EVMPs

osc S

2cos 0 ==

HPs

ouMXeq

EVfosc S22

1cos21 0

pi

pi

=

Critrio de Igualdade de reas

Na seo anterior desenvolvemos equao de oscilao que so no lineares por natureza. A soluo formal de tais equaes no pode ser explicitamente encontrada. Mesmo no caso de uma simples mquinas oscilando com respeito a um barramento infinito bastante difcil obter solues na forma literal e, portanto, mtodo usando computao digital so normalmente usados. Para examinar a estabilidade de um sistema de duas mquinas sem solucionar a equao de oscilao possvel uma tcnica direta e ser agora discutida. Considere a equao de oscilao representando o sistema abaixo.

)(2 22

PaPePmdtd

wr

H==

Multiplica-se a equao por dtd

, obtem se

dtdPa

dtd

dtd

wr

H )(2 22

=

ou

dtdPa

dtd

dtd

wr

H )(2

=

Integrando-se a equao em relao ao tempo t, tem-se

=

dtdPadt

dtd

dtd

wr

H tto

tto

)(2

71

dPa

Hwr

dtd )(

0=

wwrwdtd

=

(desvio da velocidade em relao a velocidade sncrona)

Para o rotor que est acelerando, a condio de estabilidade do sistema exige que exista um max tal que

0)(

0max)(max

0

=

dPa

Pa

0)]([)]([

0)]([

0)(

max

1

1

0

max

0

max

0

=

=

=

dPePmdPePm

dPePm

dPa

dPmPedPePm

d

])([)]([max

1

1

=

rea acelerao = A desacelerao (para haver estabilidade)

Conclui-se, portanto, que para uma mquina sncrona manter-se em sincronismo com a barra infinita, aps a ocorrncia de uma determinada perturbao, necessrio que a rea de acelerao seja menor ou igual que a are de desacelerao. Conseqentemente, no caso de manuteno do sincronismo, sistema estvel, max o mximo ngulo do rotor, alcanado durante a oscilao.

72

A condio de limite de estabilidade aconteceria para uma perturbao tal que

m

AdesacelAacelpi ==

=

1max

Se para uma situao de operao e para uma determinada perturbao ocorrer

estvelsistemaAdesacelAacelinstvelsistemaAdesacelAacel

>

Considere o SEE

Circuito equivalente

Caso 1: Estudar as implicao da ocorrncia de um CC trifsico permanente na metade de uma LT.

Situao de operao:

1. Operao de regime permanente antes do CC trifsico

00

0000 senXeq

EVPePm ==

22'0 L

XxtdxXeq ++=

2. Operao em CC trifsico Permanente

73

sen1

001 Xeq

EvPe =

Determinao de 1Xeq

Atravs de uma transformao Y obtem-se

Atravs de uma transformao Y obtem-se

74

Caso 2: Estudar as implicaes da ocorrncia de um CC trifsico na metade de uma LT, eliminando posteriormente pelo desligamento total da LT afetada.

Situao de operao

1. Antes do defeito sen)(0

000 Xeq

EVPe =

2. Durante o defeito sen)(1

001 Xeq

EVPe =

3. Ps defeito sen)(2

002 Xeq

EVPe =

Circuitos equivalentes

= Antes de defeito

= Durante o defeito

= Ps - defeito

75

120

021

2

maxmaxmax

2'

PPPXeqXeqXeq

XLxtdxXeq

>>

>>

++=

Para haver estabilidade

possvelAdesacelMaximaAacel

dPePmAacel

c

)]([ 10

=

dPmPeAdesacel

c

][ 2max

=

c o ngulo em que eliminado o defeito pelo desligamento permanente da LT.

cr = ngulo critico = o Maximo ngulo para a eliminao do defeito tal que o sistema mantenha a estabilidade.

Determinao do ngulo cr

senmaxsen0

000 PXeq

EVPe ==

sen1

001 Xeq

EVPe =

sen2

002 Xeq

EVPe =

senmaxsen1

0

0

0

1

001 PXeq

XeqXeqXeq

XeqEVPe ==

76

senmax2

02 PXeq

XeqPe =

Ento:

senmax

senmax

senmax

22

11

0

PrPePrPe

PPe

=

=

=

dPmPrdPrPm

c

c

]senmax[]senmax[ 2max

10

=

[ ] [ ] [ ] [ ] maxmax2010 cosmaxcosmax cccc PmPrPrPm =+

Fazendo == maxecrc

)]()cos(cosmax[)]cos(cosmax)([

2

010

crPmcrPrcrPrcrPm

=+

Portanto:

+

= coscos)(

max

1cos 2010

21

1rr

PPm

rrcr

Onde

2

02

1

01

xeqxeq

rxeqxeq

r ==

00

senmaxmax PPmxeqEVP ==

2maxsen 10

pi

=

PrPm

associado ao ngulo cr existe um tcr , tempo critico de eliminao do defeito, tal que o sistema mantenha a estabilidade.

McrtPm

crcrPmM

tcr2

)(22

00 +==

77

Exemplo: Considere o see abaixo. Os parmetros e valores nominais so S = 415MVA, FP = 0,9, XL = 0,7, Xt = 0,12, xd = 0,3 e H = 5,0s. Todas as reatncias esto em pu da potncia nominal da mquina. Suponha que o sistema esteja operando em regime permanente com V1 = 1,02 pu, V00 = 1,0pu e fornecendo 343MW a barra infinita, o que acontecer com o comportamento dinmico do sistema se A LT c for desligada permanentemente nestas condies de operao.

Exemplo: Considere o sistema abaixo. Os parmetros e valores nominais so S = 465MVA, FP = 0,9, XL = 0,7, Xt = 0,12, xd = 0,3 e H = 5,0s, todas as reatncia esto em pu da potncia nominal da mquina sncrona. Considere que o sistema esteja operando em regime permanente com V1 = 1,02pu, V00 = 1,0pu e fornecendo 290MW a barra infinita suponha a ocorrncia de um CC trifsico slido na barra 1 eliminado pelo desligamento temporrio da LT a aps 0,05 segundos de permanncia de defeito. Qual o mximo ngulo de religamento desta LT para manter a estabilidade do sistema.